Newtonvwo1617

Newton 6 vwo
Natuurkunde
voor de 2e fase
Hoofdstuk 4+5+6+12  Herhaling mechanica
Hoofdstuk 16+17  Energiestromen en ruimtevaart
les
dag




onderwerp
opgaven + theorie
1
Beweging bij een constante kracht
opgave 1, 2
2
Verschillende krachten
opgave 3, 4, 5
3
Schuine krachten
opgave 6 t/m 9
4
Hefbomen en draaibewegingen
opgave 10 t/m 13
5
Arbeid en energiesoorten
opgave 14 t/m 19
6
Brandstof, rendement, vermogen
opgave 20 t/m 23
7
Energievergelijking
opgave 24 t/m 27
8
Gravitatiekracht (herhaling)
opgave 28 t/m 34
9
Horizontale worp
opgave 35 t/m 38
10
Paraboolvlucht
opgave 39 t/m 43
11
Satellietbanen (herhaling)
opgave 44 t/m 49
12
Andere cirkelbanen
opgave 50 t/m 54
13
Afronden
opgave 55 t/m 59
Praktisch Opdracht – Bewegingen
Deze bundel geeft een overzicht over alle soorten bewegingen en de
bijbehorende natuurkundige theorie uit het examenprogramma. De enige
praktische opdracht voor natuurkunde in 6 vwo is een eigen onderzoek met als
thema bewegingen. Binnen dit thema ben je vrij om een onderwerp te kiezen en
om een keuze te maken uit het deel van de theorie waarop het onderzoek
betrekking heeft.
1.
Kies een onderwerp
Er is een groot aantal mogelijke onderwerpen, zoals:
 Speelgoed (springende poppetjes, waterraket, dominostenen)
 Sport (fitnessapparaat, baan van een bal, dartpijl)
 Verkeer (remweg, bochten nemen, botsingen)
 Speeltuin (schommel, wipkip)
 Attracties (zweefmolen, draaimolen)
 Allerlei andere opstellingen
2.
Kies een deel van de theorie
Het onderzoek moet betrekking hebben op tenminste een deel van de theorie uit
de bundel. Je kunt dat kiezen uit:
 Kracht, snelheid en versnelling
 Schuine krachten en hefbomen
 Energie, arbeid en wrijving
 Vermogen en rendement
 Cirkelbanen en paraboolbanen
3.
Bedenk een onderzoeksvraag
Kies tenminste één onderzoeksvraag, eventueel met deelvragen. In de meeste
gevallen zul je een verband tussen twee of drie grootheden onderzoeken.
4.
Gebruik videometen en/of een dynamisch model
Bij bewegingen kun je gebruik maken van videometen. Daarnaast kun je de
beweging nabootsen met een dynamisch model om daarmee je metingen te
kunnen vergelijken.
5.
Onderzoeksplan en verlag
Bij dit onderzoek moet eerst een onderzoeksplan ingeleverd worden. Daarbij
geldt de eis dat je een meetopstelling moet hebben gebouwd en getest. Nadat het
plan goedgekeurd is kun je de definitieve metingen doen en het verslag
schrijven.Voor de inleverdata geldt de bonus/malusregeling.
Project Probleemgerichte didactiek
6e editie, augustus 2010
St. Bonifatiuscollege, burg. F. Andreaelaan 7, 3582 KA Utrecht
tel 030-2512315, website: www.boni.nl
Uitvoerders:
Ad Migchielsen
Carolien Kootwijk
Cor Buijs
Kees Hooyman
Otto Kool
Technische ondersteuning:
Martie van IJzendoorn
2
Newton - Herhaling mechanica
Beweging bij een constante kracht
Wat gaan we doen?
In deze paragraaf kijken we naar situaties waarbij de resulterende kracht
constant van grootte en richting is.
 Wat voor soort beweging hoort bij een constante kracht?
 Hoe kun je bij deze beweging gebruik maken van formules en grafieken?
1
3,9
7,4
Stroboscoopfoto vallende bal
Een bekende situatie waarbij slechts één constante kracht werkt is de
valbeweging, als de luchtwrijving te verwaarlozen is. In de kantlijn is een
stroboscoopfoto weergegeven van een vallende kogel.
De massa van de kogel is 250 gram. De foto is gemaakt met behulp van een
stroboscoop die 30 flitsen per seconde geeft. De foto is verkleind weergegeven
(elk blokje van de liniaal stelt 1 cm voor). Naast de foto is de positie van de
onderkant van de kogel weergegeven.
a Wat voor soort beweging hoort bij een constante kracht?
10
12,0
b Hoe kun je aan de foto zien dat de snelheid regelmatig toeneemt?
c Leg in je eigen woorden uit wat we met het begrip versnelling bedoelen.
17,7
Bij een constante kracht hoort een constante versnelling.
d Hoe groot is de nettokracht op het voorwerp?
20
24,5
30
32,3
e Met welke formule kun je uit de kracht de versnelling van het voorwerp
berekenen?
De positie van de onderkant van de bal is naast elk beeldje weergegeven. Aan de
hand van deze gegevens zou je met de foto ook de versnelling van de kogel
moeten kunnen afleiden, maar dat is niet zo eenvoudig.
f Probeer met de gegevens uit de foto de versnelling van de kogel te bepalen
of beschrijf hoe je dat zou kunnen aanpakken.
figuur 1 – Stroboscoopfoto
van een vallende kogel met
30 beeldjes per seconde.
De positie van de onderkant
van de kogel staat rechts
van de foto.
3
g Leg met behulp van de tekening in figuur 2 uit dat een zware kogel met
dezelfde versnelling valt als een lichte kogel.
Elk voorwerp op aarde valt met de valversnelling g = 9,81 m/s². Dat getal is
precies hetzelfde als de zwaartekrachtsconstante g = 9,81 N/kg.
h Leg in je eigen woorden uit dat de valversnelling g = 9,81 m/s² altijd precies
hetzelfde is als de zwaartekrachtsconstante g = 9,81 N/kg.
a = mF
a=
F
m
Figuur 2 – Een lichte en een zware
kogel vallen met dezelfde
versnelling.
2
Grafieken en formules bij een constante versnelling
Sportauto’s trekken op met een grote versnelling. De Aspid trekt in 2,8 s op van
0 tot 100 km/h.
a Bereken de gemiddelde versnelling van de Aspid.
De grootste versnelling bij auto’s vind je bij dragracen. De sterkste machines
leggen een korte afstand (¼ mijl) af in iets meer dan 5 s. Het onderstaande v,tdiagram hoort daarbij. We hebben aangenomen dat de voortstuwende kracht
constant is.
Figuur 3 - De nieuwe Aspid is een
bloedsnelle compacte raceauto
met een acceleratie van 0-100
km/h in 2,8 seconden.
125
Δv
100
snelheid
(m/s)
75
Δt
50
25
Figuur 4 - Dragracen: een wedstrijdje
‘versnellen’.
0,0
0,0
1,0
2,0
t1
tijd (s)
3,0
4,0
5,0
t2
Figuur 5 - Snelheidsverloop bij dragracen.
b Hoe kun je aan de grafiek zien dat de resulterende kracht constant is?
c Leg uit dat de versnelling van de auto gelijk is aan de helling van de lijn en
bepaal daarmee de versnelling van de auto.
d Leg in je eigen woorden uit dat voor elk tijdstip t geldt: v(t) = at.
4
Een dragster legt een afstand van 400 meter af in iets meer dan 5 seconde.
e Bepaal aan de hand van het v,t-diagram welke afstand deze dragster heeft
afgelegd na 5,0 s. Gebruik daarbij de oppervlakte onder de grafiek.
f
Welke formule geldt voor de afstand s(t) bij een constante versnelling a?
g Bereken met deze formule voor s(t) hoe lang de dragster over een afstand
van ¼ mijl = 402 m doet.
h Teken in het onderstaande diagram de grafiek van het verband tussen de
afstand en de tijd bij deze dragrace.
500
400
afstand
(m)
300
200
100
0,0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
tijd (s)
Figuur 6 – Afstand-tijd-diagram bij dragracen.
i
Leg in je eigen woorden uit waardoor de grafiek van de afstand geen rechte
lijn is, maar een kromme lijn (een halve parabool).
j
Beschrijf hoe je met behulp van een afstand-tijd-diagram de snelheid op een
willekeurig tijdstip, bijvoorbeeld op t = 3,0 s, kunt bepalen.
k Ga na of de snelheid die je op die manier vindt overeenkomt met de snelheid
in het (v,t)-diagram.
5
Newton - Herhaling mechanica
Verschillende krachten
Wat gaan we doen?
In deze paragraaf gaan we na welke krachten een rol kunnen spelen bij
bewegingen.
 Welke eigenschappen hebben de verschillende krachten?
 Met welke formules kun je de grootte van de krachten berekenen?
3
Soorten krachten
Bij bewegingen spelen, naast spierkracht of de kracht die door een motor
geleverd wordt, verschillende andere krachten een rol. De belangrijkste krachten
staan in de onderstaande tabel genoteerd in de eerste kolom.
a Noteer in de tweede kolom welke grootheden invloed hebben op de grootte
van de kracht.
b Noteer in de derde kolom de formule om de kracht te berekenen.
c Waarom zijn er geen formules voor de normaalkracht en de spankracht?
d Noteer in de vierde kolom de grootheden bij elke relevante grootheid.
Kracht
Hangt af van:
Berekenen
Eenheden
Zwaartekracht
Massa en zwaartekrachtsconstante
Fz  m  g
g in N/kg,
m in kg
FG 
Gravitatiekracht
Normaalkracht
Luchtwrijving
Frontaal oppervlak, luchtdichtheid,
stroomlijn en snelheid.
Fw,l 
Rolwrijving
Fw,r  cr  Fn
Remkracht (maximaal)
Fw,max  f  Fn
Spankracht
Veerkracht
cr heeft geen
eenheid
De kracht die aan beide uiteinden op een
touw uitgeoefend wordt
Fveer 
6
4
Fn
Fn
Remkracht en remvertraging
Een auto rijdt met constante snelheid van 25 m/s op een horizontale weg.
a In de horizontale richting werken drie krachten op de auto. Stel voor deze
krachten een krachtvergelijking op.
Fz
Figuur 7 – Zwaartekracht en
normaalkracht op een auto.
wegdek weer
f
beton
droog
0,90
asfalt
droog
0,85
klinkers
droog
0,80
beton
nat
0,75
asfalt
nat
0,60
klinkers
nat
0,4
sneeuw
0,2
ijs
0,1
Figuur 8 – Wrijvings-coëfficiënt
bij verschillende soorten wegdek.
De waarden gelden voor rubber
banden die niet slippen (statische
wrijving).
In de verticale richting werken de zwaartekracht en de normaalkracht van de
weg op de vier banden.
b Leg uit waardoor geldt: Fz = Fn.
Voor de maximale wrijvingskracht tussen de banden en de weg geldt:
Fw,max = fFn.
In deze formule is f de wrijvingscoëfficiënt tussen de rubber banden en het
wegdek (zie tabel). De auto heeft een massa van 1320 kg en rijdt op een
asfaltweg.
c Bereken de maximale wrijvingskracht tussen wegdek en banden.
De auto heeft ABS, daardoor is de maximale remkracht gelijk aan 90% van de
maximale wrijvingskracht. is.
d Bereken de maximale remkracht en de maximale remvertraging van deze
auto.
De auto heeft een snelheid van 25 m/s en begint op tijdstip t = 0 maximaal te
remmen. De luchtwrijving wordt verwaarloosd.
e Teken in de onderstaande grafiek hoe de snelheid afneemt vanaf 25 m/s.
Figuur 10 – Snelheid van een remmende auto met vbegin = 25 m/s en remvertraging 6 m/s2.
f
Figuur 9 – Bij een racewagen
zorgt de vleugel voor een grotere
normaalkracht.
Bereken de remweg van deze auto uit de oppervlakte onder de grafiek.
g Leg uit dat bij een twee keer zo grote beginsnelheid de remweg vier keer zo
groot wordt.
o.
7
5
Een situatie met meerdere krachten
Bij een Bungeejump werken drie krachten: de zwaartekracht, de veerkracht en
de luchtwrijvingskracht.
a Geef in grafiek 1 aan hoe de snelheid toeneemt als tijdens de val alleen de
zwaartekracht werkt.
b Schets in grafiek 2 globaal hoe de snelheid toeneemt als naast de
zwaartekracht ook de luchtwrijving werkt. Je hoeft geen berekeningen uit te
voeren, het gaat vooral om de vorm van de grafiek.
1. Val met alleen zwaartekracht
2. Val met zwaartekracht en luchtwrijving
Als we ook de veerkracht meenemen ontstaat een op-en-neergaande beweging.
In eerste instantie verwaarlozen we de luchtwrijving. In grafiek 3 is
weergegeven hoe de snelheid in de eerste vier seconde toeneemt.
3. Val met zwaartekracht en veerkracht
c
Negatieve snelheid
Bij een op-en-neergaande
beweging wordt de snelheid
positief en negatief. In de
grafiek is een snelheid naar
beneden als een negatieve
waarde weergegeven.
4. Val met luchtwrijving, zwaarte- en veerkracht
Hoe kun je aan de grafiek zien dat er in de eerste twee seconden nog geen
veerkracht werkt?
d Schets in grafiek 3 het verdere verloop van de snelheid tijdens de beweging.
Je hoeft geen berekeningen uit te voeren, het gaat om de vorm van de
grafiek. Geef wel duidelijk aan wanneer de grafiek recht of krom is.
e Schets in grafiek 4 hoe de snelheid verloopt tijdens de beweging als ook
rekening gehouden wordt met de luchtwrijving. Je hoeft geen berekeningen
uit te voeren, het gaat om de vorm van de grafiek.
f Bij meerdere krachten is er soms sprake van evenwicht van krachten. Geef in
elke grafiek aan wanneer er sprake is van krachtenevenwicht.
g Hoe kun je uit een (v,t)-diagram informatie afleiden over de versnelling op
een bepaald tijdstip?
h Hoe kun je uit een (v,t)-diagram informatie afleiden over de afstand die in
een bepaalde periode is afgelegd?
8
Newton - Herhaling mechanica
Schuine krachten
Wat gaan we doen?
In sommige situaties werken de krachten niet in één richting, zulke krachten
noemen we schuine krachten.
 Hoe pak je een situatie met schuine krachten aan?
6
Katapult
Een katapult bestaat uit een vorkvormig stuk metaal of hout waaraan een
elastiek is bevestigd. In figuur 13 is een bovenaanzicht getekend waarbij het
elastiek in gespannen toestand gehouden wordt. De spankracht in het elastiek
zorgt feitelijk voor twee krachten op het steentje.
Figuur 13 – Gespannen elastiek bij een katapult, bovenaanzicht
De situatie is niet symmetrisch, daardoor werkt in het ene deel van het elastiek
een grotere kracht dan in het andere deel.
a Teken in figuur 13 de som van de twee krachten met de parallelmethode.
b Hoe weet je dat er nog een derde kracht op het steentje moet werken?
c Teken de derde kracht in de figuur.
In figuur 14 is de omgekeerde situatie getekend, waarbij alleen de kracht
getekend is van de hand die de katapult spant.
Figuur 14 – Gespannen elastiek bij een katapult, met trekkracht van hand.
d Teken in figuur 14 de twee krachten van de elastieken met een constructie.
9
7
Loodrechte krachten
In figuur 15 is een situatie getekend waar ook drie krachten werken. Een
horizontale kracht van 1,3 N trekt het touwtje waar een gewichtje aan hangt
opzij, de zwaartekracht van 2,5 N op het blokje werkt verticaal. De spankracht is
hier de schuine kracht.
a Schets in de figuur de somkracht van de twee getekende krachten.
b Bereken de grootte van de somkracht met de stelling van Pythagoras
α
1,3 N
c Bereken de hoek α tussen het touw en de verticaal.
2,5 N
In de figuur 16 is een vergelijkbare situatie getekend, maar nu zijn andere
gegevens bekend. De grootte van de spankracht in het touw is 4,7 N en het touw
maakt een hoek van 40° met de verticaal.
d Teken in de figuur de zwaartekracht en de horizontale kracht met behulp van
een constructie.
e Bereken de grootte van deze twee krachten door de schuine kracht te
ontbinden.
Figuur 15 – Een gewichtje
dat aan een touwtje hangt
wordt opzij getrokken
4,7 N
Figuur 16 – Een gewichtje
dat wordt opzij getrokken
8
Een opstijgend vliegtuig
Tijdens het opstijgen van een straaljager beweegt het vliegtuig in een rechte lijn
schuin omhoog onder een hoek van 17° met de horizontaal. Tijdens het
opstijgen neemt de snelheid van het vliegtuig toe.
Op het vliegtuig werken naast de zwaartekracht en de luchtwrijving ook nog
stuwkracht van de motor (in de bewegingsrichting) en de liftkracht van de
vleugels (loodrecht op de bewegingsrichting). In de onderstaande figuur zijn de
zwaartekracht, de stuwkracht en de luchtwrijving al getekend.
Figuur 17 – Opstijgende straaljager
a Schets in de figuur de liftkracht op het vliegtuig.
b Kies twee onderling loodrechte richtingen. Leg uit waarom je die kiest.
c Welke kracht of krachten moet je nu ontbinden? Teken in de figuur de twee
krachtcomponenten en geef de hoek α = 17° aan.
d Is er in deze situatie sprake van krachtenevenwicht? Wat weet je daarmee?
10
De stuwkracht van de motor is 3,0∙105 N. de massa van de straaljager is 2,5∙104
kg en de luchtwrijving in deze situatie is 1,2∙105 N.
e Bereken de grootte van de liftkracht.
f
9
Bereken de versnelling van de straaljager.
Tuibrug
Bij een tuibrug wordt het wegdek links van de staander omhoog gehouden door
dikke kabels (tuien). Elke kabel houdt een evengroot deel van het wegdek
omhoog. De zwaartekracht op zo'n stuk wegdek bedraagt 2,75105 N.
Figuur 18 – Tuibrug
In de bovenstaande tekening is schematisch een deel van de tuibrug getekend. In
deze figuur zijn de tuien A en B aangegeven; de andere tuien zijn niet getekend.
De zwaartekracht op het stuk wegdek dat door één tui omhoog wordt gehouden,
is ook aangegeven.
a Leg uit dat de spankracht in kabel B groter moet zijn dan in kabel A.
b Construeer in de figuur de spankrachten in tui A en in tui B.
11
Newton - Herhaling mechanica
Hefbomen en draaibewegingen
Wat gaan we doen?
Hefbomen zijn instrumenten die ontworpen zijn om krachten te vergroten of
te verkleinen. Een hefboom maakt vaak gebruik van een draaibeweging rond
een draaipunt, waarbij de hefboomwerking afhangt van de armen van de
krachten.
 Hoe gebruik je de hefboomwet?
 Hoe houd je bij hefbomen rekening met de richting van de kracht?
10 Herhaling: Krachtoverbrenging
In de onderstaande situaties zie je verschillende hefbomen.
a Geef het draaipunt en het aangrijpingspunt van de spierkracht aan.
b Maak bij elke hefboom een schatting van de verhouding van de armen.
Figuur 20 – Krachtoverbrengingen
11 Schuine krachten bij een hefboom
Met een perforator kun je een grote kracht ontwikkelen om gaatjes in een stapel
papier aan te brengen.
a In welke richting moet je bij de perforator in figuur 19 een kracht op het
uiteinde uitoefenen om een zo groot mogelijk effect te krijgen?
B
C
D
A touw
Figuur 19 – Met een perforator
kun je veel gaatjes tegelijk
prikken. De hefboomwerking
zorgt voor een grote kracht.
Figuur 21 – In welke richting is de kracht om het luik te openen het kleinst? .
Een luik van 6,8 kg kan geopend worden met behulp van een touw (zie figuur
21). Het zwaartepunt zit in het midden, het touw zit vast aan het uiteinde.
b In welke richting (A, B, C of D) is de benodigde kracht het kleinst?
c Leg met behulp van de hefboomwet uit dat in richting C de kracht om het
luik te openen gelijk is aan de helft van de zwaartekracht op het luik.
12
d In richting B maakt het touw een hoek van 36° met de verticaal. Bereken de
kracht die in richting B nodig is om het luik te openen.
In figuur 22 is het luik gedeeltelijk geopend, het maakt een hoek van 24° met de
horizontaal.
B
C
D
A touw
90 cm
Figuur 22 – De kracht verandert als het luik een stukje opgetild is.
e In welke richting (A, B, C of D) is nu de benodigde kracht het kleinst?
f Bereken de kracht die in richting B nodig is om het luik op te tillen. Ontbind
daarvoor eerst de zwaartekracht in twee richtingen.
12 Moment en werklijn
Bij het openen van het luik blijkt de kracht die daarvoor nodig is steeds kleiner
te worden naarmate het luik verder geopend is.
a Leg in je eigen woorden uit wat daarvan de oorzaak is. Er zijn verschillende
manieren om dit uit te leggen. Vergelijk de antwoorden.
Moment van een kracht
Bij een hefboom wordt het
moment M van een kracht
gegeven door:
M  F r
De arm r moet loodrecht op
de kracht F staan.
Bij hefbomen wordt ook wel het begrip moment gebruikt. Een manier om het
moment van een kracht te bepalen is door de afstand van het draaipunt loodrecht
op de werklijn van de kracht te meten. De werklijn van de zwaartekracht is de
lijn door het zwaartepunt in de richting van de kracht.
b Geef deze afstand in de figuur 22 aan.
c Laat met een berekening zien dat de afstand van het draaipunt loodrecht naar
de werklijn van de zwaartekracht 41 cm is.
d Bereken daarmee het moment van de zwaartekracht in deze situatie.
e Hoe kun je het moment gebruiken om de kracht in het touw te berekenen?
f
Leg met behulp van de werklijn uit waardoor het optillen van het luik steeds
makkelijker gaat naarmate het luik verder geopend is.
13
13 Millenniumrad
Aan de oever van de Theems in Londen werd voor de start van het jaar 2000 een
enorm reuzenrad gebouwd: het Millenniumrad. De foto werd genomen toen men
bezig was het rad omhoog te trekken.
Figuur 23 – Het optrekken van het
Millenniumrad.
Figuur 24
Op de foto kun je zien dat het rad met één kabel omhoog werd getrokken. De
kabel was in het zwaartepunt Z van het rad vastgemaakt en liep via een katrol op
een mast naar een motor op de grond. Tijdens het omhoogtrekken werd het rad
aan één kant op de grond vastgehouden, zodat het om dit punt kon kantelen. De
tekening geeft de situatie schematisch weer. Het rad hangt hier stil.
a Welke aanpak zou je in deze situatie zelf gebruiken, het ontbinden van
krachten of gebruik maken van de werklijn?
In deze opgave worden twee methodes uitgewerkt. Het rad heeft een massa van
1,5·10 6 kg. De zwaartekracht op het rad is met een pijl in de figuur aangegeven
(schaal: 1 cm is 107 N).
b Ontbind de zwaartekracht en bepaal met behulp van de figuur de kracht die
de kabel op het rad uitoefent.
c Geef in de tekening de armen van beide krachten aan en bepaal daarmee de
grootte van de kracht die de kabel in deze situatie op het rad uitoefent.
Tijdens het optillen was de kracht die de motor moest leveren niet constant.
d In welke stand van het rad was de kracht die de motor moest leveren het
grootst? Geef een duidelijke uitleg en gebruik in je uitleg het begrip moment
van een kracht.
14
Newton 16 - Energiestromen
Arbeid en energiesoorten
Wat gaan we doen?
Bij bewegingen spelen ook arbeid en energie een rol.
 Welke energiesoorten ken je?
 Hoe gebruik je arbeid en energie bij bewegingen?
14 Arbeid en energie
Bewegingen worden veroorzaakt door krachten, maar daarbij spelen ook arbeid
en energie een rol.
Figuur 25 - Vier voorbeelden van bewegingen waarbij arbeid en energie een rol spelen.
Energie gaat nooit ‘verloren’. In de bovenstaande situaties is dan ook steeds
sprake van het omzetten van de ene energiesoort in de andere.
a Noteer zoveel mogelijk verschillende energiesoorten die in deze situaties van
toepassing zijn.
b Welke andere energiesoorten ken je nog?
Bij bewegingen spelen ook krachten een belangrijke rol. Zonder kracht geen
(verandering van) beweging. In feite is energie het gevolg van de krachtwerking
en de beweging. De ene soort energie wordt door een kracht omgezet in een
andere soort energie. Hoe groter de kracht des te meer energie wordt er omgezet.
c Bekijk de windmolen. Welke kracht zorgt voor het omzetten van
bewegingsenergie van de lucht naar bewegingsenergie van de wieken?
d Bekijk de wielrenner. Welke twee krachten zorgen hier voor het omzetten
van energie?
Het omzetten van energie door een kracht noemen we arbeid.
e Met welke formule kun je de arbeid die een kracht verricht berekenen?
15
15 Energiesoorten
Van sommige energiesoorten weet je al hoe je moet berekenen hoeveel energie
er is opgeslagen of wordt omgezet.
a Vul de kolom ‘Berekenen’ zo goed mogelijk in.
b Geef in de derde kolom aan van welke grootheden de energie afhangt.
Energiesoort
Berekenen
Hangt af van
Elektrische energie
E  Pt
Het vermogen van het apparaat en de tijd
Kernenergie
E
De massa die omgezet wordt.
Chemische energie
De hoeveelheid brandstof en de verbrandingswarmte (in
MJ/m³ of MJ/kg)
Bewegingsenergie
Zwaarte-energie
Veerenergie
16 De energie van een hockeybal
Uit videoanalyse van een sleeppush bij hockey blijkt dat de kracht tijdens de
push geleidelijk afneemt. Een grove benadering van de kracht van de stick op de
bal is weergegeven in figuur 27.
Figuur 27 – Grafieken van afstand en snelheid bij een constante versnelling
De massa van de bal is 250 gram. Bij het begin van de push ligt de bal stil.
a Bepaal met behulp van de grafiek de arbeid van de kracht op de bal.
b Bereken daarmee de snelheid van de bal direct na de push.
c Stel dat de afstand twee keer zo groot zou zijn geweest (met dezelfde kracht),
zou dan de eindsnelheid ook verdubbelen? Leg uit.
Figuur 26 – Video-opname
van een sleepush bij hockey.
Onderweg naar het doel neemt de snelheid van de bal af door wrijvingskrachten.
d Hoe zou je de snelheid waarmee de bal het doel bereikt kunnen berekenen als
de wrijvingskrachten bekend zijn? Geef een beschrijving.
16
17 Energie voor optrekken
Een auto met een massa m = 1200 kg trekt op. Op de auto werken de
voorwaartse kracht van de motor en de wrijvingskrachten. Neem aan dat tijdens
het optrekken de nettokracht constant is, Fnetto = 3,0 kN.
a Bereken hoeveel energie de nettokracht moet leveren om een snelheid van 50
km/h (13,9 m/s) te halen.
b Welke afstand heeft deze auto nodig om een snelheid van 50 km/h te halen?
Gebruik in je berekeningen arbeid en energie.
De afstand die de auto aflegt zou je ook moeten kunnen berekenen met de
formules voor een eenparig versnelde beweging: F = m·a, v = a∙t en s = ½·a·t².
c Controleer met een berekening dat uit de formules voor een eenparig
versnelde beweging hetzelfde antwoord volgt als bij vraag b.
18 Arbeid en energie bij afremmen
Bij het afremmen wordt bewegingsenergie omgezet in warmte door de arbeid
van de afremmende kracht. Een vrachtwagen met een massa van 15 ton rijdt met
een snelheid van 90 km/h. Bij krachtig remmen bedraagt de remweg 50 m.
a Bereken de bewegingsenergie van de vrachtwagen.
b Bereken de gemiddelde afremmende kracht.
Figuur 28 – In een zware truck
met hoge snelheid is veel
bewegingsenergie opgeslagen.
c Stel dat één van de vier remmen van de auto kapot is, waardoor de remkracht
afneemt tot 75% van de oorspronkelijke waarde. Welke invloed heeft dat op
de remweg van de auto? Geef een berekening.
19 Sprinkhaan
Op de foto zie je een speelgoedsprinkhaan. Met de verende poten en een zuignap
aan de onderzijde kan de sprinkhaan afgeschoten worden. Daarbij haalt de
sprinkhaan een hoogte van ongeveer 1,0 m.
a Bepaal aan de hand van deze schatting de snelheid waarmee de sprinkhaan
van de grond loskomt.
Figuur 29 – Speelgoedsprinkhaan.
Bij het induwen van de poten wordt energie opgeslagen. De veerconstante van
de poten is 200 N/m. Als de zuignap zich vastzuigt, is de sprinkhaan 4,0 cm
omlaag geduwd. De massa van de sprinkhaan is 6,2 g.
b Bereken met behulp van de veerenergie de snelheid van de sprinkhaan bij het
loskomen van de grond. Verklaar het verschil.
17
Newton 16 - Energiestromen
Brandstofverbruik, rendement en vermogen
Wat gaan we doen?
In het verkeer spelen het brandstofverbruik en het vermogen dat de motor
kan leveren een belangrijke rol.
 Hoe bereken je het brandstofverbruik van een auto?
 Hoe hangt de topsnelheid af van het motorvermogen?
20 Brandstofverbruik
Het brandstofverbruik van een auto bij constante snelheid hangt in feite slechts
af van drie grootheden: de tegenwerkende krachten (zie grafiek in figuur 32), het
rendement van de motor en de verbrandingswarmte van de brandstof.
Figuur 30 – Rond veel grote
steden geldt een maximale
snelheid van 80 km/h.
Figuur 32 – Tegenwerkende krachten op een auto bij constante snelheid.
Het brandstofverbruik van een auto wordt gegeven in liter per 100 km. Een
normale auto heeft een gemiddeld brandstofverbruik van 6 tot 8 L/100 km.
a Bepaal hoeveel arbeid een automotor moet leveren om een afstand van 100
km af te leggen met een constante snelheid van 100 km/h.
verhoudingstabel brandstof
brandstof
1 m³
warmte
33∙109 J
1L
In BINAS staat de verbrandingswarmte van benzine gegeven: 33∙109 J/m³ (die
waarde geldt bij 99 octaan, maar daarmee kan hier wel gerekend worden).
b Bereken hoeveel energie vrijkomt bij de verbranding van 1,0 L benzine.
Gebruik een verhoudingstabel.
verhoudingstabel rendement
Ein = warmte
100%
Enut = arbeid
24%
Een deel van de warmte wordt door de motor omgezet in mechanische arbeid.
Het rendement van een automotor is niet heel hoog, op z’n best 24%.
c Bereken hoeveel mechanische arbeid een automotor uit 1,0 L benzine kan
halen. Gebruik een verhoudingstabel.
Figuur 31 - Berekeningen met
een verhoudingstabel.
18
d Bereken het brandstofverbruik (in L/100 km) bij een snelheid van 100 km/h.
Als de snelheid afneemt van 100 km/h naar 80 km/h dan neemt de
tegenwerkende kracht ook met 20% af.
e Zal het brandstofverbruik dan ook met 20% dalen? Geef uitleg en/of een
berekening.
21 Mechanisch vermogen en snelheid
Het mechanisch vermogen is de arbeid die de motor per seconde levert. De auto
uit de vorige vraag levert bij een snelheid van 100 km/h in totaal 49 MJ arbeid
over een afstand van 100 km.
a Bereken hoeveel arbeid de motor per seconde levert.
Het mechanisch vermogen kan ook berekend worden met: Pmech  Ftegen  v
b Welke eenheid heeft v in deze formule?
Voor de tegenwerkende krachten op de auto geldt:
Fw,r = 210 N en Fw,l = 0,36∙v² (met v in m/s)
Als de snelheid afneemt van 100 km/h naar 80 km/h dan neemt de
tegenwerkende kracht ook met ongeveer 20% af.
c Bereken het mechanisch vermogen bij 80 km/h. Leg uit waardoor het
vermogen nu met veel meer dan 20% is afgenomen.
Het maximale vermogen dat de automotor kan leveren is 60 kW. De
tegenwerkende krachten en het maximaal vermogen bepalen de maximale
snelheid die de auto kan halen.
d Bereken de snelheid die deze auto kan halen bij een vermogen van 60 kW.
Stel daarvoor eerst een vergelijking op en bereken het antwoord met de GR.
22 Hardlopen op een berg
Elk jaar wordt er op l’Alpe d’Huez een hardloopwedstrijd georganiseerd. De
totale afstand bedraagt 13,8 kilometer, het hoogteverschil is 1061 meter. De
snelste hardloper, met een massa van 72 kg, haalde de finish in 55 minuten.
a Bereken de gemiddelde snelheid van deze hardloper in m/s.
De totale wrijvingskracht (hier alleen luchtweerstand) is slechts 5,5 N.
b Bereken met deze gegevens de totale arbeid die deze hardloper moet
verrichten.
Figuur 33 – Hardloopwedstrijd
op l’Alpe d’Huez.
19
c Hoe groot is het vermogen dat deze hardloper bergop levert?
23 Vliegen op menskracht
Figuur 34 – De Flycycle. De
bestuurder zit binnen de vleugel.
Flift
Fvleugel
Is het ook mogelijk om op menskracht te vliegen? Sinds 1976 zijn allerlei
soorten vliegtuigjes gebouwd, maar het blijkt erg lastig te zijn. De meeste van
deze vliegtuigen hebben een spanbreedte van 30 m, daarmee is het opstijgen en
landen erg lastig. Bovendien vliegen ze meestal niet erg snel, ongeveer 25 km/h.
Het modernste ontwerp is de Flycycle, een Human Powered Flying-wing. Het
vliegtuig is niet meer dan een grote vleugel waar de piloot in opgesloten zit. De
Flycycle heeft een spanbreedte van 13 m en een kruissnelheid van 35 km/h. De
totale massa van vliegtuig plus piloot is 115 kg.
Bij een snelheid van 35 km/h moet de piloot een mechanisch vermogen leveren
van 184 W.
a Bereken hoe groot de luchtweerstand van de Flycycle bij deze snelheid is.
Bij een vliegtuig staan de vleugels altijd schuin op de beweging. De luchtstroom
langs de vleugel zorgt voor een kracht schuin omhoog. De horizontale
component van deze kracht is de luchtweerstand Fw,l, de verticale component is
de liftkracht Flift die het vliegtuig ‘draagt’.
b Leg uit dat het voor de Flycycle heel belangrijk is dat de luchtweerstand veel
kleiner is dan de liftkracht.
Fw,l
c Leg uit dat het een groot voordeel is dat de piloot in de vleugel zit.
Figuur 35 – Het glijgetal is de
verhouding tussen de liftkracht Flift
en de luchtwrijving Fw,l.
Vliegtuig
glijgetal
Flift/Fw,l
modern zweefvliegtuig
60
standaard zweefvliegtuig
35
Boeing 747
17
Concorde
7.14
Cessna 150
7
Vliegtuigbouwers noemen het quotiënt van de liftkracht Flift en de
luchtweerstand Fw,l het glijgetal, omdat er direct uit volgt hoever een vliegtuig
zonder stuwkracht kan zweven per meter hoogteverlies. Beide krachten zijn
afhankelijk van de hoek  die de vleugel met de luchtstroom maakt.
Bereken de verhouding tussen de liftkracht en de luchtweerstand met Flift/Fw,l .
d Vergelijk het glijgetal van de Flycycle met de waarden van andere
vliegtuigen in de tabel. Wat is je conclusie?
De lage snelheid van de Flycycle en soortgelijke vliegtuigjes heeft een groot
nadeel: als het harder waait dan de vliegtuigen kunnen vliegen dan waait het
vliegtuig weg. Voor een hogere snelheid is ook een hoger vermogen nodig. Voor
geoefende sporters is het duurvermogen ongeveer 300 watt.
e Bereken welke snelheid je met de Flycycle kunt halen bij een geleverd
vermogen van 300 watt. Bepaal daartoe eerst de waarde van k in de formule
Fw,l = k∙v².
20
Newton 16 - Energiestromen
Energievergelijking
Wat gaan we doen?
In situaties waar meerdere krachten werken is vaak ook sprake van
verschillende energieomzettingen. In zo’n geval is het vaak handig om een
energievergelijking op de stellen.
 Hoe gebruik je een energievergelijking?
24 Springen vanuit stand
Bij basketbaltraining wordt geoefend om vanuit stand zo hoog mogelijk te
springen. Met behulp van de film is de hoogte van het zwaartepunt van de
springer als functie van de tijd vastgelegd. De massa van de man is 84 kg.
Figuur 36 – Video-opnamen van een sprong uit stand
Op t = 0 s staat de springer rechtop, op t = 0,60 s is hij zo ver mogelijk door zijn
knieën gezakt, met zijn zwaartepunt in het laagste punt. Op het t = 0,90 s komt
de springer los van de grond. Wrijvingskrachten kunnen verwaarloosd worden.
a Bepaal uit de grafiek zo nauwkeurig mogelijk de snelheid op dat tijdstip.
Wet van Energiebehoud
Energie kan niet verdwijnen,
het wordt altijd omgezet in
een andere vorm. Dat is het
uitgangspunt bij een
energievergelijking.
Tussen t = 0,60 en t = 0,90 s verrichten de beenspieren arbeid. Tijdens de afzet
speelt ook de zwaartekracht een rol.
b Leg uit dat voor de energieomzetting tussen t = 0,60 en t=0,90 s geldt dat de
energievergelijking is: W = Ek + Ez
c Bepaal met behulp van de energievergelijking de arbeid die de beenspieren
tijdens de afzet verrichten.
Er zijn twee manieren om
een vergelijking op te stellen:
Energiebegin  Energie eind
d Bepaal het gemiddelde vermogen van de springer tijdens de afzet. Geef de
uitkomst in twee significante cijfers.
W  Ek  E z
21
25 Steppen
Arie en Bianca gebruiken een step voor hun praktische opdracht. Met een sensor
meten zij de snelheid van de step. Arie stept over een horizontale weg. Het
resultaat van de metingen staat in het onderstaand (v,t)-diagram. In de
rechterfiguur is een deel van het (v,t)-diagram vergroot weergegeven.
Figuur 37 – Snelheid bij steppen
a Leg uit dat wrijvingskrachten bij deze beweging een rol spelen.
Tijdens de meting stept Arie met een vast tempo. De periode van de beweging is
3,5 s, de afzet duurt 0,5 s. De massa van Arie plus step is 67 kg.
b Bepaal aan de hand van deze grafiek de gemiddelde tegenwerkende kracht
tijdens het uitrollen.
Tijdens de periode dat Arie afzet spelen zowel de wrijvingskrachten als de
spierkracht van Arie een rol.
c Stel voor de periode van de afzet een energievergelijking op.
d Bereken het vermogen dat Arie tijdens de afzet levert. Gebruik daarbij de
gemiddelde snelheid tijdens de afzet.
26 Vertical Shot
'Vertical Shot' is een kermisattractie waarbij een bol met twee personen
afgeschoten wordt met twee elastieken. Vlak voor het loslaten van de bol zijn
beide elastieken 20 meter uitgerekt. Elk elastiek oefent dan een kracht van 5,3
kN uit op de bol. Wrijvingskrachten worden in deze opgave verwaarloosd.
a Bereken de energie die in de twee veren samen opgeslagen is. Bereken
daartoe eerst de veerconstante van de elastieken.
De lancering loopt vanaf het moment dat de bol afgeschoten wordt totdat de
elastieken niet meer gespannen zijn, dat is op een hoogte van 24 m. De bol plus
inzittenden heeft een massa van 250 kg.
b Stel een energievergelijking op voor de periode van de lancering.
22
c Bereken met de energievergelijking de snelheid van de bol op hoogte h = 24
m.
d Bepaal de maximale hoogte die de bol bereikt. Verwaarloos
wrijvingskrachten.
27 Roeiapparaat
Bij een roeiapparaat zit een man op een bankje dat over een balk kan rollen. Als
de roeier zichzelf en het bankje naar achteren duwt trekt hij aan een vliegwiel
dat sneller gaat ronddraaien. Tijdens het tweede deel van de roeibeweging neemt
de draaisnelheid van het vliegwiel weer af.
Een sensor meet de frequentie waarmee het vliegwiel ronddraait. In de
onderstaande figuur zie je een deel van een meting tijdens een training. Neem
aan dat de man tijdens de training op een constante manier roeide.
Figuur 39 – Frequentie van het vliegwiel
a Bepaal uit de grafiek hoeveel roeislagen de man per minuut maakt.
Voor de rotatie-energie van het vliegwiel geldt: Erot  k  f
2
Hierin is: k een constante, die gelijk is aan 1,2 Js² en f de omloop-frequentie,
dus het aantal omwentelingen per seconde van het vliegwiel.
b Bepaal dit vermogen van de roeier tijdens deze training. Bepaal daartoe eerst
hoeveel energie van de roeier tijdens één roeibeweging wordt omgezet in
rotatie-energie van het vliegwiel.
23
Newton 17 - Ruimtevaart
§2 Gravitatiekracht (herhaling)
Wat gaan we doen?
Een van de vier universele krachten is de gravitatiekracht, de onderlinge
aantrekking tussen hemellichamen. De gravitatiekracht veroorzaakt ook de
zwaartekracht op Aarde.
 Hoe werkt de gravitatiekracht?
28 Oriëntatie - Zwaartekracht op de maan
Uit de onderstaande gegevens (BINAS 31) blijkt dat de massa van de aarde ruim
81 keer zo groot is als de massa van de maan. Toch is de zwaartekracht op de
maan niet 81 keer maar ongeveer 6 keer zo klein als de zwaartekracht op aarde.
BINAS 31
massa (kg)
straal (m)
valversnelling (m/s²)
aarde
5,976·1024
6,378·106
9,81
maan
0,0735·1024
1,738·106
1,63
a Leg uit wat daarvan de oorzaak is.
De straal van de aarde is ongeveer 3,7 keer zo groot als de straal van de maan.
b Kun je daarmee verklaren dat de zwaartekracht op de maan ongeveer 6 keer
zo klein als de zwaartekracht op aarde is? Gebruik dat de gravitatiekracht
omgekeerd evenredig is met het kwadraat van de afstand.
De gravitatiekracht is de kracht waarmee twee voorwerpen op een bepaalde
afstand elkaar aantrekken.Volgens de theorie geldt voor de zwaartekracht:
Fg  G 
m1  m2
r2
Hierin is G de gravitatieconstante (BINAS tabel 7: G = 6,673∙10—11 N∙m²∙kg-2)
c Controleer hiermee dat de zwaartekracht op de maan inderdaad 1,6 N per kg
is.
d Welke kracht is groter, de kracht waarmee de aarde aan de maan trekt of de
kracht waarmee de maan aan de aarde trekt?
Als je op de Mount Everest staat ben je ongeveer 8 km boven zeenivo. Dan ben
je dus ook 8 km verder van het binnenste van de aarde. De lucht is daar veel ijler
dan op zeenivo. Zou dat veroorzaakt kunnen worden door een kleinere
zwaartekracht?
e Zou je kunnen merken dat de zwaartekracht boven op Mount Everest kleiner
is dan op zeeniveau? Geef een berekening.
24
Theorie en formules
Lees de theorie op blz. 33 t/m 35 in Newton 2. Om de kern van de theorie goed
samen te vatten maken we gebruik van begrippen- en formuleschema’s.
Gravitatieconstante G
Valversnelling g
Actie en reactiekrachten
Noteer bij de onderstaande formules: - Wat betekent elk symbool? - Welke
eenheid hoort bij elk symbool? - Wanneer kun je de formule toepassen?
Fg  G 
g
m1  m2
r2
GM
r2
Opgaven
29 Gravitatiekrachten
De massa van de zon is zo'n 27·106 maal groter dan de massa van de maan. De
afstand tussen de aarde en de zon is zo'n 400 maal groter dan de afstand tussen
de aarde en de maan. De zon en de maan oefenen beide een gravitatiekracht uit
op de aarde.
Bepaal de verhouding van deze twee gravitatiekrachten.
30 Voyager-2
De Voyager-2 bevindt zich op een afstand van 8,6·109 km van de aarde (ver
buiten het zonnestelsel) en beweegt zich voort met een snelheid van 16 km/s.
a Op welke manier is - bij een gegeven massa m van de sonde - een schatting
te maken van de gravitatiekracht op de sonde? Wat laat je daarbij buiten
beschouwing? En waarom mag dat?
b Maak een schatting van de vertraging van de sonde als gevolg van deze
gravitatiekracht.
c Maak een schatting van de snelheidsafname (in km/s) van de sonde in een
jaar tijd.
25
31 Valversnelling
De valversnelling g bij het aardoppervlak heeft een waarde van 9,81 m/s².
Bereken op welke hoogte boven het aardoppervlak de valversnelling met 1% is
afgenomen.
32 Reis naar de maan
De ruimtecapsule Apollo-8 ondervond tijdens zijn reis naar de maan in 1968 een
gravitatiekracht van de aarde en van de maan. De aarde is 81 maal zo zwaar als
de maan.
a Bereken de plaats tussen de aarde en de maan waar deze twee
gravitatiekrachten elkaar opheffen. (Tip: reken met verhoudingen: de afstand
tot de aarde moet ... maal zo groot zijn als de afstand tot de maan)
b Tijdens welk deel van de reis was de beweging van de capsule versneld? En
tijdens welk deel vertraagd? Waren deze bewegingen eenparig versneld en
vertraagd? Leg uit waarom wel of niet.
33 Raketmotor
Een raketmotor stoot verbrandingsgassen uit met een zeer hoge snelheid. De
stuwkracht van de raket is gelijk aan de kracht die de brandstof versnelt.
Bij een raket met een massa van 2,2·10³ kg wordt in één seconde 40 kg
verbrandingsgassen uitgestoten. De snelheid van de brandstof neemt daarbij toe
van nul tot 5,0·10² m/s.
a Bereken de kracht die nodig is om de brandstof te versnellen.
b Bereken de versnelling van de raket.
34 Pluto Fast Flyby
De Amerikaanse ruimtevaartorganisatie NASA lanceert regelmatig
ruimtesondes waarmee het zonnestelsel wordt onderzocht. Tijdens de reis door
de ruimte wordt gebruik gemaakt van de gravitatiekracht die een planeet op de
sonde uitoefent om de beweging te beïnvloeden. Een voorbeeld van zo’n
ruimtesonde is de Pluto Fast Flyby, die in 2002 Pluto passeert. Deze PFF-sonde
zal Pluto passeren in een baan die in de tekening (niet op schaal) is
weergegeven. In punt Q van de baan is de gravitatiekracht van Pluto op de sonde
even groot als de gravitatiekracht van de zon op de sonde.
a Hoe ver is op dat moment de sonde verwijderd van Pluto? Bereken de
afstand van de sonde in punt Q tot het middelpunt van Pluto.
b Leg uit dat de baan van de sonde in punt Q in de aangegeven richting zal
veranderen.
26
Newton 17 - Ruimtevaart
§3 Kromlijnige bewegingen: horizontale worp
Wat gaan we doen?
Bewegingen die niet in een rechte lijn verlopen heten kromlijnige
bewegingen. Een voorbeeld is de horizontale worp, daarbij wordt een
voorwerp vanaf een hoogte in horizontale richting weggeschoten.
De centrale vragen zijn:
 Hoe kun je de baan bij een horizontale worp verklaren?
 Hoe bepaal je de afstand en de eindsnelheid bij een horizontale worp?
35 Oriëntatie - Horizontaal wegschieten
Op de onderstaande afbeeldingen zie je twee vergelijkbare situaties met een
horizontale worp.
Figuur 42 – Twee voorbeelden van een horizontale worp
In de linker figuur rijdt een (lege) auto met grote snelheid op een steile afgrond
af. Op het moment dat de auto over de rand van het ravijn rijdt komt er een groot
rotsblok los, dat recht naar beneden valt.
a Wie is het eerst beneden, de auto of het rotsblok? Geef uitleg en neem aan
dat de luchtweerstand geen rol van betekenis speelt.
Op de foto rechts zie je een stroboscoopopname van een experiment waarbij één
kogeltje horizontaal wordt weggeschoten, terwijl een ander kogeltje vanaf
hetzelfde tijdstip vrijwel recht naar beneden valt.
b Wie is hier het eerst beneden, het linker of het rechter kogeltje? Neem aan
dat de luchtweerstand ook hier geen rol van betekenis speelt.
De vorm van de baan van het rechter kogeltje lijkt op een halve parabool. Voor
die vorm zoeken we een verklaring.
c Kun je de baan van de horizontale worp nu al verklaren met behulp van
formules van bewegingen ?
27
In de onderstaande figuur zie je een deel van de horizontale worp vergroot
weergegeven.
sx
Figuur 43 – Horizontale worp en invloedloze beweging.
Bij elke positie van het kogeltje is een verticale lijn getekend. De horizontale
afstand sx tussen de lijnen is nagenoeg constant.
d Welke conclusie kun je hieruit trekken voor de horizontale beweging?
In de foto is met pijlen de invloedloze beweging getekend, de verplaatsing die
gelijk is aan de verplaatsing in de voorgaande tijdstap.
e Vergelijk het eindpunt van de invloedloze beweging met de werkelijke
positie. Wat valt je op?
f
Je kunt de pijlen ook zien als snelheidsvectoren. In elke tijdstap verandert de
snelheid met v. Wat kun je zeggen over de snelheidsverandering v?
g Welke conclusie kun je hieruit trekken voor de verticale beweging?
Kennelijk valt de horizontale worp te splitsen in een horizontale beweging en
een verticale beweging.
h Geef voor beide richtingen aan wat voor soort beweging het is.
36 Bewegingsvergelijkingen
De baan bij een horizontale worp is te splitsen in een horizontale beweging en
een verticale beweging. Horizontaal is de snelheid constant.
a Het kogeltje wordt horizontaal weggeschoten met een snelheid van 2,4 m/s.
Welke vergelijking geldt dan voor sx(t), de horizontale positie op tijdstip t?
b Bereken de valtijd uit de beginhoogte h = 1,50 m.
28
c Bereken hiermee de horizontale afstand die het kogeltje aflegt.
De baan die het kogeltje bij deze beweging aflegt is ook te tekenen met de
grafische rekenmachine.
d Stel de GR in op parametervoorstelling. Kies als domein X op [0,2] en Y op
[0,2]. Kijk ook of de tijd en de tijdstap juist is ingesteld.
e Voer in: X = 2,4t en Y = 1,5-4,9t² en teken de baan.
f Bepaal met de grafische rekenmachine de valtijd van het kogeltje en de
positie als het op de grond komt. Ga na dat het resultaat overeenkomt met de
eerdere berekeningen.
Figuur 44 – Schermbeelden van de
grafische rekenmachine
37 De landing van het kogeltje
Het kogeltje uit het voorbeeld wordt op een hoogte van 1,50 m met een snelheid
van 2,4 m/s weggeschoten. Op het moment dat het kogeltje op de grond ploft
heeft het een grotere snelheid dan bij de start. Bovendien is de snelheid schuin,
de snelheid heeft een horizontale component vx en een verticale snelheid vy.
a Leg uit dat hier geldt vx = 2,4 m/s.
De verticale component van de snelheid is het gevolg van een valbeweging met
g = 9,8 m/s².
b Ga met een berekening na dat voor de verticale component van de
eindsnelheid geldt vy = 5,4 m/s.
vx
α
vy
Figuur 45 – Bij de landing heeft de
snelheid een horizontale en een
verticale component.
v
De grootte van de eindsnelheid v is de som van de twee snelheidsvectoren vx en
vy (zie figuur).
c Bereken de grootte van de eindsnelheid met behulp van de stelling van
Pythagoras.
d Bereken de hoek α die de snelheid maakt met de horizontaal.
29
Theorie en formules
Lees de theorie op blz. 44 t/m 46 in Newton 3. Om de kern van de theorie goed
samen te vatten maken we gebruik van begrippen- en formuleschema’s.
Paraboolbaan
Horizontale worp
Noteer bij de onderstaande formules: - Wat betekent elk symbool? - Welke
eenheid hoort bij elk symbool? - Wanneer kun je de formule toepassen?
s x (t )  v x  t
s y (t )  0,5  g  t 2
v y (t )  g  t
38 Pijl en boog
Bij boogschieten wordt een pijl met een massa van 68 g met een snelheid van
40 m∙s-l horizontaal weggeschoten in de richting van een schietschijf. Op het
moment dat de pijl loskomt van de pees is de afstand tussen pijlpunt en
schietschijf 18 meter. Verwaarloos luchtwrijving.
a Hoe lang doet de pijl over de horizontale afstand van 18 meter?
b Bereken hoeveel cm de pijl is gedaald.
Figuur 46 – Pijl en boog
c Bereken de verticale component van de snelheid bij het raken van de
schietschijf.
In werkelijkheid kan de luchtweerstand niet worden verwaarloosd. De pijl remt
in horizontale richting eenparig af van 40 m∙s-l naar 32 m∙s-l. De invloed van de
luchtweerstand op de verticale snelheid kan wel worden verwaarloosd, omdat
deze snelheid relatief klein is.
d Bereken hoeveel cm de pijl nu gedaald is.
30
Newton 17 - Ruimtevaart
§3 Paraboolvlucht
Wat gaan we doen?
Astronauten trainen op het effect van gewichtloosheid in normale
vliegtuigen die zogeheten paraboolvlucht uitvoeren.
 Waardoor ontstaat gewichtloosheid bij een paraboolvlucht?
39 Gewichtloosheid in een paraboolvlucht
Tegenwoordig kun je je tijdens een paraboolvlucht heel even astronaut voelen.
De ervaring van gewichtloosheid, al duurt die maar 20 seconde, doet je denken
dat je in de ruimte zweeft.
Een hemels gevoel
Volkskrant, 25 maart 2002
In de cockpit van de Airbus knipperen
overal alarmlichtjes. 'Dit toestel is niet
bedoeld om te vliegen, het is bedoeld
om te vallen', had de piloot eerder
tijdens een briefing op het vliegveld
van Bordeaux al gezegd. De Airbus
A300 'Zero'G' is een vliegtuig van het
Franse bedrijf Novespace, waarmee
astronauten worden getraind in gewichtsloosheid.
Door het vliegen van zogeheten paraboolvluchten, grote slingermanoeuvres tussen zes en negen kilometer hoogte, kan de zwaartekracht
steeds voor twintig seconden worden
opgeheven.
Op het moment dat de
gewichtsloosheid begint, voelt een
passagier eerst zijn ingewanden naar
boven komen, zoals op het hoogste
punt van een achtbaan. Tot zover niets
nieuws. Het verrassende is dat die
ingewanden niet meer terug op hun
plaats vallen. En dat je ook zelf niet
op je plaats valt nadat je langzaam
omhoog bent gekomen. Handen en
voeten staan klaar om een val te
breken die niet komt. Die wel komt,
maar pas na twintig seconden, als het
vliegtuig weer optrekt.
'Gewichtsloosheid is niets anders dan
een vrije val', zegt Kuipers. 'Wie in
een lift zit waarvan de kabel afbreekt
ervaart hetzelfde.'
Volgens Kuipers is gewichtloosheid niets anders dan een vrije val, maar dan wel
een vrije val waarbij de omgeving (het vliegtuig) ook precies dezelfde vrije val
uitvoert.
a Hoe kan je bij een vrije val gewichtloos zijn? Er is toch nog wel
zwaartekracht?
Figuur 48 - Een haarbos onder
gewichtloosheid
Het gevoel van een beetje gewichtloos is gewichtsvermindering en dat kennen
we natuurlijk van de lift. Als je op een weegschaal gaat staan in de lift dan kun
je die gewichtsverandering ook daadwerkelijk zien.
b Wanneer voel je je in een lift lichter? En wanneer zwaarder? En wanneer
voel je je in een lift gewichtloos?
31
Gewichtloos treedt alleen op bij een specifieke paraboolbaan van het vliegtuig.
c Aan welke eis moet de paraboolbaan voldoen?
In de grafiek hiernaast zie je de baan die het vliegtuig volgt. Tussen B en C is de
vorm van de baan een gedeelte van de paraboolvlucht.
d Geldt de gewichtloosheid voor het hele gedeelte van B tot C of slechts voor
een deel van de beweging? Leg uit.
Figuur 49- Paraboolvlucht.
De paraboolbaan in de figuur begint en eindigt op een hoogte van 7000 m, en de
top ligt op 7650 m. De horizontale afstand tijdens de paraboolvlucht is 1100 m.
e Bereken hoe lang de gewichtloosheid duurde.
f
Bereken de grootte en richting van de snelheid van het vliegtuig aan het
einde van de paraboolvlucht
40 Kanaalspringer
Stuntman Felix Baumgartner is er als eerste mens in geslaagd om over Het
Kanaal te ‘springen’. Hij begon zijn vlucht op 9000 meter hoogte en bereikte
een snelheid van maximaal 360 km per uur.
Het vliegtuig vliegt horizontaal op het ogenblik dat de stuntman uit het vliegtuig
springt. Veronderstel dat er geen luchtweerstand zou zijn, zodat de sprong
gezien kan worden als een vrije val met horizontale beginsnelheid.
a Bereken hoe lang de val duurt.
b Bereken de beginsnelheid om van 9000 m hoogte 33 km ver te komen.
In werkelijkheid is er wel luchtweerstand. In de tekening is het moment
aangegeven dat de stuntman de maximale snelheid bereikt.
c Welke richting heeft op dat moment de resultante kracht?
32
41 Tennis
Een tennisser slaat met het racket een bal vanaf 1,5 m hoogte boven de baan weg
met een horizontale snelheid. De bal komt 10 m verder op de baan terecht.
Met welke horizontale snelheid wordt de bal weggeslagen?
42 Waterstraal
Iemand doet een serie proeven met water dat uit een slang met spuitmond
stroomt. De snelheid waarmee het water uit de spuitmond komt, is bij alle
proeven gelijk aan 4,0 ms-1. De opening bevindt zich steeds 30 cm boven een
tafel. De luchtwrijving op de waterstraal wordt verwaarloosd. Bij de eerste proef
verlaat het water de spuitmond met een horizontaal gerichte snelheid.
Figuur 53 – Waterstraal uit een slang
De waterstraal legt na het verlaten van de spuitmond een horizontale afstand x af
voor hij de tafel treft.
a Bereken x.
Bij een tweede proef wordt de waterstraal omhoog gericht. De beginplaats van
de spuitmond is 30 cm boven de tafel. De beginsnelheid is 4,0 ms-1.
b Bereken de hoogte boven de tafel die het water bereikt. Verwaarloos ook hier
de luchtwrijving.
Figuur 51 – Verticale waterstraal
43 Kogelstoten
Een kogelstoter stoot een kogel in een rechte lijn onder een hoek van 45o met het
horizontale vlak weg. De kogel verlaat de hand van de kogelstoter op een hoogte
van 2,1 m met een snelheid van 12 m/s. De luchtwrijving is de verwaarlozen.
a Bereken aan de hand van deze gegevens de horizontale en de verticale
component van de beginsnelheid: vb,x en vb,y.
b Bereken hoe hoog de kogel maximaal komt.
Figuur 52 – Bij kogelstoten is de
werphoek erg belangrijk.
c Bereken de afstand die deze kogel haalt. Bereken daartoe eerst hoe lang de
kogel door de lucht vliegt.
33
Newton 17 - Ruimtevaart
§3 Satellietbanen (herhaling)
Wat gaan we doen?
Een ander voorbeeld van een kromlijnige beweging is de cirkelbaan van een
satelliet die rond de Aarde draait. Satellieten draaien in banen op
verschillende hoogte rond de Aarde. De snelheid waarmee de satellieten
ronddraaien verschilt ook. Sommige satellieten lijken stil te hangen, andere
draaien in twee uur rond de Aarde.
 Hoe kan een satelliet rondjes draaien zonder motor?
 Welke snelheid moet een satelliet in een bepaalde baan hebben?
44 Oriëntatie
Als er op de Aarde geen dampkring zou zijn dan zou je een satelliet kunnen
lanceren door deze vanaf het topje van een hoge berg horizontaal weg te
schieten (zie figuur ..). Bij een lage snelheid is de baan een parabool en valt de
satelliet op Aarde. Bij de juiste snelheid wordt de baan een cirkelbaan.
Omdat de baan kromlijnig is moet er een nettokracht zijn.
a Waarom is bij een kromlijnige beweging de nettokracht nooit nul?
b Welke kracht zorgt ervoor dat de satelliet ‘de bocht omgaat’?
Figuur 54 – Als de snelheid precies
groot genoeg is wordt de baan een
cirkel.
c Er is maar één snelheid waarbij de baan precies een cirkelbaan is. Welke
baan zal de satelliet volgen als de snelheid groter is?
Bij de cirkelbaan werkt er voortdurend een nettokracht op de satelliet, toch blijft
de snelheid constant.
d Leg uit waardoor de snelheid constant moet blijven.
De kracht die nodig is voor een cirkelbaan wordt de middelpuntzoekende kracht
genoemd. Die kracht moet voortdurend naar het midden van de baan wijzen.
Voor de middelpuntzoekende kracht Fmpz geldt:
Figuur 55 – Als de snelheid te groot is,
dan wordt de baan een ellips of het
voorwerp ‘ontsnapt’ van de Aarde.
Fmpz 
m  v2
r
e Leg uit dat bij elke satellietbaan geldt: Fmpz  Fgrav
f
2
Laat zien dat de vergelijking te vereenvoudigen is tot: v  r  G  M aarde
34
45 Voorbeeld: de snelheid van het ISS
Het ruimtestation ISS bevindt zich op 342 km boven het aardoppervlak. In deze
situatie zorgt alleen de zwaartekracht voor de beweging: de zwaartekracht
‘levert’ de middelpuntzoekende kracht.
De afstand tot het midden van de Aarde is dan 6,72·106 m. In 2008 bedroeg de
totale massa van het ISS 2,8·105 kg, de gravitatiekracht is dan 2,47∙106 N
a Bereken de snelheid van het ISS door gebruik te maken van Fmpz  Fgrav
b Bereken de snelheid van het ISS ook met v  r  G  M aarde .
2
Figuur 56 – Het International Space
Station (ISS).
Met de snelheid van de satelliet en de straal van de baan moet je kunnen
berekenen hoe lang de satelliet over één rondje doet.
c Bereken de afstand die het ISS aflegt bij één rondje om de Aarde.
Voor de gravitatiekracht
geldt:
Fgrav  G 
m1  m2
.
r2
Bij een satelliet is m1 de
massa van de Aarde
(5,976∙1024 kg), m2 is de
massa van de satelliet, G is
de gravitatieconstante
(6,673∙10-11 Nm²/kg²) en r
is de afstand van de
satelliet tot het middelpunt
van de aarde.
d Leg uit dat hier geldt: v 
2π  r
T
e Bereken de omlooptijd van het ISS in uren.
46 Satellietbanen
Een satelliet met een massa van 2,1·10³ kg draait op een hoogte van 10,4·105 m
boven het aardoppervlak in 6,0 uur rond de aarde.
a Bereken de grootte van de snelheid van de satelliet in zijn baan om de aarde.
b Bereken de grootte van de middelpuntzoekende kracht die nodig is om de
satelliet in zijn baan om de aarde te houden.
Een andere satelliet draait rondjes boven het aardoppervlak in een polaire baan
met een omlooptijd van 2,5 uur
c Bereken de hoogte van een satelliet boven het aardoppervlak. Gebruik zowel
de formule v = 2πr/T als de formule voor Fmpz.
d Leg uit waarom het onmogelijk is om een satelliet te lanceren die loodrecht
boven Nederland met de aarde meedraait.
35
47 De massa van de aarde bepalen
Uit de beweging van de maan rond de aarde valt de massa van de aarde
nauwkeurig te berekenen.
a Bereken de snelheid van de maan in de baan rond de aarde. Gebruik BINAS
tabel 31 voor de gegevens.
b Bereken de massa van de aarde door gebruik te maken van de formule
v 2  r  G  M aarde
48 De manen van Jupiter
In de tabel staan de astronomische waarnemingen van de omlooptijd T en de
baanstraal r van de vier grootste manen van de planeet Jupiter.
T (dagen)
r (106 m)
Io
1,769
421,6
Europa
3,551
670,9
Ganymedes
7,155
1070
Gallisto
16,689
1880
Manen van Jupiter
T (s)
v (m/s)
v²∙r
a Ga na of voor deze manen geldt: v²∙r = constant. Reken eerst T om in
seconde en neem r in meter.
b Bepaal daarmee de massa van Jupiter.
49 De baan van Mars
De planeet Mars beschrijft in 687 dagen een vrijwel cirkelvormige baan rond de
zon. De aarde doet dat in 365 dagen in een baan met een straal van 1,50·1011 m.
Bereken uit deze gegevens de straal van de baan van Mars rond de zon. Gebruik
2
daarbij de formules v  r  G  M en v 
2π  r
T
Stel eerst een nieuwe formule op waar v niet in voor komt. Gebruik verder dat
naast r en T alle andere grootheden in de formule constant zijn.
36
Newton 17 - Ruimtevaart
§3 Andere cirkelbanen
Wat gaan we doen?
Bij cirkelbewegingen lijkt het vaak alsof er een kracht naar buiten werkt. In
werkelijkheid is er een kracht nodig om ‘de bocht om te gaan’. In situaties
waar meerdere krachten werken moeten die krachten samen de benodigde
middelpuntzoekende kracht leveren.
 Hoe bepaal je in situaties met meerdere krachten de middelpuntzoekende
kracht?
 Hoe pas je de middelpuntzoekende kracht in praktijksituaties toe?
50 Oriëntatie - Lastig bochtenwerk
In sommige situaties werken meerdere krachten die samen voor een
cirkelbeweging zorgen. Maak dan bijvoorbeeld eerst een schets van de situatie
en geef daarin aan welke krachten er werken. Ga vervolgens na hoe de resultante
van die kracht als middelpuntzoekende kracht dienst doet.
Op je fiets zit een stuur, maar als je een bocht neemt doe je dat vooral door
schuin te gaan hangen. Sterker: als je rechtop blijft fietsen en je draait je stuur
dan kun je lelijk vallen!
a Waarom moet je bij het nemen van een bocht altijd schuin hangen? Geef in
de figuur de krachten op de fiets(er) aan.
Je zit in een draaimolen die met constante snelheid rondjes draait. Je staat aan
de buitenkant en je gooit een bal recht naar voren, in de draairichting
b Welke baan volgt de bal? Schets de baan van de bal in de tekening.
Het maken van een looping lijkt de skater bovenin stil te hangen.
c Waarom valt de persoon in de looping niet naar beneden? Teken de krachten.
Als je een emmer water met voldoende snelheid langs je lichaam draait (de
emmer maakt een ‘looping’) dan blijft het water in de emmer zitten.
d Waarom valt het water niet uit de emmer?
In een zweefmolen lijkt het alsof iedereen naar buiten geslingerd wordt.
e Door welke kracht worden de personen in de zweefmolen naar de buitenkant
geduwd?
Figuur 57 – Vier keer bochtenwerk: op
en fiets, in een draaimolen, in een
looping en in een zweefmolen
37
Begrippen en formules
Lees de theorie op blz. 47 t/m 52 in Newton 3. Om de kern van de theorie goed
samen te vatten maken we gebruik van begrippen- en formuleschema’s.
Baansnelheid v
Toerental, frequentie,
omlooptijd
Middelpuntzoekende kracht
Middelpuntzoekende
versnelling
Hoeksnelheid
Noteer bij de onderstaande formules: - Wat betekent elk symbool? - Welke
eenheid hoort bij elk symbool? - Wanneer kun je de formule toepassen?
v
omtrek
2  r

omlooptijd
T
Fmpz 
m  v2
r
ampz 
v2
r

hoek 

tijd
t
v  r
Satellietbaan: v  r  G  M
2
51 Cirkelbanen
Hieronder staan vier situaties waarin een voorwerp een cirkelbaan doorloopt.
Bereken in elk van deze situaties de baansnelheid en de hoeksnelheid van het
voorwerp. Een deel van de benodigde gegevens is te vinden in het tabellenboek.
situatie
A
B
C
D
baansnelheid
hoeksnelheid
De punt van een 1,5 cm lange
secondenwijzer.
Iemand die op de evenaar van de aarde
staat.
Iemand die op de noordpool van de
aarde staat.
De aarde in haar (cirkel)baan rond de
zon.
38
Opgaven
52 Steen slingeren
Een steen met een massa van 0,55 kg wordt aan een touw van 60 cm lengte in
een horizontale cirkelbaan rondgeslingerd met een snelheid van 3,6 m/s.
a Bereken de spankracht in het touw.
b Bij een spankracht van 20 N breekt het touw. Bereken de snelheid van de
steen waarbij het touw breekt.
c Beschrijf de baan van de steen na het breken van het touw.
53 De bocht nemen
In de tekening neemt een auto met een massa van 850 kg een bocht met een
snelheid van 50 km/h. De maximale wrijvingskracht tussen de banden en het
wegdek is 7,1 kN.
a Ga aan de hand van figuur 22 na dat de straal r van de bocht die de auto moet
nemen 7,5 m is.
b Bereken de grootte van de middelpuntzoekende kracht die nodig is om de
auto deze bocht te laten nemen.
c Welke kracht op de auto doet dienst als middelpuntzoekende kracht? Hoe
groot is deze kracht maximaal?
d Leg uit waarom de auto bij de gegeven snelheid uit deze bocht vliegt.
e Bij welke snelheid komt de auto net wél veilig door deze bocht?
39
54 Hellend wegdek
Een bocht in een weg heeft soms een hellend wegdek. In onderstaande figuur
zijn de krachten op een auto bij het nemen van een bocht op een vlak en op een
hellend wegdek weergegeven.
Leg uit waarom een auto de bocht op een hellend wegdek met een grotere
snelheid kan nemen dan op een vlak wegdek.
55 Looping
Het maken van een looping lijkt de skater bovenin stil te hangen. Alleen bij een
voldoende grote snelheid blijft de skater in de baan.
In de rechterfiguur is de zwaartekracht op de persoon al getekend.
a Welke andere kracht werkt er op de skater? Teken deze kracht.
b Leg uit dat in deze situatie geldt: Fmpz = Fz + Fn.
c Bij een hogere snelheid is voor dezelfde bocht een grotere kracht nodig.
Waardoor wordt die extra kracht geleverd?
d Maak een schatting van de straal van de cirkelbaan die het zwaartepunt
beschrijft.
e Bereken daarmee de minimale snelheid die de skater moet hebben om op het
bovenste punt niet uit de baan te vallen.
40
56 Zweefmolen
In een zweefmolen lijkt het alsof iedereen naar buiten geslingerd wordt. In feite
werken er slechts twee krachten die samen voor een cirkelbeweging zorgen.
In de rechterfiguur is de zwaartekracht op schaal getekend.
a Welke andere kracht werkt er op de persoon in het stoeltje? In welke richting
werkt die kracht?
b Leg uit dat de resultante kracht horizontaal naar rechts moet werken.
c Teken in de rechterfiguur met een constructie de tweede kracht en de
resultante kracht.
d Maak aan de hand van de figuur een schatting van de straal van de cirkelbaan
en van de hoek die de kettingen van het stoeltje van de zweefmolen maken
met de horizontaal.
e Bepaal aan de hand van deze gegevens de snelheid waarmee de persoon in de
zweefmolen ronddraait.
57 Schaatsen
Een schaatser met een massa van 76 kg gaat een bocht door, zoals weergegeven
in de figuur. Het ijs oefent daarbij een kracht op hem uit die werkt langs de lijn
SZ. Het zwaartepunt Z van de schaatser beschrijft een bocht met een straal van
32 m. De middelpuntzoekende kracht Fmpz is op schaal getekend.
a Teken de kracht van het ijs en de zwaartekracht in dezelfde schaal.
b Bepaal de snelheid waarmee de schaatser door de bocht gaat. Meet daarvoor
eerst de kantelhoek  van de schaatser bij het nemen van de bocht.
41
58 Paraboolspiegels
In de sterrenkunde zijn telescopen met grote parabolische spiegels nodig.
Daarvoor wordt soms vloeibaar kwik gebruikt. Het kwik zit in een ronde bak die
ronddraait met een constant toerental. Hieronder is een doorsnede door het
midden van de bak weergegeven. Daarin is de kwiklaag in verhouding te dik
getekend. De bodem van de bak is ook (ongeveer) parabolisch.
De spiegel bevat 330 kg kwik bij 20 °C. De oppervlakte van de kwikspiegel is
4,8 m². Bij een bepaald toerental is de kwiklaag overal even dik.
a Bereken de dikte van de kwiklaag bij dit toerental.
b In de tekening zijn op een afstand van 1,1 m van de as de zwaartekracht Fz en
de (resulterende) middelpuntzoekende kracht Fmpz op een bepaalde
hoeveelheid kwik aangegeven. Op deze hoeveelheid kwik wordt ook nog een
normaalkracht Fn uitgeoefend. Construeer de normaalkracht Fn.
c Bepaal de hoeksnelheid waarmee de spiegel draait.
59 Sportvliegtuig
Een sportvliegtuig met een massa van 1,5·10³ kg maakt een horizontale bocht
met een straal van 500 m. Het vliegtuig blijft in de lucht door de liftkracht Fd
van de lucht op het vliegtuig, zoals weergegeven in figuur 34. Deze liftkracht
maakt bij het nemen van de bocht een hoek van 60° met het horizontale vlak. De
liftkracht Fd en de zwaartekracht Fz leveren samen de benodigde
middelpuntzoekende kracht Fmpz voor het nemen van de bocht met een bepaalde
snelheid.
a Leg uit dat de verticale component van de liftkracht even groot moet zijn als
de zwaartekracht op het vliegtuig. Bereken met dit gegeven de grootte van de
liftkracht Fd.
b Leg uit dat de horizontale component van de liftkracht de benodigde
middelpuntzoekende kracht levert. Bereken met dit gegeven de grootte van
de middelpuntzoekende kracht Fmpz.
c Bereken de snelheid waarmee het vliegtuig de bocht neemt.
42
Antwoorden
1
Stroboscoopfoto
a Een eenparig versnelde beweging.
b De afstanden worden regelmatig groter
c De toenamen (of afname) van de snelheid per
seconde.
d 2,45 N.
e F = m∙a
f Bepaal in elke periode de gemiddelde snelheid:
1,05 – 1,38 – 1,71 – 2,04 – 2,34 m/s. Elke 1/30e
seconde groeit de snelheid met 0,32 m/s. De
versnelling is dan 9,7 m/s.
g F is evenredig met m, dus de verhouding F/m is
constant.
h Eigen uitleg.
2
Katapult
7
Loodrechte krachten
Grafieken en formules
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
27,8 m/s in 2,8 s geeft 9,9 m/s²
Een rechte lijn.
½5,0150 = 375 m.
s = ½∙a∙t²
402 = ½30t² geeft t = 5,18 s.
Halve parabool.
Een raaklijn tekenen en daarvan de helling
bepalen.
k Raaklijn snijdt in (1.5 , 0). v = 135/1,5 = 90 m/s.
3
6
a
b
c
d
Rechthoek.
2,8 N.
27°
Teken eerst de kracht tegengesteld aan de
spankracht. Ontbind deze kracht in twee
richtingen.
e Fz = 4,7cos40 = 3,6 N; Fhor = 3,0 N.
8
a
b
c
d
Dwars op de bewegingsrichting.
In de bewegingsrichting en loodrecht daarop.
De zwaartekracht.
Nee, in de bewegingsrichting versnelt het
vliegtuig, dwars op de beweging is er wel
evenwicht.
e Flift = Fz,aanl = 2,45∙105cos17 = 2,3∙105 N.
f Fres = Fmotor – Fw – Fz,ovst = 3,0∙105 – 1,2∙105 –
7,2∙104 = 1,08∙105. a = F/m = 4,3 m/s².
Soorten krachten
c De normaalkracht en de spankracht passen zich
aan de situatie aan.
4
Remkracht en remvertraging
Fvw = Fw,r + Fw,l
Er is evenwicht, de twee krachten zijn gelijk.
Fn = 12,9 kN, Fw,max = 0,8512,9 kN = 11 kN
Frem = 0,9011,0 = 9,9 kN. a =F/m = 9900/1320
= 7,5 m/s²
e De remtijd: t = 25/7,5 = 3,33 s. Rechte lijn van
(0, 25) naar (3.33, 0).
f srem = oppervlak = ½3.3325 = 42 m.
g De remtijd en de beginsnelheid verdubbelen
beide.
a
b
c
d
5
9
Tuibrug
a De hoek is groter.
b Teken eerst een kracht gelijk aan Fz omhoog,
teken daarna de spankracht.
10
Herhaling: Krachtoverbrenging
a Draaipunt bij flesopener is het randje links.
b Eigen schatting
Een situatie met meerdere krachten
a Rechte lijn met helling 9,8.
b Lijn begint met helling 9,8 en buigt daarna tot
een horizontale lijn.
c De lijn is daar recht.
d In het dalende deel zit een recht stuk, het
stijgende deel is krom een duurt korter.
e Demping: de amplitude neemt af. Bovendien is
de lijn overal krom.
f Als de snelheid een horizontale raaklijn heeft.
g De helling van de raaklijn.
h Met de oppervlaktemethode.
Een opstijgend vliegtuig
11
Schuine krachten bij een hefboom
a
b
c
d
e
f
In de bewegingsrichting.
In richting C.
De arm is precies twee keer zo groot.
Er geldt: FBcos36 = ½Fz = 33,4 N. FB = 41 N.
Richting B.
De component dwars op het luik = Fz∙cos24 =
60,9 N. FB = 30 N.
43
12
a
b
c
d
e
f
13
snelheid niet.
d Arbeid wrijving = Fw∙s. Bereken eerst Ek,eind =
Ek,begin – Wwrijving. Bereken daarmee de snelheid.
Moment en werklijn
Eigen uitleg.
Horizontaal van draaipunt tot kracht.
45cos24 = 41 cm
M = F∙r = 66,70,41 = 27 Nm.
Het moment van FB is even groot, dus FB0,90
= 27 geeft FB = 30 N.
De werklijn komt steeds dichter bij het
draaipunt te liggen.
17
Energie voor optrekken
18
Arbeid en energie bij afremmen
a Ek = ½∙m∙v² = 116 kJ.
b W = F∙s geeft s = 116.000/3000 = 39 m.
c a = F/m = 2,5 m/s²  t = v/a = 5,56 s  s =
½∙a∙t² = 39 m.
a 4,7 MJ.
b F = W/s = 94 kN.
c F∙s = constant, dus deel s door 0,75  srem = 67
m.
Millenniumrad
b Zie figuur. De spankracht is 1,1 cm = 1,1∙107 N.
19
Sprinkhaan
20
Brandstofverbruik
a Ek wordt omgezet in Ez, dus ½∙v² = g∙h. Geeft v
= 4,4 m/s.
b Eveer = ½∙C∙u² = 0,16 J. Ek = ½∙m∙v² geeft v =
7,2 m/s. Verschil komt door luchtwrijving.
a
b
c
d
e
c Meet de armen: 2,5 en 3,5 cm. De spankracht is
dus 2,5/3,5  1,5∙107 = 1,1∙107 N.
21
W = F∙s = 480100.000 = 48 MJ.
33∙106 J
0,2433∙106 J = 7,9 MJ
48/7,9 = 6,1 L/100km
Ja, want W wordt ook 20% kleiner, dus ook
20% minder brandstof (als het rendement
constant blijft).
Mechanisch vermogen en snelheid
a Tijd is 1 uur = 3600 s, dus 13,6 kJ per seconde =
13,6 kW.
b m/s
c Fw = 210 + 0,3622,2² = 388 N. P = Ftegen∙v =
38822,2 = 8,6 kW. Het vermogen neemt
sterker af doordat zowel F als v afnemen.
d P = (210 + 0,36v²)v = 60.000. Oplossen geeft
v = 51,5 m/s = 185 km/h.
d Toen het rad op de grond lag. Het moment van
de zwaartekracht is dan maximaal, de arm van
de spankracht minimaal.
14
22
a 4,2 m/s
b W = Fw∙s + ΔEz = 5,513.800 + 729,811061
= 825 kJ.
c P = W/t = 250 W.
Arbeid en energie
a Veerenergie, spierenergie, bewegingsenergie,
elektrische energie, zwaarte-energie,
verbrandingsenergie.
b Kernenergie, gravitatie-energie, stralingsenergie.
c De luchtwrijving.
d De luchtwrijving en de spierkracht.
e W = F∙s.
15
Energiesoorten
16
De energie van een hockeybal
a Oppervlak = ½201,5 = 15 J.
b ½∙m∙v² = 15 geeft v = 11 m/s.
c Nee, de energie is twee keer zo groot maar de
Hardlopen op een berg
23
Vliegen op menskracht
a P = F∙v geeft 184 = Fw∙9,7 dus Fw = 19 N.
b De liftkracht moet minstens gelijk zijn aan de
zwaartekracht. Hoe groter de luchtweerstand des
te kleiner wordt de snelheid. Dan waait het
vliegtuig makkelijk weg.
c Een betere stroomlijn.
d Flift = Fz = 1,13 kN. Glijgetal = Flift/Fw = 59.
e Fw,l = k∙v² invullen: 19 = k9,7² geeft k = 0,20.
P = Fw∙v = k∙v³ geeft 0,20v³ = 200. v = 11,4
m/s = 41 km/h.
44
24
25
Springen vanuit stand
31
Valversnelling
a Raaklijn loopt van (0.7, 0.7) tot (1.1, 1.8). v =
1,1/0,4 = 2,75 m/s.
b
c W = ½∙m∙v² + m∙g∙h = ½842,75² +
849,80,3 = 565 J.
d P = W/t = 1,9 kW.
32
Reis naar de maan
26
29
34
Pluto Fast Flyby
35
Oriëntatie - Horizontaal wegschieten
36
Gravitatiekrachten
37
Voyager-2
38
sx(t) = 2,4t.
h = ½∙g∙t² geeft t = 0,55 s.
2,40,55 = 1,33 m.
-
De landing van het kogeltje
a
b
c
d
6.1012
a Buiten het zonnestelsel ( r >
m) telt alleen
de gravitatiekracht van de zon. De krachten van
de planeten zijn te verwaarlozen omdat hun
massa zoveel kleiner is dan die van de zon. Ook
de afstand van de aarde tot de zon mag
verwaarloosd worden.
b a = Fg / m = G∙mzon / r2 = 6,67.10-11∙1,99.1030 /
(8,6.1012 )2 = 1,8.10-6 m/s2.
c Δv = a∙Δt = 1,8.10-6∙3,15.107 = 57 m/s.
Bewegingsvergelijkingen
a
b
c
d
e
f
De gravitatiekracht is evenredig met M en 1/r²,
dus 27∙106/400² = 169. De kracht van de zon os
169 maal zo groot.
30
a Fg,zon = Fg,pluto  rpluto2 / rzon2 = mpluto / mzon. 
rpluto /5,91.1012 = √(1,5.1022 / 2,0.1030)  rpluto =
5,1.108 m.
b De resultante van de twee krachten werkt niet in de
richting van de snelheid, maar naar een punt links
van Pluto. De PFF wijkt af in de richting van
Pluto.
a Eigen uitleg.
b De kogeltjes zijn steeds op gelijke hoogte, ze
vallen even snel.
c -.
d De horizontale snelheid is constant.
e Er is steeds een even grote extra verplaatsing
naar beneden.
f De snelheidsverandering v is constant.
g De verticale beweging is eenparig versneld.
h Constante snelheid en constante versnelling.
Oriëntatie - Zwaartekracht op de maan
a De straal is kleinr.
b 81/3,7² = 5,9.
c m∙g = G∙m∙M/r² geeft g = G∙M/r². Invullen
geeft g = 1,59 N/kg.
d Even groot.
e Gebruik g = G∙M/r². Nu is r = 6,386∙106 m. Dat
geeft g = 9,78 N/kg. Het verschil is veel te klein
om te merken.
Raketmotor
a F = m∙a = 40500 = 2,0∙104 N.
b a = F/m = 20.000/2200 = 9,1 m/s².
Roeiapparaat
a 20 slagen per minuut.
Hierin is: k een constante, die gelijk is aan 1,2 Js²
en f de omloop-frequentie, dus het aantal
omwentelingen per seconde van het vliegwiel.
b f neemt toe van 10 naar 22,5 Hz  Erot stijgt
van 120 naar 608 J. P = (608-120)/3 = 163 W.
28
33
Vertical Shot
a C = 5300/20 = 265 N/m. Eveer = 2½∙C∙u² = 106
kJ.
b Eveer = Ek + Ez
c 106.000 = ½250v² + 2509,8124 geeft v =
19,4 m/s.
d Eveer = Ez geeft m∙g∙h = 106 kJ  h = 43 m.
27
a De massa van de maan is 81 keer zo klein, de
afstand moet 9 zo klein zijn. De afstand tot de
maan moet dan 1/10e zijn van de afstand aardemaan = 38,4.106 m
b Van de aarde tot dit punt is de beweging
vertraagd, van dit punt naar de maan versneld.
Het is niet eenparig versneld en vertraagd omdat
de resulterende kracht niet constant is.
Steppen
a De snelheid daalt na elke afzet.
b a = 0,6/3,0 = 0,20 m/s². F = m∙a = 670,20 =
13,4 N.
c W = ΔEk + Wwrijving
d P = ΔEk/t + Fw∙v = ½67(4,0² - 3,4²)/0,5 +
13,43,7 = 3,5∙10² W.
g = G∙M/r² = 0,99∙9,81 geeft r = 6,41.106 m.
De hoogte is h = r - R = 0,03.106 m = 30 km.
De horizontale snelheid is constant.
v = g∙t = 9,80,55 = 5,4 m/s.
v = 5,9 m/s.
tan α = vy/vx = 5,4/2,4  α = 66°.
Pijl en boog
a
b
c
d
s = v∙t geeft t = 18/40 = 0,45 s.
sy = ½∙g∙t² = 4,90,45² = 0,99 m.
vy = g∙t = 4,4 m/s.
Gemiddelde snelheid is 36 m/s. Dit geeft t =
0,50 s en s = 1,23 m.
45
39
a Je valt even snel als het vliegtuig. Het vliegtuig
hoeft je niet te ‘dragen’.
b Lichter als de lift naar beneden versnelt,
zwaarder bij versnellen omhoog. Gewichtloos
bij een versnelling van 9,8 naar beneden. Dat is
als de lift valt.
c De verticale component met een beweging met a
= 9,8 m/s² zijn.
d Voor het hele gedeelte van B tot C.
e Vanaf de top ‘valt’ het vliegtuig 650 m. Uit s =
½∙g∙t² volgt t = 11,5 s. De gewichtloosheid
duurde 23 s.
f Horizontaal: vx = 1100/23 = 48 m/s. Verticaal:
vy = g∙t = 9,811,5 = 113 m/s. v = 123 m/s. De
hoek met de horizontaal: tan α = vy/vx = 2,35 α
= 67°.
40
41
42
c omtrek = 2πr = 42∙106 m.
d afstand = omtrek = 2πr.
e 1,52 uur.
Gewichtloosheid in een paraboolvlucht
Kanaalspringer
a 9000 = ½∙g∙t² geeft t = 43 s.
b v = s/t = 33.000/43 = 7,7∙10² m/s.
c Fres zorgt niet voor versnelling, wel voor
verandering van richting. De kracht is dan
loodrecht op de baan.
46
47
De massa van de aarde bepalen
48
De manen van Jupiter
a r = 384,4∙106 m en T = 27,32 dag = 2,36∙106 s.
V = 2πr/T = 1023 m/s.
b 1023²384,4∙106 = 6,673∙10-11∙M geeft M =
6,03∙1024 kg.
a
T (s)
152841,6
306806,4
618192
1441929,6
a 0,30 = ½∙g∙t² geeft t = 0,25 s. sx = v∙t =
4,00,25 = 0,99 m.
b v = g∙t geeft t = 0,41 s. s = ½∙g∙t² = 0,82 m
geeft h = 1,1 m.
Kogelstoten
44
Oriëntatie
49
50
De baan van Mars
2,47∙106
a m∙v²/r =
b v = 7,7∙10³ m/s.
geeft v = 7,7∙10³ m/s.
Oriëntatie - Lastig bochtenwerk
a Je hebt een kracht nodig die naar binnen is
gericht. Dat lukt door je af te zetten tegen de
weg.
b Rechtdoor.
c Hij valt wel, maar hij vliegt ook verder.
d Het water valt wel naar beneden, maar de
emmer gaat sneller naar beneden.
e Er is een kracht naar binnen nodig, die wordt
geleverd door de spankracht van de kettingen.
51
Cirkelbanen
situatie
A
B
C
D
52
Voorbeeld: de snelheid van het ISS
v^2*r
1,26514E+17
1,26521E+17
1,26422E+17
1,26039E+17
Invullen geeft T²/r³ = constant, dus (T2 / r3)aarde
= (T2 / r3)mars. Invullen geeft : 3652 / (1,50.1011)3
= 6872 / rmars3  rmars = 2,29.1011 m.
a vb,x = vb,y = v∙cos 45° = 8,5 m/s
b Naar top: v = g∙t geeft t = 0,86 s. s = ½∙g∙t² =
3,6 m en h = 5,7 m.
c Tweede deel na de top: 5,7 = ½∙g∙t² geeft t =
1,08 s. Totale tijd = 1,94 s. Afstand = 8,51,94 =
16,5 m.
Omdat de baan kromlijnig is moet er een
nettokracht zijn.
a De snelheid verandert voortdurend (van
richting).
b De gravitatiekracht.
c Een ellips of een hyperbool (dan verdwijnt de
satelliet van de aarde).
d De kracht werkt loodrecht op de baan.
e De gravitatiekracht levert de
middelpuntzoekende kracht.
f m∙v²/r = G∙m∙M/r². Wegstrepen van m en r geeft
v² = G∙M/r.
v (m/s)
17322,823
13732,608
10869,762
8187,9171
b G∙M = 1,264∙1017 geeft M = 1,89∙1027 kg.
Waterstraal
43
45
a r = 6,378∙106 + 10,4∙105 = 7,42∙106 m. v = 2πr /
T = 2,16∙103 m/s.
b Fmpz = m∙v2/r = 2,1∙103(2,16∙103)2 / 7,42∙106 =
1,3 kN.
c v = 2πr/T = 2πr/9000 invullen in v²∙r = G∙M
geeft (2πr/9000)²∙r = G∙M geeft r = 9,38.106 m
 h = (9,38 - 6,4).106 = 3,0.106 m.
Tennis
1,5 = ½∙g∙t² geeft t = 0,55 s. vx = s/t = 10/0,55
= 18 m/s.
Satellietbanen
De punt van een 1,5 cm
lange secondenwijzer.
Iemand die op de
evenaar van de aarde
staat.
Iemand die op de
noordpool van de aarde
staat.
De aarde in haar
(cirkel)baan rond de zon.
baansnelheid
hoeksnelheid
1,6.10-3 m/s
0,10 rad/s
464 m/s
7,3.10-5 rad/s
0 m/s
7,3.10-5 rad/s
2,98.104 m/s
2,0.10-7 rad/s
Steen slingeren
a
b
Fmpz = Fspan = m∙v2 / r = 0,55∙3,62 / 0,60 = 12 N.
Fmpz =Fspan = m∙v2 / r → v = √(Fspan∙r / m) =
√(20∙0,60 / 0,55) = 4,7 m/s.
46
c De baan heeft bij benadering de vorm van een
parabool. Het is een horizontale worp.
53
De bocht nemen
a De straal in de tekening is 1,5 cm, dus in
werkelijkheid 7,5 m.
b Fmpz = m∙v2 / r = 850∙(50 / 3,6)2 / 7,5 = 22 kN.
c De wrijvingskracht, deze is maximaal 7,1 kN.
d Fw,max < Fmpz.
e Fw,max = Fmpz = m∙v2 / r → v = √(Fw,max∙r / m) =
√(7,1.103∙7,5 / 850) = 7,9 m/s= 28 km/h.
54
Schaatsen
a Op de schaatser werken de zwaartekracht en de
reactiekracht van het ijs. In Z leveren deze twee
krachten samen de middelpuntzoekende kracht.
b De hoek van SZ met het ijs is 60. tan α =
Fz/Fmpz geeft m∙v²/r = m∙g/1,73. Wegstrepen m
geeft v² = 5,66∙r  v = 13 m/s.
58
Paraboolspiegels
a m = ρ∙V en V = A∙d geeft d = m/(ρ∙A) =
330/(13,5∙10³4,8) = 5,1.10-3 m = 5,1 mm.
Looping
a De normaalkracht van de wand, die is recht naar
beneden.
b De twee krachten, zwaartekracht plus
normaalkracht, leveren samen de benodigde
middelpuntzoekende kracht.
c De normaalkracht past zich aan. daarvoor is ook
een grotere kracht van de benen nodig.
d Ongeveer 2,5 m.
e De is de normaalkracht nul, dus Fmpz = Fz. Dat
geeft m∙v²/r = m∙g. Wegstrepen van m geeft v²
= g∙r. v = 5,0 m/s.
56
57
Hellend wegdek
Niet alleen de wrijvingskracht, maar ook een
component van de zwaartekracht levert een
bijdrage aan de totale middelpuntzoekende
kracht. De zwaartekracht staat niet meer
loodrecht op de middelpuntzoekende kracht.
55
d De straal van de cirkelbaan is ongeveer 7,5 m en
van de hoek is 25°.
e tan α = Fz/Fmpz geeft m∙v²/r = m∙g/0,466.
Wegstrepen m geeft v² = 21∙r  v = 12 m/s.
Zweefmolen
a De spankracht van de kettingen, in de richting
van de kettingen.
b De twee krachten, zwaartekracht plus de
spankracht, leveren samen de benodigde
middelpuntzoekende kracht.
c
b Fmpz is de resultante van Fz en Fn.
c tan α = Fz / Fmpz. tan α = m∙g / (m∙ω²∙r)  ω2 =
9,81 / (1,1∙tan 69)  ω = 1,9 rad/s.
59
Sportvliegtuig
a Om op dezelfde hoogte te blijven moet de
resulterende kracht in de verticale richting nul
zijn. Fd,vert. = Fz = m∙g = 1,5∙10³∙9,81 = 15 kN →
Fd = 15 / cos 30° = 17 kN.
b Fz loodrecht op Fmpz → Fz levert geen bijdrage
aan Fmpz , bij een horizontaal / verticaal
assenstelsel. Fmpz = 17∙cos 60° = 8,5 kN.
c Fmpz = m∙v2/r → 8500 = 1500∙v²/500  v = 53
m/s.
47
48
Win  Wuit
Bewegingen
s  v t
v gem 
a
Pm 
s
t
W
t
Pm  Fvw  v
v
t
Pm  Ftegen  v (v=cst)
Fres  F  m  a
F  0  evenwicht
v(t )  a  t
Energie en rendement
Ez  m  g  h
Ek  12  m  v 2
Ev  12  C  u 2
s (t )  12  a  t 2
Ech  rv V
v(t )  g  t
W
t
s (t )  12  g  t 2
Pmech 
vb  a  trem

W
Ein

Pm
Pin
srem  12  a  t rem
2
Krachten
Fz  m  g
Trillingen
Fw,l  12  cw  A    v 2
u (t )  r  sin(
Fw,r  cr  FN
Fw. max  f  FN
Fveer  C  u
FG  G 
M m
r2
Fr  F1  F2
2
T  2 
m
C
T  2 
l
g
v max 
2
F
tan(  )  ovst
Faanl
Fovst  F  sin(  )
2  t
)
T
2  r
T
Kromlijnige bewegingen
s(t) = v0∙t + ½∙a∙t²
v(t) = v0 + a∙t
F  rlinksom  F  rrechtsom
m  v2
Fmpz 
r
2  r
v
T
M  F r
v 2  r  G  M aarde
M  0  evenwicht
W  Fs
v2
r
hoek 2


tijd
T
W  F  s  cos( )
v  r
Faanl  F  cos( )
Hefbomen
Arbeid en vermogen
ampz 
49