Bij sommige opgaven staat facultatief. Deze opgaven

RIJEN
bron:Annelies Rademakers beeldend kunstenares
Bij sommige opgaven staat facultatief. Deze opgaven hoeven niet perse gemaakt te worden.
1
Paragraaf 10: Introductie getallenrijen versie 3 24 januari
Wat wordt er bedoeld met getalrijen? Wat was er al heel lang geleden bekend over rijen en
wat waren enkele vermoedens van grote wiskundigen? Hoe ga je met vermoedens om? Hoe
maak je zelf een rij van getallen? Wat is een directe formule?
Foto 1
foto 2
Rijen of patronen van voorwerpen ben je waarschijnlijk al vaak tegen gekomen. In foto 1 zie
je een stuk van een tegelvloer. Deze vloer bestaat uit rijen tegels. Alle tegels hebben dezelfde
afdruk. In foto 2 zie je vier figuurtjes die gemaakt zijn uit eenzelfde ijzeren plaat. Het kleinste
figuurtje is ontstaan uit het tweede figuurtje. Het tweede figuurtje is gehaald uit het derde
figuurtje. Enz. Je kunt deze rij van vier figuurtjes op verschillende manieren voortzetten.
1. Beschrijf deze twee manieren.
Er bestaan veel patronen. Denk maar bijvoorbeeld aan de kunst, muziek en ontwerpen van
kleding.
2. Bedenk voorbeelden waarin patronen in voorkomen.
In het vervolg kijken we vooral naar rijen van getallen.
Uit het boek de " De telduivel" van Hans Magnus Enzenberger.
Hans Magnus Enzensberger (Kaufbeuren, 11 november 1929) is een Duits schrijver,
dichter, vertaler en redacteur. Hij schreef, gemotiveerd door zijn kleinzoon, het boek " De
telduivel".
Een hoofdkussenboek voor iedereen die bang voor wiskunde is. Voor veel mensen is
wiskunde een warboel van getallen en onbegrijpelijke berekeningen.
Zo ook voor de hoofdpersoon Robert uit het boek. Robert moet niks van wiskunde hebben.
Tot hij bezoek krijgt van de telduivel en twaalf nachten lang met getallen aan het goochelen
is.
De negende nacht . Wat Robert toen droomde was heel zonderling. Naast hem op bed zat de
telduivel. De telduivel laat heel veel getallen in Robbert' s slaapkamer binnenkomen. De
getallen lijken wel wielrenners, want ze dragen hun nummers op verschillend gekleurde
truitjes en maken een hoop kabaal.
2
De telduivel roept: Opgelet! Eerste rij aantreden. Vervolgens: tweede rij. Zo gaat hij nog
even door. Robert sperde zijn ogen, die al dicht wilden vallen , open en zag zeven
verschillende soorten getallen in witte, rode, groene, blauwe, gele , zwarte en roze truitjes
ordelijk achter elkaar opgesteld in zijn eindeloos uitgerekte kamer staan. Zie figuur 1.
figuur 1
Er ontstaat een discussie tussen Robert en de telduivel.
De eerste rij zijn de natuurlijke getallen. Eerst het oneven getal 1 dan het even getal 2.
Vervolgens het oneven getal 3 en dan het even getal vier. Enz.
Raad eens hoeveel oneven getallen er zijn? Dat is toch duidelijk zegt Robert. Er zijn dubbel
zoveel natuurlijke getallen als oneven getallen.
De telduivel keert zich naar de getallen en brult: eerste en tweede rij: handdruk!
3. Beargumenteer dat er evenveel natuurlijke getallen zijn als oneven getallen.
De getallen van de derde rij worden in het boek de prima getallen genoemd. Het zijn de
priemgetallen. Getallen die precies twee verschillende delers hebben. Het getal 1 en zich zelf.
Het zijn de bouwstenen van de getallenleer.
Bij de eerste rij, behalve het eerste getal, geldt dat elk getal in de rij verkregen is door de
waarde van zijn voorganger te vermeerderen met 1.
Zoiets geldt ook voor de tweede rij. Nu moet je elk getal met twee vermeerderen om het
volgende getal te verkrijgen.
De getallen in de vierde rij komen bijvoorbeeld voor in het boek van Dan Brown " De
Davinci Code". (dit boek is ook verfilmd)
4a. Beschrijf de regelmatigheden in de vier laatste rijen.
3
4b.Met welke notaties kun je de zesde en zevende rij ook opschrijven?
Eén eigenschap hebben de getalrijen gemeen. Ze bestaan elk uit oneindig veel getallen. Elke
rij heeft ook andere eigenschappen. Soms kun je denken of vermoeden dat er een mooie
eigenschap is. Toch kun je daar lelijk in vergissen.
Dit overkwam de Griekse geleerde Jamblichos van Chalkis.
Jamblichus van Chalkis in Syrië
(± 250 – ± 330 n.C.) was een
geleerde en filosoof, en staat
bekend als de stichter van de zgn.
Syrische School binnen het
neoplatonisme.
Hij bestudeerde onder andere de perfecte getallen. Het zijn getallen die de som zijn van hun
echte delers. Het eerste perfecte getal is 6. Aan het getal 6 worden verschillende betekenissen
gegeven.
De heilige Augustinus (350-430) stelde vast:
Zes is geen perfect getal omdat God de aarde in
zes dagen geschapen heeft, maar God heeft de
aarde in zes dagen geschapen omdat zes een
perfect getal is.
De echte delers van zes zijn: 1, 2, en 3.
Er geldt: 6=1+2+3.
Het tweede en derde perfecte getal zijn 28 en 496.
5. Laat met een berekening zien dat deze getallen perfect zijn.
Jamblichos vindt de eerste vier perfecte getallen: 6, 28, 496 en 8128. Deze vier getallen
verleidt Jamblichos tot de twee volgende vermoedens:
 Bij elk aantal cijfers is er precies één perfect getal.
 Alle perfecte getallen eindigen op een 6 of een 8. Deze wisselen elkaar steeds af.
Ondertussen weten wij beter. De eerste zeven getallen van deze rij zijn:
6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 37438691328 .
6. Leg uit dat de twee vermoedens van Jamblichos achterhaald zijn.
4
Pierre de Fermat was, rond het jaar 1640 , geïnteresseerd in de rij priemgetallen
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,.......
Pierre de Fermat (Beaumont-deLomagne, 17 augustus 1601 of
1606/7– Castres, 12 januari 1665)
was een Franse jurist aan het hof
van Toulouse en daarnaast een
wiskundige.
Hij bekijkt de volgende rij getallen:
1  21 , 1  22 , 1  24 , 1  28 , 1  216 , 1  232 , ...............
De eerste zes getallen zijn opgeschreven. De puntjes daarna geven aan dat er nog oneindig
veel getallen gaan komen.
Hij merkt op dat de eerste vijf getallen priemgetallen zijn, getallen dus die precies twee
verschillende delers hebben. Fermat spreekt het vermoeden uit dat de getallen daarna ook
priemgetallen zijn.
7a. Bereken de waarden van die vijf getallen en ga na dat het priemgetallen zijn.
Het rekenwerk was hem te machtig
7b. Begrijpelijk? Verklaar!
7c. Schrijf op wat er allemaal regelmatig is aan deze rij.
7d. Schrijf het zevende en achtste getal op van deze rij en bereken hun waarden met de
rekenmachine.
Ongeveer honderd jaar naar Fermat bewees een ander groot wiskundige Leonard Euler
Leonard Euler werd geboren op 15
april 1707 in Basel, Zwitserland. Met
meer dan 800 artikelen en boeken is
hij verreweg de productiefste
wiskundige uit de achttiende eeuw.
dat 1  232 geen priemgetal is , maar deelbaar door 641.
8. Ga dat na.
5
Vermoedens kunnen ook uitkomen. De vraag is: " hoe ga je dat na?".
Facultatief: vragen 9 tot en met 14.
Iemand is geïnteresseerd in veelvouden van 7.
Het gaat niet alleen om de tafel van 7, ook een rij van getallen die oneindig doorgaat:
7, 14, 21, 28, 35, 42, 49,.............
Zij bekijkt echter de volgende rij getallen:
81  1, 82  1, 83  1, 84 1, ........
9a. Schrijf de regelmatigheden op die je ziet in deze rij.
9b. Schrijf op het vijfde en zesde getal van deze rij en bereken hun waarden met de GR.
9c. Laat zien dat de eerste zes getallen allemaal zevenvouden zijn.
Zij vermoedt dat elk getal in deze rij een zevenvoud is, dus deelbaar door 7. Het is natuurlijk
onmogelijk om alle getallen te gaan delen door 7.
10. Waarom?
Wiskundigen proberen een vermoeden te bewijzen. In dit geval is het ook gelukt om aan te
tonen dat elk getal uit deze rij de volgende eigenschap heeft: " een zevenvoud, dus deelbaar
door 7".
Dit gaan wij niet doen.
We merken wel het volgende op. Als je weet dat 86  1 een zevenvoud is dan kun je, door de
opvolger 87  1 anders te schrijven, laten zien dat het een zevenvoud is:
87  1  8  86  8  8  1.
11. Schrijf op wat er anders is geschreven.
87  1 is nu geschreven als de som van vier getallen(termen) .
Vervolgens wordt 8 bij de eerste twee termen buiten haakjes gehaald:
Dit is het resultaat: 87  1 = 8(86  1)  (8  1)
86  1 is een zevenvoud.
12. Leg nu uit met behulp van het resultaat dat 87  1 ook een zevenvoud is.
13. Laat op dezelfde manier zien, dus zonder gebruik van een rekenmachine, dat 88  1 ook
een zevenvoud is.
Vijfvouden
14. Bedenk een rij van vijfvouden zoals bij opgave 9 zonder dat het cijfer 5 erin voorkomt..
Schrijf de eerste zes getallen op.
6
Zelf een (getallen) rij maken of ontwerpen.
Eerst gaan we ontwerpen.
In foto 2 zie je hoe een kunstenaar uit een ijzeren plaat vier figuurtjes heeft gemaakt.
Dit idee pakken we op. In plaats van een ijzeren plaat neem je een gekleurd A-viertje.
Zie foto 3. De kleinste afmeting van een A-viertje is ongeveer 21 cm.
foto 3
Knip uit het A-viertje een gelijkzijdige
driehoek met de top op de vouwlijn en
met de basis aan de onderkant van het
papier. Knip hier weer uit een
gelijkzijdige driehoek waarvan de
afmetingen zijn gehalveerd. Zet deze
manier van knippen zo voort. Er
ontstaat op deze manier steeds een letter
V. Stop bij de vierde letter V.
15a. Ga na dat de omtrek van de grootste V ongeveer 73,5 cm is.
De tweede letter V is een verkleining van de eerste.
15b. Bereken met dit gegeven achtereenvolgens de omtrekken van de tweede, derde en vierde
letter V.
figuur 2
In figuur 2 is een cirkel getekend met twee verschillende punten op de omtrek. De twee
punten worden door een lijnstuk met elkaar verbonden. Zo'n lijnstuk heet een koorde. De
koorde verdeelt de cirkelschijf in twee gebieden.
Op de tweede cirkel zijn drie verschillende punten op de omtrek getekend en de punten
worden met drie koorden met elkaar verbonden. De cirkelschijf wordt door de koorden
7
verdeeld in vier stukken. Op de derde cirkel zijn vier verschillende punten getekend. Door de
zes koorden wordt de cirkelschijf verdeeld in acht stukken.
Er is wel een volgende spelregel: je wordt geacht de punten op de omtrek zo te kiezen dat
binnen de cirkel nergens drie koorden door één punt gaan.
Let nu op het aantal stukken waarin de cirkelschijf wordt verdeeld.
Beginstuk van de rij: 2, 4, 8 ..............
16a. Schets de volgende drie cirkels.
16b. Geef bij elke cirkel het aantal stukken waarin de cirkelschijf wordt verdeeld.
16c Onderzoek of er bij deze rij getallen sprake is van de volgende eigenschap:
" het aantal stukken in de cirkelschijf wordt verdubbeld ".
Terug naar de telduivel en notaties bij rijen
In de vijfde rij, zie figuur 1, zien we 1, 3, 6, 10, 15, 21,.... Deze getallen worden
driehoeksgetallen genoemd. In een ver verleden heb je hier al mee kennis gemaakt.
1 - 3 - 6 - 10 - 15 - 21 - 28 - 36 - 45 - 55 - 66 - 78 - 91 - 105 - 120 - 136 - 153 - 171 - 190 - 210 - 231.....
Eigenlijk staat daar natuurlijk 1 - (1+2) - (1+2+3) - (1+2+3+4) - ....
17a Bereken de waarde van het honderdste driehoeksgetal.
17b. Welk probleem kom je hierbij tegen?
De driehoeksgetallen vindt je terug bij het aantal koorden in de cirkels van figuur 2.
18. Leg uit waarom dat zo is.
We kunnen dit natuurlijk uitbreiden naar vierhoeksgetallen of vijfhoeksgetallen.
Enzovoorts . Zie figuur 3 voor de vijfhoeksgetallen.
Figuur 3
8
19. Teken het vijfde vijfhoeksgetal en geef de waarde ervan.
Directe formule
Er bestaat een kwadratisch verband tussen de plaats van een getal in de rij , en de waarde van
het bijbehorende vijfhoeksgetal.
tabel 1
Rangnummer
Vijfhoeksgetal
Toename
Toename van
toename
1
1
2
5
4
3
12
7
4
22
10
5
?
20. Leg uit met behulp van tabel 1 dat er sprake is van een kwadratisch verband.
Het nde vijfhoeksgetal is gelijk aan 0,5(3n2  n)
21. Controleer dit voor de eerste vijf getallen.
Er bestaat eveneens een kwadratisch verband voor de driehoeksgetallen.
22a. Laat dat met behulp van een tabel zien voor de eerste vijf getallen.
22b. Stel dat kwadratisch verband op.
Het kwadratisch verband van de vijfhoeksgetallen noteren we ook op de volgende wijze:
t (n)  0,5(3n2  n)
Waarbij t (1)  1, t (2)  5, t (3)  12, t (4)  22 enz.
t (2) is de tweede term van de rij, t (n) is de n-de term van de rij.
Getallen in een rij worden ook termen genoemd.
Men gebruikt ook de volgende notatie: t1 , t2 , t3 , t4 ,....
De tiende term wordt dus aangegeven door t10  145 .
enz.
De formule tn  0,5(3n2  n) wordt een directe formule of rangnummerformule
genoemd.
23a. Waar komt de naam " directe formule" vandaan?
23b. Bereken het honderdste vijfhoeksgetal.
9
In de wiskunde is een rij, net als in het dagelijkse spraakgebruik, een
opeenvolging van dingen, hier termen(getallen) genoemd. Rijen met
regelmatigheden hebben onze bijzondere aandacht. Soms vermoet je een
regelmaat die er toch niet is. Daar moet je dus mee oppassen.
Bij sommige rijen kun je de waarde van een bepaalde term als je de plaats van
de term(rangnummer) in de rij weet in een keer uitrekenen. Dit doe je dan met
behulp van een directe formule.
24 Bereken van de volgende rijen eventueel met een directe formule de 25e term:
a. 7, 14, 21, 28, 35,........
b. 1, 2, 6, 24, 120, 720, ...........
c. 1, -1, 1, -1, 1, -1,.........
d. 800, 793, 786, 779, 772, ....
Vermoeden van Collatz
Een rij kan ook eindig zijn. Je hebt dan een rij die uit een eindig aantal termen bestaat.
In een column voor de Volkskrant schrijven de wiskundemeisjes er het volgende over:
Ik wist gelukkig wel wat het vermoeden van Collatz was. Het gaat over rijen getallen. Je
begint met een willekeurig geheel getal, groter dan nul. Als het getal even is, dan deel je
het door twee. Als het getal oneven is, dan vermenigvuldig je het met drie en tel je er één
bij op. Daarna herhaal je dit proces met de uitkomst, en opnieuw, en opnieuw.
Bijvoorbeeld:
6 -> 3 -> 10 -> 5 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1
of
13 -> 40 -> 20 -> 10 -> 5 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1.
Het resultaat als je begint bij 6, 9 of 42
Lothar Collatz (1910-1990) is een Duitse wiskundige. In 1937 formuleerde hij zijn
vermoeden.
25a Schrijf de rij op die begint met 25 en vervolgens de rij met startgetal 12.
10
25b Hoe lang is de rij die begint met 26 ? En de rij die begint met 210 ?
25c. Hoe lang is de rij die begint met een willekeurige macht van 2?
Collatz had een vermoeden.
25d. Schrijf dat vermoeden op.
26. Bereken hoe lang de rij is als je begint met 27. Gebruik eventueel de volgende
site.http://members.chello.nl/k.ijntema/seqoddeven.html om je rekenwerk te besparen.
Van een rijtje van Collatz ontbreekt het beginstuk:
........,512, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1.
27a. Onderzoek of het getal voorafgaand aan 512 een oneven getal kan zijn.
Leg je bevindingen goed uit.
Van bovenstaand rijtje is van het startgetal gegeven dat je na precies 11 stappen bij 1
uitkomt.
27b. Bereken de mogelijke waarden van het startgetal.
Terugblik
Je hebt kennis gemaakt met het begrip " rij". Een rij kan bestaan uit een oneindig aantal
termen maar natuurlijk ook uit een eindig aantal termen. Bijvoorbeeld de rijtjes van
Collatz.
Vaak heeft een rij een patroon, zijn er regelmatigheden aan te zien. Soms kan dat
bedrieglijk zijn. De begintermen van een rij kunnen een vermoeden oproepen van een
bepaalde regelmatigheid die bij een term met groter rangnummer dan weer weerlegd
wordt.
Om getallen in een rij aan te wijzen zijn notaties ingevoerd. Bijvoorbeeld
u(n) of un of t (n) of tn om de n e term van een rij aan te geven.
Soms kun je bij een rij een directe formule opstellen waardoor je direct de waarde van
elke term kunt uitrekenen.
Hieronder volgen nog een aantal oefenopgaven.
28a. Teken een aantal vierkantsgetallen. Zie ook figuur 3.
28b. Stel een directe formule op voor vierkantsgetallen.
Kijk naar de opeenvolgende verschillen van de vierkantsgetallen
28c. Stel hiervoor een directe formule op.
Kijk naar het verschil van de verschillen.
28d. Stel nu ook een directe formule op.
11
Leonard Euler heeft de volgende directe formule bedacht:
N  n2  n  41
29a. Schrijf de eerste zes temen op en laat zien dat het priemgetallen zijn.
29b. Schrijf een vermoeden op.
(a  1)2  a 2  a  a  1
29c. Bereken de veertigste term en laat zien zonder de GR te gebruiken
dat het een kwadraat is.
29d. Hoe denk je nu over je vermoeden en leg uit waarom?
PUZZEL(facultatief)
Bekijk onderstaand patroon:
1
11
21
1112
3112
211213
30. Bedenk het volgende getal.
>> Er volgen nog twee onderzoeksopdrachten
12
Onderzoekopdracht: Magische vierkanten
Figuur 4
Een magisch vierkant of tovervierkant is een vierkant schema waarin getallen zodanig
zijn ingevuld dat de kolommen, de rijen en de beide diagonalen alle dezelfde som
opleveren. Deze som wordt de magische constante of het karakteristieke getal genoemd.
Meestal eist men dat het vierkant de natuurlijke getallen van 1 tot en met n2 bevat. Het
symbool n, dat de orde genoemd wordt, is hierin het aantal cellen in één zijde.
Overal in de geschiedenis komen we mensen tegen die zich bezig hielden met magische
vierkanten. De Duitse kunstenaar Albrecht Dürer verwerkte het in zijn kunstwerk
Melancholia. Zie figuur 4. Het magisch vierkant bevindt zich rechtsboven in het
kunstwerk. Er naast staat een uitvergroting.
Albrecht Dürer (Neurenberg, 21
mei 1471 - aldaar, 6 april 1528)
was een Duits kunstschilder,
tekenaar, maker van houtsneden
en kopergravures,
kunsttheoreticus en humanist uit
de Noordelijke Renaissance.
zelfportret
31a. Ga na dat dit vierkant inderdaad een magisch vierkant is en geef de magische
constante.
13
31b. Welke eigenschap heeft dit vierkant extra? Let op de kleine vierkantjes van 2 bij 2.
3
4
9
2
32a Bereken van bovenstaand vierkant de magische constante.
32b. Vul het bovenstaande magische vierkant verder in.
In een magisch vierkant van 6 bij 6 komen de getallen 1 tot en met 36 voor. De som van die
getallen is 666.
33a. Bereken hiermee de magische constante.
Veronderstel dat een vierkant van n rijen en n kolommen een magisch vierkant is.
33b. Druk de magische constante uit in n. Probeer de uitdrukking zo eenvoudig mogelijk te
schrijven(korter schrijven). Zie zo nodig paragraaf 13.
We bekijken de rij van de magische constanten.
34. Onderzoek of bij elk rangnummer wel een magische constante bestaat. Als dat niet zo is
geef dan een voorbeeld waaruit dat blijkt.
Onderzoekopdracht: Vermoeden van Collatz
Zie het vermoeden van Collatz, vragen 25 tot en met 27.
Bij het voorschrift van Collatz wordt een oneven getal vermenigvuldigd met 3. Daarna wordt
er 1 bij opgeteld. Even getallen worden door 2 gedeeld.
35.
Een paar onderzoeksvragen
 Waarom wordt er 3 bij opgeteld als het getal oneven is en niet een ander getal?
 Verzin zelf een voorschrift voor oneven getallen en even getallen en onderzoek je
resultaten.
 Stel zelf een onderzoeksvraag op en probeer die te beantwoorden.
Raadpleeg ook de site van de wiskundemeisjes: www.wiskundemeisjes.nl.
Kijk naar hun artikel van 15 mei 2010 en de reacties op dit artikel.
Zie ook: www.cecm.sfu.ca/organcs/papers/lagarias/
14