KRACHTEN SAMENSTELLEN EN ONTBINDEN (vectoren)

MICROCURSUS: KRACHTEN
SAMENSTELLEN EN ONTBINDEN
(vectoren)
Auteur: Jan van de Velde
1: Afspraken: we kunnen niet zonder
1.1 Grootheden en eenheden
Voor de grootheid “kracht” wordt het symbool “F” (van het Engelse Force) gebruikt.
De eenheid van kracht is de newton (voluit in kleine letters) met als SI-symbool “N” (van diezelfde Isaac
Newton)
Verder is het soms handig als je weet wat cosinus, sinus en tangens van een hoek zijn, en hoe je die
uitrekent. (maar ook zonder kom je een heel eind)
1.2 Krachten hebben een grootte en richting
Een kracht is een invloed op een voorwerp, die aan dat voorwerp een versnelling geeft. Dat wil zeggen
dat de snelheid van een voorwerp verandert (bedenk dat een vertraging -afremmen- dus een negatieve
versnelling is)
Een grotere kracht heeft een grotere versnelling tot gevolg.
...............
(Afb.1)..............een kracht heeft een GROOTTE..............
Als een kracht naar links aan een voorwerp trekt, dan zal het voorwerp naar links gaan bewegen.
...................een kracht heeft een
RICHTING...............
..............
(Afb.2)
1.3 Krachten tekenen
Je wilt voorspellen hoe snel een voorwerp gaat bewegen, en welke kant op, als er een kracht op werkt.
Van een kracht moet je dus zowel grootte als richting kennen.
Een pijl heeft die twee eigenschappen óók:
- een grootte (lengte);
- en natuurlijk kun je een pijl een richting op laten wijzen.
Dus kunnen we pijlen gebruiken om krachten weer te geven
Een moeilijk woord voor zo'n pijl is een VECTOR.
vergelijk de lengtes in het plaatje:
......................
(Afb.3)
De rode vector stelt een kracht van 80 N voor, en is twee maal zo lang getekend als de blauwe van 40 N.
We zeggen dan ook wel dat kracht een VECTORGROOTHEID is
En om aan te geven dat het om een vectorgrootheid gaat,
zetten we dan vaak nog een pijltje boven de F:
1.4 Aangrijpingspunt van een kracht
Een kracht zal tegen een voorwerp duwen, of er aan trekken.
Het punt waar de kracht werkelijk op werkt noemen we het AANGRIJPINGSPUNT .
...
........
(Afb.4)
Op dat aangrijpingspunt tekenen we de voet van de vector. Hierboven is dat het oppervlak van de
belknop.
Zoals je ziet geven we vaak nog met kleine letters onder de F aan wat de oorzaak van de kracht is,
bijvoorbeeld:
Fvinger, Felastiek of met afkortingen: zwaartekracht Fz, normaalkracht Fn, wrijvingskracht Fw, etc.
2: Krachten die in één lijn op een voorwerp
werken
2.1 Resulterende kracht
Het komt niet vaak voor dat er op een voorwerp maar één kracht werkt. Meestal zijn het er meer.
Toch kan een voorwerp, zonder uit elkaar te vallen, maar in één richting gaan bewegen.
Hieronder werken twee krachten die even groot zijn, maar tegengesteld van richting:
(Afb.5)
Je snapt dat wanneer twee locomotiefjes:
.......... elk met een kracht van 20 N, (dus precies even hard)
...........maar in tegengestelde (!) richtingen
aan een wagon trekken, dat de wagon geen kant op gaat.
Schematisch tekenen we dat zó:
(Afb.6)
De wagon komt niet in beweging, hij krijgt dus geen versnelling.
Dat betekent dat het resultaat van F en F samen op de wagon nul is.
Het resultaat van alle krachten die samen op een voorwerp werken noemen we de
RESULTANTEKRACHT of ook wel de NETTOKRACHTDe resultantekracht Fresvan het
locomotievengevecht is dus 0 N
Hoe stel je je zoiets voor? Denk dan eens even de blauwe locomotief weg,
en laat bijvoorbeeld één seconde lang alleen de rode locomotief werken.
Laten we zeggen dat de wagon daardoor 6 cm naar rechts gaat.
Dan koppelen we de rode af, en laten de blauwe locomotief ook precies één seconde trekken.
Omdat de kracht even groot is, zal die hetzelfde effect hebben.
De wagon rijdt in die ene seconde dan ook weer 6 cm de andere kant op.
(Afb.7)
Het resultaat is dat de wagon weer precies op zijn oude plaats staat.
Het is net of hij niet bewogen heeft.
Dit noemen we ook wel de [b]ÉÉN-VOOR-ÉÉN-METHODE[/b]
LET OP: Dit mag je alléén doen met krachten die HETZELFDE AANGRIJPINGSPUNT hebben.
2.2 Grafisch oplossen: één-voor-één-methode
Het locomotievengevecht:
We verschuiven één vector zó dat hij met zijn voet terecht komt op de punt van de ander:
(Afb.8 )
Deze methode kun je ook toepassen als de krachten elkaar "meehelpen":
stappenplan
Stap 1: Teken de vectoren netjes op schaal, (hier: 1 cm op de tekening komt overeen met 10 N)
(Afb.9)
Stap 2: Verschuif weer één vector zodat hij met zijn voet op de punt van de andere terechtkomt:
(Afb.10)
Stap 3: Teken nou je resultantekracht vanaf de voet van de rode tot de punt van de blauwe vector.
Die is 5 cm lang, en dat komt op deze schaal dus overeen met 50 N.
(Afb.11)
Hierboven heb je gezien hoe je het oplost als twee krachten op één lijn werken.
Dat kan natuurlijk ook voor méér dan twee krachten:
Stappenplan:
We denken ons weer in dat de krachten één voor één even mogen werken:
Stap 1: Teken de vectoren netjes op schaal, (hier: 1 cm op de tekening komt overeen met 10 N)
(Afb.12)
Stap 2: Verschuif weer één vector (hier de blauwe)zodat hij met zijn voet op de punt van een andere
(hier de rode) terechtkomt, en verschuif dan de derde (lila) zodat hij met zijn voet op de tweede
(blauwe) terechtkomt:
(Afb.13)
Stap 3: Teken nou je resultantekracht vanaf de voet van de eerste rode tot de punt van de laatste
blauwe vector.
(Afb.14)
Probeer dit ook maar eens door eerst de blauwe aan de lila te plakken, en daarna de rode aan de
blauwe:
de volgorde maakt helemaal niets uit.
2.3 Berekenen
Weer het locomotievengevecht:
Zet de vectoren maar eens in een diagram (assenstelsel), met hun aangrijpingspunten in de oorsprong:
(Afb.15)
Je ziet dat de blauwe kracht negatief is ten opzichte van de rode.
Als je die twee krachten dan bij elkaar optelt schrijf je dus:
Fres= (+20 N) + ( -20 N )= 0 N
Krachten die op één lijn werken kun je dus bij elkaar optellen.
Dit kan natuurlijk ook met krachten die dezelfde richting op werken.
Zet ze weer in een assenstelsel, allebei weer met het aangrijpingspunt in de oorsprong:
(Afb.16)
Fres= (+20 N) + ( +30 N )= 50 N
Ook voor de drie krachten kan dat:
(Afb.17)
Teken ze weer netjes in een assenstelsel, en dan zie je:
Fres= (+15 N) + ( +25 N ) + ( - 20 N) = 20 N
LET OP: Valt je op dat we de krachten dus steeds OPTELLEN, maar een kracht die een andere
richting heeft een ander teken (-) geven?
Zo raak je minder gauw in de war. Ook wiskundig is dat logischer.
3: Meerdere krachten die in één vlak op een voorwerp
werken
(Afb.18 )
De rode tractor trekt schuin naar links aan de paal, de blauwe trekt schuin naar rechts. Je ziet het al
aankomen, als de paal gaat vallen zal dat recht vooruit zijn, tussen de twee tractoren in.
3.1 Grafisch oplossen; één voor één methode:
Denk je weer in dat je de twee krachten één voor één even mogen werken:
Stap 1: Teken de vectoren netjes op schaal, (hier: 1 cm op de tekening komt overeen met 2000 N)
(Afb.19)
Stap 2: Verschuif weer één vector zodat hij met zijn voet op de punt van de andere terechtkomt:
(Afb.20)
Stap 3: Teken nou je resultantekracht vanaf de voet van de rode tot de punt van de blauwe vector.
(Afb.21)
Stap 4: Meet nou je resultantevector:
Die is 4 cm lang, en dat komt op deze schaal dus overeen met 8000 N.
Vreemd?
Twee krachten van 5000 N elk, die samen een resultantekracht leveren van 8000 N in plaats van 10000
N?
Nou, nee hoor, heel logisch eigenlijk. De tractoren trekken ook een beetje opzij, en zijn dus eigenlijk ook
een beetje een locomotievengevecht aan het voeren. Daar gaat een deel van hun kracht naar toe.
Teken nog maar eens zo’n schema, maar nou met de twee tractoren die nog verder uit elkaar trekken
(de blauwe en rode vectoren komen vlakker te staan in je schema).
De resultantekracht recht vooruit wordt kleiner.
En nog vlakker, en nog vlakker, net zo lang tot beide krachten net als de locomotieven lijnrecht tegen
elkaar inwerken.
Dan heb je twee krachten van 5000 N elk, en een resultante van maar 0 N !
3.2 Grafisch oplossen; parallellogram-methode:
Je weet nu hoe je aan die resultantevector komt. Er is nog een andere methode met hetzelfde resultaat:
de parallellogram-methode.
Als de krachten in één lijn werken maakt het niet uit welke kracht je éérst laat werken in de één voor
één methode .
Ook hier geldt dat:
(Afb.22)
Het komt er eigenlijk op neer dat je elke vector parallel aan zichzelf verschuift:
(Afb.23)
In het eerste plaatje zie je een vierhoek ontstaan, waarvan de tegenoverstaande zijden parallel aan
elkaar lopen.
Zo'n bijzondere vierhoek heet een parallellogram.
In het tweede plaatje zie je dat de resultantevector precies in het snijpunt van die parallelle lijnen
uitkomt.
Grafisch werkt de paralellogrammethode ietsje nauwkeuriger, omdat je geen lengtes meer hoeft te
meten.
Bij het ontbinden van vectoren kun je niet zonder dit truukje.
3.3 Grafisch oplossen; één voor één methode voor meer dan 2 krachten:
Voor meerdere krachten werkt het net eender.
Denk je weer in dat je ze één voor één zou laten werken:
(1) teken het schema .......... (2) verschuif één vector (bijv blauw).......... (3)dan lila.................................................... (4)
teken de resultante
(netjes op schaal)................. met zijn voet naar de punt van rood ............ met zijn voet naar de punt van blauw .......... van
de voet van rood naar de punt van lila
........
(Afb.24)
De lengte van de resultantevector kun je nou netjes opmeten, en via de schaal die je gebruikt hebt
omrekenen naar een kracht.
In deze mooie applet van Fendt en Koops kun je zien hoe je meerdere krachten samenstelt met die één
voor één methode.
Speel er eens mee, heel leerzaam!!
3.4 Grafisch oplossen; parallellogram-methode meer dan 2 krachten:
Dit gaan we hier niet helemaal uittekenen. Je neemt eerst twee krachten, en bepaalt hiervan de
(voorlopige) resultante met de parallellogram-methode. Dan teken je wéér een parallogram, maar nou
met de voorlopige resultante en de derde kracht. Daaruit komt dan je uiteindelijke resultante.
3.5 Berékenen voor krachten onder een rechte hoek: Pythagoras:
Met die grafische oplossing moeten we al héél netjes tekenen om de uitkomst precies te krijgen. Een
tikje afwijken in een grootte of een richting geeft gelijk een afwijking in je uitkomst. Dat wil niet zeggen
dat die grafische oplossing waardeloos is; soms is het genoeg als je het ongeveer weet, en het kan ook
een handige methode zijn om de uitkomst van een berekening te controleren.
We gaan eerst eens kijken naar het eenvoudige geval van twee krachten die werken in richtingen
loodrecht op elkaar.
Onder een hoek van 90° dus (een rechte hoek):
(Afb.25)
We hebben de blauwe vector alvast verschoven en de resultante getekend.
Dit geeft een rechthoekige driehoek, met de rechthoekszijden ra van 40 mm en rb van 30 mm , en de
schuine zijde sc.
Volgens de wet van Pythagoras geldt nu :
ra² + rb² = sc²
Als je dat invult krijg je:
40² + 30² = sc²
1600 + 900 = sc²
2500 = sc²
sc= √2500 = 50 mm
De driehoek was getekend op een schaal 1 mm = 1 N, dus Fres= 50 N….. meet maar na.
(In de bovenstaande voorbeelden komen we steeds op mooie ronde getallen uit. Dat is alleen omdat de
groottes en richtingen van de vectoren precies zó gekozen zijn dat je desnoods uit het hoofd zou kunnen
meerekenen.)
3.6 Berékenen voor krachten onder een andere hoeken: goniometrie:
Vanaf hier zul je moeten weten wat sinus, cosinus en tangens van een hoek betekenen.
Loop je daarin vast, kijk dan eerst maar eens in de microcursus sinus-cosinus-tangens
We gaan weer eens even naar onze tractoren kijken: twee krachten die gelijk zijn van grootte, en die
onder gelijke hoeken aan de paal trekken
Samen gaven die twee een kracht recht vooruit met een grootte van 8000 N. Ze waren elk even groot,
en weken evenveel af van de uiteindelijke richting van de resultante. Het is dan ook logisch om te
zeggen dat ze elk 4000 N in de goede richting meehielpen. (In dit plaatje kun je dat met behulp van
Pythagoras nog zelf narekenen.)
Vaak zul je echter een hoek gegeven krijgen tussen de vectoren en de resultante
(Afb.26)
We geven de hoek α = 36,9°. Dan kijken we naar de driehoek die gevormd wordt door de krachtvector,
de resultante en de lijn van de punt van de krachtvector die loodrecht op de resultante uitkomt.
stap 1: geef de zijden van de rechthoekige driehoek een naam gezien vanuit de bekende hoek:
(Afb.27)
stap 2:zet op een rijtje wat je weet en wat gevraagd wordt:
hoek α = 36,9°
schuine zijde = 5000 N
aanliggende rechthoekszijde = ?? N (gevraagd)
stap 3: zoek de goniometrische formule die je nodig hebt.
Aan tangens of sinus heb je niets, want daarvoor heb je de overstaande rechthoekszijde van hoek α
(ook) nodig.
De cosinus van een hoek kun je berekenen door de aanliggende rechthoekszijde te delen door de schuine
zijde:
stap 4: vul in en reken uit:
Op dezelfde manier kun je de rode vector bewerken. Je krijgt dan twee vectoren met een grootte van elk
4000 N die op één lijn in dezelfde richting werken, en die mag je dus gewoon optellen: 4000 N + 4000 N
= 8000 N:
(Afb.28 )
4: Ontbinden van een kracht
Hierboven kenden we twee krachten, en stelden die samen tot één resultantekracht. Andersom kan ook.
Dan kennen we één kracht, en willen die splitsen in twee krachten.
Kijken we weer naar de tractoren: we weten bijvoorbeeld dat we een kracht van 8000 N nodig hebben
om de paal omver te trekken
(Afb.29)
De vraag wordt nu, hoe hard moet elk van de tractoren trekken zodat ze samen die paal omver krijgen?
Dat kunnen we oplossen als we óf de richtingen, óf de grootte van die krachten kennen.
4.1 Grafisch oplossen met bekende richtingen:
Kijk we even terug naar de parallellogrammethode: Dat gaan we eens even andersom doen.
Stap 1: teken de richting waarin de tractoren trekken:
(Afb.30)
Nou moeten we nog de grootte van de kracht van elke tractor bepalen.
Bij het samenstellen van krachten zag je de parallogrammethode.
Je weet dus dat het snijpunt van die parallelle lijnen op de punt van onze resultantevector kwam te
liggen:
Stap 2: teken de parallellen door de punt van de resultante:
(Afb.31)
Stap 3: teken je vectoren naar de hoeken van het parallellogram:
(Afb.32)
Stap 4: opmeten en omrekenen via schaal:
Als je netjes meet vind je 2,5 cm. Op de schaal 1 cm= 2000 N betekent dat 5000 N.
Nou lijkt dat natuurlijk leuk, zo met die gelijke hoeken.
Het werkt ook prima voor ongelijke hoeken:
kijk maar: .............
(Afb.33)
Dat betekent natuurlijk dus wel dat de rode tractor veel harder moet werken.
4.2 Berekenen met bekende richtingen:
Het is altijd slim tóch even een schetsje te maken:
Stap 1: teken de richting waarin de tractoren trekken:
(Afb.34)
We hebben dus een kracht A die trekt onder hoek α, en een kracht B die trekt onder hoek α. Hoek α =
36,9°.
De twee vectoren die samen Fres gaan vormen zullen dezelfde richting hebben als Fres
Stap 2: Voor je overzicht: schets die twee vectoren, en de rechthoekige driehoeken waarvan ze een
onderdeel zijn:
(Afb.35)
Omdat de hoeken waaronder de tractoren trekken gelijk zijn, weten we ook dat de grootte van hun
krachten gelijk moet zijn (hoef je niet te onthouden, dat zie je als je het parallellogram tekent).
dus geldt : 2·A = 8000 N ==> A = 4000 N.
je kent de aanliggende rechthoekszijde A van hoek α, je kent hoek α, en de schuine zijde C wordt
gevraagd:
Stap 3: Zoek de goniometrische formule waarin de aanliggende rechthoekszijde , de schuine zijde en de
hoek α voorkomen:
cos(α) = aanliggende rechthoekszijde / schuine zijde
Stap 4: vul in en reken uit:
cos(α) = A/C = 4000 N / C
Dus: C= 4000 N / cos(36,9°) ≈ 5000 N.
4.3 Grafisch oplossen met bekende groottes:
Gegeven wordt nu hoe hard elke tractor trekt, en welke kracht nodig is om de paal omver te krijgen.
De vraag is nu: Onder welke hoek moet elke tractor trekken om de paal de goede kant op te laten
vallen?
We gebruiken nu eens ongelijke krachten, 200 N en 300 N, en de resultante moet 400 N groot zijn.
Stap 1: teken op schaal de resultantevector Fres :
Hier doen we dat even naar rechts, om het plaatje niet te groot te laten worden. In het plaatje zijn alle
stappen samengevat.
Stap 2: eerste kracht afpassen:
De blauwe vector heeft een onbekende richting.
Als je alle punten bedenkt waar die vector zou kunnen uitkomen, vormen die punten een cirkel rond de
voet van Fres.
De straal van die cirkel is gelijk aan de grootte van de kracht van de blauwe tractor.
Stap 3: tweede kracht afpassen:
Doe hetzelfde voor de kracht van de rode tractor, maar nu vanuit de punt van Fres
Stap 4: teken je vectoren door de snijpunten van de cirkels te verbinden met voet en punt van Fres
Stap 5: meet je hoeken:[/u]
(Afb.36)
4.4 Berekenen met bekende groottes:
De drie krachten kun je tekenen in een driehoek zoals hier:
(Afb.37)
Hieruit kan je met behulp van de cosinusregel de hoeken α en β oplossen, omdat alledrie de zijden van
de driehoek bekend zijn.
Voor verdere uitleg over de cosinusregel moet je in een aparte cursus wezen......
Voor het driehoekje hierboven is de standaard-cosinusregel even voor je omgewerkt:
De functie arccos (boogcosinus) vind je op je rekenmachine misschien met de aanduiding cos-1