Spanningsdelers en gelijkstroomnetwerken

IE03 impuls 16
25-02-2008
14:12
Pagina 1
Katern voor scholing, her- en bijscholing
16
Een uitgave van Intech Elektro & ICT en OTIB
maart 2007
inHoud
1
Basiskennis
Stroomkring en
richtingspijlen voor
spanning en stroom
Stroomkring en richtingspijlen
3
voor spanning en stroom
6
Fotowedstrijd ‘zo
moet het niet’
Cursusaanbod
We besteden hier aandacht aan de berekening van elektrische schakelingen.
Verklaard wordt, beginnend met de grondstroomkring, wat we verstaan onder
richtingspijlen voor spanning en stroom en hoe je die kunt toepassen. Getoond
wordt, hoe je de serie- en parallelschakeling van weerstanden kunt berekenen.
Tot slot wordt nog ingegaan op de beide, naar Gustav Robert Kirchhoff genoemde wetten van Kirchhoff, de stroomwet voor een knooppunt en de spanningswet voor een maas.
Bij elektrische netwerken gaat het om schakelingen die weerstanden en spanningsbronnen bevatten. Het eenvoudigste elektrische
netwerk is de zogenoemde grondstroomkring, die bestaat enkel uit een ideale spanningsbron 1) en een belastingsweerstand
(afbeelding 1).
Richtingspijlen voor spanning en
stroom
In afbeelding 1 staan pijlen voor de spanning
U en de stroom I, de zogenoemde richtingspijlen voor spanning en stroom. Je moet er
hierbij opletten dat deze pijlen willekeurig
kunnen worden geplaatst. Ze zeggen niets
over de werkelijke richting van spanning en
Q
spanningsbron
klem
A
I
Uq
U
R
B
belastingsweerstand
Spanningsdelers
en gelijkstroomnetwerken
stroom, maar leggen slechts vast in welke
richting positief wordt gerekend. Komt in een
schakeling door een berekening een negatieve getalswaarde, bijvoorbeeld voor een
stroom, dan betekent dit alleen dat de
stroom in de omgekeerde richting gaat, dus
tegengesteld aan de pijl. Willen we aan een
schakeling rekenen, dan moeten we voor
elke tak een pijl voor de stroom invoeren, en
ook aan de spanningsbronnen moet een
richtingspijl voor de spanning worden toegekend. In afbeelding 1 volgt de stroom I uit de
Wet van Ohm, te weten:
I=
U
R
Geleidende verbindingen in een schakeling
worden door een lijn voorgesteld. Een punt
symboliseert dat verschillende leidingen
elektrisch zijn verbonden. We spreken dan
van een knooppunt (afbeelding 2).
Serieschakeling van weerstanden
Een serieschakeling van weerstanden wordt
bij een onvertakte stroomkring door een
enkele vervangingsweerstand weergegeven
klem
1) Een ideale spanningsbron levert een constante spanning die
onafhankelijk is van de belastingsstroom. Werkelijke span-
1. Grondstroomkring die bestaat uit een spannings-
ningsbronnen, waarbij de spanning afhankelijk is van de
bron, belastingsweerstand, richtingspijl voor span-
belasting, worden in een van de volgende edities van Impuls
ning en stroom.
behandeld.
16 1
IE03 impuls 16
25-02-2008
14:12
Pagina 2
stroomkring en richtingspijlen voor spanning en stroom
2. Knooppunt
I
I
R1
met vier aftakkingen.
I3
I4
Uq
U
R2
Uq
U
Rtot = R1 + R2 + R3
knooppunt
I1
I2
R3
3. Serieschakeling van weerstanden en vervangingsschakeling.
(afbeelding 3). Deze heeft als weerstand
de som van de afzonderlijke weerstanden.
Voor de schakeling in afbeelding 3 geldt:
R1 • R2
R tot =
R1 + R2
Rekenen met geleidingen
R tot = R 1 + R 2 + R 3
Bij toepassing van de vervangingsweerstand R tot vloeit dezelfde stroom I als bij de
drie afzonderlijke weerstanden. Over het
algemeen geldt dus voor een serieschakeling:
R tot = R 1 + R 2 + R 3+…
Als je bij een parallelschakeling de zogenoemde geleiding (omgekeerde van de
weerstand) neemt, is de totale geleiding
gemakkelijk te berekenen. Dan geldt:
van Kirchhoff de ene stroom altijd uit de
andere kan worden berekend, met andere
woorden daaruit volgt.
Laten we aannemen dat bij de stromen in
afbeelding 5 de volgende waarden worden
gemeten:
I1 = 3A; I2 = 4A; I3 = –2A; I4 = 5A.
Voor I5 volgt met vergelijking (2):
Gtot = G1 + G2 + G3 + ...
We hoeven dus de geleidingen alleen maar
op te tellen.
I5 = I2 + I3 + I4 – I1
I5 = 4A–2A+5A–3A
I5 = 4A
Parallelschakeling van weerstanden
Ook bij de parallelschakeling van weerstanden behoort een vervangingsweerstand. Voor de schakeling conform afbeelding 4 geldt:
R tot =
1
1
1
1
1
+
+
+
R1
R2
R3
R4
En over het algemeen:
R tot =
1
1
1
1
+
+
+ ...
R1
R2
R3
Knooppuntswet van Kirchhoff
De knooppuntswet van Kirchhoff zegt: Alle
naar een knooppunt vloeiende stromen zijn
samen nul. Laten we hiervoor eens kijken
naar het knooppunt in afbeelding 2. Omdat
de beide stromen I3 en I4, preciezer aangeduid de stroompijlen, niet naar het knooppunt wijzen, maar juist ervan af, moeten we
deze beide stromen van een negatief teken
voorzien, zodat voor afbeelding 2 geldt:
I1 + I2 – I3 – I4 = 0
Kijken we vervolgens naar het voorbeeld in
afbeelding 5, dan luidt de vergelijking:
I1 – I2 – I3 – I4 + I5 = 0
(2)
Bij een knooppunt kunnen nooit aan alle
deelstromen willekeurige waarden worden
toegekend, omdat door de knooppuntswet
4. Parallelschakeling van
weerstanden en overeenkomstige vervangings-
R1
16 2
R2
R3
R4
Rtot
schakeling.
met vijf aftak-
I2
I3
kingen en richtingspijlen voor
I4
I1
de stroom.
I5
Spanningswet voor mazen van
Kirchhoff
(1)
Overigens is bij de parallelschakeling de
vervangingsweerstand altijd kleiner dan de
kleinste van de afzonderlijke weerstanden.
Bij de serieschakeling is de vervangende
weerstand altijd groter dan de grootste
afzonderlijke weerstand. Staan er slechts
twee weerstanden parallel, dan krijg je
door vergelijking (1) om te werken:
5. Knooppunt
De spanningswet van Kirchhoff luidt: In
een willekeurige maas (van een netwerk) is
de som van de deelspanningen, die in
dezelfde richting wijzen, nul. We moeten
dus bijvoorbeeld alle deelspanningen in
een elektrische schakeling, die in de maas
met de klok mee lopen, positief tellen. Is
een deelspanning tegen de klok in georiënteerd, dan moet deze met een negatief
teken worden aangeduid. Een maas is gedefinieerd als een willekeurige, gesloten
weg, dat wil zeggen het einde van de maas
komt met het begin overeen.
Als voorbeeld nemen we de schakeling in
afbeelding 6. Deze heeft twee spanningsbronnen, Q1 en Q2. Verder zijn er in de
schakeling nog vijf weerstanden en drie
IE03 impuls 16
25-02-2008
14:12
Pagina 3
stroomkring en richtingspijlen
voor spanning en stroom
R3
U3
U1
I1
I3
R1
spanningsdelers en
gelijkstroomnetwerken
Uq2
U4
I4
U3
Q2
Uq2
M1
U1
U4
R4
M3
Uq1
Q1
R2
U2
U5
I2
R5
Uq1
M4
I5
M1:
M2:
M3:
M4:
M5:
U5
U2
M5
6. Vertakte stroomkring met richtingspijlen voor stroom en spanning.
knooppunten. Belangrijk: de richtingpijlen
voor de stromen worden eerst vastgelegd,
en wel willekeurig. Vervolgens tekenen we
de richtingspijlen voor de deelspanningen,
en wel bij de weerstanden steeds in dezelfde richting als de stromen.
Er kunnen nu meerdere maasvergelijkingen
worden opgesteld, omdat er immers willekeurige, gesloten wegen kunnen worden
gekozen (zie daarvoor ook afbeelding 7):
M2
7. Vertakte stroomkring met richtingspijlen en mazen.
– U3 –Uq2 – U4 = 0
U2 + U4 + U5 = 0
– U3 – Uq2 + U5 + U2 = 0
– Uq1 + U1 – U3 – Uq2 + U5 = 0
– Uq1 + U1 + U4 + U5 = 0
M1 tot M5 te werk zijn gegaan:
• de mazen worden altijd met de klok mee
doorlopen;
• tegen de klok in aangegeven spanningen
hebben we negatief meegeteld, met
andere woorden in de vergelijking voorzien van een minteken.
We vatten nog een keer samen hoe we bij
de opstelling van deze maasvergelijkingen
Spanningsdelers en gelijkstroomnetwerken
Hoe werkt de spanningsdeler en hoe kom je op de wiskundige betrekkingen die de regels voor spanningsdelers
vormen? Verder wordt uitgelegd hoe met de Wet van
Ohm en met de Wet van Kirchhoff een gelijkstroomnetwerk kan worden berekend.
I1
U1
R1
IL = 0
Q
Uq
tingspijlen moet omgaan. Met deze regels en met de Wet van Ohm
kunnen we eenvoudige gelijkstroomnetwerken onderzoeken.
Regels voor spanningsdelers
De spanningsdeler in afbeelding 1 bestaat uit de beide in serie
geschakelde weerstanden R1 en R2 en de ideale spanningsbron Q
met de bronspanning Uq. De spanning U2 wordt over de weerstand
R2 genomen. Let erop dat de uitgang van de spanningsdeler niet
belast is, met andere woorden de belastingsstroom bedraagt IL= 0 A.
Je kunt je nu afvragen hoe de uitgangsspanning U2 afhankelijk is van
de ingangsspanning U en van de weerstanden R1 en R2. Als eerste
bepalen we met de Wet van Ohm de stroom I:
U
R2
(1)
U2
Als tweede stap bepalen we de spanningsval over de weerstand
R 2, ook met de Wet van Ohm. Dat geeft met de vergelijking (1):
1. Spanningsdeler.
In ‘Stroomkring en richtingspijlen voor spanning en stroom’ zijn de
wetten van Kirchhoff behandeld en is uitgelegd hoe je met rich16 3
IE03 impuls 16
25-02-2008
14:12
Pagina 4
spanningsdelers en gelijkstroomnetwerken
Instellen van een deelspanning
Na omwerking van de vergelijking volgt:
(2)
Bij vergelijking (2) gaat het om de zogenoemde spanningsdelerregel. Deze regel zegt: Bij een spanningsdeler verhoudt zich de deelspanning tot de totale spanning als de deelweerstand tot de totale
weerstand. Voor U1 (spanning over weerstand R 1) kan met vergelijking (1) worden berekend:
(3)
Na omwerking van vergelijking (3) komen we op:
Als we voor zowel de deelspanning U2 als de stroom I een bepaalde waarde willen krijgen, dan geldt dat beide weerstanden R 1 en
R 2 moeten worden ingesteld. Kijken we hiervoor naar een voorbeeld, waarbij gegeven is: Uq = 18 V, I = 10 mA, U2 = 12 V
En waarbij wordt gevraagd: R 1, R 2
De oplossing: omzetten van vergelijking (1) geeft dan:
(4)
Vergelijking (4) is de eerste vergelijking, die moet worden opgelost.
(We hebben twee vergelijkingen nodig, want er zijn twee onbekenden, namelijk R 1 en R 2). Daarom nemen we vergelijking (2) die
luidt:
(5)
Daarmee verhouden de deelspanningen U1 en U2 zich als volgt tot
elkaar:
We kunnen nu vergelijking (4) in vergelijking (5) invullen en dat
levert op:
(6)
Dit geeft met vergelijking (6) en de gegeven waarden:
Bekijken we hierbij een voorbeeld, waarbij gegeven is: Uq = 12 V,
R 1= 8 Ω, R 2 = 4 Ω
En waarbij wordt gevraagd: I, U1, U2
Dan is de oplossing met:
vergelijking (1):
Door omwerken van vergelijking (4) volgt voor R 1
vergelijking (3):
Proef op de som:
vergelijking (2):
De som van de deelspanningen U1 en U2 geeft de totaalspanning
weer, met andere woorden de spanning Uq van de bron. Dat is uiteindelijk de consequentie van de maaswet van Kirchhoff, die luidt:
Zo is U2 ook als volgt te berekenen:
Berekeningen aan een gelijkstroomnetwerk
In afbeelding 2 wordt een gelijkstroomnetwerk getoond met de
spanningsbron Q, de drie weerstanden R 1, R 2 en R 3 en ook een
aan de klemmen aangesloten belastingsweerstand R L. Gevraagd
worden de stromen I1, I2 en I3 en de spanning UL, die over de
klemmen komt te staan. We zetten vervolgens twee maasvergelijkingen op:
(7)
16 4
IE03 impuls 16
25-02-2008
14:12
Pagina 5
spanningsdelers en gelijkstroomnetwerken
(8)
In de vergelijkingen (7) en (8) zijn drie onbekenden, namelijk I1,
I2 en I3. Uit de wiskunde weten we dat er altijd zoveel vergelijkingen nodig zijn, als er onbekenden zijn. Met andere woorden, er
ontbreekt nog een vergelijking. Hiervoor gebruiken we de knooppuntswet van Kirchhoff:
R1
I1
R3
I3
I2
Uq
Q
R2
UL
RL
(9)
Nu moeten we de drie onbekenden door een juiste substitutie
bepalen. Hiervoor zetten we in vergelijking (8) in plaats van de
stroom I3
2. Eenvoudig gelijkstroomnetwerk met twee mazen voor het opstellen van de
maasvergelijkingen.
Uq = 12 V, R 1 = 4 Ω, R 2 = 6 Ω, R 3 = 2 Ω, R L = 5 Ω
I3 = I1 – I2
En waarbij wordt gevraagd: I1, I2, I3, UL
en krijgen dan voor vergelijking (8):
(10)
Dan is hierbij de oplossing met:
vergelijking (12):
Als we nu de vergelijkingen (7) en (10) bekijken, dan zijn er nog
maar twee onbekenden, namelijk I1 en I2 en daarmee zijn we al
een flink stuk verder. Uit vergelijking (10) volgt:
(11)
vergelijking (13):
Nu zetten we de vergelijking (11) in (7) en elimineren daardoor
ook nog I2:
vergelijking (14):
vergelijking (15):
(12)
Vergelijking (11) geeft dan I2:
(13)
En met vergelijking (9) kunnen we I3 berekenen:
(14)
Voor Ul kunnen we invullen:
(15)
We kijken naar een rekenvoorbeeld, waarbij gegeven is:
16 5
IE03 impuls 16
25-02-2008
14:12
Pagina 6
fotowedstrijd
cursusaanbod
Fotowedstrijd ‘Zo moet het niet!’
Prijswinnaar van deze maand
Onder het motto ‘Zo moet het niet’ gaat
Intech Elektro en ICT op zoek naar foto’s
van slecht of foutief uitgevoerde
installaties. Inzenders van wie de
foto’s worden geplaatst in Intech
kunnen rekenen op een technisch
handboek van Isso ter waarde van
maar liefst 245 euro. Het handboek bestaat
uit twee delen
en bevat ruim
1.400 pagina’s
aan technische kennis. Vermeldt u alstublieft kort en bondig welke fouten te zien
zijn op de foto en uiteraard ook uw naam
en adres.
Mail of stuur uw foto’s naar:
Redactie Intech Elektro en ICT
‘Zo moet het niet’
[email protected]
Postbus 188
2700 AD Zoetermeer
Ger Hermsen van Kwakkernaat Elektrotechniek –
Kabeltelevisie uit Nijmegen is deze maand de winnaar
van de fotowedstrijd. Dat studentenhuizen vaak niet
uitblinken qua veiligheid is een publiek geheim. De
fotoserie laat zien dat het in dit geval echt bar en boos
is. Hermsen ontvangt het handboek Installatietechniek
van Isso. Van harte gefeliciteerd namens de redactie!
Onder: Er zit een gat in de ruit. Dat is handig! Hoeven we geen
gat te boren, kunnen we de leiding er zo doorheen steken. Dit
scheelt tijd en bespaart de nodige energie!
We dachten in eerste instantie dat deze bruine leiding zou fungeren als aardleiding die dan zou worden gekoppeld met de aardelektrode in de kelder. De leiding loopt van de eerste verdieping, waar zich de schakel- en verdeelinrichting bevindt, naar het trapgat in de kelder. Een logische gedachtegang toch? Niemand zal toch bedenken
dat dit een faseleiding is? En jawel hoor! Dit is echt een faseleiding, nog wel vanaf de hoofdzekering van het
GEB!
Trouwens, ook een handig draadje als je van de trap valt, dan kun je je daaraan vasthouden als ‘schrikreactie’.
Cursusaanbod
www.tetrixbedrijfsopleidingen.nl,
www.edunoord.nl, www.roizwn.nl
Er zijn veel cursussen op het terrein van gelijkstroomnetwerken en
elektrische schakelingen. Ga voor
meer info naar www.otib.nl
NEN3140/NEN-EN 50110
Bedrijfsinstallaties
Voor wie? Onderhoudsfunctionaris, installateur, electrotechnicus en medewerkers
technische dienst
Waar? www.technotrans.nl, www.booa.nl,
www.eselektro.nl, www.rovc.nl,
www.pilz.nl
Basiskennis elektrotechniek
Voor wie? Elektromonteur, vmbo opleidingsniveau en medewerkers van elektrotechnische (installatie)bedrijven
Waar? www.roi-brabant.nl, www.cursusloket.nl, www.vakopleidingtechniek.nl,
www.SBKadvies.nl, www.mikrocentrum.nl,
www.bouwradius.nl, www.cbt-trainingen.nl, www.elsevieropleidingen.nl,
16 6
opfris laag-
Hoogspanning
Voor wie? Servicemonteurs, engineers,
installatieverantwoordelijken en inspecteurs
Waar? www.elsevieropleidingen.nl
spanningsinstallaties
Voor wie? Monteur, vakbekwaam persoon,
bevoegd persoon en technicus
Waar? www.cursusloket.nl, www.bouwradius.nl, www.argus.nl, www.mikrocentrum.nl, www.edunoord.nl, www.rovc.nl,
www.rockopnh.nl, www.kenteq.nl,
www.vanderheide.nl
Onderhoud, storingen en metingen
aan sterkstroominstallaties
Voor wie? Monteur op monteur sterkstroom installatiesniveau
Waar? www.cursusloket.nl,
www.kenteq.nl
NEN 1010
voor monteurs
Voor wie? Uitvoerende monteurs
Waar? www.cursusloket.nl,
www.SBKadvies.nl, www.elektrowerk.nl,
www.ponsioen.biz
Inspectie
laagspanningsinstallaties
NEN 3140/NEN-EN 50110
Voor wie? Leidinggevende, hoofd technische dienst, inspecteur laagspanning en
installatieverantwoordelijke
Waar? www.elektroraad.nl,
www.kenteq.nl, www.vanderheide.nl
Elektrisch schakelen
Voor wie? Werktuigbouwkundigen, operators, machinisten, sales engineers en
onderhoudstechnicus
Waar? www.rovc.nl, www.gilde-bt.nl,
www.edunoord.nl, www.cursusloket.nl
Elektrisch schakelen, gevorderd
Voor wie? Servicetechnicus, technicus,
servicemonteur en onderhoudsmonteur
Waar? www.roccontract.nl, www.elsevieropleidingen.nl