wiskunde voor it

I VO D E PAUW EN B IEKE M ASSELIS
WISKUNDE
VOOR IT
Derde herziene druk: juni 2014
Tweede herziene druk: juni 2012
Eerste druk: maart 2010
Foto’s: Hoofdstuk 1, David Ritter; Hoofdstuk 2, Wouter Tansens; Hoofdstuk 3, Daryl Beggs, Juan Pablo
Arancibia Medina; Hoofdstuk 4, Sofie Eeckeman; Hoofdstuk 5, Filip Joos; Hoofdstuk 6, Wouter Tansens,
Sofie Eeckeman; Hoofdstuk 7, Wouter Tansens; Hoofdstuk 8, Wouter Tansens; Hoofdstuk 9, Sofie Eeckeman;
Hoofdstuk 10, Wouter Verweirder; Hoofdstuk 11, Wouter Tansens; Hoofdstuk 12, Wouter Tansens, Sofie
Eeckeman; Hoofdstuk 13, Brecht Wyseur; Hoofdstuk 14, Wouter Tansens; Hoofdstuk 15, Wouter Tansens,
Sofie Eeckeman; Hoofdstuk 16, Wouter Tansens, Sofie Eeckeman; p.27, 71, 73, Bieke Masselis; p.82, 353,
Wouter Verweirder; p.341, Anneleen Tansens.
D/2014/45/465 – ISBN 978 94 014 2100 3 – NUR 918
Vormgeving cover en binnenwerk: Jurgen Leemans
Omslagontwerp: Jan Middendorp, in samenwerking met Ellen Deketele
© Ivo De Pauw, Bieke Masselis & Uitgeverij Lannoo nv, Tielt, 2010.
Uitgeverij LannooCampus maakt deel uit van Lannoo Uitgeverij,
de boeken- en multimediadivisie van Uitgeverij Lannoo nv.
Alle rechten voorbehouden.
Niets van deze uitgave mag verveelvoudigd worden en/of
openbaar gemaakt, door middel van druk, fotokopie,
microfilm, of op welke andere wijze dan ook, zonder
voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.
Uitgeverij LannooCampus
Erasme Ruelensvest 179 bus 101
3001 Leuven
België
www.lannoocampus.be
Dit boek is opgedragen aan Joke Ceuppens (1977-2006)
“Ze kijkt naar mij, ze ziet me niet: het sneeuwt soms in haar hoofd. Ze zegt me dat ze
vlinders ruiken kan, kan ik dat ook?”
Lieven Tavernier (Niet voorbij, oktober 2004)
Inhoud
Dankwoord
Hoofdstuk 1 · Instapwiskunde
1.1
1.2
1.3
Letterrekenen
Reële getallen
Reële veeltermen
Vergelijkingen met één onbekende
Lineaire vergelijkingen
Kwadratische vergelijkingen
Reflectie
Hoofdstuk 2 · Logaritmen
2.1
2.2
2.3
2.4
Begripsvorming
Definitie
Eigenschap
Bestaansvoorwaarden
Soorten logaritmen
Rekenregels
Hoofdbewerkingen
Veranderen van grondtal
Een notatiekwestie
Logaritmische vergelijkingen
Via de definitie
Eenzelfde grondtal
Gemengde grondtallen
Reflectie
Hoofdstuk 3 · Functies
3.1
3.2
3.3
Begrippen uit de reële analyse
Veeltermfuncties
Lineaire functies
Kwadratische functies
Krommen
Hogere graadsfuncties
Snijpunten tussen functies
15
17
18
18
23
25
25
26
32
35
36
36
37
37
38
40
40
42
43
43
43
43
44
46
49
50
51
51
53
54
54
56
8
WISKUNDE VOOR IT
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
Logaritmische functies
Exponentiële functies
De absolute waarde-functie
Discrete functies
De functie ‘floor’
De functie ‘ceiling’
Reflectie
Hoofdstuk 4 · Getalformaten
4.1
4.2
4.3
Soorten getallen
Begrippen uit de rekenkunde
Tiendelige getallen
Tweedelige getallen
Achtdelige getallen
Zestiendelige getallen
Converteren tussen getalformaten
Converteren naar decimaal formaat
Modulorekenen
Converteren van tiendelige naar vreemde getalbases
Hoekformaten
Converteren tussen getalbases die een macht van 2 zijn
Reflectie
Hoofdstuk 5 · Getallen in computers
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
De moderne computer
Getalopslag van natuurlijke getallen
Opslagformaten
Natuurlijke overflow
Getalopslag van gehele getallen
Keuze voor het 2-komplement
Converteren tussen decimale en 2-komplementweergave
2-komplementformaten
Gehele overflow
Getalopslag van reële getallen
Reële opslagfouten
De reële getalopslag als idee
Visualisering van de reële getalopslag
IEEE opslagstandaarden voor R
Foutvoortplanting
Reflectie
57
58
60
60
61
61
62
65
66
66
69
70
74
76
78
78
79
80
82
83
85
87
88
90
91
91
92
93
95
96
96
98
99
104
106
113
118
125
INHOUD
9
Hoofdstuk 6 · Booleaanse wiskunde
6.1
127
Uitsprakenlogica
Uitspraken
Verbindingen
Samengestelde uitspraken en redeneerwetten
Bewijsvoering
Structuur
Paradoxen
Schakelalgebra
Schakelaarcircuits
Combinatorische circuits
Booleaanse algebra
Structuur
Axioma’s van Huntington
Booleaanse rekenregels
Booleaanse functies
Karnaughkaarten
Begrippen
Normaliseren van functies
Vereenvoudigen van functies
IT-toepassingen
Programmeren
RAID4/5
Subnetting
Nand-technologie
Reflectie
128
129
129
131
137
138
138
140
140
142
147
147
148
149
151
156
157
159
161
167
167
168
170
171
172
Hoofdstuk 7 · Inleiding tot de cryptografie
175
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
Begrippen omtrent cryptografie
Het schema van de cryptografie
Soorten cryptografie
Indeling naar invoer
Indeling naar symmetrie
Indeling naar algoritme
Kraakpogingen
De kracht van de sleutel
De kwaliteit van het algoritme
Kraaktechnieken
Cryptografische rekenomgevingen
Associatietabellen
176
176
177
177
178
179
179
179
180
180
181
181
10
WISKUNDE VOOR IT
7.6
Restsystemen
Oplossen van lineaire vergelijkingen
Structuren met één bewerking
Structuren met twee bewerkingen
Reflectie
Hoofdstuk 8 · Lineaire cijfers
8.1
8.2
8.3
8.4
Rekenomgeving
De ringstructuur met twee bewerkingen
Tweede vuistregel voor modulorekenen
Lineaire cijfers
De publieke rekenomgeving
De vercijfering
De ontcijfering
Het algoritme
De kraakpoging
Soorten lineaire cijfers
Het caesarcijfer
Het multiplicatiecijfer
Een bijzondere kraakpoging
Reflectie
Hoofdstuk 9 · Klutsfuncties
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
Eenrichtingsfuncties
Klutsfuncties
Toepassingen
Kwaliteiten van een klutsfunctie
Parallellisatie
Restvectoren
Chinese reststelling
Parallelliseren van hoofdbewerkingen
Uitgebreide grootste gemene deler
Het algoritme ‘uggd’
Invers element in een restsysteem
Bewijs van de chinese reststelling
Lineaire vergelijkingen in een restsysteem
Reflectie
183
190
192
198
199
201
202
202
205
205
205
206
207
208
209
210
210
210
211
213
215
216
216
218
218
219
220
220
224
225
225
226
227
228
234
INHOUD
H o o f d s t u k 10 · R S A
10.1 Rekenomgeving
10.2 Getaltheorie
De totiëntfunctie
De stelling van Euler
Het gemengd modulorekenen
10.3 Rivest Shamir Adleman
De publieke rekenomgeving
De versleuteling
De ontsleuteling
Het algoritme
Voorbeeld
De kraakpoging
10.4 Handtekenen met RSA
De handtekening
De authenticatie
Het algoritme
Een gelaagde toepassing
10.5 Parallelliseren van RSA
10.6 Reflectie
H o o f d s t u k 11 · D S A
11.1 Rekenomgeving
De veldstructuur met twee bewerkingen
Generatoren
11.2 Discrete functies
Discrete logaritmen
Discrete logaritmische functie
Discrete exponentiële functie
11.3 Diffie-Hellman-sleuteluitwisseling
De publieke rekenomgeving
De uitwisseling
Het algoritme
De kraakpoging
11.4 Digital Signature Algorithm
De publieke rekenomgeving
De handtekening
De authenticatie
Het algoritme
De kraakpoging
11.5 Reflectie
11
237
238
238
238
240
240
241
241
241
242
242
243
245
246
246
246
247
247
249
253
255
256
256
258
260
260
260
261
262
262
262
263
264
266
266
267
268
269
270
272
12
WISKUNDE VOOR IT
H o o f d s t u k 12 · E l l i p t i s c h e k r o m m e n v e r s l e u t e l i n g
12.1 Rekenomgeving
12.2 Reële elliptische krommen
De reële elliptische krommengroep
Analytische aspecten
12.3 Discrete elliptische krommen
Kwadratische residu’s
Priemkrommen E p (b, c)
De priemkrommengroep
Generatorpunten
12.4 Priemkrommencryptografie
De publieke rekenomgeving
De versleuteling
De ontsleuteling
Het priemkrommenalgoritme
De kraakpoging
12.5 Priemkrommensleuteluitwisseling
De uitwisseling
Het uitwisselingsalgoritme
De kraakpoging
12.6 Priemkrommenhandtekening
De handtekening
De authenticatie
12.7 Reflectie
H o o f d s t u k 13 · A E S
13.1 Rekenomgeving
Het binair priemveld Z2
De binaire quotiëntringen
De binaire galoisvelden
13.2 Advanced Encryption Standard
De publieke rekenomgeving
Het AES-versleutelingsalgoritme
De versleuteling als functie
Het ontsleutelingsalgoritme
De ontsleuteling als omgekeerde functie
Herbruikbaarheid van het algoritme
Implementeren van het algoritme
13.3 De kraakpoging
De brute kracht aanval
De AES-eenrichtingsfunctie
13.4 Reflectie
275
276
276
277
280
281
281
282
285
285
289
289
290
292
293
294
294
295
295
296
297
297
298
299
301
302
302
303
309
311
311
313
319
321
326
326
328
328
328
329
333
INHOUD
H o o f d s t u k 14 · I n l e i d i n g t o t c o d e s
14.1 Begrippen omtrent codes
14.2 Het schema van de codeertheorie
14.3 Soorten codes
Indeling naar doelstelling
Indeling naar afstand
Indeling naar algoritme
14.4 Rekenomgevingen van codes
14.5 Constructie van codes
De ‘codering’ zonder extra bits
Coderingen met één extra bit
Een codering met twee overtallige bits
Een 3-bit overtallige codering
Een 4-bit overtallige codering
14.6 Parameters van codes
14.7 Foutafhandeling bij algemene codes
De ‘codering’ zonder extra bits
Coderingen met één extra bit
Een codering met twee overtallige bits
Een 3-bit overtallige codering
Een 4-bit overtallige codering
De muisknoppen-codering C(5, 4, 3)
Een spoorwegsein-codering
Dichtste buur-corrigering
14.8 Reflectie
H o o f d s t u k 15 · L i n e a i r e c o d e s
15.1 Rekenomgeving
Vectorruimten
Interne allocatie
15.2 Constructie van lineaire codes
Het nulcodewoord
Hamming gewicht
Basiscodewoorden
Notatie
15.3 Matrixweergave van lineaire codes
Generatormatrix G
Pariteittester H
15.4 Foutafhandeling bij lineaire codes
Syndromen
13
335
336
337
338
338
339
339
340
341
341
342
342
342
343
343
346
346
346
347
347
348
348
349
351
353
355
356
356
358
358
359
360
360
361
362
362
364
366
366
14
WISKUNDE VOOR IT
Schema van lineaire codes
15.5 Hamming codes
Het ontstaan
De constructie van hamming codes
De foutafhandeling bij hamming codes
15.6 Reflectie
H o o f d s t u k 16 · C y c l i s c h e t e s t s
16.1 Rekenomgeving
16.2 Constructie van cyclische tests
Cyclisch testen in Z
Het CRC-algoritme met binaire veeltermen
16.3 Cyclische tests versus klutsfuncties
Geen integriteitsgarantie
Geen eenrichtingsfunctie
16.4 Foutafhandeling bij cyclische tests
Samenstelling van de CRC-veelterm
Illustraties en uitzonderingen
De troeven van cyclische tests
16.5 Reflectie
Hoofdstuk A · Notatie-afspraken
A.1 Sleutels
A.2 Alfabetten
Latijns alfabet
Grieks alfabet
A.3 Wiskundige symboliek
Verzamelingen
Wiskundige symbolen
Wiskundige sleutelwoorden
Getallen
374
375
375
375
376
377
379
380
381
381
382
388
388
389
389
390
391
393
395
397
397
398
398
398
399
399
400
401
401
Hoofdstuk B · (Windows)ANSI ASCII
403
H o o f d s t u k C · We g w i j z e r s
407
C.1 Didactische wegwijzer
C.2 Antwoorden wegwijzer
407
407
Bronvermelding
408
Index
411
Dankwoord
Volgende mensen bleken van onmisbaar tot onschatbaar bij het maken van dit boek en
worden door ons uitdrukkelijk bedankt: Prof. Dr. Leo Storme, Olga Coutrin, Wouter
Tansens, Wouter Verweirder, Hilde De Maesschalck, Ellen Deketele, Conny Meuris,
Hans Ameel, Tom Decavele, Johan De Gelas, Dr. Rolf Mertig, Dick Verkerck, ir. Gose
Fischer, Dr. Tom Wickham-Jones, Prof. Dr. Fred Simons, Dr. Luc Gheysens, Johan
Beke, ir. MBA Jan Devos, Marijn Verspecht, ir. Wouter Gevaert, Dr. Philippe Bocher,
Tina Defloo, Bart Grimonprez, ir. Sarah Rommens, Wauter Leenknecht, Prof. Dr.
Vincent Rijmen, Dr. Joan Daemen, Sofie Eeckeman, Peter Saerens, Mercè Aicart, Jurgen
Leemans, Jan Middendorp, Hilde Vanmechelen, Leen Wouters, Jef De Langhe, Wannes
Van Wichelen, Eric Van Remortel, Ann Deraedt, Rita Vanmeirhaeghe, Roel Vandommele,
ir. Lode De Geyter, Bart Leenknegt, Pascal Voet, Jill Vandendriessche, Dieter Roobrouck,
Nicolaas Bijvoet, dr. ir. Frederik Vercauteren, Jef Daels, Anne-Mieke Vandenbulcke,
alle multimediale Howestcollega’s en iedereen die we even waren vergeten!
Hoofdstuk 1 · Instapwiskunde
18
WISKUNDE VOOR IT
Dit hoofdstuk omvat de onmisbare lees- en rekenvaardigheden voor het verder bestuderen
van technologische onderwerpen in hun rekenomgeving.
De opeenvolgende paragrafen van dit hoofdstuk stippen met dit oogmerk stapsgewijze
aspecten van de ‘wiskundige taal’ aan die wordt gesproken op allerlei toepassingsniveaus.
1.1 Letterrekenen
R E Ë L E G E TA L L E N
We noteren de verzameling van alle:
natuurlijke getallen (unsigned integers) als N,
gehele getallen (integers) als Z,
rationale getallen of breuken als Q,
reële getallen (floats of reals) als R.
Deze getallenverzamelingen zijn als volgt genest: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
We vervolgen met wat terminologie, waar vaak verwarring over bestaat, zodat we dezelfde
taal spreken. We wijzen erop dat het correct verwoorden ervan een weerspiegeling is van
correct denkwerk.
Verzamelingen
Deelverzamelingen worden altijd tussen accolades genoteerd, bijvoorbeeld de ledige
verzameling noteren we als {}.
Een singleton definiëren we als een verzameling met juist één element. We geven
{5} als voorbeeld van een singleton. Dit is een deelverzameling van de verzameling
van de natuurlijke getallen, {5} ⊂ N.
Een paar definiëren we als een verzameling met juist twee elementen. De verzameling van de Booleaanse waarheidswaarden vormt bijvoorbeeld een paar {waar,
onwaar}, kortweg te noteren als B. Geven we anderzijds {115, −4} als voorbeeld,
dan is dit paar een deelverzameling van de verzameling van de gehele getallen of
in symbolen {115, −4} ⊂ Z.
Deelverzamelingen zoals Z− definiëren we als {. . . , −3, −2, −1, 0} of de verzameling van enkel de negatieve gehele getallen. We noteren −1234 ∈ Z− als we
benadrukken dat het negatief getal −1234 een element is van Z− .
I N S TA P W I S K U N D E
19
Als we elementen uit een verzameling wegnemen, doen we dat met de verschilbewerking voor verzamelingen, die genoteerd wordt als ‘backslash’. Zo noteren
we bij wijze van illustratie hiervan de verzameling van de natuurlijke getallen zonder nul als N \ {0}, de verzameling van alle breuken uitgezonderd de gehele getallen als Q \ Z en de verzameling van alle reële getallen uitgezonderd nul en één als
R \ {0, 1}.
Hoofdbewerkingen
operatie
voorbeeld
getal a heet
getal b heet
uitkomst c heet
optelling
a+b = c
term
term
som
aftrekking
a−b = c
term of
aftrektal
term of
aftrekker
verschil
vermenigvuldiging
a·b = c
factor
factor
product
deeltal
of teller
deler
of noemer
quotiënt
ab = c
√
b
a=c
grondtal
exponent
macht
grondtal
wortelexponent
wortel
deling
machtsverheffing
worteltrekking
a
b
= c, b = 0
Het tegengestelde van een reëel getal r noteren we als −r en definiëren we als
r + (−r) = 0. Het invers of omgekeerde van een reëel getal r noteren we als 1r , ofwel
r−1 en definiëren we als r · r−1 = 1. Aftrekken definiëren we als het optellen met het
tegengestelde: a − b = a + (−b). Delen definiëren we als het vermenigvuldigen met het
omgekeerde: a : b = a · b−1 .
Wanneer bewerkingen elkaar ontmoeten, zijn we gehouden aan rekenregels. We herhalen
hiertoe alle essentiële rekenregels in een notendop. Er geldt een vaste volgorde voor het
uitvoeren van bewerkingen in R, dat gememoriseerd kan worden met de volgende zin
‘Het Mannetje won Van De Oude Aap’.
Eerst alles uitrekenen tussen de haakjes,
daarna alle machten (een vierkantswortel is ook een macht),
dan alle vermenigvuldigingen en delingen van links naar rechts,
ten slotte de optellingen en aftrekkingen van links naar rechts.
20
WISKUNDE VOOR IT
Er geldt ook distributiviteit in R. Distributiviteit definiëren we als de verdeel-eigenschap
van een ‘hogere’ bewerking over een ‘lagere’
bewerking. Distributiviteit vereist dus twee
verschillende bewerkingen.
Zo noteren we distributiviteit van machtsverheffen over vermenigvuldigen bijvoorbeeld
als (a · b)3 = a3 · b3 . Eveneens noteren we de
distributiviteit van vermenigvuldigen over optellen als 3 · (a + b) = 3 · a + 3 · b.
We hoeden ons ervoor tegen deze ‘trap van distributiviteit’ fouten te maken, daar in het
algemeen geldt:
(a + b)3 = a3 + b3 ,
√
√
√
a + b = a + b,
x2 + y2 = x + y.
Breuken
Een breuk is de schrijfwijze van een rationaal getal onder de vorm nt met t, n ∈ N en n = 0.
In nt is t de teller en n de noemer. De omgekeerde breuk van nt met t, n = 0 definiëren we
−1
t
. De tegengestelde breuk is dan gelijk aan − nt = −t
als 1t = nt , ofwel nt
n = −n . De
n
rekenregels voor breuken kunnen we als volgt samenvatten:
som
t
n
+ ab =
t·b+n·a
n·b ,
verschil
t
n
t·b−n·a
n·b ,
product
t
n
− ab =
deling
t
n
a
b
machtsverheffing
singuliere breuken
· ab =
t·a
n·b ,
= nt · ba ,
t m t m
= nm ,
n
1
0
0
0
= ±∞ limietgeval,
=? onbepaald.
Machten
Een macht is de schrijfwijze van een reëel getal onder de vorm gm . In gm is g het grondtal en m de exponent. Een tegengestelde macht van gm definiëren we als −gm en een
omgekeerde macht wordt genoteerd als g1m = g−m , met g = 0.
I N S TA P W I S K U N D E
21
Afhankelijk van de waarde van de exponent hebben we een andere betekenis:
g3 = g · g · g
g−3
1
g3
3 ∈ N,
1
g·g·g
−3 ∈ Z,
= =
1
√
g 3 = 3 g = w ⇔ w3 = g
1
3
g0 = 1
In de praktijk komen soms stappen voor, zoals:
∈ Q,
g = 0.
product g3 · g2 = g3+2 = g5 ,
deling
macht
g3
g2
= g3 · g−2 = g3−2 = g1 ,
3 2
= g3·2 = g6 .
g
We wijzen erop dat het een goed idee
is machtsworteltekens te herschrijven in de moderne notatie en uitdrukkingen zoals 7 g3 te herschrijven als een macht met grondtal g en
3
exponent 37 , dus g 7 . We merken bovendien op dat de vierkantswortel op zich altijd een
√
1
positief getal is, a = a 2 ∈ R+ .
Zowel de betekenis van de exponenten, als de rekenregels zijn vereist om succesvol met
machten om te gaan. Verder is het handig de kwadraten in het gehele interval 12 = 1,
22 = 4,. . ., 152 = 225, 162 = 256 en derdemachten in het interval 13 = 1, 23 = 8,. . .,
73 = 343, 83 = 512 te (her)kennen.
Onthoud dat de enige manier om een macht op te heffen, de inverse machtsverheffing is.
Hiertoe gebruiken we dus links én rechts (zoals we bij vergelijkingen, zie paragraaf 1.2,
doen) de omgekeerde exponent.
√
7
Voorbeeld: bepaal x als we weten dat x3 = 5. We passen de rekenregel toe waarbij een
macht van een macht herleid wordt tot één macht met product van exponenten.
3 73
3
7
= x = (5) 3 ≈ 42, 7494.
(x) 7 = 5 ⇐⇒ (x) 7
We stellen vast dat enkel met deze strategie het gezochte grondtal x bevrijd raakt vanonder zijn exponent en kan worden afgelezen als uitdrukking of desgewenst numeriek
benaderd.
Wiskundige uitdrukkingen
Vooral samengestelde wiskundige uitdrukkingen kunnen nogal intimiderend overkomen
of ronduit leesdrempels veroorzaken. Om een uitdrukking vlot te doorzien, wijzen
we alvast op het bestaan van geïndexeerde variabelen. Geïndexeerde variabelen definiëren we als onbekenden voorzien van een benedenindex om ze af te tellen, zoals:
22
WISKUNDE VOOR IT
x1 , x2 , x3 , x4 , . . . , x99999 , x100000 , . . ., en α0 , α1 , α2 , α3 , α4 , . . . enz. Industriële toepassingen
die duizenden variabelen vereisen, zijn namelijk verre van uitzonderlijk, daar waar ons
alfabet 26 letters telt.
Eindige uitdrukkingen definiëren we als een samenstelling van operatoren (bewerkingen) op
objecten (getallen, variabelen of structuren).
We doorgronden bijvoorbeeld een uitdrukking
(3a + x)4 (indien nodig) door het schetsen van
zijn boom-vorm. In ons voorbeeld betreft het een
macht (Power) met exponent 4 van grondtal een
som (Plus), enzovoort.
We evalueren hier even onze uitdrukking (3a + x)4 .
Stellen we a = 1, dan resulteert dit in een gedeeltelijk ‘inklappen’ tot de eenvoudiger expressie
(3 + x)4 . Stellen we vervolgens ook nog x = 2, dan
verkrijgen we de corresponderende getalwaarde
(3 + 2)4 = 54 = 625 als resultaat.
Power
Plus
Times
3
4
x
a
Werken we deze 4de macht uit tot de som-vorm 81a4 + 108a3 x + 54a2 x2 + 12ax3 + x4 ,
dan herschreven we de product-vorm (3a + x)4 slechts naar een andere gedaante.
Deze expressie, die geen relatie is, proberen op te lossen is echter onzinnig. Enkel en
alleen ongelijkheden, vergelijkingen of stelsels daarvan kunnen worden opgelost.
Relaties
We nemen hier ook de relationele uitdrukkingen heel beknopt onder de loep.
Een ongelijkheid definiëren we als een veranderlijke afweging waarin een linkerlid
vergeleken wordt met een rechterlid door hetzij het ‘is-(strikt)-kleiner-dan’, hetzij
het ‘is-(strikt)-groter-dan’ teken.
Bij wijze van voorbeeld hiervan noteren we
(3a + x)4 (b + 4)(x + 3) in de onbekenden a, x, b. Ongelijkheden kunnen eventueel
worden opgelost naar een onbekende a, x of b.
Een vergelijking definiëren we als een veranderlijke afweging waarin een linkerlid
vergeleken wordt met een rechterlid door het gelijkheidsteken. De uitdrukking
(3a + x)4 = (b + 4)(x + 3) is een vergelijking in de onbekenden a, x, b. Ook vergelijkingen kunnen eventueel worden opgelost naar een onbekende a, x of b.
Een identiteit (of gelijkheid) definiëren we als een uitspraak die constant waar is, bijvoorbeeld 7 = 7. Een contradictie (of tegenstrijdigheid) definiëren we als een uitspraak
die constant onwaar is, bijvoorbeeld −10 > 5.
I N S TA P W I S K U N D E
23
R E Ë L E V E E L T E R M E N
Op deze plaats gaan we even in op de rekenomgeving van de reële veeltermen in de
variabele x; een verzameling die we noteren als R[x] .
Eentermen
Een eenterm in x definiëren we als een uitdrukking axn , met a een getal en n ∈ N.
Bij uitbreiding kan deze lettervorm ook bestaan uit een aantal variabelen x, y, z, . . ..
Bijvoorbeeld 3(xy)6 en 3(x2 y3 z6 ) zijn eentermen in respectievelijk xy en x2 y3 z6 .
De graad van een eenterm axn definiëren we als de natuurlijke exponent n ∈ N
van de beoogde variabele x. Op deze manier onderscheiden we constante, lineaire, kwadratische, kubische of hogere graads eentermen. Constante eentermen zijn
van graad 0, lineaire eentermen hebben graad 1, kwadratische graad 2 en kubische
graad 3.
√
Nemen we als voorbeeld de reële eenterm − 12x6 , dan is de graad hiervan 6.
Analoog is 3(xy)6 een eenterm in xy van graad 6, en is 3(x2 y3 z6 )9 een eenterm in
x2 y3 z6 van graad 9.
Gelijksoortige eentermen definiëren we als eentermen√met identiek lettergedeelte.
Zo zijn bijvoorbeeld
de reële eentermen 57 x6 en − 12x6 gelijksoortig en ook
√
5 3 5 2
3 5 2
7 x y z en − 12x y z zijn gelijksoortig.
Alle (hoofd)bewerkingen op eentermen zijn uitvoerbaar als onmiddellijke toepassing van de rekenregels voor breuken en machten.
Veeltermen
Een veelterm V (x) definiëren we als een som van ongelijksoortige eentermen. De
graad van een veelterm V (x) definiëren we als de maximum exponent m ∈ N van
de beoogde variabele x. Nemen we als voorbeeld de reële veelterm
√
1
V (x) = 17x2 + x3 + 6x − 7x2 − 12x6 − 13x − 1,
4
dan is de graad van V (x) gelijk aan de maximum exponent 6.
Herleiden of vereenvoudigen van veeltermen is mogelijk daar waar gelijksoortige
eentermen ervan bijeen kunnen worden genomen. We vereenvoudigen
even ons
√
voorbeeld hiervoor tot de vorm V (x) = 10x2 + 14 x3 − 7x − 12x6 − 1.
Eenzelfde veelterm kunnen we in op- of aflopende machten van x rangschikken.
Rangschikken we V (x) naar oplopende
machten van x, dan komt er
√
V (x) = −1 − 7x + 10x2 + 14 x3 − 12x6 . √Rangschikken we V (x) naar aflopende
machten van x, dan noteren we V (x) = − 12x6 + 14 x3 + 10x2 − 7x − 1.
24
WISKUNDE VOOR IT
Uiteraard kunnen we veeltermen ook als expressie evalueren tot een getalwaarde.
Bepalen
we bijvoorbeeld de getalwaarde van V (x) in√x = −1, dan komt er V√(−1) =
√
− 12(−1)6 + 14 (−1)3 + 10(−1)2 − 7(−1) − 1 = − 12 − 14 + 16 = 63
4 − 2 3 ∈ R.
Hoofdbewerkingen
Som van twee gelijksoortige eentermen: we tellen de coëfficiënten op en behouden
het lettergedeelte
5a2 − 3a2 = (5 − 3)a2 = 2a2 .
Product van eentermen: we vermenigvuldigen de coëfficiënten en de lettergedeelten
elk apart
7
7
−35 3 4
−5ab · a2 b3 = −5 · · a1+2 b1+3 =
a b .
4
4
4
Quotiënt van eentermen: we delen de coëfficiënten door elkaar en we delen de
lettergedeelten
−8 6−4 4−0
−8a6 b4
=
= 2a2 b4 .
a b
−4a4
−4
Macht van een eenterm: we verheffen elke factor van de eenterm tot de macht
3
− 2a2 b4 = (−2)3 (a2 )3 (b4 )3 = −8a6 b12 .
Optellen en aftrekken van veeltermen: we tellen de termen van de tweede veelterm
op bij de eerste of we trekken de termen van de tweede af van de eerste veelterm
(x2 − 4x + 8) − (2x2 − 3x − 1) = x2 − 4x + 8 − 2x2 + 3x + 1 = −x2 − x + 9.
Product van veeltermen: we vermenigvuldigen elke term van de ene veelterm met
elke term van de andere veelterm en tellen de verkregen producten op
(2x2 + 3y) · (4x2 − y) = 2x2 (4x2 − y) + 3y(4x2 − y)
= 2x2 · 4x2 + 2x2 · (−y) + 3y · 4x2
4
+ 3y · (−y)
= 8x − 2x2 y + 12x2 y − 3y2
= 8x4 + 10x2 y − 3y2 .