Formularium functies

wiskunde
© S. Staelens
[email protected]
Campus Plinius
Keverstraat 26
3700 Tongeren
Formularium functies
1. ALGEMEEN
Een functie is bepaald door haar functievoorschrift en grafiek. Daarnaast gaan we ook de
volgende eigenschappen onderzoeken:
1. dom f:
f alle getallen a waarvoor een f(a) bestaat / hiervoor kijken we naar de X-as
2. ber f:
f alle getallen die het beeld zijn van x door f / hiervoor kijken we naar de Y-as
3. nulwaarde(n):
nulwaarde(n) f(x) = 0 – het (de) snijpunt(en) met de X-as / steeds in de vorm (x,0)
4. tekenverloop:
tekenverloop boven de X-as: (+) / onder de X-as: (-) / vanuit het functeivoorschrift
kijken we links en rechts (kleiner en groter) van de nulwaarden
5. MIN / MAX:
MAX coördinaten (x,y) van de punten waar de functie een MIN/MAX vertoont
6. stijgen / dalen:
dalen aflezen op de grafiek, t.o.v. het min/max
7. symmetrie:
symmetrie wordt de grafiek gespiegeld rond een symmetrie-as of –punt?
8. periodiek:
periodiek is er een stuk van de grafiek dat steeds weerkeert (periode=lengte van dit
stuk)?
Om de grafiek van een functie te tekenen maken we steeds een functiewaardentabel. Hierin
kiezen we willekeurig waarden voor x, die we dan in het voorschrift invullen en zo de
functiewaarden (y of f(x)) kunnen berekenen.
x
y
2. SPECIFIEK
1.1. Eerstegraadsfuncties
f ( x ) = ax + b
⇒ RECHTE
dom f:
f altijd ℝ
ber f:
f altijd ℝ, behalve wanneer a = 0, dan is ber f = b
{}
nulwaarde:
nulwaarde altijd ( −
b
,0)
a
tekenverloop:
tekenverloop
x
y
−
tegengesteld teken van a
b
a
0
teken van a
a > 0: stijgende rechte ; a < 0: dalende rechte
http://mrmathematique.wordpress.com
Schooljaar: 2009 – 2010
Formularium functies – P a g e | 2
1.2. Tweedegraadsfuncties
f (x ) = ax 2 + bx + c ⇒ PARABOOL (a>0: dalparabool – a<0: bergparabool)
dom f:
f altijd ℝ
 y TOP , +∞ 
bergparabool:  −∞ , y TOP 
ber f:
f dalparabool:
2
nulwaarde:
nulwaarde los de vergelijking ax + bx + c = 0 op met de algemene oplossingsmethode
D = b ² − 4ac en x 1 =
−b + D
−b − D
; x2 =
2a
2a
tekenverloop:
tekenverloop
D<0
D=0
D>0
D>0
x
y
teken van a
−b
2a
x
y
x
y
teken van a
teken van a
0
x1
x2
0 tegengesteld teken 0
van a
teken van a
teken van a
extreme waarden:
TOP: [
−b
−b
−b
−b
, f ( ) ] ⇒ x-waarde van de top =
en de y-waarde is dan f ( )
2a
2a
2a
2a
Dalparabool ⇒ minimum
Bergparabool ⇒ maximum
grafiek:
grafiek m.b.v. functiewaardentabel bijkomende punten berekenen
http://mrmathematique.wordpress.com
Schooljaar: 2009 – 2010
Formularium functies – P a g e | 3
1.3. Rationale functies
f (x ) =
ax + b
cx + d
⇒ HYPERBOOL
bv.:
dom f: altijd ℝ \ {nulwaarde van de noemer}
verticale asymptoot (V.A. of pool): N=0 ⇒ x = nulwaarde van de noemer
nulwaarde (van de functie): T=0 (opgelet! deze mag niet gelijk zijn aan de nulwaarde van de
noemer)
tekenverloop:
tekenverloop
x
T
N
f(x)
⟹ tekenverloop (o.b.v. de nulwaarden) apart voor teller en noemer, nadien samenvoegen m.b.v.
de algemene tekenregels waar T = 0: f(x) = 0; waar N = 0: f(x) |
horizontale asymptoot (H.A.) y =
a
c
(als a = 0: y = 0 (de X-as)!)
grafiek:
grafiek m.b.v. functiewaardentabel bijkomende punten berekenen
http://mrmathematique.wordpress.com
Schooljaar: 2009 – 2010