Lesgeheel 5

Meetkunde
5 Eigenschappen van driehoeken
M27 De basishoeken in een gelijkbenige driehoek
306
M28 Een buitenhoek van een driehoek (U)
312
M29 Constructie en classificatie van driehoeken
319
M30 De driehoeksongelijkheid
327
M31 Bewijs: de eigenschap van de basishoeken in een gelijkbenige driehoek
331
305
Titelbasishoeken in een gelijkbenige driehoek
M27
1 De
872 B
•
•
Bereken telkens de ontbrekende grootten van de hoeken in de gelijkbenige driehoek ABC. Hoek A is
de tophoek.
A
Maak eerst een schets.
1
2
3
4
873 B
•
•
|A|
|B|
|C|
52°
64°
110°
46°
35°
64°
35°
140°
67°
20°
67°
20°
C
B
Bereken telkens de ontbrekende grootten van de hoeken in de gelijkbenige driehoek DEF.
Hoek E is de tophoek.
Maak eerst een schets.
E
1
2
3
4
|D|
|E|
|F|
24°
132°
17°
75°
146°
24°
17°
95°
75°
30°
onmogelijk onmogelijk
D
F
Tijdens de opstelling van een tentoonstelling zijn de stukken van een archeologische vondst door
elkaar gehaald. Kun jij de stukken terug op het symmetrische sjabloon leggen? Opgelet! Niet alle
puzzelstukjes zijn volledig, soms ontbreekt een hoekje.
874 B
90°
60°
60°
80°
60°
30°
60°
40°
40°
80°
30°
875 U(V*)•
•
I
H
306
40°
Bereken telkens de ontbrekende grootten van de hoeken in de gelijkbenige driehoek GHI. De hoek I
is de tophoek.
Maak eerst een schets.
1
2
3
4
|G|
|H|
|I|
55° 10'
55° 10'
25° 25'
10° 15' 22"
60° 15' 8"
25° 25'
69° 40'
129° 10'
10° 15' 22"
159° 29' 16''
60° 15' 8''
59° 29' 44"
G
M27
60°
80°
30°
De basishoeken in een gelijkbenige driehoek
876 B
•
Bereken | H | en | I | in de gelijkbenige driehoek GHI als | G | = 122°. G is de tophoek.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
180° – 122°
|H| = | I | = B
= 29°
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
877 B
•
•
Bereken | J | en | K | in de gelijkbenige driehoek JKL als | L | = 48°.
Bespreek alle mogelijkheden.
Oplossing 1 L is de top.
180° – 48°
| | . . . . . .|. . K
| . . . . .B
. . . .J. . . . . . =
. . . . . . . .=
.............................
. .=
. . . . . 66°
. . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
2
.Oplossing
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
. . . . . . . . . . . . .L
. . . . . is
. . . . . .een
. . . . . . . . . . . .basishoek.
. . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
| L | = | K | = 48° en | J | = 180° – 48° – 48° = 84° . . . . . . . . . . . . . . .
.als
. . . . . . . . .K
. . . . . .de
. . . . . . . .andere
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .basishoek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .is
. . . . . . ......................................................................................................................................
| L | = | J | = 48° en | K | = 180° – 48° – 48° = 84° . . . . . . . . . . . . . . .
.als
. . . . . . . . . .J
. . . . .de
. . . . . . . .andere
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .basishoek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .is
. . . . . . ......................................................................................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
878 V*
Bereken de hoeken in de gelijkbenige driehoek ABC met A als top.
| A | = 4| B |.
1 | A | + | B | + | C | = 180°
(eig. som van de hoeken in een driehoek)
|
|
|
⇓ B = C | (eig. basishoeken in een gelijkbenige driehoek)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .|. .A
. . . . .|. . +
. . . . . .|. . B
. . . . . |. . .+
. . . . . .|. .B
. . . . .|. . . . .=
. . . . . ......................................................................................................................................
...............
180°
|
|
|
|
⇓ A =4 B
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
|
|
|
|
|
|
4 B + B + B = 180°
| . . . . .|. . . . .=. . . . . ......................................................................................................................................
180°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
. . . . . .B
...............
180°
|B| = B
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................
...............
– | B | = 30°
| . . . . . |. . .=
| . . . . .|. . . . .=
30°
(eig. basishoeken in een gelijkbenige driehoek)
.2
..............
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .C
. . . . . . . .B
. . . . . ......................................................................................................................................
...............
|
|
3
A = 180° – 30° – 30° = 120°
(eig. som van de hoeken in een driehoek)
Antwoord: . .|. .A
. . . . .|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .|. . . . . . . .|. . . . . . . .|. . .......................................................................................................................................
...............
= 120° en B = C | = 30°.
Controle: . . . . .120°
. . . . . . . . . . . . .+
. . . . . .30°
. . . . . . . . . . .+
. . . . .30
. . . . . . . . .°. . .=
. . . . . .180°.
. . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
(
879 V*
)
Bereken de hoeken in de gelijkbenige driehoek ABC met A als top.
| A | = 2| B | – 16°.
| | | | | |
(eig. som van de hoeken in een driehoek)
.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A
. . . . . .+
. . . . . .B
. . . . .+
. . . . . .C
. . . . . . . .=
. . . . . . .180°
. . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................
...............
⇓ | B | = | C | eig. basishoeken in een gelijkbenige driehoek
| A | + | B | + | B | = 180°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
⇓ | A | = 2| B | – 16°
|
|
2 B – 16° + B + B = 180°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
4| B | – 16° = 180°
4| B | = 180° + 16°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
4| B | = 196°
196°
|B| = B
= 49°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
. . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
|
|
|
|
C = B = 49°
(eig. basishoeken in een gelijkbenige driehoek)
2
| A | = 180° – 49° – 49° = 82°
3
(eig. som van de hoeken in een driehoek)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .|. . . . .|. . . . . . . . . . . . . . |. . . . . |. . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
OF
A = 2 B – 16° = 2 · 49° – 16° = 82°
(gegeven)
| | = 82° | B | = | C | = 49°.
Antwoord: . . .A
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
+ 2 · 49° = 82° + 98° = 180°.
Controle: . . . . .82°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
De basishoeken in een gelijkbenige driehoek
M27
307
Bereken de hoeken in de gelijkbenige driehoek ABC met A als top.
| B | = 3| A | + 6°
880 V*
| | | | | |
(eig. som van de hoeken in een driehoek)
.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A
. . . . . .+
. . . . . .B
. . . . .+
. . . . . .C
. . . . . . . .=
. . . . . .180°
. . . . . . . . . ......................................................................................................................................
...............
‡ | B | = | C | (eig. basishoeken in een gelijkbenige driehoek)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
| A | + | B | + | B | = 180°
‡ | B | = 3| A | + 6°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .|. .A
. . . |. . +
....3
. . .|. .A
. . . |. . +
. . . . 6°
. . . . .+
. . . .3
. . .|. .A
. . .|. . +
. . . . 6°
. . . . . . . .=
. . . . . .180°
. . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
| |
– 6° – 6°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
. . . . .A
. . . . . . . .=
. . . . . .180°
. . . . . . . . . ......................................................................................................................................
...............
7| A | = 168°
| A | = 168° : 7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
| A | = 24°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .|. .B
. . .|. . . . =
. . . . . . .3. . .·. .24°
. . . . ......................................................................................................................................
...............
+ 6° = 78°
| |
| |
78°
.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .C
. . . . . . . . .=
.......B
. . . . . .=
. . ......................................................................................................................................
...............
| | . . . . .|. C
| . . . . 78°
Antwoord: . .|. .A. . . |. . =
. . . . 24°
. . . . . . . .,. . . .B. . . . .=
. . . . . .=
. . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
Controle: . . . . .24°
. . . . . . . .+
. . . .2. . .·. .78°
. . . . . . . .=
. . . .180°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
881 B
•
•
Teken de gelijkbenige driehoek KLM die aan de
volgende voorwaarden voldoet.
Basis | KM | = 4 cm.
| M | = 52°.
Noteer eerst alle hoekgrootten.
M
76°
|. .K. . . |. . =
driehoek)
. . . . 52°
. . . . . . . .(eig.
. . . . . . . . . .basishoeken
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . in
. . . . .een
. . . . . . . . .gelijkbenige
. . . . . . . . . . ...................................
|. .L. . . |. . =
in een driehoek)
. . . . 180°
..........–
. . . .52°
. . . . . . . .–. . .52°
. . . . . . . .=
. . . .76°
. . . . . . . . .(eig.
. . . . . . . . . som
. . . . . . . . . .hoeken
. . . ...................................
882 B
•
Construeer in de gelijkbenige driehoek ABC met
A als top.
–
–
–
–
•
52°
K
52°
L
A
de middelloodlijn m van de basis
de bissectrice b van de tophoek
de hoogtelijn h uit de top
de zwaartelijn z uit de top
Wat stel je vast?
Ik
rechte.
. . . . . . .construeer
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .vier
. . . . . . . . . . . .keer
. . . . . . . . . . . . .dezelfde
. . . . . . . . . . . . . . . . ...................................
C
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................
B
Het bewijs vind je in oef. 953 tot oef. 956.
883 B
Construeer in een gelijkbenige driehoek ABC met
A als top de middelloodlijn van de basis.
a
De middelloodlijn gaat door A. Verklaar.
A als top:
.In
. . . ..de
. . . . . .gelijkbenige
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .driehoek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .ABC
. . . . . . . . .met
. . . . . ..................................
A
afstand van
. . AC
. . .. . . . . .=
. . . . . AB
. . . . . . . .,. .het
. . . . . . . punt
. . . . . . . . . . .A
. . . .ligt
. . . . . . . .op
. . . . . .gelijke
. . . . . . . . . ..................................
1 2
|
|
|
|
op de mid.de
. . . .. .eindpunten
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . . .de
. . . . . .basis
. . . . . . . . . . . en
. . . . . . .ligt
. . . . . . .dus
..................................
.delloodlijn
. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . . . de
. . . . . . basis.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................
b
C
B
De middelloodlijn verdeelt A in A1 en A2. Meet de
hoeken. Wat stel je vast?
de middelloodlijn van de basis is ook de bissectrice van de tophoek.
.De
. . . .. . hoeken
. . . . . . . . . . . . . . . . .Â
. .1. . .en
. . . . . .Â
. . .2. . zijn
. . . . . . . . .even
. . . . . . . . . .groot,
. . . . . . . . . . . . ..................................
308
M27
De basishoeken in een gelijkbenige driehoek
Sam en Victor werken aan een oefening: ‘Construeer in een gelijkbenige driehoek de bissectrice van
de tophoek.’ Sam merkt op dat de bissectrice die Victor tekende de basis niet in het midden snijdt.
Werd de opdracht goed uitgevoerd? Geef een korte verklaring.
884 B
Neen, in een gelijkbenige driehoek is de bissectrice van de tophoek ook de
van de basis. De basis zou dus in twee gelijke . . . . . . . . . . . . . . .
.middelloodlijn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (de
. . . . . . . . . . zwaartelijn)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................
.delen
. . . . . . . . . . . . . . . . .verdeeld
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .moeten
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .worden.
. . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
fout, ofwel was de driehoek van Victor niet. . . . . . . . . . . . . . .
.Ofwel
. . . . . . . . . . . . . . . . . .is
. . . . . de
. . . . . . . . .constructie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . van
. . . . . . . . . . . . Victor
. . . . ......................................................................................................................................
.gelijkbenig.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
885 B
•
Teken:
–
–
–
•
C(A,3cm)
in het middelpunt A drie even grote middelpuntshoeken (die samen 360° zijn).
noem de snijpunten van de benen van deze hoeken en de cirkel: B, C en D.
Welk soort driehoek is driehoek BCD (indeling volgens de zijden)?
Een
. . . . . . . . . . . .gelijkzijdige
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .driehoek.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
Het bewijs vind je in oefening 965
B
A
D
886 V* •
•
•
C
Teken het zijaanzicht van de piramide van Cheops in Egypte. De basis
van de gelijkbenige driehoek is 440 cubits. De tophoek van de driehoek is
76°.
Teken op schaal 1:5000.
Maak eerst de nodige berekeningen.
= 23 038,4 cm.
.De
. . . . . . basis
. . . . . . . . . . . .van
. . . . . . . . de
. . . . . . driehoek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . is
. . . . 440
. . . . . . . . .·. .52,36
. . . . . . . . . . . .cm
. . ..................................................................................
4,60768
B
1
B
23038,4
5000
5000 = 4,60768 cm.
.schaal
................................
.=
. . . . . . . . . . . . . . .
.of
. . . . .23
. . . . . .038,4
. . . . . . . . . . . .cm
. . . . . . .:. ..................................................................................
Weetje
De oud Egyptenaren gebruikten de
Koninklijke El (Mahe)
als lengtemaat. In het
Engels noemt deze
maat de Royal cubit.
Een cubit is 52,36 cm.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................
C
180° – 76°
B
.De
. . . . . . basishoeken
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .zijn
.............................
.=
. . . . 52°
. . . . . . . . . . . . . ..................................................................................
2
(eig.
basishoeken
in
een
gelijkbenige
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .driehoek).
. . . . . ..................................................................................
A
52°
52°
4,6 cm
B
De basishoeken in een gelijkbenige driehoek
M27
309
ΔABC is gelijkzijdig en ΔCDE is gelijkbenig met tophoek D.
887 B
a
b
Bereken | B2 | en | D2 |.
Noteer je berekeningen en geef een korte verklaring.
D
43° 2
| | = | B | = | C | = 60°
hoeken in een
.a. . . . . . . .A
. . . . . . . . . . . . . .1. . . . . . . . . . . . 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(in
. . . . . .Δ
. . . .ABC:
. . . . . . . . . . .eig.
. . . ........................................................
driehoek).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .gelijkzijdige
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................
| | 70°
basishoeken in
.b
. . . . . . .|.C
. . . .3. .|. =
. . . . . .E. . . . . =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(in
. . . . . .Δ
. . . .DEC:
. . . . . . . . . . .eig.
. . . ........................................................
B
1
2
driehoek).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .een
. . . . . . . . gelijkbenige
. . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................
| |
(in ΔDEC: eig. van de
.c. . . . . . . . .D
. . .2. . . . =
. . . . 180°
. . . . . . . . . .–
. . . .2.70°
. . . . . . . . . . .=
. . . .180°
. . . . . . . . . .–
. . . .140°
. . . . . . . . . .=
. . . .40°
. . . ........................................................
in een driehoek).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .som
. . . . . . . . . .van
. . . . . . . . de
. . . . . . hoeken
........................................................
1
– 70° = 50° (gestrekte hoek).A
.d. . . . . . .|. .C
. . .2. .|. . =
. . . . 180°
. . . . . . . . . .–
. . . .|. .C
. . .1. .|. .–
. . . .|. C
. . . .3. .|. .=
. . . .180°
. . . . . . . . . .–
. . . .60°
. . . . . . ........................................................
| |
2
C
70°
3
E
| |
50° = 87° (in Δ BDC: eig. som van de hoeken in een driehoek).
.e. . . . . . . . .B
. . .2. . . . =
. . . . 180°
. . . . . . . . . .–
. . . .43°
. . . . . . .–
. . . . . .C
. . .2. . . .=
. . . .180°
. . . . . . . . . .–
. . . .43°
. . . . . . .–
. ........................................................
888 V* •
•
Bereken | B | en | D | in de vlieger ABCD.
Noteer je berekeningen en geef telkens een korte verklaring.
[
]
.a. . . . . . .Teken
. . . . . . . . . . . . .diagonaal
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DB
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................
in twee delen).
. . . . . . . .(de
. . . . . . . gezochte
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .hoeken
. . . . . . . . . . . . . . . . worden
. . . . . . . . . . . . . . . . .verdeeld
. . . . . . . . . . . . . ........................................................
180° – 130°
B
.b. . . . . . .|.D
. . . .1. .|. =
. . . . |. .B
. . .1. .|. .=
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .=
. . . .25°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................
A
D
1
130°
2
2
driehoek ABD).
. . . . . . . .(eig.
. . . . . . . . . .basishoeken
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .in
. . . . .een
. . . . . . . . gelijkbenige
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................
180° – 36°
B
.c. . . . . . .|. .D
. . .2. .|. . =
. . . . |. .B
. . .2. .|. .=
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .=
. . . .72°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................
2
driehoek CBD).
. . . . . . . .(eig.
. . . . . . . . . .basishoeken
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .in
. . . . .een
. . . . . . . . gelijkbenige
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................
1
B
2
| | | | | |
van de delen).
.d
. . . . . . . . .D
. . . . . .=
.....D
. . . .1. . . .+
. . . . . .D
. . .2. . . . =
. . . . 25°
. . . . . . . .+
. . . .72°
. . . . . . . .=
. . . .97°
. . . . . . .(som
. . . . ........................................................
| |
| | | |
van de delen).
.e. . . . . . . . .B
. . . . . .=
.....B
. . . .1. . . .+
. . . . . .B
. . .2. . . . =
. . . . 25°
. . . . . . . .+
. . . .72°
. . . . . . . .=
. . . .97°
. . . . . . .(som
. . . . ........................................................
36°
mogelijk.
. . . . . . . .Er
. . . . .zijn
. . . . . . . .nog
. . . . . . . . . andere
. . . . . . . . . . . . . . . .oplossingsmethoden
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................
C
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................
889 B
•
•
•
Juist of fout?
Verklaar telkens je antwoord.
Teken een tegenvoorbeeld bij de foute uitspraken.
a
b
A
Als de drie hoeken in een driehoek even groot zijn, dan is de
driehoek gelijkzijdig.
Juist,
in een gelijkzijdige driehoek.
. . . . .. . . . . . .dit
. . . . . .is
. . . .een
. . . . . . . . eigenschap
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . . . .de
. . . . . .hoeken
. .........................................................
Een gelijkzijdige driehoek heeft enkel scherpe hoeken.
C
B
Juist,
. . . . .. . . . . . . . . . .alle
. . . . . . . . . . . hoeken
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .zijn
. . . . . . . . . . .60°.
. . . . . . . . . . .........................................................
c
Een gelijkbenige driehoek is nooit stomphoekig.
C
F
Fout,
stompe hoek zijn.
. . . . .. . . . . . . . . . .de
. . . . . . . . tophoek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kan
. . . . . . . . . . . . een
. . . . . . . . . . .........................................................
d
Een rechthoekige driehoek kan nooit gelijkzijdig zijn.
Juist,
drie even grote hoeken (60°)
. . . . .. . . . . . .een
. . . . . . . .gelijkzijdige
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . driehoek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .heeft
. . . . . . .........................................................
en kan geen rechte hoek hebben.
890 B
Twee gelijkbenige driehoeken zijn congruent als een
opstaande zijde van de ene driehoek even lang is als een
opstaande zijde van de andere driehoek en als de tophoeken even groot zijn.
a
Juist of fout? Geef een korte verklaring.
Juist.
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................... B
Beide opstaande zijden zijn dan even lang. Kenmerk ZHZ.
310
M27
De basishoeken in een gelijkbenige driehoek
A E
D
OF
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................................
180° – tophoek
.
De basishoeken zijn dan ook bepaald: de basishoeken zijn BB
2
(want je kent de drie hoeken).
.Het
. . . .. . . . . .kenmerk
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .is
. . . . .dan
. . . . . . . . . . .HZH
. . . . . . . . . . . .of
. . . . . .ZHH
. . . . .........................................................
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................................
b
891 V* •
•
Maak een schets.
In een gelijkbenige driehoek staan tegenover even grote hoeken even lange zijden en omgekeerd.
Juist of fout? Geef een verklaring.
Juist. In een gelijkbenige driehoek liggen tegenover de even lange zijden de even
.grote
. . . . . . . . . . . . . . . .basishoeken
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .en
. . . . . . . .omgekeerd.
. . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
liggen tegenover alle even lange zijden even grote
.In
. . . . . . .een
. . . . . . . . . . . gelijkzijdige
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . driehoek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
...............
.hoeken
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (=
. . . . . . . .60°)
. . . . . . . . . . . . en
. . . . . . . . .omgekeerd.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
892 B
a
b
Construeer in een gelijkzijdige driehoek ABC de drie middelloodlijnen.
Wat stel je vast?
De middelloodlijnen snijden elkaar in een punt
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
c
d
Noem het snijpunt van de middelloodlijnen P.
Bereken de hoeken in ΔAPB.
e
| | | |
is gelijkzijdig).
. . .A
. . . . . .=
. . . . . .B. . . . . =
. . . .Ĉ
. . . .=
. . . .60°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (driehoek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ACB
. . . .................................
C
middelloodlijn: | PA | = | PB |
.ΔAPB
. . . . . . . . . . . . is
. . . . gelijkbenig:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .P
. . . .is
. . . .een
. . . . . . . .punt
. . . . . . . . . . .van
. . . . . . . . de
. . . . .................................
d
60°
.⇓
. . . .(eig.
. . . . . . . . . .middelloodlijn)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................
.|. A
. . . .1. .|. .=
. . . .|.B
. . . 1. . |. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................
| | | |
. . .B
. . . 1. . . . =
. . . . . .B
. . . .2. . . . . .want
. . . . . . . . . . .ΔAPB
. . . . . . . . . . . . . . . . ΔBPC
. . . . . . . . . . . . . . . . ΔCPA
. . . . . . . . . . . . (ZZZ)
.................................
| |
| | | |
| |
| | | |
P
f
B
2
1
. . .B
. . . 1. . . . =
. . . . 30°
. . . . . . . . . . . .want
. . . . . . . . . . . . .B
. . . 1. . . . .+
. . . . .B
. . . .2. . . .=
. . . .60°
. . . . . . . . . . . . . . . . . .................................
. . .A
. . . 1. . . . =
. . . . 30°
. . . . . . . . . . . .want
. . . . . . . . . . . . .A
. . . 1. . . . .=
. . . . .B
. . . .1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................
.In
. . . . .ΔAPB
. . . . . . . . . . . . :. . P
. . . . .=
. . . .180°
. . . . . . . . . .–
. . . 30°
. . . . . . . .–
. . . 30°
. . . . . . . .=
. . . .120°
. . . . . . . . . . . . . . . . .................................
1
A
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................
893 V**
ΔABC is gelijkbenig met tophoek A.
Bereken de ontbrekende hoekgrootten als ….
a
| A | = 3| C | – 15°
2| A | = 5| B |
b
5| |
|A | = B
B
..........................................................
| A. . .|. ..+. . .|. .B. . . .|. .+. . . .|. C
| . . . . .180°
. . . . . . . .=
.......................
| . . . . |. . .=. . . .|.C
| ....
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓
......B
. . . . . . (eig.
|A | + |B | + |C |
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓
......A
. . . . . . .=
. . . .3. . . .C
. . . . . .–
. 15°
| |
| |
| . . . .|. .+. . . .|. C
| . . . . .180°
3| C | – 15°
. . . . ..+. . . . .C
. . . . . . . .=
.......................
| | = 180° + 15°
. . . . .. . . . . . . . . . . . . .5
. . . .C
...................................
| |
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . C
. . . . . . . .=
. . . . .195°
. . . . . . . . . .:. .5. . .=
. . . .39°
....
|A | + |B | + |B |
| A | = 102°
= 180°
2
5| | | | | |
B
..........................................................
B + B + B = 180°
2
3
⇓ |B | = |C |
..........................................................
5
⇓ | A | = B| B |
⇓ beide leden · 2
(eig. van gelijkheid)
..........................................................
5 | B | + 2B + 2B = 360°
........................................... . . . . .(eig.
. . . . . . . .basishoeken
..
in gelijkbenige
driehoek)
........................................... . . . . . . . . . . . . . . .
| A | + | B | + | B | = 180°
2
...........................................⇓
. . . . .|. A
. . . . |. . =
. . . B| B | + 44°
3
B2| B | + 44° + | B | + | B | = 180°
3 ........................................... . . . . . . . . . . . . . . .
⇓ beide leden · 3
(eig. van gelijkheid)
........................................... . . . . . . . . . . . . . . .
2| B | + 132° + 3| B | + 3| B | = 540°
..........................................................
8| B | =
...........................................
. . . . .540°
. . . . . . . . . .– 132°
9| B | = 360°
..........................................................
........................................... . . . . . . . . . . . . . . .
⇓
|B |
| |
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . B
. . . . . . . .=
. . . . .39°
.......................
2
= 180°
(eig. basishoeken in
gelijkbenige driehoek)
..........................................................
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 | B | + 44°
|A| = B
|A | + |B | + |C | =
...........................................
. . . . .180°
..........
..........................................................
⇓ |B | = |C |
basishoeken in
gelijkbenige driehoek)
| A. . .|. ..+. . .|. .C. . . .|. .+. . . .|. C
| . . . . .180°
. . . . . . . .=
.......................
c
= 360° : 9 = 40°
..........................................................
| C | = 40°
| B | = 408° : 8
| C | = 51°
|A | =
...........................................
. . . . .78°
..........
| A | = 100°
De basishoeken in een gelijkbenige driehoek
M27
311
M28 Een buitenhoek van een driehoek (U)
894 U(B)
Louis beweert: ‘Een driehoek heeft negen buitenhoeken.’
a
b
Is deze bewering juist of fout?
Geef een verklaring.
B
Fout. Elke driehoek heeft zes buitenhoeken.
van de
.Louis
. . . . . . . . . . . . . . . .rekent
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .de
. . . . . . . . overstaande
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .hoeken
........................................................
ook mee.
.binnenhoeken
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . van
. . . . . . . . . . . . de
. . . . . . . . .driehoek
. . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................
A
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................
C
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................
895 U(B) •
•
Teken alle buitenhoeken van driehoek XYZ.
Duid alle buitenhoeken aan met een boogje.
896 U(B)
Duid alle buitenhoeken van driehoek
ABC aan met een boogje.
D
Y
E
A
X
897 U(B)
Z
C
Teken vier buitenhoeken van driehoeken in dit kunstwerk van Kandinsky.
B
Weetje
Vassilyevich Vassily
Kandinsky (18661944) was een Russische schilder en theoreticus. Hij schilderde
de eerste moderne
abstracte werken.
312
M28
Een buitenhoek van een driehoek (U)
898 U(V*)•
•
•
Bekijk de tekening.
Zijn de uitspraken juist of fout?
Verklaar.
A
3
4
12
1
B
a
2
1 2
1 2
C
1
2
1
E
2
F
E1 is een buitenhoek van driehoek AFE.
Juist
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
b
A3 is een buitenhoek van driehoek ADC.
| | | |
ACD omdat Â3 geen nevenhoek is van Â2 · Â3 + Â2 ≠ 180° . . . . . . . . . . . . . . .
.Fout.
. . . .. . . . . . . Â
. . . 3. . .is
. . . .geen
. . . . . . . . . . .buitenhoek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . van
. . . . . . . . .driehoek
. . . . . .......................................................................................................................................
c
F2 is een buitenhoek van driehoek AFB, driehoek AFC, driehoek AFD en driehoek AFE.
Juist
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
d
B2 is geen buitenhoek van een van de getekende driehoeken.
Juist
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
899 U(B) •
•
Bereken alle grootten van de hoeken in driehoek ABC.
Toon je berekeningen en geef telkens een korte verklaring.
|. . .A. . . . .|. .=
. . . . . .180°
. . . . . . . . . . . . . .–
. . . . .66°
. . . . . . . . . .=
. . . . . .114°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................
B
(def.
. . . . . . . . . . . . . .buitenhoek).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................
|. . .C. . . . .|. .=
. . . . . .180°
. . . . . . . . . . . . . .–
. . . . .150°
. . . . . . . . . . . . .=
. . . . . .30°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................
(def.
. . . . . . . . . . . . . .buitenhoek).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................
|. . .B. . . . .|. .=
. . . . . .180°
. . . . . . . . . . . . . .–
. . . . .114°
............–
. . . . . 30°
. . . . . . . . . . .=
. . . . . .36°
. . . . . . . . . . . . .................................
(eig.
driehoek).
. . . . . . . . . . . . . .som
. . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . . . . . . .de
. . . . . . . . hoeken
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .in
. . . . . . .een
. . . . .................................
150°
1
A
1
66°
C
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................
900 U(B)
Hoe groot zijn de buitenhoeken van een gelijkzijdige driehoek?
In een gelijkzijdige driehoek is elke hoek 60° en dus is elke buitenhoek:
180°
. . . . . . . . . . . . . .–
. . . . . 60°
. . . . . . . . . . .=
. . . . . .120°.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
C
60°
60°
A
60°
120°
B
Een buitenhoek van een driehoek (U)
M28
313
901 U(B)
a
b
c
d
e
Teken een willekeurige driehoek ABC (tip: neem, om nauwkeurig te kunnen rekenen, voor de grootte van de
hoeken een geheel aantal graden).
Meet nauwkeurig alle binnenhoeken en noteer de grootte op je figuur.
Teken een buitenhoek in punt A, meet nauwkeurig de grootte, noteer op je figuur.
Bereken | B | + | C |.
Wat merk je op?
In een driehoek is een buitenhoek altijd even groot als de som van de niet
.aanliggende
. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .binnenhoeken.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
Deze eigenschap wordt bewezen op p. 114 in je leerwerkboek.
C
60°
B
45°
A
902 U(V*)
Een grote vijver is aangelegd in de vorm
van een driehoek (zie figuur). Tuinontwerper Lena wil de grootte van hoek M
kennen, maar een hindernis maakt dit
punt onbereikbaar. Ook de andere binnenhoeken van de driehoekige vijver kan
ze niet rechtstreeks meten, zonder nat
te worden. Vertel Lena hoe zij toch de
grootte van hoek M kan bepalen.
105°
M
L
K
in de punten L en K.
.1. . . . . . .Meet
. . . . . . . . . . . de
. . . . . . buitenhoeken
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . . . .de
. . . . . .driehoek
. . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................
...............
| |
| |
en bereken zo in driehoek LKM de binnenhoeken L en K . . . . . . . . . . . . . . . .
.2. . . . . . .Gebruik
. . . . . . . . . . . . . . . . .de
. . . . . .definitie
. . . . . . . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . . . .de
. . . . . buitenhoek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................
is 180°: | M | = 180° – | L | – | K |.
.3. . . . . . .De
. . . . . . .som
. . . . . . . . . van
. . . . . . . . .de
. . . . . .hoeken
. . . . . . . . . . . . . . . . in
. . . . .een
. . . . . . . . .driehoek
. . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................
...............
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
903 U(V*)•
•
Bereken de grootte van alle hoeken in de gelijkbenige driehoek ABC.
Geef telkens een korte verklaring.
B
| C | = 180° – 138° = 42°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................
(def. buitenhoek).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................
180° – 42°
|B|=|A|= B
= 69°
2
.(eig.
. . . . . . . . . . . . .basishoeken
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . in
. . . . . . .een
. . . . . . . . . . . .gelijkbenige
. . . . . . . . . . . . .................................
.driehoek).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................
314
M28
Een buitenhoek van een driehoek (U)
A
C
1
138°
904 U(V*)
Van de gelijkbenige driehoek ABC met tophoek C bevinden de hoekpunten A en B zich buiten de
rand van het kader.
Bereken de grootte van alle hoeken van de driehoek, ook van de onzichtbare hoeken.
| |
2 | B | + | A | = 70°
(eig. buitenhoek van een driehoek).
| A | = 70 °(eig. basishoeken
. . . . . . . .|. .B
. . . .|. .+
. . . .|. .B
. . . .|. .=
. . . .70°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(. .|. B
. . . . |. . =
. . .................................
.1
. . . . . . . . .C
. . . . . .=
. . . .180°
. . . . . . . . . .–
. . . .70°
. . . . . . .=
. . . .110°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(def.
. . . . . . . .buitenhoek).
. . . .................................
in een gelijkbenige driehoek).
. . . . . . . .|. .B
. . . .|. .=
. . . .35°
. . . . . . . en
. . . . . . |. .A
. . . .|. .=
. . . .35°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................
OF
1 C = 180° – 70° = 110°
2 |B | = |A |
. . . . . . . .|. . . . . .|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................
(def. buitenhoek).
(eig. basishoeken in een
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................
gelijkbenige driehoek).
180° – 110°
| | = |A | = B
van de hoeken in een
. . . . . . . . . .B
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
. . . . . . . . . . . . .
.=
. . . .35°
. . . . . . . . . .(eig.
. . . . . . . .som
. . . .................................
driehoek).
C
70°
.Antwoord:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .|.B
. . . .|. . =
. . . . |. .A
. . . .|. .=
. . . .35°
.......9
. . .|. .C
. . . .|. .=
. . . .110°.
. . . . . . . . . . . .................................
Controle: 2 · 35 ° + 110° = 180°.
905 U(V*)
Bereken de gevraagde hoeken B2 en G2.
Alle hoeken in A zijn 20°.
Geef telkens een korte verklaring.
20° 20°
130°
2
1
B
50°
A
20°
20°
20°
110° 70°
90° 90°70° 110°
2
1
1
2
C
D
1
2
130°
50° 1
E
2
150°
30°
F
1
2
G
(eig. buitenhoek van een driehoek).
| B2 | = 40° + 90° = 130°
.1
. . . . . . .In
. . . . .driehoek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .ADB
. . . . . . . . . .is
. . . .B
. . .2. .een
. . . . . . . . .buitenhoek:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................
...............
| |
G 2 = 60° + 90° = 150°
(eig. buitenhoek van een driehoek).
.2
. . . . . . .In
. . . . .driehoek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .ADG
. . . . . . . . . . .is
. . . .G
. . .2. . .een
. . . . . . . .buitenhoek:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................
...............
mogelijk.
.Opmerking:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . er
. . . . .zijn
. . . . . . . . nog
. . . . . . . . . .andere
. . . . . . . . . . . . . . .oplossingsmethoden
. . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................
...............
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
906 U(B) •
Vervolledig op de figuur de driehoek XYZ die voldoet aan de volgende voorwaarden.
–
–
•
•
buitenhoek van hoek X: | X2 | = 70°
buitenhoek van hoek Z: | Z2 | = 162°
Maak eerst de nodige berekeningen.
Geef telkens een korte verklaring.
| X | = 180° – 70° = 110°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................
(def. buitenhoek)
Y
| . . . . .|. .=
. . .Z
. . . . . .180°
. . . . . . . . . . . . . .–
. . . . .162°
.............=
. . . . . .18°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................
.(def.
. . . . . . . . . . . . .buitenhoek)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................
de
.Met
. . . . . . . . . . . .deze
. . . . . . . . . . . . . . gegevens
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .kunnen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .we
. . .................................
.driehoek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .tekenen.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................
Z
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................
18°
110°
X
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................
Een buitenhoek van een driehoek (U)
M28
315
907 U(B) •
M
Teken de driehoeken die aan de volgende voorwaarden voldoen.
a
ΔKLM
| KL | = 5 cm
binnenhoek | K | = 53°
buitenhoek | L2 | = 112°
• Maak eerst de nodige berekeningen.
• Hoeveel verschillende driehoeken kun je tekenen? Verklaar.
Eén oplossing want de driehoek is volledig
.bepaald:
. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . HZH.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................
| .. . . |. . .=
(def. buitenhoek).
. . . .L
. . . . . 180°
. . . . . . . . . . . . . .–
. . . . .112°
. . . . . . . . . . . . .=
. . . . . .68°
. . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................
68°
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................
b
L
52°
5 cm
U’
ΔSTU
buitenhoek | S1 | = 165°
buitenhoek | T2 | = 105°
• Maak eerst de nodige berekeningen.
• Hoeveel verschillende driehoeken kun je tekenen? Verklaar.
U
68°
T
| S | = 165°
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (gegeven)
. . . . . . . . . . . . . . ....................................................................
| T | = 180° – 112° = 68°
(def. buitenhoek)
15°
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................
Je
kunt oneindig veel driehoeken tekenen, afhankelijk van de
grootte
is geen congruentiekenmerk.
. . . . .. . . . . . . . . . . .van
. . . . . . . . de
. . . . . .basis
. . . . . . . . . . . .die
. . . . . . .je
. . . .kiest.
. . . . . . . . . . . .HHH
. . . . . ....................................................................
908 U(V*)•
Laurens tekent driehoek XYZ die aan de volgende voorwaarden
voldoet:
–
–
–
•
het lijnstuk ZY is gegeven
buitenhoek | X2 | = 128°
buitenhoek | Z2 | = 162°
S
S’1
316
X
Noteer de stappen die hij zet om de driehoek te vervolledigen.
1. . . . . . . .Eerst
berekenen.
. . . . . . . . . . moet
. . . . .. . . . . . . hij
. . . . . . de
. . . . . . grootte
. . . . . . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . . . de
. . . . . . drie
. . . . . . . . .binnenhoeken
. . . . . . . ...................................................................
| X | = 180° – 128° = 52°
(def. buitenhoek).
. . . . . . . .|. . . . .|. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................
Z = 180° – 162° = 18°
(def. buitenhoek).
|
|
van de hoeken in een driehoek).
. . . . . . . . .Y
. . . . . .=
. . . .180°
. . . .. . . . . .–
. . .18°
. . . . . . . .–. . .52°
. . . . . . . .=
. . . .110°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (eig.
. . . . . . . . . .som
. . . . ...................................................................
2 Dan tekent hij in Z een hoek van 18° en in Y een hoek van 110°.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................
3 Waar de getekende benen van de hoeken elkaar snijden vindt hij het
. . . . . . . .hoekpunt
. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .X.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................
Andere oplossingsmethode: je kunt steunen op de eigenschap: in een drie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................
hoek is een buitenhoek gelijk aan de som van de twee niet aanliggende
. . . . . . . .binnenhoeken.
. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................
| Z | = 180° – 162° = 18 °
(def. buitenhoek).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................
| Y | = | X | – | Z | = 128° – 18° = 110°
2
K
Y
Z
909 U(B) • Kijk naar de figuur.
• Bereken | C1 |, | C2 | en | D1 |.
a
• Toon je berekeningen en geef telkens een korte verklaring.
A
a AB en b AB ⇒ a // b (eig. loodrechte stand van rechten)
. . . .180°
. . .. . . . . . . –
. . . .115°
. . . . . . . . .=
. . . .65°
. . . . . . . . . .(def.
. . . . . . . . . nevenhoek).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................
1. . . . . . . .|. E. . .2. .|. .=
(overeenkomstige hoeken met a // b en snijlijn ED).
| D | = | E | = 65°
. . . . . . . . . . . . .1. . . . . . . . . .. . 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................
2 | B | = | A | = 90°
(overeenkomstige hoeken met a // b en snijlijn AB).
E 2
1
= 25°
. . . . . . . .|. C
. . . .2. .|. .=
. . . .180°
. .. . . . . . . .–
. . . .|.D
. . . .1. .|. .–
. . . |. .B
. . . |. . =
. . . . 180°
..........–
. . . .65°
.......–
. . . .90°
. . . . . . ...................................................................
115°
(in Δ BCD: eig. som van de hoeken in een driehoek).
.3. . . . . . . . C
. . . . . . . .=
. . . .90°
. .. . . . . .+
. . . .62°
. . . . . . .=
. . . . 155°
. . . . . . . . . . . . .(eig.
. . . . . . . . .buitenhoek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................
van een driehoek).
| 1|
OF
C
=
180°
–
C
=
180°
–
25°
=
155°
(def.
buitenhoek).
|
|
|
|
. . . . . . . . . . . . .1. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................
Je kunt de hoeken ook anders berekenen.
1. . . . . . . .In
van een driehoek is even groot als
. . . . .driehoek
. . . . . . . . . .. . . . . . . . .ACE
. . . . . . . . .is
. . . .|. C
. . . .2. .|. .+
. . . .90°
. . . . . . . .=
. . . .115°
. . . . . . . . .(een
. . . . . . . . . .buitenhoek
...................................................................
de som van de niet-aanliggende binnenhoeken in Δ EAC ).
. . . . . . . . .C
. .. . . . . . .–
. . . .90°
. . . . . . . .=
. . . .25°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................
| . . . .2. .|. .=. . . .115°
2. . . . . . . .|. C
(def. nevenhoek).
| = 180° – | C | = 180° – 25° = 155°
. . . .1. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................
(eig. overeenkomstige hoeken met a // b en snijlijn AB).
3 | B | = 90°
4 | D1 | = 180° – 90° – 25° = 65°
(in Δ BCD: eig. som van de hoeken in een driehoek).
Er
zijn
nog
andere
oplossingsmethoden
mogelijk
M28 Een buitenhoek van een driehoek (U)
b
B
1
D
2
1
C
T’1
910 U(V*)•
•
•
Bereken de hoeken in een gelijkbenige driehoek als één van
de buitenhoeken 76° is.
Maak eerst een schets.
Geef telkens een korte verklaring.
De
moet dan wel
. . . . . . . . . .binnenhoek
. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . is
. . . . . .dan
. . . . . . . . . . . . 104°,
. . . . . . . . . . . . . . . .dat
. . . . . . . . . .........................................................
de
. . . . . . . . .tophoek
. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .zijn.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................................
180° – 104°
= 38°
De
dan B
. . . . . . . . . .even
. . . . . . . . . . . . .. .grote
. . . . . . . . . . . . . . . .basishoeken
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .zijn
. . . . . . . . . . .........................................................
2
A
104°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................................
B
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................................
38°
38°
C
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................................
Controle:
911 U(V*)•
•
•
104°+ 2 · 38° = 180°.
. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................
Teken een ongelijkbenige driehoek ABC met binnenhoeken
A1, B1 en C1 .
Teken in ieder hoekpunt één buitenhoek en noem deze respectievelijk A2, B2 en C2.
Wat is de som van de drie getekende buitenhoeken?
2 B
1
+ 180° + 180° = 540°
|. .B. . .1. .|. .+. . . .|. .B. .2. .|. . .+.. . .|. A. . . .1. .|. . +. . . . |. .A. . . .2. .|. .+. . . .|. C. . . .1. .|. .+. . . .|. .C. . .2. .|. . =. . . . 180°
. . . . . . . . . .........................................................
(def.
. . . . . . . . . .buitenhoek).
. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................................
|. .B. . .2. .|. .+. . . .|. .A. . .2. .|. . +.. . . |. .C. . . .2. .|. .=. . . .540°
|) = 540° – 180° = 360°
..........–
. . . .(. |. .A
. . . .1. .|. .+
. . . .|. .B
. . .1. .|. .+
. . . .|. C
. . . .1. .........................................................
A 1
2
(eig.
. . . . . . . . . .som
. . . . . . . . . .van
. . .. . . . .de
. . . . . .hoeken
. . . . . . . . . . . . . . . . in
. . . . . een
. . . . . . . . .driehoek).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................................
De
. . . . . . .som
. . . . . . . . . .van
. . . . . .. . de
. . . . . . getekende
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .buitenhoeken
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . is
. . . . 360°.
. .........................................................
1 2
C
Er
. . . . .zijn
. . . . . . . . nog
. . . . . . . . . ..andere
. . . . . . . . . . . . . .oplossingsmethoden
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .mogelijk.
. . . . . . .........................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................................
912 U(V*)•
Een ladder van 6 m wordt best onder een hoek van 75°
tegen een muur geplaatst.
a
b
Maak een tekening op schaal 1:100.
Bereken de grootte van alle binnen- en buitenhoeken.
165°
2
B
1
| |
. . .A
. . . 2. . . . .=
. . . .180°
. . . . . . . . . .–
. . . .75°
. . . . . . .=
. . . .105°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (def.
. . . . . . . . . .nevenhoek).
. . . . . . . . . ........................................................
15°
| |
. . .C
. . . 1. . . . .=
. . . .90°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................
| |
van de hoeken in een driehoek).
. . .B
. . . 1. . . . .=
. . . .180°
. . . . . . . . . .–. . .75°
. . . . . . . .–. . .90°
. . . . . . . .=
. . . .15°
. . . . . . . . . . . (eig.
. . . . . . . . . .som
. . . . . . . . . ........................................................
| |
. . .B
. . . 2. . . . .=180°
. . . . . . . . . . . . .–
. . . 15°
.......=
. . . . .165°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(def.
. . . . . . . . . .nevenhoek).
. . . . . . . . . ........................................................
| |
van een driehoek).
. OF
. . . . . . . . .B
. . .2. . . . .=
. . . .75°
. . . . . . .+
. . . .90°
. . . . . . . .=
. . . .165°
. . . . . . . . . . . . . . . . .(eig.
. . . . . . . . . .buitenhoek
. . . . . . . . . ........................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................
105° 75°90°
2 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................
A
1
C
Een buitenhoek van een driehoek (U)
M28
317
913 V**
a
Tip:
Verbind ieder hoekpunt met het
middelpunt van de omgeschreven
cirkel. Zo bekom je vijf driehoeken.
b
c
Bereken de hoekgrootten in de regelmatige vijfhoek BCDEF.
Toon je berekeningen.
Geef telkens een korte verklaring.
Wat weet je over de basissen van deze driehoeken?
d
vijfhoek)
.De
. . . .. . basissen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .zijn
. . . . . . . .even
. . . . . . . . . . .lang
. . . . . . . . . .(regelmatige
. . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................
Wat weet je over de opstaande zijden van deze driehoeken?
B
2 1
72° 1
(straal van de cirkel).
.Alle
. . . .. . . . opstaande
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . zijden
. . . . . . . . . . . . . .zijn
. . . . . . . .even
. . . . . . . . . . .lang
. . . . . . .............................................................
e
Zijn de driehoeken congruent?
F
C
.Ja
. . . .. kenmerk
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .ZZZ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................
A
zijn even groot. 360° : 5 = 72°
.De
. . . .. . vijf
. . . . . . . .hoeken
. . . . . . . . . . . . . . . .rond
. . . . . . . . . . .het
. . . . . . .middelpunt
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................
(overeenkomstige hoeken in congruente driehoeken). De driehoeken verdelen elke hoek van de vijfhoek in twee hoeken.
180° – 72°
B
E
D
.|.B
. . ..1 .|. .=
. . . .| .C
. . .1. .|. .=
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.=
. . . .54°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................
(eig. basishoeken in gelijk2
benige driehoek ABC.)
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................
180° – 72°
B
= 54° (eig. basishoeken in gelijkbenige driehoek ABF.)
| B2 | = | F 1 | =
2
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
(som van de delen).
| B | = 54° + 54° = 108°
hoeken even groot.
.In
. . . ..een
. . . . . . . .regelmatige
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .vijfhoek
. . . . . . . . . . . . . . . . . zijn
. . . . . . . . .alle
. . . . . .......................................................................................................................................
...............
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................
BCDEF hebben alle hoeken een grootte van 108°.
Antwoord: . .In
. . . . de
. . . . . . regelmatige
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vijfhoek
. . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................
...............
914 V*
Verklaar.
Gegeven: a // b.
ΔAEB is gelijkbenig met tophoek E.
e is de bissectrice van CÂB.
e
E
1
A
a
b
a
|A | = |C |
4
1
b
| A | + | B | + | E | = 180°
1
4
c
|A | = |A |
5
6
d
|B | = |D |
2
2
e
| B | + | D | = 180°
2
1
f
|A | = |A |
4
1
g
|B | = |D |
4
2
h
| F | + | F | = 180°
1
2
i
|B | = |A | + |E |
1
1
1
j
| B | + | D | = 180°
4
3
5
4
C
1
6
3
3
2
1
F
B
1
4
1
2
2
D
1
4
3
2
eig. verwisselende binnenhoeken met a // b en snijlijn AC.
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . .
in ΔABE: eig. som van de hoeken in een driehoek is 180°.
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . .
de bissectrice deelt een hoek in twee even grote hoeken of def. bissectrice.
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . .
eig. overeenkomstige hoeken met a // b en snijlijn BD.
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . .
eig. binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn met a // b en snijlijn BD.
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . .
eig. overstaande hoeken.
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . .
eig. verwisselende buitenhoeken met a // b en snijlijn BD.
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . .
def. nevenhoeken.
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . .
eig. buitenhoek van een driehoek.
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . .
buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn met a // b en snijlijn BD.
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . .
318
M28
Een buitenhoek van een driehoek (U)
M29 Constructie en classificatie van driehoeken
Noteer de meest passende naam van de driehoeken.
915 E
3
1
2
5
4
Driehoek
Volgens de hoeken
Volgens de zijden
1
scherphoekig
scherphoekig
rechthoekig
rechthoekig
stomphoekig
gelijkbenig
gelijkzijdig
ongelijkbenig
gelijkbenig
ongelijkbenig
2
3
4
5
Noteer de meest passende benaming voor een driehoek met ...
916 B
a
Juist één symmetrieas:
gelijkbenige driehoek
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
b
Drie scherpe hoeken:
scherphoekige driehoek
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
c
Eén rechte hoek en één symmetrieas:
rechthoekige, gelijkbenige driehoek
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
d
Drie symmetrieassen:
gelijkzijdige driehoek
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
Eri tekent een driehoek op een blad en knipt de figuur uit. Ze kan de figuur op drie verschillende
manieren dichtvouwen zodat de delen elkaar volledig bedekken. Arne tekent ook een driehoek en
knipt de figuur uit. Hij kan zijn figuur niet dichtvouwen zodat beide delen elkaar volledig bedekken.
Welk soort driehoek tekenden ze?
917 B
Eri
driehoek (3 symmetrieassen) en Arne een ongelijkbe. . . . . . . . .tekende
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .een
. . . . . . . . . . . .gelijkzijdige
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
...............
nige
. . . . . . . . . . . . . .driehoek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(geen
. . . . . . . . . . . . . . . . .symmetrieassen).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
918 B
•
•
Vervolledig de slinger.
Construeer.
Constructie en classificatie van driehoeken
M29
319
Construeer de gelijkzijdige driehoek JKL die aan de volgende voorwaarde voldoet.
| LJ | = 3,2 cm.
919 B
J
L
920 B
•
•
K
Vervolledig de gelijkbenige driehoek ABC met [AB] als basis en opstaande zijden met lengte 4 cm.
Construeer.
B
A
921 B
•
•
C
Vervolledig de gelijkbenige driehoek ABC met [AB] als basis en opstaande zijden met lengte 2,5 cm.
Construeer.
B
A
922 B
Construeer de gelijkbenige driehoek ABC met een basis van 8 cm en opstaande zijden
met lengte 5 cm.
C
A
320
M29
Constructie en classificatie van driehoeken
B
923 B
•
•
Vervolledig de gelijkbenige driehoek ABC met basis [BC] van 3,5 cm.
Construeer.
B
C
A
924 B
•
•
Vervolledig driehoek ABC die drie symmetrieassen heeft.
Construeer en verklaar kort.
Je moet een gelijkzijdige driehoek tekenen want alleen een gelijkzijdige driehoek
.heeft
. . . . . . . . . . . . . . . .3
. . . . .symmetrieassen.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
C
B
A
925 B
•
•
Noteer voor iedere figuur het aantal symmetrieassen.
Teken deze symmetrieassen.
C
Figuur
Aantal
symmetrieassen
1
2
3
4
5
6
7
1
0
0
3
0
1
3
E
F
S
2
1
A
B
J
K
4
7
U
D
M
G
T
N
5
H
3
I
L
P
O
Q
6
R
Constructie en classificatie van driehoeken
M29
321
C
926 B
a
Construeer de middelloodlijn m van de basis van de gelijkbenige driehoek ABC met tophoek C.
Waarom behoort C tot m?
Driehoek
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .ABC
. . . . . . . . . . met
. . . . . . . . . .C
. . . . .als
. . . . . . .top
. . . . . . . . .is
. . . .gelijkbenig:
. . . . .........................................................
| CA | = | CB | dus C ligt op de middelloodlijn (eig. van middelloodlijn)
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................................
b
c
Spiegel driehoek ABC om m.
Vul aan.
In een gelijkbenige driehoek is de middelloodlijn van de basis
de
. . . . .. . . .symmetrieas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . . . . . . .de
. . . . . . . . .driehoek.
. . . . ........................................................ .
A
927 B
Op de vlag van de Filippijnen staat aan de linkerkant een witte gelijkzijdige driehoek. De breedte
van de rechthoek is een zijde van de driehoek.
Construeer de driehoek op het bouwplan van de vlag.
928 B
Leraar Marc van de afdeling houtbewerking maakt met zijn leerlingen het decor voor de volgende
toneelvoorstelling. Ze moeten ondermeer een hele reeks gelijkbenige driehoeken maken met een
basis van 6 dm en opstaande zijden van 10 dm.
Construeer de driehoek die model kan staan voor deze decorelementen op schaal 1:20.
C
5 cm
A
322
B
M29
Constructie en classificatie van driehoeken
3 cm
B
929 B
De leraar van Kaat geeft tijdens een wiskundedictee de coördinaten van de hoekpunten van de
gelijkbenige driehoek PQR. Kaat hoort enkel de coördinaten P(–3, 2) en Q(–4, –2).
a
b
c
Kan ze het derde punt nog vinden in het assenstelsel?
Teken in het assenstelsel.
Geef een korte verklaring.
Het
te weinig informatie. Ze weet niet welk hoekpunt
. . . . .. . . . . lukt
. . . . . . . . . . . . .Kaat
. . . . . . . . . . . . . . niet,
. . . . . . . . . . . . . .ze
. . . . . . . heeft
. . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
. . . . . . . de
. . . . . . . . top
is. . . . ..of
is, ze weet niet zeker hoe lang de opstaande zijden
. . . . . .welk
. . . . . . . . . . . . . .lijnstuk
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .de
. . . . . . . .basis
. . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
. . . . . . . . zijn.
.......
4
3
P
2
1
–4
–3
–2
–1
0
0
1
2
3
4
5
6
–1
–2
Q
–3
–4
930 B
Vervolledig de gelijkbenige driehoek ABC met tophoek A en | C | = 72° op twee
verschillende manieren.
a
b
Je mag rekenen en tekenen.
Je mag construeren.
|. . .A. .. . .|. .=
. . . . . .180°
. . . . . . . . . . . . . .–
. . . . .72°
. . . . . . . . . .–
. . . . .72°
. . . . . . . . . . .=
. . . . .36°
. . . . . .........................
................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . .
(eig.
een
. . . . .. . . . . . . . .som
. . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . . . . . . .de
. . . . . . . . hoeken
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .in
. .........................
driehoek).
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................
................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . .
Met een passerconstructie,
| AB | = | AC |.
.................................................................................
...............
A
A
36°
72°
B
72°
C
931 B
B
C
Vervolledig de gelijkbenige driehoek DEF met basis [DE] van 4 cm en tophoek D met | D | = 103°.
D
E
De driehoek beschreven in de opgave kan niet. De som van de hoeken in een driehoek is 180°, de even grote basishoeken zouden samen al 206° zijn.
Constructie en classificatie van driehoeken
M29
323
932 B
Construeer:
a
een driehoek met één symmetrieas.
b
Een
maar geen
. . . . .. . . . . . .gelijkbenige
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .driehoek,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................
gelijkzijdige driehoek.
A
C
933 V*
a
b
c
d
een driehoek met minstens twee symmetrieassen.
Een gelijkzijdige driehoek.
........................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . .
A
C
B
B
Construeer de bissectrice b van de tophoek C van de gelijkbenige driehoek
ABC.
Waarom staat de bissectrice loodrecht op de basis?
In een gelijkbenige driehoek is de bissectrice van de tophoek ook
.de
. . . .. .hoogtelijn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .uit
. . . . . .de
. . . . . .top.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................
Spiegel driehoek ABC t.o.v. b.
Vul aan.
In een gelijkbenige driehoek is de bissectrice van de tophoek
C
de
. . . .. . . .symmetrieas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . . . . . . .de
. . . . . . . .driehoek.
. . . . ................................................................................ .
A
934 V*
In deze kubussen zijn driehoeken getekend.
Noteer de meest passende naam van de driehoeken.
a
b
d
e
Driehoek
Volgens hoeken
Volgens zijden
rechthoekig
gelijkbenig
scherphoekig
gelijkbenig
a
b
rechthoekig
c
324
M29
B
c
Verklaring
Rechte hoek: elk zijvlak is een vierkant. Gelijkbenig: de ribben van
een kubus zijn even lang.
Het hoekpunt is het midden van de overstaande zijde van de basis
en ligt dus op de middelloodlijn van de basis. Het hoekpunt ligt
even ver van de randpunten van de basis.
Scherphoekig: de basishoeken zijn kleiner dan een rechte hoek.
ongelijkbenig De vlakken in een kubus staan loodrecht op elkaar. Een diagonaal van een vierkant is langer dan een ribbe. De diagonaal van de
kubus is langer dan de diagonaal in een zijvlak.
Rechthoekig: de vlakken van een kubus staan loodrecht op elkaar.
Constructie en classificatie van driehoeken
scherphoekig
gelijkbenig
De top ligt in het midden van een ribbe.
De basishoeken zijn kleiner dan een rechte hoek. De tophoek is ook
een scherpe hoek. Zie b
rechthoekig
gelijkbenig
Als je in een vierkant de middens verbindt bekom je een ruit met
even lange diagonalen: dit is een vierkant. De helft van dit vierkant
is een rechthoekige gelijkbenige driehoek.
d
e
935 V* •
•
Kun je een driehoek construeren met slechts twee symmetrieassen?
Verklaar.
Neen. Een driehoek heeft 3 zijden. Als er twee symmetrieassen zijn, is er ook altijd
keer twee even lange zijden hebt en er een . . . . . . . . . . . . . . .
.een
. . . . . . . . . . . derde
. . . . . . . . . . . . . . . . . .as,
. . . . . . . . .omdat
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .je
. . . . . .dan
. . . . . . . . . . . . twee
. .......................................................................................................................................
.gelijkzijdige
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .driehoek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ontstaat.
. . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
936 V* •
Construeer de gelijkbenige driehoek ABC die aan de volgende voorwaarden voldoet:
– A is de tophoek.
– De zijden [AB] en [AC] zijn 4 cm.
– B ligt op de cirkel met de kleine straal.
– C ligt op de cirkel met de grote straal.
– De omtrek is groter dan 12 cm.
Hoeveel mogelijkheden zijn er?
Er zijn drie mogelijke driehoeken die aan de eerste vier voorwaarden voldoen. Enkel
de driehoek met de grote basis heeft een grotere omtrek.
B1 en B2 zijn punten op de kleine cirkel die 4cm van A liggen
C1 en C2 zijn punten op de grote cirkel die 4cm van A liggen
Δ AB2C1 : omtrek 2 × 4 cm + 7,2 cm = 15,2 cm
Δ AB2C2 : omtrek 2 × 4 cm + 6 cm = 14 cm
Δ AB1C2 : omtrek 2 × 4 cm + 3 cm = 11 cm deze voldoet niet aan de vierde voorwaarde.
Δ AB1C1 : omtrek 2 × 4 cm + 4,8 cm = 12,8 cm
A
C1
7,19
4,86
5,98
C2
B2
2,95
B1
937 V* •
Hoeveel keer past de kleine driehoek in de grote?
Negen keer.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
•
Construeer de kleine driehoek dan ook zo vaak in de grote driehoek.
De zijde van de kleine driehoek vergroot met factor . . . .3
. . . . . . , de oppervlakte vergroot met factor . . . .9
.......
Constructie en classificatie van driehoeken
M29
325
938 U(V*)•
•
Teken deze onmogelijke driehoek na.
Volg het stappenplan.
n Construeer in potlood een gelijkzijdige driehoek.
Deze driehoek vormt straks het midden van je onmogelijke driehoek.
o Teken aan de buitenkant van de driehoek twee rechten
evenwijdig aan de dragers van de zijden van de driehoek. De afstand tussen de drie rechten moet even
groot zijn. De rechten snijden elkaar en zo bekom je
drie gelijkzijdige driehoeken in elkaar.
q Doe dit ook voor de andere twee zijden.
r Gom, zoals op de figuur, de korte lijnstukken uit zodat
de driehoek driedimensionaal wordt. Iedere rand van
dit 3-D model moet op een “L” in spiegelbeeld lijken.
s Teken korte lijnstukken haaks op de hoeken om ze af
te werken. Gom alles uit wat buiten je 3-D model valt.
p Kies een zijde van de binnenste driehoek. Verleng deze
zijde aan één kant tot aan de zijde van de middelste
driehoek. Kies dezelfde zijde op de middelste driehoek
en verleng op dezelfde manier deze zijde tot aan de
buitenste driehoek.
t Voeg eventueel wat schaduw toe.
326
M29
Constructie en classificatie van driehoeken
M30 De driehoeksongelijkheid
Benoem in elke driehoek telkens de kleinste hoek.
939 U(B)
driehoek ABC
| AB | = 9 cm
| BC | = 6 cm
| CA | = 7 cm
De kleinste hoek is . . . .A. . . . . .
driehoek DEF
| DE | = 4,5 cm
| EF | = 2,5 cm
| FD | = 3 cm
De kleinste hoek is . . . .D
......
driehoek GHI
| GH | = 112 m
| HI | = 87 m
| IG | = 97 m
De kleinste hoek is . . . .G. . . . . .
Benoem in elke driehoek telkens de grootste hoek.
940 U(B)
driehoek ABC
| AB | = 9 cm
| BC | = 6 cm
| CA | = 7 cm
De grootste hoek is . . .C. . . . . . .
driehoek DEF
| DE | = 4,5 cm
| EF | = 2,5 cm
| FD | = 3 cm
De grootste hoek is . . .F. . . . . . .
driehoek GHI
| GH | = 112 m
| HI | = 87 m
| IG | = 97 m
De grootste hoek is . . .I. . . . . . .
In driehoek XYZ is
In driehoek ABC is
942 B
X
Vul aan.
941 B
•
ZX + XY
| . . ..................................
| ZY |
| XY | < . . .|. .XZ
. . . . . . . . . . .+
| . . . .................................
| YZ |
| ZX | < . . .|. .XY
. . . . . . . . . . .+
|
|
| ZY | < . . .|. . . . . . . . . . |. . . . . ..................................
C
Z
Y
BC + CA
| . . ..................................
| AB |
| BC | < . . .|. .CA
. . . . . . . . . . .+
| . . . .................................
| BC |
| CA | < . . .|. .AB
. . . . . . . . . . .+
|
|
| AB | < . . .|. . . . . . . . . . |. . . . . ..................................
B
A
Kun je de driehoek construeren?
Constructie mogelijk?
•
driehoek ABC
| AB | = 12 cm
| BC | = 13 cm
| CA | = 4 cm
Ja.
12 < 13 + 4
driehoek DEF
| DE | = 14 cm
| EF | = 7 cm
| FD | = 6 cm
Neen. 14 > 7 + 6
driehoek GHI
| GH | = 15 cm
| HI | = 15 cm
| IG | = 15 cm
Ja
13 < 12 + 4
4 < 12 + 13
15 < 15 + 15
Bedenk zelf een cijfervoorbeeld in verband met het tekenen van driehoeken waarbij geen oplossing
mogelijk is. Waarop let je?
Bij
je rekening met de driehoeksongelijkheid: als. . . . .de
. . . . . . . . .de
. . . . . . . .keuze
. . . . . . . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . . . . . . .de
. . . . . . . .lengten
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .hou
. .......................................................................................................................................
..........
som
zijden van de driehoek kleiner is dan, of gelijk is. . . . aan
. . . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . . . . . . .de
. . . . . . . . lengten
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . van
. . . . . . . . . . . . twee
. . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
...........
de
dan kun je de driehoek niet tekenen.
. . . . . . . . .lengte
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . . . . . . .de
. . . . . . . . derde
. . . . . . . . . . . . . . . . . .zijde
. . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
...............
|
|
|
|
|
|
cm
AC = 3 cm
Vb.
. . . . . . . . . . . . .AB
. . . . . . . . . . .=
. . . . .6
. . . . .cm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .BC
. . . . . . . . . . .=
. . . . .2
. . . .......................................................................................................................................
...............
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
943 B
Kun je de driehoek construeren?
Constructie mogelijk? Verklaar.
driehoek ABC
| AB | = 4,5 cm
| BC | = 9 cm
| CA | = 4,9 cm
Ja.
driehoek DEF
| DE | = 9 cm
| EF | = 4,2 cm
| FD | = 4,8 cm
Neen. 9 = 4,2 + 4,8
driehoek GHI
| GH | = 3,2 cm
| HI | = 3,2 cm
| IG | = 6,5 cm
Neen. 6,5 > 3,2 + 3,2
4,9 < 4,5 + 9
9 < 4,5 + 4,9 4,5 < 4,9 + 9
De driehoeksongelijkheid
M30
327
944 V* •
Gegeven: driehoek ABC.
| AB | = 4,3 cm
| BC | = 2,4 cm
•
Wat weet je zeker over de lengte van het lijnstuk CA?
De lengte van [CA] is groter dan 1,9 cm (4,3 cm – 2,4 cm = 1,9 cm) en kleiner dan 6,7
.cm
. . . . . . . . . .(4,3
. . . . . . . . . . . cm
.. . . . . . . . . +
. . . . . .2,4
. . . . . . . . . .cm
. . . . . . . . . .=
. . . . . .6,7
. . . . . . . . . cm).
. . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
In een gelijkbenige driehoek is de lengte van de basis steeds kleiner dan het dubbel van de lengte
van een opstaande zijde.
945 V*
a
C
Verklaar.
| AB | < | BC | + | CA |
(eig. driehoeksongelijkheid).
| . . . . . . . . .|. . <
| . . . . . . . . .|. .+
| . . . . . . . . .|. . . . . . . . .(def.
driehoek.)
. . AB
. . . . . . . .BC
. . . . . . . BC
. . . . . . . . . . . . . gelijkbenige
. . . . . . . . . . . ........................................................
| . . . . . . . . .|. . <
| . . . . . . . .|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................
. . AB
. . . . . .2
. . . . . .BC
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................
b
946 V* •
Maak een schets.
A
B
Teken nauwkeurig de rechthoekige driehoek die aan de volgende voorwaarden voldoet:
a
ΔABC
A is een rechte hoek, | AB | = 6 cm en | AC | = 8 cm
B
A
C
•
•
Meet en vul aan: | BC | = . .10
. . . . . . . . cm.
Noteer een driehoeksongelijkheid in deze driehoek.
•
| BC | < . .|. . . . . . . . . . .|. . . . . . . .|. . . . . . . . . .|. . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . .
Is | BC |2 < | AC |2 + | AB |2?
AC + AB = 10 cm < 8 cm + 6 cm
–
–
Bereken het kwadraat van de lengte van de schuine zijde en de som van de kwadraten van de lengten
van de rechthoekszijden.
Wat valt je op? Noteer in woorden.
2 (6 cm)2= 64 cm2 + 36 cm2 = 100 cm2. De som van de kwadraten van de leng|2 . . . .(8
|. .AC
|2 . . . .|. .AB
. . . . . . . . . .+
. . . . . . . . . .=
. . . . cm)
.........+
. . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . .
•
ten
is gelijk aan het kwadraat van de lengte van de schuine zijde. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .van
. . . . . . . . .de
. . . . . .rechthoekszijden
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....................................................................................................................................
Noteer dit in symbolen.
| AC |2 + | AB |2 = | BC |2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . .
328
M30
De driehoeksongelijkheid
b
ΔDEF
D is een rechte hoek, | DE | = 3 cm en | DF | = 4 cm.
F
D
•
•
E
Meet en vul aan: | EF | = . . .5
. . . . . . cm
Noteer een driehoeksongelijkheid in deze driehoek.
DF + DE
| EF | < .|. . . . . . . . . . .|. . . . . . . .|. . . . . . . . . . |. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
•
Is | EF |2 < | DF |2 + | DE |2?
–
–
Bereken de som van de kwadraten van de lengten van de rechthoekszijden.
Wat valt je op? Noteer in woorden.
2
2
2
2
2
cm) = 16 cm + 9 cm = 25 cm . De som van de kwadraten van de. . . .lengten
| DF |2 + | DE |2 = . .(4
. . . . .cm)
. . . . . . . . . .+
. . . .(3
. ......................................................................................................................................
............
van de rechthoekszijden is gelijk aan het kwadraat van de lengte van de schuine zijde.
| EF |2 = . .5. . .cm.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . .
| EF |² = | DE |2 + | DF |2= 9 cm2 + 16 cm2 = 25 cm2.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . .
c
Is in een willekeurige niet-rechthoekige driehoek het kwadraat van de lengte van een zijde ook gelijk aan de
som van de kwadraten van de lengten van de andere zijden?
Neen, bv.: ΔSTU is gelijkbenig.
T
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
4 cm
S
4 cm
3 cm
U
| . .. . . . .|. . .<
| . . . . . . . . .|. .+
| . . . . . . . .|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
. . .ST
. . . . . . .SU
. . . . . . . .TU
| ST |2 ≠ | SU |2 + | TU |2
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
(4 cm)2 ≠ (3 cm)2 + (4 cm)2
16 cm2
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
Je ontdekt hier de beroemde eigenschap die iedereen kent als ‘de stelling van Pythagoras’. In het derde jaar leer
je meer over deze belangrijke stelling.
Weetje
De stelling van
Pythagoras
In een rechthoekige
driehoek is het kwadraat van de lengte
van de schuine zijde
gelijk aan de som van
de kwadraten van de
lengten van de rechthoekszijden.
De driehoeksongelijkheid
M30
329
Bij een pleinspel moet Sam eerst Fee aantikken en daarna naar de vlag lopen in het midden van het
plein. Sam bevindt zich op 30 m van de vlag en Fee op 40 m van de vlag.
947V**
a
b
c
Hoeveel meter omweg maakt Sam minstens?
Hoeveel meter omweg maakt ze hoogstens?
Maak een schets.
F
F
S
V
Fig 1 situatie 1
S
V
F
V
S
Fig 2 situatie 2
Fig 3 situatie 3
Sam, Fee en de vlag bevinden zich op één rechte. Sam en Fee bevinden
vlag. Sam is dan 10 m van Fee verwijderd.
.zich
. . . . . . . . . . . . aan
.. . . . . . . . . . . .dezelfde
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .kant
. . . . . . . . . . . . . . van
. . . . . . . . . . . . de
. . . . ......................................................................................................................................
...............
en dan naar de vlag (40 m). De afstand die Sam. . . . . . . . . . . . . . .
.Ze
. . . . . . . .loopt
. . . . .. . . . . . . . . . . eerst
. . . . . . . . . . . . . . . naar
. . . . . . . . . . . . . . .Fee
. . . . . . . . . . . (10
. . . . . . . . . .m)
. . . . . ......................................................................................................................................
omweg gemaakt.
.aflegt
. . . . . . . . . . . . .. . . . .is
. . . . .50
. . . . . . . . m.
. . . . . . . . .Sam
. . . . . . . . . . . . . .heeft
. . . . . . . . . . . . . . . . geen
. . . . . . . . . . ......................................................................................................................................
...............
Figuur 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
Sam, Fee en de vlag bevinden zich op één rechte. Sam en Fee bevinden
de vlag. Sam is dan 70 m van Fee verwijderd.. . . . . . . . . . . . . . .
.zich
. . . . . . . . . . . . elk
.. . . . . . . . .aan
. . . . . . . . . . . . de
. . . . . . . . .andere
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .kant
. . . . . . . . . . . . . . van
. . ......................................................................................................................................
en dan naar de vlag (40 m). De afstand die Sam. . . . . . . . . . . . . . .
.Ze
. . . . . . . .loopt
. . . . .. . . . . . . . . . . eerst
. . . . . . . . . . . . . . . naar
. . . . . . . . . . . . . . .Fee
. . . . . . . . . . .(70
. . . . . . . . . . m)
. . . . . ......................................................................................................................................
60 m omweg gemaakt.
.aflegt
. . . . . . . . . . . . .. . . . is
. . . . . .110
. . . . . . . . . . .m.
. . . . . . . . Sam
. . . . . . . . . . . . . . .heeft
. . . . . . . . . . . . . . . .dus
. . . . . . . ......................................................................................................................................
...............
Figuur 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
Sam bevindt zich niet op de rechte lijn tussen Fee en de vlag. De afstand
dan 70 m maar groter dan 10 m. Sam loopt .eerst
.tussen
. . . . . . . . . . . . .. . . . . .Sam
. . . . . . . . . . . . . . en
. . . . . . . . .Fee
. . . . . . . . . . .is
. . . . . dan
. . . . . . . . . . . . .kleiner
. . . . . . . . . ......................................................................................................................................
..............
De omweg die zij maakt is groter dan 0 m en
.naar
. . . . . . . . . . . . .. .Fee
. . . . . . . . . . .en
. . . . . . . .daarna
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . naar
. . . . . . . . . . . . . . .de
. . . . . . . . .vlag.
......................................................................................................................................
...............
.kleiner
. . . . . . . . . . . . .. . . . . . .dan
. . . . . . . . . . . . .60
. . . . . . . .m.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
Figuur 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
948 V**
Bepaal x.
In de driehoek met lengte van de
.zijden
. . . . . . . . . . . . . . . . . .9,
. . . . . .5
. . . . .en
. . . . . . . . x:
. . . . . .x
. . . . .<
. . . . .9
. . . . .+
. . . . . .5.
. . . . . . . . . . . . . . . . ...........
de
.In
. . . . . . de
. . . . . . . . .driehoek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .met
. . . . . . . . . . . . .lengte
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . . ...........
.zijden
. . . . . . . . . . . . . . . . . .17,
. . . . . . . .5
. . . . . en
. . . . . . . . .x:
. . . . . .17
. . . . . . .<
. . . . . .5
. . . . .+
. . . . . x.
. . . . . . . . . . . ...........
.Het
. . . . . . . . . . .enige
. . . . . . . . . . . . . . . . .getal
. . . . . . . . . . . . . . . .dat
. . . . . . . . . . .aan
. . . . . . . . . . . . de
. . . . . . . . .twee
. . . . ...........
.voorwaarden
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .voldoet
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . is
. . . . . .13,
. . . . . . . . .dus
. . . ...........
.mogelijkheid
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .B.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...........
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...........
VWO/JWO 2003, 2de ronde, vraag 17
Een wiskundig geschoolde spin spon een web waarbij de lengte van alle
draden een geheel getal is (zoals aangegeven in de figuur). Bepaal x.
18
9
x
5
10
17
17
16
5 8
5
10
x 5 5 5
9
9
12
14
15
17
15
12
28
15
34
30
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...........
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...........
(A) 11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...........
330
M30
De driehoeksongelijkheid
(b) 13
(C) 15
(D) 17
(E) 19
M31 Bewijs: eigenschap van de basishoeken in een gelijkbenige driehoek
949 B
Als een driehoek gelijkbenig is, dan zijn de basishoeken even groot.
Bewijs.
Gegeven:
driehoek ABC, |AB|=|AC|
.............................................................................
A
Te bewijzen: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bewijs:
Je hebt verschillende moge.lijkheden.
............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
D
C
B
Eerste mogelijkheid.
Teken de zwaartelijn m uit de top. Noem D het snijpunt met [BC].
. .Voor
. . . . . . . .. . . . . . .ΔADC
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . en
. . . . . . . . .ΔADB
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .geldt:
. . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . .
A
| . . . . . . . . .|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
| . . . . . . . .|. . .=
(def. gelijkbenige driehoek)
. .Z
. . . . . . . .. . . . . . . . .AC
. . . . . . . AB
.............
| . . . . . . . . . |. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
| . . . . . . . . .|. . =
(gemeenschappelijke zijde)
. .Z
. . . . . . . .. . . . . . . . .AD
. . . . . . . .AD
.............
(def. zwaartelijn)
. .Z
. . . . . . . .. . . . . . .|CD|
. . . . . . . . . . . . .=
. . . . . |BD|
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
.............
. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓
. . . . . .ZZZ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
.B
............
C
D
. . . . . . . . . .. .ΔADC
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ΔADB
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . .
hoeken in congruente driehoeken.
. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓
. . . . . .Eig.
. . . . . . . . . . .overeenkomstige
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
.............
|
|
|
|
. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . B
. . . . . . . .=
. . . . . . . .C
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . .
Tweede mogelijkheid.
Teken de bissectrice m van de tophoek. Noem D het snijpunt met [BC].
. .Voor
. . . . . . . .. . . . . . .ΔADC
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . en
. . . . . . . . .ΔADB
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .geldt:
. . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . .
A
| . . . . . . . . .|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
| . . . . . . . .|. . .=
(def. gelijkbenige driehoek)
. .Z
. . . . . . . .. . . . . . . . .AC
. . . . . . . AB
.............
(def. bissectrice)
. .H
. . . . . . . .. . . . . . .|. .A
. . . .1
. . .|. . .=
. . . . .|. . A
. . . . .2. . .|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
.............
1 2
| . . . . . . . . .|. . =
| . . . . . . . . . |. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
(gemeenschappelijke zijde)
. .Z
. . . . . . . .. . . . . . . . .AD
. . . . . . . .AD
.............
. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓
. . . . .ZHZ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . .
C
B
D
. . . . . . . . . .. .ΔADC
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ΔADB
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . .
hoeken in congruente driehoeken.
. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓
. . . . .Eig.
. . . . . . . . . . . .overeenkomstige
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
.............
| . . . . .|. . =
| . . . . . |. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .B
. . . . . . . .C
. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . .
Bewijs: eigenschap van de basishoeken in een gelijkbenige driehoek
M31
331
950 V*
Als de hoeken in een driehoek even groot zijn, dan is de driehoek gelijkbenig.
Bewijs.
driehoek ABC, | B | = | C |
Te bewijzen: . .|AB|
. . . . . . . . . . .=
. . . . . |AC|
...........................................................
Bewijs:
. .Je
. . . . . . hebt
. . . . . . . . . . . . . .verschillende
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .moge....................
. .lijkheden.
...........................................................................
Gegeven:
A
.............................................................................
D
.............................................................................
C
B
Eerste mogelijkheid.
Teken de hoogtelijn uit de top. Noem D het voetpunt
. . Voor
. . . . . . . . .. . . . . .ΔADC
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .en
. . . . . . . .ΔADB
. . . . . . . . . . . . . . . . . .geldt:
. . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . .
A
|
|
|
|
(gemeenschappelijke zijde)
. .Z
. . . . . . . . .. . . . . . . .AD
. . . . . . . . . . . .=
. . . . . . . .AD
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
.............
(def.hoogtelijn)
. .H
. . . . . . . . .. . . . . .|. .D
. . . . .1. . .|. .=
. . . . . .|. .D
. . . .2
. . .|. . . .=
. . . . . .90°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
.............
(gegeven)
. .H
. . . . . . . . .. . . . . .|. . C
. . . . . .|. .=
. . . . . .|. .B
. . . . .|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
.............
1 2
C
B. . . . . . . . . . . . .
D
. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓
. . . . . .ZHH
. . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ΔADC
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ΔADB
. . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . .
hoeken in congruente driehoeken.
. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓
. . . . . .Eig.
. . . . . . . . . . .overeenkomstige
. . . . . .......................................................................................................................................
.............
| . . . . . . . . .|. . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . .
| . . . . . . . . |. . .=
. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .AC
. . . . . . . AB
. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . .
Tweede mogelijkheid.
Teken de zwaartelijn uit A . Noem D het snijpunt met [BC].
A
. . Voor
. . . . . . . . .. . . . . .ΔADC
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .en
. . . . . . . .ΔADB
. . . . . . . . . . . . . . . . . .geldt:
. . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . .
| . . . . . . . . . .|. .=
| . . . . . . . . .|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
(gemeenschappelijke zijde)
. .Z
. . . . . . . . .. . . . . . . .AD
. . . . . . . .AD
.............
| . . . . . . . . . |. . .=
| . . . . . . . . .|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
(def. zwaartelijn)
. .Z
. . . . . . . . .. . . . . . . .CD
. . . . . . . BC
.............
C
B
D
|
|
|
|
(gegeven)
. .H
. . . . . . . . .. . . . . . . . .B
. . . . . . .=
. . . . . . . .C
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
.............
Je kunt de zwaartelijn dus niet gebruiken. . . . . . . . . . . . .
. . ZZH
. . . . . . . . .. . . . .is
. . . . .geen
. . . . . . . . . . . . . . . . congruentiekenmerk.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
. . bij
. . . . . . . . ..dit
. . . . . . . bewijs.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . .
332
M31
Bewijs: eigenschap van de basishoeken in een gelijkbenige driehoek
Als een driehoek gelijkzijdig is, dan zijn alle hoeken gelijk aan 60°.
Bewijs.
951 B
Gegeven:
ΔABC is gelijkzijdig.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................
B
A
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................
| A | = | B | = | C | = 60°.
Te bewijzen:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................
Bewijs:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................
C
o AB = AC
.n
. . . . . . . . . . . . . . . . AB
. . . . . . . . .=
. . . . . BC
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................
|
|
|
|
|
⇓ (eig. gelijkbenige driehoek)
|A | = |B|
|
|
|
⇓ (eig. gelijkbenige driehoek)
| B | = | C | = 60°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . .
⇓no
|A | = |B| = |C |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . .
⇓ Eig. som van de hoeken in een driehoek
| A | = | B | = | C | = 180° : 3 = 60°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....................................................................................................................................
................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . .
Als een driehoek drie even grote hoeken heeft, dan is die driehoek gelijkzijdig.
Bewijs.
952 B
Gegeven:
| A | = | B | = | C | = 60°.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................
A
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................
B
60° 60°
60°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................
ΔABC is gelijkzijdig.
Te bewijzen:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................
Bewijs:
o B = Ĉ
.n
. . . . . . . . . . . . . . . .Â
. . . . . .=
. . . . . .B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................
|
| |
|
C
| | | |
driehoek)
⇓ (eig. gelijkbenige driehoek)
. . . . . . . . . . . . . . . .⇓
. . . .(eig.
. . . . . . . . .gelijkbenige
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....................................................................................................................................
................
AB = AC
. . . . . . . . . . . . . . . . . AB
. . . . . . . . .=
. . . . . BC
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....................................................................................................................................
................
|
|
|
|
|
|
|
|
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . .
⇓no
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....................................................................................................................................
................
AB = AC = AC
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....................................................................................................................................
................
|
|
|
|
|
|
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . .
ad
953 B
•
In een gelijkbenige driehoek ABC met A als top, is de hoogtelijn h uit de top ook
–
–
–
•
•
de zwaartelijn uit de top
de bissectrice van de tophoek
de middelloodlijn van de basis.
Maak een tekening.
Bewijs.
h
A
A als top en h is de hoogtelijn uit de top, ,
Noteer: Als .een
. . . . . . . .driehoek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .ABC
. . . . . . . . . gelijkbenig
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .is
. . . .met
. ...............................................................................................
dan . . .is
. . . .h
. . . .ook
. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................
a
•
. . de
. . . . . .zwaartelijn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uit
. . . . . . .de
. . . . . .top.
. . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................
•
. . de
. . . . . .middelloodlijn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . van
. . . . . . . . .de
. . . . . .basis.
. . . . . . . . .................................................................................................
• . .de
. . . . . .bissectrice
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . van
. . . . . . . . .de
. . . . . .tophoek.
. . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................
Wat is gegeven in deze eigenschap? Noteer met symbolen.
Duid het gegeven in het groen aan op de figuur.
C
1 2
D
B
ΔABC, driehoek ABC is gelijkbenig: h is de hoogtelijn uit An op [ CB ] met voetpunt D
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
b
Wat is te bewijzen in deze eigenschap? Noteer met symbolen.
Duid wat moet bewezen worden in het rood aan op de figuur.
bissectrice van de tophoek , h is de middelloodlijn van de basis . . . . . . . . . . . . . . .
.h
. . . is
.. . . de
. . . . . . zwaartelijn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .uit
. . . . . .de
. . . . . .top
. . . . . . . .,. .h
. . . .is
. . . .de
. . .......................................................................................................................................
Bewijs: eigenschap van de basishoeken in een gelijkbenige driehoek
M31
333
c
Hoe zou je dit bewijs aanpakken?
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
Als een driehoek gelijkbenig is dan:
bewijs eigenschap van de basishoeken)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .ΔADC
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ΔADB
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (zie
. . . . . .......................................................................................................................................
...............
zijden en hoeken in congruente driehoeken.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓
. . . . . .Eig.
. . . . . . . . . . .overeenkomstige
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
...............
| = | BD |,
|. . .A. . . .1. . .|. .=. . . . . .|. .A. . . . .2. . |. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |. .CD
. . . . . . .......................................................................................................................................
...............
⇓ Def. zwaartelijn
. . . . . . . . . . . .⇓
. . . . . .Def.
. . . . . . . . . . . . .bissectrice
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
...............
is zwaartelijn uit Ao
h
. . . . . .is
. . . . .bissectrice
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . van
. . . . . . . . . . . . .A
.....................h
. . . . . .......................................................................................................................................
...............
Bewijs:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
Uit
van [ CB ].
. . . . . . . . . .n
. . . . . . . .en
. . . . . . . .o
. . . . . . . .volgt:
. . . . . . . . . . . . . . . . .h
. . . . . is
. . . . . .de
. . . . . . . .middel-loodlijn
. . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
...............
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .o
. . .......................................................................................................................................
...............
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
954 B
In een gelijkbenige driehoek ABC met A als top is de bissectrice b van de tophoek ook
•
•
•
de zwaartelijn uit de top
de hoogtelijn uit de top
de middelloodlijn van de basis.
a
b
c
Teken de driehoek.
Duid het gegeven aan in het groen, het te bewijzen in het rood.
Bewijs via congruente driehoeken.
bA
is met x als top en b is de bissectrice
van de basis,
Noteer: Als .een
. . . . . . . . driehoek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ABC
. . . . . . . . . .gelijkbenig
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................
,
12
dan . . .is. .. .h. . . .ook
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................................
• de. . . .zwaartelijn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .uit
. . . . . . .de
. . . . . .top.
. . . . . . . . . . . . . ........................................................
• de. . . .hoogtelijn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .uit
. . . . . . .de
. . . . . .top.
. . . . . . . . . . . . . . . ........................................................
• de. . . .middelloodlijn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . . . .de
. . . . . .basis.
. . . . ........................................................
C
D
B
Gelijkbenige driehoek ABC.
A.
. .b
. . . . . is
. . . . . .de
. . . . . . . . bissectrice
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van
. .......................................................................................................................................
...............
b en CB.
. .D
. . . . . . is
. . . . . .het
. . . . . . . . . . snijpunt
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van
. . . . .......................................................................................................................................
...............
uit A op [ CB ]. b is de hoogtelijn uit A op [ CB ]. . . . . . . . . . . . . . . .
Te bewijzen: . .b
. . . . . is
. . . . . .de
. . . . . . . .zwaartelijn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
van [ CB ].
. .b
. . . . . is
. . . . . .de
. . . . . . . .middelloodlijn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
...............
Gegeven:
Bewijs:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
Voor ΔACD en ΔABD geldt:
Z
|AC| = |AB|
(def. gelijkbenige driehoek)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
H
Â
=
Â
(def. bissectrice)
| 1|
| 2|
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
(gemeenschappelijke zijde)
. .Z
. . . . . . . . . . . . . . .|AD|
.............=
. . . . |AD|
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
...............
⇓ ZHZ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
ΔACD
ΔABD
⇓
Eig. overeenkomstige zijden en hoeken in congruente driehoeken.
. . . . . . . . . . . . . . . . .|CD|
.............=
. . . . |BD|
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
| D1 | = | D2 | en | D1 | = | D2 | = 180° (def. nevenhoeken). . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
⇓ Def. zwaartelijn
b is de zwaartelijn uit A n
⇓
| D1 | = | D2 | = 90°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
⇓ Def. hoogtelijn
b is hoogtelijn uit A o
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
...............
Uit n en o volgt: b is middel-loodlijn van [ CB ]
n
o
Bewijs: eigenschap van de basishoeken in een gelijkbenige driehoek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
334
M31
955 B
In een gelijkbenige driehoek ABC met A als top is de middelloodlijn m van de basis ook
•
•
•
de zwaartelijn uit de top
de hoogtelijn uit de top
de bissectrice van de tophoek.
a
b
c
Teken de driehoek.
Duid het gegeven aan in het groen, het te bewijzen in het rood.
Bewijs via congruente driehoeken.
is met A als top en h is de middelloodlijn
Noteer: Als .een
. . . . . . . . driehoek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ABC
. . . . . . . . . .gelijkbenig
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................
,
van de basis,
dan . .is. . ..h. . . .ook
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................................
•
.de
. . . . . .zwaartelijn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .uit
. . . . . . de
. . . . . . top.
. . . . . . . . . . . ........................................................
•
.de
. . . . . .hoogtelijn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .uit
. . . . . .de
. . . . . .top.
. . . . . . . . . . . . . ........................................................
•
.de
. . . . . .bissectrice
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . . . de
. . . . . . tophoek.
. . . . . . . . . . . ........................................................
C
m
A
D
B
Gelijkbenige driehoek ABC.
van [ CB ].
.m
. . . . . . .is
. . . . .de
. . . . . . . . .middelloodlijn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
...............
me en CB.
.D
. . . . . .is
. . . . .het
. . . . . . . . . . .snijpunt
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . .......................................................................................................................................
...............
A, de hoogtelijn en zwaartelijn uit de top. . . . . . . . . . . . . . . .
Te bewijzen: .m
. . . . . . .is
. . . . .de
. . . . . . . . .bissectrice
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van
. .......................................................................................................................................
Gegeven:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
Bewijs:
driehoek op gelijke afstand van B als van C).
.A
. . . ligt
. . . . . . . .op
. . . . . .m
. . . . . (A
. . . . . .ligt
. . . . . . . in
. . . . . de
. . . . . . gelijkbenige
. . . . . . .......................................................................................................................................
...............
Voor ΔACD en ΔABD geldt:
Z
|AC| = |AB|
(def. driehoek ABC is gelijkbenig)
Z
|CD|
=
|DB|
(def. middelloodlijn)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
...............
Z
|AD| = |AD|
(gemeenschappelijke zijde)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓
. . . .ZZZ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
ΔACD ΔABD
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
⇓ Eig. overeenkomstige hoeken in congruente driehoeken.
. . . . . . . . . . . . . . . |. .A
. . . . .|. . .=
. . . .|. A
. . . . . .|. . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................
1
2
,QHHQJHOLMNEHQLJHGULH
⇓ Def. bissectrice
KRHNYDOOHQ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................
m is de bissectrice van A
‡GHKRRJWHOLMQXLWGHWRS
. . . . . . . . . . . . . . .m
. . . . . is
. . . . middel-loodlijn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................
van [ BC ] door punt A
‡GH]ZDDUWHOLMQXLWGHWRS
‡GHELVVHFWULFHYDQGHWR S
⇓
⇓
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................
‡GHPLGGHOORRGOLMQYDQGH
m is zwaartlijn uit A m is hoogtelijn uit A
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
956 B
In een gelijkbenige driehoek ABC met A als top is de zwaartelijn h uit
de top ook
EDVLVVDPHQ
•
•
•
de hoogtelijn uit de top
de bissectrice van de tophoek
de middelloodlijn van de basis.
is met A als top en z is de zwaartelijn van de basis,
Noteer: Als . . . .een
. . . . . . . . .driehoek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .ABC
. . . . . . . . .gelijkbenig
. . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................
.............. ,
dan . . .is. .. .h. . . .ook
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . .
•
.de
. . . . . .middelloodlijn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . . . .de
. . . . . .basis
. ..................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . .
•
.de
. . . . . .hoogtelijn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uit
. . . . . . .de
. . . . . .top
. . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . .
•
.de
. . . . . .bissectrice
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . van
. . . . . . . . .de
. . . . . .tophoek.
. . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . .
Gegeven:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
h
A
Gelijkbenige driehoek ABC.
1 2
uit de top A n
.h
. . . . . is
. . . . . .de
. . . . . . . . zwaartelijn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
...............
C
B
D
h en CB
.D
. . . . . . is
. . . . . .het
. . . . . . . . . . snijpunt
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van
. . . . . .......................................................................................................................................
...............
X
Te bewijzen: .h
. . . . . is
. . . . . .de
. . . . . . . . bissectrice
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van
. . .......................................................................................................................................
...............
de middelloodlijn van [ CB ]
de hoogtelijn uit de top A.
Bewijs: eigenschap van de basishoeken in een gelijkbenige driehoek
M31
335
Bewijs:
.Voor
. . . . . . . . . . .ΔACD
. . . . . . . . . . . . .en
. . . . . .ΔABD
. . . . . . . . . . . . .geldt:
. . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
Z
|AC| = |AB|
(def. driehoek ABC is gelijkbenig)
Z
|CD| = |DB|
(def. zwaartelijn)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
Z
|AD| = |AD|
(gemeenschappelijke zijde)
⇓ ZZZ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .ΔACD
. . . . . . . . . . . . . . . . .ΔABD
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
hoeken in congruente driehoeken.
.........................⇓
. . . . Eig.
. . . . . . . . .overeenkomstige
. . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
...............
|A1| = |A2|
| D1 | = | D2 | en | D1 | + | D2 | = 180° (def. nevenhoeken)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
⇓ Def. bissectrice
⇓
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
| D1 | = | D2 | = 90°
h is bissectrice van Â
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
...............
⇓ Def. hoogtelijn
h is hoogtelijn uit A o
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
...............
Uit n en o volgt: h is middel-loodlijn van [ CB ]
n
o
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
957 B
Als in een driehoek ABC met tophoek A de hoogtelijn AD gelijk is aan de bissectrice van Â, dan is de
driehoek gelijkbenig.
b
A
12
C
Gegeven:
1 2
D
B
ΔABC.
ook de bissectrice van Â.
. .De
. . . . . . . . .hoogtelijn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . AD
. . . . . . . . . . is
. . .......................................................................................................................................
...............
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
Te bewijzen: . .ΔABC
. . . . . . . . . . . . . . . . .is
. . . . . .gelijkbenig.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
Bewijs:
Voor ΔACD en ΔABD geldt:
(def. bissectrice)
. .H
. . . . . . . . . . . . . . |. . .A
. . . .1. . .|. . . . =
. . . . . .|. .A
. . . . .2. . |. . . . . . . . .......................................................................................................................................
...............
| . . . . . . . . . .|. . =
| . . . . . . . . . |. . . . . . .......................................................................................................................................
(gemeenschappelijke zijde)
. .Z
. . . . . . . . . . . . . . . . AD
. . . . . . . .AD
...............
(def. hoogtelijn)
. .H
. . . . . . . . . . . . . . |. . D
. . . . .1. . .|. . . . =
. . . . . .|. .D
. . . . .2. . |. .=
. . . . . 90°
. .......................................................................................................................................
...............
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓
. . . . . .HZH
. . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .ΔACD
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ΔABD
. . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
zijden in congruente driehoeken.. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓
. . . . . .Eig.
. . . . . . . . . . . overeenkomstige
. . . . . . .......................................................................................................................................
| . . . . . . . . |. . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
| . . . . . . . . .|. . . =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . AC
. . . . . . . .AB
driehoek.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓
. . . . . .Def.
. . . . . . . . . . . . .gelijkbenige
. . . . .......................................................................................................................................
...............
. . . . . . . . . . . . . . . . ΔABC
. . . . . . . . . . . . . . . . . .is
. . . . . gelijkbenig.
. . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
336
M31
Bewijs: eigenschap van de basishoeken in een gelijkbenige driehoek
958 V*
In een gelijkbenige driehoek ABC met A als top ligt het
midden M van de basis op gelijke afstand van de opstaande zijden.
Bewijs.
Gegeven:
A
Gelijkbenige driehoek ABC.
[ CB ].
.M
. . . . . . .is
. . . . . het
. . . . . . . . . . .midden
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . van
. . . . . . ....................................................
D 90° 90° E
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................
2
1
C
M
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................
B
aan de afstand van M tot [ AB ].
Te bewijzen: .afstand
. . . . . . . . . . . . . . . . .van
........M
. . . . . tot
. . . . . . .[. .AC
. . . . . .]. .is
. . . .gelijk
. ....................................................
Bewijs:
loodlijnen op de opstaande zijden. De voetpunten van de loodlijnen
.1
. . . . . . . . . . . . . . .Teken
. . . . . . . . . . . . .vanuit
. . . . . . . . . . . . . .M
. . . . .de
. . . . . .......................................................................................................................................
...............
. . . . . . . . . . . . . . . .noem
. . . . . . . . . . . . .je
. . . .D
. . . . en
. . . . . . .E.
. . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
geldt:
.2
. . . . . . . . . . . . . . .Voor
. . . . . . . . . . ΔMCD
. . . . . . . . . . . . . . .en
. . . . . .ΔMBE
. . . . . . .......................................................................................................................................
...............
| |
| |
| |
| |
(def. afstand van een punt tot een rechte)
. . . . . . . . . . . . . . . .H
. . . . . . . . .D
. . . . . . . . .=
. . . . . .E. . . . . .=
. . . .90°
. . . .......................................................................................................................................
...............
(eig. basishoeken in een gelijkbenige driehoek)
. . . . . . . . . . . . . . . .H
. . . . . . . . .C
. . . . . . . . .=
. . . . . .B. . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
...............
(def. midden van een lijnstuk)
. . . . . . . . . . . . . . . .Z
. . . . . . .|CM|
. . . . . . . . . . .=
. . . .|BM|
. . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
...............
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓
. . . .HHZ
. . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .ΔMCD
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ΔMBE
. . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
zijden in congruente driehoeken.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓
. . . .Eig.
. . . . . . . .overeenkomstige
. . . . . . . .......................................................................................................................................
...............
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .|MD|
. . . . . . . . . . .=
. . . .|ME|
. . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
van punt tot lijnstuk.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓
. . . .Def.
. . . . . . . . .afstand
. . . . . . .......................................................................................................................................
...............
[ ]
[ ]
AC is gelijk aan de afstand van M tot AB .
. . . . . . . . . . . . . . . .De
. . . . . . afstand
. . . . . . . . . . . . . . . . . van
. . . . . . . . .M
. . . . .tot
.......................................................................................................................................
...............
959 V* •
•
Kijk naar de figuur.
Bewijs dat Δ PQR gelijkbenig is.
a
P
a // b.
1
2
.Driehoek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .PQR.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................
rechte a
.P
. . . . .is
. . . . . een
. . . . . . . . . . . .punt
. . . . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . . . . . . .de
. . . ....................................................
van de rechte b
.Q
. . . . . .en
. . . . . . . . .R
. . . . .zijn
. . . . . . . . . . .punten
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................
.|. . P
. . . . .1. . |. . .=
. . . . . .|. .P
. . . .2
. . .|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................
b
R
Q
Te bewijzen: .Driehoek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .PQR
. . . . . . . . . . . . . .is
. . . . . gelijkbenig.
. . . . . . ....................................................
a // b
Bewijs:
.|. . P
. . . . .1. . |. . . =
. . . . . .|. . .P
. . . .2. . .|. . . . . . .n
. . . . . . . .(gegeven)
. . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
verwisselende binnenhoeken met a // b en snijlijn
.|. . R
. . . . . |. . . . . =
. . . . . .|. . .P
. . . .1. . .|. . . . . . .o
. . . . . . . .(eig.
. . . . . . . . . .......................................................................................................................................
. . . . . . . . PR)
.......
| . . . . . .|. . . . =
verwisselende binnenhoeken met a // b en snijlijn
. . .Q
. . . . . .|. . .P
. . . .2. . .|. . . . . . .p
. . . . . . . .(eig.
. . . . . . . . . .......................................................................................................................................
. . . . . . . . PQ)
.......
(p)
.............⇓
. . . . . .(n)
. . . . . . . . . . .en
. . . . . . . . (o)
. . . . . . . . . . . en
. . . . .......................................................................................................................................
...............
| . . . . .|. . . . . =
. . .R
. . . . . .|. . Q
. . . . . .|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
in een gelijkbenige driehoek.
.............⇓
. . . . . .Eig.
. . . . . . . . . . . .basishoeken
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
...............
Gegeven:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
Driehoek PQR is gelijkbenig.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
Bewijs: eigenschap van de basishoeken in een gelijkbenige driehoek
M31
337
Als je in een gelijkbenige driehoek ABC met tophoek A de
deellijnen BE en CF tekent met snijpunt H, dan is ΔHBC
gelijkbenig.
960 V*
Gegeven:
A
ΔABC is gelijkbenig met tophoek A.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................
BE en CF zijn bissectrices van de driehoek.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................
E
H is het snijpunt van BE en CF.
F
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................
H
Te bewijzen: . .ΔHBC
. . . . . . . . . . . . . . . . is
. . . . . .gelijkbenig.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................
Bewijs:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................
C
B
|C|=|B|
(eig. gelijkbenige driehoek)
1
+ eig. van een gelijkheid: beide leden · B
. . . . . . . . . . . . . . . . .⇓
. . . . . Def.
. . . . . . . . . . . . .bissectrice
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
...............
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
1 | C | = B
1 | B |
B
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
⇓ Eig. basishoeken in een gelijkbenige driehoek.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
ΔHBC is gelijkbenig.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
961 V* •
•
•
b en c zijn de bissectrices van de basishoeken in de gelijkbenige driehoek ABC.
H is het snijpunt van de bissectrices. E en F zijn de snijpunten
van de bissectrices b en c met de benen van de hoek.
Bewijs dat | HE | = | HF |
Gegeven:
A
c
b
. .Gelijkbenige
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . driehoek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ABC.
. . . . . .............................................................
E
b is de bissectrice van B, c is de bissectrice van C .
F
. .H
. . . .is
. . . .het
. . . . . . . .snijpunt
. . . . . . . . . . . . . . . . . van
. . . . . . . . .b
. . . .en
. . . . . .............................................................
c.
E is het snijpunt van b en AC.
F is het snijpunt van c en AB.
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................
| . . . . . |. . HF
|
Te bewijzen: .|. .HE
. . . . . . . . . . .=
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................
Bewijs:
C
1
2
H
2
1
2
B
Voor ΔEHC en ΔFHB geldt:
(eig. basishoeken in een gelijkbenige
. .H
. . . . . . . . . . . . . . .|. .C
. . . .1
. . .|. . . . .=
. . . . .|. . .B
. . . .1. . .|. . . . . . . .......................................................................................................................................
...............
driehoek + def. bissectrice)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
...............
| . . . . . . . . .|. . . . . . .......................................................................................................................................
| . . . . . . . . .|. . .=
(bewijs oef. 960 Δ CBH is gelijkbenig)
. .Z
. . . . . . . . . . . . . . . . .CH
. . . . . . .BH
...............
(eig. overstaande hoeken)
. .H
. . . . . . . . . . . . . . .|. .H
. . . .1
. . .|. . . . .=
. . . . .|. .H
. . . . .2. . .|. . . . . . . .......................................................................................................................................
...............
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓
. . . . .HZH
. . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .ΔEHC
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ΔFHB
. . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
hoeken in congruente driehoeken.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓
. . . . .Eig.
. . . . . . . . . . . .overeenkomstige
. . . . . .......................................................................................................................................
...............
| . . . . . . . .|. . . .=
| . . . . . . . . .|. . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .HE
. . . . . . .HF
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
338
M31
Bewijs: eigenschap van de basishoeken in een gelijkbenige driehoek
962 V* •
•
Als je in een gelijkbenige driehoek ABC met tophoek A de hoogtelijnen BE en CF tekent met snijpunt H en E en F zijn de snijpunten van de hoogtelijnen met de benen van de driehoek, dan is ΔHBC
gelijkbenig.
Bewijs dit.
ΔABC is gelijkbenig met tophoek A.BE en CF zijn hoogvan BE en AC. F is het snijpunt
.telijnen.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .E
. . . . .is
. . . . .het
. . . . . . . . . . .snijpunt
. . . . . . . .......................................................................
E
snijpunt van BE en CF.
.van
. . . . . . . . . . . .CF
. . . . . . . . .en
. . . . . . . .AB.
. . . . . . . . . . .H
. . . . . is
. . . . . .het
. .......................................................................
Te bewijzen: .ΔHBC
. . . . . . . . . . . . . . . . . .is
. . . . . gelijkbenig.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................
Gegeven:
Bewijs:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................
A
F
H
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................
C
B
Voor ΔEBC en ΔFBC geldt:
| . . . . . . . .|. . .=
| . . . . . . . .|. . . . . . .(gemeenschappelijke
zijde)
.Z
. . . . . . . . . . . . . . . . .CB
. . . . . . . .CB
. .......................................................................................................................................
...............
| . . . . .|. . . . . .=
| . . . . .|. . . . . . . . . .(eig.
basishoeken in een gelijkbenige driehoek) . . . . . . . . . . . . . . .
.H
. . . . . . . . . . . . . . . . .C
. . . . . . . .B
. .......................................................................................................................................
| . . . . .|. . . . . .=
| . . . . .|. . . . . . . . . .(def.
hoogtelijn)
.H
. . . . . . . . . . . . . . . . .E
. . . . . . . .F
. .......................................................................................................................................
...............
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓
. . . . . .ZHH
. . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .ΔEBC
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ΔFCB
. . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
hoeken in congruente driehoeken.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓
. . . . . .Eig.
. . . . . . . . . . .overeenkomstige
. . . . . . . .......................................................................................................................................
...............
. . . . . . . . . . . . . . . .|. .B
. . . .1
. . . |. . . .=
. . . . . .|. .C
. . . .1
. . . |. . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
in een gelijkbenige driehoek.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓
. . . . . .Eig.
. . . . . . . . . . .basishoeken
. . . . . . . .......................................................................................................................................
...............
. . . . . . . . . . . . . . . .ΔHBC
. . . . . . . . . . . . . . . . . .is
. . . . .gelijkbenig.
. . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
963 V*
Als je in een gelijkbenige driehoek ABC met tophoek A de zwaartelijnen BE en CF tekent met
snijpunt Z en E en F zijn de snijpunten van de zwaartelijnen met de benen, dan is ΔZCB gelijkbenig.
Gegeven:
. .ΔABC.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................
A
BE en CF zijn zwaartelijnen.
. .F. . .is
. . . .het
. . . . . . . .snijpunt
. . . . . . . . . . . . . . . . . van
. . . . . . . . .FC
. . . . . . en
. . . . .............................................................
AB.
E is het snijpunt van AC en BE.
Z is het snijpunt van DC en BE.
Te bewijzen: . .ΔZBC
. . . . . . . . . . . .is
. . . .gelijkbenig.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................
Bewijs:
E
F
Z
. .Voor
. . . . . . . . . . ΔEBC
. . . . . . . . . . . . en
. . . . . . ΔFCB
. . . . . . . . . . . . geldt:
. . . . . . . . . . . .............................................................
|
|
|
|
(ΔABC is gelijkbenig :
. .Z
. . . . . . . . . . . . . . . .EC
. . . . . . . . .=
. . . . .FB
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................
C
1
1
B
| AB | = | AC | en E is het midden
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................
van [AC] en F is het midden van [AB])
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
...............
| . . . .|. . . . .=. . . .|.B. . .|. . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
(eig. basishoeken in een gelijkbenige driehoek)
. .H
. . . . . . . . . . . . . . . .C
...............
(gemeenschappelijke zijde)
. .Z
. . . . . . . . . . . . . . . .BC
. . . . . . . . .=
. . . . . BC
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
...............
|
|
|
|
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓
. . . .ZHZ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . ΔEBC
. . . . . . . . . . . . . . . .ΔFCB
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
hoeken in congruente
driehoeken.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓
. . . .Eig.
. . . . . . . .overeenkomstige
. . . . . . . . . . . . . . ............................................................
..........................................................................
...............
| |
. . . . . . . . . . . . . . . . . .B
. . . .1. . . . .=
. . . .|.C
. . . 1. . |. . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
in een gelijkbenige driehoek.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓
. . . .Eig.
. . . . . . . .basishoeken
. . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
...............
. . . . . . . . . . . . . . . . ΔZBC
. . . . . . . . . . . . .is
. . . .gelijkbenig.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
Bewijs: eigenschap van de basishoeken in een gelijkbenige driehoek
M31
339
964 B
Als een driehoek gelijkzijdig is dan is de bissectrice van een
hoek ook de middelloodlijn van de overstaande zijde.
a
b
c
d
Bewijs.
Teken de driehoek.
Duid het gegeven aan in het groen, het te bewijzen in het rood.
Bewijs met behulp van congruente driehoeken.
d
C
2 1
Gelijkzijdige driehoek ABC.
C.
. .d
. . . . .is
. . . . . de
. . . . . . . . .bissectrice
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van
. . .............................................................
1 2
d en [ AB ].
. .D
. . . . . .is
. . . . . het
. . . . . . . . . . .snijpunt
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . van
. . . . . .............................................................
B
A
D
van [ AB ].
Te bewijzen: . .d
. . . . .is
. . . . . de
. . . . . . . . .middelloodlijn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................
van [ AB ]
(C ligt op gelijke afstand van A en van B: eig. gelijkzijdige
Bewijs:
. .C
. . . .ligt
. . . . . . .op
. . . . . . .de
. . . . . .middelloodlijn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................
Gegeven:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................
driehoek + eig. middelloodlijn) (n)
Voor ΔCAD en ΔCBD geldt:
(def. gelijkzijdige driehoek)
. .Z
. . . . . . . |. .CA
. . . . . . .|. .=
. . . .|. CB
. . . . . . |. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
...............
H |C 1 | = |C 2 |
(def. bissectrice)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
Z |CD| = |CD|
(gemeenschappelijke zijde)
. . . . . . . . .⇓
. . . .ZHZ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
ΔCAD ΔCBD
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
⇓ Eig. overeenkomstige zijden in congruente driehoeken
. . . . . . . . .|AD|=|BD|
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
⇓ (eig. middelloodlijn)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
D ligt op de middelloodlijn van [ AB ](o)
van [ AB ] (twee verschillende punten bepalen één rechte) . . . . . . . . . . . . . . .
. .(n)en
. . . . . . . . . . . . .(o)
. . . . . . . . CD
. . . . . . . is
. . . . de
. . . . . . middelloodlijn
. . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
965 V*
P is het middelpunt van de omgeschreven cirkel van de driehoek XYZ. P1, P2 en P3 zijn de middelpuntshoeken die gevormd worden door de hoekpunten van de driehoek.
Als | P1 | = | P2 | = | P3 | dan is driehoek XYZ gelijkzijdig.
a
b
Duid het gegeven aan in het groen, het te bewijzen in het rood.
Bewijs.
Gegeven:
Cirkel c met P als middelpunt en straal | PX |.
de cirkel.
. .X,
. . . . . . Y,
......Z
. . . . . .behoren
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .tot
. . . . . . . . .......................................................................................................................................
...............
. .|. .P
. . . .1
. . . |. . .=
. . . . . |. . .P
. . . .2. . .|. . =
. . . . . .|. . P
. . . . .3. . |. ... . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
Te bewijzen:
X
c
1
3
P
2
Z
340
M31
Bewijs: eigenschap van de basishoeken in een gelijkbenige driehoek
Y
Te bewijzen: . .Driehoek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XYZ
. . . . . . . . . . . . .is
. . . . . gelijkzijdig.
. . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
Voor driehoek PXY, driehoek PYZ en driehoek PZX geldt:
| . . . . . . . . |. . .=
| . . . . . . . . |. . .=
| PZ |
(def. straal cirkel)
. .Z
. . . . . . . . . . . . . . . . PX
. . . . . . . PY
. . . . . . .......................................................................................................................................
...............
P3 |
(gegeven)
. .H
. . . . . . . . . . . . . . .|. .P
. . . .1. . .|. . =
. . . . . .|. . .P
. . . .2. . .|. .=
. . . . . .|. .......................................................................................................................................
...............
| . . . . . . . . |. . .=
| . . . . . . . . |. . .=
| PX |
(def. straal cirkel)
. .Z
. . . . . . . . . . . . . . . . PY
. . . . . . . PZ
. . . . . . .......................................................................................................................................
...............
. . . . . . . . . . . . . . . . .⇓
. . . . .ZHZ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
ΔPZX
. . . . . . . . . . . . . . . . .ΔPXY
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ΔPYZ
. . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
...............
zijden in congruente driehoeken.
. . . . . . . . . . . . . . . . .⇓
. . . . .Eig.
. . . . . . . . . . . .overeenkomstige
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
...............
. . . . . . . . . . . . . . . . .|XY|
. . . . . . . . . . . .=
. . . . . .|YZ|
. . . . . . . . . . .=
. . . . . .|ZX|
. ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
driehoek.
. . . . . . . . . . . . . . . . .⇓
. . . . .Def.
. . . . . . . . . . . . .gelijkzijdige
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
...............
. .Driehoek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XYZ
. . . . . . . . . . . . .is
. . . . . gelijkzijdig.
. . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
Bewijs:
966 V**
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
ΔABC is gelijkbenig met tophoek A = 36°.
BD is een deellijn (bissectrice) van B.
a
A
Toon aan dat | BC | = | BD |.
ΔABC: eig. basishoeken in
.n
. . . . . . . . . . . . . . . .B
. . . . . .=
. . . . .C
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(In
. . . . . ...........................................................
36°
| | | |
driehoek)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .gelijkbenige
. . . . . ...........................................................
| | | |
d
180° – 36°
B
D
ΔABC: eig. som van de hoeken
. . . . . . . . . . . . . . . . .B
. . . . . .=
. . . . .C
. . . . . .=
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.=
. . . .72°
. . . . . . . . . . .(In
. . . . . ...........................................................
2
driehoek)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .in
. . . . .een
...........................................................
| |
B
B
bissectrice)
.o
. . . . . . . . . . . . . . . .B
. . .1. . . .=
. . . . . . . . . . . .=
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(def.
. . . . . ...........................................................
| |
1
2
2
72° = 36°
B
. . . . . . . . . . . . . . . .|.B
. . .1. .|. .=
. . . . . . . . . . .
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...........................................................
C
1
B
ΔDBC: eig. som van de hoeken
.p
. . . . . . . . . . . . . . . .D
. . . .2. . . .=
. . . .180°
. . . . . . . . . .–
. . . 72°
. . . . . . . .–
. . . .36°
. . . . . . .=
. . . .72°
. . . . . . . . . . .(In
. . . . . ...........................................................
| |
driehoek)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .in
. . . . .een
...........................................................
ΔBDC: eig. basishoeken in
.q
. . . . . . . . . . . . . . . .C
. . . . . .=
. . . . . .D
. . . 2. . . . .=
. . . .72°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(In
. . . . . ...........................................................
| | | |
gelijkbenige driehoek)
Bewijs: eigenschap van de basishoeken in een gelijkbenige driehoek
M31
341
967V***
ΔABC is gelijkbenig met tophoek A.
E is het midden van [AC] en D is het midden van [AB].
F is het voetpunt van de loodlijn uit E op CB en G is het voetpunt van de loodlijn uit D op CB.
a
b
A
Bewijs dat ED // CB.
Bewijs dat | CF | = | GB |.
ΔABC is gelijkbenig.
[AC] en D is het
. .E
. . . .is
. . . . . .het
. . . . . . . . . . midden
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . . .............................................................
. .midden
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . . . . . . .[AB].
. . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................
Te bewijzen: CB // ED.
Gegeven:
Bewijs:
E
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................
1
C
F
D
1
G
B
180° – | A |
B
(eig. basishoeken in een gelijkbenige driehoek)
. .n
. . . . . . . . . . . . . . . .C
. . . . . .=
. . . . . .B
. . . . .=
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
...............
| | | |
2
E is het midden van [AC] en D is het midden van [AB]. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . ΔAED
. . . . . . . . . . . . .is
. . . .gelijkbenig
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
even lange zijden zijn opnieuw twee even lange zijden.
. . . . . . . . . . . . . . . . De
. . . . . . .helften
. . . . . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . . .twee
. . . . . . .......................................................................................................................................
...............
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
180° – | A |
B
(eig. basishoeken in een gelijkbenige driehoek)
. .o
. . . . . . . . . . . . . . . .E
. . . . . .=
. . . . . .D
. . . . . .=
. . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
...............
| | | |
2
. . . . . . . . . . . . . . . .⇓
. . . .n
. . . . . .en
. . . . . .o
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
| | | |
. . . . . . . . . . . . . . . . . .C
. . . . . .=
. . . . . .E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
hoeken gevormd door CB en ED en snijlijn CE)
. . . . . . . . . . . . . . . .⇓
. . . . (eig.
. . . . . . . . . .overeenkomstige
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
...............
. . . . . . . . . . . . . . . . CB
. . . . . . .//
. . . .ED.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
Te bewijzen: | CF | = | GB |
Bewijs:
. .Voor
. . . . . . . . . .ΔEFC
. . . . . . . . . . . .en
. . . . . .ΔDGB
. . . . . . . . . . . . .geldt:
. . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
| |
| |
| |
| |
(eig. basishoeken in een gelijkbenige driehoek)
. .H
. . . . . . . . . . . . . . . .C
. . . . . . . . .=
. . . . .B
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
...............
(def. loodlijn)
. .H
. . . . . . . . . . . . . . . .F
. . . . . . . . .=
. . . . .G
. . . . . . .=
. . . .90°
. . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
...............
E is het midden van [AC] en D is het midden van [AB]. . . . . . . . . . . . . . . .
. .Z. . . . . . . . . . . . . . |. .EC
. . . . . .|. . .=
. . . . . DB
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
|
|
(De helften van twee even lange zijden zijn opnieuw even
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
. . . . . . .lang)
........
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓
. . . .HHZ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . ΔEFC
. . . . . . . . . . . . . . . .ΔDGB
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
zijden in congruente driehoeken.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓
. . . .Eig.
. . . . . . . .overeenkomstige
. . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
...............
. . . . . . . . . . . . . . . . |. .CF
. . . . . .|. . .=
. . . . . GB
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
|
|
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
342
M31
Bewijs: eigenschap van de basishoeken in een gelijkbenige driehoek