Opgaven - VTK Gent

HOOFDSTUK 5.
TELPROBLEMEN
Opgaven
Combinatieleer
1.
Hoeveel tennismatchen worden er gespeeld op het Grand Slam tornooi van Wimbledon vanaf
de achtste finales t.e.m. de finale ?
2.
Bij een reeks voetbalwedstrijden wordt gewerkt met het zogenaamde ‘pouleconcept’ : de 24
deelnemende voetbalploegen worden onderverdeeld in 6 groepen of poules. Binnen één zo’n
poule komen de 4 ploegen één keer tegen elkaar uit (op neutraal terrein).
3.
a)
Hoeveel matchen worden er gespeeld ?
b)
Hoeveel matchen speelt elke ploeg ?
c)
Indien daarentegen elke ploeg in een poule één keer thuis speelt tegen elke andere
ploeg van de poule, hoeveel matchen dienen er dan te worden gespeeld ?
In een pokerspel beschikt men over 5 teerlingen waarop telkens 6 verschillende afbeeldingen
staan : 9,10,V,D,H en A. Onder een ‘tris’ wordt een combinatie verstaan waarbij 3 (of meer)
teerlingen eenzelfde afbeelding op het bovenvlak vertonen. Een ‘full house’ is een
combinatie waarbij 3 teerlingen eenzelfde afbeelding op het bovenvlak vertonen en de 2
overige teerlingen ook onderling eenzelfde afbeelding vertonen. Een ‘carré’ is een
combinatie waarbij 4 (of meer) teerlingen eenzelfde afbeelding op het bovenvlak vertonen.
Bij elke stap in het pokerspel mag een speler sommige (x) teerlingen laten liggen en met de
overige (5-x) teerlingen gooien (1 maal, met alle 5-x teerlingen tegelijk gooien). Bepaal de
kans dat een speler
a)
uitgaande van een tris (die geen carré is) een carré gooit
b)
uitgaande van een tris (die geen full house is) een full house gooit
c)
uitgaande van een tris (die geen full house is en geen carré) een full house of een
carré gooit
Hierbij mag telkens ondersteld worden dat de speler zijn strategie (nl. welke teerlingen laten
liggen en met welke teerlingen gooien) zo verstandig mogelijk kiest, om zijn kans op slagen te
maximaliseren.
4.
Een berucht combinatorisch probleem is het Handelsreizigersprobleem.
probleem als volgt formuleren.
HOOFDSTUK 5
TELPROBLEMEN
We kunnen dit
5.1
Een handelsreiziger vertrekt van bij een klant en moet een aantal klanten elk één keer
bezoeken. Tenslotte keert hij terug naar de eerste klant. Hoe moet hij zijn route uitstippelen
om zo weinig mogelijk kilometers af te leggen ? (Hierbij kent de handelsreiziger de kortste
route van elke klant naar elke andere klant, steeds tweerichtingsverkeer mogelijk).
Om dit probleem op te lossen, kunnen we alle mogelijke routes opsommen en voor elk van
deze routes het totale aantal kilometers berekenen. Hoeveel essentieel verschillende routes
moet men daarbij onderscheiden (i.f.v. n, het aantal klanten) ?
5.
Hoeveel oplossingen bezit de vergelijking
x+y+z = 9
a)
indien x,y,z natuurlijke getallen moeten zijn ?
b)
indien x,y,z strikt positieve natuurlijke getallen moeten zijn ?
6.
We beschikken over m⋅n verschillende voorwerpen. Op hoeveel verschillende manieren kan
men deze voorwerpen verdelen over m identieke dozen, zodat elke doos n elementen bevat ?
7.
Gegeven zijn twee natuurlijke getallen m en n (>1), die onderling ondeelbaar zijn. Wat is de
kans dat een random gekozen natuurlijk getal (kleiner dan m⋅n) niet deelbaar is door m en niet
deelbaar is door n ?
8.
De politiecommissaris is slachtoffer van een verkeersongeval en vraagt de identiteitskaarten
van de zeven getuigen. Na het noteren van de nodige informatie, geeft hij de kaarten terug,
evenwel zonder erop te letten of elke kaart terug bij de juiste persoon terechtkomt.
9.
a)
Op hoeveel manieren kan hij de kaarten teruggeven ?
b)
Wat is de kans dat een welbepaald persoon (bv. persoon 1) zijn eigen identiteitskaart
terugkrijgt ? Noem deze kans P1.
c)
Is de kans dat zowel persoon 1 als persoon 2 hun eigen identiteitskaart terugkrijgen
gelijk aan P12 ?
a)
Hoeveel verschillende (bestaande of fictieve) woorden kan men vormen door het
dooreengooien van de letters van het woord ‘mississippi’ ?
b)
*Hoeveel van deze woorden bevatten geen twee opeenvolgende letters s ? [Hint :
maak hierbij gebruik van een gelijkaardige redenering als in het bewijs van de correctheid van
de formule voor het aantal herhalingscombinaties.]
10.
*Wat is de kans dat in een groep van n personen er twee (of meer) personen dezelfde
verjaardag hebben ? (Neem aan dat een jaar steeds 365 dagen telt, geen schrikkeljaren.)
Hoeveel personen moet een groep bevat opdat de kans op het samenvallen van twee (of meer)
verjaardagen meer dan de helft zou bedragen ?
11.
*Hoeveel verschillende partities bezit een verzameling met n elementen ? Probeer een
algemene techniek te vinden om dit snel te kunnen berekenen. [Hint : Probeer Pm(n), het
aantal partities van een verzameling van n elementen bestaande uit m deelverzamelingen, te
schrijven in functie van Px(n-1)-termen. Bepaal hieruit een tabelvorm die gelijkaardig is aan
de driehoek van Pascal, waaruit P(n) kan bepaald worden.]
12.
Een optische communicatieschakelaar beschikt over N ingangspoorten en N uitgangspoorten.
Via elke poort kan één golflengte (gemoduleerd met informatie) passeren. We willen nu alle
mogelijke configuraties f(N) van deze knoop bepalen (om hieruit bv. de blokkeringskans van
de knoop te kunnen berekenen), d.w.z. alle mogelijke manieren waarop ingangspoorten
gelinkt zijn met uitgangspoorten. Welke golflengte precies deze link realiseert, is
onbelangrijk. Het aantal golflengten dat de knoop binnenkomt (en dus ook verlaat) noemen
we g (g = 1, …, N).
a)
HOOFDSTUK 5
Bepaal het aantal mogelijke knoopconfiguraties bij g = 1.
TELPROBLEMEN
5.2
b) Bepaal het aantal mogelijke knoopconfiguraties bij g = 2.
c)
Bepaal het aantal mogelijke knoopconfiguraties bij algemene g (= 0, …, N).
d) Controleer het resultaat uit c) voor g = 0 en voor g = N : komt dit overeen met je
verwachtingen ?
e)
13.
Bereken f(N) voor N = 1, 2, 3 en 4. Loopt f(N) op polynomiale of niet-polynomiale
manier op als N stijgt, denk je ? Wat kun je daaruit besluiten omtrent bovenstaande
werkwijze om de blokkeringskans van een knoop te berekenen bij bv. een 32×32 optische
communicatieschakelaar ?
Bepaal de term met x8 in de ontwikkeling van
5
⎛
1 ⎞ ⎛
1 ⎞
⎜⎜ x +
⎟⎟ ⋅ ⎜ 2x − 2 ⎟
3
x ⎠
x⎠ ⎝
⎝
14.
7
Bewijs de formule
n
∑ C kn = 2n
k =0
15.
*Het rekenkundig gemiddelde van n positieve reële getallen a1, a2, …, an wordt gegeven door
:
R.G.(a1,a2, …, an) = a1 + a2 + ... + an
n
het meetkundig gemiddelde wordt gegeven door :
M.G.(a1,a2, …, an) =
n
a1 ⋅ a2 ⋅ ... ⋅ an
Toon aan dat het rekenkundig gemiddelde niet kleiner kan zijn dan het meetkundig
gemiddelde. [Hint : maak gebruik van wiskundige inductie.]
16.
In de statistische fysica wenst men d deeltjes te verdelen over g gebieden. Hoeveel
mogelijkheden zijn er om dit te doen indien elk gebied een willekeurig aantal deeltjes kan
bevatten en de deeltjes onderling niet onderscheidbaar zijn ? (Bose-Einstein)
complexiteit van algoritmen
17.
Voor een bepaald probleem met karakteristieke dimensie N bestaan 4 mogelijke algoritmen.
Een bovengrens voor het aantal elementaire bewerkingen van deze algoritmen wordt
berekend :
ƒ
algoritme 1 : maximaal 2N2 + 4N + 1 bewerkingen
ƒ
algoritme 2 : maximaal N2 + 4Nlog10N + 15 bewerkingen
ƒ
algoritme 3 : maximaal 2e3-N + N2 ⎣N⎦ bewerkingen
ƒ
algoritme 4 : maximaal NN + 13N + 7 bewerkingen
Bepaal voor deze algoritmen tot welke klasse ze behoren (lineair, kwadratisch, logaritmisch,
...) en de bijhorende O(f(N)). Welke algoritmen zijn polynomiaal, welke niet ? Welk
algoritme zou je op basis van deze complexiteitsanalyse verkiezen voor probleeminstanties
met grote N ?
HOOFDSTUK 5
TELPROBLEMEN
5.3
18.
19.
We beschikken over een lijst van n gehele getallen en we gaan op zoek naar het getal x in
deze lijst. We weten dat dit getal x ten hoogste één keer voorkomt in de lijst. De kans dat x
i
. Als
gelijk is aan het element op positie i (i = 1, …, n) gegeven wordt door
n ⋅ (n + 1)
zoekalgoritme om x (al dan niet) te vinden in de lijst, doorlopen we de lijst lineair van voor
naar achter.
a)
Wat is het best-case aantal vergelijkingen bij dit algoritme (i.f.v. de karakteristieke
dimensie n) ? En worst-case ?
b)
*Bereken het gemiddelde aantal vergelijkingen bij het lineair zoeken van x in de lijst.
*Probeer een uitdrukking af te leiden voor de tijdscomplexiteit van het algoritme van Euclides
(cf. hoofdstuk 2). [Hint : kies a+b als karakteristieke dimensie N.] Hoe zou je het algoritme
kunnen aanpassen om de tijdscomplexiteit gevoelig te verbeteren ? [Hint : maak gebruik van
de modulo-bewerking ‘mod’.] Wat wordt de tijdscomplexiteit dan ?
HOOFDSTUK 5
TELPROBLEMEN
5.4