Praktische Opdracht Bètamiddag Wiskunde/Natuurkunde

Praktische Opdracht Bètamiddag Wiskunde/Natuurkunde
Numerieke modellen
Als een auto met constante snelheid langs een horizontale rechte lijn beweegt, kun je
de beweging beschrijven met de formule s = v.t.
Als je de grootte van de snelheid weet, bv. 20 m/s, kun je op ieder willekeurig tijdstip
de plaats bepalen waar de auto zich bevindt en van de beweging een plaats-tijddiagram tekenen.
Ook de computer kan deze grafiek tekenen, maar gebruikt daarvoor een andere
methode. De computer werkt met een zogenaamd numeriek model. Bij ons
voorbeeld ziet dat er zo uit:
Regel
1
2
3
Model
t = t + dt
ds = v  dt
s = s + ds
Startwaarden
t=0
dt = 1,0
v = 20
s=0
Regel 1 en 3 zien er in eerste instantie wat vreemd uit.
t = t + dt betekent: nieuw tijdstip = oud tijdstip + verlopen tijd
s = s + ds betekent: oude plaats = nieuwe plaats + verplaatsing
ds = v  dt betekent natuurlijk gewoon: verplaatsing = snelheid x verlopen tijd
Als de computer regel 3 heeft uitgevoerd, springt hij weer naar regel 1 en voert de
regels opnieuw uit en dat blijft zo doorgaan tot we hem laten stoppen.
Opdracht A
Voer dit model in in het onderdeel modelomgeving van IPCoach en laat een
s-t-diagram en een v-t-diagram tekenen.
Gebruik als maalteken de  . Bij de instelling “Diagrammen” geef je aan wat langs de
x-as en de y-as wordt uitgezet.
Opdracht B
Regel
1
2
3
4
5
Model
t = t + dt
dv = a  dT
v = v + dv
ds = v  dt
s = s + ds
Startwaarden
t=0
dt = 1, 0
a = 0,5
v=0
s=0
a) Wat is de natuurkundige betekenis van bovenstaand model?
b) Voer het in in modelomgeving van IPCoach en laat het s-t, v-t en a-t-diagram
tekenen. Voldoen de grafieken aan je verwachtingen?
c) Verander de stapgrootte dt in dt = 0,1. Verandert er iets aan de diagrammen?
Om een model correct te laten werken, is het vaak nodig dat de regels in de juiste
volgorde staan. Dat bereik je het makkelijkst door het model van onder naar boven
op te bouwen.
Beta-middagen
versie 2010
1
In bovenstaand model wil je de nieuwe plaats s berekenen met s = s + ds.
Wat heb je daarvoor nodig? ds. Die vind je met ds = v  dt
Wat heb je daarvoor nodig? v. Die vind je met v = v + dv
Wat heb je daarvoor nodig? dv. Die vind je met dv = a  dt
Wat heb je daarvoor nodig? dt en a. Die vind je bij de startwaarden, want dat zijn
constanten.
Daarmee heb je alles wat je langs de verticale as van de grafiek zou kunnen zetten
gehad.
De bovenste regel is vaak t = t + dt, omdat langs de horizontale as vaak de tijd zal
worden uitgezet.
Vrije val
De vrije val die een parachutist maakt is ook in een model onder te brengen. Nu komt
er ook een kracht in de modelregels voor. Eerst doen we net of er geen wrijving is.
Regel
1
2
3
4
5
6
7
Model
t = t +dt
a = Fz/m
dv = a  dt
v = v + dv
dy = v  dt
y = y + dy
h = h0 – y
Startwaarden
t=0
dt = 0,1
m = 80
g = 9,8
Fz = m  g
v=0
y=0
h0 = 1000
Merk op dat je bij de startwaarden ook formules mag zetten: Fz = m  g.
Doe dat alleen als de berekening een constant getal oplevert.
Opdracht C
a) Voer het model weer in in IPCoach en laat een h-t-diagram tekenen.
Een subscript zoals de z in Fz typ je in met ctrl ↓
b) Volgens Galilei vallen voorwerpen met verschillende massa even snel. Kun je dat
met dit model aantonen?
In werkelijkheid ondervindt de parachutist natuurlijk wel wrijving. Voor de luchtwrijving
geldt de volgende formule:
Fw = ½.cw.ρ.A.v2
Hierin is ρ de dichtheid van de lucht, A het frontale oppervlak van het bewegende
voorwerp en cw de weerstandscoëfficiënt, die afhangt van de stroomlijn van het
bewegende voorwerp. Omdat ½, cw, ρ en A allemaal constant zijn, kun je schrijven:
Fw = k.v2
Opdracht D
a) In bovenstaand model moet je, om de invloed van de wrijvingskracht zichtbaar te
maken, twee regels toevoegen en één regel aanpassen. Voer deze veranderingen
in in IPCoach. Noteer v2 als v^2
Voeg aan de startwaarden k = 0,22 toe. Vergelijk het h-t-diagram met dat van het
model zonder wrijving.
Beta-middagen
versie 2010
2
b) Heeft Galilei nog steeds gelijk?
In bovenstaand voorbeeld springt de parachutist vanaf 1000 m. Natuurlijk trekt hij op
een bepaalde hoogte aan het touwtje, waardoor de parachute open gaat. Het gevolg
is dat de k-waarde fors verandert. In onderstaand model gaan we er van uit, dat de
parachute zich volledig ontvouwt tussen h = 400 m en h = 350 m en dat k dan
evenredig met de afgelegde afstand toeneemt tot zijn maximumwaarde is bereikt.
Het model wordt daartoe uitgebreid met twee zogenaamde voorwaardelijke
instructies.
Regel
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Model
t = t + dt
Fw = k  v^2
Fr = Fz - Fw
a = Fr/m
dv = a  dt
v = v + dv
dy = v  dt
y = y + dy
h = h0 – y
als h<400 dan k = 0,6  (400 – h) eindals
als h<350 dan k = 30 eindals
Startwaarden
t=0
dt = 0,1
m = 80
g = 9,8
Fz = m  g
k = 0,22
v=0
y=0
h0 = 1000
Opdracht E
a) Probeer ook dit model uit in IPCoach. Laat een h-t-diagram en een v-t-diagram
tekenen.
b)1) Met welke snelheid bereikt de parachutist de grond?
2) Van welke hoogte zou je (zonder parachute) moeten springen om met dezelfde
snelheid op de grond te komen?
3) Vind je het resultaat van b)2) verantwoord? Wat zou je kunnen veranderen om
met lagere snelheid neer te komen? Probeer dat uit met het model.
Differentiaalvergelijkingen
Keren we even terug naar de vrije val met luchtwrijving, waarvoor geldt:
FR ( Fz  Fw ) (m.g  k .v 2 )
dv
a


dt
m
m
m
Dus
dv
k
 g  .v 2
dt
m
Een vergelijking zoals deze, waarbij de afgeleide van een grootheid (dv/dt) een
functie is van de grootheid zelf (v2) noemen wiskundigen een differentiaalvergelijking.
Zoals we hierboven gezien hebben kunnen we differentiaalvergelijkingen kennelijk
met numerieke modellen oplossen.
Er zijn nog meer verschijnselen in de natuurkunde die beschreven kunnen (en
moeten) worden met een differentiaalvergelijking. De volgende experimenten zijn
allemaal met een differentiaalvergelijking te beschrijven:
Beta-middagen
versie 2010
3
1. Het afkoelen van een kopje koffie
Omdat de hoeveelheid warmte die de koffie afstaat, dus ook de temperatuurdaling,
afhangt van het temperatuurverschil met de omgeving, kunnen we het proces
beschrijven met de volgende differentiaalvergelijking:
dT
 k .(T  Tomgeving )
dt
Waarin k een evenredigheidsconstante is, T de temperatuur en t de tijd.
a) Wat is de eenheid van k?
Opdracht
b) Voer een proef uit waarbij je het verband tussen temperatuur en tijd bepaalt voor
het afkoelen van een glas heet water. Meet zowel handmatig als met de
temperatuursensor gekoppeld aan het onderdeel meetomgeving van IPCoach.
Geef je resultaten weer in een grafiek.
c) Bepaal uit je metingen de waarde van k.
d) Stel een numeriek model op voor deze meting en voer dat in in modelomgeving
van IPCoach. Krijg je dezelfde T-t-grafiek?
e) Los de differentiaalvergelijking op. Controleer je oplossing voor een drietal
tijdstippen.
f) Hoe verandert de differentiaalvergelijking als je gaat meten aan een blikje cola dat
je uit de koelkast gehaald hebt?
Beta-middagen
versie 2010
4
2. Manneke Pis
Als je in nevenstaande opstelling het
water uit de fles laat lopen, dan zal,
door het dalen van het waterniveau, de
druk op de opening steeds kleiner
worden. Daardoor wordt de snelheid
waarmee het water naar buiten spuit
ook steeds kleiner. De afname van de
waterhoogte per seconde en de
uitstroomsnelheid van het water zijn
natuurlijk rechtevenredig met elkaar:
dh
 c.v
dt
Het uitstromende water krijgt zijn bewegingsenergie uit de zwaarte-energie van het
m.g .h  12 m.v 2
water in de fles, dus geldt:
dus
v  2.g.h
Dit resulteert in de volgende differentiaalvergelijking:
dh
 k. h
dt
a)1) Wat is de eenheid van k?
2) Is k positief of negatief? Waarom?
Opdracht
b) Voer een proef uit waarbij je het verband bepaalt tussen het waterniveau (h) in de
fles en de tijd (t). Meet zowel handmatig als met het onderdeel videometen van
IPCoach.
Geef je resultaten weer in een grafiek.
c) Bepaal uit je metingen de waarde van k.
d) Stel een numeriek model op voor deze meting en voer dat in in modelomgeving
van IPCoach. Krijg je dezelfde h-t-grafiek?
e) Los de differentiaalvergelijking op. Controleer je oplossing voor een drietal
tijdstippen.
f) De afstand x, die het uitstromende water in horizontale richting aflegt, zal ook
afnemen als het waterniveau in de fles daalt.
Bepaal zowel handmatig als met het onderdeel videometen van IPCoach het
verband tussen x en t en daaruit het verband tussen x en h.
Geef de verbanden in grafieken weer.
g) Probeer het bij f) gevonden verband te verklaren.
(N.B. Het uitstromende water beschrijft een kogelbaan.)
Beta-middagen
versie 2010
5
3. Vervluchtigen van kamferbolletjes
Vroeger werd kleding tegen motten beschermd door bolletjes kamfer (die daarom
ook wel mottenballen werden genoemd). De kamfer uit deze bolletjes vervluchtigt en
dat houdt de motten op afstand.
De kamfer kan natuurlijk alleen aan het oppervlak van het bolletje vervluchtigen.
Daarom is de massa die per seconde vervluchtigt rechtevenredig met de grootte van
het oppervlak.
dm
Omdat Abol  4 .r 2 geldt dus
 c.r 2
dt
Ook geldt m   .V   . 43 . .r 3
2
dm
 k .m 3
dt
b) Is k positief of negatief? Waarom?
a) Toon aan dat geldt
Opdracht
c) Voer een proef uit waarbij je het verband bepaalt tussen de massa (m) van een
kamferbolletje en de tijd (t).
Gebruik een nauwkeurige balans (kabinet scheikunde).
Geef je resultaten weer in een grafiek.
d) Zijn er nog andere factoren die de vervluchtigingsnelheid beïnvloeden?
Hoe moet je de proef dus uitvoeren?
e) Bepaal uit je metingen de waarde van k.
f) Als het bolletje op een ondergrond ligt, neemt niet het hele oppervlak deel aan het
vervluchtigen. Hoe beïnvloedt dat de gevonden waarde van k?
g) Stel een numeriek model op voor deze meting en voer dat in in modelomgeving
van IPCoach. Krijg je dezelfde m-t-grafiek?
h) Los de differentiaalvergelijking op. Controleer je oplossing voor een drietal
tijdstippen.
Beta-middagen
versie 2010
6
4. Vallende badminton shuttle
Als een shuttle naar beneden valt, ondervindt het drie
krachten: zwaartekracht, wrijvingskracht en opwaartse kracht.
De opwaartse kracht in lucht is verwaarloosbaar en voor de
wrijvingskracht geldt:
Fw = ½.cw.ρ.A.v2
Daarin is cw een weerstandsfactor die van de geometrie afhangt, ρ de dichtheid van
lucht, A het (frontale) oppervlak van de shuttle en v is de snelheid van de shuttle.
Er geldt:
FR  Fz  Fw
Als differentiaalvergelijking:
Of korter:
m.a  m.g  ½.c w . . A.v 2
dus
m.
½.c w . . A.v 2
dv
dv
 m.g  ½.c w . . A.v 2 
g
dt
dt
m
dv
 g  k .v 2
dt
De oplossing van deze vergelijking luidt:
 e2
v(t )  g / k . 2
e

gk .t
gk .t
 1 
 1 
a) Wat is de eenheid van k?
Opdracht
b) Laat een gele badmintonshuttle vallen vanaf een hoogte van zeker 4 meter en
bepaal met het onderdeel videometen van IPCoach het verband tussen
snelheid (v) en tijd (t).
Geef je resultaten weer in een grafiek.
c) Bepaal uit je metingen de waarde van k.
Als je het frontale oppervlak en de massa van de shuttle kent, kun je de cw waarde
Van de shuttle berekenen.
d) Stel een numeriek model op voor deze meting en voer dat in de modelomgeving
van IPCoach. Krijg je dezelfde v-t-grafiek?
e) Toon aan dat de geven oplossing voor v(t) voldoet aan de differentiaalvergelijking
f) Toon aan dat de snelheid op t = 0 gelijk is aan v = 0 .
g) Toon aan, zowel met behulp van de differentiaalvergelijking als de oplossing
voor v(t), gelijk is aan:
veind  g / k
Beta-middagen
versie 2010
7
5. Vallend kogeltje in vloeistof.
Als een kogeltje in vloeistof naar beneden valt, , ondervindt het drie krachten:
zwaartekracht, wrijvingskracht en opwaartse kracht.
Voor de zwaartekracht geldt:
Fz  mbol .g
Voor de wrijvingskracht geldt de wet van Stokes:
Fw  6. ..r.v
Daarin is η de viscositeit van de vloeistof, r de straal van het druppeltje en v de
snelheid van het druppeltje.
De opwaartse kracht is gelijk aan het gewicht van de verplaatste vloeistof:
Fop  mvloeistof .g
Er geldt:
FR  Fz  Fop  Fw
Als differentiaalvergelijking:
dus
mbol .
mbol .a  mbol .g  mvloeistof .g  6. . .r.v
dv
 mbol .g  mvloeistof .g  6. . .r.v
dt
dus
mvloeistof
 vloeistof
dv
6. ..r
dv
6. ..r
g
.g  (
).v 
g
.g  (
).v
dt
mbol
mbol
dt
 bol
mbol
Of korter:
dv
 C  k .v
dt
a)1) Wat is de eenheid van k?
2) Wat is de eenheid van C?
Opdracht
b) Laat een kogeltje vallen in een cilinder met vloeistof (olie of glycerine) en bepaal
met het onderdeel videometen van IPCoach het verband tussen
snelheid (v) en tijd (t).
Geef je resultaten weer in een grafiek.
c) Bepaal uit je metingen de waarde van k.
Als je de massa en de straal van het kogeltje kent, kun je daarmee de
viscositeit (η) van de vloeistof berekenen.
Vergelijk de berekende viscositeit met de literatuurwaarde en probeer eventuele
verschillen te verklaren.
d) Stel een numeriek model op voor deze meting en voer dat in in modelomgeving
van IPCoach. Krijg je dezelfde v-t-grafiek?
e) Los de differentiaalvergelijking op. Controleer je oplossing voor een drietal
tijdstippen.
Beta-middagen
versie 2010
8
6. Kogelbaan
In het voorgaande staat ergens als definitie voor de differentiaalvergelijking: Een
vergelijking, waarbij de afgeleide van een grootheid (bv. dv/dt) een functie is van de
grootheid zelf (bv. v2), noemen wiskundigen een differentiaalvergelijking.
Je kunt de definitie ook ruimer nemen: Iedere vergelijking waar een differentiaal in
voorkomt (zoals dv) is een differentiaalvergelijking.
dv
Volgens deze definitie is
 9,81 dus een differentiaalvergelijking.
dt
Dit soort vergelijkingen komen we tegen bij de beschrijving van een kogelbaan.
Als je een kogel onder een hoek α schuin omhoog
wegschiet, met beginsnelheid v0, beschrijft de kogel
een parabool (tenminste als hij geen luchtwrijving
ondervindt). Om de beweging te beschrijven,
ontbinden we hem in de x-richting en de y-richting.
Opdracht
a) Maak de volgende differentiaalvergelijkingen af:
dv y
dv x
dx



dt
dt
dt
dy

dt
b) Lanceer een kogel onder een bepaalde hoek (gebruik hiervoor de cilinder met de
veer) en neem de beweging op met een videocamera.
c) Analyseer de beweging met het onderdeel videometen van IPCoach en bepaal de
maximale hoogte, de reikwijdte (= de maximale horizontale afstand), de
baanvergelijking (dus y als functie van x) en de beginsnelheid v0.
Produceer allerlei grafieken (x-t, y-t, vx-t, vy-t, y-x)
d) Herhaal b) en c) voor minstens twee andere lanceerhoeken.
e) Bereken ook theoretisch, uit de gemeten reikwijdte en de lanceerhoek, de
beginsnelheid en de maximale hoogte.
f) Stel een numeriek model op voor de kogelbaan en voer dat in in modelomgeving
van IPCoach. Krijg je dezelfde grafieken?
g) Het numerieke model uit f) kun je verfijnen door de luchtwrijving niet te
verwaarlozen.
Voer ook de luchtwrijving in in het model en probeer de y-x-grafiek zo goed
mogelijk passend te krijgen op de gemeten y-x-grafiek.
Beta-middagen
versie 2010
9
7. Harmonische trilling
Je kent vast nog wel het proefje met de veer uit de derde klas: Je hangt een
gewichtje aan een veer en meet de uitrekking van de veer. Op zich niets spannends,
maar het wordt al wel leuker als je het gewichtje op en neer laat dansen, ofwel een
harmonische trilling laat uitvoeren. Je krijgt dan te maken met de zgn. terugdrijvende
kracht, die ervoor zorgt dat het gewichtje steeds terug ‘wil’ naar de evenwichtsstand.
Deze kracht wordt besproken in boek N1-2, hoofdstuk 1 (wet van Hooke).
Waar het ons nu om gaat, is dat de beweging van een gewichtje aan een trillende
veer voldoet aan een tweede-orde differentiaalvergelijking:
d 2u
m 2  Cu  0 ,
dt
(1)
met u de uitwijking van het gewichtje t.o.v. de evenwichtsstand, C de veerconstante
van de gebruikte veer en m de massa van het trillende gewichtje.
De algemene oplossing van deze differentiaalvergelijking luidt
u(t) = A cos(ωt + β),
(2)
met ω = √(C/m) en waarin de constanten A en β bepaald worden door de nog op te
leggen randvoorwaarden.
a) Leid de differentiaalvergelijking (1) af.
b) Wat stellen de constanten A en β fysisch voor?
c) Controleer de gesuggereerde oplossing (2) door deze in te vullen in de
differentiaalvergelijking.
d) Bereken de trillingstijd T.
e) Onderzoek de trillende veer m.b.v. het onderdeel videometen in IPCoach.
Kies zelf de waardes voor A en β.
Geef je resultaten weer in een (u,t)-diagram
Tenslotte gaan we de tweede orde differentiaalvergelijking modelleren in IP coach.
Het zou te ver voeren om deze differentiaalvergelijking in deze vorm numeriek (=
m.b.v van de computer) op te lossen. Daarom gaan we een sustitutie toe passen
waarmee we de tweede orde differentiaalvergelijking kunnen reduceren tot een
eerste orde differentiaalvergelijking. Hiervoor introduceren we de volgende functie:
v(t )  u ' (t ) 
du
dt
(3)
Vervolgens passen we de kettingregel toe op de afgeleide van v(t):
u ' ' (t ) 
Beta-middagen
dv dv du dv

.

.v
dt du dt du
versie 2010
(4)
10
Deze uitdrukking voor u’’(t) substitueren we nu in vergelijking (1). Aldus volgt:
m
dv
.v  C.u  0
du
(5)
die eenvoudig is om te schrijven in
vdv 
C
.udu  0
m
(6)
Het integreren van deze functie levert ons uiteindelijk de eerste orde
differentiaalvergelijking op: de zogenoemde “first integral”.
1
2
mv 2  12 Cu 2  B
(7)
Met B een nader te bepalen constante. Hierin herken je de energievergelijking voor
een trillende veer.
f) Wat is de fysische betekenis voor de twee termen aan de linkerkant van de
vergelijking?
1
g) Leid af dat: B  2 m A . Substitueer daarvoor u(t) = A cos(ωt + β)
in vergelijking (7).
2
2
Gebruik daarbij v(t )  u ' (t ) 
du
  A sin( t   ) en  2  C
dt
m
h) Wat is de fysische betekenis van de constant B? Laat tevens door
eenhedenanalyse zien dat de eenheid na B de energie-eenheid Nm heeft.
i) Bepaal de fasehoek β door gebruik te maken van de beginvoorwaarde v(0) =0
j) Stel een numeriek model op voor deze meting en voer dat in in de modelomgeving
van IPCoach. Vergelijk het resultaat met die van het videometen.
Beta-middagen
versie 2010
11
8. Groeiende olievlek
Zo nu en dan verschijnt er weer eens een verontrustend bericht in de krant:
“Olietanker lekt olie”. Slecht voor het milieu, maar interessant om aan te rekenen. Als
de olie namelijk met een constant volume per seconde in het water terecht komt,
neemt de oppervlakte van de vlek eenparig (rechtevenredig met de tijd) toe. Met dat
gegeven als uitgangspunt kunnen we een differentiaalvergelijking afleiden voor de
straal van een cirkelvormige olievlek.
In onderstaande figuur is een en ander verduidelijkt. De toename van de oppervlakte
noemen we ΔO, de toename van de straal ΔR.
ΔR
ΔO
R
Voor de eenparige toename van de oppervlakte kunnen we nu schrijven:
O  ct
(1)
(met c een nader te bepalen evenredigheidsconstante) terwijl ook bij benadering
geldt:
O  2RR
(2)
indien ΔR klein genoeg genomen wordt.
Met behulp van (1) en (2) kun je eenvoudig afleiden dat als Δt klein genoeg genomen
wordt, de differentiaalvergelijking voor R(t) gegeven wordt door
dR k

dt R
(3)
Waarbij k een nieuwe constante is die van c afhangt.
a)
Leid de differentiaalvergelijking (3) af uit (1) en (2) en geef het verband
tussen c en k. Wat is de eenheid van k?
Beta-middagen
versie 2010
12
b)
Zoek de functie R(t) die aan de differentiaalvergelijking voldoet indien we
als beginvoorwaarde R(0) = 0 kiezen.
We gaan de groeiende olievlek experimenteel nabootsen m.b.v. slaolie in water.
Bedenk hiertoe een meetopstelling waarmee je herhaaldelijk met dezelfde snelheid
slaolie in het water kunt laten vloeien. Van belang is dat je de olie van vlak boven het
wateroppervlak in het water laat vloeien, omdat je anders allemaal losse olievlekjes
krijgt. Dit experiment kun je uitvoeren voor verschillende tijden (stopwatch!), zodat je
een tabel kunt maken van de verschillende gemeten diameters/stralen en de tijd. Een
andere mogelijkheid is om de proef uit te voeren d.m.v. videometen. Het voordeel
hiervan is dat je in principe maar één keer olie hoeft te vloeien (dus zeker van een
constante vloeisnelheid). Het nadeel is dat de meetopstelling wellicht iets complexer
wordt. De camera moet je dan sowieso recht boven de groeiende olievlek
positioneren. Ook de olievlek is in de praktijk niet op elk moment cirkelvormig, dus op
de videobeelden niet op elk tijdstip goed op te meten.
c)
d)
Bepaal aan de hand van je metingen de vloeikromme (= R(t)), vergelijk
deze met de oplossing uit onderdeel b en bepaal hieruit de waarde van k
voor jouw meting.
Modelleer de differentiaalvergelijking in IPCoach, waarbij je je
experimenteel gevonden waarde voor k gebruikt. Vergelijk de gevonden
kromme wederom met de theoretische en experimentele resultaten.
Beta-middagen
versie 2010
13
9. Tractrix
In deze opdracht ga je een wiskundige kromme in het zand tekenen, die vrijwel
vanzelf ontstaat. Het praktisch gedeelte kun je uitvoeren in de verspringbak op het
sportveld.
Teken een assenstelsel in het zand van minimaal 1m (y-as) bij 2 meter (x-as).
Bevestig een grote steen of een gewicht aan een touw van ongeveer 2 m lang. Leg
het voorwerp op de y-as en wel precies op het punt (0,1). Ga zelf in de oorsprong
(met je gezicht in de richting van de x-as) staan en bind het touw enigszins losjes om
je middel. Loop nu precies over de x-as. Hierdoor zal het voorwerp een bepaalde
baan gaan beschrijven. Zie onderstaande figuur.
Stel de afstand van O tot het voetpunt gelijk aan x en de afstand PV gelijk aan y.
De baan van het punt P is de grafiek van een functie y=f(x). Die baan heet de tractrix
of sleepkromme.
dy
a) Leg uit waarom
juist de helling van PQ is.
dx
dy
y
b) Leg uit dat geldt:
.

dx
1 y2
c) Neem de kromme in het zand zo nauwkeurig mogelijk over op papier (op
schaal vanzelfsprekend!).
d) Modelleer de differentiaalvergelijking uit onderdeel b in IPCoach. Vergelijk je
resultaat met de kromme uit onderdeel c.
e) Verandert er iets aan de differentiaalvergelijking als we een andere
beginvoorwaarde nemen? (In dit geval is dat de startpositie van de steen).
Licht je antwoord toe!
Indien we de steen op de x-as leggen (op punt (1,0)) en vanuit de oorsprong
langs de y-as lopen, kunnen we een soortgelijk verband afleiden tussen y en x. In
dy
dat geval kun je
schrijven als een functie van x. Het is dan dus geen
dx
differentiaalvergelijking meer.
f) Leid het bedoelde verband af.
g) Laat zien dat de functie
2

1  1  x 

2
f ( x)   1  x  ln 

x




een primitieve functie is van het in onderdeel f gevonden verband.
Beta-middagen
versie 2010
14
10. Absorptie van licht door plexiglas
In de glastuinbouw is bekend dat licht aan intensiteit verliest wanneer het door een
glasplaat valt. Als het invallende licht een intensiteit I0 (in lumen) heeft en het legt een
afstand s af door het glas, dan is de intensiteit gereduceerd tot I(s). De bijbehorende
differentiaalvergelijking is gegeven door
dI
  kI
ds
(1)
waarbij k de uitdovingscoëfficient van het betreffende glas is.
a) Wat is de eenheid van de uitdovingscoëfficiënt k?
In deze opdracht ga je de lichtabsorptie door (plexi)glas als functie van de dikte van
het (plexi)glas meten. Hiervoor heb je een aantal ‘’blokken’’ (plexi)glas tot je
beschikking waarmee je de dikte kunt variëren. Verder meet je niet direct de
lichtintensiteit, maar de verlichtingssterkte E (in lux) m.b.v. een luxmeter.
De verlichtingssterkte E kan uit de intensiteit I berekend worden met behulp van de
formule
I
A
Hierbij is A de oppervlakte van de lichtbundel die op de luxmeter valt.
E
b) Leid de differentiaalvergelijking voor E(s) af.
c) Geef de oplossing voor deze laatste differentiaalvergelijking.
Bouw nu een opstelling waarmee je de lichtabsorptie voor verschillende diktes
(plexi)glas kunt meten. Kies daartoe een vaste afstand tussen de luxmeter en de
lichtbron. Neem als lichtbron een lamp die een evenwijdige bundel uitzendt, zodat de
oppervlakte van de lichtbundel na de (plexi)glas blokken constant blijft. Zorg er voor
dat de diameter van de lichtbundel kleiner is dan het “oog” van de luxmeter (tip:
beweeg met de luxmeter door de bundel verticaal en horizontaal heen en weer en
lees de maximale waarde af)
d) Verwerk je resultaten in een (E,s)-diagram. Bepaal ook de
uitdovingscoëfficiënt k.
e) Maak van dit (E,s)-diagram een (I,s)-diagram
f) Modelleer differentiaalvergelijking (1) in IPCoach en vergelijk de verschillend
verkregen resultaten met elkaar.
Beta-middagen
versie 2010
15
11. Het opladen en ontladen van een condensator
Voor de stroomsterkte door een condensator geldt de formule
I C
dU c
dt
(1)
met C de capaciteit van de condensator en Uc de spanning over de condensator.
Beschouw nu de serieschakeling van een weerstand R en een condensator C,
aangesloten op een spanningsbron. We kunnen dan de volgende
differentiaalvergelijking afleiden:
C
a)
dU c (U bron  U c )

dt
R
`
(2)
Geef de afleiding van deze differentiaalvergelijking
Wat er bij het opladen fysisch gebeurt is het volgende: Zodra je de schakelaar sluit,
staat alle bronspanning over de weerstand, aangezien de condensator nog niet is
opgeladen. Tijdens het opladen verkrijgt de condensator een steeds grote deel van
de bronspanning. De spanning over de weerstand neemt in dezelfde mate af. Dit
opladen gaat door tot Uc gelijk wordt aan de bronspanning Ubron. De spanning over
de weerstand is dan 0 V geworden.
b)
Los de differentiaalvergelijking (2) op
S
R
+
C
_
c)
d)
e)
Bouw de schakeling uit bovenstaande figuur op voor verschillende
combinaties van R en C en vervaardig een laadcurve m.b.v. IPCoach. Kies
voor de bronspanning een waarde van 5 V.
Vergelijk je resultaat met de oplossing uit b) voor de betreffende
combinaties van R en C.
Modelleer differentiaalvergelijking (2) in IPCoach.
Wanneer je de schakelaar (S) in de onderste stand zet, wordt het laadcircuit
onderbroken en wordt de condensator ontladen via de weerstand. De spanning over
de condensator zal dan exponentieel afnemen.
f)
Laat dit zien door voor deze situatie een differentiaalvergelijking op te
stellen en op te lossen (let op de beginvoorwaarde!)
Het product RC is de tijdconstante en is een maat voor de op- en ontlaadtijd van een
condensator (wat moet de eenheid van dit product dus zijn? Leid deze af!). Bij een
grote weerstand zal de laadstroom laag zijn (stroombegrenzing) terwijl bij een grote
Beta-middagen
versie 2010
16
capaciteit het lang duurt voordat de condensator volledig opgeladen is (capaciteit =
de hoeveelheid lading die per volt opgeslagen kan worden in de condensator). De
‘’5RC vuistregel” zegt dat een condensator zich binnen 5 RC-tijden op- of ontlaadt tot
(minimaal) 99% van de eindwaarde van de spanning.
g)
Controleer dit voor één van je schakelingen.
Beta-middagen
versie 2010
17
12. Afname schuimlaag op bier
Of je nu van Jupiler of Dommelsch houdt, schuimen doet het bier sowieso.
Schuim is een mengsel van een gas in een vloeistof. In het geval van
bierschuim is het gas voornamelijk koolstofdioxide en de vloeistof bier.
Een mooie schuimlaag is zo’n twee vingers dik (overigens niet voor de
Engelsen, die het liefst helemaal géén schuimlaag hebben). De
schuimlaag heeft echter niet het eeuwige leven. Deze neemt af met de tijd,
en wel volgens een exponentieel verband. We kunnen in dit verband dan
ook spreken van een halfwaardetijd voor de afname van de schuimlaag,
en die ga je in deze opdracht bepalen. Maar eerst wat theorie! De afname
van de dikte van de schuimlaag in een glas bier hangt lineair af van de
dikte van de schuimlaag op dat moment. Dit kunnen we vertalen in de volgende
differentiaalvergelijking:
dS
 S
dt
(1)
Waarbij S de dikte van de schuimlaag is (in cm) en λ een evenredigheidsconstante
die samenhangt met de halfwaardetijd (die we vanaf nu t½ noemen).
a) Geef de oplossing van (1) voor de dikte van de schuimlaag als functie van de
tijd. Noem de dikte op t=0 S0. Je mag λ nog even laten staan.
Na één halfwaardetijd zal de dikte van de schuimlaag gereduceerd zijn
tot ½ S0. In formulevorm:
S (t1 / 2 )  1 2 S 0 .
(2)
b) Leid nu het verband af tussen λ en t½ door je gevonden oplossing
bij onderdeel a te combineren met (2).
Voor het bepalen van de halfwaardetijd is het handig om wat meer dan twee vingers
schuim te hebben. (Het is immers niet de bedoeling om het pilsje meteen op te
drinken!) Daarom ga je het bier een aantal keer overschenken, zodat er voldoende
schuim op komt. Dit overschenken mag niet te wild gebeuren omdat er anders teveel
schuim op het bier komt te staan. Anderzijds moet het ook niet te voorzichtig
gebeuren omdat we anders weer te weinig schuim verkrijgen. De beste manier om
een redelijke schuimlaag te krijgen is als volgt: Houd tijdens het schenken het
bierflesje in de ene hand en een maatcilinder in de andere hand. Bierflesje en
maatcilinder moeten ongeveer moeten een hoek van ongeveer 135° met elkaar
maken (zie onderstaande tekening). Schenk het bier eerst langzaam over; komt er te
weinig schuim, dan mag je het bier wat sneller uit het flesje laten stromen.
Beta-middagen
versie 2010
18
Tips bij het meten:
-
-
-
Zorg ervoor dat je ongeveer 7 cm schuim hebt.
Meet zo snel mogelijk na het inschenken de
precieze dikte van de schuimlaag. Gebruik
daarvoor je geodriehoek (zie figuur). Lees de
dikte af tot op millimeters nauwkeurig.
Tijdens het inzakken van het schuim blijft er
vaak wat schuim aan de wand van het glas
plakken. Probeer dan door de openingen in het
‘’plakschuim” te kijken en de gemiddelde
hoogte te schatten.
Herhaal de meting van de dikte van de
schuimlaag elke 15 seconden, gedurende 150
seconden. Leg bij elke meting het nulpunt van
je geodriehoek opnieuw op de grens van
vloeistof en schuim. Gebruik een stopwatch.
c) Bepaal de halfwaardetijd van het bier en verwerk je meetresultaten in een
(S,t)-diagram. Bepaal ook λ (let op de eenheid!)
d) Vergelijk je experimentele resultaten met het functievoorschrift uit onderdeel a.
e) Modelleer tenslotte de differentiaalvergelijking (1) in IPCoach. Gebruik hierbij
de waarde van λ zoals je die in onderdeel c gevonden hebt.
f) Is de halfwaardetijd van bierschuim constant? Licht je antwoord toe.
g) Schrijf S(t) om in de vorm
S (t )  S 0 ( 1
t / t1 / 2
2)
(3)
en leg deze formule uit.
Beta-middagen
versie 2010
19