17-3-art.vHaastrecht Plat

professie en praktijk
DOOR ALEXANDER VAN HAASTRECHT EN RICHARD PLAT
E E N A LT E R N AT I E F P R I C I N G M O D E L V O O R I N F L AT I E
Binnen pensioenregelingen en verzekeringsproducten bestaan embedded opties die afhankelijk zijn van inflatie. Bekende
inflatiemodellen voor het prijzen van deze opties hebben nadelen. Daarom brengen Alexander van Haastrecht en Richard Plat in dit
artikel een alternatief inflatiemodel voor pricing onder de aandacht waarbij deze nadelen worden voorkomen.
ACHTERGROND
Marktwaardering van verzekeringsverplichtingen is de
belangrijkste bouwsteen van IFRS 4 Fase 2 en Solvency
2. Daarom is er reeds veel aandacht besteed aan waardering van embedded opties die afhankelijk zijn van
rentes, aandelen of een combinatie van beiden. Er zijn
echter ook embedded opties die afhankelijk zijn van inflatie, bijvoorbeeld in pensioenregelingen en arbeidsongeschiktheidsproducten.
Een belangrijk aspect bij waardering van embedded opties is de vraag of er een volwassen markt is voor de
onderliggende variabele. Het laatste decennium heeft
de markt voor inflatieproducten zich sterk ontwikkeld.
Er bestaat een liquide markt voor (zero coupon) inflatie
1
swaps op basis van de Europese HICP index. Ook worden er caps en floors op inflatie verhandeld. Dit geeft
dus mogelijkheden om een inflatiemodel voor pricing te
kalibreren aan marktgegevens.
Drs. A. van Haastrecht (boven) en
drs. H.J. Plat AAG RBA zijn
respectievelijk werkzaam bij Delta
Lloyd en Eureko / Achmea Holding.
Dit artikel is op persoonlijke titel
geschreven.
1 Harmonized Index of Consumer
In de volgende paragraaf wordt eerst ingegaan op de
meest bekende inflatiemodellen en de nadelen hiervan.
Daarna wordt in paragraaf 3 een alternatief model beschreven die praktische voordelen heeft ten opzichte
van de andere modellen. In paragraaf 4 wordt de kalibratie van het model behandeld en in paragraaf 5
wordt het model toegepast op een inflatie optie die
veelal in collectief pensioencontracten voorkomt. Paragraaf 6 besluit met conclusies.
Prices ex-tobacco.
BESTAANDE MODELLEN
2 De volledige referenties kunnen
bij de auteurs worden opgevraagd
via [email protected] of alexander_
[email protected].
3 In verdeling gelijk aan een
Het bekendste marktconsistente inflatiemodel is dat van
2
Jarrow en Yildirim (2003) . Dit model is gebaseerd op
een foreign exchange gedachte tussen de nominale
economie en de reële economie, waarbij de inflatieindex I(t) gezien wordt als de exchange rate tussen de
economieën. Dit levert het volgende model op:
trekking uit een normale verdeling
met verwachting nul en standaard
(1)
devatie de wortel van de tijdstap.
4 Vergelijkbaar met bijvoorbeeld
het Libor Market Model of Swap
Market Model voor rentes.
44
DE AC TUAR IS
JANUARI 2010
waarbij de nominale rente n(t) en de reële rente r(t)
eenzelfde mean reverting proces volgen als het model
van Hull en White (1993) voor rentes en de inflatie
index lognormaal verdeeld is. De ontwikkeling van de
inflatie index is gebaseerd op het verschil tussen de nominale en reële rente en omvat daarnaast nog een additionele bron van onzekerheid. De θ’s zorgen voor
aansluiting met de inflatie swap curve (zie ook paragraaf 4), de σ’s, ρ’s en α’s zijn respectievelijk de volatiliteiten, correlaties en mean reversion parameters van
de processen en de W(t)’s zijn gecorreleerde ‘Brownian
3
Motions’ .
Het bovenstaande model is een populair inflatiemodel,
met name omdat de modellering lijkt op modellen die
bij bedrijven vaak al beschikbaar zijn voor rentes of
hybride opties. Ook zijn er analytische mogelijkheden
waardoor bijvoorbeeld prijzen van verschillende swaps
en caps / floors analytisch bepaald kunnen worden, gegeven dat de rente ook een (stochastisch) Hull-White
proces volgt. Echter, een groot nadeel van het model is
dat er voor het gebruik van het model variabelen moeten worden geschat die niet direct observeerbaar zijn in
de markt, zoals de correlatie tussen de inflatie-index en
de reële rente, de correlatie tussen de nominale rente
en de reële rente en de volatiliteit van de reële rente.
Verschillende schattingen hiervoor kunnen leiden tot
geheel verschillende prijzen voor embedded opties.
Naast bovenstaand model is er ook een stroming met
4
zogenaamde forward markt modellen , zie Kazziha
(1999), Belgrade, Benhamou en Koehler (2004) en
Mercurio (2005). Hierbij wordt het forward level F(t,Ti)
van de inflatie index voor looptijden Ti gemodelleerd
als:
(2)
Jäckel en Bonneton (2009) hebben geconcludeerd dat
het nadeel van dit model is dat het onrealistische dynamieken van de forward inflatie oplevert, tenzij complexe wijzigingen in de correlatie- en volatiteitsprocessen worden toegevoegd.
Om bovenstaande nadelen te voorkomen is er dus behoefte aan een relatief eenvoudig model waarbij geen
parameters voor de reële rente hoeven worden te geschat en dat realistische dynamieken oplevert.
professie en praktijk
E E N A LT E R N AT I E F I N F L AT I E M O D E L
Om de nadelen van het Jarrow en Yildirim (2003) model
te voorkomen, is een vereenvoudiging voorgesteld door
Dodgson en Kainth (2006), Plat (2008) en Jäckel en
Bonneton (2009). Door direct de inflatie te modelleren
wordt in deze modellen vermeden dat de niet observeerbare correlaties en volatiliteit geschat moeten worden.
In dit model wordt het proces voor de inflatie i(t) en
inflatie-index I(t) als volgt beschreven:
(3)
Ten opzichte van het Jarrow-Yildirim model heeft dit
model het voordeel dat er geen niet-observeerbare
grootheden geschat moeten worden. Bovendien is het
model eenvoudig uit te breiden met meer factoren en is
er voldoende flexibiliteit om een gewenste autocorrelatie structuur te verkrijgen. Verder zijn de analytische
mogelijkheden groot doordat het model relatief eenvoudig is. Dit laatste komt vooral van pas wanneer het
model gekalibreerd moet worden aan de markt. Ten
slotte vermelden we dat het model ook gecombineerd
kan worden met een (stochastisch) Hull-White model
voor rentes, wat bijvoorbeeld gebruikt kan worden voor
het prijzen van embedded opties met niet-standaard
uitbetalingdata, of binnen een ALM context.
Enige nadeel van het model is dat het moeilijk gefit kan
worden aan de zogenaamde volatility smile. De volatility smile is het marktfenomeen dat de implied volatility
verschilt bij verschillende niveaus van de strike. Dit nadeel geldt echter ook voor de andere beschreven modellen.
K A L I B R AT I E VA N H E T M O D E L
In een marktconsistente omgeving is kalibratie aan
marktgegevens uiteraard een belangrijk onderdeel van
het model. Het model kan bijvoorbeeld gekalibreerd
worden aan (zero coupon en/of year-on-year) inflatie
swaps en inflatie caps / floors.
T
component (1+K) te ruilen voor een variabele component I(T)/I(0), waarbij K de inflatie swap rate is die uit
de markt gehaald kan worden. Dit levert een (zero) inflatie swap curve op, vergelijkbaar met de rente swap
curve.
De variabele θi(t) in (3) kan zo vastgesteld worden dat
het model precies aansluit bij deze inflatie swap curve.
Een inflatie cap bestaat uit een serie van inflatie caplets. Een inflatie caplet geeft een uitkering op tijdstip
Ti gelijk aan Max[ I(Ti)/I(Ti-1) – (1+ K), 0 ]. Samen met de
inflatie floor is dit de meest liquide optie, die derhalve
gebruikt kan worden in de kalibratie. Er zijn relatief
eenvoudige analytische formules beschikbaar voor de
prijzen van vanilla inflatie caps en floors (zie bijvoorbeeld Dodgson en Kainth (2006)). De variabelen ai en si
kunnen vervolgens zo bepaald worden (bijvoorbeeld
met de solver in Excel) dat deze theoretische prijzen
aansluiten bij de prijzen uit de markt.
In model (3) wordt de autocorrelatie gedreven door de
parameter ai. Voor de waardering van bepaalde embedded opties kan de autocorrelatiestructuur een significante impact hebben op de prijs. In dat geval zou de
variabele ai eventueel ook gefit kunnen worden aan
year-on-year swaps, die informatie bevatten over de
autocorrelatie van inflatie. Bij een year-on-year inflatie
swap op t=0 met looptijd T spreken 2 partijen af om op
vooraf gespecificeerde tijdstippen Ti < T een vaste
component K te ruilen voor een variabele component
I(Ti)/I(Ti-1) -1.
PRAKTIJK VOORBEELD
Een voorbeeld van een inflatie optie is bijvoorbeeld te
vinden in collectieve pensioencontracten. Daar wordt
vaak indexatie ingekocht op basis van de Europese HICP
index of de Nederlandse CPI. Omdat het niet wenselijk
wordt geacht dat pensioenen gekort worden in tijden
van deflatie, wordt de indexatie geminimaliseerd op 0.
Dat betekent dat er voor de verzekeraar een verlies ontstaat in tijden van deflatie.
Er worden veelal 2 varianten aangeboden van deze
‘deflatie-optie’:
Bij een (zero coupon) inflatie swap op t=0 met looptijd
T spreken twee partijen af om op tijdstip T een vaste
➤
DE AC TUAR IS
JANUARI 2010
45
professie en praktijk
Variant A: Uitkeringen worden niet gekort in geval de
prijsindex daalt, echter er wordt pas weer geïndexeerd
als de prijsindex boven het oude niveau uitkomt.
Variant B: Ieder jaar wordt met de dan geldende inflatie
geïndexeerd, welke gelijk aan 0 wordt gesteld in geval
van deflatie
In tabel 1 is een voorbeeld gegeven van de werking van
deze 2 varianten.
T A B E L 1 voorbeeld werking indexatievariant A en variant B
jaar
HICP
Inflatie
Variant A
1
2
3
4
5
103
101
102
105
108
3.00%
-1.94%
0.99%
2.94%
2.86%
103
103
103
105
108
Indexatie Variant B
3.00%
0.00%
0.00%
1.94%
2.86%
103
103
104
107
110
CONCLUSIE
Bekende modellen voor het prijzen van inflatieopties
hebben nadelen. In dit artikel is een alternatief inflatiemodel onder de aandacht gebracht. Dit model
behoeft geen schattingen van niet-observeerbare
grootheden, kan relatief eenvoudig uitgebreid worden met meerdere factoren, geeft flexibiliteit ten
aanzien van de autocorrelatiestructuur en leidt tot
relatief eenvoudige kalibratieformules. Het model kan
bijvoorbeeld gebruikt worden voor de pricing en ALM
van collectieve pensioenregelingen die afhankelijk
zijn van de toekomstige inflatie.
Indexatie
3.00%
0.00%
0.99%
2.94%
2.86%
Beide varianten zijn langdurige, padsafhankelijke embedded opties. De prijs van deze deflatie-opties kan
berekend worden met Monte Carlo Simulatie van het
model (3).
In figuur 1 zijn de prijzen van de deflatie-opties voor
een aanspraak in een bepaald jaar weergegeven, als
percentage van de nominale koopsom behorende bij
die aanspraak.
F I G U U R 1 prijs voor deflatie-optie als % van nominale koopsommen
Prijs voor bescherming tegen deflatie in percentage
van nominale koopsommen
25%
Variant A
20%
Variant B
15%
10%
5%
0%
5
10
15
20
25
30
jaar
De figuur laat zien dat er een significant verschil in
waarde is tussen de beide deflatie-opties, vooral op de
langere termijn. Hoewel de twee varianten op het oog
niet veel van elkaar verschillen, heeft het kiezen voor
een bepaalde variant in termen van waarde derhalve
wel degelijk impact.
■
46
DE AC TUAR IS
JANUARI 2010