Uitwerkingen brede opgaven hoofdstuk 3

Uitwerkingen brede opgaven hoofdstuk 3
Opgave 1
a Zie figuur 1.
Figuur 1
1
h
AB
 2
BC
3,5
1
h
Hieruit volgt: sin 1,5  2
en h = 0,18 m
3,5
Opmerking
De oplossingsmethoden met h = 3,5  sin 3,0o en h = 3,5  tan 3,0o zijn
wiskundig niet correct.
1
b Voor de frequentie geldt: f  , waarin T gelijk is aan de tijdsduur van
T
één op- en neergaande beweging. Dit is de tijd die nodig is voor het
afleggen van 10 m met de snelheid van 60 km/h.
Omdat de auto met constante snelheid rijdt geldt:
60
s  v  t met v 
 16,7 m/s
3,6
s 10
Hieruit volgt: T  t  
 0,600 s
v 16,7
1
1
Dus: f 

 1,7 Hz
T
0,600
c Voorbeelden van argumenten zijn:
− Als de snelheden groter dan 40 km/h zijn is het discomfort bij een
golflengte van 7 m kleiner dan bij de geadviseerde golflengtes. Als je bij
een golflente van 7 m harder rijdt dan 40 km/h dan rijd je aangenamer
dan wanneer je met zo’n snelheid over een weg met een golflengte van
10 m zou rijden.
− Bij een golflengte van 7 m neemt het discomfort af als de snelheden
groter zijn dan 40 km/h. Het is aangenamer om met een snelheid van
60 km/h te rijden dan met een snelheid van 40 km/h.
− Als de snelheden kleiner zijn dan 40 km/h is het discomfort bij de
geadviseerde golflengtes kleiner dan bij een golflengte van 7 m. Bij deze
snelheden is het dus aangenamer rijden met een snelheid van
bijvoorbeeld 30 km/h dan wanneer de golflengte 7 m zou zijn.
m
d Voor de trillingstijd T van een massaveersysteem geldt: T  2π 
C
In ∆ ABC geldt: sin α 
VW O 5 UITW ERKINGEN BREDE OPGAVEN HOOFDSTUK 3
1 van 5
Hierin is m = 1,2∙103 kg en C = 2,1∙105 N/m
Dus: T  2π 
1,2  10 3
= 0,475 s
2,1  10 5
1
1

 2,1 Hz
T
0,475
e Als de frequentie waarmee de auto gaat trillen in de buurt komt van, of
gelijk is aan, de eigenfrequentie, treedt er resonantie op. Dan wordt de
amplitude van de trilling erg groot en wordt de auto moeilijk bestuurbaar.
De eigenfrequentie is dan: f eigen 
Opgave 2
a Je kunt de maximale snelheid bepalen met: vmax =
Hierin is A = 0,46 m en T =

vmax =
2π  A
T
12,0
= 4,8 s
2,5
2 π  0,46
= 0,602 m/s = 0,60 m/s
4,8
Opmerking
De grootte van de maximale snelheid is ook gelijk aan de absolute waarde
van de steilheid van de grafiek in het (u,t)-diagram op de tijdstippen dat het
trillende voorwerp door de evenwichtsstand gaat.
Met behulp van de steilheid kun je bepalen:
1,00
vmax =
= 0,625 m/s
1,6
Door de teken- en afleesonnauwkeurigheid kom je dan meestal niet precies
uit op de waarde die in de vraag staat.
b Voor het berekenen van de maximale kinetische energie moet je bedenken
dat het raamwerk een andere snelheid heeft dan de kinderen.
Voor de maximale kinetische energie van de kinderen geldt:
Emax,kinderen = 12 mkinderen ∙ (vmax,kinderen)2 = 12  (40 + 40)  0,6022 = 14,503 J
Voor de maximale kinetische energie van het raamwerk geldt:
Emax,raam = 12 mraam ∙ (vmax,raam)2
De slingerlengte voor het raamwerk is gelijk aan 14 van de slingerlengte
voor de kinderen. Dus is ook de maximale snelheid van het raamwerk 14 van
de maximale snelheid van de kinderen. Dan is:
Emax,raam = 12  30  ( 14  0,602)2 = 0,3398 J
De totale trillingsenergie in situatie 1 is dan 14,84 J = 15 J
l
c Voor de trillingstijd T van een slinger geldt: T  2π 
g
Het raamwerk hangt stil. De slingerlengte l van de schommelende kinderen
is nu kleiner. Bij een kleinere lengte l is de trillingstijd dus ook kleiner
geworden.
d Nu het raamwerk stil hangt, is de massa van het trillende deel maar 80 kg.
2π  A
Voor de maximale snelheid geldt: vmax =
T
l
Voor de trillingstijd T geldt: T  2π 
g
VW O 5 UITW ERKINGEN BREDE OPGAVEN HOOFDSTUK 3
2 van 5
In situatie 2 is de slingerlengte 0,75 keer de slingerlengte in situatie 1.
Dan is: T2  0,75  T1
In situatie 2 is de amplitude van de kinderen gelijk aan de amplitude in
situatie 1.
2π  A
Uit vmax =
volgt dan dat in situatie 2 de maximale snelheid van de
T
1
kinderen
keer zo groot is als in situatie 1.
0,75
0,602
Dus: vmax, 2 
 0,695 m/s
0,75
Voor de maximale kinetische energie geldt dan:
Emax,2 = 12  80  0,6952 = 19,33 J = 19 J
De totale trillingsenergie is in situatie 2 dus groter dan in situatie 1.
Opgave 3
a Voor de trillingstijd T van een slinger met een kleine uitwijkingshoek geldt:
l
T  2π 
g
In 2,3 s beweegt de kogel van een uiterste stand naar de evenwichtsstand.
Dus: 2,3 s = 14 T

T = 4  2,3 = 9,2 s
Dan geldt: 9,2  2 π 
l
9,81

De lengte l van de kabel is 21 m.
b Zie figuur 2.
Figuur 2
AC
l  Δh

BC
l
Hieruit volgt: l  cos 25o = l – Δh
Dus: Δh = l – (l ∙ cos 25o) = l ∙ (1 – cos 25o) = 0,0937 ∙ l
Tijdens de beweging van een omkeerpunt naar de evenwichtsstand wordt
zwaarte-energie omgezet in kinetische energie.
2
Dan is: mg ∙ Δh = 12 m  v max
 vmax  2 g  Δh
In ∆ ABC geldt: cos α 
Dus: vmax  2  9,81  (0,0937  l )  1,4  l
c Bij een cirkelbeweging geldt voor de middelpuntzoekende kracht:
mv2
Fmpz 
r
VW O 5 UITW ERKINGEN BREDE OPGAVEN HOOFDSTUK 3
3 van 5
In het laagste punt geldt: v = vmax en r = l
In het laagste punt van de slingbeweging werken twee krachten op de kogel:
de zwaartekracht en de spankracht. De resulterende kracht van deze twee
zorgt voor de middelpuntzoekende kracht en moet dus omhoog gericht zijn.
Dus is de spankracht groter dan de zwaartekracht.
450  (1,4  l ) 2
 Fspan  (450  9,81)
Fmpz = Fspan − Fzw

l
 882 = Fspan − 4414
De spankracht is dus: Fspan = 5,3∙103 N
Opgave 4
a Je kunt met de wet van arbeid en kinetische energie berekenen of de stuwkracht arbeid heeft verricht. Er geldt: ΣW  ΔEkin

Wzw,A→B + Wstuw = (Ekin,B – Ekin,A)

Wstuw = (Ekin,B – Ekin,A) – Wzw,A→B
De zwaartekracht verricht negatieve arbeid:
Wzw,A→B = 62,3∙103  9,81  (6,00∙103 – 7,50∙103) = –9,167∙108 J
Om ΔEkin te kunnen berekenen moet je de snelheden eerst omrekenen
in m/s.
675
vA = 675 km/h =
= 187,5 m/s
3,6
465
vB = 465 km/h =
= 129,2 m/s
3,6
ΔE kin  12  62,3  10 3  129,2 2  12  62,3  10 2  187,5 2  5,751  10 8 J
 Wstuw = −5,751∙108 – (−9,167∙108) = 3,42∙108 J
Dus de stuwkracht heeft positieve arbeid verricht.
b Zie figuur 3.
Figuur 3
VW O 5 UITW ERKINGEN BREDE OPGAVEN HOOFDSTUK 3
4 van 5
Voor de krachten in punt B geldt:
– Flift,B = 0
– Fzw is constant want m en g veranderen niet merkbaar van waarde
tijdens de vlucht en dus geldt: Fzw,B = Fzw,A
– Fzw,B is de resulterende kracht omdat het vliegtuig een vrije val maakt.
– Fstuw,B is langs de raaklijn van de baan gericht; Fstuw,B is gelijk maar
tegengesteld gericht aan Fwr,B.
In punt A geldt: vA = 187,5 ms-1; dus Fwr,A = k · 187,52
In punt B geldt: vB = 129,2 ms-1; dus Fwr,B = k · 129,22
Fwr,B 129,172
Hieruit volgt:

 0, 475
Fwr,A 187,52
Dus de lengte van de vectorpijl voor Fwr,B is gelijk aan 0,475  2,3 = 1,1 cm,
en hij is gelijk aan de lengte van Fstuw.
m
c Voor
de trillingstijd T van een massaveersysteem geldt: T  2π 
C
m
0,94
 2π 
 T = 2π
= 1,976 s
C
9,5
Voor de trillingstijd T van een slinger geldt: T  2π 
l
g
l
9,81
 De slingerlengte l is op de grond gelijk aan 0,97 m.
d Tijdens de paraboolvlucht zijn de waarden van C en m niet veranderd.
Dus voor het massaveersysteem geldt: Tmvs = 1,976 s.
Tijdens de paraboolvlucht blijft de waarde van l hetzelfde maar de waarde
van g is dan gelijk aan 0,01∙ g. De periode van de slinger is daardoor 10 keer
zo groot geworden, dus de periode van de slinger is: Tslinger = 19,76 s.
Tslinger
19,76

 10
Dus:
Tmvs
1,976

1,976  2π 
VW O 5 UITW ERKINGEN BREDE OPGAVEN HOOFDSTUK 3
5 van 5