Lagrange punten - Ivan Goethals homepage

Lagrange punten
• Oberonseminarie
• Goethals Ivan
12/04/2003
Wat zijn Lagrange punten
Neem twee grote
roterende massa’s
(bvb. Aarde/zon).
Men kan aantonen dat
er vijf punten zijn
waar een derde kleine
massa relatief in
evenwicht is ten
opzichte van de twee
grote massa’s.
Iets over planeetbanen
• De planeten bewegen op
ellipsvormige banen met
de zon in één van de
brandpunten
• Hoe verder van de zon,
hoe langer de omloopstijd
• In dit praatje:
cirkelvormige banen
Absoluut en relatief assenstelsel
• We beschouwen een
absoluut assenstelsel
(onveranderlijk)
• … en een relatief
assenstelsel (verankerd aan
de as aarde-zon)
Schijnkrachten
Bij overgang naar het relatieve
stelsel wordt de rotatie omgezet in
een schijnkracht, de zogenaamde
centrifugale kracht.
Op een stabiele cirkelbaan
zijn kracht en schijnkracht
precies gelijk
kracht
Schijnkracht
Schijnkrachten
kracht
Draait een planeet te snel
voor haar baan, dan is de
kracht kleiner dan de
schijnkracht en wordt de
planeet hoger gedwongen
Schijnkracht
Draait een planeet te traag
voor haar baan, dan is de
kracht groter dan de
schijnkracht en wordt de
planeet lager gedwongen
kracht
Schijnkracht
L1 en L2
Punten L1 en L2
bewegen met een
zelfde omloopsperiode
als de aarde.
L1 draait dus eigenlijk
te traag
L2 draait dus eigenlijk
te snel
L1 en L2 intuïtief
• L1 draait te traag en dreigt in de zon te vallen, maar de
extra aantrekking van de aarde lost het tekort aan
schijnkracht op.
• L2 draait te snel en dreigt weggeslingerd te worden, maar
de extra aantrekking van de aarde lost het tekort aan
gravitatiekracht op
L1
L2
L1 en L2 wiskundig
• Men kan bewijzen dat voor een constante omloopsperiode
T, voor een punt op een afstand r van de zon, de
schijnkracht gegeven wordt door:
Fschijn = (4π2m/T) r.
• De aantrekkingskracht van de zon wordt gegeven door:
Fgravitatie = GMm/r2
L1 en L2 wiskundig
kracht
Schijnkracht
Fschijn = (4π2m/T)r
Fgravitatie = GMm/r2
De baan van het object bevindt zich op het
snijpunt van beide curves
L1 en L2 wiskundig
Onder invloed van de extra gravitatie van de
aarde onstaan L1 en L2
L3 volgens hetzelfde principe
L1
L3
L2
L4 en L5
L4 en L5 zijn intuïtief
veel moeilijke te
begrijpen.
Eigenlijk is een
grondige wiskundige
afleiding nodig.
We doen toch een
poging...
L4 en L5
In werkelijkheid draait
de aarde niet rond de
zon, maar rond het
massa-middelpunt van
het aarde-zon systeem.
Dit massamiddelpunt
zich echter zeer dicht bij
de zon (onder het
oppervlak).
L4 en L5
Je verwacht dat de
invloed van het weinig
verplaatsen van het
rotatiecentrum weinig
invloed heeft, hetgeen
ook het geval is voor L1,
L2 en L3.
MAAR..., voor L4 en L5
is deze verplaatsing zeer
belangrijk.
L4 en L5
Schijnkracht
kracht
kracht
Je kan bewijzen dat op
het bovenste punt van
deze gelijkbenige
driehoek de som van
de twee gele
krachtvectoren exact
gelijk is aan de inverse
van de schijnkracht.
Dit geldt voor alle
mogelijke
massaverdelingen.
Stabiliteit van Lagrangepunten
We weten nu dat er
evenwichtspunten zijn
in het zonnestelsel.
De vraag is echter of
deze punten stabiel
zijn.
Men kan aantonen
dat L4 en L5 stabiel
zijn. L1, L2 en L3
niet...
Elliptische banen
De banen in ons
zonnestelsel zijn
ellipsvormis.
Men kan bewijzen
dat ook voor
elliptische banen de
Lagrangepunten
blijven bestaat
Banen rond Lagrangepunten...
Verscheidene stabiele
banen zijn mogelijk door
het bestaan van
Lagrangepunten.
Er zijn de banen rond L4
en L5 afzonderlijk, en ook
lange termijn banen rond
zowel L4 als L5 waar
ingevangen
hemellichamen redelijk
lang kunnen vertoeven.
Tweede maantje van de
aarde, Cruithne, met een
omloopstijd van 770 jaar.
Lagrangepunten en ruimtevaart
• Lagrangepunten gedragen zich voor een ruimtetuig
eigenlijk net zo als een planeet. Een tuig kan er rond
cirkelen, en er op landen (stil liggen op het Lagrange punt).
• Ruimtetuigen in Lagrangepunten hebben geen last van
atmosferische storingen, hetgeen deze punten ideaal maakt
voor observatoria.
Ruimtevaart verleden
• Het U.S.-European Solar and Heliospheric Observatory
(SOHO) bevindt zich op dit moment in L1 en doet van
daaruit zonne-observaties.
• Het U.S. Advanced Composition Explorer bevindt zich
eveneens in L1 ter studie van de zonnewind.
L1
L2
• NASA's International Sun-Earth Explorer 3 werd reeds in
1978 in L1 geplaatst.
Ruimtevaart toekomst
• NASA's Next Generation Space Telescope zal in L2
geplaatst worden. Daar bevindt het zich steeds in de
schaduw van de aarde
L1
L2
• Verscheidene ruimtetuigen zullen de komende jaren naar
Lagrangepunten vertrekken.
• Zelfs clusters van satellieten worden gepland (zoals voor
Interferometrie)
Conclusie
• Door het samenspel van gravitatie en de rotatie van
hemellichamen ontstaan evenwichtspunten in het zonnestelsel
• 2 van deze punten zijn stabiel. De overigen zijn onstabiel.
• Lagrangepunten zijn zeer belangrijk voor de ruimtevaart.