d. Bespreek elektrische lading - elektrisch veld - wet van Gauss

Opgeloste examenvragen E&M
1. Overzichtsvragen
a. Bespreek condensatoren en diëlektrica
Een condensator bestaat uit twee geleiders die al dan niet oneindig ver van elkaar zijn
geplaatst. Een voorbeeld hiervan is de vlakke plaat condensator, maar ook een coaxiale
kabel, of een sferische condensator zijn goede voorbeelden.
De capaciteit van een condensator is gedefinieerd als de lading op één van de geleiders
gedeeld door het potentiaalverschil over de platen.
De lading op één van de
geleiders is namelijk in absolute waarde gelijk aan de lading op de andere. Dit volgt uit de
wet van Gauss voor het elektrische veld (
Als oppervlak kiezen we één dat
door de twee geleiders gaat. Het elektrische veld door dit oppervlak is 0, dus is de netto
omsloten lading ook 0.
Voor de capaciteit van een vlakke plaat condensator kan een eenvoudige formule
worden afgeleid Het potentiaal verschil tussen de platen is namelijk gelijk aan
met E
de grootte van het elektrische veld en d de afstand tussen de twee platen. De grootte
van het elektrische veld is op zijn beurt gelijk aan
(Benadering). Als we dit
substitueren in de definitie van capaciteit krijgen we
De energie die in de condensator opgeslagen ligt, Als we nu de energie inhoud van een
dergelijke condensator berekenen nemen we de integraal van dW (de arbeid nodig om
een lading dq toe te voegen aan de positief geladen plaat)
Diëlekrica zijn isolatoren die het externe elektrische veld veranderen als ze eraan worden
blootgesteld. Elke isolator beïnvloed het externe veld, omdat er dipolen zullen induceren
en deze di-polen zullen zich oplijnen, zodat het elektrisch veld tegengewerkt wordt.
onder het elektrische veld. We definiëren de di-elektrische constante
Dit is opnieuw een benadering, we veronderstellen dat het
geïnduceerde elektrische veld lineair veranderd met het vacuümveld. Dit is een goede
benadering voor kleine velden, maar het is duidelijk dat er saturatie optreedt bij grote
velden(alle dipolen zijn opgelijnd). De meeste waarden voor kappa fluctueren tussen 1
en 80. Er zijn echter ook materialen met een extreem hoge di-elektrische constante
(ferro-elektrische materialen,20 000). Het is duidelijk dat deze di-elektrica gebruikt
kunnen worden om hogecapaciteit condensatoren te maken.
Bij een di-elektricum hoort ook een doorslagspanning. Dit is de spanning waarbij de
isolator geleidend wordt, en er dus een stroom zal vloeien. Afhankelijk van de situatie
betekend dit al dan niet het einde van het di-elektricum.
b. Bespreek elektrische stroom en weerstand
Een elektrische stroom ontstaat door een elektrisch veld aan te leggen aan een geleider.
Men zou hier ook kunnen spreken over een potentiaal verschil, maar aangezien de
volgende formule van toepassing is:
, is het duidelijk dat de oorzaak altijd
een elektrisch veld zal zijn. Men kan dit ook zien als een potentiele kracht die op de
elektronen en de atoom kern wordt geleverd. Een materiaal is een geleider, omdat het
vrije elektronen heeft. Deze elektronen kunnen maar bestaan, indien ze makkelijk naar
een hoger energie niveau kunnen. Voor de geleiders betekent dit dat hun valentieschil
slechts gedeeltelijk is opgevuld. Bij isolatoren is de valentie schil volledig opgevuld, en is
er een groot energieverschil tussen de opgevulde schil en de volgende schil.
Halfgeleiders zijn eigenlijk isolatoren waarbij het energieverschil tussen de laatst
opgevulde schil en de volgende klein is waardoor bij toenemende temperatuur
(=kinetische energie, elektronen kunnen makkelijker geëxciteerd worden) het materiaal
geleidend wordt.
De stroom I is gedefinieerd als de lading die passeert door een oppervlak in een bepaald
tijdsinterval, gedeeld door dat tijdsinterval (
).
, met J de stroom
dichtheid. Deze is gelijk aan het aantal vrije ladingsdragers in een materiaal per volumeeenheid, vermenigvuldigd met de lading van die ladingsdragers, vermenigvuldigd met de
gemiddelde snelheid volgens E. Deze snelheid noemen we de driftsnelheid.
Deze laatste is gebaseerd op
Elk materiaal, op supergeleiders na, heeft een bepaalde weerstand voor de stroom. Men
kan dit verklaren aan de hand van een klassiek model (darude model), maar zoals we
weten kunnen klassieke modellen niets zeggen over situaties waarin men kwantum
mechanica dient toe te passen.
Als we ervan uitgaan dat een geleider een aantal vrije elektronen heeft, dan is de
versnelling die een elektron ondervind gelijk aan -E*e- constante * v = m*a. Deze
constante = m/ . Waarbij de gemiddelde tijd is tussen twee botsingen. De driftsnelheid
is bereikt wanneer a = 0 => de driftsnelheid = -eE daaruit volgt dan ook de formule voor
de stroomdichtheid, en die van de geleidbaarheid. Waarbij de geleidbaarheid gelijk is aan
J/E.
Er is echter nog een emprische “wet” die toelaat de weerstand te berekenen. Deze is de
wet van Ohm. Deze stelt dat de weerstand R gelijk is aan het quotiënt van de spanning
over de weerstand en de stroom door de weerstand.
Er zijn ook niet Ohmische materialen, vandaar dat de ‘wet’ van Ohm geen wet is. In
principe is elk materiaal niet-Ohmisch. De vraag is hoe nauwgezet ze het omisch gedrag
volgt. Een voorbeeld van een duidelijk niet Ohms materiaal is een di-ode. Bij een di-ode
is de weerstand in één zin zeer klein, en in de andere zin zeer groot.
Een ander typisch niet Ohms materiaal is een supergeleider. Deze heeft beneden een
bepaalde temperatuur geen weerstand meer voor de elektrische stroom. Het vermogen
dat in de weerstand verloren gaat is
c. Bespreek elektrische potentiaal
Het elektrische veld is een conservatief veld. Uit de cursus analyse II weten we dat dit
inhoud
. Het is in dit geval mogelijk om een potentiaal functie te definiëren.
Die de energie geeft die vrijkomt/moet geleverd worden om een eenheidslading van op
oneindig tot aan een bepaald punt te brengen.
We kunnen deze potentiaalfunctie als volgt berekenen.
waarbij U de totale potentiële energie is.
.
Net zoals het elektrische veld gehoorzaamt aan het principe van superpositie, geldt dit
ook voor het elektrische potentiaal V.
Aangezien we het begrip potentiaal nu hebben gedefiniëerd kunnen we ook het begrip
equipotentiaalvlakken introduceren. Dit zijn vlakken waarvoor het potentiaal gelijk is.
Het elektrische veld zal altijd loodrecht staan op deze oppervlakken, aangezien het
elektrische veld anders een tangentiële component zou hebben, en dit impliceert dat het
geen equipotentiaaloppervlak is. Hieruit volgt dan ook dat het oppervlak van een
geleider een equipotentiaaloppervlak is.
Verder volgt uit de definitie van potentiaal
Dit minteken maakt duidelijk dat
het elektrische veld wijst van een hoog potentiaal naar een laag.
Hieruit volgt dan dat:
.
De reden waarom potentiaal zeer handig is in gebruik is omdat het een vectorveld omzet
naar een scalaire functie.
d. Bespreek elektrische lading - elektrisch veld - wet van Gauss
Er zijn twee soorten ladingen: positief en negatief. Men stelt empirisch vast dat deze
ladingen steeds voorkomen als een veelvoud van de elementaire lading
Hoewel protonen en elektronen (dragers van respectievelijk positieve
en negatieve lading) opgebouwd zijn uit nog kleinere onderdelen (Quarks) die een
minimale lading hebben van
(als ze überhaupt een lading hebben). Deze deeltjes
kunnen echter niet geïsoleerd worden. Een andere wet die we empirisch vast stelling is
het behoud van lading.
Verder is er nog de wet van Coulomb die de krachten beschrijft tussen ladingen:
Hierbij is
de eenheidsvector en r de afstand tussen de twee ladingen.
We definiëren het elektrische veld als volgt.
. We nemen hier de limiet
om inductieverschijnselen te kunnen verwaarlozen. Het concept van elektrisch veld is
zeer nuttig voor bijvoorbeeld het verklaren van fenomenen als elektromagnetische
golven. Verder maakt het duidelijk dat het algemene principe van behoud van energie
geldig is.
Op het elektrische veld kunnen we het principe van superpositie toepassen. Dat betekent
dat het mogelijk is om het elektrische veld van een ladingsdistributie te berekenen via
een integraal.
Een ander nuttig concept zijn veldlijnen. Deze geven weer hoe het elektrische veld staat
in de ruimte (de elektrische veldvector is steeds rakend aan een veldlijn). Het aantal
veldlijnen geeft dan ook de sterkte van het elektrische veld weer.
Enkele eigenschappen van elektrische veldlijnen (Als het conservatief is )
1. Veldlijnen beginnen en eindigen op ladingen of op oneindig
2. Veldlijnen vertrekken op positieve ladingen en eindigen op negatieve.
3. Veldlijnen snijden elkaar nooit (veld is dubbelzinnig).
4. Veldijnen van een conservatief veld zijn nooit gesloten.
Zoals reeds aangehaald bepalen de hoeveelheid veldlijnen de grootte van het veld. Als we
het aantal veldlijnen dat door een oppervlak gaat willen tellen berekenen we de flux. Dit
doen we als volgt:
. Hierbij staat de vector A loodrecht op het oppervlak. Als we
dit zouden uitrekenen voor een gesloten bol oppervlak met in het midden een puntlading
krijgen we het volgende:
Opnieuw kunnen we het principe van
superpositie toepassen om zo tot de conclusie te komen dat
De
geïnduceerde ladingen tengevolge van een di-elektricum worden niet in rekening gebracht.
Dit zal later weggemoffeld worden met de definitie van
. Deze vergelijking is de wet
van Gauss voor het elektrische veld. We kunnen deze ook schrijven als:
Dit
volgt uit de stelling van Gauss:
met V het door S
omsloten oppervlak. Hieruit volgt het gestelde aangezien dit geldt voor elk volume
tengevolge van het gekozen oppervlak S.
e. Bespreek de krachtwerking op ladingen en stromen in een
magnetisch veld.
Men stelt empirisch vast dat de kracht op een lading tengevolge van een magnetisch veld
afhankelijk is van zijn snelheid, lading en uiteraard de grootte van het magnetische veld.
Deze kracht staat altijd loodrecht op het magnetisch veld, en de snelheid.
Aangezien we een stroom kunnen beschouwen als een geheel van
ladingen die met een bepaalde snelheid bewegen kunnen we dit resultaat ook schrijven
als:
met
Enkele toepassingen van deze wet zijn snelheidsfilters voor ladingen, een elektromotor.
Een ander gevolg is het Hall-effect.
Een snelheidsfilter maakt gebruik van een elektrisch en magnetisch veld waarbij de
krachten die deze op een lading kunnen uitvoeren tegengesteld zijn. Bijgevolg is bij een
bepaalde snelheid geen resulterende kracht (
). Dit volgt simpelweg uit het
krachtenevenwicht tussen
Een elektromotor maakt gebruik van een gesloten stroomkring in een magnetisch veld.
Hierdoor vloeit dan een stroom die een moment uitvoert op deze kring. Men moet er
evenwel voor zorgen dat de stroom van richting wisselt om de 180° zodat de kring altijd
in de zelfde zin blijft ronddraaien. Hieruit volgt ook een definitie voor het magnetische
dipoolmoment :
de richting van A wordt bepaald met de rechterhand regel. Het
moment dat het magnetische veld uitoefent op de kring is dan
. We kunnen
de potentiële energie ook berekenen als de integraal van moment vermenigvuldigd met
de hoek:
Het Hall-effect is opnieuw tengevolge van de tweede formule. Als men door een
geleidende plaat een stroom laat vloeien in aanwezigheid van een magnetisch veld,
ontstaat er een potentiaal over dit plaatje. (Tenzij I & B evenwijdig zijn). Bij evenwicht
geldt er dat
Bij de snelheidselector wordt het duidelijk dat we moeten opletten welk assenstelsel we
gebruiken. Indien we mee zouden bewegen met de lading is er geen kracht tengevolge
van het magnetische veld. Dit betekend dat de kracht tengevolge van het elektrische veld
ook tot nul herleid wordt.
Een gelijkaardig fenomeen treedt op bij elektromagnetische golven. Als de observeerder
accelereert en de lading stil staat, zal de observeerder toch een elektromagnetische golf
meten, omdat vanuit zijn standpunt bekeken de lading versneld.
f. Bespreek elektro en magneto statica en de wisselwerking tussen
beide.
Om de krachtwerking tussen ladingen, en magnetische velden en ladingen te modelleren
hebben we twee wetten ter onze beschikking:
1.
2.
Het elektrische veld of magnetische veld kan altijd berekent worden met behulp van
integralen.
3.
g. Bespreek magnetische velden in materie.
Zoals materialen het elektrische veld beïnvloeden, zo beïnvloeden materialen ook het
magnetische veld. Om dit uit te drukken definiëren we eerst enkele begrippen.
Als we nu beschouwen dat de magnetisatie M (=
magnetisch dipoolmoment per volume) in het materiaal tengevolge van een externe
magnetische intensiteit H lineair evenredig is, kunnen we dit resultaat schrijven als:
Deze benadering is slechts geldig voor niet ferromagnetische
materialen.
Er zijn drie klassen materialen: diamagnetische, paramagnetische en ferromagnetische
materialen.
In principe is elk materiaal diamagnetisch. We kunnen dit verklaren aan de hand van een
klassiek model: als de elektronen die rond de atoomkern circuleren blootgesteld worden
aan een magnetisch veld, ondervinden ze een kracht die loodrecht staat op de snelheid.
Deze zal de centripetale kracht vergroten of verkleinen en daardoor ook de snelheid van
het elektron verhogen of verkleinen, met als resultaat een geïnduceerde dipool. Deze
effecten zijn meestal zeer klein, echter bij supergeleiders is
. Dit betekent dat er
geen magnetisch veld is in een supergeleider, en dat dus alle stroom in een supergeleider
vloeit over zijn oppervlak. Dit is echter een kwantummechanisch verschijnsel dat geen
analoge klassieke verklaring heeft.
Bij een paramagnetisch materiaal heeft het atoom een permanente magnetische di-pool
tengevolge van enkele ongepaarde elektronen. Deze kunnen opgelijnd worden door een
extern magnetisch veld om zo een iets groter magnetisch veld te bekomen. Dit effect is
direct afhankelijk van de temperatuur aangezien bij stijgende temperatuur de dipolen de
neiging zullen hebben zich chaotisch te rangschikken. Bij hoge temperaturen; is het
energetische voordeligere aspect van oplijning verwaarloosboor tegenover de kinetische
energie. Zonder vacuüm veld is er geen magnetisch veld tengevolge van de di-polen
aangezien deze willekeurig zijn gerangschikt en dus mekaar opheffen. (Entropie weegt
hier dus op tegen ordening).
In ferromagnetische materialen lijnen de magnetische dipoolmomenten zich spontaan
op. De verklaring hiervoor is puur kwantummechanisch: tengevolge van het
uitsluitingsprincipe van Pauli gaan elektronen met parallele dipoolmomenten zich zo
rangschikken dat de afstand tussen hen maximaal wordt. Dit leidt tot een lagere
energietoestand. Hierdoor zijn bepaalde gebieden in een ferromagnetisch materiaal
opgelijnd. Deze gebieden noemen we Weissgebiedjes.
Door deze speciale toestand gehoorzaamt een ferromagnetisch materiaal niet langer aan
de veronderstelling dat er tussen H & M een lineair verband bestaat. Een
ferromagnetisch materiaal volgt namelijk een hysteresis kromme, en onthoudt dus
bijgevolg zijn vorige toestand zelfs als het vacuüm veld verdwijnt.
Tenslotte is het gedrag van een ferromagnetisch materiaal afhankelijk van de
temperatuur, boven een bepaalde temperatuur, de Curie temperatuur, wordt het
materiaal paramagnetisch.
h. Bespreek elektrische en magnetische Inductieverschijnselen
Een elektrisch veld induceert een nieuwe ladingsverdeling in een materiaal. Het doel van
deze ladingsverdeling is altijd om het externe elektrische veld tegen te werken . De graad
waarin dit lukt wordt beschreven door de di-elektrische constante.
Voor een magnetisch veld in een materiaal zijn er meerdere mogelijkheden. Zo kan het
magnetische veld volledig worden tegengewerkt (Supergeleider), minimaal worden
tegengewerkt( diamagnetisme), minimaal versterkt (paramagnetisme) en sterk versterkt
(ferromagnetisme). In het geval van diamagnetisme induceert het magnetische veld
dipolen die hun oorzaak tegenwerken. Dit volgt onmiddellijk uit een klassiek model van
een atoom.
Het wordt pas zeer interessant als het elektrisch of magnetisch veld verandert in te tijd.
Dat ze dan onlosmakelijk met elkaar zijn verbonden volgt duidelijk uit de wet van
faraday, en die van ampère. Deze maken duidelijk dat veranderende elektrische en
magnetische velden elkaar induceren. Men kan deze verandering dan benaderen met
een Fourrier reeks, die oneindig afleidbaar is. Bijgevolg ontstaat er een
elektromagnetische golf die zich voortplant met de snelheid van licht.
i. Bespreek alle ketens met L (inductantie)
In principe bevat elke elektrische stroomkring een inductantie, namelijk zijn
zelfinductantie. Deze kunnen we normaal gezien verwaarlozen. Er blijven dan nog drie
fundamentele kringen over: L-kring, LC-kring en de RLC-kring. We beschouwen als bron:
1. RL-kring
Deze kring heeft alleen zin als er een veranderend magnetisch veld doorheen de
kring gaat. Dit veld is al dan niet afkomstig van een stroombron.
Als de wet van Faraday wordt toegepast op deze kring krijgen we de volgende
diffrentiaalvergelijking:
.
Deze heeft als oplossing voor gelijkstroom:
.
Voor wisselstroom vinden we een gelijkaardige oplossing:
t
e
 R t 


 L 
V0  L V0 ( cos(  t )  Lsin (  t ) R )

R  2 L 2
R 2 2 L 2
2
De homogene oplossing zal uitsterven. En het uiteindelijke resultaat wordt dan:
2. LC-kring
Deze kring bekijken we zonder bron, de versie met bron zal tersprake komen in
de RLC-kring. Opnieuw maken we gebruik van de wet van Faraday.
.
t
t
_C2 cos

De oplossing hiervan is : _C1 sin 



C
L
C
L




De energie in het circuit wisselt dus van de condensator naar de inductor.
3. RLC-kring
Opnieuw passen we de wet van Faraday toe. Echter nu zijn er twee
mogelijkheden. Ofwel is C²R² -4LC>=0 ofwel is C²R²-4LC<0. Dit is echter
maar van belang bij de homogene oplossing die snel zal uitsterven. De
oplossing is dus:
. Met
Deze laatste volgt uit het idee van het optellen van de phasors van het
inductieve, capacitieve en weerstand stuk van de kring. Afhankelijk van de
verhoudingen van L,C,R kan men de kring inductief,capacitief, of geen van
beide noemen gezien de hoge weerstand. Toepassingen: radio-ontvanger.
j. Bespreek elektromagnetisme
Met de wetten van Maxwell wordt duidelijk dat elektrische en magnetische
verschijnselen met elkaar zijn verbonden. Deze link wordt vooral duidelijk in de afleiding
van elektromagnetische golven. In dit geval wekt het elektrische veld een magnetisch
veld op en omgekeerd.
De vier wetten van Maxwell zijn:
1.
2.
=>
3.
4.
De tweede wet van Maxwell drukt uit dat er geen magnetische monopolen zijn, dit uit
zich dan ook in de vierde vergelijking, hier staat namelijk geen term die een stroom van
magnetische monopolen vertegenwoordigt. Aangezien er wel elektrische monopolen
bestaan (eerste wet) staat er wel een dergelijke term in de 3rde wet van maxwell.
k. Bespreek reflectie van elektromagnetische golven bij di-elektrica
We vertrekken van een elektromagnetische golf die loodrecht op het di-elektricum
invalt.
We definiëren eerst de randvoorwaarden voor het elektrische en magnetische veld:
1. Elektrische veld.
Hierop kunnen we de wet van Faraday toepassen, we gaan evenwel uit dat de
flux niet veranderd in de tijd (we verwaarlozen deze omdat het oppervlak
omsloten door de kromme oneindig klein is). Als kromme nemen we het balkje
op de figuur.
Omdat de hoogte van de balk
infinitesemaal klein is, kunnen we geïnduceerde ladingen verwaarlozen.
zijn de hoeken tussen E en de normaal op het scheidingsvlak.
2. Magnetische veld
Hier maken we gebruik
van de wet van Gauss
voor het magnetische
veld. Als gesloten
oppervlak nemen we de
op de figuur getekende
infinitesemaal kleine
cilinder. Hieruit volgt
dan de volgende
beperkgin voor het
magnetische veld.
Aangezien door de cilindermantel geen
veldlijnen gaan. (Dit boeit niet voor de verdere uitleg…)
Deze figuur is analoog aan de
beperking voor het
elektrische veld. In dit geval
dienen we niet rekening te
houden met de
geïnduceerde ladingen, maar
met de stroom. Omdat de
hoogte van het balkje infinitesemaal klein is, is de omsloten stroom ook
infinitesemaal klein (lees 0).
we zullen eerst de elektrische
en magnetische veldvector als
volgt schrijven in functie van de
tijd, om dan de beperkingen, en
de eis van continuïteit van het
elektrische veld en magnetische
intensiteit in rekening te
breken. (we bedoelen hier
telkens de Imaginaire deel of
het reële deel, afhankelijk van
de bron van de golf).
We eisen nu dat
(parallel met het scheidingsvlak ) continu is. (dit volgt
uit de voorwaarde voor het elektrische veld (E staat nu wel loodrecht op de
voortplantingsrichting, maar aangezien we invallen op een vlak is
(1)
Als we nu hetzelfde toepassen op het magnetische veld krijgen we:
(2)
Als we nu (1) en (2) oplossen en de verhouding nemen tussen de kwadraten van
de transversale en gereflecteerde straal met de invallende straal krijgen we de
energieverhouding tussen beide.
R+T =1
Als we nu niet loodrecht invallen, maar onder een hoek krijgen we de volgende
vergelijkingen :
(3)
Als we nu hetzelfde toepassen op het magnetische veld krijgen we:
(4)
We lossen nu opnieuw (3) & (4) op een analoge manier op. En berekenen de
reflectie R
Indien
dan is de component die loodrecht op het
invalsvlak staat in de gereflecteerde straal nul. Dit betekend dat de golf lineair
gepolariseerd is, het elektrisch veld parallel met het invalsvlak is dus niet meer
aanwezig in de gereflecteerde golf. Deze invalshoek noemt de brewsterhoek.
l. Bespreek energie in een elektromagnetisch veld
De energie in het elektrische veld kunnen we makkelijk afleiden als we gebruik maken
van de energie in een vlakkeplaatcondensator. We denken hierbij de oorzaak van het
elektrische veld gwn weg. Dit geeft
Voor de energie in het magnetische veld gebruiken we de formule voor energie in een
inductor.
Deze energieën zijn cumuleerbaar, aangezien E & B voldoen aan superpositie tov elkaar.
Verder volgt uit deze formule dat de energie in het magnetische veld van een
elektromagnetische golf niet verwaarloosd kan worden.
Mondelinge vragen
a. Bespreek elektrische en magnetische dipool
Een elektrische dipool bestaat uit twee gelijke ladingen die op een bepaalde afstand van
elkaar liggen. Het elektrische dipool moment is gedefinieerd als die lading maal de
afstand.
waarbij L wijst van – naar +. Het elektrische veld van een dipool is dan
gelijk aan :
voor r>>L & r ligt volgens de middelloodlijn tussen de + & - lading.
Als men een elektrische di-pool blootstelt aan een homogeen elektrisch veld wordt er
een moment uitgeoefend op deze di-pool. Dit moment is gelijk aan
Hierbij kan
een potentiële energie gedefinieerd worden. Deze is dan gelijk aan
. Dit betekent
dat indien er een weerstand is tegen de rotatie (bv andere dipolen) de elektrische dipool
zich zal oplijnen. Dit gebeurt in alle materialen.
Een magnetische dipool heeft als definitie
waarbij de richting & zin van A
bepaald worden door de rechterhandregel. Het magnetische veld van een magnetische
dipool is zeer analoog aan die van de elektrische dipool nl:
Waarbij r ligt
volgens de as die loodrecht staat op het oppervlak door de dipool, en die door het
middelpunt van de dipool gaat. Brengt men deze magnetische dipool in een extern
magnetisch veld, dan zal er een moment worden uitgeoefend op deze dipool
kan er opnieuw een potentiële energie gedefinieerd worden
. En
. De dipolen zullen
dus weer proberen optelijnen. Dit gebeurt in alle niet diamagnetische materialen.
Toepassing magnetische dipool (Elektromotor).
b. Hoe kun je het effect v/h magnetisch veld i/e galvanometer en e
gelijkstroommotor verhogen?
Gelijkstroommotor: De grootte van het door de permanente magneet opgewekte veld
verhogen. Het magnetische dipool moment vergroten (
Galvanometer: De veerconstante van de veer die de naald tegenhoudt verlagen. Het
magnetische veld tengevolge van de stroom vergroten door gebruik te maken van een
ferromagnetisch materiaal.
c. Bespreek capaciteit
De capaciteit van een condensator is gedefinieerd als de lading die zich op één van de
platen van de condensator bevind, gedeeld door het voltage over de condensator.
(
. Indien men beschikt over een vlakke plaat condensator waarbij de
afstand tussen de platen veel kleiner is als de oppervlakte van de platen is de capaciteit
gelijk aan
. Indien men echter een di-elektricum plaatst tussen deze platen mag
men
vervangen door
. Hierdoor kan de capaciteit drastisch worden verhoogt
aangezien ferroelektrische materialen di-elektrische constanten tot 20 000 kunnen
hebben.
d. Leg uit: temperatuurscoëfficiënt van een weerstand + alg opl
elektrische kring (Kirchoff)
De elektrische weerstand van een weerstand is afhankelijk van de temperatuur. Indien
de temperatuur van een materiaal verhoogt, zijn de atomen beweeglijker en verhoogd
dus de kans op botsingen. Hierdoor zakt de driftsnelheid, en bijgevolg stijgt de
weerstand.
Als we hiermee rekening houden krijgen we het volgende (we gaan uit van een
gelijkstroom kring).
, R(t) =
. Met alfa de
temperatuurscoëfficiënt, c de warmtecapaciteit, en m de massa van de weerstand.
(hierbij gaan we uit van een adiabatisch proces)
e. Bespreek driftsnelheid (“De driftsnelheid is het gem v/e niet cte
snelheid") + verband J
De driftsnelheid in een materiaal is de netto snelheid waarmee een elektron beweegt
volgens de richting van het elektrische veld. De ogenblikkelijke snelheid van het elektron
is echter veel groter, maar de beweging is veel chaotischer. Verder zijn er ook allerlei
botsingen met atomen die een elektron doen afbuigen. De stroom doorheen een
materiaal kan in verband worden gebracht via de driftsnelheid. De stroom is namelijk
gedefinieerd als de totale lading die per seconde door een bepaalt oppervlak stroomt.
Deze is dan gelijk aan :
met n het aantal elektronen, e de lading van een
elektron, en v de driftsnelheid. De stroomdichtheid (J) is gedefinieerd als deze is dus
gelijk aan
.
f. Bereken het elektrisch veld rond geleider op 2 manieren
Er zijn twee manieren om het elektrische veld te berekenen: de wet van Gauss voor het
elektrische veld, en een volume integraal. Bij deze laatste dient men er rekening mee te
houden dat er zich enkel lading bevindt op het oppervlak van de geleider, en niet in de
geleider zelf (Elektrisch veld in een geleider = 0).
vooral deze laatste
integraal kan moeilijk zijn om uit te werken, waarschijnlijk zal een transformatie naar
sferische of poolcoördinaten noodzakelijk zijn. Tenslotte kan het mogelijk zijn om gebruik
te maken van symmetrie. Dit is meestal de alternatieve manier (zeker op een examen).
g. Bepaal de krachtwerking op een halfcirkelvormige geleider
Lading zit volledig op de oppervlaktes. Ladingsdichtheid gegeven? Extern elektrisch veld
gegeven?
h. Bespreek het netto moment van een stroomvoerend kader
De netto kracht = 0 moment = Iab sin(θ)
i. Leg uit J=n.e.v en Jd=dD/dt (bijvragen: Rot M= Ja, BiotSavart en
Ampere zijn gelijkwaardig)
Zie eerder, D staat niet in huidige cursus,
BiotSavart en
Ampère zijn gelijkwaardig dit is makkelijk aan te tonen door het magnetische veld te
berekenen tengevolge van een rechte stroomdraad.
j. Verklaar de vonk die ontstaat bij het openen en sluiten van een
inductieve kring
Door het plots openen of sluiten van de kring is de verandering van de magnetische flux
zeer groot. Bijgevolg is de geïnduceerde emf ook heel groot, en kan de doorslagspanning
bereikt worden. => vonk.
k. Bespreek de RC (laden en ontladen) en LCR kring
We gebruiken de wet van kirchoff om de volgende differentiaalvergelijking te bekomen:
(particuliere oplossing( Q(t) = C ))
Bij het laden geld steeds dat de helft van de door de bron geleverde energie gedisipeerd
wordt in de weerstand.
Voor het ontladen geldt:
(particuliere oplossing Q(t)=0)
Voor het bespreken van de RLC-kring gebruiken we de wet van Faraday om de
differentiaalvergelijking op te stellen.
De oplossing hiervan is afhankelijk van de grootte van R. Als R een kleine waarde heeft
dan treedt er gedempte oscillatie op. Heeft R een grote waarde dan wordt de oscillatie
volledig gedempt en is de oplossing gelijkaardig aan die van de RC-kring.
voor een bepaalde waarde van R
wordt de oscillatie kritisch gedempt. Bij deze weerstand is ω nul en hieruit volgt dat
. Bij deze waarde van R zal de condensator het snelst ontladen.
Voor opladen van van de RLC-kring gebruiken we opnieuw de wet van Faraday om de
diffrentiaalvergelijking op te stellen:
. Deze heeft als oplossing
met
. De constanten kunnen
bepaald worden aan de hand van de beginvoorwaarden. ( Deze zijn Q & phi).
l. Bespreek de stelling van Poisson (bijvragen: equipot-opp, E = -grad
V en warmtestromen)
Staat niet in de curcus:
De elektrische potentiaal
is een plaatsfunctie, en de gradiënt van de elektrisch. potentiaal = de elektrische
veldsterkte
Die laatste is de vergelijking van Poisson
De Laplace operator div grad =
Een equi potentiaal oppervlak is een oppervlak waarop de potentiaal constant is.
m. Bespreek inductantie (bijvraag: wat is magnetische inductantie?)
De inductantie van een kring is gedefinieerd als de verhouding tussen de magnetische
flux doorheen de kring en de stroom doorheen de kring.
voor een solenoïde is
. L is afhankelijk van de geometrie van de kring, en het aantal wikkelingen.
Verder is er ook nog gemeenschappelijke of Mutual inductance. Dit is de inductantie
tengevolge van een externe kring. De mutual inductance is voor beide kringen dan
hetzelfde.
In een inductor wordt ook energie opgeslagen. Deze kan berekend worden uit de
integraal van LI dI/dt.
n. Bespreek de definitie van de Ampere (bijvraag: anders te bepalen?
>Cirkelvorimige geleiders)
De ampère is gedefinieerd als de stroom waarbij twee evenwijdige geleidende draden
die zich op een meter van elkaar bevinden een kracht van 2.0 π 10-7N op elkaar
uitoefenen. Men zou de ampère ook zo kunnen definiëren als de stroom waarbij het
magnetische veld tengevolge van de stroom op een afstand van één meter van de draad
gelijk is aan het aardmagneetveld (op één bepaalde locatie).
o. Verklaar doorslag in isolatoren (V=R*E) + bespreek rol en
betekenis van P, vergelijk met M
De doorslag in een isolator is het veld waarbij de isolator geleidend wordt. Hierbij wordt
er een doorslagspanning aangelegd over de isolator. Dit betekend dat er een elektron
wordt losgerukt door het elektrische veld, en deze zet een kettingreactie in gang die als
gevolg een stroom heeft. (Te vergelijken met bliksem). Staat niet in de cursus wel in die
van Materiaalkunde.
P = elektrische dipool
M = magnetische dipool per volume-eenheid.
p. Bespreek het principe van een massaspectrograaf
Stel we ioniseren een stof die verschillende isotopen bevat. We geven dus een gekende
deellading aan elk van de atomen. We versnellen deze ionen met behulp van een
elektrisch veld, en buigen ze dan af met behulp van een magnetisch veld. De massa van
het atoom kan dan berekend worden op basis van het resultaat waar de atomen terecht
komen op een plaat.
q. Verklaar: lading i/e geleider zit a/d opp, elektrisch veld loodrecht
op de opp.
Als we de wet van Gauss toepassen op een geleider, en als oppervlak het oppervlak van
de geleider nemen, vinden we het volgende. Het elektrische veld in een geleider moet
altijd 0 zijn, aangezien dat indien dit niet het geval zou zijn de elektronen zich zo zouden
rankschikkend dat dit wel het geval zou zijn. Bijgevolg volgt er uit de wet van Gauss voor
het elektrische veld dat de netto omsloten lading 0 moet zijn, en dus moet alle lading
zich op het oppervlak van de geleider bevinden.
Om te argumenteren dat het elektrische veld loodrecht moet staan op het oppervlak
kunnen we een gelijkaardige redenering volgen. Indien het elektrische veld niet
loodrecht zou staan op het oppervlak is er dus een tangentiële component, die een
herschikking van de elektronen tot gevolg zou hebben tot dat deze 0 is.
r. Verklaar polarisatie
Komt altijd neer op het induceren van dipolen. Bijvoorbeeld in een di-elektricum worden
dipolen geïnduceerd die dan opgelijnd worden. In een materiaal dat aan een magnetisch
veld wordt blootgesteld gebeurt hetzelfde. Dipolen worden opgelijnd of al da niet
geïnduceerd.
Verder is er nog polarisatie van elektromagnetische golven bv met behulp van een
polarisatiefilter.
s. Leg uit: alternator en hoogspanning
Een alternator wekt stroom op met tengevolge van de wet van Faraday. Deze stroom
wordt opgewekt doordat er een ring, al dan niet met meerdere wikkelingen, ronddraait
in een magnetisch veld. De magnetische flux doorheen de ring veranderd dan met de
tijd, en bijgevolg wordt er een stroom geïnduceerd.
Hoogspanning is een noodzaak aangezien de verliezen in de toevoerdraden anders veel
te groot zouden zijn ( P = I²R). Hoogspanning wordt gecreëerd met behulp van een
transformator, deze kan omhoog worden getransformeerd. Bijgevolg stijgt de spanning
en daalt de stroom ( het vermogen P = VI blijft constant gezien behoud van energie.)
t. Verklaar paramagnetisme
Zie bespreking magnetische materialen
u. Bereken het elektrisch veld v/e lange rechte geleider (int(dE) EN
wet v. Gauss) =>zie slides
Gaussoppervlak = cilinder rondom de geleider.
met h de hoogte van de cilinder. Dit geeft dan:
v. Bespreek rot B=µ0*(Jc+Jd) en wet van Faraday-Lenz
De wet van Faraday stelt dat een verandering van magnetische flux doorheen een emf
induceert in de kring. De wet van Lenz stelt dan dat de stroom tengevolge van de emf zal
proberen zijn oorzaak tegen te werken.
waarbij het minteken
duidelijk maakt dat de emf zijn oorzaak wenst tegen te werken. Hierbij ontbreekt een
term die een stroom van magnetische monopolen bevat, aangezien deze volgens de
tweede wet van maxwell (DIV(B) = 0) niet bestaan.
De wet van Ampère-Maxwell:
stelt dat het magnetische veld
geïnduceerd wordt door een stroom van elektrische monopolen, of een veranderlijke
elektrische flux. (waarbij het oppervlak A omsloten wordt door s).
Deze twee wetten samen maken duidelijk dat elektrische en magnetische velden in
elkaar verweven zijn en bijna altijd samen zullen voorkomen (op magneto statica &
elektrostatica na).
Ze voorspellen samen ook het bestaan van elektromagnetische golven die zich
voortplanten met de snelheid van het licht (c =
)
w. Bespreek de hysteresis curve+ link ferromagnetisme(opp
gedissipeerde P, magn hard/zacht)
Bij ferromagnetische materialen is er niet langer een lineair
verband tussen de magnetische intensiteit H en de magnetisatie M. Dit is tengevolge van
de sterke permanente dipolen die elkaar oplijnen. Dit geeft aanleiding tot weiss
gebiedjes. Deze kunnen opgelijnd worden indien men een vacuümveld aanlegt. Dit vergt
echter energie. De energie nodig om alle dipolen om te klappen is evenredig met de
oppervlakte omsloten door de hysteresis curve. Dit geeft aanleg tot het definiëren van
magnetisch harde en zachte materialen: hard = groot opp , zacht = klein opp.
Toepassingen : hard-> permanente magneten, zacht : transformatoren.
x. Bespreek magnetische dipool(bijvraag: veldlijnen aanduiden =>
GEEN pot noch equipot-opp)
Zie vergelijking elektrische magnetische dipool.
Veldlijnen: zie HB
Het is onzinnig op een potentiaalfunctie te definieren, aangezien deze altijd een
constante waarde zou hebben (het magnetische veld kan geen arbeid leveren).
Equipotentiaal oppervlakken zijn dus even grote onzin.
y. Toon aan: periode v/e gedempte trilling bij RLC =
overeenkomstige periode LC
Zie figuur 32-16 P 906.
De homogene oplossing voor RLC is:
In dit geval is de overeenkomstige periode ongeveer gelijk aan die van de LC kring, indien
de weerstand R klein is (
.
z. Verklaar en definieer: Lorentzkracht en Laplacekracht en
magnetische dipool.
De lorentzkracht is de totale kracht uitoefent door een elektrisch en magnetisch veld
(volgt uit het principe dat elektrische en magnetische velden
onafhankelijk van elkaar krachten kunnen leveren).
De laplace kracht is de kracht van een magnetisch veld op een stroom
. Deze wet is een gevolg van de de lorentz kracht (qv = I L)
Magnetische dipool :
speelt analoge rol als zie vergelijking magnetische
elektrische dipool
aa. Interpreteer en bespreek (p*cos(t))/(4*Pi*epsilon*r²)
Dit is de formule voor potentiaal van een elektrische dipool. Omdat het elektrische veld
van een dipool afneemt met r³ zal het potentiaal afnemen met r². Verder zorgt de term
cos(t) ervoor dat het potentiaal afhankelijk is van de hoek tussen en (P691)
bb. Bespreek elektrische weerstand en EMS-klemspanning,
Ohms/niet-Ohms
Elk materiaal, op supergeleiders na, heeft een bepaalde weerstand voor de stroom. Men
kan dit verklaren aan de hand van een klassiek model (darude model), maar zoals we
weten kunnen klassieke modellen niets zeggen over situaties waarin men kwantum
mechanica dient toe te passen.
Als we ervan uitgaan dat een geleider een aantal vrije elektronen heeft, dan is de
versnelling die een elektron ondervind gelijk aan -E*e- constante * v = m*a. Deze
constante = m/ . Waarbij de gemiddelde tijd is tussen twee botsingen. De driftsnelheid
is bereikt wanneer a = 0 => de driftsnelheid = -eE daaruit volgt dan ook de formule voor
de stroomdichtheid, en die van de geleidbaarheid. Waarbij de geleidbaarheid gelijk is aan
J/E.
Er is echter nog een emprische “wet” die toelaat de weerstand te berekenen. Deze is de
wet van Ohm. Deze stelt dat de weerstand R gelijk is aan het quotiënt van de spanning
over de weerstand en de stroom door de weerstand.
Er zijn ook niet Ohmische materialen, vandaar dat de ‘wet’ van Ohm geen wet is. In
principe is elk materiaal niet-Ohmisch. De vraag is hoe nauwgezet ze het omisch gedrag
volgt. Een voorbeeld van een duidelijk niet Ohms materiaal is een di-ode. Bij een di-ode
is de weerstand in één zin zeer klein, en in de andere zin zeer groot.
De klemspanning is de spanning die verloren gaat tengevolge van de interne weerstand
van de bron. Deze wordt groter naar mate de stroom die de bron moet leveren stijgt. Dit
verlies in spanning treedt op in alle reële bronnen. We stellen een bron dus voor als een
ideale bron( = emf) en een weerstand.
cc. Bespreek energiedichtheid in een solenoïde
Als we de energie inhoud van een solenoïde (= inductor berekenen) krijgen we de
volgende integraal:
(met I(0)=0).
Dit geld als en slechts als we
de solenoïde als een ideale solenoïde mogen beschouwen.
dd.
Vergelijk elektrische en magnetische dipool.
Zie bespreek vragen
ee. Vergelijk elektrische en magnetische energiedichtheid
Zie bespreek vragen
ff. Bespreek wet van Gauss voor elektro- en magnetostatica
Zie bespreek vragen.
gg. Bespreek ferromagnetisme (Weissgebieden, hysteresiscure
,toepassingen)
Zie bespreek magnetische materialen.
hh.
Bespreek Hall-effect
Het hall-effect is een gevolg van
Daardoor zal er een spanningsverschil
ontstaan over een plaat onderhevig aan een magnetisch veld, waardoor een stroom
vloeit. Dit effect bewees dat het elektronen zijn die bewegen als er een stroom door een
geleider vloeit (plaats hoge/ lage potentiaal). Het voltage over de plaat zal gelijk zijn aan:
Het hall-effect maakt het ook mogelijk om een stroom te meten zonder
een ampère-meter in een kring te schakelen. En wordt ook gebruikt in toetsenborden
(onder elke toets zit een klein magneetje).
ii. Bereken elektrisch veld van oneindige plaat met constante
ladingsdichtheid
Bereken magnetisch dipoolmoment a.d.h.v. loop in magnetisch
veld
a. Strategie: we maken gebruik van de wet van Gauss en kiezen als gesloten
oppervlak een kubus die door het oppervlak van van de plaat gaat. Dit geeft dan
het volgende:
( de twee is afkomstig van het
bovenvlak en ondervlak van de kubus, de flux door de andere oppervlakken is
nul).
b. Strategie: we maken in dit geval gebruik van de boit-savart wet. We delen de ring
op in infinitesemale stukjes die dan elk hun contributie dB geven. Omwille van
symmetrie zal dB in dit geval staan loodrecht op het door de stroom omsloten
oppervlak.
Hierbij hebben we gebruik gemaakt van
de volgende identiteiten:
jj. Bespreek geleidbaarheid
Onder geleidbaarheid, is het inverse van de resistiviteit (
. Onder resistiviteit
verstaan we het vermogen van een materiaal om de elektrische stroom te hinderen. De
resistiviteit is gedefinieerd als de verhouding van het elektrische veld en de
stroomdichtheid. (
Met behulp van deze definitie kan een alternatieve versie van de wet van Ohm afgeleid
worden, die alleen goniometrische aspecten in rekening brengt (buiten de
geleidbaarheid dit is een materiaal parameter).
Gebruik makend van de volgende identiteiten vinden we.
De geleidbaarheid, en dus ook de resistiviteit is afhankelijk van de temperatuur (we
benaderen deze afhankelijk lineair). Voor sommige materialen (bv koper) is deze
afhankelijkheid relatief groot (>0). Er zijn ook materialen met een negatieve
temperatuursafhankelijkheid. Dit zijn de halfgeleiders.
Zoals reeds besproken in een bespreek vraag, worden halfgeleiders beter geleidend bij
hogere temperatuur omdat er dan makkelijker elektronen geëxciteerd worden. Echter
zal vanaf een bepaalde temperatuur ook hier de temperatuurscoëfficiënt positief
worden.