vwo a/c deel 1 - R. van Moppes

Telproblemen overzichtelijk weergeven
•
•
•
•
boomdiagram
wegendiagram
rooster maken
alle mogelijkheden systematisch uit schrijven
1.1
Boomdiagram
Bij een Boomdiagram schrijf je systematisch op welke
mogelijkheden er zijn bij het uitvoeren van een ´experiment´.
We voeren het volgende experiment uit:
Het bestellen van een menu.
Een restaurant heeft 3 verschillende voorgerechten, 5
hoofdgerechten en 3 desserts.
Hoeveel verschillende menu’s kun je samenstellen?
Dit gaan we schematisch uitschrijven in een boomdiagram.
Het boomdiagram
Vb. aan de hand van het menu
Wat kies je eerst?
Welke keuzes heb je?
Uit 3 voorgerechten
Wat kies je vervolgens?
Welke keuzes
heb je nu?
Wat kies je nu?
Uit 5 hoofdgerechten
Uit 3 nagerechten
In totaal zijn er 45 verschillende menu’s te bestellen.
Dit kun je uitrekenen door alle takken te tellen of de vertakkingen
te vermenigvuldigen
voorbeeld:Tenniswedstrijd 2 gewonnen sets
1e set
2e set
3e set
N-N
N wint
N wint
N wint
N-G-N
G wint
N-G-G
N wint
G-N-N
G wint
G-N-G
G wint
geef aan hoe G in 3 sets wint
G wint
N wint
G wint
G-G
1.1
Wegendiagram
Een boomdiagram kan erg groot en onoverzichtelijk worden. Dan
kun je beter gebruik maken van een wegendiagram.
We kijken weer naar het restaurant.
Dit kunnen we ook als volgt weer geven:
Eerste keus
Tweede keus
Derde keus
Aantal keuzes
Aantal keuzes
Aantal keuzes
3
x
5
x
3
=
45
Rooster
De som van de ogen bij het gooien van twee dobbelstenen.
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
Systematisch de mogelijkheden noteren
Hoeveel mogelijkheden zijn er om bij een worp met
vier dobbelstenen in totaal 5 te gooien?
1112
1121
1211
2111
1.1
halve competitie
Je speelt maar 1x tegen elkaar.
vb. Hoeveel wedstrijden spelen 4 teams
4 x 3 : 2 = 6 wedstrijden ?
hele competitie
Je speelt 2x tegen elkaar.
vb. Hoeveel wedstrijden spelen 4 teams
4 x 3 = 12 wedstrijden ?
je speelt niet tegen jezelf
A
A X
B X
C X
D X
B C D
A-B A-C A-D
X
X
X
B-C B-D
6 wedstrijden
X
X
C-D
X
A
B
C
D
A
X
B C D
A-B A-C A-D
B-A
X
C-A C-B
B-C B-D
X
D-A D-B D-C
C-D
X
12 wedstrijden
1.1
De vermenigvuldigingsregel
Een gecombineerde handeling die bestaat uit
1 handeling I die op p manieren kan worden uitgevoerd
2 en handeling II die op q manieren kan worden uitgevoerd
3 en handeling III die op r manieren kan worden uitgevoerd
kan op p × q × r manieren worden uitgevoerd.
Hoeveel mogelijkheden zijn er met 3 maal rood?
3 van schijf 1 en 3 van schijf 2 en 2 van schijf 3
r r r = 3 x 3 x 2 = 18
De vermenigvuldigingsregel of de somregel
Kan handeling I op p manieren en handeling II op q manieren, dan kan :
1 handeling I EN handeling II op p × q manieren
2 handeling I OF handeling II op p + q manieren.
Hoeveel mogelijkheden zijn er om
van A via B naar A te gaan, zonder
dat je een weg twee keer neemt?
Herhaling
Het is bij telproblemen belangrijk je af te vragen of herhalingen
zijn toegestaan.
Voorbeeld
zonder herhaling
een bestuur kiezen
er kan maar 1 iemand de voorzitter zijn en de voorzitter kan maar 1 iemand zijn.
met herhaling
het aantal mogelijke nummerborden
de H kan geen, een , twee, drie en zelfs vier keer in een nummerbord voor komen.
1.2
Zonder herhaling
Uit 5 personen wordt er eerst een voorzitter gekozen en dan een secretaris.
Het aantal manieren is:
aantal = 5 x 4 = 20
dan de secretaris:
keuze uit 4 personen
eerst de voorzitter:
keuze uit 5 personen
1.2
Met herhaling
In Nederland zijn er nummerborden met 2 cijfers – 2 letters – 2 letters,
hierbij zijn de klinkers A, E, I, O en U niet toegestaan.
Het aantal mogelijke nummerborden is:
aantal = 10 x 10 x 21
10 cijfers voor
de eerste plaats
10 cijfers voor
de tweede plaats
x 21
x 21 x 21= 19.448.100
26 – 5 = 21
letters voor de
derde plaats
26 – 5 = 21
letters voor de
vierde plaats
enz.
1.2
Tellen met en zonder terugleggen
Een cijfer slot openen op de gok is een gebeurtenis
waarbij je te maken hebt met een gebeurtenis met
teruglegging. Voor elke ring heb je immers telkens 10
cijfers die je mag gebruiken ( Je telt met teruglegging )
Hoeveel cijfer “combinaties” zijn er bij een
cijferslot die uit drie ringen bestaat?
Dat zijn er maar
10 x 10 x 10 = 103 = 1000
Hoe zit dat met de pin-code van je bankpas?
Hoeveel mensen hebben er eigenlijk een pin-pas? ! ? ! ?
Permutaties en faculteiten
een ander woord voor rangschikking is permutatie
bij een permutatie mogen geen herhalingen optreden
het aantal permutaties van 3 uit 8, dus het aantal rangschikkingen van
drie dingen die je uit 8 kiest,
is 8 × 7 × 6
GR
het aantal permutaties van 4 uit 9 is
het aantal permutaties
9×8×7×6
van 6 uit 10 is
optie nPr
het aantal permutaties van 9 uit 9 is
10 nPr 6 = 151200
9×8×7×6×5×4×3×2×1
de notatie voor dit product is 9!
spreek uit : 9 faculteit
kortweg : het aantal permutaties van 9 dingen is 9!
het aantal permutaties van n dingen, dus het aantal rangschikkingen van
n dingen is n!
n ! = n × (n -1) × (n -2) × (n -3) × …… × 4 × 3 × 2 × 1
1.3
Rangschikking
Het aantal rangschikkingen van 5 stripboeken en 3 romans.
Je kunt 5 stripboeken en 3 romans op
8! manieren op een boekenplank
rangschikken
4! × 5! manieren rangschikken als de
stripboeken naast elkaar moeten staan
2! × 5! × 3! manieren rangschikken als de
stripboeken en ook de romans naast elkaar
moeten staan
beschouw de stripboeken als één groep
• je hebt dan 4 dingen (3 romans en 1
groep stripboeken) die je op 4! manieren
kunt rangschikken
• binnen de groep van de stripboeken zijn
er telkens 5! rangschikkingen
• in totaal heb je 4! × 5! rangschikkingen
1.3
Permutaties van n dingen waarvan er p gelijk zijn
het aantal permutaties van n dingen waarvan er p gelijk zijn
(en de rest verschillend is) is
n!
p!
7!
zo kun je de letters van het woord ADRIANA op
3!
manieren rangschikken
9!
de letters van het woord ALESSANRA kun je op
3! × 2!
manieren rangschikken
immers je hebt in totaal 9 letters :
de letter A komt 3 keer voor en de letter S komt 2 keer voor
1.3
Permutaties en Combinaties
Uit een groep van 7 mensen kies ik een bestuur met een voorzitter,
penningmeester en secretaris. Hoeveel verschillende besturen kunnen er
samengesteld worden?
Stel jezelf weer de volgende vraag:
Uit hoeveel mensen kun je kiezen als voorzitter?
7
Uit hoeveel mensen kun je nu kiezen als penningmeester en
hoeveel als secretaris ?
6
Je hebt nu 7 x 6 x 5 = 210
verschillende permutaties.
Het maakt bij een permutatie uit wie er op welke plaats staat.
5
Combinaties
Bij het kiezen van een groep van drie mensen uit zeven krijg ik ik 210 permutaties.
Op hoeveel manieren kan ik drie mensen neer zetten? Dit zijn 3 x 2 x 1 = 6
manieren.
ABC
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA
Van de 210 verschillende permutaties zijn er nu elke keer 6 permutaties van
dezelfde 3 mensen.
Als de plaats van een gekozen persoon of ding er niet toe doet moeten de
verschillende permutaties van eenzelfde groepje niet meerdere keren meegeteld
worden.
Er zijn dan maar 210 / 6 = 35 verschillende combinaties
Bij een combinatie is de volgorde van de gekozen permutaties onbelangrijk
Combinaties
is bij het kiezen van 4 dingen uit 7 dingen de volgorde niet van belang,
dan spreken we van het aantal combinaties van 4 uit 7
het aantal combinaties van 4 uit 7 noteren we als 7
4
spreek uit: 7 boven 4
het aantal combinaties van 4 uit 7, dus het aantal manieren om 4 dingen te kiezen
uit 7 dingen zonder op de volgorde te letten, is 7
4
1.4
Aantallen combinaties vermenigvuldigen en optellen
uit klas 4 vwo A wordt een comité van 5 leerlingen gevormd
het aantal mogelijke comités met
3 van de 12 jongens
3 jongens is
12×
3
2 van de 17 meisjes
17= 29 920
2
15 jaar
16 jaar
jongen
8
4
12
meisje
10
7
17
18
11
29
3 jongens EN 2 meisjes,
dus VERMENIGVULDIGEN
4 jongens + 1 meisje
minstens 4 jongens is
12×
4
17+
1
5 jongens + 0 meisjes
12×
5
17= 9207
0
4 jongens OF 5 jongens,
dus OPTELLEN
1.4
Schema
op hoeveel manieren
kun je 5 dingen
kiezen uit 8 dingen
volgorde van belang ?
nee
aantal = ‘8 boven 5’
ja
herhaling toegestaan ?
nee
ja
aantal = 8x7x6x5x4
aantal = 8x8x8x8x8
1.3
Wat is de naam van dit voorwerp ?
?!?
1.3
Herhaling of toch anders ?!?
Handig tellen en de rekenformules van de combinatoriek is belangrijk voor
volgende hoofdstukken. Het volgende schema kan hier handig bij zijn
Herhaling niet
toegestaan
Volgorde wel
van belang
Volgorde niet
van belang
n!
( n  k )!
nPr
n
n!



 k  k!(n  k )!
 
nCr
Herhaling
toegestaan
n
k
 n 1  k 




k


•Permutatie (volgorde) :Een eerder gekozen element n mag niet weer gekozen
worden. De volgorde van de gekozen k elementen maakt wel uit.
•Herhalings permutatie : Een eerder gekozen element n mag wel weer gekozen
worden. De volgorde van de gekozen elementen k maakt wel uit.
•Combinatie (groepje) :Een eerder gekozen element mag niet weer gekozen
worden. De volgorde van de gekozen elementen k maakt niet uit.
•Herhalingscombinatie:Een eerder gekozen element mag wel weer gekozen
worden. De volgorde van de gekozen elementen k maakt niet uit.
Voorbeelden
•Pin code
•Afspelen van 9 nummers van een CD
•Toto voor een competitie met 13 wedstrijden
•Voorzitter,secretaris en penningmeester van vereniging
bestaande uit 28 leden
•Groepsvertegenwoordiging van 3 uit 28
•Bestellen opnemen van een ober van 3 mensen met een
keuze uit 4 dranken
•Gironummers bestaande uit 8 cijfers die niet met een nul
mogen beginnen
•Scoreverloop van een voetbalwedstrijd met eind uitslag 4-6
•Meerkeuze(4) toets bestaande uit 15 vragen
•Verdeling van de kaarten bij klaverjassen
•4 rings’combinatieslot ‘ ?!?
10 4
9!
313
28n Pr 3
28nCr 3
 4  1  3


3


9  10 7
uitslag

4  6
415
32!
8!8!8!8!
10 4
6nCr 3
10 
 
4
voorbeeld 1
Op een school bestaat de feestcommissie uit 6 jongens en 9 meisjes na elk feest
maken 6 leden van de feestcommissie de zaal schoon.
a
3 van de 6 jongens en 3 van de 9 meisjes
b
c
d
aantal = 6 × 9 = 1680
3
3
6 van de 6 jongens
6
aantal =
= 1
6
0 meisjes en 6 jongens of 1 meisje en 5 jongens
6
aantal =
+ 9 × 6 = 55
6
1
5
5 jongens en 1 meisje of 6 jongens
6
9
aantal =
×
+ 6 = 55
5
1
6
voorbeeld 2
per uur 60 artikelen van de lopende band
bij de eindcontrole een steekproef van 4 exemplaren
a Hoeveel steekproeven zijn er elke keer mogelijk?
aantal = 60 = 487 635
4
b 6 defecte dus 54 geen defecte exemplaren
aantal = 54 = 316 251
4
c 2 defecte en 2 geen defecte of 3 defecte en 1 geen defect
of 4 defecte exemplaren
aantal = 6 x 54 + 6
2
2
3
x 54 +
1
6 = 22 560
4
Rijtjes bestaande uit A’s en B’s
het totale aantal rijtjes bestaande uit 4 A’s en 7 B’s vind je als volgt :
B
A
B
A
A
B
B
B
A
B
B
11
11
=
= 165 manieren
4
7
er zijn twee manieren om het eerste hokje te vullen en er zijn twee manieren om het
volgende hokje te vullen, enzovoort
totaal zijn er 2 × 2 × 2 × …… × 2 = 211 = 2048 manieren
dus er zijn
het aantal rijtjes bestaande uit 4 A’s en 7 B’s is
11
en ook
4
11
7
het totale aantal rijtjes van 11 hokjes met in elk hokje een A of een B is 211
1.5
voorbeeld
Een bedrijf voorziet zijn artikelen van een code door in een rijtje van 6
vierkantjes er 2 zwart te maken.
v.b.
a 2 van de 6 vierkantjes zijn zwart
6
aantal =
= 15
2
b eerste en het laatste vierkantje zwart
aantal = 1
c de code verandert niet bij
of
of
dus bij 3 rijtjes
Hoeveel routes zonder omwegen zijn er mogelijk van A
naar C via B.
Van A naar B heb je te maken met een rijtje bestaande 1
N en 2 O’s
3 = 3 mogelijkheden
1
Van B naar C heb je te maken met een rijtje bestaande
uit 2 N’s en 3 O’s
dat zijn
 Noord
Routes in een rooster
A∙
∙C
∙
B
 Oost
5 = 10 mogelijkheden
2
Het totale aantal manieren om van A via B naar C te
gaan is dus
dat zijn
3
1
×
5
2
= 3 × 10 = 30
van A naar B
EN
van B naar C
dus
vermenigvuldigen
1.5
Algemeen
∙
B
het aantal routes zonder omwegen van A naar B in het
rooster hiernaast
is
8
3
afspraak:
In deze paragraaf bedoelen we met routes in een rooster
altijd routes zonder omwegen, we zetten dat er meestal
niet bij.
A∙
1.5
Onvolledige roosters.
Bij onvolledige roosters zal er bij elk kruispunt het
aantal mogelijkheden om er te komen.
Je kunt het niet berekenen met
4
1
2
3
1
1
64
184
8
28
64
120
8
20
36
56
8
12
16
20
4
4
0
n
r
1
4
4
4
De driehoek van Pascal
• in de driehoek van Pascal is elk getal gelijk aan de som van de twee getallen
die er schuin boven staan
• elk getal in de driehoek geeft het aantal routes om vanuit de top op die plaats
te komen
• in de 4e rij van de driehoek van Pascal staan de getallen
4 , 4 , 4 , 4 en 4
0
1
2
3
4
• de som van de getallen in de vierde rij is 24
rij 0
rij 1
1
rij 2
1
rij 3
rij 4
1 = 20
1
1
1
2
3
4
2 = 21
1
3
6
4 = 22
1
8 = 23
1
4
1
16 = 24
1.5
1.5
Kansdefinitie van Laplace
aantal gunstige uitkomsten
aantal mogelijke uitkomsten
je mag deze regel alleen gebruiken als alle uitkomsten even waarschijnlijk zijn
bij een verkeerslicht zijn de uitkomsten rood, oranje en groen niet even
waarschijnlijk, want het verkeerslicht staat langer op rood dan op oranje
dus P(oranje) is niet gelijk aan ⅓
bij het gooien met een dobbelsteen is elk van de 6 uitkomsten even waarschijnlijk
dus P(meer dan 4 ogen) = 2/6 = ⅓
hierbij zijn 5 en 6 ogen gunstig
hiermee is de kans exact berekend, bij een exact antwoord mag je niet benaderen
P(gebeurtenis) =
4.1
Kansschaal
4.1
Samengestelde kansexperimenten
Het gooien met een dobbelsteen is een voorbeeld van een
kansexperiment.
Kenmerkend voor een kansexperiment is dat de uitkomst niet van
te voren vastligt.
voorbeelden zijn :
het gooien met een dobbelsteen en een geldstuk
het gooien met 2 dobbelstenen
het gooien met 3 geldstukken
het kopen van 3 loten in een loterij.
Het aantal gunstige uitkomsten bij een samengesteld
kansexperiment met dobbelstenen of geldstukken krijg je bij :
2 kansexperimenten met een rooster
3 of meer experimenten met systematisch noteren en/of
handig tellen.
4.1
Samengestelde kansexperimenten
Heb je met meer dan 2 experimenten te maken, dan bereken je
kansen als volgt :
bereken het aantal mogelijke uitkomsten
tel het aantal gunstige uitkomsten door deze systematisch te noteren en/of handig te tellen
deel het aantal gunstige door het aantal mogelijke uitkomsten
Zo krijg je bij een worp met 3 dobbelstenen en de gebeurtenis
‘som van de ogen is 15’
aantal mogelijke uitkomsten is 6 x 6 x 6 = 216
aantal gunstige uitkomsten is 10, namelijk
555
663 , 636 , 366
654 , 645 , 546 , 564 , 456 , 465
dus P(som is 15) =
1+3+6
216
=
10
5
=
216
108
4.1
Empirische en theoretische kansen
Wet van de grote aantallen
Door een kansexperiment heel vaak uit te voeren, komt de relatieve frequentie
van een gebeurtenis steeds dichter bij de kans op die gebeurtenis te liggen.
1 Empirische kansen
v.b. : P(meisje bij geboorte) en P(punaise met punt omhoog)
empirisch betekent ‘op ervaring gegrond’
Empirische kansen krijg je door een groot aantal waarnemingen te gebruiken.
Empirische kansen bereken je door relatieve frequenties te gebruiken.
2 Theoretische kansen
Bij veel kansexperimenten kun je van te voren zeggen wat de kans op een
gebeurtenis is.
v.b. : P(6 ogen) bij een worp van een dobbelsteen is 1/6
Je gebruikt de kansdefinitie van Laplace.
3 Subjectieve kans
Hoe groot is de kans dat voor 2010 je sneller loopt dan 9 seconden over de
100m. ?  onmogelijk
4.2
Voorwaardelijke kans
Bij een voorwaardelijke kans beperk je je tot een deelgroep
je moet dan delen door de frequentie van die deelgroep.
afspraak : ‘bereken de kans op ……’  rond je af op 3 decimalen
Kruistabellen
Heb je bij onderzoeksresultaten te maken met 2 kenmerken, dan is het verstandig
de gegevens in een kruistabel te verwerken.
vervolgens zijn allerlei kansberekeningen eenvoudig te maken
Onafhankelijke gebeurtenissen
De gebeurtenissen A en B zijn onafhankelijk als
P(A onder voorwaarde B) = P(A)
gebeurtenis B heeft geen invloed op gebeurtenis A  onafhankelijk
gebeurtenissen die niet onafhankelijk zijn  afhankelijk
4.3
Kansen en combinaties
Ook bij het pakken van knikkers uit een vaas heb je met combinaties te maken.
P(2r, 2w, 1b) = ?
Volgens de kansdefinitie van Laplace is die kans
aantal gunstige uitkomsten
P(G) =
aantal mogelijke uitkomsten
Het aantal mogelijke uitkomsten is het aantal manieren om
5 knikkers uit de totaal 15 knikkers te pakken.
15
manieren.
5
Het aantal gunstige uitkomsten is het aantal manieren
om 2r uit de 8r, 2w uit 4w en 1b uit 3b te pakken.
Dat kan op
Dat kan op
8+4+3=15
8
2
4
2
.
8
2
.
.
4
2
P(4r, 1w, 2b) =
15
5
3
1
.
manieren
3
1
2+2+1=5
≈ 0,168
4.4
Het vaasmodel
bij veel kansberekeningen kan het handig zijn het
kansexperiment om te zetten in het pakken van knikkers uit
een geschikt samengestelde vaas  vaasmodel
4.4
De somregel
Als de gebeurtenissen geen gemeenschappelijke uitkomsten hebben,
dus als de gebeurtenissen elkaar uitsluiten.
Hebben twee gebeurtenissen wel gemeenschappelijke uitkomsten, dan
geldt de somregel niet.
Zo is P(som is 4 of product is 4) niet gelijk aan,
P(som is 4) + P(product is 4) want de gebeurtenissen ‘som is 4’
en ‘product is 4’ hebben de uitkomst  gemeenschappelijk
Voor elkaar uitsluitende gebeurtenissen G1 en G2 geldt de somregel :
P(G1 of G2) = P(G1) + P(G2)
4.5
De complementregel
P(minder dan 8 witte) =
P(0 w) + P(1 w) + P(2 w) + P(3 w) +
P(4 w) + P(5 w) + P(6 w) + P(7 w) =
1 – P(8 witte)
P(gebeurtenis + P(complement-gebeurtenis) = 1
P(gebeurtenis) = 1 – P(complement-gebeurtenis)
4.5
Onafhankelijke gebeurtenis
Stel je hebt een rad van fortuin in een rad van fortuin.
Beide draaien los van elkaar. We zeggen dan dat de kansen
onafhankelijk zijn van elkaar
De kans dat de pijl
blijft staan op licht
blauw en paars is :
1/4 * 1/2 = 1/8
De kans dat de pijl
blijft staan op geel
en rood :
1/4 * 1/4 = 1/16
Afhankelijke gebeurtenis
Stel je hebt een rad van fortuin in een rad van fortuin.
Beide zijn vast gemaakt aan elkaar. We zeggen dan dat de
kansen afhankelijk zijn.
De kans dat de pijl
blijft staan op licht
blauw en paars is :
1/4
De kans dat de pijl
blijft staan op geel
en rood is :
0 = nul
Onafhankelijke kansexperimenten
We gaan er bij het draaien van de schijven vanuit dat de kansexperimenten
onafhankelijk zijn.
Dat betekent dat ze elkaar niet beïnvloeden, alleen dan mag je de kansen in de
kansboom vermenigvuldigen.
Als de kansen afhankelijk zijn (elkaar beïnvloeden) mag je de kansen in de
kansboom niet vermenigvuldigen.
Afhankelijke experimenten komen in dit boek niet voor.
6.1
Kansboom
In een vaas zitten 3 rode en 1 witte bal.
In een andere vaas zitten 2 rode en 1 zwarte bal.
3 2 6 1
 

P(rr)=
2
4 3 12 2
3
3
4
1
3
2
3
1
4
1
3
P(minstens 1 rode) = 1-P(geen rode) =
P(rz)=
3 1 3 1
 

4 3 12 4
1 2 2 1
 

P(wr)=
4 3 12 6
P(wz)=
1 1 1
 
4 3 12
1 11
1 
12 12
Draaiende schijven
Bij het draaien van de schijven hoort de volgende kansboom.
6.1
Een experiment 2 of meer keer uitvoeren
Het 4 keer gooien met een dobbelsteen is een voorbeeld van het herhaald
uitvoeren van hetzelfde kansexperiment.
Ook in zo’n situatie gebruik je de productregel om kansen te berekenen
De productregel gebruik je ook als je hetzelfde experiment 2 of meer
keren uitvoert.
6.2
Experimenten herhalen totdat succes optreedt
In het volgende voorbeeld pak je één voor één knikkers uit de
vaas met 3 rode en 5 witte knikkers. Je gaat net zo lang door
tot je een rode knikker pakt. Elke keer pak je als het ware uit
een nieuwe vaas. De kansen in de kansboom veranderen daardoor
per keer.
6.2
Trekken met en zonder terugleggen
6.3
Kleine steekproef uit grote populatie
Bij een kleine steekproef uit een grote populatie mag je
trekken zonder terugleggen opvatten
als trekken met terugleggen.
Toevalsvariabelen
Bij het kansexperiment uit opgave 50
wordt aselect (= willekeurig)
een leerling uit de klas gekozen.
Je kunt daarbij geïnteresseerd zijn
in de leeftijd van de leerling.
De leerling geven we aan met de letter X
Dus X = de leeftijd van de leerling.
Omdat de waarde van X afhangt van het toeval heet X een
toevalsvariabele.
In opgave 50 is nog een toevalsvariabele gedefinieerd,
Y = het aantal keer sporten per week
complementregel  P(Y ≥ 1) = 1 – P(Y = 0)
somregel  P(Y < 2) = P(Y = 0) + P(Y = 1)
6.4
Kansverdelingen
De kansverdeling van X is een tabel waarin bij elke waarde
van X de bijbehorende kans is vermeld.
kanshistogram
De som van de kansen in een
kansverdeling is altijd 1.
Uniform verdeelde toevalsvariabele
 kansverdeling waarin alle
kansen gelijk zijn.
6.4
Onafhankelijke toevalsvariabelen
De gebeurtenissen G1 en G2 zijn onafhankelijk als
P(G1 onder de voorwaarde G2) = P(G1).
P(X = 1 onder de voorwaarde Y = 0) = P(X = 1)
dus de gebeurtenissen X = 1 en Y = 0 zijn onafhankelijk.
P(X = 0 onder de voorwaarde Y = 0) ≠ P(X = 0)
dus de gebeurtenissen X = 0 en Y = 0 zijn onafhankelijk.
We zeggen dat de toevalsvariabelen X en Y afhankelijk zijn.
De toevalsvariabelen X en Y zijn onafhankelijk als voor elke
mogelijke x en y geldt :
P(X = x onder de voorwaarde Y = y) = P(X = x).
6.4
Centrummaten
gemiddelde
het gemiddelde van een serie waarnemingsgetallen is de som
van die getallen gedeeld door het aantal getallen
mediaan
eerst de waarnemingsgetallen naar grootte rangschikken
bij oneven aantal getallen is de mediaan het middelste getal
bij even aantal getallen is de mediaan het gemiddelde van de
middelste twee getallen
modus
de modus is het waarnemingsgetal met de grootste frequentie
8.1
Spreidingsmaten
vaak wordt naast een centrummaat een zogenaamde
spreidingsmaat berekend om aan te geven hoever de data in een
verdeling uitelkaar liggen
spreidingsbreedte : verschil tussen het grootste en kleinste getal
kwartielafstand : verschil tussen het 1e en 3e kwartiel (Q3 – Q1)
8.1
De standaardafwijking
de meest gebruikte spreidingsmaat is de standaardafwijking
om de standaardafwijking te berekenen moet je eerst van elk waarnemingsgetal
berekenen hoe ver het van het gemiddelde afligt
zo krijg je bij elk waarnemingsgetal x de deviatie d
d = x – x ( de afwijking van het gemiddelde )
standaardafwijking σ = √gemiddelde van (x – x)2
het berekenen van σ doe je met (TI) 1-Var Stats L1,L2  σx
of (Casio) 1VAR  xσn
8.1
Notaties op de GR
x
σ
σx
xσn
n
minX
maxX
Q1
Q3
Med
: het gemiddelde
: de standaardafwijking
: de standaardafwijking (TI)
: de standaardafwijking (Casio)
: het totale aantal waarnemingen
: het kleinste waarnemingsgetal
: het grootste waarnemingsgetal
: het eerste kwartiel
: het derde kwartiel
: de mediaan (het tweede kwartiel)
De normale verdeling
neem je bij een klassenindeling van een zeer grote populatie de klassenbreedte
steeds kleiner, dan zal de frequentiepolygoon steeds meer gaan lijken op een
vloeiende kromme
krijg je een klokvormige kromme, dan is er sprake van een normale verdeling
de kromme heet de normaalkromme
de top ligt boven het gemiddelde μ
de breedte van de kromme hangt af van de standaardafwijking σ
μ
8.2
tussen {μ - σ,μ + σ} ligt 68% van alle data
Vuistregel 1
f
r
e
q
buigpunt
buigpunt
16%
16%
σ
μ-σ
σ
μ
μ+σ
lengte
8.2
tussen {μ - 2σ,μ + 2σ} ligt 95% van alle data
Vuistregel 2
f
r
e
q
2,5%
2,5%
2σ
μ - 2σ
2σ
μ
μ + 2σ
lengte
8.2
Normaal-waarschijnlijkheidspapier
in figuur 8.20 is een normaalkromme getekend
onder de normaalkromme is de bijbehorende
relatieve cumulatieve frequentiepolygoon getekend
in figuur 8.21 is de schaal op de verticale as veranderd
vanaf 50% wordt de schaal zowel naar boven als naar
beneden uitgerekt en wel zodanig,
dat de grafiek een rechte lijn is
papier met deze schaalverdeling heet
normaal-waarschijnlijkheidspapier
8.2
werkschema : hoe onderzoek je of bij een verdeling een
normale benadering is toegestaan en hoe schat je μ en σ ?
1
2
3
4
5
bereken van elke klasse de relatieve cumulatieve frequentie
zet deze relatieve cumulatieve frequenties uit op
normaal-waarschijnlijkheidspapier, telkens boven de
rechtergrens van de klasse
ga na of de punten bij benadering op een rechte lijn liggen
zo ja, dan is de normale benadering toegestaan
teken de lijn
lees op de horizontale as μ af bij de relatieve cumulatieve
frequentie 50
lees op de horizontale as μ + σ af bij de relatieve cumulatieve
frequentie 84
hieruit volgt σ
8.2
8.3
8.3
8.3
Oppervlakten berekenen met de GR
8.3
8.3
Grenzen berekenen met de GR
de oppervlakte links van a is gelijk aan 0,56
je kunt de bijbehorende grens met de GR berekenen
we gebruiken hierbij de notatie a = invNorm(0.56,18,3)
-0.56 de oppervlakte links van a
-18 het gemiddelde μ
-3 de standaardafwijking σ
is de oppervlakte onder de normaalkromme links
van a bekend, dan is a = invNorm(opp links,μ,σ)
8.3
8.3
8.3
Percentages en kansen bij de normale verdeling
bij opgaven over de normale verdeling heb je te maken
met de 5 getallen in het figuur van deze getallen
zijn er 4 gegeven en moet je het 5e berekenen je
gebruikt het volgende werkschema
werkschema : opgaven over de normale verdeling
1
schets een normaalkromme en verwerk hierin
μ, σ, l, r en opp.
2
kleur het gebied dat bij de vraag hoort
3
bereken met de GR het ontbrekende getal
4
beantwoord de gestelde vraag
8.4
Gemiddelde en standaardafwijking berekenen (TI)
Bij het berekenen van een onbekende μ of σ kun je de optie intersect gebruiken.
TI
8.4
Absolute en relatieve veranderingen
absolute verandering
is een verandering in aantallen
relatieve verandering
is een verandering in procenten
relatieve verandering =
Of
NIEUW - OUD
× 100%
OUD
Nieuw x100% - 100%
Oud
3.1
Vuistregels bij procentrekeningen
Geef NIEUW en OUD in hetzelfde aantal decimalen.
Kleine geldbedragen geef je in centen nauwkeurig.
Geef percentages in één decimaal nauwkeurig.
3.1
Grafische verwerking
Er zijn heel wat manieren om statistisch cijfermateriaal overzichtelijk in een figuur
weer te geven.
staafdiagram
je kunt de onderzoeksresultaten goed en snel vergelijken
bijzonderheden
de lengte van de staven/staafdelen komt overeen met de hoeveelheid
de staven staan meestal los van elkaar
de volgorde van de staven doet er in het algemeen niet toe
Meervoudig gestapeld
staafdiagram
3.2
Grafische verwerking
Er zijn heel wat manieren om statistisch cijfermateriaal overzichtelijk in een
figuur weer te geven.
lijndiagram
je kunt goed zien hoe een verschijnsel zich in de tijd heeft ontwikkeld
bijzonderheden
langs de horizontale as staat meestal de tijd
de opeenvolgende punten zijn verbonden door lijnstukken
tussenliggende punten hebben geen betekenis
scheurlijn !
3.2
Grafische verwerking
Er zijn heel wat manieren om statistisch cijfermateriaal overzichtelijk in een
figuur weer te geven.
cirkeldiagram
je krijgt een goed beeld van de relatieve verdeling
bijzonderheden
bij een aandeel van p% hoort een sector met een hoek van
p/100 x 360°
Werknemers per sector.
Titel !
legenda !
3.2
Grafische verwerking
Er zijn heel wat manieren om statistisch cijfermateriaal overzichtelijk in een
figuur weer te geven.
beelddiagram
de gegevens worden door middel van figuurtjes weergegeven
3.2
Misleiding bij grafische weergave
let bij grafieken op de volgende punten:
1 staat er bij de grafiek een duidelijk opschrift ?
2 staat er voldoende informatie bij de assen ?
3 begint de verticale as bij 0 ? is er een scheurlijn gebruikt ?
Alleen bij een
lijndiagram of
polygoon
3.2
Klasse indeling
Uit een onderzoek zijn de volgend gewichten in grammen
van eieren uit de biologische veeteelt gevonden
53
34
28
44
19
57
38
34
22
17
26
57
64
32
26
33
14
45
31
43
18
63
27
56
37
42
46
23
52
25
35
12
24
29
44
57
26
47
35
34
37
48
19
54
30
24
32
23
37
45
30
37
39
47
28
17
64
35
25
13
22
54
26
39
42
37
34
24
13
58
29
28
30
28
28
26
26
34
24
35
26
40
13
31
61
37
31
46
43
24
39
44
53
52
27
18
29
57
24
43
16
17
47
37
65
48
13
68
33
42
Deze gegevens zetten we eerst in een tabel met een klasse indeling.
Klasse indeling
Een klasse indeling kan je maken aan de hand van de volgende
richtlijnen.
1. Tel het aantal waarnemingen.
2. Tel het aantal cijfers waar dit getal uit bestaat.
1. 110
2. 3
3. Vermenigvuldig dit aantal met 3 en met 5.
Dit is het aantal klassen dat je mag gebruiken.
3. 9 en 15
4. Kijk wat de laagste waarneming en rond deze af
naar beneden.
4. 12 afgerond 10
5. Bepaal de hoogste waarneming en rond deze af
naar boven.
5. 68 afgerond 70
6. Probeer een mooie klassegrens verdeling te
maken.
6. 12 klasse’s van
5 breed ?!?
Klassenindeling
Een klassenindeling
tot en met of tot en met kleiner dan??
Gewicht
Eiergewichten uit de biologische veeteelt
Gewicht
frequentie
m
f*m
frequentie
10
-
14
10
-<
15
15
-
19
15
-<
20
20
-
24
20
-<
25
25
-
29
25
-<
30
30
-
34
30
-<
35
35
-
39
35
-<
40
40
-<
45
40
-
44
45
-<
50
45
-
49
50
-<
55
50
-
54
55
-<
60
55
-
59
60
-<
65
60
-
64
65
-<
70
65
-
69
Klasse indeling
Frequentie verdeling maken m.b.v. een turf tabel
Eiergewichten uit de biologische veeteelt
53
34
28
44
19
57
38
34
22
17
26
57
64
32
26
33
14
45
31
43
10
-<
15
18
63
27
56
37
42
46
23
52
25
15
-<
20
35
12
24
29
44
57
26
47
35
34
20
-<
25
37
48
19
54
30
24
32
23
37
45
25
-<
30
30
37
39
47
28
17
64
35
25
13
30
-<
35
35
-<
40
22
54
26
39
42
37
34
24
13
58
40
-<
45
29
28
30
28
28
26
26
34
24
35
45
-<
50
26
40
13
31
61
37
31
46
43
24
50
-<
55
39
44
53
52
27
18
29
57
24
43
55
-<
60
16
17
47
37
65
48
13
68
33
42
60
-<
65
65
-<
70
Gewicht
frequentie
Klasse indeling
M.b.v. een klassenindeling kun je de centrummaten van deze verdeling
bepalen.
Eiergewichten uit de biologische veeteelt
Gewicht
frequentie
m
10
-<
15
7
15
-<
20
9
20
-<
25
10
25
-<
30
19
30
-<
35
16
35
-<
40
14
40
-<
45
9
45
-<
50
8
50
-<
55
7
55
-<
60
5
60
-<
65
4
65
-<
70
2
110
f*m
Histogram
aantal
Gewichtsverdeling biologische eieren
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
Gewicht
10 15
20 25 30
35 40 45 50
55 60 65 70
in gr.
Histogram en frequentiepolygoon
Een histogram is een staafdiagram bij een freqentietabel met kwantitatieve
gegevens (waarnemingsgetallen) op de horizontale as en de frequentie op de
verticale as.
De staven liggen tegen elkaar aan.
Een freqentiepolygoon is een lijndiagram waarin de frequenties zijn uitgezet
tegen de waarnemingsgetallen.
Het begin- en het eindpunt liggen in de ‘lucht’.
Als je de relatieve frequenties uitzet tegen de waarnemingsgetallen krijg je
een relatieve-frequentiepolygoon.
3.3
Frequentiedichtheid
een histogram moet je opvatten als een oppervlaktediagram
bij een klassenindeling met ongelijke klassenbreedten zet je bij een histogram op
de verticale as de frequentiedichtheiden uit
frequentiedichtheid =
frequentie van de klasse
klassenbreedte
de oppervlakte van een staaf correspondeert met de frequentie van de
bijbehorende klasse
3.3
frequentiedichtheid per 500 euro
120
100
80
60
40
20
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
10000
bruto-maandloon
Centrummaten
gemiddelde
het gemiddelde van een serie waarnemingsgetallen is de som
van die getallen gedeeld door het aantal getallen
mediaan
eerst de waarnemingsgetallen naar grootte rangschikken
bij oneven aantal getallen is de mediaan het middelste getal
bij even aantal getallen is de mediaan het gemiddelde van de
middelste twee getallen
modus
de modus is het waarnemingsgetal met de grootste frequentie
8.1
Klasse indeling en centrale tendenties
Gemiddelde en modus berekening doe je
m.b.v een frequentie tabel
Eiergewichten uit de biologische veeteelt
Gewicht
frequentie
m
f*m
10
-<
15
7
12,5
87,5
15
-<
20
9
17,5
157,5
20
-<
25
10
22,5
225
25
-<
30
19
27,5
522,5
30
-<
35
16
32,5
520
35
-<
40
14
37,5
525
40
-<
45
9
42,5
382,5
45
-<
50
8
47,5
380
50
-<
55
7
52,5
367,5
55
-<
60
5
57,5
287,5
60
-<
65
4
62,5
250
65
-<
70
2
67,5
135
110
3840
Gemiddelde
x  34,9 gr
om het gemiddelde te
berekenen moet je eerst
de klassenmiddens
berekenen
de klasse met de grootste
frequentie is de modale
klasse
voorbeeld
a
b
c
bereken het gemiddelde
klassenmiddens zijn
1800, 2200, 2600, 3000 en 3400
voer in lijst1 { 1800,2200,2600,3000,3400 }
en lijst2 { 85,75,63,58,19 }
optie 1 Var-Stats L1,L2 (TI) of 1VAR(Casio)
gemiddelde ≈ 2401 uur
bereken de mediaan
300 waarnemingsgetallen  150e en 151e getal
m.b.v. tabel  klasse 2000-<2400
m.b.v. GR  mediaan = 2200
dus de mediaan ligt in de klasse 2000-< 2400
wat is de modale klasse
de modale klasse is 1600-< 2000
aantal branduren
frequentie
1600-<2000
85
2000-<2400
75
2400-<2800
63
2800-<3200
58
3200-<3600
19
85
160
8.1
Voordelen en nadelen centrummaten
voordeel
nadeel
modus
• snel op te schrijven, weinig rekenwerk
• de enige centrummaat die bij kwalitatieve
gegevens te gebruiken is
• geeft weinig informatie
• is niet altijd aanwezig
• een kleine verandering kan een geheel andere
modus opleveren
mediaan
• niet gevoelig voor uitschieters
• weinig rekenwerk
• alleen de volgorde van de waarnemingsgetallen is
van belang, niet de grootte van de
waarnemingsgetallen
gemiddelde
• alle gegevens worden gebruikt
• iedereen kent deze centrummaat
•gevoelig voor uitschieters
8.1
Hoe teken je een boxplot?
bepaal de mediaan
bepaal het eerste kwartiel (mediaan van de “1e” helft) en het derde kwartiel
(mediaan van de “2e” helft)
teken een getallenlijn en zet het kleinste en grootste waarnemingsgetal, de
mediaan en de beide kwartielen boven de getallenlijn
teken de boxplot
8.1
Tekenen van de Boxplot.
Mediaan= tweede kwartiel = 50 % grens
m.b.v. de gecumuleerde frequentietabel.
Eerste kwartiel = 25 % grens
Derde kwartiel = 75 % grens
grens
aantal
relatief
Gecumuleerde relatieve verdeling
-<
10
0
0,0
-<
15
7
6,4
-<
20
16
14,5
-<
25
26
23,6
-<
30
45
40,9
-<
35
61
55,5
-<
40
75
68,2
-<
45
84
76,4
-<
50
92
83,6
-<
55
99
90,0
20,0
-<
60
104
94,5
0,0
-<
65
108
98,2
-<
70
110
100,0
120,0
100,0
80,0
60,0
40,0
0
Boxplot
20
40
60
80
voorbeeld
de volgende score’s zijn gehaald bij een test
23 – 43 – 24 - 34 - 13 - 32 - 44 - 53 - 17 - 28 – 30 – 22 – 19
schrijf de getallen eerst van klein naar groot op
13 – 17 – 19 – 22 – 23 – 24 – 28 – 30 – 32 – 34 – 43 – 44 – 53
teken een getallenlijn
kleinste waarnemingsgetal = 13
grootste waarnemingsgetal = 53
mediaan = 28
1e kwartiel (Q1) = (19 + 22) : 2 = 20,5
3e kwartiel (Q3) = (34 + 43) : 2 = 37,5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
in de box 50%
tussen 2 verticale streepjes altijd 25% van de
waarnemingsgetallen
8.1
Boxplot mbv de grafische rekenmachine
1 frequentie tabel maken
stat  edit  1  L1 (waarnemingsgetallen)
L2 (frequentie’s) invullen
2 boxplot berekenen
stat  calc  1  1 var stats L1,L2
(L1,+2  2nd  1,2)
3 boxplot tekenen
2nd  stat plot  1  on  type ‘5e’  graph
8.1
Cumulatieve frequenties
de cumulatieve frequentie krijg je door de frequentie van die klasse en de
frequenties van de voorgaande klassen bij elkaar opgeteld
bij een cumulatieve frequentiepolygoon teken je de cumulatieve frequenties boven
de rechtergrenzen van de klassen
begin op de horizontale as bij de linkergrens van de eerste klasse
verbind de opeenvolgende punten door lijnstukken
3.3
Gecumuleerde
gewichtsverdeling
Gecumuleerde gewichtsverdeling
grens
aantal
-<
10
-<
15
-<
20
-<
25
-<
30
-<
35
-<
40
-<
45
-<
50
-<
55
-<
60
-<
65
-<
70
relatief
Gecumuleerde gewichtsverdeling
Gecumuleerde gewichtsverdeling
grens
aantal
relatief
-<
10
0
-<
15
7
-<
20
16
-<
25
26
-<
30
45
-<
35
61
-<
40
75
-<
45
84
-<
50
92
-<
55
99
-<
60
104
-<
65
108
-<
70
110
Gecumuleerde absolute frequentie verdeling
Gecumuleerde gewichtsverdeling
grens
aantal
relatief
-<
10
0
-<
15
7
-<
20
16
-<
25
26
-<
30
45
-<
35
61
-<
40
75
-<
45
84
-<
50
92
-<
55
99
-<
60
104
-<
65
108
-<
70
110
Gecumuleerde absolute verdeling
120
100
80
60
40
20
0
0
20
40
Mediaan = 34 gr.
60
80
Gecumuleerde relatieve frequentie verdeling
Gecumuleerde gewichtsverdeling
grens
aantal
relatief
-<
10
0
0,0
-<
15
7
6,4
-<
20
16
14,5
-<
25
26
23,6
-<
30
45
40,9
-<
35
61
55,5
-<
40
75
68,2
-<
45
84
76,4
-<
50
92
83,6
-<
55
99
90,0
-<
60
104
94,5
-<
65
108
98,2
-<
70
110
100,0
Gecumuleerde relatieve verdeling
120,0
100,0
80,0
60,0
40,0
20,0
0,0
0
20
40
60
80
De populatie is de totale groep waarop het onderzoek betrekking heeft.
Een steekproef is representatief als zij een juiste afspiegeling is van de gehele
populatie
- de steekproef moet voldoende groot zijn
- de steekproef is aselect.
In een gelote steekproef heeft elk element van de populatie dezelfde kans om in
de steekproef te komen.
In een gelaagde steekproef komen duidelijk te onderscheiden groepen in
dezelfde verhouding voor als in de gehele populatie.
Bij een systematische steekproef genereer je één toevalsgetal. de andere
steekproefelementen volgen hieruit door met vaste stappen door de gehele
populatie te lopen. voor de stapgrootte deel je de populatieomvang door de
steekproefomvang.
3.4