Opgave 3a - de Wageningse Methode

VRAAG EN ANTWOORD
Opdracht
Speel het volgende spel, samen met een klasgenoot.
Je klasgenoot bedenkt een (positief geheel) getal onder de honderd. Jij gaat uitvinden welk dat getal dat
is. Dat doe je door hem ja/nee-vragen stellen; dat zijn vragen die je alleen maar met ja of nee kunt
beantwoorden. Bijvoorbeeld: Is het getal een drievoud?, maar niet Hoeveel cijfers heeft het getal?
Probeer in zo weinig mogelijk vragen het getal te weten te komen?
Hoeveel vragen heb je nodig bij een getal onder de duizend? En onder de miljoen?
Toelichting voor de docent
Bij welk hoofdstuk?
Deze lessuggestie hoort bij het hoofdstuk Machten. Hij kan op elk moment tijdens het hoofdstuk worden
ingezet.
Verwante onderwerpen zijn talstelsels (i.v.m. binaire schrijfwijze van getallen) en informatietheorie
(entropie) en deze lessuggestie heeft ook een relatie met kanstheorie.
Welke vragen zijn geschikt?
Je zou allerlei vragen kunnen stellen, zoals Is het een priemgetal? of Is het een kwadraat?
Meer systematisch is het type vraag: Is het getal kleiner dan …? , die we hieronder afkorten tot:
getal < …? Met zo’n vraag wil je steeds het interval waar het te vinden getal in zit halveren. Als je na een
aantal vragen weet dat het te vinden getal tussen a en b ligt, vraag dan: is het getal kleiner dan (a+b)/2,
eventueel afgerond op een geheel getal.
Zodoende weet je het getal na zeven vragen.
Ook heb je slechts zeven vragen nodig als het te vinden getal uit 1 t/m 128 komt. Als volgt:
Eerste vraag: getal < 65?
Tweede vraag: getal < 33? of getal < 97?, afhankelijk van het antwoord op de eerste vraag.
Derde vraag: getal < 17? of getal < 49? of getal < 81? of getal < 113?, afhankelijk van het antwoord op de
tweede vraag.
enz.
N.B. Je kunt natuurlijk ook gokken en bijvoorbeeld beginnen met de vraag: getal < 10? Als het antwoord
dan ja is, schiet je flink op. Maar als het antwoord nee is (en dat heeft veel meer kans), ben je weinig
opgeschoten. Gezocht wordt een serie vragen die garandeert dat het getal gevonden wordt. En het
aantal vragen in die serie wil je zo klein mogelijk hebben.
Als het getal onder de duizend is, heb je tien vragen nodig, want 2 10 = 1024 > 1000.
Als het getal onder de miljoen is, heb je twintig vragen nodig, want 2 20 = 1048576 > 1.000.000.
Als het getal onder de N+1 zit, dus 1 t/m N kan zijn, is het benodigde aantal
vragen [2logN], waarbij [..] naar boven afrondt op een geheel getal.
Variant: Waar zit de duivel?
Je kunt dit spel op de computer spelen met
Applet 11.7-Duivel.
Ergens in het rechthoekig speelveld van 40 bij
40 hokjes zit een duiveltje verborgen. Hij zit in
een van de hokjes. Je moet in zo weinig mogelijk zetten de duivel zien te vinden. In het
begin zijn alle hokjes nog gekleurd. In een zet
selecteer je een deel rechthoek. De computer
geeft aan of de duivel binnen die rechthoek zit
of daarbuiten. Bij elke zet wordt het gekleurde
gebied dus kleiner. Als je het hokje waar de
Buiten het boekje bij Machten
1
duivel zich ophoudt hebt gevonden, komt hij
tevoorschijn.
a Zoek de duivel in de applet.
b Verzin een zoeksysteem dat je in zo weinig mogelijk zetten garandeert dat je de duivel
gevonden hebt. Schrijf op hoe je daarbij systematisch te werk gaat. Hoeveel zetten heb je
hoogstens nodig?
c Hoeveel zetten zou je nodig hebben bij een speelveld van 80 bij 80 hokjes?
d Wat zijn de afmetingen van het kleinste vierkante speelveld, waarbij je twintig zetten nodig
hebt, om de duivel met zekerheid te vinden?
Verband met binaire schrijfwijze van getallen
Voorbeeld: het te vinden getal is 73.
Omdat 26  73  27 , telt de binaire schrijfwijze zeven 0’en of 1’en: 73dec = 1001001bin.
eerste vraag: getal  64? Antwoord ja, dus voorste cijfer is 1
tweede vraag: getal  96? Antwoord nee, dus tweede cijfer is 0
derde vraag: getal  80? Antwoord nee, dus derde cijfer is 0
vierde vraag: getal  72? Antwoord ja, dus vierde cijfer is 1
vijfde vraag:
getal  76? Antwoord nee, dus vijfde cijfer is 0
zesde vraag: getal  74? Antwoord nee, dus zesde cijfer is 0
zevende vraag: getal  73? Antwoord ja, dus zevende cijfer is 1
Je weet nu dat het getal is: 1001001bin = 1 · 26 + 0 · 25 + 0 · 24 + 1 · 23 + 0 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 = 73dec .
0
127
0
64
95
79
72
75
73
Deze lessuggestie kan prima dienen als introductie van talstelsels. Zie ook de lessuggestie MAGISCHE
KAARTEN.
Buiten het boekje bij Machten
2