Vectoren en krachten (deel voor oefeningenles 1)

Vectoren en krachten
(deel voor oefeningenles 1)
Opgeloste Vraagstukken
1.1.
Maak in een vlak de som van een kracht van 120N onder een hoek van 30° en een kracht van -100N
onder een hoek van 90° met behulp van de methode van het parallellogram.
OPLOSSING
Maak een schets van het vraagstuk, liefst op schaal. Het minteken duidt erop dat de kracht van 100N
ageert volgens de 90° lijn naar beneden. Dit is equivalent met een positieve 100N kracht langs de 270°
lijn.
Zoals in Fig. 1-10(b) plaatsen we vervolgens het begin van de twee vectoren in een
gemeenschappelijk punt en tekenen we de vectoren in een gepaste schaal. We vervolledigen het
parallellogram. De resulterende R meet volgens de gekozen schaal 111N. Met een gradenboog ziet men
dat de hoek met de x-as θx = 339°.
Fig. 1-10
VECTOREN EN KRACHTEN
[HFST. 1
Beschouw de driehoek waarvan een zijde de y-as is zoals in Fig. 1-10(b). De zijden van de driehoek zijn
R, 100 en 200. De hoek tussen de zijden van 100 en 120 is 60°. Door de cosinuswet,
R2 = 1202 + 1002 + 2(120)(100)cos60° en dus is R = 111N
Door de sinuswet volgt:
120
111
=
en dus is α = 69°.
sin α sin 60
De hoek van 69° gevoegde bij de 270° geeft de gemeten hoek van 339°.
1.2.
Tel in Vraagstuk 1.1 de vectoren op zonder de regel van het parallellogram. Zie figuur 1-11.
OPLOSSING
Het doet er niet toe welke vector eerst gekozen wordt. Neem de 120N kracht. Aan het einde van deze
vector hechten we het begin van de 100N kracht. Teken de resultante van het begin van de 120N kracht
naar het einde van de 100N kracht. Wanneer op de gekozen schaal de lengte wordt gemeten en de hoek
wordt afgepast, is het resultaat hetzelfde als in Vraagstuk 1.1.
Fig. 1-11
Fig. 1-12
1.3. De resultante van twee krachten in een vlak is 400N onder een hoek van 120°. Een van de krachten is
200N onder een hoek van 20°. Bepaal de andere kracht. Zie figuur 1-12.
OPLOSSING
Selecteer een punt vanwaar de resultante en de gegeven kracht in een gepaste schaal kunnen worden
voorgesteld.
Teken de lijn die de eindpunten van de gegeven kracht en de resultante verbindt. Plaats een pijl op het
einde van deze lijn nabij de resultante. Deze lijn stelt de ontbrekende kracht voor. Wanneer ze afgemeten
wordt in de schaal, blijkt de gevraagde kracht 477N te zijn, onder een hoek van θx = 144°.
Dit resultaat kan ook analytisch verkregen worden door driehoeksmeetkunde. De hoek tussen R en de
200N kracht is 100°, en dus, door de cosinuswet, heeft de onbekende kracht F een grootte van:
F2 = 4002 + 2002 - 2(400)(200) cos(100°) en dus is F = 477 N.
Noem nu de hoek tussen F en de 200N kracht α. Volgens de sinuswet geldt er dan:
477
400
en dus is α = 55,7° en θx = 144°.
=
sin 100 sin α
1.4.
Bepaal, in het vlak, het verschil van 280N, 320° min 130N, 60°. Zie figuur 1-13.
OPLOSSING
Tel bij de 280N, 320° kracht de negatieve kracht op van 130N, 60°, zodat een resultante van 330N,
297° wordt verkregen. Alle hoeken worden gemeten met respect tot de x-as.
HFST. 1]
VECTOREN EN KRACHTEN
Fig. 1-13
1.5. Bepaal de resultante van het volgende coplanaire systeem van krachten: 26N, 10°; 39N, 114°; 63N, 183°;
57N, 261°. Zie figuur 1-14.
OPLOSSING
Door toepassing van de veelvlakmethode wordt het begin van elke vector aan het einde van elke
vorige vector geplaatst. Zie figuur 1-14(a).
De resulterende vector is de kracht getekend van het begin van de eerste vector naar het einde van
de laatste vector.
Gemeten op de schaal, is R = 65N met θx = 197°.
Het vraagstuk kan ook analytisch worden opgelost door berekening van de rechthoekige
coördinaten. Los elke kracht op in Fig. 1-14(b) naar rechthoekige x en y componenten. Vermits alle x
componenten collineair zijn, kunnen ze algebraïsch worden opgeteld, net zoals de y componenten. Als nu
de x componenten en y componenten worden opgeteld, dan vormen de twee sommen de x en y
componenten van de resultante. Dus:
Rx = 26 cos10° + 39 cos 114° + 63 cos 183° + 57 cos 261° = -62,1
Ry = 26 sin10° + 39 sin 114° + 63 sin 183° + 57 sin 261° = -19,5
R = √((-62,1)2 +(-19,5)2) zodat R = 65N
tan θx = -19,5/(-62,1) zodat θx = 17° en θ = 180° + 17° = 197°.
Fig. 1-14
VECTOREN EN KRACHTEN
[HFST. 1
1.6. In Fig. 1-15 is de rechthoekige component van de kracht F gelijk aan 10N in de richting van OH. De
kracht F ageert onder een hoek van 60° met de positieve x-as. Wat is de grootte van de kracht?
OPLOSSING
De component van F in de richting van OH is F cos θ. Dus, F cos 15° = 10 of F = 10,35N.
Fig. 1-15
Fig. 1-16
1.7. Een persoon van 80 kg staat op een helling die een vlak van 20° maakt met de horizontale. Wat is de
zwaartekrachtcomponent (a) normaal aan de helling en (b) evenwijdig aan de helling? Zie Fig. 1-16.
OPLOSSING
(a) De normaalcomponent vormt een hoek van 20° met de zwaartekrachtvector, die een grootte heeft van
80×9,8 = 784 N. Op de schaal van de tekening, schijnt de normale component 740N. Met
driehoeksmeetkunde is de normaalcomponent 784 cos 20° = 737 N.
(b) Op de schaal van de tekening schijnt de evenwijdige component 270N. Door driehoeksmeetkunde, is
het 784 cos 70° = 268N.
1.8.
Een kracht P van 235N ageert onder een hoek van 60° met de horizontale op een blok dat op een helling
van 22° rust. Bepaal algebraïsch (a) de horizontale en verticale componenten van P en (b) de
componenten van P loodrecht op en langsheen het vlak. Zie Fig. 1-17(a).
OPLOSSING
(a) De horizontale componente Ph wordt uitgeoefend aan de linkerkant en is gelijk aan 235 cos 60° =
118N. De verticale componente Pv wordt uitgeoefend naar boven en is gelijk aan 235 sin 60° = 204N
zoals aangetoond in Fig. 1-17(b).
(b) De component P// evenwijdig met het vlak is 235 cos (60° - 22°) = 185 N en ageert op het vlak. De
component P⊥ normaal aan het vlak is 235 sin 38° = 145 N zoals aangetoond in Fig. 1-17(c).
Fig. 1-17
HFST. 1]
1.9.
VECTOREN EN KRACHTEN
Drie krachten zoals getoond in Fig. 1-18 geven een resultante van 20N naar boven gericht volgens de
richting van de y-as. Bepaal de groottes van F en P.
OPLOSSING
Als de resultante een kracht is van 20N naar boven gericht volgens de richting van de y-as, dan is
Rx = 0 and Ry = 20N. Als de som van de x-componenten gelijk moet zijn aan de x componente van de
resultante Rx = Pcos 30° - 90cos 40° = 0, dan volgt dat P = 79,6N. Op de zelfde wijze, als Ry = Psin 30° +
90sin 40° = 0, dan is F = 77,7N.
Fig. 1-18
Fig. 1-19
1.10. We verwijzen naar Fig. 1-19. De x, y en z ribben van een rechthoekig parallellepipedum zijn 4, 3 en 2 m
respectievelijk. Als de diagonaal OP getekend vanuit de oorsprong een 50N kracht voorstelt, bepaal dan
de componenten x, y en z van de kracht. Bepaal de kracht als een vector uitgedrukt in termen van de
eenheidsvectoren i, j en k.
OPLOSSING
Stel dat θx, θy, θz respectievelijk de hoeken voorstellen tussen de diagonalen OP en de x, y, z assen.
Dan is
Px = P cos θx Py = P cos θy Pz = P cos θz.
4 2 + 32 + 2 2 = 5,38m. Dus:
cos θx = 4/5,38 , cos θx = 3/5,38 , cos θx = 2/5,38.
Vermits elke component in de tekening in de positieve richting is van de as waarlangs ze ageert, is
Px = 50 cos θx = 37,2N Py = 50 cos θy = 27,9N Pz = 50 cos θz = 18,6N.
De vector P = Px i + Py j + Pz k = 37,2 i + 27,9 j + 18,6 k N.
De lengte OP =
1.11. Bepaal de x, y en z componenten van een 100N kracht gaande van de oorsprong tot een punt (2, -4, 1).
Druk de vector uit in termen van de eenheidsvectoren i, j en k.
OPLOSSING
De richtingscosinussen van de krachtenlijn zijn
2
cos θx =
= 0,437 , cos θy = -4/√21 , cos θz = 0,281.
2
2 + (−4) 2 + 12
Dus is Px = 43,7N, Py = -87,3N, Pz =21,8N; en de vector P = 43,7 i - 87,3 j + 21,8 k N.
VECTOREN EN KRACHTEN
[HFST. 1
1.12. NIET
1.13. Een kracht van F = 2,63i + 4,28j - 5,92k N ageert doorheen de oorsprong. Wat is de grootte van deze
kracht en welke hoek maakt ze met de x-, y- en z-assen?
OPLOSSING
Er geldt:
F=
2.632 + 4.282 + (−5.92) 2 = 7,75N
2.63
, θx = 70,2°
7.75
4.28
cos θy = +
, θx = 56,3°
7.75
5.92
cos θz = +
, θx = 139,8°
7.75
cos θx = +
1.14. VOOR OEFENINGENLES 2
1.15. VOOR OEFENINGENLES 2
1.16. VOOR OEFENINGENLES 2
1.17. VOOR OEFENINGENLES 2
HFST. 1]
VECTOREN EN KRACHTEN
Aanvullende vraagstukken.
1.20. Bepaal de resultante van de coplanaire krachten 100N, 0° en 200N, 90°.
Ant.
224N, θx = 64°.
1.21. Bepaal de resultante van de coplanaire krachten 32N, 20° en 64N, 190°.
Ant.
33,0N, θx = 180°.
1.22. Bepaal de resultante van de coplanaire krachten 80N, -30° en 60N, 60°.
Ant.
100N, θx = 6,87°.
1.23. Bepaal de resultante van de concurrente coplanaire krachten 120N, 78° en 70N, 293°.
Ant. 74,7N, θx = 45,2°.
1.24. De resultante van twee coplanaire krachten is 18N bij 30°. Als een van de krachten 28N bij 0° is, bepaal
dan de andere.
Ant. 15,3N, 144°.
1.25. De resultante van twee coplanaire krachten is 36N bij 45°. Als een van de krachten 240N bij 0° is, bepaal
dan de andere.
Ant. 25,5N, 87°.
1.26. De resultante van twee coplanaire krachten is 50N bij 143°. Als een van de krachten 120N bij 238° is,
bepaal dan de andere.
Ant. 134N, θx = 79,6°.
1.27. De resultante van twee krachten, een in de positieve x-richting en de andere in de positieve y-richting, is
100N bij 50° in tegenwijzerzin vanaf de positieve x-richting. Wat zijn de twee krachten? Ant. Rx =
64,3N, Ry = 76,6N.
1.28. Een kracht van 120N heeft een component van 84N langsheen een rechte die een hoek maakt van 20° in
tegenwijzerzin vanaf de positieve x-richting. Welke hoek maakt de 120N kracht zelf met de positieve xrichting?
Ant. 65,6°.
1.29. Bepaal de resultante van de volgende coplanaire krachten: 6N, 38°; 12N, 73°; 18N, 67°; 24N, 131°. Ant.
50,0N, θx = 91°.
1.30. Bepaal de resultante van de volgende coplanaire krachten: 20N, 0°; 20N, 30°; 20N, 60°; 20N, 90°; 20N,
120°; 20N, 150°.
Ant. 77,2N, θx = 75°.
1.31. Bepaal de resultante van de volgende coplanaire krachten: 120N, 30°; 200N, 110°; 340N, 180°; 170N,
240°; 80N, 300°.
Ant. 351N, θx = 175°.
1.32. Bepaal de resultante van de volgende coplanaire krachten: 150N, 78°; 320N, 143°; 485N, 249°; 98N, 305°;
251N, 84°. Ant. 321N, θx = 171°.
1.33. Een slede wordt getrokken door een kracht van 25N uitgeoefend in een touw onder een hoek van 30° met
de horizontale. Hoeveel bedraagt de effectieve componente van de kracht die de slede trekt? Hoeveel is
de componente die de slede verticaal naar omhoog trekt?
Ant. Ph = 21,71N, Pv = 12,5N.
1.34. Bepaal de resultante van de volgende coplanaire krachten: 15N, 30°; 55N, 80°; 90N, 210°; 130N, 260°;
251N, 84°. Ant. 136N, θx = 235°.
1.35. Een wagen rijdt aan een constante snelheid in een tunnel, met een helling van 1 percent. Als de wagen en
de passagier samen 3100N wegen, wat is dan de trekkracht die de motor moet leveren, alleen maar om de
componente van de zwaartekracht te overwinnen langsheen het vlak van de tunnel? Ant. 31N.
VECTOREN EN KRACHTEN
[HFST. 1
1.36. Een telefoonpaal wordt recht gehouden door een kabel die een kracht van 200N uitoefent op de top van de
paal. Als de hoek tussen de draad en de paal 50° is, wat zijn dan de horizontale en de verticale
componenten van de trekkracht op de paal?
Ant. Ph = 153N, Pv = 129N.
1.37. Een boot wordt door een kanaal getrokken door een horizontale kabel die een hoek van 10° maakt met de
oever. Als de trekkracht in de kabel 200N is, bepaal dan de kracht die de boot ertoe brengt zich langsheen
het kanaal te bewegen?
Ant. 197N.
1.38. Bepaal de kracht van 200N die begint in een punt (2, 5, -3) en gaat door het punt (-3, 2, 1) in termen van
eenheidsvectoren i, j, en k. Ant. F = -141i - 84,9j + 113k N.
1.39. Bepaal de resultante van de volgende drie krachten F1 = 2,0i + 3,3j – 2,6k N, F2 = -i + 5,2j – 2,9k N, F3 =
8,3i – 6,6j + 5,8k N, die concurrent zijn in het punt (2, 2, -5). Ant. R = 9,3i + 1,9j + 0,3k N in (2, 2, 5).
1.40. De lier die in Fig. 1-20 getoond wordt kan vrij langs de dragende kabel glijden. Als de lier een kracht van
160N draagt, wat is dan de spanning in de kabel. Ant. T = 234N.
Fig. 1-20
Fig. 1-21.
1.41. Twee kabels dragen een gewicht van 500N zoals getoond in Fig. 1-21. Bepaal de spanning in elke kabel.
Ant. TAB = 433N, TBC = 250N.
1.42. Welke horizontale kracht P moet voorzien worden om een gewicht W van 10N te dragen in een positie
zoals getoond in Fig. 1-22. Ant. P = 3,25N.
Fig. 1-22
Fig. 1-23.
1.43. Een geladen deeltje is in rust onder de actie van drie andere geladen deeltjes. De krachten uitgeoefend door
twee van de deeltjes worden getoond in Fig. 1-23. Bepaal de grootte en de richting van de derde kracht
Ant. F = 14,7N, θx = 76,8°.
HFST. 1]
VECTOREN EN KRACHTEN
1.44. Bepaal de resultante van de coplanaire krachten 200N, 0° en 400N, 90°.
Ant. Vermits elke kracht in Vraagstuk 1.20 werd vermenigvuldigd met de scalair 2, is de grootte van de
resultante in dit vraagstuk ook het dubbel van dat in Vraagstuk 1.20. De hoek is dezelfde.
1.45. Welke vector moet opgeteld worden bij de vector F = 30N, 60° om de nulvector op te leveren?
Ant. 30N, θx = 240°.
1.46. Op een ogenblik t = 2 s, heeft een punt dat beweegt op een kromme de coördinaten (3, -5, 2). Op een
ogenblik t = 3 s zijn de coördinaten van een punt (1, -2, 0). Wat is de verandering in de positievector?
Ant. ∆r = -2i + 3j - 2k.
1.47. VOOR OEFENINGENLES 2
1.48. VOOR OEFENINGENLES 2
1.49. VOOR OEFENINGENLES 2
1.50. VOOR OEFENINGENLES 2
1.51. NIET
1.52. NIET
1.53. NIET
1.54. VOOR OEFENINGENLES 2
1.55. VOOR OEFENINGENLES 2
1.56. VOOR OEFENINGENLES 2
1.57. VOOR OEFENINGENLES 2
1.58. VOOR OEFENINGENLES 2
1.59. VOOR OEFENINGENLES 2
1.60. Druk de vectoren gegeven in Fig. 1-24 uit in i, j, en k notatie.
Ant. (a) P = - 223i + 306j - 129k; (b) Q = + 75i + 50j – 43,3k; (c) S = + 144i + 129j + 52,4k
Fig. 1-24