Lineaire Algebra Oefeningen - Vrije Universiteit Brussel

VE
NI
U
RSIT EIT
BR
S
US
EL
VRIJ
E
Vrije Universiteit Brussel
Faculteit Toegepaste Wetenschappen
V IN
N
NT
EB
RAS
SCIE
IA
CERE
TE
Lineaire Algebra
Oefeningen
S. Caenepeel
1994-2001
Reeks 1
Oefening 1.1 Bepaal rest en quotient bij deling van de veelterm M(Z) door N(Z).
a M(Z) = iZ 3 + (1 + i)Z 2 − Z + 3 en N(Z) = Z 2 + (1 − i)Z + 3;
b M(Z) = iZ 4 + (1 − i)Z 2 + Z + 3 en N(Z) = (1 − i)Z 2 + Z + 3;
c M(Z) = Z 3 + (1 + i)Z 2 + 3 en N(Z) = (1 − i)Z + 3.
Oefening 1.2 Bepaal de complexe logaritme van
√
a −1, i en 1 + i 3;
b −2, −i en
1−i
√ ;
2
√
c −1, i en 1 − i 3.
Oefening 1.3 Zoek de vierkantswortels en de derdemachtswortels uit
a i;
b −64;
c
1+i
√ .
2
Oefening 1.4 Bewijs de volgende formules:
sin(x + iy) = sin(x) cosh(y) + i cos(x) sinh(y)
cos(x + iy) = cos(x) cosh(y) − i sin(x) sinh(y)
Oefening 1.5 Los de volgende vergelijkingen op in C.
1a sin(z) = 2;
1b sin(z) = i;
1c ez = 1 + i;
2a z2 = 45 + 14i;
2b z6 = i;
2c tg (z) = i;
3a cos(z) = −2;
3b z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0;
1
3c Ln(z) = π/6.
Oefening 1.6a Schets in het complexe vlak de verzameling van de oplossingen van de vergelijkingen
sin(z) = t
waarbij t over de verzameling van de reële getallen varieert.
Oefening 1.6b Zelfde vraag voor de vergelijkingen
cos(z) = t
Oefening 1.6c Zelfde vraag voor de vergelijkingen
exp(z) = t
Oefening 1.7 Ontbind in complexe factoren en in reële factoren.
a P(z) = z6 − 1;
b P(z) = z4 + z3 + z + 1;
c P(z) = z4 − 1.
Oefening 1.8 Onderstel dat P(Z) = Z n + a1 Z n−1 + · · · + an−1 Z + an een complexe veelterm van
graad n is, met nulpunten z1 , z2 , · · · , zn . Toon aan dat
an = (−1)n z1 z2 · · · zn
a1 = −(z1 + z2 + · · · + zn )
Druk ook ai uit in functie van de nulpunten z1 , z2 , · · · , zn .
Oefening 1.9 Neem een n-de machtswortel η van het getal 1. We noemen η een primitieve n-de
eenheidswortel als de verzameling
{η, η2 , · · · , ηn−1 , ηn = 1}
alle n-de machtswortels uit 1 bevat, m.a.w. als
Z n − 1 = (Z − 1)(Z − η)(Z − η2 ) · · · (Z − ηn−1 )
(1)
Ga na dat i en −i primitieve vierde eenheidswortels zijn, en 1 en −1 niet.
• Toon aan dat η = exp
2πi
n
een primitieve n-de eenheidswortel is.
• Als η een primitieve n-de eenheidswortel is, voor welke waarden van r is dan ηr ook een
primitieve n-de eenheidswortel?
2
• Als η een primitieve n-de eenheidswortel is, toon dan aan dat
η + η2 + · · · + ηn−1 = −1
ηη2 · · · ηn−1 = (−1)n−1
(1 − η)(1 − η2 ) · · · (1 − ηn−1 ) = n
(HINT: voor de eerste twee betrekkingen: gebruik de vorige oefening; voor de derde betrekking:
deel de betrekking (1) door Z − 1, en vul dan Z = 1 in).
Reeks 2
Oefening 2.1 Gegeven zijn a, a0 , a00 , b, b0 , b00 , c, c0 , c00 ∈ R. Toon aan dat de oplossingen (x, y, z) van
het stelsel

 ax + by + cz = 0
a0 x + b0 y + c0 z = 0
 00
a x + b00 y + c00 z = 0
een deelruimte van R3 vormen.
Oefening 2.2 Stel V = C ([a, b]) = { f : [a, b] → R| f continu}. Welk van de volgende verzamelingen zijn deelruimten van V ?
1a { f ∈ C ([a, b])| f (x) ≥ 0, ∀x};
1b { f ∈ C ([a, b])| f is een constante functie};
1c { f ∈ C ([a, b])| f (a) = 0};
2a { f ∈ C ([a, b])| f (a) = 5};
2b { f ∈ C ([a, b])| f heeft overal een eindige afgeleide};
2c {α + β sin(x)|α, β ∈ R};
3a { f ∈ C ([a, b])| f 0 (1) = 0} (onderstel 1 ∈ [a, b]);
3b { f ∈ C ([a, b])| f 0 (0) = 1} (onderstel 0 ∈ [a, b]);
a+b
3c { f ∈ C ([a, b])| f ( a+b
2 + x) = f ( 2 − x)};
4a { f ∈ C ([a, b])| f (a) = f (b)};
4b { f ∈ C ([a, b])| f 0 (a) = f (b)};
4c { f ∈ C ([a, b])| f (a) + f 0 (a) + f 00 (a) = 0};
3
5a { f ∈ C ([a, b])| f (a) + f 0 (a) + f 00 (a) = 1};
5b { f ∈ C ([a, b])| f (a) ∈ Q};
5c { f ∈ C ([a, b])| f (a) ∈ R \ Q}.
Oefening 2.3 Welk van de volgende verzamelingen zijn deelruimten van de vectorruimte R[X]?
1a {P ∈ R[X]|gr(P) even};
1b {P ∈ R[X]|P0 (X) = 0};
1c {a + bX 3 |a, b ∈ R};
2a {a + bX + cX 2 + dX 3 |a + b + c + d = 0};
2b {P ∈ R[X]|1 is een nulpunt van P};
2c {P ∈ R[X]|gr(P) > 2};
3a {P ∈ R[X]|gr(P) < 2};
3b {P ∈ R[X]|gr(P) = 2};
3c {P ∈ R[X]|de rest bij deling door X 2 + X + 1 is 0};
4a {P ∈ R[X]|de rest bij deling door X 2 + X + 1 is 1};
4b {P ∈ R[X]|gr(P) is oneven};
4c {P ∈ R[X]|P(X) = P(−X)}.
Oefening 2.4a Een goniometrische veelterm is een functie van de vorm
f (x) =
i
a0
+ ∑ (an cos nx + bn sin nx)
2 n=1
Toon aan dat de verzameling der goniometrische veeltermen een vectorruimte is.
Oefening 2.4b We noteren met RN de verzameling van alle rijtjes met waarden in R. Op RN
definiëren we de volgende bewerkingen:
(a0 , a1 , · · ·) + (b0 , b1 , · · ·) = (a0 + b0 , a1 + b1 , · · ·)
α(a0 , a1 , · · ·) = (αa0 , αa1 , · · ·)
voor elke α ∈ R en (a0 , a1 , · · ·), (b0 , b1 , · · ·) ∈ RN . Toon aan dat RN een vectorruimte is.
Oefening 2.4c Een functie f : [a, b] → R wordt een trapfunctie genoemd indien er een partitie
P = (a = x0 < x1 < x2 < · · · < xm = b) zodat f constant is op elk van de intervallen (xi−1 , xi ), voor
i = 1, 2, · · · , m. Toon aan dat de verzameling van de trapfuncties op [a, b] een vectorruimte vormen.
4
Oefening 2.5 Welk van de volgende verzamelingen zijn deelruimten van RN ?
1a De verzameling der begrensde rijtjes;
1b de verzameling der rijtjes waarvan de limiet 1 is;
1c de verzameling der rijtjes waarvan de limiet 0 is;
2a de verzameling der rijtjes waarvan slechts een eindig aantal termen verschillend van nul zijn;
2b de verzameling der rijtjes waarvan de eerste tien termen allemaal nul zijn;
2c de verzameling der rijtjes waarvan de tweehonderdste term 0 is;
3a de verzameling der rijtjes waarvan de tweehonderdste term 1 is;
3b de verzameling van alle convergente rijtjes;
3c de verzameling van alle divergente rijtjes.
Oefening 2.6 Welke van de volgende deelverzamelingen van R3 zijn lineair onafhankelijk?
1a {(0, 0, 0)};
1b {(1, 1, 1), (2, 2, 2)};
/
1c 0;
2a {(1, 1, 0), (0, 2, 3), (1, 2, 3), (3, 6, 6)};
2b {(1, 1, 0), (3, 4, 2)};
2c {(1, 1, 0), (0, 2, 3), (1, 2, 3), (0, 0, 0)}
Oefening 2.7 Welke van de volgende deelverzamelingen van R[X] zijn lineair onafhankelijk?
1a {1, X, X 2 };
1b {0, X};
1c {X 6 , X 6 + 1, X 6 + 2};
2a {X 2 + 1, X 2 − 1, X};
2b {1, X + 1, X − 1, X 2 − 1, X 2 + 1};
2c {X 2 + X + 1, X 2 − X − 1, X + 1}
Oefening 2.8 Welke van de volgende deelverzamelingen van C ([a, b]) zijn lineair onafhankelijk?
1a {cos(x), sin(x), ex }; [a, b] = [0, 2π]
5
1b {x2 , ex };
1c {cos2 (x), sin2 (x), cos(2x)};
2a {sin(x), cos(x), tg (x)} ([a, b] = [− π3 , π3 ]);
2b {tg 2 (x), sec 2 (x), 3} ([a, b] ⊂ (− π2 , π2 ));
2c {1, x, xex }
Reeks 3
Oefening 3.1 Welke van de volgende verzamelingen veeltermen brengen R2 [X] voort?
1a {1, X, X 2 };
1b {1, X − 1, (X − 1)2 };
1c {X 2 + 1, X 2 + X, X + 1};
2a {X 2 + 1, X − 1, X 2 + X};
2b {X 2 + 2, 2X 2 − X + 1, X + 2, X 2 + X + 4};
2c {X 2 + 2X − 1, X 2 − 1}.
Oefening 3.2a Onderstel dat S = {~a1 ,~a2 ,~a3 } lineair onafhankelijk is in een vectorruimte V . Neem
nu
~b1 = ~a1 +~a2 +~a3
~b2 = ~a2 +~a3
~b3 = ~a3
Bewijs dat T = {~b1 ,~b2 ,~b3 } ook lineair onafhankelijk is.
Oefening 3.2b Onderstel dat S = {~a1 ,~a2 ,~a3 } lineair onafhankelijk is in een vectorruimte V . Neem
nu
~b1 = ~a1 + 2~a2 + 3~a3
~b2 = ~a2 + 2~a3
~b3 = ~a3
6
Bewijs dat T = {~b1 ,~b2 ,~b3 } ook lineair onafhankelijk is.
Oefening 3.2c Onderstel dat S = {~a1 ,~a2 ,~a3 } lineair onafhankelijk is in een vectorruimte V . Onderstel nu dat
~a1 = ~b1 +~b2 +~b3
~a2 = ~b2 +~b3
~a3 = ~b3
Bewijs dat T = {~b1 ,~b2 ,~b3 } ook lineair onafhankelijk is.
Oefening 3.3 Vind een basis voor de volgende deelruimten van R4 :
1a {(a, b, c, d) ∈ R4 |a = 0};
1b {(a, b, c, d) ∈ R4 |a = b = 0};
1c {(a, b, c, d) ∈ R4 |a + b + c + d = 0};
2a {(a, b, c, d) ∈ R4 |a = c en b = d};
2b {(a, b, c, d) ∈ R4 |d = a + b};
2c {(a, b, c, d) ∈ R4 |d = a + b en c = a − b}.
Oefening 3.4 Vind een basis voor
1a {P ∈ R3 [X]|P(1) = 0};
1b {P ∈ R3 [X]|P0 (X) = 0};
1c {P ∈ R3 [X]|P0 (1) = 0};
2a {P ∈ R3 [X]|P00 (X) = 0};
2b {P ∈ R3 [X]|P00 (1) = 0};
2c {P ∈ R3 [X]|P(1) = P(2)}.
Oefening 3.5 Som alle deelruimten van R3 op.
Oefening 3.6 We werken in V = C [−a, a]. Stel
W1 = { f ∈ C [−a, a]| f (x) = f (−x), ∀x ∈ [−a, a]}
W2 = { f ∈ C [−a, a]| f (x) = − f (−x), ∀x ∈ [−a, a]}
Bewijs achtereenvolgens dat
1. W1 ,W2 zijn deelruimten van V ;
7
2. W1 ∩W2 = {0};
3. W1 ⊕W2 = V .
Oefening 3.7 Beschouw een vectorruimte V , X ⊂ V , en ~x,~y ∈ V . Bewijs dat ~y ∈ vct (X ∪ {~x}) en
~y 6∈ vct (X) impliceren dat ~x ∈ vct (X ∪ {~y}).
Oefening 3.8 Bewijs dat de veeltermen
x
{
|k = 0, 1, · · · , n}
k
een basis vormen voor Rn [x]. Gebruik hiervoor inductie op n. Herinner tevens dat
x
x(x − 1)(x − 2) · · · (x − k + 1)
=
k!
k
Reeks 4
Oefening 4.1 Welk van de volgende afbeeldingen zijn lineaire afbeeldingen?
1a f : R2 → R3 gedefinieerd door
f (a, b) = (a, b, a + b)
1b f : R2 → R3 gedefinieerd door
f (a, b) = (a + b, b, a − b)
1c f : R3 → R3 gedefinieerd door
f (a, b, c) = (b, c, a)
2a f : R3 → R3 gedefinieerd door
f (a, b, c) = (a, b2 + c3 , a + b)
2b f : R3 → R3 gedefinieerd door
f (a, b, c) = (0, c, a)
2c f : R → R3 gedefinieerd door
f (a) = (1, a, a2 )
8
3a f : R → R3 gedefinieerd door
f (a) = (1, a, a)
3b f : R4 → R2 gedefinieerd door
f (a, b, c, d) = (a + b + c + d, a + b − 1)
3c f : R3 → R gedefinieerd door
f (a, b, c) = a2 + b2 + c2
Oefening 4.2a f : R2 [X] → R3 [X] is een lineaire afbeelding. Er is gegeven dat
f (1) = 1, f (X) = X 2 + 1, f (X 2 + 1) = X 3
Bepaal f (aX 2 + bX + c).
Oefening 4.2b f : R3 [X] → R[X] is een lineaire afbeelding. Er is gegeven dat
f (1) = 1, f (X − 1) = X 2 + 1, f (X 2 ) = X 10 , f (X 3 ) = 0
Bepaal f (aX 3 + bX 2 + cX + d).
Oefening 4.2c f : R[X] → R is een lineaire afbeelding. Er is gegeven dat
f (X i ) = i
Bepaal f (X n + X n−1 + · · · + 1).
Oefening 4.3 Welk van de volgende afbeeldingen fi : R[X] → R[X] zijn lineaire afbeeldingen?
1a f1 (P(X)) = P(X)2 ;
1b f2 (P(X)) = XP(X);
1c f3 (P(X)) = P(X + 1) − P(X);
2a f4 (P(X)) = P(0);
2b f5 (P(X)) = P(1);
2c f6 (P(X)) = P00 (X) − P0 (X);
3a f7 (P(X)) = P(X 2 );
3b f8 (an X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X + a0 ) = a0 X n + a1 X n−1 + · · · + an−1 X + an (met an 6= 0);
3c f9 (an X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X + a0 ) =
an
n+1 + an−1 X n + · · · + a1 X 2 + a X.
0
n+1 X
n
2
Oefening 4.4 Bepaal de kern, het beeld, en, indien deze bestaat, de inverse van de volgende lineaire afbeeldingen R2 → R2 :
9
1a f1 (x, y) = 2(x, −y);
1b f2 (x, y) = (y, 0);
1c f3 (x, y) = (x, x);
2a f4 (x, y) = (3x + 2y, 6x + 4y);
2b f5 (x, y) = (x + y, x − y);
2c f6 (x, y) = (x + y, x + 2y).
Oefening 4.5 Bepaal de kern, het beeld, en, indien deze bestaat, de inverse van de volgende lineaire afbeeldingen R3 → R3 :
a f1 (x, y, z) = (x + y, y + z, x);
b f2 (x, y, z) = (2x, −z, x + z);
c f3 (x, y, z) = (x + y, x − y, x + 2y).
Oefening 4.6 Bepaal de kern en het beeld van de volgende lineaire afbeeldingen R[X] → R[X]:
a f1 (P(X)) = P00 (X) − 2P0 (X);
b f2 (P(X)) = XP(X);
c f3 (an X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X + a0 ) = a2 X 2 + a1 X + a0 .
Oefening 4.7 Onderstel dat f : V → W een lineaire afbeelding is. We noemen een lineaire afbeelding g : W → V een linksinverse van f als g ◦ f = iV , en we noemen g een rechtsinverse van f als
f ◦ g = iW . Onderstel dat V en W eindigdimensionaal zijn, en bewijs dat
f heeft een linksinverse ⇐⇒ f is injectief
f heeft een rechtsinverse ⇐⇒ f is surjectief
Onderstel nu dat een lineaire afbeelding f een linksinverse g heeft, en een rechtsinverse h. Bewijs
dat h = g.
Reeks 5
Oefening 5.1 Een lineaire afbeelding p : V → V wordt een projectie genoemd als
p◦ p = p
Bewijs dat p een projectie is als en slechts als ook iV − p een projectie is. Toon verder aan dat voor
elke projectie p : V → V geldt:
Ker (p) = Im (iV − p)
V = Ker (p) ⊕ Im (p)
10
Oefening 5.2 Voor twee vectorruimten V en W definieren we het product V ×W door
V ×W = {(~v,~w)|~v ∈ V, ~w ∈ W }
Met de volgende bewerkingen is V ×W een vectorruimte:
(~v,~w) + (~v0 ,~w0 ) = (~v +~v0 ,~w + ~w0 )
α(~v,~w) = (α~v, α~w)
Onderstel nu dat V en W eindigdimensionale deelruimten zijn van een gegeven vectorruimte X.
• Toon aan dat dim (V ×W ) = dim (V ) + dim (W );
• bepaal de kern en het beeld van de lineaire afbeelding
f : V ×W −→V ⊕W : (~v,~w) 7→ ~v + ~w
• pas de tweede dimensiestelling toe op f , en leid daaruit de eerste dimensiestelling af.
Oefening 5.3a De lineaire afbeelding f : R4 → R3 wordt gegeven door
f (x, y, z,t) = (x, y + z, z + t)
Bepaal de matrix van f
1) ten opzichte van de standaardbasissen van R4 en R3 ;
2) ten opzichte van de basissen
E = {(1, 0, 0, 1), (0, 0, 0, 1), (1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0)} van R4
F = {(1, 1, 0), (0, 1, 0), (1, 0, 1)} van R3
Oefening 5.3b De lineaire afbeelding f : R2 → R3 wordt gegeven door
f (x, y) = (x + 2y, −x, y)
Bepaal de matrix van f
ten opzichte van de standaardbasissen van R2 en R3 ;
2) ten opzichte van de basissen
E = {(1, 3), (−2, 4)} van R2
F = {(1, 1, 1), (2, 2, 0), (3, 0, 0)} van R3
Oefening 5.3c De lineaire afbeelding f : R3 → R4 wordt gegeven door
f (x, y, z) = (3x − 2y + z, x + 6y + 2z, −3x + 7z, 2x + y)
Bepaal de matrix van f
ten opzichte van de standaardbasissen van R3 en R4 ;
ten opzichte van de basissen
E = {(0, 8, 8), (−7, 8, 1), (−6, 9, 1)} van R3
F = {(0, 1, 1, 1), (1, −1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1)} van R4
11
Oefening 5.4a f : R3 → R3 is de lineaire afbeelding met matrix


1 3 1


1 2 4
1
0
1
ten opzichte van de standaardbasis van R3 . Bepaal f ((1, 2, 3)) en f ((4, 5, 6)).
Oefening 5.4b f : R3 → R2 is de lineaire afbeelding met matrix
!
1 −2 7
1
0
3
ten opzichte van de standaardbasissen van R3 en R2 . Bepaal f ((2, 3, −1)) en f ((4, 2, −1)).
Oefening 5.4c f : R3 → R4 is de lineaire afbeelding met matrix


1 2 3


 0 5 −7 


 −7 3 2 


5
0
4
ten opzichte van de standaardbasissen van R3 en R4 . Bepaal f ((1, 3, −1)) en f ((0, 3, 6)).
Oefening 5.5a V is de deelruimte van RR met als basis
E = {1, x, ex , xex }
Bepaal de matrix ten opzichte van E van de lineaire afbeelding
D : V → V : f 7→ f 0
Oefening 5.5b V is de deelruimte van RR met als basis
E = {cos x, sin x, ex }
Bepaal de matrix ten opzichte van E van de lineaire afbeelding
D : V → V : f 7→ f 000
Oefening 5.5c V is de deelruimte van RR met als basis
E = {1, x + 1, x2 + x + 1}
Bepaal de matrix ten opzichte van E van de lineaire afbeelding
D : V → V : f 7→ f − 2 f 0
12
Oefening 5.6 Beschouw een lineaire afbeelding f : V → V . Een deelruimte W van V noemen
we invariant onder f als f (W ) ⊂ W . Onderstel dat W invariant is onder de lineaire afbeelding f ,
en dat dim (V ) = n, dim (W ) = m. Bewijs dat we een basis van V kunnen vinden zodanig dat de
matrix van f ten opzichte van deze basis er als volgt uitziet:
!
A B
0
C
waarbij A ∈ Mmm (K), B ∈ Mm(n−m) (K), C ∈ M(n−m)(n−m) (K) en 0 de (n − m) × m nulmatrix.
Oefening 5.7 Bepaal de dimensies van de volgende vectorruimten:
1a Hom R (R2 , R3 );
1b Hom R (M23 (R), R2 );
1c Hom R (R, M31 (R));
2a Hom R (R2 [X], R3 [X]);
2b Hom R (R, R3 [X]);
2c Hom R (M22 , M33 ).
Reeks 6
Oefening 6.1 Ga na welke van de volgende matrices wortels zijn van de gegeven vergelijking:
a
b
c
0
0
0
1
1
4
1
0
!


1
0
0

, 0
1

0 , x3 − x2 − x + 1 = 0;
1 0 −1


!
0 1 0
2


,  0 0 1 , x2 + 2x − 11 = 0;
−3
1 0 0


!
1 0 0
0


,  0 2 0 , −x3 + 4x2 − 5x + 2 = 0.
1
0 0 0
13
Oefening 6.2a De lineaire afbeelding f : M22 (R) → M22 (R) wordt gedefinieerd door
!
!
!
a b
2 1
a b
=
f
c d
0 −1
c d
Bepaal de matrix van f ten opzichte van de standaardbasis van M22 (R).
Oefening 6.2b De lineaire afbeelding f : M22 (R) → M22 (R) wordt gedefinieerd door
!
!
!
!
!
a b
a b
1 2
1 2
a b
f
=
−
c d
c d
0 3
0 3
c d
Bepaal de matrix van f ten opzichte van de standaardbasis van M22 (R).
Oefening 6.2c De lineaire afbeelding f : M22 (R) → M23 (R) wordt gedefinieerd door
!
!
!
a b
a b
3 1 1
f
=
c d
c d
1 2 −1
Bepaal de matrix van f ten opzichte van de standaardbasissen van M22 (R) en M23 (R).
Oefening 6.3 Zoek 2 × 2-matrices A en B zodanig dat
AB = 0 en BA 6= 0
Oefening 6.4 Herinner dat we de matrix Ei j definieren als de matrix met een 1 in de (i, j)-positie,
en overal elders 0:
Ei j k` = δik δ j`
voor i, j, k, ` = 1, · · · , n. Bepaal nu voor elke n × n-matrix A de producten AEi j en Ei j A. Toon aan
dat
AEi j pq = δ jq a pi
Ei j A pq = δip a jq
Oefening 6.5 Onderstel dat A ∈ Mnn (R) commuteert met elke matrix B ∈ Mnn (R):
∀B ∈ Mnn (R) : AB = BA
Bewijs dan dat A een veelvoud is van de eenheidsmatrix: A = αIn . Gebruik hiervoor de voorgaande
oefening.
Oefening 6.6a De matrix A van de lineaire afbeelding f : R3 → R3 ten opzichte van de standaardbasis wordt gegeven door:


1 2 3


4 5 6
3
2
14
1
Wat is de matrix van f ten opzichte van de basis
{(1, 0, 1), (1, 0, −1), (1, 1, 1)}
Oefening 6.6b De matrix A van de lineaire afbeelding f : R3 → R3 ten opzichte van de standaardbasis wordt gegeven door:


1 1 1


2 3 4
5
0
1
Wat is de matrix van f ten opzichte van de basis
{(1, −1, 1), (1, 2, 2), (1, 1, 1)}
Oefening 6.6c De matrix A van de lineaire afbeelding f : R3 → R3 ten opzichte van de basis
{(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}
wordt gegeven door:


1
2
3

2
3

4
3
4
5
Wat is de matrix van f ten opzichte van de basis
{(1, 0, 1), (1, 0, −1), (1, 1, 1)}
Oefening 6.7a Gegeven is de matrix
0
0
−1
2

0
A=
0

2
3
4
1
3
0
3
2

3


5

−1 2 

4
1
Gebruik elementaire rijoperaties om A in rij echelon vorm te brengen, en om A in gereduceerde
rij echelon vorm te brengen. Wat is de rang van A? Geef een basis van de deelruimte van R5
voortgebracht door de rijen van A.
Gebruik elementaire kolomoperaties om A in kolom echelon vorm te brengen. Verifieer dat het
aantal lineair onafhankelijke kolommen van A gelijk is aan het aantal lineair onafhankelijke rijen.
Geef een basis voor de vectorruimte voortgebracht door de kolommen van A.
15
Oefening 6.7b Gegeven is de matrix

1

2
3
2
3

 1 1


A =  −1 2

 2 1

1 2
2
2

3


1

2

1
−1 −2
2
1
1
2
Gebruik elementaire rijoperaties om A in rij echelon vorm te brengen, en om A in gereduceerde
rij echelon vorm te brengen. Wat is de rang van A? Geef een basis van de deelruimte van R5
voortgebracht door de rijen van A.
Gebruik elementaire kolomoperaties om A in kolom echelon vorm te brengen. Verifieer dat het
aantal lineair onafhankelijke kolommen van A gelijk is aan het aantal lineair onafhankelijke rijen.
Geef een basis voor de vectorruimte voortgebracht door de kolommen van A.
Oefening 6.7c Gegeven is de matrix

1
−2
0

2
A=
1

−3
−1
3
2
1
0
1
2


5

5

2
Gebruik elementaire kolomoperaties om A in kolom echelon vorm te brengen, en om A in gereduceerde kolom echelon vorm te brengen. Wat is de rang van A? Geef een basis van de deelruimte
van R4 voortgebracht door de kolommen van A.
Gebruik elementaire rijoperaties om A in rij echelon vorm te brengen. Verifieer dat het aantal lineair onafhankelijke kolommen van A gelijk is aan het aantal lineair onafhankelijke rijen. Geef een
basis voor de vectorruimte voortgebracht door de rijen van A.
Reeks 7
Oefening 7.1 Onderstel dat L1 en L2 twee lineaire variëteiten zijn in een vectorruimte V . Bewijs
dat L1 ∩ L2 ofwel leeg is, ofwel ook een lineaire variëteit is.
Oefening 7.2 Toon aan dat de samenstelling van twee affiene afbeeldingen opnieuw een affiene
afbeelding is.
Oefening 7.3 Onderstel dat twee lineaire variëteiten L1 en L2 evenwijdig zijn, en dat dim (L1 ) ≤
dim (L2 ). Toon aan dat
L1 ∩ L2 6= 0/ =⇒ L1 ⊂ L2
Oefening 7.4 Los de volgende lineaire stelsels op via Gauss eliminatie:
16
a

 x + 3y + z = 4
2x + 2y + z = −1

2x + 3y + z = 3
b

 x + 2y + 3z = a
2x + 5y + 5z = b

3x + 5y + 8z = c

−x − 2y − 3z = 0



w + x + 4y + 4z = 7
w + 3x + 7y + 9z = 4



−w − 2x − 4y − 6z = 6
c

x+y−z−t = 0



x + 2y + 3z − 4t = 0
3x + 4y − z − t = 8



2x − 3y + z + 3t = 3

x − y + 3z − t = 0



y − 3z + 5t = 2
x−z+t = 0



x + 2y − t = −5

 x + y = −7
2x + 4y + z = −16

x + 2y + z = 9
Oefening 7.5 Waaraan moeten de parameters b1 , b2 , · · · voldoen opdat de volgende stelsels consistent zouden zijn?
a

 x − 2y + 5z = b1
4x − 5y + 8z = b2

−3x + 3y − 3z = b3
6x − 4y = b1
3x − 2y = b2
b

x − y + 3z + 2t = b1



−2x + y + 5z + t = b2
−3x + 2y + 2z − t = b3



4x − 3y + z + 3t = b4

 x − 2y − z = b1
−4x + 5y + 2z = b2

−4x + 7y + 4z = b3
c

x − y + 3z − t = b1



y − 3z + 5t = b2
x − 3y + 3z − t = b3



x + 2y − 5t = b4

 x + 2y − 3z = b1
2x + 6y − 11z = b2

x − 2y + 7z = b3
Oefening 7.6 Zoek de inverse van de volgende matrices met behulp van de Gauss-Jordan eliminatie methode:
a


1
2

A = 1
1
0
1
3

1

0

2; D = 
1

1
0
1
2
−2
0
2
1
3
2
17
1



a
0
0
0


1
0 
; G = 

0
−2 

a
0
1
a

0

0

0
1
1
0
a
b


2

B = 0
1
1
0
1


0
0
0
1
0
0
0

0

2; E = 
0

3
0
a2
0
3
0
0
a3


1
0
; H = 
1
0


3
5

0

0

0
0
a4
3
5
0
0
0
a1

0
; F =
0

0
a2
0
3
a3
0
0

7
a4
0
0
3
c

C=

a1

a
b
c
d
!
1


1

0

; I = 0
0

3
0
Reeks 8
Oefening 8.1a Voor welke waarden (a, b, c) heeft het lineaire stelsel

 x + y + 2z = a
x+z
= b

2x + y + 3z = c
een oplossing? Bepaal het beeld van de lineaire afbeelding

1 1

f : R3 → R3 : X 7→  1 0
2
1
2


1X
3
Oefening 8.1b Voor welke waarden (a, b, c) heeft het lineaire stelsel

= a
 x + 2y + 8z
2x − 6y − 14z = b

2x − y + z
= c
een oplossing? Bepaal het beeld van de lineaire afbeelding


1 2
8


f : R3 → R3 : X 7→  2 −6 −14  X
2
−1
1
Oefening 8.1c Voor welke waarden (a, b, c) heeft het lineaire stelsel

= a
 3x − z
−5y + z
= b

6x + 10y − 4z = c
18
7
−5
0

een oplossing? Bepaal het beeld van de lineaire afbeelding

3 0

f : R3 → R3 : X 7→  0 −5
6
10
−1


1 X
−4
Oefening 8.2 Het spoor van een vierkante matrix wordt als volgt gedefiniëerd: voor


a11 a12 · · · a1n


 a21 a22 · · · a2n 
A=
..
.. 
 ...
.
. 


an1
· · · ann
an2
stellen we
n
Sp(A) = ∑ aii
i=1
Toon aan dat voor elke A, B ∈ Mnn :
Sp(A + B)
Sp(αA)
Sp(At )
Sp(AB)
=
=
=
=
Sp(A) + Sp(B)
αSp(A)
Sp(A)
Sp(BA)
Oefening 8.3 Leid uit de vorige oefening af dat er geen n × n matrices bestaan zodat
AB − BA = In
Oefening 8.4 A is de n × n-matrix met een 1 op elke plaats. Toon aan dat
(In − A)−1 = In −
1
A
n−1
Oefening 8.5 Onderstel dat A, B ∈ Mnn en dat A regulier is. Bewijs dat
A + B regulier ⇐⇒ I + BA−1 regulier
Oefening 8.6 Een matrix E wordt een elementaire n×n-matrix van type I, II of III genoemd indien
E wordt verkregen door op de eenheidsmatrix In een elementaire rij of kolomoperatie van type I,
II of III toe te passen.
• Hoe ziet een elementaire n × n-matrix eruit ? Toon aan dat elke elementaire matrix regulier
is, en bepaal de inverse matrix.
• Onderstel dat A een m × n-matrix is, en dat B uit A wordt verkregen door toepassing van een
elementaire rij (kolom) operatie. Laat E de elementaire m × m-matrix (elementaire n × nmatrix) die uit Im (In ) verkregen wordt door toepassing van dezelfde elementaire rij (kolom)
operatie. Bewijs dat B = EA (B = AE).
19
• Toon aan dat twee matrices A en B rijequivalent zijn als er een stel elementaire matrices
E1 , E2 , · · · , Ek bestaan zodat
B = Ek Ek−1 · · · E2 E1 A
Formuleer een analoog resultaat voor kolomequivalente matrices
• Laat zien dat de enige reguliere n × n-matrix in gereduceerde rij of kolom echelon vorm de
eenheidsmatrix In is.
• Bewijs nu voor een vierkante matrix A dat
A regulier ⇐⇒ A is een product van elementaire matrices
⇐⇒ A is rijequivalent met In
Reeks 9
Oefening 9.1 Schrijf de banen op van de volgende permutaties, en bepaal de pariteit. Schrijf de
eerste permutatie als een samenstelling van verwisselingen.
1a
"
1b
1c
2a
2b
2c
1
2
3
4
5
6
6
5
4
3
2
1
"
"
"
"
"
1
2
3
4
5
2
1
3
5
4
#
1
2
3
4
5
6
2
3
1
6
5
4
a
b
c
d
e
f
a
f
c
b
d
e
a
b
c
d
e
f
c
f
b
d
a
e
a
b
c
d
e
f
c
d
b
e
f
a
20
#
#
#
#
#
Oefening 9.2 Gegeven zijn de permutaties α en β. Gevraagd wordt om α−1 β−1 αβ te berekenen.
1a
α = [1, 2, 3] en β = [1, 4, 5]
14
α = [1, 2, 3, 4] en β = [1, 3, 5]
1c
α = [1, 2, 3] en β = [4, 5, 6]
Oefening 9.3 Gegeven zijn de permutaties α en β. Schrijf de banen van α en β op, en bepaal α−1 ,
β−1 , α ◦ β en β ◦ α.
!
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
α=
3 5 6 2 7 1 4 9 11 10 12 8
!
1
2
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
β=
11 12 10 6 7 4 5 8 9 1
2
3
Oefening 9.4 Toon aan dat de volgende verzameling permutaties een deelgroep van S4 vormt:
{i, α = [1, 2] ◦ [3, 4], β = [1, 3] ◦ [2, 4], γ = [1, 4] ◦ [2, 3]}
Oefening 9.5 Schrijf alle permutaties van A4 op.
Oefening 9.6 Toon aan dat elke permutatie van Sn kan geschreven worden als samenstelling van
de verwisselingen
[1, 2], [1, 3], [1, 4], · · · , [1, n]
Oefening 9.7 Bereken de volgende determinanten
a
1
cos α − sin α 1
;
sin α cos α 1
−1
b
0
c
b
c
0
a
9
9
b
a; 4
0 9
6
21
1
1
1
−1
−1
1
1
1
1
9
9
0
9
9
0
0
5
0
3
9
0
0
7
9 2
0
0 0
−1 1 1 1 c
1
1
1
Oefening 9.8 Toon aan dat
(b + c)2
ab
ac
b+c
a+c;
a+b
a
b
c
b−1 0
−2 b
0
0
1 −1 b+1
bc = 2abc(a + b + c)3
(a + b)2 ab
ac
(c + a)2
bc
Oefening 9.9 Bereken de determinant
1
1
1
a
b
c
Oefening 9.10 Noteer voor Dn de determinant
1 a1 a21
1 a2 a22
Dn = . .
..
.
.. ..
1 a a2
n
n
a2 2
b c2 · · · an−1
1 · · · an−1
2 .. . · · · an−1 n
Toon aan dat
Dn = (an − a1 )(an − a2 ) · · · (an − an−1 )Dn−1
en leid hieruit af dat
Dn = ∏(a j − ai )
j>i
We noemen de determinant Dn ook wel de determinant van Vandermonde.
Oefening 9.11 Bewijs per inductie op n:
1 + a1
1
1
···
1 1
1 + a2
1
···
1 1
1
1
1
1 + a3 · · ·
1 = a1 a2 · · · an 1 + + + · · · +
1
.
a1 a2
an
..
..
.. ..
.
.
.
1
1
1
· · · 1 + an Hoe ziet de formule eruit als een van de ai = 0?
22
Oefening 9.12 Beschouw drie niet-collineaire punten (x1 , y1 , z1 ), (x2 , y2 , z2 ), (x3 , y3 , z3 ) ∈ K 3 .
Toon aan dat de vergelijking van het vlak dat door deze drie punten gaat als volgt kan geschreven worden:
x y z 1
x1 y1 z1 1 x y z 1 = 0
2 2 2
x y z 1
3
3
3
Veralgemeen deze eigenschap voor een hypervlak in K n .
Oefening 9.13 Onderstel dat A een reguliere matrix is. Toon aan dat adj(A)−1 = adj(A−1 ).
Oefening 9.14 Een reguliere matrix A bevat enkel gehele elementen. Toon aan dat A−1 ook enkel
gehele elementen bevat als en slechts als det(A) = ±1.
Reeks 10
Oefening 10.1 Bepaal de karakteristieke veelterm, de eigenwaarden en de eigenvectoren van de
matrix A. Is de matrix A diagonalizeerbaar?
a
b

2

0
0
 
3; 0
0
0
0

−2
2
1
−1



−2 
3
0

3
2

4
2
3
1
2
3

 2
1
 
2; 0
1

0
2
0
2
1
2
−1
c


0

1

 11
0
−4
−7
−1



0
0
0
 
−7  ;  0
1

0
0
1
3
4
1
Oefening 10.2 Schrijf de karakteristieke veelterm van de matrices en verifieer de formule van
Cayley-Hamilton.
a
3
3
2
5
!
en
23
cos θ
− sin θ
sin θ
cos θ
!
b
1
−1
2
4

!

en  2
3
c
0
−1
2
3
1

2
−1
2
3


5
1

4
2
3

en  2
1

2
!
−1 −2
0
Oefening 10.3 Onderstel dat A een reguliere matrix is met karakteristieke veelterm
PA (X) = (−1)n X n + a1 X n−1 + · · · + an
Toon aan dat
A−1 =
1
((−1)n−1 An−1 − a1 An−2 − · · · − an−1 )
an
en
adj(A) = (−1)n−1 An−1 − a1 An−2 − · · · − an−1
Men kan aantonen dat deze laatste formule ook geldt voor A singulier.
Oefening 10.4a V is de deelruimte van RR met basis {eu , e−u }. Zoek een basis van V waarin de
matrix van de lineaire afbeelding
D : V → V : f 7→ D f = f 0
diagonaal wordt.
Oefening 10.4b V is de deelruimte van RR met basis {cos x, sin x}. Zoek een basis van V waarin
de matrix van de lineaire afbeelding
L : V → V : f 7→ 2 f + f 00
diagonaal wordt.
Oefening 10.4c V is de deelruimte van CC met basis {cos x, sin x}. Zoek een basis van V waarin
de matrix van de lineaire afbeelding
D3 : V → V : f 7→ f 000
diagonaal wordt.
Oefening 10.5a Beschouw de matrix
A=
3
−5
1
−3
24
!
Zoek een matrix M waarvoor M −1 AM een diagonaalmatrix is, en gebruik dit om op een eenvoudige
manier A9 uit te rekenen.
Oefening 10.5b Beschouw de matrix
B=
!
−3
2
1
−4
Zoek een matrix M waarvoor M −1 BM een diagonaalmatrix is, en gebruik dit om op een eenvoudige
manier B16 uit te rekenen.
Oefening 10.5c Beschouw de matrix
C=
!
−3
2
1
−4
Zoek een matrix M waarvoor M −1CM een diagonaalmatrix is, en gebruik dit om op een eenvoudige
manier C31 uit te rekenen.
Oefening 10.6 Onderstel dat f , g : V → V twee lineaire afbeeldingen zijn, en dat er een basis E
van V bestaat waarin de matrices van zowel f als g diagonaal worden. Toon aan dat dan noodzakelijkerwijze geldt dat
f ◦g = g◦ f
m.a.w. f en g commuteren.
Oefening 10.7 Zoek een basis van Rn waarin de volgende matrices diagonaal worden:
a

2
2
2
2
−1

 2

!
2
2
2
−1
2

2 
−1
b
2
0
0

2

0

2
0
0
2

0

2

0
0
2
2
0
0
0
1

0

0

0
0
0
0

0

0

1
0
0

2
1
1
2

0

 −1
!
−1
−1 −1
0


−1 
−1
0
1
0


1
1

0
0
0
1
c

1
2
2
4
!

1
25

2

0

1
2
0
0

1

0

2
0
0
1

0

2

0
0
1
2

Oefening 10.8
a Zoek een basis van R3 waarin de matrix van de lineaire afbeelding bepaald
door linksvermenigvuldiging met


−2 3 −4


A =  −2 3 −3 
−1
1
2
een bovendriehoeksmatrix wordt.
b Zoek een basis van R3 waarin de matrix van de lineaire afbeelding bepaald door linksvermenigvuldiging met


2 1 1


A =  0 3 −2 
0
2
−1
een bovendriehoeksmatrix wordt.
c Zoek een basis van R3 waarin de matrix van de lineaire afbeelding bepaald door linksvermenigvuldiging met


2 0 0


A = 1 1 1
1
0
1
een bovendriehoeksmatrix wordt.
Reeks 11
Oefening 11.1 Welk van de volgende formules definieert een inwendig product op de vectorruimte
R2 ? We noteren ~x = (x1 , x2 ),~y = (y1 , y2 ).
1a h~x,~yi = x1 y1 ;
1b h~x,~yi = 2x1 y1 + 3x2 y2 ;
1c h~x,~yi = 2x1 y1 − 3x2 y2 ;
2a h~x,~yi = 2x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + 3x2 y2 ;
2b h~x,~yi = x1 y1 + 4x1 y2 + 4x2 y1 + x2 y2 ;
2c h~x,~yi = −2x1 y1 − 3x2 y2 ;
3a h~x,~yi = (x1 y1 )2 + (x2 y2 )2 ;
26
3b h~x,~yi = 4x1 y1 + x2 y1 + x1 y2 + 4x2 y2 ;
3c h~x,~yi = x1 + x2 .
Oefening 11.2 Beschouw de vectorruimte
C [a, b] = { f : [a, b] → R| f is continu over [a, b]}
en een continue functie
w : [a, b] → R
die overal niet-negatieve waarden aanneemt, en in ten hoogste een eindig aantal punten nul is.
Toon aan dat
Z
b
h f , gi =
f (x)g(x)w(x)dx
a
een inwendig product op C [a, b] definieert. De functie w(x) wordt de gewichtsfunctie genoemd.
Oefening 11.3 Bereken de volgende inwendige producten
1a h(1, 2), (3, 4)i in R2 met het standaard inwendig product;
1a h(1, 2), (3, 4)i in R2 met het inwendig product uit 2) in oefening 1);
1b h(−7, 3), (2, 5)i in R2 met het inwendig product h~x,~yi = 2x1 y1 + x2 y2 ;
1c h(2, −1), (3, 2)i in R2 met het inwendig product h~x,~yi = 4x1 y1 + 6x2 y2 ;
2a hcos nx, cos mxi in C [−π, π] met gewichtsfunctie w(x) = 1 (n, m ∈ N);
2b hx2 , x3 + 1i in C [−1, 1] met gewichtsfunctie w(x) = 1;
2c h1 − 2x, e−x i in C [0, 1] met gewichtsfunctie w(x) = ex .
Oefening 11.4 Herneem oefening 3. Bepaal telkens de cosinus van de hoek tussen het gegeven
koppel vectoren.
Oefening 11.5 Toon dat de formule
hP, Qi = a0 b0 + a1 b1 + · · · + an bn
voor P(X) = ∑ni=0 ai X i , Q(X) = ∑ni=0 bi X i ∈ R[X] een inwendig product definieert op de vectorruimte R[X].
Oefening 11.6 Gebruik de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz om aan te tonen dat voor elke a1 , a2 ,
· · · , an ∈ R0 geldt
1
1
(a21 + · · · + a2n ) 2 + · · · + 2 ≥ n2
an
a1
Oefening 11.7 Toon aan dat in elke Euclidische ruimte E
k~x ±~yk ≥ |k~xk − k~yk|
27
Oefening 11.8 Gebruik het Gram-Schmidt procédé om de gegeven basis van R3 om te zetten tot
een orthonormale basis van R3 , met standaard inwendig product.
a {(1, 1, 0), (−1, 1, 0), (−1, 1, 1)};
b {(1, 0, 0), (3, 7, −2), (0, 4, 1)};
c {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}.
Oefening 11.9a Beschouw de Euclidische ruimte C [−π, π]. Zet het stel vectoren {1, x, x2 , x3 } om
in een orthogonaal stel, met behulp van het Gram-Schmidt procédé.
Zoek de orthogonale projectie van de functie y = cos(x) op de vectorruimte voortgebracht door
{1, x, x2 , x3 }, en bepaal de afstand tot deze vectorruimte.
Oefening 11.9b Beschouw de Euclidische ruimte C [−π, π]. Zet het stel vectoren {1, cos x, sin x}
om in een orthogonaal stel, met behulp van het Gram-Schmidt procédé.
Zoek de orthogonale projectie van de functie y = x op de vectorruimte voortgebracht door {1, cos x, sin x},
en bepaal de afstand tot deze vectorruimte.
Oefening 11.9c Beschouw de Euclidische ruimte C [−π, π]. Zet het stel vectoren {1, x, cos x} om
in een orthogonaal stel, met behulp van het Gram-Schmidt procédé.
Zoek de orthogonale projectie van de functie y = sin x op de vectorruimte voortgebracht door
{1, x, cos x}, en bepaal de afstand tot deze vectorruimte.
Reeks 12
Oefening 12.1 Onderstel dat {~e1 ,~e2 ,~e3 } een orthonormale basis is van een driedimensionale Euclidische ruimte. Bereken
a (2~e1 + 3~e2 + 4~e3 ) × (−~e1 + 3~e2 −~e3 );
b (~e1 +~e3 ) × (−~e1 + 2~e2 − 1~e3 );
c (−2~e1 + 3~e2 − 1~e3 ) × (~e2 −~e3 ).
Oefening 12.2 Bewijs dat het vectorieel product in een driedimensionale Euclidische ruimte E
voldoet aan de volgende eigenschappen, voor elke ~x,~y,~z ∈ E.
1a ~x ·~y ×~z =~y ·~z ×~x =~z ·~x ×~y;
1b ~x ×~y = −~y ×~x;
1c (~x ×~y) ×~z = h~z,~xi~y − h~z,~yi~x;
2a (~x ×~y) ×~z + (~y ×~z) ×~x + (~z ×~x) ×~y = ~0;
2b k~x ×~yk2 + h~x,~yi2 = k~xk2 k~yk2 ;
28
2c (~x −~y) × (~x +~y) = 2~x ×~y.
Oefening 12.3 Onderstel dat E een n-dimensionale Euclidische ruimte is. Schrijf de vergelijking
neer van het hypervlak door een punt ~a = ∑ni=1 ai~ei en loodrecht op de vector ~u = ∑ni=1 ui~ei . Hierbij
is {~e1 , · · · ,~en } een orthonormale basis.
Oefening 12.4 In Rn wordt een hypervlak door de oorsprong opgespannen door n − 1 vectoren
~a1 ,~a2 , · · · ,~an−1 . Zoek een formule voor het orthogonaal complement van dit hypervlak (m.a.w.
zoek een vector die loodrecht staat op de vectoren ~a1 ,~a2 , · · · ,~an−1 ).
Oefening 12.5
1a Bepaal in R3 (met standaard inwendig product) de matrixvorm (d.w.z. vind
een kolomvector B en een matrix A zodat f (X) = AX + B) van de orthogonale projectie op
het vlak met vergelijking x − y + 3z = 1.
2a Zelfde vraag voor de orthogonale spiegeling ten opzichte van het vlak met vergelijking x −
y + 3z = 1.
3a Bepaal in R3 (met standaard inwendig product) de matrix van de rotatie over een hoek θ ten
opzichte van de rechte met vergelijking 3x = −3y = z.
4a Bepaal in R3 (met standaard inwendig product) de matrixvorm (d.w.z. vind een kolomvector
B en een orthogonale matrix A zodat f (X) = AX + B) van de rotatie over een hoek θ rond de
rechte met vergelijking 3x = −3y = z + 2.
5a Bepaal in R3 (met standaard inwendig product) de matrix van de draaispiegeling bestaande
uit de orthogonale spiegeling ten opzichte van het vlak met vergelijking x − y + 3z = 0,
gevolgd door een rotatie over een hoek θ ten opzichte van de rechte door ~o en loodrecht op
dit vlak.
6a Bepaal in R3 (met standaard inwendig product) de matrixvorm (d.w.z. vind een kolomvector
B en een matrix A zodat f (X) = AX + B) van de orthogonale projectie op de rechte met
vergelijking 3x = −3y = z + 2.
1b Bepaal in R3 (met standaard inwendig product) de matrixvorm (d.w.z. vind een kolomvector
B en een matrix A zodat f (X) = AX + B) van de orthogonale projectie op het vlak met
vergelijking x + y = z + 1.
2b Zelfde vraag voor de orthogonale spiegeling rond het vlak met vergelijking x + y = z + 1.
3b Bepaal in R3 (met standaard inwendig product) de matrix van de rotatie over een hoek θ
rond de rechte met vergelijking x = y = −z.
4b Bepaal in R3 (met standaard inwendig product) de matrixvorm (d.w.z. vind een kolomvector
B en een orthogonale matrix A zodat f (X) = AX + B) van de rotatie over een hoek θ rond de
rechte met vergelijking x − 1 = y = −z.
5b Bepaal in R3 (met standaard inwendig product) de matrix van de draaispiegeling bestaande
uit de orthogonale spiegeling ten opzichte van het vlak met vergelijking x + y = z, gevolgd
door een rotatie over een hoek θ rond de rechte door ~o en loodrecht op dit vlak.
29
6b Bepaal in R3 (met standaard inwendig product) de matrixvorm (d.w.z. vind een kolomvector
B en een matrix A zodat f (X) = AX + B) van de orthogonale projectie op de rechte met
vergelijking x − 1 = y = −z.
1c Bepaal in R3 (met standaard inwendig product) de matrixvorm (d.w.z. vind een kolomvector
B en een matrix A zodat f (X) = AX + B) van de orthogonale projectie op het vlak met
vergelijking x + y + 2z = 1.
2c Zelfde vraag voor de orthogonale spiegeling rond het vlak met vergelijking x + y + 2z = 1.
3c Bepaal in R3 (met standaard inwendig product) de matrix van de rotatie over een hoek θ
rond de rechte met vergelijking 2x = 2y = z.
4c Bepaal in R3 (met standaard inwendig product) de matrixvorm (d.w.z. vind een kolomvector
B en een orthogonale matrix A zodat f (X) = AX + B) van de rotatie over een hoek θ rond de
rechte met vergelijking 2x = 2y + 2 = z.
5c Bepaal in R3 (met standaard inwendig product) de matrix van de draaispiegeling bestaande
uit de orthogonale spiegeling ten opzichte van het vlak met vergelijking x + y + 2z = 0,
gevolgd door een rotatie over een hoek θ rond de rechte door ~o en loodrecht op dit vlak.
6c Bepaal in R3 (met standaard inwendig product) de matrixvorm (d.w.z. vind een kolomvector
B en een matrix A zodat f (X) = AX + B) van de orthogonale projectie op de rechte met
vergelijking 2x = 2y + 2 = z.
Oefening 12.6 We werken in Rn . Stel een formule op voor de afstand van X ∈ Rn tot het hypervlak
met vergelijking (in een orthonormale basis):
a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b
Oefening 12.7 In R3 beschouwen we de rechten `1 en `2 bepaald door de gegeven punten. Stel
een stel parametervergelijkingen op voor de gemeenschappelijke loodlijn op `1 en `2 .
a `1 door de punten (1, 1, 1) en (1, 2, 3), en de rechte `2 door de punten (1, −1, 0) en (0, 1, −1);
b `1 door de punten (8, 0, 1) en (12, −3, −3), en de rechte `2 door de punten (−7, 4, 3) en
(−3, −1, 1);
c `1 door de punten (0, 0, 2) en (1, 1, 3), en de rechte `2 door de punten (0, −1, 0) en (1, 2, 1).
Reeks 13
Oefening 13.1 Zoek in R3 de vergelijking van de meetkundige plaats van die punten waarvan de
afstand tot de oorsprong en het vlak x = z aan elkaar gelijk zijn.
30
Oefening 13.2 In R3 is een punt P gegeven, en een rechte l door het punt Q en met richtingsvector
~ Toon aan dat
d.
~
~ × dk
kQP
d(P, l) =
~
kdk
Oefening 13.3 Zoek in R3 de vergelijking van de meetkundige plaats van die punten waarvan de
afstand tot de oorsprong en de rechte x = y = z aan elkaar gelijk zijn.
~
Oefening 13.4 Beschouw een driehoek ∆(PQR) in een Euclidische ruimte E. Stel a = kQRk,
b=
~
~ en QR.
~ Bewijs de cosinusregel
~ en γ de hoek tussen de vectoren QP
kPQk,
c = kPRk
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ
(hint: neem het voetpunt Q0 van de hoogtelijn door Q en pas de stelling van Pythagoras toe op de
driehoeken ∆(PQQ0 ) en ∆(PQ0 R)).
Oefening 13.5 We hernemen de notaties uit voorgaande oefening. Stel α de hoek tussen de vec~ en PR,
~ Bewijs de sinusregel
~ en β die tussen de vectoren RP
~ en RQ.
toren PQ
sin α sin β sin γ
=
=
a
b
c
~ ~b = PQ
~ en ~c = RP.
~ Dan is ~a +~b +~c = ~0, en dus is ~a × (~a +~b +~c) = ~0 en
(hint: schrijf ~a = QR,
~b × (~a +~b +~c) = ~0. Werk deze betrekkingen verder uit.)
Oefening 13.6 Bewijs dat het parallellogram gevormd door twee vectoren ~a en ~b in een Euclidische ruimte een ruit is als en alleen als de diagonalen ~a +~b en ~a −~b loodrecht op elkaar staan.
Oefening 13.7 Beschouw een driehoek ∆(PQR) in een Euclidische ruimte E. Toon aan dat de drie
middelloodlijnen (dit zijn de rechten gelegen in het vlak van de driehoek, loodrecht op de zijde,
en door het midden van die zijde) mekaar in een punt snijden. Toon aan dat het snijpunt van de
middelloodlijnen C op gelijke afstand van de drie hoekpunten P, Q en R ligt. De cirkel in het vlak
van de driehoek met middelpunt C en door de hoekpunten P, Q en R noemen we de omschreven
cirkel van de driehoek ∆(PQR).
(hint: toon eerst aan dat een punt X op de middelloodlijn op de zijde PQ ligt als en alleen als
~
~ = kQXk.)
kPXk
Oefening 13.8 Als het middelpunt C van de omschreven cirkel van een driehoek ∆(PQR) op een
van de zijden ligt, dan is deze driehoek een rechthoekige driehoek. Bewijs.
Oefening 13.9 Beschouw een driehoek ∆(PQR) in een Euclidische ruimte E. De hoogtelijnen van
de driehoek zijn de drie rechten die loodrecht staan op een der zijden en door het tegenoverliggende
hoekpunt gaan. Toon aan dat de drie hoogtelijnen mekaar in een punt snijden. Dit snijpunt noemen
we het hoogtepunt van de driehoek.
(hint: laat H het snijpunt van de hoogtelijnen door P en Q zijn. Het volstaat om aan te tonen dat
~ Doe dit door gebruik te maken van het feit dat HP
~ en HQ
~ ⊥ PR.)
~ ⊥ PQ.
~ ⊥ RQ
~
HR
31
Oefening 13.10 Beschouw een driehoek ∆(PQR) in een willekeurige vectorruimte E. De zwaartelijnen van de driehoek zijn de drie rechten die de hoekpunten verbinden met het midden van
de tegenoverliggende zijde. Toon aan dat de drie zwaartelijnen mekaar in een punt snijden. Dit
snijpunt noemen we het zwaartepunt van de driehoek.
(hint: schrijf de vergelijking van de drie zwaartelijnen op in vectorvorm, en bereken het snijpunt)
Reeks 14
Oefening 14.1 Bewijs dat in elke prehilbertruimte H volgende formule geldt
1
i
i
1
h~x,~yi = k~x +~yk2 − k~x −~yk2 + k~x + i~yk2 − k~x − i~yk2
4
4
4
4
voor elke ~x,~y ∈ H.
Oefening 14.2 Zoek een orthogonale matrix met als eerste kolom
1
 −3 
 6 
3
 

a)  23  b) 
2
3
5
4
5


 c) 
0
7
2 
7 
−3
7
Oefening 14.3 Zoek een unitaire matrix met als eerste kolom
 1 
 √2 

2
 i 
 2 
1+i
2
a)
3
 1−i 
 3 
2+i
3
b)
c)
2 
3
 1+i 
 3 
√
3i
3
Oefening 14.4 Vind een orthogonale matrix M zodat Mt Ai M een diagonaalmatrix is.
a
A1 =
1
2
2
1

1
1

; A2 =  1
2

1
1
1
2
b
A3 =
3
1
1
3

1
0

; A4 =  0
3
!
6
−2
−2
3

!
1

; A6 =  −4
2
32
0


−2 
−2
0
c
A5 =

2
!
3
−4
1
−2
2


−2 
−2
Oefening 14.5 Bepaal een orthogonale matrix M zodat Mt AM en Mt BM tegelijkertijd diagonaal
zijn.
a

5

A= 1
−1
1 −1
11
1
−1
4


0  ; B= 1
6

−4 
0
4

−1
b
A=
1
−2
−2
1
c
A=
1
2
2
4

!
; B=
!
; B=
−4
1
1
1
1
4
−2
−2
1

6
!
!
Oefening 14.6 Bewijs dat een n-dimensionale prehilbertruimte H een orthonormale basis van eigenvectoren van f : H → H heeft als en alleen als er van nul verschillende orthogonale projecties
p1 , p2 , · · · , pn : H → H en λ1 , λ2 , · · · , λn ∈ C bestaan zodat
1. f = λ1 p1 + λ2 p2 + · · · + λn pn ;
2. p1 + p2 + · · · + pn = iH ;
3. pi ◦ p j = 0 als i 6= j.
Oefening 14.7 Onderstel H een eindigdimensionale prehilbertruimte. Een lineaire afbeelding f :
H → H wordt scheefhermitisch genoemd als f † = − f . Bewijs dat elke lineaire afbeelding de som
is van een hermitische en een scheefhermitische lineaire afbeelding.
Oefening 14.8 Bewijs dat alle eigenwaarden van een scheefhermitische lineaire afbeelding f :
H → H zuiver imaginair zijn.
Reeks 15
Oefening 15.1 Onderstel dat H een eindigdimensionale prehilbertruimte is. Een lineaire afbeelding f : H → H wordt normaal genoemd als f en f † commuteren, m.a.w.
f ◦ f† = f†◦ f
Toon aan dat unitaire, hermitische en scheefhermitische lineaire afbeeldingen normaal zijn.
Oefening 15.2 Onderstel dat f : H → H een normale lineaire afbeelding is. Bewijs achtereenvolgens
33
1. f (~v) = ~0 ⇐⇒ f † (~v) = ~0;
2. f − λiH is normaal, voor elke λ;
3. f (~v) = λ~v =⇒ f † (~v) = λ~v;
4. Als f (~v1 ) = λ1~v1 , f (~v2 ) = λ2~v2 en λ1 6= λ2 , dan is ~v1 ⊥~v2 .
Bewijs nu dat er voor elke normale lineaire afbeelding een orthonormale basis van eigenvectoren
bestaat.
Oefening 15.3 Ga na welke van de volgende matrices Ai normaal zijn. Indien Ai normaal is,
bepaal dan de eigenwaarden en een orthonormale basis van eigenvectoren.
a
A1 =
1
i
0
1
2
 √
; A2 =  − 2
√
2
b
A3 =
2
i
i
2
c
A5 =
√

!
0
a
−a
0
!
; A4 =
!
; A6 =
√ 
− 2

0 
2
2
0
1
1
0
1
2
!
i
1
−1
−i
!
Oefening 15.4 Onderstel dat f : V → V normaal is (V is een eindigdimensionale prehilbertruimte). Toon aan dat Ker ( f ) = Ker ( f † ) en Im ( f ) = Im ( f † ).
Oefening 15.5 Onderstel dat f , g : V → V commuteren en dat f normaal is. Toon aan dat f en g†
commuteren.
Oefening 15.6 Onderstel dat f , g : V → V normaal zijn en commuteren (m.a.w. f ◦ g = g ◦ f ).
Toon aan dat f + g en f ◦ g ook normaal zijn.
Oefening 15.7 Toon aan dat f : V → V normaal is als en alleen als
k f (~v)k = k f † (~v)k
voor elke ~v ∈ V .
Oefening 15.8 Beschouw f : H → H waarbij H een eindigdimensionale prehilbertruimte is. Toon
aan dat de volgende eigenschappen equivalent zijn:
1. Er bestaat een hermitische g : H → H zodat f = g ◦ g;
34
2. Er bestaat een h : H → H zodat f = h† ◦ h;
3. f is hermitisch en h f (~v),~vi ≥ 0 voor elke ~v ∈ H;
4. f is hermitisch en alle eigenwaarden van f zijn niet-negatief.
Oefening 15.9 Zoek een unitaire matrix M zodat M † AM een diagonaalmatrix is.
a
1
A=
i
!
−i 1
b
A=
4
1−i
1+i
5
2
1+i
1−i
3
c
A=
!
!
Oefening 15.10 Toon aan dat Rn met
k(x1 , x2 , · · · , xn )k = max{|x1 |, |x2 |, · · · , |xn |}
een genormeerde ruimte is. Laat ook zien dat deze norm niet afkomstig is van een inwendig
product op Rn .
Reeks 16
In het vervolg is En een n-dimensionale Euclidische ruimte. B = {~e1 ,~e2 , · · · ,~en } is een orthonormale basis van En .
Oefening 16.1 Beschrijf de isometrieën fi : E2 → E2 .
f1
f2
f3
f4
x
!
=
y
x
x
=
=
y
!
=
!
3
5
4
5
3
5
!
4
5
3
5
− 45
!
y
x
y−1
!
y
!
x
3
5
− 45
3
5
4
5
4
5
− 53
35
!
x
!
y
x
!
+
y
x
y
!
6
2
!
f5
f6
x
!
=
y
x
!
=
y
3
5
4
5
3
5
4
5
4
5
!
− 53
4
5
x
!
+
y
!
− 53
x
y
2
!
−4
!
3
+
!
−2
Oefening 16.2 Stel de vergelijking op van de spiegeling in E2 ten opzichte van de rechte met
vergelijking
a x + 3y = 2
bx=y
c x = −y
√ √
2
Oefening 16.3 Stel de
√ vergelijking op van de rotatie in E rond het punt ( 3, 3) die de oorsprong op het punt (2 3, 0) afbeeldt.
Oefening 16.4 Stel de vergelijking op van de schuifspiegeling in E2 ten opzichte van de rechte
met vergelijking x = y en met verschuiving over de vector 2~e1 + 2~e2 .
Oefening 16.5 Wat kan men zeggen over een isometrie van E2 die
1) geen dekpunten heeft;
2) juist één dekpunt heeft;
3) een rechte dekpunten heeft.
Oefening 16.6 Wat kan men zeggen over een isometrie van E3 die
1) geen dekpunten heeft;
2) juist één dekpunt heeft;
3) een rechte dekpunten heeft;
4) een vlak dekpunten heeft.
Oefening 16.7 Welk soort isometrie van E3 beeldt het punt (x, y, z) af op
1) (x, y, −z);
2) (−y, x, z);
3) (x, y, z + 1);
4) (−y, x, z + 1);
5) (−x, y, z + 1);
6) (−y, x, −z);
7) (x, −z + 2, −y + 3);
8) (x, z − 1, y + 1).
Oefening 16.8 Beschrijf de isometriën fi : E3 → E3 .
 3
 
x
5
 
 4
f1  y  =  − 5
z
0
36
4
5
3
5
0
0
1
 
x
 
0y
z
 
 3
x
−5
 
 4
f2  y  =  5
4
5
3
5
0
z
0
 
 2
x
−3
 
 2
f3  y  =  3
0
1
1
z
 
 33
x
5
 

f4  y  =  0
4
5
2
3
1
3
2
3
0
 
x
 
0y
z
 
x
 
y
1
3
2
3
− 32
z
 
0
x
 
1y
4
5
z
− 35 0
z
 
2
1  
2
x
x
3
3
3
 
 2
1
2  
f5  y  =  − 3
3
3 y
1
3
z
− 23
2
3
z
Reeks 17
Oefening 17.1 g is een schuifspiegeling van E2 of E3 . Welk soort isometrie is g ◦ g?
Oefening 17.2 Gegeven is de transformatie g van E3 bepaald door de formule
  

x1
x3 + 3
  

g  x2  =  x1 + 1 
x2 + 2
x3
Toon aan dat g de samenstelling is van een rotatie en een verschuiving in de richting van de as van
de rotatie. Bepaal de rotatie en de verschuiving.
Oefening 17.3 Gegeven is de transformatie g van E3 bepaald door de formule
  

x1
x1 + 1
  

g  x2  =  x3 + 3 
x2 + 2
x3
Toon aan dat g een schuifspiegeling is, dit wil zeggen dat g de samenstelling is van een spiegeling
en een verschuiving over een vector gelegen in het vlak van deze spiegeling. Bepaal de spiegeling
en de verschuiving.
Oefening 17.4
a1
a2
a3
Stel de vergelijking op van de spiegeling in E3 ten opzichte van het vlak
x + 3y = 4;
x − 2y + z = 0;
x − y + 2z = 0;
37
b1
b2
b3
c1
c2
c3
4y + 3z = 1;
x + 2y − 3z = 0;
x − 2y + z = 1;
2y + z = 2;
x − y + 2z = 2;
x + 2y − 3z = 3.
Oefening 17.5 Stel de vergelijking op van de rotatie in E3 over de hoek θ over de gegeven as l.
a1 θ = π/3 en l is de doorsnede van de vlakken met vergelijking x = y en z = 0;
a2 θ = π/3 en l heeft parametervergelijkingen

 x = 1+t
y=t

z=2
b1 θ = π/4 en l is de doorsnede van de vlakken met vergelijking x+y = 0 en y−z = 0;
b2 θ = π/4 en l heeft parametervergelijkingen

 x = 1−t
y = 1+t

z=t
c1 θ = π/6 en l is de doorsnede van de vlakken met vergelijking x = z en y = 0;
c2 θ = π6 en l heeft parametervergelijkingen

 x = 1+t
y=2

z=t
Oefening 17.6a Stel de vergelijking op van de rotatie in E3 over de hoek π/3 om de as x = y; z = 0
gevolgd door de verschuiving over de vector (1, 1, 0).
Oefening 17.6b Stel de vergelijking op van de rotatie in E3 over de hoek π/4 om de as 1 − x =
y − 1 = z gevolgd door de verschuiving over de vector (−1, 1, 1).
Oefening 17.6c Stel de vergelijking op van de rotatie in E3 over de hoek π/6 om de as x − 1 =
z; y = 2 gevolgd door de verschuiving over de vector (1, 0, 1).
Oefening 17.7 Gegeven is de isometrie van E3 gedefinieerd door de formule
     √2
 
− 12 − 12
1
x
x
2

     √2


1
1
f y = 1+ 2
2
2 y
√
z
1
0
2
2
√
−
2
2
z
Welk soort isometrie is f ? Bepaal de dekpunten.
Oefening 17.8 Stel in E3 de vergelijking op van de orthogonale transformatie die de samenstelling
is van de spiegeling ten opzichte van het vlak met vergelijking x + y + z = 0 gevolgd door de rotatie
over de hoek π/6 om de rechte door de oorsprong en loodrecht op dit vlak.
38
Oefening 17.9 Stel in E3 de vergelijking op van het oppervlak dat men bekomt door de rechte met
vergelijking y = 0 = x − 2z te laten wentelen om de z-as.
Reeks 18
Oefening 18.1 Bepaal in E2 de kwadratische vorm bepaald door de symmetrische matrix
!
!
!
1 3
2 4
1 7
a)
; b)
; c)
3 2
4 1
7 2
Oefening 18.2 Bepaal in E2 of E3 de symmetrische bilineaire vorm waaraan de kwadratische
vorm q geassocieerd is.
a1 q(x, y) = x2 + 6xy + 2y2 ;
a2 q(x, y, z) = x2 + 4y2 + z2 − 2xy + xz − yz;
b1 q(x, y) = x2 + 6xy + 2y2 ;
b2 q(x, y, z) = 2x2 + 2y2 + z2 − xy + 2xz − 3yz;
c1 q(x, y) = x2 + 6xy + 2y2 ;
c2 q(x, y, z) = x2 + 3y2 + 4z2 − 4xy − 2xz − yz.
Oefening 18.3 Bepaal de kwadratische vorm f : E2 → R zodat
a f (1, 0) = 2, f (2, 1) = 10 en f (−2, −3) = −10;
b f (2, −1) = 1, f (1, 4) = −1 en f (1, 0) = 2;
c f (1, 1) = 1, f (−2, 1) = 4 en f (0, 1) = 6.
Oefening 18.4 Bepaal de kwadratische
vorm f : E2 → R geassocieerd met de bilineaire vorm b
a b (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) = 4x1 x2 + 2x1 y2 + 3x2 y1 + y1 y2 ;
b b (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) = 6x1 x2 + 3x1 y2 + x2 y1 − y1 y2 ;
c b (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) = 3x1 x2 + 2x1 y2 + x2 y1 − 3y1 y2 .
Oefening 18.5 De kwadratische vorm q : En → R wordt bepaald door de symmetrische matrix
A ten opzichte van een gegeven basis. Toon aan dat q kan ontbonden worden als het product van
twee lineaire vormen als en slechts als er B,C ∈ Rn bestaan zodat A = BCt .
Oefening 18.6a Gegeven is de kwadratische vorm
f (x, y, z) = 3x2 + 4xy + 7y2 + 4xz + 2yz + z2
Bepaal de vergelijking van het vlak toegevoegd aan (1, −1, 2). Bepaal de singuliere punten van f .
Oefening 18.6b Gegeven is de kwadratische vorm
f (x, y) = 2xy − 5y2
39
Bepaal de vergelijking van de rechte toegevoegd aan (1, −1). Bepaal de singuliere punten van f .
Oefening 18.6c Voor welke waarden van a en b is de kwadratische vorm
q(x, y) = ax2 + 2bxy + ay2
ontaard? Beschrijf de verzameling der singuliere punten.
Oefening 18.7a Bepaal de vergelijking van de raaklijn aan de kegelsnede met vergelijking 5x2 −
4y2 = 4 in de punten waar deze kegelsnede de rechte 5x − 2y = 4 snijdt.
Oefening 18.7b Bepaal de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de kegelsnede met vergelijking
4x2 − 4xy + y2 = 9 in een punt van de kegelsnede.
Oefening 18.7c Bepaal de vergelijking van de raaklijn aan de kegelsnede met vergelijking x2 +
y2 = 5 in het punt (−2, −1).
Oefening 18.8 Stel de vergelijking op van het raakvlak aan de kwadriek K in het punt A.
a K : 2x2 + 3y2 − 8x + 12y + 4z + 23 = 0; A(1, 1, −8);
b K : xy + 2yz − zx + x − y + 2z − 1 = 0; A(1, 1, 0);
c K : x2 − 3xy + 2y2 − 2z2 + 2x + 4 = 0; A(2, 2, 2).
Reeks 19
Oefening 19.1 P is de parabool in E2 met vergelijking x2 − y = 0. Voor c ∈ R is Vc de verticale
rechte met vergelijking x = c en Sc de rechte door de punten (c, c2 ) en (0, 1/4). Bewijs dat de
raaklijn aan P in (c, c2 ) de bissectrice is van de rechten Vc en Sc .
Oefening 19.2a In R3 is de kegelsnede K gegeven met vergelijkingen
2
x + y2 + z2 = 1
x+y+z = 1
1) Bepaal de aard van de kegelsnede;
2) stel de vergelijking op van de cilinder door K waarvan de beschrijvenden richting (1, 0, 1)
hebben;
3) bepaal de vergelijking van de projectie evenwijdig met (1, 0, 1) op het xy-vlak.
Oefening 19.2b In R3 is de kegelsnede K gegeven met vergelijkingen
2
x + y2 + z2 = 1
x+y+z = 1
1) Bepaal de aard van de kegelsnede;
2) stel de vergelijking op van de cilinder door K waarvan de beschrijvenden richting (1, 2, −1)
40
hebben;
3) bepaal de vergelijking van de projectie evenwijdig met (1, 2, −1) op het xy-vlak.
Oefening 19.2c In R3 is de kegelsnede K gegeven met vergelijkingen
2
x + y2 + z2 = 4
x+y+z = 2
1) Bepaal de aard van de kegelsnede;
2) stel de vergelijking op van de cilinder door K waarvan de beschrijvenden richting (1, 1, 1)
hebben;
3) bepaal de vergelijking van de projectie evenwijdig met (1, 1, 1) op het xy-vlak.
Oefening 19.3a Stel de vergelijking op van de meetkundige plaats van de rechten evenwijdig met
het xy-vlak en steunend op de kegelsnede
x=0
y2 + z2 = 1
en de rechte
x=1
y=0
Oefening 19.3b Stel de vergelijking op van de meetkundige plaats van de rechten evenwijdig met
de rechte
x+y = 1
z − 2x = 0
en steunend op de kegelsnede
x2 + y2 − 2z = 0
x + 2y = 0
Oefening 19.3c Stel de vergelijking op van de meetkundige plaats van de rechten evenwijdig met
het xz-vlak en steunend op de kegelsnede
z=0
x2 − y2 = 1
en de rechte
x=0
z=1
Als een kwadriek K symmetrisch is ten opzichte van een rechte l, dan noemt men l een (symmetrie)as van K . Een top van een kwadriek is een snijpunt van de kwadriek met een as die niet tot de
kwadriek behoort.
41
Oefening 19.4 Bepaal van de volgende kegelsneden de Euclidische standaardvergelijking, en beschrijf de coordinatentransformatie die nodig is om tot deze standaardvergelijking te komen. Bepaal ook de assen en de toppen, en beschrijf deze zowel in de oorspronkelijke als in de nieuwe
basis.
a1 x2 + 2x + y2 = 0;
b1 4x2 + 11y2 + 24xy = 1;
c1 2x2 + 5y2 − 4xy −√
4x + 4y√+ 1 = 0;
2
2
a2 −x − y + 2xy + 2x + 2y + 2 = 0;
b2 x2 + 4xy + 4y2 − 6x − 12y + 10 = 0;
c2 4x2 − 4xy + y2 − x = 0;
a3 x2 − 2xy + y2 + x − 1 = 0;
b3 x2 + 2xy + y2 − 4x − 2y = 0;
c3 4x2 + y2 − 4xy − 12x + 6y − 7 = 0;
a4 6x2 − 9y2 − 8x + 3y + 16 = 0.
Oefening 19.5 Bepaal van de volgende kwadrieken de Euclidische standaardvergelijking, en beschrijf de coordinatentransformatie die nodig is om tot deze standaardvergelijking te komen.
a1 y2 + z2 + x + y = 0;
b1 z2 − xy = 1;
c1 x2 + 4y2 + 9z2 − 4xy − 6xz + 12yz + 2x − 4y − 6z = 0;
a2 x2 + 2xy + 2y2 + 2yz + z2 − x + y − 2z − 8 = 0;
b2 x2 − y2 − 2z2 + 4x − 2y + 16z − 30 = 0;
c2 x2 + 2y2 − 3z2 + 12xy − 8xz − 4yz + 14x + 16y − 12z + 38 = 0;
a3 4x2 + 4y2 + 4z2 − 4xy − 4xz − 4yz − 5x + 7y + 7z + 1 = 0;
b3 5x2 + 3y2 + 3z2 − 2xy − 2xz + 2yz − 14x + 14y + 6z + 1 = 0;
c3 y2 + z2 − 2yz − 2x + 2z = 0;
a4 x2 + y2 + 4z2 + 2xy − 4xz − 4yz + 2y + 6z − 1 = 0.
Oefening 19.6a ~a en ~b zijn twee verschillende punten in E2 , en k is strikt groter dan α = d(~a,~b)/2.
Toon aan dat de verzameling punten ~x ∈ E2 waarvoor
d(~a,~x) + d(~b,~x) = 2k
een ellips is. Kies het orthonormaal assenstelsel zo dat de coordinaten van ~a en ~b respectievelijk
(−α, 0) en (α, 0) zijn. Men noemt ~a en ~b de brandpunten van de ellips.
Oefening 19.6b ~a en ~b zijn twee verschillende punten in E3 , en k is strikt groter dan α = d(~a,~b)/2.
Toon aan dat de verzameling punten ~x ∈ E3 waarvoor
d(~a,~x) + d(~b,~x) = 2k
een ellipsoı̈de is. Is deze ellipsoı̈de een omwentelingsoppervlak? Kies het orthonormaal assenstelsel zo dat de coordinaten van ~a en ~b respectievelijk (−α, 0, 0) en (α, 0, 0) zijn.
Oefening 19.6c ~a en ~b zijn twee verschillende punten in E3 , en k is strikt positief en strikt kleiner
dan α = d(~a,~b)/2. Toon aan dat de verzameling punten ~x ∈ E3 waarvoor
|d(~a,~x) − d(~b,~x)| = 2k
42
een tweebladige hyperboı̈de is. Is deze hyperboı̈de een omwentelingsoppervlak? Kies het orthonormaal assenstelsel zo dat de coordinaten van ~a en ~b respectievelijk (−α, 0, 0) en (α, 0, 0) zijn.
Oefening 19.7 In E3 is L de parabool met vergelijkingen
y=0
z = x2
P is het oppervlak dat ontstaat door L te laten wentelen om de z-as. Toon aan dat P een elliptische
paraboloı̈de is. Beschrijf de doorsneden van P met de vlakken
z = αx + βy + γ
(beschouw de orthogonale projecties van de doorsneden op het vlak z = 0).
Beschrijf de doorsneden van P met de vlakken
y = αx + β en x = γ
Kan men rechten op P vinden?
Oefening 19.8 l is de rechte in E3 met parametervergelijkingen

 x=t
y=1

z=t
Toon aan dat het oppervlak dat ontstaat door l te wentelen om de z-as een éénbladige hyperboloı̈de is. Dit bewijst op een alternatieve manier dat een éénbladige hyperboloı̈de door rechten kan
beschreven worden.
Oefening 19.9a Zoek de vergelijking van de meetkundige plaats der punten die even ver verwijderd zijn van het vlak z = 0 en het punt (0, 0, 1).
Oefening 19.9b Zoek de vergelijking van de meetkundige plaats der punten die even ver verwijderd zijn van de rechte x = y = 0 en het punt (1, 0, 0).
Oefening 19.9c Zoek de vergelijking van de meetkundige plaats der punten die even ver verwijderd
zijn van de twee kruisende rechten
x = −1
x=1
en
y=0
z=0
Oefening 19.10 Zoek de vergelijking van de meetkundige plaats der punten waardoor twee loodrechte beschrijvenden gaan van de omwentelingshyperboloı̈de met vergelijking x2 + y2 − z2 + 6z −
10 = 0.
Oefening 19.11 Gegeven is de kwadratische functie f : Rn → Rn gedefinieerd door
f (X) = X t AX + 2BX + c
43
waarbij A een symmetrische n × n-matrix is, B een rijvector en c ∈ R. Beschouw nu de (n + 1) ×
(n + 1)-matrix
!
A Bt
e=
A
B c
en de kwadratische vorm qe : Rn+1 → R gegeven door
eXe
e = Xet A
qe(X)
Laat zien dat

x1
 
x1
 .. 
 . 
.. 


qe
x  = f  . 
 n
xn
1

en leid hieruit af dat de kwadriek in Rn met vergelijking
f (X) = 0
kan geschreven worden als de snijding van het hypervlak met vergelijking
xn+1 = 1
en de nulpuntsverzameling van de kwadratische vorm qe in Rn+1 , dit is de verzameling punten
waarvoor
e =0
qe(X)
Bewijs nu tenslotte dat de kwadriek f (X) = 0 de unie van twee (eventueel samenvallende) hypere ∈ Rn+1 bestaan zodat
eG
vlakken is als en slechts als er kolomvectoren F,
e = FeG
et
A
e expliciet uit voor de kwadriek
Schrijf Fe en G
x2 y2
− =0
a2 b2
in R3 .
44
Oplossingen
Oefening 1.1 aQ(Z) = iZ, R(Z) = −(1 + 3i)Z + 3
1
11
i
15
3i
1
2
b Q(Z) = i−1
2 Z + 2 Z + 4 (9 − i), R(Z) = − 4 Z + 4 Z − 4 + 4
c Q(Z) = 12 (1 + i)Z 2 − 2i Z + 43 (i − 1), R(Z) = − 94 i + 21
4.
√
π
Oefening 1.2 a Ln(−1) = iπ + 2kπi, Ln(i) = i π2 + 2kπi, Ln(1
+
i
3) = ln 2 + i 3 + 2kπi, k ∈ Z
√
b Ln(−2) = ln 2 + iπ + 2kπi, Ln(−i) = i(− π2 ) + 2kπi, Ln 1−i
= i(− π4 ) + 2kπi, k ∈ Z
2
√
c Ln(−1) = iπ + 2kπi, Ln(i) = i π2 + 2kπi, Ln(1 − i 3) = ln 2 + i(− π3 ) + 2kπi, k ∈ Z
√
√
√
Oefening 1.3 a vierkantswortels : ± 22 (1 + i) derdemachtswortels : 12 ( 3 + i), 12 (− 3 + i), −i
√
√
b vierkantswortels : ±8i derdemachtswortels
: 2(1 + i 3), 2(1 − i 3), −4
c vierkantswortels : ±(cos π8 + i sin π8 )
√
√2
2
π
17π
π
+ i sin 12
, cos 17π
+
i
sin
,
−
+
i
derdemachtswortels : cos 12
12
12
2
2
Oefening 1.5 a1 z = ( π2 + 2kπ) ± i(Argcosh2),
√
√
14
i
14
i
a2 z = ( 4 2221)e 2 Bgtg 45 of z = ( 4 2221)e( 2 Bgtg 45 )+πi ,
z = kπ + iArgsinh(−1)k ,
a3 z = (2k + 1)π ± Argcosh(2)
b1 z = kπ + iArgsinh(−1)k ,
iπ
i5π
i9π
i13π
i17π
i21π
b2 z = e 12 of√z = e 12 of z = e 12 of z = e 12 of z = e 12 of z = e 12 ,
b3 z = ± 1±i2 3 of z = −1.
√
c1 z = ln 2 + iπ4 + 2kπi, k ∈ Z
c2 geen oplossingen
π
c3 z = e 6 .
Oefening 1.6 a x = π2 + kπ, k even, t ∈ [1, +∞), y = ±Argcht, of
x = π2 + kπ, k oneven, t ∈ (−∞, −1], y = ±Argch(−t) of
y = 0, x = Bgsint + 2kπ (k ∈ Z),
b x = kπ, k even, t ≥ 1 y = ±Argcht, of
x = kπ, k oneven, t ≤ −1 y = ±Argch(−t), of
y = 0, x = ±Bgcost + 2kπ (k ∈ Z),
c y = kπ, k even x = lnt met t > 0 of
y = kπ, k oneven x = ln(−t) met t < 0 (k ∈ Z).
45
Oefening 1.7 a z6 − 1 = (z − 1)(z + 1)(z2 + z + 1)(z2 − z + 1)
= (z − 1)(z + 1)(z − 12 − i
√
3
1
2 )(z − 2
√
+i
3
1
2 )(z + 2
√
+i
3
1
2 )(z + 2
b z4 + z3 + z + 1 = (z + 1)2 (z2 − z + 1) = (z + 1)2 (z − 12 − i
√
−i
3
2 )
√
3
1
2 )(z − 2
√
+i
3
2 )
c z4 − 1 = (z − 1)(z + 1)(z2 + 1) = (z − 1)(z + 1)(z + i)(z − i)
n
Oefening 1.8 ai =
deelverzamelingen
∑ zα1 zα2 · · · zαi waarbij de som loopt over alle
i
{α1 , α2 , · · · , αi } van {1, · · · , n} die i elementen bevatten.
(−1)i
Oefening 2.2 a 1a geen deelruimte, 2a geen deelruimte, 3a deelruimte, 4a deelruimte, 5a geen
deelruimte.
b 1b deelruimte, 2b deelruimte, 3b geen deelruimte, 4b deelruimte, 5b geen deelruimte.
c 1c deelruimte, 2c deelruimte, 3c deelruimte, 4c deelruimte, 5c geen deelruimte.
Oefening 2.3 a 1a geen deelruimte, 2a deelruimte, 3a deelruimte, 4a geen deelruimte.
b 1b deelruimte, 2b deelruimte, 3b geen deelruimte, 4b geen deelruimte
c 1c deelruimte, 2c geen deelruimte, 3c deelruimte, 4c deelruimte.
Oefening 2.5 a 1a deelruimte, 2a deelruimte, 3a geen deelruimte.
b 1b geen deelruimte, 2b deelruimte, 3b deelruimte.
c 1c deelruimte, 2c deelruimte, 3c geen deelruimte.
Oefening 2.6 a 1a lin. afhankelijk, 2a lin. afhankelijk.
b 1b lin. afhankeljk, 2b lin. onafhankelijk
c 1c lin. onafhankelijk, 2c lin. afhankelijk.
Oefening 2.7 a 1a lin. onafhankelijk, 2a lin. onafhankelijk.
b 1b lin. afhankelijk, 2b lin. afhankelijk.
c 1c lin. afhankelijk, 2c lin. afhankelijk.
Oefening 2.8 a 1a lin. onafhankelijk, 2a lin. onafhankelijk.
46
b 1b lin. onafhankelijk. 2b lin. afhankelijk.
c 1c lin. afhankelijk. 2c lin. onafhankelijk.
Oefening 3.1 a 1a voortbrengend, 2a niet voortbrengend.
b 1b voortbrengend, 2b voortbrengend.
c 1c voortbrengend, 2c niet voortbrengend.
Oefening 3.3 a 1a {(0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}, 2a {(1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1)}.
b 1b {(0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}, 2b {(1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 0)}.
c 1c {(−1, 1, 0, 0), (−1, 0, 1, 0), (−1, 0, 0, 1)}, 2c {(1, 0, 1, 1), (0, 1, −1, 1)}
Oefening 3.4 a 1a {X − 1, X 2 − 1, X 3 − 1}, 2a {1, X}.
b 1b {1}, 2b {1, X, X 3 − 3X 2 }.
b 1c {1, −2X + X 2 , −3X + X 3 }, 2c {1, −3X + X 2 , −7X + X 3 }.
Oefening 3.5
dimensie 3 : R3 , dimensie 2 : alle vlakken door de oorsprong, dimensie 1 : alle rechten door de
oorsprong, dimensie 0 : singleton met de nulvector.
Oefening 4.1
a 1a lineair, 2a niet lineair, 3a niet lineair.
b 1b lineair, 2b lineair, 3b niet lineair.
c 1c lineair, 2c niet lineair, 3c niet lineair.
Oefening 4.2
a aX 3 + bX 2 + b + c − a.
b bX 10 + cX 2 + d + 2c.
c
n(n+1)
2 .
Oefening 4.3
a 1a niet lineair, 2a lineair, 3a lineair.
47
b 1b lineair, 2b lineair, 3b lineair.
c 1c lineair, 2c lineair, 3c lineair.
Oefening 4.4
a 1a Ker f = {~o}, Im f = R2 , f −1 (x, y) = ( 2x , − 2y ), 2a Ker f = {(x, − 32 x)|x ∈ R}, Im f = {(x, 2x)|x ∈
R}.
b 1b Ker f = {(x, 0)|x ∈ R}, Im f = {(x, 0)|x ∈ R}, 2b Ker f = {~o}, Im f = R2 , f −1 (x, y) =
x−y
( x+y
2 , 2 ).
c 1c Ker f = {(0, y)|y ∈ R}, Im f = {(x, x)|x ∈ R}, 2c Ker f = {~o}, Im f = R2 , f −1 (x, y) = (2x −
y, −x + y).
Oefening 4.5
a Ker f = {~o}, Im f = R3 , f −1 (x, y, z) = (z, x − z, y − x + z),
b Ker f = {(0, y, 0)|y ∈ R}, Im f = {(x, y, 2x − y)|x, y ∈ R},
c Ker f = {(0, 0, z)|z ∈ R}, Im f = {(x, y, 32 x − 2y )|x, y ∈ R}.
Oefening 4.6
a Ker f = {P ∈ R[X]|P is een constante veelterm }, Im f = R[X],
b Ker f = {0}, Im f = {P ∈ R[X]|P(0) = 0},
c Ker f = {P ∈ R[X]|P(0) = P0 (0) = P00 (0) = 0}, Im f = R2 [X].
Oefening 5.3

 

1 0 0 0
0 −1 1 −1
a  0 1 1 0  en  0 1 0 3 
0 0 1 1
1 1 0 1

 
3
4
1 2
b  −1 0  en  −2 −1 
4
8
0 1
3
3

 

3 −2 1
8 −27 −13
 1


6 2 
 en  −8 −36 −35 
c
 −3 0 7   48 34
28 
2
1 0
0
21
10

48
Oefening 5.4
a f ((1, 2, 3)) = (10, 17, 4), f ((4, 5, 6)) = (25, 38, 10),
b f ((2, 3, −1)) = (−11, −1), f ((4, 2, −1)) = (−7, 1),
c f ((1, 3, −1)) = (4, 22, 0, 1), f ((0, 3, 6)) = (24, −27, 21, 24).
Oefening 5.5

0
 0
a
 0
0
1
0
0
0
0
0
1
0

0
0 

1 
1


0 −1 0
b 1 0 0 
0 0 1


1 −2 2
c  0 1 −4 
0 0
1
Oefening 5.7
a 1a dim = 6, 2a dim = 12,
b 1b dim =12, 2b dim = 4,
c 1c dim = 3, 2c dim = 36.
Oefening 6.1
a geen oplossing, oplossing.
b oplossing, geen oplossing
c oplossing, geen oplossing.
Oefening 6.2

2
 0
a
 0
0

0 1
0
2 0
1 

0 −1 0 
0 0 −1
49


0 −2 0
2 0 −2 

0 −2 0 
0 2
0
0
 2
b
 0
0




c



3 1 0 0
1 2 0 0
1 −1 0 0
0 0 3 1
0 0 1 2
0 0 1 −1








Oefening 6.3
Bijvoorbeeld : A =
0 0
0 1
en B =
0 1
0 0
Oefening 6.6


−6 2 −9
a  0 −2 0 
10 −2 15
3
2

b

c
5
− 11
2

− 92 − 32
2
3 
15
2
1
2
7
2
1
2
11
2
1
2
5
2
5
9
3
3
2


Oefening 6.7
a rijrang = kolomrang = 4,
basis voor deelruimte voortgebracht door rijen :
{(0, 1, 3, −1, 2), (0, 0, 1, −2, −3), (0, 0, 0, 1, 26/7), (0, 0, 0, 0, 1)},
basis voor de deelruimte voortgebracht door de kolommen :
{(1, −3, −3, −2), (0, 1, 1/2, 3/2), (0, 0, 1, −7/2), (0, 0, 0, 1)},
b rijrang = kolomrang = 5,
50
basis voor deelruimte voortgebracht door rijen :
{(1, 2, 3, 2, 3), (0, 1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0, −2), (0, 0, 0, 1, 2), (0, 0, 0, 0, 1)},
basis voor de deelruimte voortgebracht door de kolommen :
{(1, 1, −1, 2, 1), (0, 1, −4, 3, 0), (0, 0, 1, 1/2, 1), (0, 0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 0, 1)},
c rijrang = kolomrang = 4,
basis voor deelruimte voortgebracht door rijen :
{(1, −2, 0, 2), (0, 1, −1, 1), (0, 0, 1, −2/7), (0, 0, 0, 1)},
basis voor de deelruimte voortgebracht door de kolommen :
{(1, 2, 1, 1), (0, 1, 5, 3), (0, 0, 1, 3/7), (0, 0, 0, 1)}.
Oefening 7.4
a x = -1, y = 4, z = -7; x =
−15a+b+5c
,
2
y=
a+b−c
2 ,
z=
5a−b−c
,
2
b x = 1, y = 10, z = -7, w = -6; x = 1, y = 2, z = 1, t = 2,
58
1
b x = − 26
33 , y = − 33 , z = − 11 , t =
23
33 ;
x = 11, y = -18, z = 34.
Oefening 7.5
a b1 = 2b2 ; b1 − b2 = b3 ,
b elke keuze is goed; b2 − b1 = b3 , 2b1 − b2 = b4 ,
c −5b1 + 2b2 + b3 = 0; elke keuze is goed.
Oefening 7.6


1
0
0
1 −1 0 −1
a

1
1
1
 0 −
− a2
0
0
0 
a
2
, G−1 = 
a A heeft geen invers, D−1 = 

1
1
1
1
1
3

 −
1
 a3 − a2
a
5
5
5
2
− 12 − 52 − 15
− a14 a13 − a12
5



b B−1 = 
3
5
2
5
− 51
− 53
3
5
1
5
− 15
− 45
2
5

1
a1
 0
, E −1 = 

 0
0
0
1
a2
0
0
51
0
0
1
a3
0
0
0
0
1
a4


0
0
0
1
a



,


1
0
0 0

− 13 13
0 0 
 −1 
,

,
H
=

1
1
 0 −
0 

5
5
0
0 − 17 17

c C−1 =
d
da−cb
−c
da−cb
−b
da−cb
a
da−cb


, F −1 = 

0
0
0
1
a1
0
0
1
a2
0
0
1
a3
0
0
Oefening 8.1
a c = a + b, Im f : z = x + y,
b 2a + b − 2c = 0, Im f : 2x + y − 2z = 0,
c 2a − 2b = c, Im f : 2x − 2y = z.
Oefening 9.1
a [1 6] ◦ [2 5] ◦ [3 4], oneven;
[b f e d ], oneven
b [1 2] ◦ [4 5], even;
[a c b f e], even,
c [4 6] ◦ [1 2 3] = [4 6] ◦ [1 3] ◦ [1 2], oneven;
[a c b d e f], oneven.
Oefening 9.7
a 1; -16;
b 2abc; -12;
c 0; b3 − b.
Oefening 9.9
(b-a)(c-a)(c-b)
Oefening 9.11
Als ai = 0 : a1 . . . ai−1 ai+1 . . . an
Oefening 10.1
52
1
a4



0
1 − 37

0  −1
9
− 51 .
, I =  35 − 35
0 
1
0
0
7
0
a pA (λ) = −λ3 , λ = 0 : {(x, y, z)|y = z = 0}. Niet diagonaliseerbaar.
pA (λ) = −λ3 + 7λ2 − 14λ + 8,
λ = 4 : {(x, y, z)|2x = 7z, y = −2z}.
λ = 2 : {(x, y, z)|y = z = 0}.
λ = 1 : {(x, y, z)| − x = y = z}. Diagonaliseerbaar.
b pA (λ) = −λ3 + 5λ2 + λ − 5,
λ = 5 : {(x, y, z)|x = 2y, z = 0}.
λ = 1 : {(x, y, z)|x = −z, y = 0}.
λ = −1 : {(x, y, z)|z = −3x, y = 2x}. Diagonaliseerbaar.
pA (λ) = (1 − λ)(λ2 − 3λ − 4),
λ = 4 : {(x, y, z)|x = z, y = 0}.
λ = 1 : {(x, y, z)|z = 4x, y = −6x}.
λ = −1 : {(x, y, z)|2x + 3z = 0, y = 0}. Diagonaliseerbaar.
c pA (λ) = −λ3 + λ2 + 2λ,
λ = 2 : {(x, y, z)|3x = y = −3z}.
λ = −1 : {(x, y, z)|2x = −2y = z}.
λ = 0 : {(x, y, z)|x = y = z}. Diagonaliseerbaar.
pA (λ) = −λ(1 − λ)2 ,
λ = 0 : {(x, y, z)|x + z = 0, y = 0}.
λ = 1 : {(x, y, z)|x = 0}. Diagonaliseerbaar.
Oefening 10.2
a λ2 − 8λ + 9; λ2 − 2λcosθ + 1,
b λ2 − 5λ + 6; −λ3 + λ2 + 24λ + 36,
53
c λ2 − 3λ + 2; −λ3 + 5λ2 − 7λ + 3.
Oefening 10.4
a {eu , e−u },
b {cosx, sin x},
c {cosx − i sin x, cosx + i sin x}.
Oefening 10.5
aM=
bM=
cM=
5 1
1 1
, en
1 2
−1 1
2 1
1 −1
A9
en
= 28
B16
en C31
=
1
3
=
1
3
3 −5
1 −3
,
516 + 217 −2.516 + 217
−516 + 216 2.516 + 216
−232 − 531 −232 + 2.531
−231 + 531 −231 − 2.531
,
.
Oefening 10.7
a Basis :
1
1
1
4 0
,
, Diagonaalmatrix :
−1
0 0
  




3 0
0
1
1
 1

Basis :  1  ,  −1   0  , Diagonaalmatrix :  0 −3 0 


1
0
−1
0 0 −3
  
0


  
0  
Basis : 
 1 ,



1
b Basis :
1
1

1
1


1   −1
0  0
0
0

0


  0 


  1 , Diagonaalmatrix :


−1


4
 0

 0
0
0
4
0
0
1
3 0
,
, Diagonaalmatrix :
−1
0 1

 
  


1
1 
1 0 0
1

Basis :  −1  ,  0   1  , Diagonaalmatrix :  0 1 0 


0
−1
1
0 0 −2
54
0
0
0
0

0
0 
,
0 
0
  
1
1


  
0   0
Basis : 
 0 , 0



1
−1
c Basis :
1
2


0
0
 1  0
 
 0  1
0
0




 , Diagonaalmatrix :





1 0 0 0
 0 −1 0 0 


 0 0 0 0 ,
0 0 0 0
−2
5 0
,
, Diagonaalmatrix :
1
0 0
    



1
2 0 0
0

 1
Basis :  1  ,  0   −1  , Diagonaalmatrix :  0 1 0 


0
1
0
0 0 0
  
1
0


  
1
, 0
Basis : 

0   1



0
1


−2
0
 1  0


  0   −2
0
1




 , Diagonaalmatrix :




3
 0

 0
0
0
3
0
0
0
0
0
0

0
0 
.
0 
0
Oefening 10.8
  
  


1 
1 1 −2
1
 1
a Basis :  1  ,  0   0  , Bovendriehoeksmatrix :  0 1 −1 ,


0
−1
0
0 0 1
  
  


−2
0 
2 0 5
 1
b Basis :  0  ,  1   1  , Bovendriehoeksmatrix :  0 1 2 ,


1
0
0 0 1
0
     


0
0 
2 0 0
 1
c Basis :  2  ,  1   0  , Bovendriehoeksmatrix :  0 1 1 .


1
0
1
0 0 1
Oefening 11.1
a 1a geen inwendig product, 2a inwendig product, 3a geen inwendig product.
b 1b inwendig product, 2b geen inwendig product, 3b inwendig product.
c 1c geen inwendig product, 2c geen inwendig product, 3c geen inwendig product.
Oefening 11.3
a 1a 11; 1a 40; 2a n 6= m : 0, n = m 6= 0 : π, n = m = 0 : 2π;
b 1b -13; 2b 23 ;
55
c 1c 12; 2c 0.
Oefening 11.4
a 1a cosθ =
11
√ ;
5 5
1a cosθ =
20
√ ;
9 5
13
b 1b cosθ = − √3531
; 2b cosθ =
c 1c cosθ =
√6 ;
330
2a n 6= m : cosθ = 0, n = m : cosθ = 1;
√
70
12 ;
2c cosθ = 0.
Oefening 11.8
  

  
1
−1
0 

1 
1 



√
√
1 ,
1
, 0  ,
a
2

 2
0
0
1
 


 
0
0 
 1
b  0  , √153  7  , √153  2  ,


0
−2
7







1
1
1

1 
1 
1 



√
√
√
1 ,
1
−1
c
, 2
.
6
 3

1
−2
0

Oefening 11.9
π
45 2
a orthogonaal stel: {1, x, x2 − π3 , x3 − 35 π2 x}, orthogonale projectie: − 2π
4 (x − 3 ), afstand: (π −
90 1/2
) .
π3
2
2
b orthogonaal stel : {1, cos x, sin x}, orthogonale projectie : 2 sin x, afstand : ( 23 π3 − 4π)1/2 ).
c orthogonaal stel : {1, x, cos x}, orthogonale projectie :
Oefening 12.1
a −15~e1 − 2~e2 + 9~e3
b −2~e1 + 2~e3
c −2~e1 − 2~e2 − 2~e3
Oefening 12.5
56
2π3
3 ,
afstand :
π2 −6
π
1/2


10 1 −3
1 
1 10 3  en B =
a 1a A = 11
−3 3 2


9 2 −6
1 
2 9 6  en B =
2a A = 11
−6 6 −7


1
1 
−1 ,
11
3


2
1 
−2 ,
11
6
√
√

1 + 10cosθ
−1
+
cosθ
−
3
11
sin
θ
3
−
3cosθ
−
11
sin
θ
√
√
1 
3a A = 11
1 + 10cosθ
−3
+
3cosθ
−
11 sin θ 
−1 + cosθ + 3√ 11 sin θ
√
3 − 3cosθ + 11 sin θ −3 + 3cosθ + 11 sin θ
9 + 2cosθ



0
en B =  0 ,
0
√

6 − 6cosθ − 2 √11 sin θ
1 
4a A zoals in 3a en B = 11
−6 + 6cosθ − 2 11 sin θ ,
−4 + 4cosθ

√
√

−1 + 10cosθ
1
+
cosθ
−
3
11
sin
θ
−3
−
3cosθ
−
11
sin
θ
√
√
1 
5a A = 11
1 + cosθ + 3 √11 sin θ
−1 + 10cosθ
3 + 3cosθ − 11 sin θ 
√
−9 + 2cosθ
−3 − 3cosθ + 11 sin θ 3 + 3cosθ + 11 sin θ



0
en B =  0 ,
0


1 −1 3
1 
−1 1 −3  en B =
6a A = 11
3 −3 9


6
1 
−6 ,
11
−4




2 −1 1
1
b 1b A = 31  −1 2 1  en B = 13  1 ,
1
1 2
−1




1 −2 2
1
2b A = 13  −2 1 2  en B = 23  1 ,
2
2 1
−1
57
√
√

1 + 2cosθ
1
−
cosθ
+
3
sin
θ
−1
+
cosθ
+
3
sin
θ
√
√
3b A = 13  1 − cosθ − √3 sin θ
1 + 2cosθ
−1 + cosθ − 3 sin θ 
√
1 + 2cosθ
 −1
 + cosθ − 3 sin θ −1 + cosθ + 3 sin θ
0
en B =  0 ,
0



2 − 2cosθ
√
4b A zoals in 3b en B = 13  −1 + cosθ +√ 3 sin θ ,
1 − cosθ + 3 sin θ
√
√

−1 + 2cosθ
−1
−
cosθ
+
3
sin
θ
1
+
cosθ
+
3
sin
θ
√
√
5b A = 13  −1 − cosθ −√ 3 sin θ
−1 + 2cosθ
1
+
cosθ
−
3 sin θ 
√
1 + cosθ − 3 sin θ
1 + cosθ + 3 sin θ
−1 + 2cosθ
 
0

0 ,
en B =
0





1
1 −1
2
1 −1  en B = 13  −1 ,
6b A = 13  1
−1 −1 1
1

 

5 −1 −2
1
1
1

−1 5 −2
1 ,
en B = 6
c 1c A = 6
−2 −2 2
2

 

2 −1 −2
1
2c A = 31  −1 2 −2  en B = 13  1 ,
−2 −2 −1
2
√
√

1 + 5cosθ
1
−
cosθ
−
2
6
sin
θ
2
−
2cosθ
+
6
sin
θ
√
√
3c A = 61  1 − cosθ + 2√6 sin θ
1 + 5cosθ
2
−
2cosθ
−
6 sin θ 
√
4 + 2cosθ
 2− 2cosθ − 6 sin θ 2 − 2cosθ + 6 sin θ
0

0 ,
en B =
0

√

1 − cosθ − 2 6 sin θ
,
−5 + 5cosθ
4c A zoals in 3b en B = 16 
√
2 − 2cosθ + 6 sin θ

58
√
√

−1 + 5cosθ
−1
−
cosθ
−
2
6
sin
θ
−2
−
2cosθ
+
6
sin
θ
√
√
5c A = 16  −1 − cosθ + 2√6 sin θ
−1 + 5cosθ
−2 − 2cosθ − 6 sin θ 
√
−4 + 2cosθ
 −2
 − 2cosθ − 6 sin θ −2 − 2cosθ + 6 sin θ
0
en B =  0 ,
0





1 1 2
1
6c A = 16  1 1 2  en B = 61  −5 .
2 2 4
2
Oefening 12.7

 x = 12 − 5t
y = −2t
a

z = − 12 + t

 x = −3 + 7t
y = −1 + 4t
b

z = 1 + 4t

 x=t
y = −1
c

z = −t
Oefening 13.1
x = −z, y = 0.
Oefening 13.3
x + y + z = 0.
Oefening 14.2


a

b
√2
5
− √15
1
3
2
3
2
3
0
− 35
4
5
0
√2
45
√4
45
− √545



4
5
3
5

0
0 
0 1
59


c
√1
10
− √310
6
7
2
7
− 73
0
√9
490
√3
490
√20
490



Oefening 14.3


a


b


c

−i
2
1
2
−1+i
2
√1
2
−i
√
2
1
2
i
2
1+i
2
0


,
√
√
2
3
1−i
3
2+i
3
1+i
2
√
− 2
2
0
2
3
1+i
3
√
i 3
3
2(i−2)
6
−1+3i
6
2
3
−5
√
45
2+2i
√
45
√
2i
√ 3
45
0
√
i√ 3
5
1−i
√
5


,


.

Oefening 14.4
a
M=


M=
√1
2
√1
2
√1
2
−1
√
2
√1
3
√1
3
√1
3
√1
2
−1
√
2
√1
2
√1
2
√1
2
−1
√
2
0
!
en
√1
6
√1
6
−2
√
6
Mt A
1M
=

3 0
0 −1
,


4 0 0

 en Mt A2 M =  0 1 0 ,
0 0 1
b
M=

1
 0
M=
0
!
en
0
0
√1
2
√1
2
√1
2
−1
√
2
Mt A

3M
=
4 0
0 2
,


1 0 0

 en Mt A4 M =  0 1 0 ,
0 0 5
60
c
M=


M=
−2
√
5
√1
5
√1
5
√2
5
√1
2
√1
2
√1
18
−1
√
18
−4
√
18
0
!
en
Mt A
2
3
−2
3
1
3

5M
=
7 0
0 2
,


−3 0 0

 en Mt A6 M =  0 −3 0 .
0
0 6
Oefening 14.5
a


M=
√2
6
√1
6
−1
√
6
√1
3
−1
√
3
√1
3
√1
2
√1
2
√1
2
−1
√
2
√1
2
√1
2
!
√1
5
√2
5
−2
√
5
√1
5
!
0





3 0 0
9 0 0
 t
, M AM =  0 4 0  en Mt BM =  0 2 0 .
0 0 6
0 0 12
b
M=
,
Mt AM
=
3 0
0 −1
en
Mt BM
0 0
0 2
=
.
c
M=
,
Mt AM
=
5 0
0 0
en
Mt BM
=
0 0
0 5
.
Oefening 15.3
a A1 is niet normaal,

  √  
0

−i 2

 √1  1 
A2 eigenwaarden 2, 2 ± 2i, basis :  2  , 2
1  , 21 

1
 √
−1
2
(
b A3 eigenwaarden 2 ± i, basis :
√1
2
√1
2
!
,
√1
2
− √12
!)
,
A4 is niet normaal,
(
c A5 eigenwaarden ±ia, basis :
√1
2
√i
2
!
,
√1
2
− √i
61
!)
,
2
√ 
i 2 


,
1

−1 
√
A6 eigenwaarden ±i 2, basis :
√ 1√
4+2 2
√ √
−i(1 + 2)
i(
2
−
1)
1
,√ √
.
1
1
4−2 2
Oefening 15.9
2
√1
2
−i
√
2
√1
2
bM=
√1
3
i+1
√
3
i−1
√
3
√1
3
cM=
√1
3
1−i
√
3
−1−i
√
3
√1
3
√i
aM=
!
Mt AM
, en
=
!
, en
Mt AM
=
!
, en
2 0
0 0
Mt AM
6 0
0 3
=
,
,
4 0
0 1
.
Oefening 16.1 1) verschuiving over (0, −1)
2) rotatie om (0, 0) over de hoek −bgcos (3/5)
3) rotatie om (5, −5) over de hoek −bgcos (3/5)
4) spiegeling ten opzichte van de rechte x = 2y
5) spiegeling ten opzichte van de rechte x = 2y + 5
6) samenstelling van de spiegeling ten opzichte van de rechte x = 2y en de verschuiving over
(3, −2).
x
!
Oefening 16.2 a f
y
!
!
x
y
b f
=
y
x
!
!
x
−y
cf
=
y
−x
Oefening 16.3 f
Oefening 16.4 f
x
!
=
y
x
y
=
!
=
−3/5
−3/5
−4/5
!
√ !
2 3
−y
x
y
x
!
4/5
+
!
+
x
!
y
+
2/5
!
6/5
0
2
!
2
Oefening 16.5 1 echte schuifspiegeling of verschuiving
2 rotatie verschillend van de identiteit
3 spiegeling ten opzichte van een rechte.
Oefening 16.6 1 verschuiving, rotatie gevolgd door een verschuiving evenwijdig met de rotatieas
of schuifspiegeling
62
2 rotatie gevolgd door spiegeling om een vlak loodrecht op de rotatieas (spiegelrotatie)
3 rotatie verschillend van de identiteit
4 spiegeling ten opzichte van een vlak.
Oefening 16.7
1 Orthogonale spiegeling t.o.v. het xy-vlak.
2 Rotatie rond de z-as over een hoek π2 .
3 verschuiveng over (0, 0, 1).
4 Schroefbeweging : rotatie rond de z-as over een hoek π2 , gevolgd door een verschuiving over
(0, 0, 1).
5 Schuifspiegeling : orthogonale spiegeling t.o.v. het yz-vlak, gevolgd door een verschuiving over
(0, 0, 1).
6 Draaispiegeling : rotatie rond de z-as over een hoek π2 , gevolgd door een orthogonale spiegeling
t.o.v. het xy-vlak.
7 Schuifspiegeling : orthogonale spiegeling t.o.v. het vlak y+z = 0, gevolgd door een verschuiving
over (0, 2, 3).
8 Orthogonale spiegeling t.o.v. het vlak z = y + 1.
Oefening 16.8
1 Rotatie rond de z-as over een hoek θ waarvoor cos θ = 53 , sin θ =
−4
5 .
2 Orthogonale spiegeling t.o.v. het vlak y = 2x.
3 Rotatie rond de rechte y = 2z = 2x, over een hoek π.
4 Rotatie rond de rechte x = 2y = 2z, over een hoek θ waarvoor cos θ =
−1
5 .
5 Rotatie rond de rechte x = z, y = 0, over een hoek θ waarvoor cos θ = 13 .
Oefening 17.1 Een verschuiving.
Oefening 17.2 Rotatie rond de rechte x1 − 1 = x2 = x3 over een hoek θ waarvoor cos θ =
gevolgd door een verschuiving over (2, 2, 2).
−1
2 ,
Oefening 17.3 Orthogonale spiegeling t.o.v. het vlak x2 = x3 + 12 , gevolgd door een verschuiving
over de vector (1, 52 , 25 ).
63
Oefening 17.4
 0
 x = (4x − 3y + 4)/5
y0 = (−3x − 4y + 12)/5
a1
 0
z =z
 0
 x = (2x + 2y − z)/3
y0 = (2x − y + 2z)/3
a2
 0
z = (−x + 2y + 2z)/3
 0
 x = (2x + y − 2z)/3
y0 = (x + 2y + 2z)/3
a3
 0
z = (−2x + 2y − z)/3
 0
 x =x
y0 = (−7y − 24z + 8)/25
b1
 0
z = (−24y + 7z + 6)/25
 0
 x = (6x − 2y + 3z)/7
y0 = (−2x + 3y + 6z)/7
b2
 0
z = (3x + 6y − 2z)/7
 0
 x = (2x + 2y − z + 1)/3
y0 = (2x − y + 2z − 2)/3
b3
 0
z = (−x + 2y + 2z + 1)/3
 0 2x+y−2z+2
 x =
3
c2
y0 = x+2y+2z−2
3
 0 −2x+2y−z+4
z =
3
 0
 x =x
y0 = (−3y − 4z + 8)/5
c1
 0
z = (−4y + 3z + 4)/5
 0
 x = (6x − 2y + 3z + 3)/7
y0 = (−2x + 3y + 6z + 6)/7
c3
 0
z = (3x + 6y − 2z − 9)/7
Oefening 17.5


a1 Matrix van de lineaire afbeelding 

3
4
1
4√
− 2√32
1
4
3
√4
√3
2 2
√
√3
2 √2
− 2√32
1
2


,



a2 Matrix van de lineaire afbeelding zoals in a1 , verschuiving over 
√
1−2 6
4√
−1+2 6
4√
1 + 46


.

+ 3√2 2
− 13 + 3√1 2 − √16 − 13 + 3√1 2 + √16


1
2
1
1
√
√
√1
b1 Matrix van de lineaire afbeelding  − 13 + 3√1 2 + √16
3+3 2
3 − 3 2 + 6 ,
2
1
√
− 13 + 3√1 2 − √16 31 − 3√1 2 − √16
3+3 2

1
3

1 − √12 + √16


b2 Matrix van de lineaire afbeelding zoals in b1 , verschuiving over  1 − √12 − √16 .

√2
6
64


c1 Matrix van de lineaire afbeelding 

√
2+ 3
4
1
√
2 √2
2− 3
4
−1
√
2√ 2
3
2
1
√
2 2
√
2− 3
4
−1
√
2 √2
2+ 3
4


,



c2 Matrix van de lineaire afbeelding zoals in c1 , verschuiving over 
√ √
2+2 2− 3
4√
−1
√ − 3+2
2 2 √ √
−2−2 2+ 3
4


.
Oefening 17.6
a Matrix van de lineaire afbeelding zoals in c1 van vorige oefening, verschuiving over
 
1
 1 
0
b Matrix van de lineaire afbeelding zoals in b1 van vorige oefening, verschuiving over


− √12 + √16
 2 − √1 − √1 

6 
2
2
1 + √6
c Matrix van de lineaire afbeelding zoals in c1 van vorige oefening, verschuiving over
√ √


6+2 2− 3
4√
 −1

√
−
 2 2 √ 3√+ 2 
2−2 2+ 3
4
√
√
Oefening 17.7 Draaispiegeling, fixpunt (− 1+2 2 , 23 , 1+2 2 ).
√
 √

3 − 1 −√ 3 − 1
−1
√
Oefening 17.8 13  √−1
3 − 1 −√ 3 − 1 .
− 3−1
−1
3−1
Oefening 17.9 Kegel met vergelijking x2 + y2 = 4z2 .
Oefening 18.1
a q(x, y) = x2 + 6xy + 2y2 ,
b q(x, y) = 2x2 + 8xy + y2 ,
65
c q(x, y) = x2 + 14xy + 2y2 .
Oefening 18.2
a1 b((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = x1 y1 + 3x1 y2 + 3x2 y1 + 2x2 y2 ,
a2 b((x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 )) = x1 y1 + 4x2 y2 + x3 y3 − x1 y2 − x2 y1 + 12 x1 y3 + 21 x3 y1 − 12 x2 y3 − 12 x3 y2 ,
b1 b((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = x1 y1 + 3x1 y2 + 3x2 y1 + 2x2 y2 ,
b2 b((x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 )) = 2x1 y1 + 2x2 y2 + x3 y3 − 12 x1 y2 − 12 x2 y1 + x1 y3 + x3 y1 − 32 x2 y3 − 32 x3 y2 ,
c1 b((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = x1 y1 + 3x1 y2 + 3x2 y1 + 2x2 y2 ,
c2 b((x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 )) = x1 y1 + 3x2 y2 + 4x3 y3 − 2x1 y2 − 2x2 y1 − x1 y3 − x3 y1 − 12 x2 y3 − 12 x3 y2 .
Oefening 18.3
a f (x, y) = 2x2 + 3xy − 4y2 ,
17 2
b f (x, y) = 2x2 + 109
36 xy − 18 y ,
c f (x, y) = −2x2 − 3xy + 6y2 .
Oefening 18.4
a f (x, y) = 4x2 + 5xy + y2 ,
b f (x, y) = 6x2 + 4xy − y2 ,
c f (x, y) = 3x2 + 3xy − 3y2 .
Oefening 18.6
a 5x − 3y + 3z = 0, singulier punt (0, 0, 0),
b x = 6y, singulier punt (0, 0),
c Ontaard als a = ±b, singuliere punten als a = b 6= 0 : x = −y, singuliere punten als a = −b 6= 0
: x = y, als a = b = 0 is elk punt een singulier punt.
Oefening 18.7
a 5x − 2y − 4 = 0,
66
b De richtingscoefficient is 2,
c 2x + y + 5 = 0.
Oefening 18.8
a −2x + 9y + 2z + 9 = 0,
b 2x + 3z = 2,
c y − 4z + 6 = 0.
Oefening 19.2
a 1) ellips, 2)
3(x − z)2 + 9(y − 13 )2
b 1) ellips, 2) 9(x + z −
c 1) ellips, 2) 4(x −
= 4, 3)
2 2
2
3 ) + 3(y + 2z − 1)
1
1 2
2
2 y − 2 z) + 3(y − z)
3x2 + 9(y − 13 )2 = 4
,
z=0
= 4, 3)
= 16, 3)
9(x − 23 )2 + 3(y − 1)2 = 4
,
z=0
4(x − 12 y)2 + 3y2 = 16
.
z=0
Oefening 19.3
a (z2 − 1)(x − 1)2 + y2 = 0,
b 5(x + y)2 − 4x − 8y − 2z = 0, parabolisch cilinder,
a x2 − (y2 + 1)(z − 1)2 = 0.
Oefening 19.4 Assen en toppen zijn uitgedrukt t.o.v. de standaardbasis.
a1 u2 + v2 = 1, cirkel. Elke rechte door (-1,0) is as, elk punt van de ellips is top.
−3
−4
, √
).
b1 20u2 −5v2 = 1, hyperbool. Assen 3x+4y = 0 en 4x−3y = 0, toppen ( 5√320 , 5√420 ) en ( 5√
20 5 20
c1 6u2 + v2 = 1, ellips. Assen x − 1 = 2y en 2x + y = 2, toppen (1 + √130 , √−2
), (1 − √130 , √230 ),
30
−1
).
(1 + √25 , √15 ), en (1 − √25 , √
5
a2 u2 = v, parabool. As x = y, top (− √12 , − √12 ).
b2 −5u2 = 1, leeg. Elke rechte is as, geen toppen.
67
√
1 −3
c2 5 5u2 = v, parabool. As 2x − 15 = y, top ( 25
, 25 ).
√
19
a3 2 2u2 + v = 0, parabool. As x − y = − 14 , top ( 15
16 , 16 ).
b3
√
2u2 = v, parabool. As x + y = 32 , top (− 83 , 15
8 ).
5 2
c3 16
u = 1, twee evenwijdige rechten. Assen 2x = y + 3 en x + 2y = l met l ∈ R, elk punt van de
kegelsnede is top.
a4
72 2
108 2
163 u − 163 v
= 1, hyperbool. Assen y =
1
6
√
Oefening 19.5
a1 u2 + v2 + w = 0, elliptisch paraboloide.
2
2
b1 u2 + v2 − w2 = 1, eenbladige hyperboloide.
c1 14u2 = 1, twee evenwijdige vlakken.
√
√
3 3 2
a2 4 u + 43 v2
= w, elliptisch paraboloide.
b2 u2 − v2 − 2w2 = 1, tweebladige hyperboloide.
c2
3 2
6 2
9 2
23 u + 23 v − 23 w
a3
√
√
2 3 2
2 3 2
u
+
3
3 v + w = 0,
b3
u2
10
c3
√2 u2 + v = 0,
6
a4
√
6
√ 3 u2 + v = 0,
70
2
√
en x = 23 , toppen ( 23 , 16 + √163
) en ( 23 , 16 − √163
).
108
108
= 1, eenbladige hyperboloide.
elliptisch paraboloide.
2
3w
+ 3v
20 + 10 = 1, ellipsoide.
parabolisch cilinder.
parabolisch cilinder.
Oefening 19.6
a (k2 − α2 )x2 + k2 y2 = k2 (k2 − α2 ),
b (k2 − α2 )x2 + k2 y2 + k2 z2 = k2 (k2 − α2 ), omwentellingsoppervlak,
c (k2 − α2 )x2 + k2 y2 + k2 z2 = k2 (k2 − α2 ), omwentellingsoppervlak.
Oefening 19.7 z = x2 + y2 .
68
Oefening 19.8 x2 + y2 − z2 = 1.
Oefening 19.9
a x2 + y2 − 2z + 1 = 0, elliptisch paraboloide,
b z2 + 1 = x, parabolisch cilinder,
c y2 − z2 = 4x, hyperbolisch paraboloide.
Oefening 19.10
x2 + y2 = 1
.
z=3
69