Schrödinger vergelijking

Schrödinger vergelijking
Tous Spuijbroek | Cursus Quantumwereld | Najaar 2013
Inhoud presentatie
• Algemene opmerkingen
• ‘Aannemelijk maken’ van de vergelijking
• Oplossingen van de vergelijking
De situatie rond 1925 – Stand van zaken
• Electromagnetisme (Maxwell ±1865)
• Quantisatie van energie (Planck 1900)
• Relativiteit (Einstein 1905)
• Golf/deeltje dualisme (Einstein 1905, De Broglie 1924)
• Spectraallijnen waterstof (Balmer 1885, Lyman ±1910, Paschen 1908)
• ‘Oude quantum theorie’: Bohr atoom, gequantiseerde ‘banen’
De situatie rond 1925 - Heisenberg (1901-1976)
• zocht een consistent quantum-atoommodel
• formuleerde en publiceerde in 1925 de basis van de moderne
quantummechanica.
• observabelen zijn (niet-commuterende) operatoren werkend op
toestandsvectoren.
• herkende zijn formalisme niet als ‘matrix mechanics’ maar Max Born wel.
• het ‘magische artikel’, de basis van de moderne quantum mechanica, staat
tot op de dag van vandaag bekend als tamelijk ondoorgrondelijk.
• kreeg in 1933 de 1932-Nobelprijs: ‘…. for the creation of quantum
mechanics…..’.
De situatie rond 1925 - Schrödinger (1889-1961)
• formuleerde in 1925 en publiceerde in 1926 een toegankelijker formulering
van QM, op basis van een (soort) golfvergelijking
• Formalisme werd bekend als ‘wave mechanics’.
• de concepten die Schrödinger hanteerde werden beter herkend door de
toenmalige fysici.
• liet in 1926 zien dat WM mathematisch equivalent was aan MM.
• kreeg samen met Dirac de 1933-Nobelprijs voor natuurkunde:
"for the discovery of new productive forms of atomic theory"…..’.
Achtergrond van de Schrödinger vergelijking (1)
• ‘De Schrödinger vergelijking komt uit de geest van Schrödinger en de enige
justificatie ervoor is dat hij werkt’ (Feynman).
• deeltjes gedragen zich als golven
• we zoeken dus een golfvergelijking, iets als
• lineaire vergelijking (dus: superpositie)
• energievergelijking: E totaal = E kin + E potentieel
• 𝐸=
𝑝2
2𝑚
+ 𝑉 met V een potentiaal zodat 𝐹 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑥
Achtergrond van de Schrödinger vergelijking (2)
• complexe golf: Ψ 𝑥, 𝑡 = 𝑒 𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡)
• ω is de hoekfrequentie 𝜔 = 2𝜋𝑓 en k is het golfgetal 𝑘 = 2𝜋/𝜆
• de Broglie: 𝜆 = ℎ / 𝑚𝑣 = ℎ / 𝑝 𝑑𝑢𝑠 𝑝 = ℎ /𝜆 = ℏ𝑘
• partiële afgeleide naar x:
𝜕Ψ
𝜕𝑥
= 𝑖𝑘Ψ
• nogmaals partiële afgeleide naar x :
• 𝐸Ψ =
𝑝2
Ψ
2𝑚
+ 𝑉Ψ
geeft
𝐸Ψ =
𝜕2 Ψ
𝜕𝑥 2
=
−𝑘 2 Ψ
ℏ2 𝜕 2 Ψ
−
+ 𝑉Ψ
2𝑚 𝜕𝑥 2
=
𝑝2
− 2Ψ
ℏ
(TISE)
Achtergrond van de Schrödinger vergelijking (3)
• 𝐸Ψ =
ℏ2 𝜕 2 Ψ
−
+
2𝑚 𝜕𝑥 2
𝑉Ψ
of met ‘Hamiltonian’ H: 𝐻Ψ = 𝐸Ψ (TISE)
We kunnen nog een stapje verder gaan:
• Planck/Einstein 𝐸 = ℎ𝑓 = ℏ𝜔
• partiële afgeleide naar t:
• 𝐸Ψ = ℏ𝜔Ψ = iℏ
• Invullen:
iℏ
𝜕Ψ
𝜕𝑡
𝜕Ψ
𝜕𝑡
= −𝑖𝜔Ψ
𝜕Ψ
𝜕𝑡
=
ℏ2 𝜕 2 Ψ
−
+
2𝑚 𝜕𝑥 2
𝑉Ψ
(TDSE)
Achtergrond van de Schrödinger vergelijking (4)
• in 3 dimensies:
𝜕Ψ(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)
𝑖ℏ
𝜕𝑡
=
ℏ2 2
− 𝛻 Ψ
2𝑚
𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 + 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∙ Ψ(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
• één spinloos deeltje in potentiaal V
• meerdere deeltjes: meerdere (gekoppelde) vergelijkingen
• Ψ moet een complexe functie zijn
• Niet helemaal een golfvergelijking: eerste afgeleide naar de tijd i.p.v. tweede
• EM-golven: |𝐸|2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 is de elektrische energie per volume
• Deeltjes-golven: |Ψ|2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 is de kans om een deeltje in het volume aan te treffen
• Normalisatie:
∞
−∞
Ψ 2 𝑑𝑥 = 1
Oplossen van de Schrödinger vergelijking (1)
• slechts in een handvol gevallen analytisch oplosbaar, vaak met ‘moeilijke’ functies
Voorbeelden:
• Vrij deeltje (complexe golf)
• Delta-potentiaal (bij scattering problemen)
• Potentiaalputje, deeltje in een doosje, tunneling (sinus, e-macht)
• Bolsymmetrische potentiaal/H-atoom (spherical harmonics, Legendre polynomen)
• Harmonische oscillator
Oplossen van de Schrödinger vergelijking (2)
Als je niet analytisch kunt oplossen:
• Benaderingen (bijvoorbeeld bij de periodieke potentiaal, bandenstructuur)
• Storingsrekening (kleine wijziging op analytische oplossing)
• Slimme tot zeer slimme wiskunde (WKB methode)
• Numerieke methodes (voor in de klas: APPLETs)
Oplossingen van de Schrödinger vergelijking (1)
1: vrij deeltje.
• Oplossing: Ψ 𝑥, 𝑡 = 𝑒 𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡) want zo hadden we de vergelijking gemaakt!
2: deeltje in een tijds-onafhankelijke potentiaal V(x)
• Separatie van variabelen mogelijk: Ψ 𝑥, 𝑡 = 𝜓 𝑥 × 𝑓(𝑡)
• Neem 𝑓 𝑡 = 𝑒 −𝑖𝐸𝑡/ℏ ; de vergelijking reduceert tot de TISE
• de ‘separatieconstante’ E blijkt de energie van de stationaire oplossing te zijn
• omdat de Schrödingervergelijking lineair is zijn lineaire combinaties van
oplossingen (ψi , Ei) ook goed maar die zijn niet meer stationair.
3: Deeltje in een doos (potentiaalput)
4: Tunnelbarrière :
V(x) = V0 voor 0 < x < a; V(x) = 0 elders
5: Double slit experiment.
Lijkt simpel:
• vlakke golf
• potentiaal V= ∞ overal maar V = 0 tussen (a+δ) en -(a+δ)
• voor zover ik heb kunnen nagaan is er géén analytische oplossing bekend
• het probleem is (pas) in 1979 numeriek opgelost door Hiley, Philippidis en
Dewdney