Rijen - wiskunde

Rijen
Twee belangrijke rijen zijn de rekenkundige en de meetkundige rij. Het is belangrijk dat je in ieder
geval met die twee rijen vertrouwd bent.
Rekenkundige rijen
Voorbeelden zijn:
3, 6, 9, 12, 15, …….
10, 13, 16, 19, 22,……..
20, 19, 18,17, …..
Kenmerk is dat er vast verschil is. Bij de eerste rij 3, bij de tweede ook 3, en bij de derde -1 (min één)
Als je het verschil weet is het heel eenvoudig om het volgende getal ( de volgende term) te
berekenen, gewoon het verschil erbij optellen.
Er is een manier om dit kort en krachtig op te schrijven:
Voor 3, 6, 9, 12, 15, …….
:
t1 = 3; tn+1=tn+3
Het eerste getal is 3 en elke volgend getal is steeds 3 groter (dan het vorige)
Voor
10, 13, 16, 19, 22,…….. :
t1 = 10;
tn+1=tn+3
Het eerste getal is 10 en elke volgend getal is steeds 3 groter (dan het vorige)
Voor
20, 19, 18,17, …..:
:
t1 = 20 ; tn+1=tn−1
Het eerste getal is 20 en elke volgend getal is steeds 1 kleiner (dan het vorige)
We noemen dit recursievergelijkingen. Zorg dat je ze goed begrijpt
Een recursievergelijking is eigenlijk een manier om de regelmaat in de rij kort aan te geven, maar
daarmee heb je niet zo snel het honderdste of het duizendste getal berekend.
Daarvoor is een directe formule (ook wel rangnummerformule genoemd) handig.
Zo’n formule is bij een rekenkundige rij eigenlijk heel eenvoudig, als je maar bedenkt dat het vanaf
nummer 1 naar nummer 100 99 stappen is. Dus als je het honderdste getal van rij 2 wilt berekenen
kun je als volgt doen: 10 + 99  3 =307. Het 37e getal van de derde rij is 20 −361 = -16
Als je het eerste getal a noemt en het vaste verschil v krijg je zo de formule:
tn = a +(n−1)∙v
Je kunt dit ook schrijven als tn = a−v +n∙v= t0 +n∙v
somrij
Omdat rekenkundige rijen zo lekker eenvoudig zijn, is het ook niet moeilijk om snel de som van de
eerste 100 termen te berekenen van zo’n rij
We nemen als voorbeeld weer de rij 10, 13, 16, 19, 22,……..
Het 100ste getal hadden we al uitgerekend: 307
Het gaat dus om de som: 10+13+16+19+…………+298+301+304+307
Het eerste en het laatste getal zijn samen 317
Het tweede en het een na laatste ook (logisch want de een is 3 meer en de ander 3 minder)
Enz, enz.
We kunnen dus van deze 100 getallen 50 tweetallen maken van 317
De uitkomst is duidelijk:
50 x 317 = 15 850
Je kunt het ook nog iets anders benaderen. Gemiddeld zijn alle getallen 158,5 (3172),
en 100 (100 getallen) x158,5 = 15 850
In het algemeen geldt Sn (de som van de eerste n getallen) =
Voor de som van een aantal getallen wordt vaak het
Zo betekent

10

1
2
n(t1  t n ) = n 
-teken gebruikt.
t de som van de eerste 10 getallen van de rij
k 1 k
samenvatting rijen (v. 4.1) 24-7-2017
t1  t n
2
Toepassingen
Hierboven zie je de eerste 4 driehoeksgetallen: 1, 3, 6, 10
Het lijkt niet zo eenvoudig om een formule te maken waarmee je bijv snel het 100ste driehoeksgetal
kunt berekenen.
Maar het tweede getal is 1+2=3, het derde getal is 1+2+3; het vierde 1+2+3+4
Dus het 100ste driehoeksgetal is: 1+2+3+ ….+ 100 = 50101 = 5050
Je kunt nu ook een algemene formule maken dn = 12 n  (1  n)
De rij 2, 3, 4, .. is de verschilrij van de eigenlijke rij: 1, 3, 6, 10, …
De eerste 4 vijfhoeksgetallen zijn: 1, 5,12, 22. Een formule maken voor deze rij lijkt weer lastig.
Maar de verschilrij is eenvoudig: 4, 7, 10, … Daarmee kunnen we aan de slag:
Methode I (makkelijkste)
Het 3e getal is te berekenen als 1 + 4 + 7 ; het 4e als 1 + 4 + 7 + 10 enz
De rij 1, 4, 7, 10 is een rekenkundige rij met formule 3n -2 (ga na !)
Het honderste getal van deze verschilrij is dus 298 [300 - 2]
Het honderdste vijhoeksgetal is dus 1 + 4 + 7 + …..+ 298= 50 *(1+298) = 50*299 = 14 950
Algemeen gn =
1  4  7  ..  3n  2 = 12 n(3n  1) = 1 12 n 2  12 n
Methode II ( algemener)
Deze verschilrij heeft als rangnummerformule: vn = 3n+1, en daarmee kunnen we de
vijhoeksgetallen maken. Ga na:
g1 =1
(het eerste vijfhoeksgetal)
g2 = 1 + 4 = 5
(het tweede vijfhoeksgetal)
g3 = 1 + 4 + 7 = 12
g4 = 1 + 4 + 7 + 10 = 22
………………
g100 = 1 + 4 + 7 + …………+ v99
v99 = 3×99+1=298 Dus g100 = 1+ 99/2(4+298) = 14 950
Op deze manier kun je ook een algemene rangnummerformule maken:
gn = 1 + 4 + 7 + …………+ vn-1 = 1 + 4 + 7 + …… + 1 +3(n-1) =
1+ 12 (n  1)  (4  1  3(n  1)) =1+ 12 (n  1)(3n  2) = 1 12 n 2  12 n
samenvatting rijen (v. 4.1) 24-7-2017
Meetkundige rijen
Een paar voorbeelden:
1, 2, 4 , 8, ..
10, 30, 90, 270, ..
80, -40, 20, -10, ….
100; 80; 64; 51,2 ; …
Een begin getal en een vaste vermenigvuldigingsfactor.
Dus in plaats van steeds het zelfde getal erbij wordt steeds met het zelfde getal vermenigvuldigd .
Dit getal wordt wel de reden genoemd. Bij de eerste rij is dat 2, bij de tweede 3, bij de derde - 0,5 en
bij de vierde 0,8. Deze reden is eigenlijk een groeifactor
We kunnen de rijen weer kort karakteriseren m.b.v. recursievergelijkingen:
1, 2, 4 , 8, ..
t1 = 1;
tn+1=tn2
10, 30, 90, 270, ..
t1 = 10;
tn+1=tn3
80, -40, 20, -10, ….
t1 = 80;
tn+1=tn-0,5
100; 80; 64; 51,2 ; …
t1 = 100;
tn+1=tn0,8
Bij de rangnummerformules moet je weer goed denken om het aantal ‘stappen’
Zo is de 37e term van de 2e rij: 10336
En de 50e term van de 3e rij : 80(-0,5)49
Als je het eerste getal a noemt en de reden
tn  a  r
r krijg je zo de formule:
n 1
somrij
Het zelf afleiden van een formule voor de som van een meetkundige rij is wat lastig., en de formule
zelf is ook wat ingewikkelder dan bij een rekenkundige rij :
Sn  a
r n 1
1 rn
a
r 1
1 r
De tweede formule is handiger als -1< r <1 Je kunt ermee zelfs de som van de oneindige rij
1+0,5+0,25+ ……. bepalen. Deze is 2 (ga na!)
Iets makkelijker te onthouden is misschien
volgende term  eerste term
r 1
Toepassing
Wanneer je elke maand 100 euro op de bank zet, tegen een rente van 0,2 % per maand, hoeveel geld
heb je dan na een jaar ?
Als je 12 maal stort, krijg je de volgende berekening:
De 100 euro die je een maand daarvoor hebt gestort is nu waard : 1001,002
De 100 euro die je 2 maanden daarvoor hebt gestort is nu waard : 1001,0022
De 100 euro die je 3 maanden daarvoor hebt gestort is nu waard : 1001,0023
…………………
De 100 euro die je 12 maanden daarvoor hebt gestort is nu waard : 1001,00212
Samen : 1001,002+ 1001,0022+…………. + 1001,00212
100,2+ 100,21,002+…………. + 100,21,00211
Dit is de som van 12 stortingen Volgens de somformule is dat gelijk aan
1,00212  1
1,0242..  1
0,024265768
S12  100,2
 100
 100
 1213,29
1,002  1
0,002
0,002
Let op de rol van de (zeer kleine) noemer !
samenvatting rijen (v. 4.1) 24-7-2017
Gebruik van je Grafische rekenmachine
Wanneer het gaat om andere rijen, of wanneer je je antwoorden wilt controleren kun je gebruik maken
van je grafische rekenmachine.
Zie daarvoor http://wiskunde.stmichaelcollege.nl/GRM
samenvatting rijen (v. 4.1) 24-7-2017