Uitwerking werkcollegeopgaven

Uitwerking werkcollegeopgaven
Optische microscopie
1) Gebruik de lenzenformule (formule II-4 in dictaat):
 1
1  n2
1 
   1   .
f  n1
 R1 R2 
R1 = 50 mm, R2 = 100 mm, n2 = 1.5.
1  1.5  1
1 

 1 
 = 0.0150 mm-1  f = 66.7 mm;
f  1
 50 100 
1  1.5
1 
 1
 1 
b) In water: n1 = 1.33:  
 = 0.00383 mm-1  f = 261 mm;
f  1.33  50 100 
1  1.5  1
1 
 1 
c) In vloeistof: n1 = 1.6:  
 = -0.00188 mm-1  f = -533 mm.
f  1.6  50 100 
Het minteken betekent dat we een "negatieve" lens hebben!
a) In lucht: n1 = 1:
2) De brandpuntafstand van het lensje is (R1 = R2 = 2 mm, n2 = 1.5)
1  n2  1
1   1.5  1 1 
 1   = 0.5 mm-1, of f = 2 mm.
   1   = 
f  n1  R1 R2   1
 2 2 
De angulaire vergroting is Mang = 250/floep = 250/2 = 125x.
3) Sterren staan oneindig ver: Dus alle stralen van de ingaande bundel zijn parallel
aan de optische as. We gaan het beeldpunt b als functie van de afstand h die de
invallende straal heeft t.o.v. de optische as berekenen.
y
b
x

g
st ere
ra fle
al ct
ee
rd
e

invallende straal
optische as
h

'
A
spiegel
1
Het snijpunt van de invallende bundel x = h met de parabolische spiegel y = x2/4f
is A = (h,h2/4f). De helling van de parabool op dit punt is dy/dx = x/2f = h/2f. Dus
tan() = h/2f.  + ' = 90 en  + ' = 90 zodat  =  en tan() = h/2f.
De richtingscoëfficiënt van de gereflecteerde straal is m = tan(2 + /2) =
-1/tan(2) = -(1-tan2())/2tan() = -(1-h2/4f2)/(2h/2f). De gereflecteerde straal is
1 h2 / 4 f 2
dus: y 
x  b . Deze straal snijdt het punt A = (h,h2/4f), zodat
h/ f

1  h

2

/4f 2
h  b , oftewel b = f. Dus de gereflecteerde straal snijdt
h/ f
onafhankelijk van h de optische as (x = 0) altijd in y = f. Dus alle stralen komen
tezamen in één punt (0,f). Dit is de ideale optiek!
h2 / 4 f 
4) a) De angulaire vergroting van de microscoop (formule II-10 in dictaat) is
Mang = (l/fobj).(250/foc) = (200/10).(250/25) = 200x. Hierbij is l = tubuslengte, fobj
= brandpuntafstand objectief en foc brandpuntafstand oculair.
b) De numerieke apertuur van het objectief is NA = sin(atan{(diameter/2)/ fobj} =
sin(atan{(5/2)/10} = 0.243. Het theoretisch oplossend vermogen bij  = 500 nm
is  = /NA = 500/0.243 = 2.1 m.
c+d) Bij één maal vergroting (d.w.z. het blote oog) zijn de kleinste details die we
kunnen zien gelijk aan h = 250.tan() = 250.tan(2') = 0.145 mm. De hoek  is
hier het oplossend vermogen van mijn oog, de minimale kijkafstand is 250 mm.
Bij een angulaire vergroting van 200x zouden we details moeten zien van
0.145/200 = 0.73 m. Dit is echter minder dan het theoretisch oplossend
vermogen van het objectief. De vergroting is te hoog en de keuze van het oculair
is niet optimaal. Een 3x langere brandpuntafstand (foc = 75 mm), waarbij we een
vergroting hebben van 67x, is beter.
We kunnen de het oplossend vermogen van de microscoop verbeteren door het
preparaat te belichten via een condensor met de zelfde numerieke apertuur als het
objectief. Het theoretisch oplossend vermogen wordt dan  = /(NAobj + NAcond) 
1 m. We zitten dan met het gebruikte oculair in de goede richting.
5) De kleinste details die we met het blote oog zien zijn h = 250.tan() groot. De
hoek  is het oplossend vermogen van mijn oog en de minimale kijkafstand is
250 mm. Het oplossend vermogen van ons oog dat door de microscoop kijkt is
dus oog = h/Mang = 250tan()/Mang. Het theoretische oplossend vermogen van
een microscoop met numerieke apertuur, NA, is mic = /NA. In het ideale geval
zijn deze twee oplossende vermogens op elkaar afgestemd: oog = mic, zodat
250tan()/Mang = /NA, oftewel Mang,optimaal = 250NA tan()/.
Invullen geeft ( = 1';  = 550 nm): Mang,optimaal = 132.2*NA. In de praktijk
wordt vaak een (2 tot 3 maal) hogere vergroting gebruikt, zodat we niet op de
grens zitten van wat het oog aan kan.
6) De scherptediepte van een microscoop wordt bepaald door de numerieke apertuur
van het objectief (NA): d = /tan(sin-1(NA)), met d = scherptediepte en  het
kleinste detail dat we willen (kunnen) zien. We willen zo scherp mogelijk zien,
2
dus  is het oplossend vermogen van de microscoop:  = /NA. Combineren
geeft dus d = (/NA).(1/( tan(sin-1(NA))). Omdat we voor onze mier een heel
grote scherptediepte nodig hebben, moet de numerieke apertuur klein zijn, zodat
tan(sin-1(NA))  NA. Nu wordt de scherptediepte ongeveer d  /NA2 en de
optimale numerieke apertuur is dus NAopt = (/d)1/2
Invullen ( = 550 nm, d = 1 mm) geeft NAopt = (550.10-9/1.10-3)1/2 = 0.023. De
gebruikte vergroting (zie opgave 5) is in ons geval Mang = (1 tot 3) x 132.2 x
0.023 = 3 tot 9 keer. Een loep of stereomicroscoop is bij deze vergroting
voldoende.
7) a) Het oplossend vermogen van het objectief is  = /NA = 500.10-9/0.5 = 1 m.
De beste lineaire vergroting is Mlin,opt = (oplossend vermogen film of CCD)/ =
20 m/1 m = 20x.
projectief
film of
CCD
objectief
l
v f
v'
b'
b
b) We gaan eerst de lineaire vergroting van het tussenbeeld, Mlin(tussenbeeld),
berekenen, met b = f + l = 4 + 180 = 184 mm en f = 4 mm: 1/v = 1/f - 1/b =
0.2446 mm-1, zodat v = 4.09 mm en Mlin(tussenbeeld) = b/v = 184/4.09 = 45.0 x.
Deze vergroting is veel te hoog! Het projectief moet het beeld M'lin =
Mlin,opt/Mlin(tussenbeeld) = 45/20 = 0.444 maal verkleinen. Gebruikmakend van
M'lin = b'/v' en 1/v' = 1/f' - 1/b', met b'/v' = 0.444 en f' = 50 mm, krijgen we v' =
162.5 mm en b' = 72.2 mm. Dus het projectief wordt op fobj + l + v' = 4 + 180 +
162.5 = 346.5 mm achter het objectief geplaatst. De film of CCD volgt op een
afstand van fobj + l + v' + b' = 4 + 180 + 162.5 + 72.2 = 418 mm achter het
objectief.
3