pws havo ond _wiskunde a_ 2015

WA
01.
GETALLEN EN GETALTHEORIE
Getallen hebben voor mensen de hele geschiedenis iets geheimzinnigs, iets
mystieks gehad. Zeer bekend is de betekenis van het getal 13, in sommige
culturen de brenger van ongeluk.
Zijn er meer van dit soort getallen?
Ook wiskundigen zijn niet helemaal vrij van mystiek. Vaak benoemen zij
getallen met een emotie als deze aan bepaalde eigenaardige rekenregels
voldoen. Voor getallen die daar niet aan voldoen geldt die emotie dan niet.
Zo kennen we in de wiskunde “gelukkige getallen”.
Rekenregel gelukkige getallen
De rekenregel achter gelukkige getallen luidt als volgt: Splits het getal in
de cijfers waaruit het is opgebouwd (de eenheden, de tientallen, de honderdtallen enz.). Bereken van ieder cijfer het kwadraat en tel de uitkomsten bij elkaar op. Dit levert een nieuw getal op.
Dit nieuwe getal wordt weer gesplitst in cijfers, ieder cijfer weer gekwadrateerd, de uitkomsten opgeteld, wat weer een nieuw getal oplevert, en zo
verder. Dit proces stopt wanneer het nieuwe getal kleiner is dan tien.
Voorbeeld:
78 geeft 72 + 82 = 113
113 geeft 12 + 12 + 32 = 11
11 geeft 12 + 12 = 2.
Definitie: een getal heet gelukkig als deze procedure de uitkomst 1 geeft.
Excel: Met een spreadsheetprogramma als Excel kun je, bijvoorbeeld, op
zoek naar alle gelukkige getallen tussen 1 en 1000.
Probleemstelling:
Behalve gelukkige getallen kennen we in de wiskunde ook perfecte getallen, priemgetallen, bevriende getallen, priemgetallen van Gausz, irrationale
getallen en ga zo maar door.
In dit profielwerkstuk is het de bedoeling op zoek te gaan naar zo veel mogelijk ‘soorten’ getallen in de wiskunde.
Een beschrijving van elk van die getallen, geplaatst in een historische contekst en gekoppeld aan voorbeelden en toepassingen vormen de basis van
je verslaggeving en presentatie.
WA
02.
HET GETAL ∏
In de oudheid was al bekend dat de verhouding tussen de omtrek van een
cirkel en de diameter steeds dezelfde is.
De oude Babyloniërs gebruikten voor het gemak daarvoor het getal drie,
maar pogingen om een nauwkeuriger waarde voor deze verhouding te zoeken leverde omstreeks 2000 voor Chr. een waarde van 25/8 of 3,125 op.
De Egyptenaar Ahmes die omstreeks 1650 voor Christus leefde, kwam op
een getal van 256/81 of 3,16049...
De oude Grieken (ca 287-212 voor Christus, Archimedes) vonden tussen
223/71~3,14085... en 220/70~3,142857..., de Hellenistische Grieken (ca
85-165, Ptolemeüs) vonden 377/120~3,14166…
Pi overigens, is de eerste letter van het Griekse woord ‘perimetron’ voor
‘omtrek’.
Hoofdvragen:
In dit profielwerkstuk gaat het om twee zaken:
WA
03.
1.
Geef een schets van de ontwikkeling van het getal pi. Maakten de
oude Egyptenaren gebruik van pi? En hoe zat dat bij de Maya’s, de
Azteken, de hunebedbouwers?
Plaats je bevindingen behalve in een historische context, ook in een
wiskundige: beschrijf een aantal wiskundige methoden die men door
de eeuwen heen heeft gebruikt om het getal ∏ te bereken.
2.
Ontwerp voor een middelbare school een ∏-dag:
Reik voor elk leerjaar, voor elke afdeling, voor elk vak een gedicht,
een spelletje, een lied, een wetenswaardigheid, een formule, wat
maar van toepassing is, aan om een deel van een les te vullen.
EGYPTISCHE WISKUNDE
Hoofdvragen:
Probeer een antwoord te vinden op hoofd- en deelvragen als:
Hoe ver was men in de ontwikkeling van de wiskunde in het algemeen?
Hoe ver was men in het bijzonder in de ontwikkeling van rekenkunde, algebra en meetkunde?
Besteed hierbij in het bijzonder aandacht aan het rekenen met breuken. De
oude Egyptenaren gebruikten namelijk een getalsysteem voor breuken gebaseerd op stambreuken (dat zijn breuken met teller 1). Zo schreven ze
niet 2/7, maar in plaats daarvan 1/4+1/28 (twee keer dezelfde breuk, dus
1/7+1/7, was hierbij niet toegestaan). Om zich rekenwerk te besparen gebruikten ze (omvangrijke) tabellen.
Eindproduct:
Je dient je te verdiepen in de werkwijze van de oude Egyptenaren, hun
symboliek en rekenmethoden. In het verslag mag een lespakketje over
Egyptische breuken met opgaven voor brugklassers niet ontbreken.
Opmerkingen:
♦ Oriëntatie
De vroege Egyptische (faraonische) cultuur met zijn piramides, obelisken
en vreemde goden heeft de westerse mens altijd gefascineerd. Er ging (en
gaat) iets mysterieus uit van een cultuur die 5000 jaar geleden al een
bouwwerk liet verrijzen dat 145 meter hoog is en is opgebouwd uit het
aantal stenen dat 700.000 vrachtwagens van 10 ton kunnen vervoeren.
Een cultuur die standbeelden bouwde waarvan de ogen levensecht leken.
Technische hoogstandjes die in andere culturen nog tientallen eeuwen op
zich lieten wachten. Zonder enige kennis van wiskunde zou dit toch niet tot
stand zijn gebracht, mag je verwachten.
♦ Probleem verkennen
Je moet vooral zelf op zoek in bibliotheek en op het Internet.
De volgende website kent veel verwijzingen naar andere websites:
<http://www.ics.uci.edu/~eppstein/numth/egypt/>
Historische aspecten vind je op de website
<http://www.seanet.com/~ksbrown/iegypt.htm>.
Andere internetadressen:
<http://www-groups.
dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Babylonian_and_Egyptian.html>
<http://www.math.buffalo.edu/mad/AncientAfrica/mad_ancient_egypt.html>
<http://noisefactory.co.uk/research/sci-math/history/index.html>