Samenstellen van krachten

Samenstellen van krachten
I - Voorbereiding
Nota: in de tekst worden vectoriële grootheden soms voorgesteld door vetgedrukte symbolen zonder
vectorstreepje.
Krachten vormen een voorbeeld van een verzameling vectoren waarbij de som van deze vectoren een
belang heeft (in de wet van Newton of voor de translatie van het massacentrum) en waarbij ook de
som van de momenten van deze vectoren t.o.v. een bepaald punt of een as een belang heeft (voor de
rotatiebeweging)
Men kan zich hierbij de vraag stellen of men bij het berekenen van de som van de momenten van de
vectoren t.o.v. een bepaald punt, gebruik kan maken van het resultaat van een eventuele berekening
t.o.v. een ander punt. Het antwoord hierop is positief en wordt gegeven door de formule voor de
verplaatsingsformule : het moment t.o.v. het nieuwe punt is het moment t.o.v. het oude punt
vermeerderd met het moment van de som van alle krachten, geplaatst in het oude punt, t.o.v. het
nieuwe punt.
r
r
r
r
r
r
R = ΣFi
Zij
µ 1 = ΣM p1 Fi
µ 2 = ΣM p 2 Fi
r
r
→
r
dan : µ 2 = µ 1 + P2 P 1 x R (zie figuur).
→
r
r
r
r
r
Indien P1 de oorsprong is, wordt P2 P 1 =−r2 en wordt het moment: µ 2 = µ 1 −r2 xR
Gevolg : bij een koppel is het moment onafhankelijk van het berekenings- of herleidingspunt.
Vroeger zei men : "Het moment is een vrije vector". Hiermede bedoelde men dat men een
momentvector mag 'verplaatsen' zonder dat men hiervoor een correctie moet invoeren. Omgekeerd
kan men elk gegeven moment beschouwen als veroorzaakt door een koppel van krachten. Men moet
echter leren krachten en momenten als grootheden met een eigen bestaansreden te beschouwen, net
zoals snelheid- en impulsvectoren afzonderlijk grootheden zijn, of snelheid en kinetische energie. Of :
er is een ruimte van krachten en een ruimte van momenten. Een koppel is een fysische opstelling van
krachten die men volledig kan beschrijven met een wiskundig model dat alleen bestaat uit 1
momentvector in de ruimte van de momenten (geen positie- en geen krachtvector nodig). Dit
betekent ook dat we verder kunnen vertrekken vanuit een configuratie bestaande uit een
verzameling krachten {Fi} en en een verzameling momenten {µi}.
.
II - De equivalentie-relatie
Voor verzamelingen van krachten en momenten definiëren we nu de volgende equivalentie:
twee systemen zijn equivalent als de som van alle krachten in beide systemen dezelfde is en als
de som van de momenten van alle krachten (en gegeven koppels) t.o.v. elk punt van de ruimte
dezelfde is.
Deze niet erg praktische definitie kan gelukkig gemakkelijk herleid worden tot een gelijkwaardige
definitie :
twee systemen zijn equivalent als de som van alle krachten in beide systemen dezelfde is en de
som van de momenten van alle krachten (en gegeven koppels) t.o.v. één punt dezelfde is.
De meest eenvoudige toepassing van deze equivalentie-relatie vindt men in het verschuiven van een
kracht over zijn drager. Hierbij blijft de som van beide systemen duidelijk dezelfde en ook het
moment t.o.v. een willekeurig punt.
Wanneer men deze equivalentie-relatie meerdere keren na elkaar toepast, dan blijkt dat de som van de
krachten na de eerste toepassing kan voorgesteld worden door één kracht, de resultante R. Deze
verandert verder niet meer. Alleen het moment verandert nog bij verandering van het herleidingspunt.
Op basis van de verplaatsingsformule zal dat nieuwe moment echter op een zeer eenvoudige manier
kunnen berekend worden uit het vorige.
Voor de eenvoud beginnen we met een equivalent systeem op te bouwen in deoorsprong. Daarna
zullen we dit verplaatsen naar een willekeurig punt P. Het systeem in P is natuurlijk nog altijd
equivalent met het oorspronkelijke systeem. We kunnen dit als volgt voorstellen :
gegeven systeem :
r
{Fi }
r
{µ i }
r
in oorsprong :
in punt P met positievector rp :
r
R
r
r
r r
µ p = µ 0 − rp x R
r
r
R = ∑Fi
r
r
r
µ 0 = Σµ i + ΣM 0 Fi
(1)
III - Speciale gevallen
Men kan zich nu de vraag stellen of er een punt P is waarin zich speciale gevallen voordoen bij deze
herleiding. Deze speciale gevallen zijn gemakkelijk te formuleren :
r
1- herleiding tot een moment zonder resultante R =0, µp≠ 0. Het eenvoudigste geval hiervan is een
koppel. De situatie kan echter ook voorkomen met meer dan twee vectoren nl. telkens als de
krachtvectoren een gesloten veelhoek vormen. Het is een alles-of-niets geval: ofwel is dit zo, ofwel
is het niet zo en dan helpt geen overgaan naar een ander punt.
2- herleiding tot een resultante zonder moment (of µp= 0). Dit noemt men ook wel : herleiding tot een
zuivere resultante.
3- alleen het moment zal veranderen bij verandering van het herleidingspunt. Als vorige gevallen niet
mogelijk zijn, dan kan men vragen naar een punt waar de momentvector minimaal is. Dit blijkt het
punt te zijn waar de momentvector evenwijdig is met de resultante of de situatie van de schroefas.
Men kan dit ook bekijken als een herleiding tot de twee basiselementen van het systeem die nooit
veranderen, nl. resultante en component van het moment evenwijdig aan de resultante.
Beschouwen we nu de laatste twee speciale gevallen wat meer in detail.
2
1 - Herleiding tot een zuivere resultante.
a) Dit is duidelijk mogelijk bij krachten waarvan alle dragers door één punt gaan (samenlopende
krachten). Neemt men dit punt als herleidingspunt dan heeft geen enkele kracht een moment t.o.v. dat
punt en krijgt men dus alleen een resultante.
b) Meer algemeen wordt dit speciale punt, na herleiding van het systeem in de oorsprong, bepaald door
µp= 0 of uit (1):
r
r
r
µ 0 = rp x R
→
met rp als onbekende.
Opdat deze vectoriële vergelijking een oplossing zou hebben, moet µ0 loodrecht staan op rp en R.
Daar rp nog moet bepaald worden, is dit in feite alleen een eis voor de resultante R. Het blijkt dus dat
elk systeem waarbij men, bij een herleiding in een willekeurig punt, een resultante en een moment
vindt die loodrecht op elkaar staan, herleidbaar is tot een zuivere resultante. Deze voorwaarde is zeker
vervuld door :
- alle vlakke krachtensystemen. Hierbij herleidt de bovenstaande vergelijking zich tot:
µ0z = xY - yX
met (x,y) coördinaten van rp en (X,Y) coördinaten van R.
- alle evenwijdige krachtensystemen, zowel in twee als in drie dimensies.
Het aangrijpingspunt van de zuivere resultante is dan gegeven door :
r
Σ Fi ri
r
rR =
met Fi : projecties (met teken!) op de gemeenschappelijke richting.
Σ Fi
2 - Herleiding tot een minimaal moment: de schroefas
De correctieterm die optreedt in (1) bij verandering van herleidingspunt, is een momentvector die
loodrecht staat op de resultante. Of m.a.w. de component van het moment loodrecht op de resultante
kan men wegwerken door een goede keuze van het herleidingspunt (cfr. 1) maar nooit de component
evenwijdig aan de resultante. Of: niet alleen de resultante, maar ook de component van het moment
evenwijdig aan de resultante, verandert niet bij verandering van het herleidingspunt. Wanneer het
systeem niet te herleiden is tot een zuivere resultante, dan bekomt men een systeem met een minimale
momentvector als alleen de component evenwijdig aan de resultante overblijft. Deze situatie noemt
men ook wel de schroefas van het systeem. Wanneer deze schroefas door het massacentrum gaat en
evenwijdig is aan een hoofdtraagheidsas (wordt in 2e kan uitgelegd), dan zal het systeem een
schroefbeweging uitvoeren.
r
r
De drager van de schroefas vindt men door in (1) µ p = k R te stellen :
r r
r r
k R = µ 0 − rp x R
r
met rp en k als onbekenden
Dit levert een stelsel van 3 vergelijkingen in 4 onbekenden. Men moet echter niet alle onbekende
bepalen:
r
r
1. eerst k bepalen → µ p = k R
2. dan k invullen en 2 vergelijkingen → vergelijkingen van de drager van R en µp als snijlijn van
2 vlakken (hierin mogen dus x, y en z als onbekenden blijven voorkomen).
In sommige speciale gevallen kan een andere volgorde natuurlijk meer aangewezen zijn.
H. Christiaen
1988/ 1995/1998/1999/2001
3