Rijen - Jacques Janssen

Hebben ze het nog wel op een rijtje
bij wiskunde C?
Foto :
Krista van der Niet
Introductie: rij van vijf
• Jacques Jansen(Strabrecht College Gedrop)
([email protected])
• Hielke Peereboom(cTWO)
• Michiel Doorman (Fr.)
• Floor Lamoen
(docent,passen&meten )
• Simon Biesheuvel (docent, casio)
Programma
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Intro
Eindtermen rijen
Tot standkoming van materiaal
Achterliggende ideeën
Andere namen
Vermoedens
Aan het werk: 7 minuten
Voorbeelden
Terugblik
Rijen rubberen matjes
Peter Kilchmann, Zurich
C 1000
C 1000
Joke van………
Kent u die uitdrukking?
Joke van………
Kent u die uitdrukking?
Joke zegt:
•Ze hebt ze nog alle
honderd op een rijtje,
hoor.
Uitdrukkingen
•
•
•
•
Alles op een rijtje hebben
Ze niet alle vijf op een rijtje hebben
De voorste rijen sluiten
Alle argumenten op een rijtje zetten
De kandidaat kan
• Zowel met een recursief voorschrift als met
een directe formule werken
• Directe formule opstellen bij rijen met een
exponentieel en een lineair verband
• Recursieve formule opstellen bij gegeven rij
• Bij een rij de begrippen somrij en verschilrij
gebruiken
• Wat valt op?
Andere namen voor:
•
•
•
•
Meetkundige rij
Rekenkundige rij
Rangnummerformule
Recurrente betrekking
Recurrente betrekking
Uit de telduivel
Even
namen
oefenen
Probleem 79 uit Rhind-papyrus
Belangrijke informatiebron
over wiskunde uit het oude
Egypte
Probleem 79
•
•
•
•
Er zijn zeven huizen;
In elk huis zijn zeven katten;
Elke kat eet zeven muizen;
Elke muis eet zeven korenaren(b. d. v.
korenhalm)
• Elke korenaar zou zeven hekaten(eenheden)
hebben opgeleverd
• Wat is hiervan het totaal aantal eenheden?
oplossing
• 19607
• Hoe deden de Egyptenaren dat?
Chinese keizer en rooster(15n.)
Keizerin
:1
Gemalinnen :3
Echtgenotes :9
Concubines :27
Slavinnen : 81
Van Marcus Du Sautoy
Formules van de 7 rijen uit de Telduivel
• Duivelse opdracht! Zeven minuten.
• Stel de directe en recurrente formules op
zover dat mogelijk is.
Duivelswerk
U(n)=
U(n)=
startwaarde
Natuurlijk
n
U(n)+1
1
Oneven
2n-1
U(n)+2
1
Priemgetal
/
/
2
U(n-1)+U(n-2)
1 en 1
Fibonacci
(1  5) n  (1  5) n
2n  5
Driehoeksgetal
0,5n(n+1)
U(n-1)+n
1
Machten van 2
2^n
2*U(n-1)
1
Faculteit
n!
n*U(n-1)
1
Jamblichus van Chalkis
•6
•28
•496
•8128
Perfecte getallen
• Ondertussen weten wij beter. De eerste zeven
getallen van deze rij zijn:
• 6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056,
37438691328 .
Een heel goed 2011
• 2011, 6034, 3017, 9052, 4526, 2263, 6790,
3395, 10186, 5093, 15280,
• 7640, 3820, 1910, 955, 2866, 1433, 4300,
2150, 1075, 3226, 1613,
• 4840, 2420, 1210, 605, 1816, 908, 454, 227,
682, 341,
• 1024, 512, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1
Eindige rijen: “Het vermoeden van
Collatz”
Vermoedens
•
•
•
•
•
•
1+2^1
1+2^2
1+2^4
1+2^8
1+2^16
1+2^32
3
5
17
257
65537
4294967297
Hoe bewees Euler dat 1+2^32 deelbaar is door
641?
Rij van…………en vermoeden
•
•
•
•
•
8^1-1
8^2-1
8^3-1
8^4-1
Veronderstel dat 8^6-1 is een……….hoe zit het
dan met 8^7-1??
uitwerking
• 8^7-1=8(iets met voorganger doen)-1
• 8^7-1=8(8^6-1)+8-1
• 8^7-1=zevenvoud+7
(Visie(uit: scheurkalender 13 feb)
• Visie is de beste manifesstatie van creatieve
verbeeldingskracht en de voornaamste
drijfveer voor menselijke daden. Het is het
vermogen om voorbij de huidige realiteit te
kijken en dat te scheppen of uit te vinden wat
nog niet bestaat, om dat te worden wat wij nu
nog niet zijn.
Aandachtspunten
• Bewust omgaan met algebraïsche)
bewerkingen(Niet meteen beginnen met
rangnummers of indices)
• Contexten aansluiten bij dit cultuurprofiel
• Nieuwe contexten en voorbeelden en
invalshoeken maar ook dwarsverbanden
• Ook onderzoekgericht bezig zijn
• Oefening en samenvatting
Maatsystemen:
Architect Le Corbusier: Gulden Snede getal: 1,62

1 5
 1, 62
2
Rode en blauwe getallen
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R9
R10
R11
R12 R13
6
9
15
24
39
63
102
165
267
432
698
113
0
182
9
b1
b2
b3
b4
b5
b6
b7
b8
b9
b10
b11
b12
b13
11
18
30
48
78
126
204
330
534
863
1397
226
1
Plastisch getal van architect Dom van der
Laan
Uit
volgt
l h

1 l
Leg uit waarom
dat zo is:
l h bl
 
b l
h
h  l2
h
l 1 l

1
h
l 1 l

1 l2
l 1 l

1 l2
l3  1 l
l
b
  1,3247
Maatsysteem voor 3D
• Neem voor een kleinste maat 10 cm en werk
met de recursieve formule:
•
u (n)    u (n  1)

u (1)  10
• Tot welke maten leidt een dergelijk stelsel?
Schrijf er een aantal op.
Rijen van figuurlijke getallen
Uit Pythagoras: kleine nootjes
• Loes, Karel en Merel fietsten tijdens hun vakantie
100 km in vijf dagen. Elke dag reden ze zes
kilometer meer dan de vorige dag. Hoeveel
kilometer fietsten ze op de eerste dag?
• Twee mannen reden met een landrover 12250
km in 28 dagen in Afrika.(lengte van Afrika is
ongeveer 8000 km). Elke dag reden ze 15 km
meer dan de vorige dag. Hoeveel km reden ze op
de eerste dag?
Zakje frites en Kwadratisch verband
O=ax^2
Uitslag zakje frites
•
•
De uitslag van de verpakking vult precies een rechte hoek op van
een vierkant stuk karton.
De uitslag bestaat uit twee delen. Een deel is het achtste deel van
een cirkel en het andere deel is het achtste deel van dezelfde cirkel
met een stuk eruit.
• Geef de waarde van a van de
formule O=ax^2 .
Rijen van figuurlijke getallen en verschilrijen
n
for
1 2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3
0,5n(n+1)
1 3
6
10
15
21
28
36
45
55
66
4
n^2
1 4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
5
0,5n(3n-1)
1 5
12
22
35
51
70
92
117
145
176
6
?
1 6
15
28
45
66
91
120
153
190
231
7
1 7
8
1
9
1
10
1
11
1
12
1
De som van kwadraten van Fibonacci-getallen
term
1
1
2
3
5
8
13
21
34
kw
1
1
4
9
25
64
169
441
1156
som
1
2
6
15
40
104
273
714
S (n)  f (1)2  f (2)2 ......... f (n)2
Vragen ?
•
•
•
•
•
Ideeën
Aanvullingen
Opmerkingen
Bronnen
Terugblik
Bedankt!!