Inclusie en Exclusie groep 1

Inclusie en Exclusie groep 1
Trainingsweek 8–13 juni 2009
Venndiagrammen
Als voor elementen in een verzameling twee verschillende eigenschappen een rol spelen,
dan kun je voor deze verzameling een Venndiagram tekenen. Dat bestaat uit twee deels
overlappende cirkels. De elementen kunnen elke eigenschap wel of niet hebben. Je hebt
dus 22 = 4 gebieden (het buitengebied meegerekend).
Gaat het om drie verschillende eigenschappen, dan bestaat het Venndiagram uit drie deels
overlappende cirkels met 23 = 8 gebieden, bijvoorbeeld het gebied “wel eigenschap A,
niet eigenschap B en wel eigenschap C”. Deze deelverzameling noteren we normaliter als
A ∩ B { ∩ C of A ∩ C\B.
Opgave 1 Teken een Venndiagram bestaande uit drie overlappende cirkels. Geef hierin
aan de volgende vier gebieden:
(a) (A ∪ C)\B
(b) A ∪ (C\B)
(c) (A ∩ C)\B
(d) A ∩ (C\B)
Opgave 2 Op een congres bevinden zich 350 deelnemers. De voertalen zijn Nederlands,
Engels en Frans. Er zijn 150 congresgangers die Nederlands spreken. Die spreken ook
allemaal Engels. In totaal zijn er 305 mensen die Engels spreken en 157 die Frans spreken.
Er zijn 125 deelnemers die maar één taal spreken. Hoeveel congresgangers spreken drie
talen?
Opgave 3 Op een popconcert zijn 1000 mensen afgekomen, waaronder 600 vrouwen. Het
blijkt dat 520 personen met de auto zijn gekomen, waaronder 300 vrouwen. Tevens blijkt
dat 270 mannen na afloop een CD hebben gekocht, net als 350 vrouwen. Er zijn 400
personen die én met de auto zijn gekomen én een CD kopen, waaronder 250 vrouwen.
Hoeveel mannen kwamen niet met de auto en kochten ook geen CD na afloop?
1
Opgave 4 We bekijken telefoonnummers van zeven cijfers: d1 , d2 , d3 , d4 , d5 , d6 en d7 in
deze volgorde. We noemen zo’n telefoonnummer gedenkwaardig als het rijtje (d1 , d2 , d3 )
gelijk is aan het rijtje (d4 , d5 , d6 ) of aan het rijtje (d5 , d6 , d7 ) (of allebei). Elk van de di kan
een van de cijfers 0 t/m 9 zijn. Hoeveel verschillende gedenkwaardige telefoonnummers
zijn er?
Opgave 5 (a) Hoeveel anagrammen heeft het 10-letterwoord WINTERWEER? (Een anagram is bijv. WINTERWREE.)
(b) In hoeveel van die anagrammen komt de combinatie RW niet voor?
Opgave 6 Met |A| bedoelen we het aantal elementen in een eindige verzameling A.
(a) Bewijs de somregel voor het aantal elementen van twee (wellicht overlappende) verzamelingen:
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
(1)
(b) Idem voor drie verzamelingen:
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
(2)
(c) Kun je zelf een generalisatie bedenken voor vier verzamelingen? Tegen welk probleem
lopen we aan als we hierbij ook een Venndiagram willen tekenen?
Je hebt deze somregels bij bovenstaande opgaven al dan niet expliciet gebruikt. De generalisatie hiervan heet het principe van inclusie en exclusie (PIE).
2
Principe van Inclusie en Exclusie
Stelling (PIE) Laat gegeven zijn een verzameling Ω en n eindige deelverzamelingen A1 ⊆
Ω, A2 ⊆ Ω, . . . , An ⊆ Ω. (Veel boeken schrijven A1 ⊂ Ω, etc.) Schrijven we |Ai | voor het
aantal elementen in Ai , dan geldt
X
X
X
|A1 ∪· · ·∪An | =
|Ai |−
|Ai ∩Aj |+
|Ai ∩Aj ∩Ak |−· · ·+(−1)n+1 |A1 ∩· · ·∩An |, (3)
i
i<j
i<j<k
waarbij de indices in bijvoorbeeld
met 1 ≤ i < j < k ≤ n.
P
i<j<k
|Ai ∩Aj ∩Ak | lopen over alle
n
3
drietallen (i, j, k)
Bewijs In het linkerlid staat het aantal elementen van A1 ∪ · · · ∪ An . Elk element van
A1 ∪ · · · ∪ An wordt hier dus één keer meegeteld. We gaan nu per element bewijzen dat
dat rechts ook zo is.
Zij x een willekeurig element van A1 ∪ · · · ∪ An . Noem r het aantal verzamelingen Ai waar
x element van is. Omdat
P x zeker in één van de Ai zit, geldt r ≥ 1. P
Rechts wordt x in de i |Ai | maar liefst r van de n keer geteld. In i<j |Ai ∩ Aj | wordt
P
hij 2r van de n2 termen geteld. In i<j<k |Ai ∩ Aj ∩ Ak | juist weer 3r keer. Wegens de
alternerende tekens wordt x rechts dus
r
r
r
−
+
− ...
1
2
3
keer geteld. Nu weten we (wegens r ≥ 1) dat 0 = 0r = ((−1)+1)r = 0r − 1r + 2r − 3r +. . . ,
dus bovenstaande uitdrukking is gelijk aan 0r oftewel aan 1. Rechts wordt x dus ook één
keer meegeteld.
Omdat elk element zowel links als rechts één keer wordt meegeteld en er verder geen andere dingen worden geteld, staat rechts ook het totaal aantal elementen van A1 ∪· · ·∪An . Een opmerking over de notatie. Hoewel het duidelijk is wat er met uitdrukking (3) wordt
bedoeld, klopt de notatie formeel niet helemaal. Aan de hand van de stippeltjes moeten
we zelf bedenken hoe de algemene term in het rechterlid eruit ziet. En als we op deze weg
zouden verder gaan, zouden we na i, j, k, . . . misschien wel bij het einde van het alfabet
komen, of erger nog, bij de n, die al bezet is. We kunnen dit oplossen met subindices (die
het echter misschien wel wat minder leesbaar maken):
|A1 ∪ · · · ∪ An | =
n
X
`=1
X
(−1)`+1
1≤i1 <i2 <...<i` ≤n
3
|Ai1 ∩ Ai2 ∩ · · · ∩ Ai` |.
(30 )
Voorbeeldopgave
Hoeveel positieve gehele getallen van 1 tot en met 100 zijn deelbaar door 6 of 15?
Uitwerking Neem voor A de zesvouden in {1, . . . , 100}; dat zijn er b 100
c = b16 46 c = 16.
6
Neem voor B de 15-vouden in {1, . . . , 100}; dat zijn er b 100
c = b6 10
c = 6. De getallen
15
15
100
in A ∩ B zijn de veelvouden van kvg(6, 15) = 30; dat zijn er b 30 c = b3 10
c = 3. We
30
concluderen dat |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| = 16 + 6 − 3 = 19.
Opgave 7 Hoeveel gehele getallen van 1 tot en met 1000 zijn deelbaar door 3 of 5?
Opgave 8 Zij Ω de verzameling van positieve gehele getallen bestaande uit drie cijfers abc
zodat a, b, c ∈ {1, 2, . . . , 9} en a, b, c alledrie verschillend zijn. (Dus 489 ∈ Ω, maar 313 6∈ Ω
en 507 6∈ Ω.) Bepaal het aantal elementen in Ω dat voldoet aan a 6= 3, b 6= 5 en c 6= 7.
Opgave 9 Hoeveel positieve gehele getallen niet groter dan 2001 zijn een veelvoud van 3
of 4 maar geen veelvoud van 5?
Opgave 10 Een 5-digit ternair getal is een getal abcde waarbij a, b, c, d, e ∈ {0, 1, 2}. Dus
00000, 01001, 21022, 11002 etc. zijn 5-digit ternaire getallen. Hoeveel 5-digit ternaire
getallen zijn er, waarin de cijfer 0, 1 en 2 alledrie minstens een keer voorkomen?
Opgave 11 Hoeveel gehele getallen van 1 tot en met 210 zijn niet deelbaar door 5, 7 of
9?
Opgave 12 Op hoeveel manieren kunnen twee wiskundigen W1 , W2 , drie natuurkundigen
N1 , N2 , N3 en vier scheikundigen S1 , S2 , S3 , S4 in een rij staan, zodanig dat niet alle wiskundigen, alle natuurkundigen of alle scheikundigen een blok vormen. (W1 S3 S2 N1 N3 W2 N2 S1 S4
is dus toegestaan, maar S1 S4 N1 N2 W2 W1 N3 S3 S2 en S4 S3 W1 N3 N1 N2 W2 S1 S2 niet.) (Je
hoeft het antwoord niet verder uit te rekenen.)
Opgave 13 Hoeveel priemgetallen zijn er tussen de 2 en de 100?
Opgave 14 Hoeveel positieve delers hebben 5400 en 18000 samen? Oftewel: hoeveel positieve gehele getallen zijn deler van 5400 of van 18000 (of van allebei)?
4
Opgave 15 We bekijken de kortste routes via roosterlijnen in een 8×4 rooster, dus van het
punt (0, 0) naar het punt (8, 4). Noem `i het lijnstukje dat (1 + i, i) verbindt met (2 + i, i).
Bereken het aantal kortste routes van (0, 0) naar (8, 4) dat niet gebruik maakt van `1 , noch
van `2 en noch van `3 .
Opgave 16 Tussen de schuur en een boom maken we een vlaggenlijn van oranje, witte
en blauwe vlaggen. We hebben plaats voor twintig vlaggen en we willen dat iedere kleur
tenminste een keer voorkomt. Hoeveel mogelijkheden zijn er? (Je hoeft het antwoord niet
verder uit te rekenen.)
Opgave 17 Bepaal het aantal geheeltallige oplossingen van
x + y + z = 12
onder de voorwaarden dat 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 5 en 0 ≤ z ≤ 6.
Opgave 18 We moeten zeven verschillende objecten verdelen over drie dozen. Bepaal het
aantal manieren waarop dit kan
(a) als er verder geen beperkingen zijn;
(b) als geen enkele doos na afloop leeg mag zijn.
Opgave 19 Op de begane grond stappen 8 personen in een lift. Ze stappen uit op de
eerste tot en met de vierde verdieping; op elke etage tenminste één. Bepaal met behulp
van inclusie/exclusie op hoeveel verschillende manieren dat kan, als geen rekening wordt
gehouden met de volgorde van uitstappen op een etage, maar wel met welke persoon of
personen op die etage uitstappen. (Je hoeft het antwoord niet verder uit te rekenen.)
5
Extra opgaven
Opgave 20 Laat m en n twee positieve gehele getallen zijn.
(a) Hoeveel functies zijn er van {1, 2, . . . , n} naar {1, 2, . . . , m}?
(b) Hoeveel injectieve functies zijn er van {1, 2, . . . , n} naar {1, 2, . . . , m}?
(c) Hoeveel functies f zijn er van {1, 2, . . . , n} naar {1, 2, . . . , m} zodanig dat f (x) 6= 1
voor alle x ∈ {1, 2, . . . , n}?
(d) Hoeveel surjectieve functies zijn er van {1, 2, . . . , n} naar {1, 2, . . . , m}?
Opgave 21 Een groep van n ≥ 2 vrienden gaat lootjes trekken voor Sinterklaas. Wat is
de kans dat niemand zichzelf trekt?
Opgave 22 Euler’s φ-functie is voor een positief geheel getal n als volgt gedefinieerd:
φ(n) is het aantal positieve gehele getallen ≤ n die relatief priem zijn met n.
Bewijs dat
φ(n) = n
m Y
k=1
1
1−
pi
,
waarbij p1 , p2 , . . . , pm de verschillende priemfactoren zijn die in n voorkomen.
Opgave 23 We hebben de volgende formules gezien:
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|;
(1)
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|;
(2)
X
X
X
|A1 ∪· · ·∪An | =
|Ai |−
|Ai ∩Aj |+
|Ai ∩Aj ∩Ak |−· · ·+(−1)n+1 |A1 ∩· · ·∩An |. (3)
i
i<j
i<j<k
(a) Leid (2) af uit (1).
(b) Geef een alternatief bewijs van (3) door gebruik te maken van inductie naar n.
6