Formularium Wiskunde 1 Transcendente functies

Formularium Wiskunde
Te gebruiken bij examen Inleiding tot de Hogere Wiskunde
1
1.1
Transcendente functies
Goniometrische functies
tan x = tg x =
sin x
cos x
cot x = cotg x =
cos x
sin x
cosec x =
1
sin x
sin p + sin q = 2 sin( 12 (p + q)) cos( 12 (p − q))
sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b
tan a ± tan b
tan(a ± b) =
1 ∓ tan a tan b
sin2 x + cos2 x = 1
cos p + cos q = 2 cos( 12 (p + q)) cos( 12 (p − q))
sin p − sin q = 2 cos( 12 (p + q)) sin( 12 (p − q))
cos p − cos q = −2 sin( 12 (p + q)) sin( 12 (p − q))
sin(2x) = 2 sin x cos x
2 cos2 (x) = 1 + cos(2x)
dom bgsin = [−1, 1]
1.3
1
cos x
cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b
cos(2x) = cos2 x − sin2 x
1.2
sec x =
2 sin2 (x) = 1 − cos(2x)
dom bgcos = [−1, 1]
dom bgtan = R
Exponentiële functie en Logaritme
ex+y = ex ey
ln(xy) = ln x + ln y
ex−y = ex /ey
exy = (ex )y
ln(xy ) = y ln x
ax = ex ln a
ln(x/y) = ln x − ln y
ln x
log a x =
ln a
Hyperbolische functies
ex − e−x
2
ex + e−x
cosh x =
2 x
sinh x
e − e−x
tanh x =
= x
cosh x
e + e−x
sinh x =
cosh2 x − sinh2 x = 1
p
bgsinh x = ln(x + x2 + 1)
p
p
bgcosh x = bgsinh ( x2 − 1) = ln(x + x2 − 1)
1 1+x
bgtanh x = ln
2 1−x
1
2
2.1
Differentiaalrekening
Rekenregels
df
f (x + h) − f (x)
= lim
dx h→0
h
Definitie: Df (x) = f 0 (x) =
0
0
(f ± g) = f ± g
0
0
(f g) = f g + f g
Kettingregel: (f ◦ g)0 (x) = f 0 (g(x))g 0 (x)
0
Afgeleide van inverse functie: f −1 (x) =
2.2
0
f
f 0g − f g0
=
g
g2
1
f 0 (f −1 (x))
y = f (x)
dy/dx = f 0 (x)
y = f (x)
dy/dx = f 0 (x)
axn
anxn−1
a
0
ax
ax ln a
1
x ln a
ex
ex
1
x
sin x
ln x
cos x
1
= 1 + tan2 x
cos2 x
sec x tan x
tan x
sec x
sinh x
cos x
cot x
cosec x
cosh x
1
cosh2 x
−1
√
1 − x2
tanh x
bgcos x
3.1
0
Overzicht van afgeleiden
log a x
3
0
− sin x
1
− 2 = −1 − cot2 x
sin x
−cosec x cotg x
cosh x
bgsin x
bgtan x
Integraalrekening
Rekenregels
Als f continu is en
F0
= f , dan
Zb
a
Substitutieregel:
Zb
a
Partiële integratie:
f (x)dx = F (b) − F (a)
f (b)
Z
g(f (x))f 0 (x)dx =
g(u)du
f (a)
Z
0
f (x)g (x)dx = f (x)g(x) −
2
Z
f 0 (x)g(x)dx
sinh x
1
√
1 − x2
1
1 + x2
3.2
Overzicht van integralen
y = f (x)
R
y = f (x)
f (x)dx
f (x)dx
axn
a(n + 1)−1 xn+1 + C
sin x
− cos x + C
1
x
ln |x| + C
cos x
sin x + C
ex
ex + C
tan x
− ln | cos x| + C
sec x
ln |sec x + tan x| + C
cosec x
ln | tan( 12 x)| + C
x ln x − x + C
sinh x
cosh x + C
(1/a)bgtan (x/a) + C
cosh x
sinh x + C
p
ln |x + a2 + x2 | + C2
bgsin x
xbgsin x +
1
ln |(a + x)/(a − x)| + C
2a
bgcos x
xbgcos x −
bgsin (x/a) + C
bgtan x
ax
+C
ln a
x ln x − x
+C
ln a
ax
loga x
ln x
1
a2 + x 2
1
√
2
a + x2
1
2
a − x2
1
√
2
a − x2
3.3
R
xbgtan x −
1
2
p
1 − x2 + C
p
1 − x2 + C
ln(1 + x2 ) + C
Goniometrische integralen
De integraal
Z
R(cos x, sin x)dx met R(x, y) een rationale functie wordt herleid tot een inte-
graal van een rationale functie door middel van de substitutie
1
t = tan( x)
2
dx =
2dt
1 + t2
De in de tabel aangegeven substitutie leidt
en sin x:
Z
p
R(x, x2 + 1)dx
Z
p
R(x, 1 − x2 )dx
Z
p
R(x, x2 − 1)dx
3.4
Z
1
0
cos(x) =
1 − t2
1 + t2
sin(x) =
2t
1 + t2
tot een integraal van een rationale functie in cos x
dθ
cos2 θ
x = tan θ
dx =
x = sin θ
dx = cos θdθ
x=
1
cos θ
Oneigenlijke integraal
1
dx convergeert als p < 1 en divergeert als p ≥ 1
xp
3
dx =
sin θ
dθ
cos2 θ
Z
∞
1
3.5
1
dx convergeert als p > 1 en divergeert als p ≤ 1
xp
Lengte, oppervlakte en volume
De lengte van een kromme K is gegeven door:
Z bp
1 + (f 0 (x))2 dx
als K : y = f (x),
a
Z bp
[f 0 (t)]2 + [g 0 (t)]2 dt
a
Z βp
r(θ)2 + [r 0 (θ)]2 dθ
a≤x≤b
als K : x = f (t), y = g(t),
als K : r = r(θ),
a≤t≤b
α≤θ≤β
α
De oppervlakte S van een deel van het vlak ingesloten door de kromme r = f (θ) en stralen
θ = a en θ = b is
Zb
1
S=
[f (θ)]2 dθ.
2
a
De oppervlakte S en het volume V van het omwentelingslichaam dat ontstaat door y = f (x),
a ≤ x ≤ b te wentelen rond de x-as zijn
S = 2π
Z
b
a
4
p
f (x) 1 + (f 0 (x))2 dx
V =π
Z
b
f 2 (x) dx
a
Complexe getallen
Cartesische voorstelling: z = a + bi ∈ C met a = Re z ∈ R en b = Im z ∈ R
Poolvoorstelling: z = reiθ = r(cos θ + i sin θ) met absolute waarde r = |z| =
argument θ = arg z, tan θ = b/a
p
a2 + b2 en
Complex toegevoegde: z = a − bi = re−iθ = r(cos θ − i sin θ)
Verband tussen goniometrische functies en complexe e-macht:
sin x =
1 ix
(e − e−ix )
2i
1
cos x = (eix + e−ix )
2
ex+iy = ex (cos y + i sin y)
Rekenregels:
(a + bi) ± (c + di) = a ± c + i(b ± d)
(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + i(ad + bc)
a + bi
(ac + bd) + i(bc − ad)
=
c + di
c2 + d 2
4
(r 1 eiθ1 )(r2 eiθ2 ) = (r1 r2 )ei(θ1 +θ2 )
r1 eiθ1
r1 i(θ1 −θ2 )
=
e
iθ
r2 e 2
r2
5
Reeksen
5.1
Speciale reeksen
n
Binomium van Newton: (x + y) =
n X
n
k=0
Meetkundige reeks:
n
X
k=0
k
k=0
n
X
k=1
Als
x
∞
X
1 − r n+1
1
r =
rk =
, en voor |r| < 1:
1−r
1−r
Twee bijzondere reeksen:
5.2
k
n
n!
y , waarin
=
k
k!(n − k)!
n−k k
1
k = n(n + 1) en
2
n
X
k2 =
k=1
1
n(n + 1)(2n + 1)
6
Convergentiekenmerken
P
n
|un | convergeert, convergeert
Als lim un 6= 0 divergeert
n→∞
P
n
un .
P
n
un ook.
Een alternerende reeks waarvan de termen in absolute waarde monotoon tot 0 naderen is
convergent (Leibniz).
R∞
P
Als f dalend is en 1 f (x)dx < ∞ dan convergeert
f (n).
n
∞
X
1
is convergent als p > 1 en divergent als p ≤ 1.
np
n=1
P
P
vn convergeert, dan convergeert
un ook.
Als 0 ≤ un ≤ Cvn met C > 0, en
De reeks
n
n
p
un+1 n
, dan is P un
Wanneer L gegeven wordt door L = lim
|un | of door L = lim n→∞
n→∞ un n
divergent als L > 1 en convergent als L < 1.
5.3
Machtreeksen
p
cn 1
n
, dan is ρ de converWanneer ρ gegeven wordt door = lim
|cn | of door ρ = lim n→∞ cn+1 ρ n→∞
P
gentiestraal van
cn xn .
n
Voorbeelden van machtreeksen
ex =
∞
X
1 k
x
k!
sin x =
k=0
5.4
∞
X
(−1)k
x2k+1
(2k + 1)!
k=0
cos x =
∞
X
(−1)k
k=0
(2k)!
x2k .
Taylorreeksen
Formule van Taylor:
f (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) +
f 00 (a)
f (n) (a)
(x − a)2 + · · · +
(x − a)n + Rn+1 (x)
2!
n!
5
x
(x − t)n (n+1)
f
(t)dt
n!
a
|x − a|n+1
max |f (n+1) (t)| waarbij het maximum genomen wordt
Afschatting: |Rn+1 (x)| ≤
(n + 1)!
voor t tussen a en x
∞
X
f (k) (a)
(x − a)k
Taylorreeks:
k!
k=0
Voorbeelden
Restterm: Rn+1 (x) =
∞
X
ln(1 + x) =
n=1
∞
X
bgtan x =
(1 + x)
s
Z
(−1)n−1
(−1)n
n=0
∞ X
=
n=0
6
x2n+1
2n + 1
s n
x
n
als x ∈ ] − 1, 1]
als x ∈ [−1, 1]
s
s(s − 1) · · · (s − n + 1)
als x ∈ ] − 1, 1[ waarin
=
n
n!
Functies van meer veranderlijken
6.1
Norm:
Vectoren
k~xk =
Scalair product:
Cauchy Schwarz:
6.2
xn
n
n
X
x2i
i=1
!1/2
~x · ~y =
n
X
i=1
xi yi = k~xk k~y k cos θ met θ de hoek tussen ~x en ~y
|~x · ~y | ≤ k~xk k~y k
Vectorfunctie
Vectorfunctie ~c : I ⊂ R → Rn : t 7→ ~c(t) = (c1 (t), c2 (t), . . . , cn (t))
Afgeleide vectorfunctie (vectoriële snelheid): v(t) = ~c 0 (t) = (c01 (t), c02 (t), . . . , c0n (t))
Lengte van kromme geparametriseerd door ~c : [a, b] → R n :
Z b
Z b
1/2
0
L=
k~c (t)kdt =
c01 (t)2 + · · · c0n (t)2
dt
a
6.3
a
Afgeleiden
Partiële afgeleiden naar xk :
∂f
(~x) =
∂xk
Gradiënt van f :
f (x1 , . . . , xk−1 , xk + h, xk+1 , . . . , xn ) − f (x1 , . . . , xn )
h→0
h
f (~x + h~ek ) − f (~x)
= lim
h→0
h
∂f
∂f
grad f = ∇f =
,...,
∂x1
∂xn
lim
6
Richtingsafgeleide in richting ~a 6= 0:
~a
k~ak
D~a f = grad f ·
d
(f ◦ ~c)(t) = grad f (~c(t)) · ~c0 (t)
dt
Raakvlak aan niveauoppervlak van f door p
~: (~x − p~) · grad f (~
p) = 0
Kettingregel:
Raakvlak aan grafiek van f in (~
p, f (~
p):
6.4
x n+1 = f (~
p) + (~x − p~) · grad f (~
p)
Extrema
Een continue functie f bereikt op een gesloten en begrensd deel S van R n een globaal maximum en een globaal minimum.
Kandidaten voor extrema:
1. Punten waar f niet differentieerbaar is,
2. Punten waar grad f = 0,
3. Punten van de rand van S.
Hessiaan van f :
H=
∂2f
∂xi ∂xj
.
i,j=1,...,n
Extremum van f onder nevenvoorwaarde h = 0 kan gevonden worden als kritiek punt van
L(x1 , . . . , xn , λ) = f (x1 , . . . , xn ) − λh(x1 , . . . , xn )
met Lagrange multiplicator λ.
6.5
Meervoudige integralen
Als D = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, φ1 (x) ≤ y ≤ φ2 (x)}, dan
Z "Z
ZZ
φ1 (x)
#
Als D = {(x, y) | c ≤ y ≤ d, ψ1 (y) ≤ x ≤ ψ2 (y)}, dan
ZZ
Z "Z
#
b
φ2 (x)
f (x, y)dxdy =
a
D
d
f (x, y)dy dx
ψ2 (x)
f (x, y)dxdy =
c
D
Oppervlakte van D ⊂
R2 :
ZZ
f (x, y)dx dy
ψ1 (x)
dxdy
D
Als D = {(x, y, z) | a ≤ x ≤ b, φ1 (x) ≤ y ≤ φ2 (x), ψ1 (x, y) ≤ z ≤ ψ2 (x, y)}, dan
"Z
# #
Z ZZ
Z "Z
b
φ2 (x)
ψ2 (x,y)
f (x, y, z)dxdydz =
D
f (x, y, z)dz dy dx
a
φ1 (x)
7
ψ1 (x,y)
Volume van D ⊂ R3 :
ZZ Z
dxdydz
D
Transformatie (u, v) ∈ D 0 7→ (x, y) = (x(u, v), y(u, v)) ∈ D
ZZ
ZZ
f (x, y)dxdy =
f (x(u, v), y(u, v)) |J(u, v)| dudv
D
D0
met Jacobiaan:
J(u, v) = det
∂(x, y)
∂(u, v)
Poolcoördinaten (x, y) = (r cos θ, r sin θ):
7
7.1
Als
7.2

= det 
∂x
∂u
∂y
∂u
J(r, θ) = r
∂x
∂v
∂y
∂v


Differentiaalvergelijkingen
Scheiding van veranderlijken
dx
= f (x)g(t), dan
dt
Z
1
dx =
f (x)
Z
g(t) dt + C.
Lineaire eerste orde differentiaalvergelijking
x0 (t) + a(t)x(t) = f (t) heeft oplossing x(t) = x P (t) + xH (t) = u(t)v(t) + Cu(t) met
Z
Z
f (t)
dt
u(t) = exp − a(t)dt
en v(t) =
u(t)
7.3
Tweede orde lineare differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten
Homogene vergelijking:
ax00 (t) + bx0 (t) + cx(t) = 0
Karakteristieke vergelijking:
aλ 2 + bλ + c = 0 met oplossingen λ1 en λ2
Als λ1 , λ2 ∈ R, dan xH (t) = Aeλ1 t + Beλ2 t
Als λ1 = λ2 ∈ R, dan xH (t) = (A + Bt)eλ1 t
Als λ1,2 = µ ± iω 6∈ R, dan xH (t) = eµt (A cos(ωt) + B sin(ωt))
Niet-homogene vergelijking:
ax00 (t) + bx0 (t) + cx(t) = f (t)
Oplossing: x(t) = xH (t) + xP (t)
Particuliere oplossing xP (t) proberen aan de hand van tabel
8
Rechterlid f (t)
Probeer xP (t)
Veelterm van graad n
c0 tn + c1 tn−1 + · · · + cn
eµt
Ceµt
cos(ωt) of sin(ωt)
A cos(ωt) + B sin(ωt)
tn eµt
(c0 tn + c1 tn−1 + · · · + cn )eµt
tn cos(ωt) of tn sin(ωt)
eµt cos(ωt) of eµt sin(ωt)
(a0 tn + a1 tn−1 + · · · + an ) cos(ωt)
+(b0 tn + b1 tn−1 + · · · + bn ) sin(ωt)
Aeµt cos(ωt) + Beµt sin(ωt)
9