Cursus deeltjesfysica - International Master of Particle and
advertisement
Cursus deeltjesfysica Bijeenkomst 1 (5 maart 2014) de speciale relativiteitstheorie prof Stan Bentvelsen en prof Jo van den Brand Nikhef -­‐ Science Park 105 -­‐ 1098 XG Amsterdam [email protected] -­‐ [email protected] ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 1 even voorstellen… • prof Jo van den Brand – VU Amsterdam – directeur subatomic physics group VU – programmaleider VIRGO •zwaartekrachtgolven bij Pisa – achtergrond bij LHCb en HERA •CP violatie • prof Stan Bentvelsen – UvA Amsterdam – directeur instituut hoge energie fysica UvA – werkzaam bij ATLAS •programmaleider tijdens ontdekking van het Higgs deeltje – achtergrond bij LEP en HERA ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 2 Programma cursus • Bijeenkomsten op Nikhef – – – – – – Speciale relativiteitstheorie (woensdag 5 maart 2014) De quantum wereld (woensdag 12 maart 2014) Elementaire deeltjes en krachten (maandag 24 maart 2014) Symmetrie en wisselwerkingen (maandag 7 april 2014) Elementaire deeltjes en kosmologie (donderdag 17 april 2014) Projecten en NiNa module (donderdag 8 mei 2014) • Onderwerpen per avond in drie delen: – – – – – – – 16:30 inloop koffie en thee 16:45 start eerste sessie 17:30 pauze 17:45 start tweede sessie 18:30 soep en broodjes 19:15 start derde sessie 20:15 -­‐ 20:30 einde programma ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie Materiaal beschikbaar bij http://master.particles.nl/Docenten/ in pdf, powerpoint en keynote 3 Speciale relativiteitstheorie • Eerste uur – basis van de Speciale Relativiteitstheorie •lichtsnelheid -­‐ gelijktijdigheid -­‐ tijdsdilatatie – Lorentz transformaties •invariante interval -­‐ optellen van snelheden • Tweede uur – ruimte-­‐tijd •(ct,x) diagrammen -­‐ causaliteit -­‐ tweelingparadox -­‐ – energie en impuls •doos van Einstein -­‐ branden van de zon • Derde uur – relativistische impuls •invariante massa -­‐ deeltjesproductie – deeltjesversnellers & kosmische straling • principes -­‐ stand van zaken -­‐ de LHC ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 4 1 -­‐ Speciale Relativiteitstheorie • Eerste uur – basis van de Speciale Relativiteitstheorie •lichtsnelheid -­‐ gelijktijdigheid -­‐ tijdsdilatatie – Lorentz transformaties •invariante interval -­‐ optellen van snelheden ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 5 Relativiteitstheorie • 1905: Speciale relativiteitstheorie (SRT) – Nieuwe opvattingen over begrip ruimte en tijd, en E=mc2 • 1915: Algemene relativiteitstheorie (ART) – – – – Verdere uitbreiding van het relativiteit principe Ook van toepassing op versnelde beweging en gravitatie Fundamentele verandering zienswijze heelal Ook geheel te danken aan A. Einstein ! • Toepassing relativiteitstheorie in dagelijks leven minder merkbaar dan Quantum-­‐Mechanica – Denk aan GPS navigatiesysteem. – In elementaire deeltjes fysica onmisbaar. Zonder relativiteitstheorie bijvoorbeeld geen deeltjesversnellers – Kernfusie, kernsplijting: het branden van de zon. • Algemene theorie: gravitatie bepaalt de kosmologie; zwarte gaten; uitdijend heelal, oerknal. ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 6 Einstein’s publicatie in 1905 • Motivatie Einstein: – theorie van elektro-­‐dynamica zoals geformuleerd door Maxwell ! ! ! ! ! ! ! – beschrijving van ‚licht’ dat door deze vergelijkingen wordt beschreven ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 7 Geldigheid domeinen ? ? Quantum-­‐ veldentheorie Speciale Relativiteits-­‐ theorie Quantum-­‐ mechanica Klassieke-­‐ mechanica Elementaire deeltjes Menselijke maat lichtsnelheid Snelheid Grootte • Klassieke (Newton) mechanica als ‘oude’ theorie. – Let wel! De Klassieke mechanica is niet fout. Het beschrijft mechanische verschijnselen om ons heen zeer nauwkeurig. – Alleen bij zeer hoge snelheden of zeer kleine afstanden vervangen door relativiteitstheorie resp quantummechanica ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 8 De Klassieke Mechanica • Wetenschappelijke revolutie van de ‘gouden’ 17e eeuw – Klassieke mechanica geeft kwantitatief ‘recept’ voor de beschrijving van bewegende objecten. •Ik gooi een steen omhoog met snelheid van 10 m/s. Hoe hoog komt de steen? •Beschrijving van de beweging van planeten en manen in het zonnestelsel. ‘Helden’ van de klassieke mechanica: Galileo Galilei, Isaac Newton ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 9 Ruimte en Tijd voor Newton •Volgens Newton zijn “tijd” en “ruimte” ‘absoluut’, dwz: beschikbaar vòòr alle andere dingen. Deze begrippen vormen voor Newton het ‘kader’ van het universum • Newton over de ruimte: •Ruimte als gegeven ‘toneel’ waarop de natuur zijn toneelstuk brengt – “Absolute space, of its own true nature without reference to anything external, always remains homogeneous and immovable” •Er is een referentiesysteem dat de voorkeur verdient; waarvoor de wetten van de mechanica gelden. •referentiesysteem waarin de sterren niet bewegen •Een ‘inertiaalsysteem’ is een stelsel dat verbonden is met dit ‘voorkeurs’-­‐systeem via een eenparig constante snelheid • Newton over tijd: • Tijd als ‘klok’ van het heelal. Doortikkend met ijzeren regelmaat. – “Absolute, true and mathematical time, of itself, and from its own nature, flows equably without relation to anything external” ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 10 Galilei transformaties • Bekijk een kogel die wordt afgeschoten vanuit een rijdende trein. – Wat is de snelheid van de kogel t.o.v de rijdende trein? – Uw vriend op het perron die de trein voorbij ziet komen? • Stel de kogel vliegt met snelheid V’kogel weg tov trein – Relatie tussen de snelheden is vanzelfsprekend: Vkogel=V’kogel+vtrein ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 11 Galilei-­‐transformaties •Indien we verschijnselen in een plat vlak beschrijven hebben we aan twee coördinaten genoeg: 2d ruimte. • Beschouw nu twee coördinaten-­‐ stelsels, die tov elkaar eenparig en rechtlijnig bewegen: – Stelsel S (bv perron) en S’ (bv trein) – Stel dat stelsel S’ een snelheid v heeft, in de x-­‐richting, tov stelsel S. • Wat is de relatie tussen de coördinaten S en S’? – Wel, dit is eenvoudig: •x’ = x-­‐vt •y’ = y •z’ = z •t’ = t Dit is de Galilei-transformatie tussen twee coördinatensystemen – We hebben S’ zo gekozen dat op t=0: S en S’ vallen samen ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 12 Principe van relativiteit •De wetten van de mechanica zijn identiek in coördinatenstelsels S en S’, waarbij S’ zich eenparig rechtlijnig tov van S beweegt • Zie de drie hoofdwetten van Newton: – Indien een lichaam stil staat of met constante snelheid voortbeweegt, dan blijft het in rust of beweegt met constante snelheid zolang er geen uitwendige kracht op werkt. – Een uitwendige kracht op een lichaam brengt een versnelling teweeg gelijk aan: F=ma – De acties op twee lichamen op elkaar zijn gelijk maar tegengesteld (actie=-­‐reactie) • De waarde van de grootheden in de natuurwetten kunnen wel degelijk verschillen in stelsel S en S’ – Bijvoorbeeld verrichte arbeid FΔx en kinetische energie Ekin=½mv2 ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 13 Principe van relativiteit • De grootte van je snelheid kun je niet voelen – Een rijdende trein, of sta je stil en de rest van de wereld beweegt? – Astronauten in het ISS voelen niet dat zij met 29000 km/uur rond de aarde razen • Alle natuurwetten (ook die van de mechanica) zijn hetzelfde in coördinatenstelsels met een constante snelheid tov elkaar. – In de Klassieke Mechanica wordt dit beschreven door de 3 hoofdwetten van Newton ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie Voor versnelde coördinatenstelsels heeft Einstein de ‘Algemene Relativiteitstheorie’ ontwikkeld (Einstein 1915). Gevolg: Zwarte gaten, Big Bang, etc! 14 Snelheid van het licht • Eind 19e eeuw stelt Maxwell de theorie van elektriciteit en magnetisme op. – Licht (fotonen) is een continue ‘buiteling’ Maxwell (1831– 1879) van elektrische en magnetische velden – Maxwell vergelijkingen: de lichtsnelheid is een natuurconstante, ona{ankelijk van het coördinatenstelsel! • Snelheid van het licht, c, in vacuüm is c=299792458 m/s – Ongeveer 300000 km/s = 3·∙108 m/s – We hadden gezien dat de snelheid van dingen a{ankelijk is van hoe je observeert? ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 15 Snelheid van het licht • Vragen: – Wat golft er nu eigenlijk? •Dit is de ‘ether’ •De ‘ether’ werd als reëel beschouwd einde 19e eeuw – Welk coördinatenstelsel heeft de voorkeur om de natuur te beschrijven? •Die waarbij het medium, de ether, in rust is •Vergelijk de voortplanting van het geluid door de lucht. •De lichtsnelheid is c ten opzichte van dit medium – Kunnen we de ether observeren? Einstein: dit zijn de verkeerde vragen, de ether bestaat gewoonweg niet ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 16 Elektromagnetisme • Kan een experiment de ether zichtbaar maken? •Omdat de aarde om de zon draait kan de ether nooit altijd met de aarde meevoeren, en moet er een moment zijn waarop er een ‘etherwind’ is. – Experiment van Michelson & Morley: •Zichtbaar maken van de etherwind! • In feite een culminatie van de meting van lichtsnelheid: •Astronomisch: Rømer in 1676 in samenwerking met Huygens – Via eclips van Io, een maan van Jupiter – Met schatting van de grootte van het planetenstelsel: c=220.000 km/s •Mechanisch: Fizeau lichtstraal door tandwiel en spiegel 8 km verderop – Snelheid tandwiel variëren zdd licht net niet meer door zelfde gat terugkwam – Bepaling c = 313.000 km/s •Foucault (1862) met een ronddraaiende spiegel: c=298.000 km/s ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 17 Metingen van de ether •Als de ruimte is gevuld met de ether, vliegt de aarde er met snelheid v doorheen •Snelheid waarmee aarde om zon draait: v=30 km/s 30 km/s aarde ether • Meting van de lichtsnelheid op aarde – Meet snelheid c+v in bewegingsrichting aarde tov ether? – Praktisch vrijwel onmogelijk in praktijk – door enorm hoge waarde van c • Gebruik het gol€arakter van licht – Huygens kende al de interferentie van licht – Kleine verschillen in snelheid mogelijk zichtbaar door interferentie – Gebruikt worden om v te meten? ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 18 Michelson & Morley interferometer • Lichtstraal mbv halfdoorlatende spiegel gesplitst: – Deel 1 neemt route ‘NZ’ – Deel 2 neemt route ‘OW’ – In detector komen bundels weer samen en vormen een interferentie patroon • Gehele opstelling kan worden geroteerd – NZ bundel wordt OW – OW bundel wordt NZ ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 19 Michelson & Morley: resultaat – Wat blijkt: het interferentie patroon verschuift niet na rotatie van de opstelling! • Meest beroemde ‘nulmeting’ in de natuurkunde (ca 1887) ! – Men stond perplex! Wat is er aan de hand? •Deze experimenten werden steeds nauwkeuriger overgedaan •Steeds weer het ‘nulresultaat’. ! – Het lijkt alsof de ether daarmee niet bestaat. •Hoe kan de lichtsnelheid nu hetzelfde zijn in beide richtingen? •Ad hoc theorieën: e.g. wordt arm interferometer wellicht korter in een richting? (zoals gesuggereerd door H. Lorentz) ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 20 De inbreng van Einstein • Einstein bracht helderheid in de situatie – Met een eenvoud zoals alleen een genie doen kan – Overtuiging dat er een relativiteit principe moest bestaan zowel voor mechanica als voor elektromagnetisme •Hiermee wordt Galilei transformatie overboord gezet ! • Einstein baseerde zich op twee postulaten: – Het relativiteit principe •Natuurwetten in referentiesysteem zijn ona{ankelijk van de translatie beweging van het systeem – Constantheid van de lichtsnelheid •De snelheid van het licht is eindig en ona{ankelijk van de bewegingstoestand van de lichtbron; het heeft dezelfde waarde in ieder inertiaalsysteem ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 21 Perplex met licht • Sta even stil bij de consequentie hiervan – Stel u ontsteekt een zaklantaarn in een rijdende trein. – De snelheid waarmee het licht zich beweegt tov de zaklamp is c, dwz, ~300000 km/s. • Uw vriend bevind zich op het perron en ziet de voorbijsnellende trein. Hij kan de snelheid van het licht uit de zaklamp bepalen, tov het perron: – Uw vriend op het perron zal dezelfde snelheid c meten! ! ! ! • Duidelijke tegenspraak met de Galilei-­‐transformatie ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 22 Meting van de tijd Voor beschrijving van beweging moeten tijden op verschillende locaties worden gesynchroniseerd: • Hoe synchroniseer je alle klokken (van het universum)? – Als de lichtsnelheid oneindig is, dan is dat geen probleem: •Met oneindige precisie zeggen we “NU” om t=0 te bepalen – Maar het lichtsignaal doet er even over, zijn snelheid is eindig : ! ! ! • Synchronisatie van klokken A en B: – Snelheid licht van A naar B is even groot als die van B naar A – Recept: •Op t=0 zendt je licht uit van A. Het kaatst bij B op spiegel terug •Op t=t1 komt het licht weer aan in A – Moment waarop licht in B aankomt: moment t=t1/2 ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 23 Synchronisatie bewegende systemen • Volgende gedachten experiment: – Neem lange trein – sta in het midden en ontsteek een lampje ! A B ! ! – Het duurt een tijdje en dan komt het licht aan bij de voor-­‐ en achterkant van de trein (A en B) – Licht bereikt voor-­‐ en achterkant van de trein tegelijkertijd ! A B ! • Het licht bereikt A en B gelijktijdig ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 24 Gelijktijdig, of niet? • Nu gaat de trein rijden en bekijkt uw vriend op het perron dit alles: A ! B ! – In de tijd dat het licht nodig heeft om de uiteinden te bereiken, is de trein een stukje opgeschoven. – De lichtsnelheid naar links en naar rechts is hetzelfde (constant!) ! A ! B ! – Het licht bereikt nu uiteinde A eerder dan B! • Het licht bereikt A en B niet gelijktijdig voor de vriend op perron. Synchronisatie niet mogelijk voor bewegende systemen! ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 25 De lichtklok • Stel u maakt een klok op de volgende manier: – Lampje en spiegel – en elke keer dat licht heen en weer gaat een volgende ‘tik’ van de klok L0 ! ! ! – De tijdsduur Δτ tussen twee ‘tikken’: ! – Deze klok geeft uiterst regelmatig tikken. Hoewel praktisch gezien het maken van de klok best lastig is. – Hiermee wordt de voortgang van de tijd bekeken • Het is gemakkelijk te analyseren! ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 26 De lichtklok op de trein • Zet nu de lichtklok op een trein. De waarnemer op het perron ziet de klok tikken met snelheid Δt ! ! ! ! B L0 Snelheid van de trein v A C ! ! – De afstand AB wordt gegeven door Pythagoras – De snelheid van het licht is constant, en de totale afstand ABC wordt afgelegd in een tijd cΔt ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 27 Tijds-­‐uitrekking (dilatatie) • We hebben nu een vergelijking met Δt, die kunnen we oplossen: – Voor de stilstaande klok (in de trein dus) hadden we Δτ: ! ! – Hiermee zijn de tikken niet meer gelijk voor de man in de trein en de vriend op het perron: ! – De man op het perron ziet de tijd in de trein anders verlopen! • Gevolg van constante lichtsnelheid… ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 28 Tijdsdilatatie • We hebben nu laten zien dat: •Δτ : ‘stilstaande’ klok: tijd in de trein zelf •Δt : Tijd in de voorbijsnellende trein, gezien vanaf het perron • Stel een ruimteschip beweegt met een snelheid v = 0.8c = (4/5)c – Een seconde voor een reiziger het ruimteschip ziet de vriend vanaf de aarde als ! ! • Man op aarde ziet alle bewegingen ‘trager’ verlopen in het ruimteschip, met een factor 1.66! ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 29 Dilatatie • Bij lage snelheden is het effect van tijdsvertraging klein – Voor een trein met v=100 km/uur zijn de tijden Δt en Δt’ hetzelfde tot op 99.999994% nauwkeurig – Toch blijft u iets jonger in de rijdende trein tov de thuisblijver! ! ! • Bij snelheden in de buurt van de lichtsnelheid wordt tijdsdilatatie groot – – – – Lichtsnelheid v=c is de maximum snelheid Tijd kan wel langzamer lopen, maar niet terug-­‐lopen Effect in elementaire deeltjes onmiskenbaar Voor positie bepaling met GPS systeem is relativiteit onmisbaar ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 30 Tijds-­‐dilatatie • Nog een paar opmerkingen nav de tijdsdilatatie: – Het effect van tijdsdilatatie is wederzijds – Waarnemers zijn inwisselbaar • De klokken lopen voor elkaar langzamer – Loop nu alleen deze ‘merkwaardige’ lichtklok langzamer? •Neen! Alle klokken lopen langzamer: ook je hartslag, bioritme, etc – Stel nl dat ze wel ongelijk zouden gaan lopen: •Neem twee ruimteschepen D en E die tov bewegen •Stel dat je twee klokken hebt in D: een is de lichtklok en de andere een ‘gewone’ klok, of hartslag, of wat ook om de tijd te meten. – Als D stil staat tov E lopen de twee klokken gelijk – Als D beweegt tov E lopen de klokken uit de pas – Dit is duidelijke tegenspraak met het postulaat: je zou je ‘absolute snelheid’ kunnen bepalen door de twee klokken te vergelijken! ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 31 Afstand tussen twee planeten • Stel twee planeten voor, A en B en waarnemers E en D ! ! ! ! ! – Waarnemer E staat stil tov beide planeten (Stelsel S) – Waarnemer D beweegt met snelheid v van planeet A naar B (Stelsel S’) • Stel je bent E met klok en ziet D langs vliegen: – Je ziet de klok van D langzamer lopen volgens ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 32 Lorentz contractie • E ziet D langskomen met snelheid v: – E drukt stopwatch in als D langs planeet A komt en opnieuw als D langs planeet B raast •Voor E heeft de klok Nt tikken getikt van Δt seconden elk. Nt = T t – E concludeert dat de afstand l tussen A en B gelijk is aan ! l = vNt t • E ziet de klok in D langzamer lopen – observatie dat de klok in D een kleiner aantal tikken Nt’ heeft gemaakt van tijdsduur Δt – Waarnemer D concludeert dus dat de afstand l’ tussen A en B gelijk is aan N l • Lorentz contractie: l = vNt t = v t t= – Voor bewegende waarnemer is lengte korter! ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 33 Lorentz-­‐contractie • ‘Bewegende objecten worden korter’ – Lengte contractie vind alleen plaats in de richting van de beweging •Een meetlat wordt korter als hij beweegt •Maar dit geldt niet voor lengten loodrecht op de bewegingsrichting: lx = lx / ly = ly lz = lz – Ook dit kunnen we aantonen met een gedachte experiment •Twee stukken pijp met precies dezelfde diameter •Schiet ze op elkaar af. Welke pijp past in de andere? – Als ook contractie loodrecht op bewegingsrichting plaatsvindt, krijg je een tegenspraak! •In ene stelsel gaat stippels in groene, vanuit ander stelsel schuift groene in stippel ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 34 ‘Invariant’ interval • Een ruimteschip met lichtklok van 3m hoog beweegt met snelheid 0.8c tov de aarde – Tov aarde: Klok tikt anders, maar heeft ook een afstand afgelegd – Is er een grootheid invariant? ! ! ! • ‘Interval’ tussen twee gebeurtenissen ! – Ona{ankelijk van de beweging-­‐ snelheid van de klok! ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 35 Invariante ruimte-­‐tijd interval • Ruimte-­‐tijd interval krijgt de naam ‘s’: ! ! ( s) = (c t) 2 2 ( x) 2 eenheden [c t] = [m] – Dit interval is invariant in elk inertiaalsysteem (eenparig en rechtlijnige beweging tov elkaar) • Je kunt dit vergelijken in de 2d ruimte met de lengte: ! (! r) = ( x) + ( y) 2 2 2 •Dit interval Δr is invariant onder rotaties en translaties van de Euclidische ruimte • We komen deze invariant ‘s’ voortdurend tegen Vergeet nooit het ‚min-teken in de uitdrukking van Δs! Dit zal grote gevolgen hebben; het definieert de ‚vlakke ruimte-tijd’. ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 36 Lorentz-­‐transformaties • Galilei transformaties in Klassieke Mechanica: – Transformatie van coördinaten voor verschillende inertiaalsystemen •Coordinaten (x,y,z) transformeren naar (x’,y’,z’) •Niet in overeenstemming met de postlaten van de speciale relativiteitstheorie • De ‘Lorentz-­‐transformaties’ vervangen de Galilei transformaties. •We hebben coördinaten (ct,x) in stelsel S die we transformeren naar coördinaten (ct’x’) in stelsel S’ •Voor coördinaten y en z zie volgende transparant. – Het interval ‘s’ is hetzelfde voor coördinaten (ct,x) en (ct’,x’) ! s = (ct) 2 2 x = (ct ) 2 2 x 2 – De transformaties zijn lineair in de tijd en ruimte ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 37 Lorentz-­‐transformaties: resultaat • De coördinaten y en z staan loodrecht op de y = y bewegingsrichting en die bleven hetzelfde z =z in elk stelsel •We gaan er altijd van uit dat de bewegingsrichting in de x-­‐as is •De Lorentztransformaties zijn dus ‘triviaal’ voor deze coördinaten. – De tijd coördinaat ct en ruimte coördinaat x worden gemixt: x ct = = x vt 1 ct v2 c2 vx/c 1 v2 c2 Lorentz-­‐transforma;es ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie x = x y = y z = z t = t vt Galilei transforma;es 38 Nogmaals Lorentztransformaties • Beschrijven tov twee bewegende stelsels – Galilei transformaties •Klassieke mechanica •Vergelijk beschrijving vanuit trein en vanuit het perron •Gebruik schrijfwijze Naar links bewegend coördinatenstelsel ! – Lorentz transformaties •Enige mogelijkheid die interval s ‘invariant’ laat •Modificatie van Galilei bij hoge snelheden ! • ‘Mixen’ van ruimte en tijd ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 39 Opdracht • Laat zien dat de Lorentztransformaties de grootheid invariant laat. Maw, laat zien dat geldt: gebruik de definities: ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 40 Optellen van snelheden • Optellen van snelheden – Stel trein beweegt met snelheid v1 – Kogel in de trein beweegt met snelheid v2 tov de trein • Wat is de snelheid van de kogel tov het perron? – Klassiek: ! – Met Lorentz transformaties ! ! – Hierdoor kan snelheid niet groter worden dan c •Voorbeeld: snelheid licht op trein, bezien vanaf perron: ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 41 ‘Eigentijd’ en ‘eigenlengte’ • De ‘eigentijd’ τ (Griekse letter tau): – Een waarnemer heeft een ‘eigentijd’. Tikken van de klok in rust tov zichzelf. •Tov alle inertiaalsystemen is dit de ‘snelst-­‐lopende’ klok! ! – De eigentijd Δτ tussen twee gebeurtenissen is het tijdsinterval zoals waargenomen op dezelfde positie – (Δs)2 is een invariant, en heeft dezelfde waarde voor elk stelsel. – Omgekeerd, als (Δs)2>0 dan 2 2 2 x= y= z=0 ( s) = c = c ( s)2 • De ‘eigenlengte’ λ (Griekse letter lambda) – Twee gebeurtenissen die gelijktijdig plaatsvinden: heet de eigenlengte Δλ – In dit geval is (Δs)2 < 0 2 2 2 2 ( s) = ! ( x) ( y) ( z) = • Mogelijke intervallen – (Δs)2 > 0 : “tijdachtig” we kunnen ‘eigentijd’ definiëren – (Δs)2 = 0 : “lichtachtig” dit is het pad van het licht – (Δs)2 < 0 : “ruimteachtig” we kunnen ‘eigenlengte’ definiëren ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie ( s)2 42 Voorbeelden ⌅ 1 1 2 ⇥1+ 2 2 voor ⇤0 • Stel trein gaat met 100 km/uur – Dit is plm 30 m/s ! ! ! =⇤ 1 1 v2 c2 =⇤ 1 + 5 · 10 1 1 15 ⇥2 30 300.000.000 = v/c – Tijdsdilatatie en Lorentzcontractie niet merkbaar • Verval van een muon deeltje – ‘Muonen’ of μ-­‐deeltjes zijn ontdekt in 1947 •1.88353109 × 10-­‐28 kg, dit is plm 208 keer zo zwaar als de elektron massa •Muon deeltjes kunnen worden gemaakt bij botsingen tussen elementaire deeltjes – En vallen vrijwel ogenblikkelijk weer uit elkaar ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie µ e + energie 43 Muon verval • Uiteenvallen van muonen volgens •Hoeveelheid vervallen evenredig met aantal muonen dN ! •Oplossing is ! dt N (t) = N N (t) = N0 e t t(µs) – Levensduur τ wanneer 1/e van muonen over zijn •De levensduur van een muon is 2.2 microseconde – Dit is de levensduur voor muonen in rust N (t) = N0 e t/ ! • Het ‘tellen’ van een muonen is een ‘klok’! = 2.2 · 10 6 s = 2.2 µs ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 44 Muonen tellen • Muonen in buitenste lagen van de atmosfeer •Door botsingen van kosmische stralen vanuit het heelal •Regenen van muonen ‘naar beneden’ naar het aardoppervlakte •Meten van muonen met detectie-­‐apparatuur – Eerst boven op berg en daarna op zeeniveau: •Boven op de berg van 3 km hoogte: 1000 muonen per uur •Op zee niveau met zelfde detector: 904 muonen per uur – Dit is niet wat je (Klassiek) verwacht! Als de muonen met de lichtsnelheid vliegen, duurt de reis van 3 km in totaal 10 μs, dwz 4.5 ‘levensduren’ •Je verwacht dan plm 11 muonen per uur te meten op zeeniveau. •Het is alsof er pas 0.1 levensduren voorbij zijn: e 0.1 0.904 – Verklaring via SRT 0.9995 • Levensduur is met factor ~45 groter geworden ⇥ 45 ⇥ • Klok van muonen tikt 45x langzamer • Vanuit muonen is afstand bergtop-­‐zeeniveau 3000/45=66 meter – Dat is 10% van cτ=660 meter ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 45 Melkwegstelsel • Deeltjes in ons melkwegstelsel: – Melkwegstelsel met diameter van plm 105 lichtjaren •Ongeveer factor 10-­‐20 keer zo dun •1 lichtjaar is afstand dat licht in 1 jaar aflegt: 365 x 24 x 3600 x 300000 km = 1016 m – Er zijn deeltjes in ons melkwegstelsel waargenomen met een snelheid van β=0.99999999999999999995 = 1-­‐0.5 10-­‐20 •Zodat γ=7 109 • Waarnemer in rust tov melkwegstelsel: •Het duurt 105 jaar voordat deeltje het melkwegstelsel is doorkruist •Voor deeltje zelf schiet door het melkwegstelsel heen in 105/(7 109)= 7.5 minuten – Oftewel, door Lorentz contractie is lengte van melkwegstelsel voor het bewegend deeltje nog maar 7.5 lichtminuten doorsnede ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 46 Speciale relativiteitstheorie • Tweede uur – ruimte-­‐tijd •Minkowski diagrammen -­‐ causaliteit -­‐ tweelingparadox -­‐ – energie en impuls •doos van Einstein -­‐ branden van de zon ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 47 Vier dimensionale ruimte • Gebeurtenis (“event”): – Een waarneming op een bepaalde plaats x (x,y,z) en bepaald JjdsJp t – Er zijn vier coordinaten nodig om de gebeurtenis vast te leggen – We spreken dan van een vier-­‐vector: (ct,x,y,z) • Flits van een lamp: • Botsing tussen twee auto’s: ct,x,y,z ct,x,y,z • Vierdimensionaal coördinatensysteem – We kunnen net als in een 3-­‐dimensionaal systeem, ook een coördinatenstelsel maken voor vier-­‐vectoren – Het is lasJg een vier-­‐dimensionaal systeem te tekenen! – We laten in de prakJjk de ruimte-­‐coordinaten y en z vaak weg – We beschouwen gebeurtenissen in de (ct,x) – ruimte. Dit is een simplificaJe en abstracJe! Botsing kruising om 12:30 hrs ITS academy -­‐• 5 m aart 2014 b-­‐ij Speciale relativiteitstheorie (ct,x) coordinatenstelsels • Een serie gebeurtenissen in het (ct,x) coördinatenstelsel – Neem bijvoorbeeld een sJlstaande auto • Auto op dezelfde posiJe voor een lange Jjd • Veel gebeurtenissen (een conJnue stroom) met zelfde waarde van x – Dit wordt een ‘wereldlijn’ genoemd • Het laat de hele geschiedenis van de auto zien. ! – Neem nu een rijdende auto • Deze zal van posiJe veranderen • Als de auto een constante snelheid hee\ is de verandering constant ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie (ct,x) coördinatenstelsel • Wereldlijnen in het (ct,x) diagram – Een lichtstraal maakt een hoek van 45o ! ! ! ! – Een bewegend voorwerp maakt een curve in het (ct,x) diagram ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie (ct,x) coördinatenstelsel • Nog een paar opmerkingen over het stelsel S: – Twee gebeurtenissen zijn ‘gelijkJjdig’ als de verbindingslijn precies horizontaal is. – Alle gebeurtenissen op horizontale as zijn gelijkJjdig • De x-­‐as is de as waarvoor alle gebeurtenissen Jjd ct=0 hebben – Twee gebeurtenissen hebben zelfde locaJe als de verbindingslijn precies verJcaal is – Alle gebeurtenissen op verJcale as hebben zelfde posiJe • De ct-­‐as is de as waarvoor all gebeurtenissen de locaJe x=0 hebben • Nog eens eenheden: – 1 meter afstand is ongeveer die van een grote stap – 1 meter Jjd [ct], is de Jjdsduur waarin het licht 1 meter aflegt • Dit is verschrikkelijk korte Jjd • Tijdens knipperen van je oog zijn er Jentallen miljoenen ‘&jdmeters’ voorbij ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie (ct,x) coordinatenstelsels • We kunnen diagrammen voor zowel S als S’ maken – Stel een raket vliegt weg met snelheid β=2/3. – Na 3 jaar hee\ hij dus een afstand van 2 lichtjaar afgelegd tov de achterblijvers • In dit stelsel S is A de achterblijver, en gaat B op reis. – Hoe zit dit vanuit het ruststelsel van de reiziger B eruit? = 2/3 , ⇥ 1.34 – Gebruik de LorentztransformaJes! A: A :⇥ B :⇥ 3 0 ⇥ ct x ct x , B: x ct x ct ⇥ ⇥ 3 2 =⇥ =⇥ ⇥ 3 2 5/3 0 ⇥ ⇥ ⇥ ⇥ ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie ⇥ 4.02 2.68 ⇥ 2.23 0 Brief uit de toekomst • De moraal van het verhaal: – In dit verhaal willen we duidelijk maken dat de snelheid van het licht de grootste snelheid is waarmee informaJe kan worden overgedragen – Als er informaJe sneller wordt overgedragen, leidt dit tot verwarring van “oorzaak en gevolg”. • Het feit dat ‘de oorzaak’ eerder plaatsvindt dan ‘het gevolg’ is een zeer fundamenteel principe in de natuurkunde. ViolaJe van de volgorde van oorzaak en gevolg wordt nooit geaccepteerd. Het zou betekenen dat je je eigen ouders kunt ombrengen voordat je geboren bent. • Anne en Frank zijn vrienden – Anne en Frank zijn vrienden en wonen in op aarde. – Stel Frank gaat op ruimtereis met een ruimteschip dat een snelheid hee\ van β=0.6 – Na 4 jaar wachten besluit Anne een brief aan Frank te sturen, met een nieuw type raket dat met snelheid β=3 kan reizen • Dit moment noemen we t=0 ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie Brief uit de toekomst • We tekenen het verhaal in een (ct,x) coördinatenstelsel • Waarbij de reis van Frank in de x-­‐richJng gaat. – Na 5 jaar reizen hee\ Frank een afstand van 3 lichtjaar afgelegd – Na vier jaar wachten stuurt Anne de brief weg in de superraket • Dit is de oorsprong van het coördinaten-­‐ stelsel – Na 1 jaar nadat de brief is verstuurd ontvangt Frank de brief in zijn raket • Hoe zit dit er vanuit het ruststelsel van Frank eruit? – Gebruik de LorentztransformaJes! ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie Brief uit de toekomst • TransformaJe naar stelsel S’ ! = 0.6 , ⇥ = 1.25 ! ⇥ ⇥ ⇥ 4 ct ! ct = A: ⇥ A : = x 0 x ! ⇥ ⇥ ⇥ ct 0 ct B : = B : = ! x 0 x ⇥ ⇥ ⇥ ! ct 1 ct C: = ⇥ C : = x 3 x ! • Wat zien we hier? 5 3 0 0 1 3 ⇥ ⇥ ⇥ – Frank bereikt punt C eerder dan de brief is verstuurd! In zijn referenJesysteem komt de brief eerder aan dan hij is verstuurd! – Voor Frank komt er een brief ‘uit de toekomst’ naar hem toe – Dit is onmogelijk, en in dit verhaal het gevolg van het gegeven dat de brief met snelheid β=3 werd verstuurd. ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie Lichtsnelheid is maximale snelheid • • Stel dat Anne helemaal geen vriend van Frank is, en de brief is een bombrief. Dat is de brief eerder ontplo\ dan de ontsteking is afgesteld. • Verwarring oorzaak en gevolg!! • Geen informaJe kan sneller worden overgebracht dan de snelheid van het licht – Dwz β=1 is de maximale snelheid. ! • Er zijn wel dingen die sneller gaan dan het licht, maar er wordt dan geen informaJe overgebracht – Bv de lichtvlek van een vuurtoren (of zaklamp) beweegt met een snelheid β>1 op een muur die heel ver weg staat – Er wordt geen informaJe overgedragen! ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie Ruimte-­‐Jjd diagrammen* • We laten nu de relaJviteit van gelijkJjdigheid zien in een (ct,x) diagram – Neem twee gebeurtenissen P en Q in het (ct,x) diagram die gelijkJjdig plaatsvinden ! ! – Denk hierbij aan de kop-­‐ en staart van een trein, en er wordt in het midden licht afstraalt en komt gelijkJjdig aan in P en Q ! – Beschouw nu dezelfde punten vanuit een systeem S’ dat beweegt met snelheid β • De trein hee\ snelheid maar lichtsnelheid is een constante • Licht bereikt voor-­‐ en achterkant in gebeurte-­‐ nissen P’ en Q’ Q’ 2z014 ijn -­‐ gSpeciale elijkJjdig in S’ – P’ -­‐ 5e mn aart ITS academy relativiteitstheorie Minkowski-­‐diagrammen* • Voor stelsel S’ – Gebeurtenissen op dezelfde plaats definiëren de ct’-­‐assen – GelijkJjdige gebeurtenissen definiëren de x’-­‐as • Net als de definiJes van x-­‐as en ct-­‐as in stelsel S • Voor een stelsel S’ met snelheid β: – Definieer in het (ct,x) stelsel nieuwe assen (ct’,x’) voor stelsel S’ – De vergelijking van deze assen x = ⇥(x ct) kun je verkrijgen met de LT’s: ct ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie = ⇥(ct x) Minkowski-­‐diagrammen* • Wat is de x’-­‐as? – Daar waar ct’=0: !0 = ⇥(ct ! α x) ⇥ ct = x – Dit is een as door de oorsprong met hoek α: ⇥x = =⇥ x tan ! • Wat is de ct’-­‐as? – Daar waar x’=0: 0 = ⇥(x ! – Dit is een as door de oorsprong met hoek ρ – Dit is hoek met ct-­‐as: ct) ⇥ ct = tan ⇥ = tan ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 1 1 x = =⇥ 1/⇥x x 1 x = ct Minkowski-­‐diagrammen* • Overgang van S naar S’ – “rotaJe” over hoek α, waarbij tanα=β – Dit is geen gewone rotaJe, dit is een rotaJe in ‘Minkowski ruimte’ – o\ewel ruimte-­‐Jjd ! ! ! ! ! ! ! ! – Vergelijk dit met een normale rotaJe in 3 dimensies x = +x cos + y sin y = x cos + y sin ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie Minkowski-­‐ruimten* • Minkowski ruimte-­‐Jjd – Door objecten te roteren in 3d ruimte kunnen we ze van alle kanten bekijken • Breedte en hoogte verliezen hun absolute betekenis in de 3d ruimte met rotaJes, want ze gaan in elkaar over. • Maw: we kunnen om objecten heen lopen en zien dan steeds een andere projecJe op ons netvlies – In ruimte-­‐Jjd hee\ het object een ‘grotere werkelijkheid’ • Niet-­‐intuïJef: ons brein berekent niet steeds opnieuw in ruimte-­‐Jjd !x ! ct ! = = ⇥x ⇥ct ⇥ x + ⇥ct – LorentztransformaJes zijn ook een soort ‘rotaJe’ • En laat ruimte en Jjd in elkaar overgaan • Maar let op! De ruimte-­‐Jjd rotaJes zijn echt anders en gedragen zich niet als Euclidische ruimte. We zullen steeds analogieën maken ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie Eenheidscircel* • RotaJe in een Euclidische ruimte: !x = x cos + y sin !y = x sin + y cos ! – De geroteerde eenheidsvectoren liggen op de eenheids cirkel: !2 r! = x2 + y 2 – Als funcJe van y is de eenheid: ! !y =± 1 x2 – Maw, de grootheid r2 is invariant onder de rotaJes ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie Eenheids-­‐hyperbool* ct • In twee stelsels S en S’ is de grootheid s2 invariant ! s2 = c2 t2 x2 – Hiermee komen onder ‘rotaJe’ onder hoek α de assen op de hyperbool te liggen ! ct = ± ! ! • Hyperbool: 1 + x2 – Een hyperbool is in de meetkunde een tweedimensionale figuur, een kegelsnede, die wordt gevormd door de snijlijnen van een kegel en een vlak dat beide hel\en van de kegel snijdt. Een hyperbool bestaat daarom uit twee takken, de snijlijnen met de beide delen van de kegel. ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie x LorentzcontracJe* ct ct’ • LorentzcontracJe in Minkowski-­‐ ruimten – In stelsel S’ wordt afstand OB’ gemeten • GelijkJjdig in stelsel S’ dus OB’ ligt op de x’-­‐as – Deze afstand is gelijkJjdig gemeten in S op de lijn OB • Lijn OB ligt langs de x-­‐as • Natuurlijk wel op dezelfde posiJe in S’ – Conclusie: vanuit S’ is de bewegende lat in S korter • Dit is de LorentzcontracJe ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie x’ B’ B x LorentzcontracJe* ct • LorentzcontracJe in Minkowski-­‐ ruimten ct’ B’ x’ – Nu gaan we vanuit S redeneren: • GelijkJjdig in stelsel S dus OB ligt op de x-­‐as B – Deze afstand is gelijkJjdig gemeten in S’ op de lijn OB’ • Lijn OB ligt langs de x’-­‐as • Natuurlijk wel op dezelfde posiJe in S – Maar je ziet dat de ‘eenheidshyperbool’ rechts ligt van B’ • De afstand OB’ representeert dus een lengte die korter is dan de ‘eenheid’ • Terwijl de afstand OB wel degelijk de eenheidsafstand representeert. – Conclusie: vanuit S is de lengte van de bewegende lat in S’ korter ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie x Reis naar de ster C • We gaan een denkbeeldige reis maken (tweelingparadox) – Vanaf de aarde staat een ster op een afstand van 99 lichtjaren. Dit is ster C. – Met een science ficJon raket krijgt een astronaut de volgende opdracht: • Reis naar ster C, maak daar een foto van de ster, en kom terug op aarde om de foto te laten zien – Merk op dat zonder SRT: • Onmogelijke opdracht; dit gaat jaren duren, minimaal 2*99 jaar (heen-­‐ en terug). Zo lang leven we niet. – Maar de science ficJon raket kan zeer hoge snelheden bereiken, en we hebben toch JjdsdilataJe? • Gegeven: – De raket R kan snelheid van β=99/101 ten opzichte van de aarde halen. • Met deze snelheid duurt de trip naar de ster, bezien vanaf de aarde, 99/β=101 jaar – Tweelingbroer en –zus Anne en Robert • Anne blij\ op de aarde achter, en Robert maakt de reis in de raket ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie Reis naar ster C • Hoe lang duurt de reis voor Robert om op ster C aan te komen? – Gegeven ! ! • Dus Robert als hij bij ster C aankomt: – In ruststelsel A (bewegend stelsel R) geldt Jjds-­‐dilataJe ! tA = tR tR = tR = 101 = 20 jaar 5.05 ! • Dus Robert is 20 jaar ouder als hij op ster C aankomt. – Een andere manier om hieraan te komen is door ruimte-­‐Jjd interval tussen vertrek en aankomst van Robert te bepalen vanuit de Aarde: ! c2 2 = c2 t2 x2 = (101)2 (99)2 = 400 = (20)2 lichtjaar2 – Deze grootheid is invariant, dus hee\ zelfde waarde vanuit Raket • En in raket is ΔxR=0, en c2 t2A ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie x2A = c2 t2R , tR = 20 jaar Reis naar ster C • Reisplan van Robert: – Robert vertrek in raket naar ster C en komt in 20 jaar aan. Hij neemt een foto van de ster en keert om, en gaat in 20 jaar weer terug – Robert hee\ dus in 40 jaar de foto genomen en is weer terug op aarde • Opmerkingen – Bij terugkomst is de ‘aardse Jjd’ toegenomen met 202 jaar – Robert ontmoet dus zijn achter-­‐achter kleinkinderen • Reizen in de Jjd – Met een zeer snelle raket door het heelal kun je naar de ‘toekomst’ reizen. – Dit is niet omkeerbaar. Je kunt nooit terug in de Jjd reizen ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie Tweelingparadox • Hieruit zien we duidelijk de tweeparadox – We kunnen ook stelsel R (raket van Robert) als sJlstaand beschouwen en stelsel A (de aarde) als bewegend – In dit geval lopen de klokken in A dus langzamer dan die van R • Immers de waarnemers zien van elkaar dat de ander zijn klok achter gaat lopen – Bezien vanuit R, die de reis naar C in 20 jaar maakt, is de Jjd in A verstreken met 20 ! tR = tA , tA = 5.05 = 3.96 jaar – Dus vanuit R bezien wordt Robert in de raket ouder dan tweelingzus Anne • Als Robert na 20 jaar op de ster C aankomt is zijn zus slechts 3.96 jaar ouder. • Fameuze tweelingparadox: – Als Robert weer terug op aarde is, wie is er dan ouder: Robert of Anne? – Is dit een onmogelijke situaJe? ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie Oplossing tweelingparadox • Oplossing van deze paradox: – Robert keert om bij ster C, en Anne keert nergens ‘om’ – Robert hee\ daarmee een langere weg afgelegd, grotere waarde Δx – Vergelijk weer 2 2 2 2 2 ! c =c t • Deze ‘eigenJjd’ is hetzelfde in elk stelsel S • Voor sJlstaande waarnemer geldt: c2 • Voor bewegende waarnemer geldt: c2 x = c2 t2 2 = c2 t2 2 x2 • Door het ‘min’-­‐teken in het invariante interval: – EigenJjd wordt het kleinst als zo groot mogelijke afstand wordt afgelegd ! • Andere manier om hier naar te kijken: – Robert zit niet in 1 inerJaalsysteem Jjdens zijn reis, maar in twee • Heenweg en terugweg zijn twee verschillende inerJaalsystemen ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie Tweelingparadox* • Stel de volgende situaJe voor • Om analyse binnen de ‘SRT’ te kunnen houden – Neem nu 3 inerJaalsystemen, en een ‘extra planeet’ B achter de ster C waarvandaan ook raket richJng ster C beweegt ! ! ! ! • A: • RH: • RT: inerJaalsysteem van de aarde inerJaalsysteem van de heenreis raket. Robert op weg naar ster C inerJaalsysteem van de terugreis raket. Robert van ster C naar aarde – Als Robert van aarde vertrekt in stelsel RH, vertrekt tegelijkerJjd een lege raket van B richJng ster C – De rakexen komen elkaar tegen bij ster C. Op dat moment spring Robert over van de RH raket in de RT raket om terug naar de aarde te reizen • Vergelijk twee treinen in tegengestelde richJng ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie Tweelingparadox* • We kunnen de Jjden van de verschillende inerJaalsystemen met elkaar vergelijken – Verschillende systemen A, RH en RT hebben volledig verschillende synchronisaJe met Jjden op aarde x) • Simultaanlijnen: gebeurtenissen met dezelfde ‘Jjd’ ct = ⇥(ct ! • GelijkJjdigheid RH op aankomst ster C: (ct’ = 20 lj) ! • GelijkJjdigheid TR op aankomst ster C: 20 = 5.05 ct ⇥ 99 x 101 ct = 0.98x + 3.96 ct = 198.04 0.98x Vertrek Robert Tijd op aarde, Tijd voor Robert Tijd op aarde, Tijd op aarde, vanuit A vanuit RH vanuit RT 0 0 0 194,08 Aankomst op C 101 20 3,96 198,04 Vertrek van C 101 20 3,96 198,04 Aankomst op A 202 40 7,92 202 ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie Tweelingparadox* Aard klok staat op 202-­‐3.96=198.04 jaar ct ct = = t c 19 8. 04 0. 98 101 lichtjaar 8x 9 0. + 96 . 3 Reis Robert Wereldlijn licht x GelijkJjdigheid RH op aankomst C GelijkJjdigheid RT op aankomst C 3.96 jaar Vertrek RH 99 lichtjaar ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie x Vertrek RT Tweelingparadox -­‐ naschri\ • Eerste experimentele verificaJe – Hafele & Keane hebben in 1972 verschillende atoomklokken als passagiers in vliegtuig gezet, en andere thuisgelaten • Vliegtuig om aarde, oost-­‐ en west-­‐waards – PrachJge bevesJging van de relaJviteitstheorie! • Zwaartekracht correcJe theorie experiment westwaards +275±21 ns +273±7 ns oostwaards -­‐40±23 ns -­‐59±10 ns – In deze experimenten is ook een correcJe van klokken uit de Algemene RelaJviteitstheorie: • Klokken lopen langzamer in de buurt van zware massa’s (bv de aarde) ! !T = ! ! T0 1 2GM Rc2 G : Gravitatieconstante, 6.673 · 10 11 m2 kg 1 s 1 Mm Fz = G 2 r • Klokken in vliegtuig Jkken dus sneller, omdat vliegtuig verder van aarde is – Klokken staan zelfs sJl in de buurt van een ‘zwart gat’, daar waarvoor geldt (Schwartzschild-­‐radius van een zwart gat) R = 2GM ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie c2 Invariante intervallen =0 S2 =0 2 S • Ruimte-­‐Jjd wordt ingedeeld in gebieden met verschillend teken van invariante interval S2>0 S2<0 S2<0 – S2>0: JjdachJg – S2=0: lichtachJg – S2<0: ruimteachJg • Met (x,y) als ruimtecoördinaten – Drie dimensionaal diagram – LichtachJg interval snijdt een kegel • Toekomst-­‐kegel: – Gebied van gebeurtenissen die in de toekomst liggen • Verleden-­‐kegel – Gebied van gebeurtenissen die van invloed hebben kunnen zijn ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie S2>0 Drie-­‐vectoren • Gebruik van drie-­‐vectoren – In de Klassieke Mechanica worden de drie vectoren overal gebruikt: • PosiJe, snelheid, kracht, … – We gebruiken de notaJe (a1 , a2 , a3 ) zodat we een compacte notaJe kunnen invoeren voor de lengte en inproduct van twee drie-­‐vectoren: ! ! ! ! ! ⌅ ⇤ ⇤ |a| = ⇥ 3 3 a2i , i=1 a·b= ai bi i=1 – De ‘i’ heet ‘index’ en loopt voor drie-­‐vectoren van 1 tot 3. ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie Vier-­‐vectoren • Gebeurtenissen worden weergegeven door vier-­‐vectoren – Vier coördinaten nodig voor de beschrijving: ! x = (c t, x, y, z) (c t, x) • Hier geen pijltje op de vier-­‐vector x, die is voor drie-­‐vectoren – Ook hier de notaJe met index, Jjdcomponent hee\ index 0: !x = (x0 , x1 , x2 , x3 ) • De componenten van de vier vector beschrijven de gebeurtenis in een coordinatenstelsel – TransformaJe naar ander coordinatenstelsel door de Lorentz-­‐ transformaJe. – We gebruiken hiervoor de matrix-­‐notaJe: ⇥ y0 a00 ⇧ y1 ⌃ ⇧ a10 ⇧ ⌃ ⇧ ⇤ y2 ⌅ = ⇤ a20 y3 a30 a01 a11 a21 a31 a02 a12 a22 a32 ⇥ ⇥ ⇥ a03 x0 a00 x0 + a01 x1 + a02 x2 + a03 x3 ⇧ ⌃ ⇧ ⌃ a13 ⌃ ⌃ ⇧ x1 ⌃ = ⇧ a10 x0 + a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 ⌃ . a23 ⌅ ⇤ x2 ⌅ ⇤ a20 x0 + a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 ⌅ a33 x3 a30 x0 + a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie Lorentz transformaJes in matrix notaJe* • We kunnen de LorentztransformaJes in matrix vorm schrijven: ⇥ ⇥ ⇥ ! ⇥ ⇥ 0 0 x0 x0 ⇧ x1 ⌃ ⇧ x1 ⌃ ⇧ ⇥ ⇥ 0 0 ⌃ ⌃ ⇧ ⌃ ⇧ ⌃ ⇧ = ! ⇤ x2 ⌅ ⇤ 0 ⌅ ⇤ 0 1 0 x2 ⌅ 0 0 0 1 x3 x3 ! – En de inversie LT worden dan: ⇥ ⇥ ⇥ ! x0 ⇥ ⇥ 0 0 x0 ⇧ x1 ⌃ ⇧ ⇥ ⇧ x1 ⌃ ⇥ 0 0 ⌃ ⌃ ⇧ ⇧ ⌃ ⇧ !⇤ ⌃ =⇤ ⌅ ⌅ ⇤ x2 0 0 1 0 x2 ⌅ ! x3 0 0 0 1 x3 ! • De LorentztransformaJes houden het interval s2 invariant – Daarmee zijn ook rotaJes in 3-­‐dim ruimte deel van de LT’s! 1 ⇧ 0 ⇧ ⇤ 1 0 0 cos sin 0 0 sin cos 0 ⇥ 0 BV: rotaJe om z-­‐as 0 ⌃ ⌃ en rotaJe om 0 ⌅ y-­‐as 1 ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 1 ⇧ 0 ⇧ ⇤ 0 1 0 cos 0 sin 0 0 1 0 0 sin 0 cos ⇥ ⌃ ⌃ ⌅ LorentztransformaJes* • De ‘boost’ LorentztransformaJes – TranslaJe tussen twee coördinatenstelsels S en S’ die een snelheid hebben tov elkaar – Voor een snelheid in een willekeurige richJng is de LT boost: ⇥ ! ⇥ ⇥ x ⇥ y ⇥ z 2 (⇥ 1) x (⇥ 1) x y (⇥ 1) x z ⌃ !⇧ ⇥ 1 + 1 + 1 + ⇧ ⌃ 2 2 2 x ⇧ ⌃ !⇧ (⇥ 1) y2 (⇥ 1) x y (⇥ 1) y z ⌃ ⇥ y 1+ 1+ 1+ 2 2 2 ⇤ ⌅ ! 2 (⇥ 1) z (⇥ 1) y z (⇥ 1) x z ⇥ 1 + 1 + 1 + 2 2 2 z ! – Waarbij de snelheid β nu eigenlijk een drie-­‐vector is: x y z 2 ⇥ = vx /c = = vy /c vz /c = 2 x = (1 + 2 y 2 x + 2 z 2 y 2 1/2 . z) ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie Vier-­‐vectoren • De lengte van een vier-­‐vector wordt gegeven door: ! ! – De lengte is dus invariant onder de LT – En we kennen het in-­‐product van vier-­‐vectoren x · x ! a · b = a0 b0 ! 3 a1 b1 a2 b2 a3 b3 = a0 b0 |x|2 ai bi = a0 b0 i=1 a·b • Het pijltje weer alleen voor de ruimtelijke componenten! • Ook het inproduct is invariant onder de LT: – Bewijs: neem twee vier-­‐vectoren en schrijf als som en verschil van a en b: !(a + b) · (a + b) = a · a + b · b + 2a · b !(a b) · (a b) = a · a + b · b 2a · b – Neem het verschil van deze vergelijkingen en je vindt: 1 ! a · b = ((a + b) · (a + b) (a b) · (a b)) 4 • Rechts is invariant, dus linkerkant ook! ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie Vier-­‐vectoren • Gebruik indices voor notaJe: 3 3 ! x·y = xµ y µ = xµ yµ µ=0 µ=0 ! Vector met indices boven heet „contravariant” Vector met indices beneden heet „covariant” – De indices met ‘Griekse lexers’ gaan van 0 t/m 3 • Er is een subJel verschil tussen indices ‘boven’ en indices ‘onder’: – DefiniJe van ‘bovenindex’ in termen van onderindex: ! ! ! – Bij inwendig product sommeer je dus over ene vier-­‐vector met bovenindices, en de ander met ‚benedenindices’. – convenJe van Einstein ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie Metriek • Hoe breng je boven-­‐ en onder indices in elkaar over: ! ⇥ ! 1 0 0 0 ⇧ 0 ⌃ 1 0 0 ! µ µ µ ⌃ x = x ; =⇧ ⇤ 0 0 1 0 ⌅ ! 0 0 0 1 ! ! – De matrix ημν heet de ‘metriek’ en definieert de structuur van onze ruimte-­‐ Jjd. • Dit is de ‘metriek’ van een vlakke, vier dimensionale ruimte – In de algemene relaJviteitstheorie speelt de metriek een centrale rol – De matrix is in het algemeen ingewikkelder en beschrij\ ook gekromde ruimten ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie Doos van Einstein (publicaJe 1905) • Beschouw een zwevende, afgesloten door • massa M en lengte L • In doos schiet foton van links naar rechts • energie • impuls • Doos beweegt naar links door behoud van impuls terwijl foton onderweg is • Totale zwaartepunt kan niet zijn veranderd • effecJef is massa m verschoven dat gelijk is aan ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie De vier-­‐impuls vector • Voor de Klassieke Mechanica – Impuls wordt gegeven door – Impuls is behouden – gebruik analyse van bv botsingen • Vier dimensionale equivalent: – Kunt niet differentiëren naar de tijd t •In plaats daarvan gebruik ‘eigentijd’ τ – tijd van eigen horloge ! ! – Voor stilstaande waarnemer is tikken van klok gelijk aan eigentijd – Verder is eigentijd ‘invariant’, dwz hetzelfde tov iedere waarnemer – Enige mogelijke vier-­‐vector: ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 84 Relativistische impuls – De eigentijd t kan worden geschreven als •Vergelijk de situatie met stilstaande en bewegende klok, eigentijd werd daar t’ genoemd. ! • Bekijk het ‘ruimtelijk’ gedeelte van vier-­‐impuls – De relativistische impuls wordt nu ! ! ! – De wiskundige expansie van γ rond kleine snelheden – Hiermee vinden we terug voor lage snelheden ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 85 Relativistische energie • Impuls vier-­‐vector componenten – De ruimtelijke componenten zijn de relativistische impuls – De nul-­‐component kunnen we met de energie identificeren. •Dimensies zijn correct als vier-­‐vector gelijk is aan ! • Hiermee is de relativistische energie gelijk aan ! ! – Met de ontwikkeling van γ wordt dit Relativistische energie geeft klassieke uitdrukking voor kinetische energie, plus ‘rust’ energie, plus ‘kleine’ correcties ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 86 Energie-­‐impuls vergelijking • We hebben nu een vier-­‐impuls – De componenten voldoen aan de Lorentz transformaties – Uit de eerdere discussie volgt: ! • De lengte van de vier-­‐impuls is invariant: ! ! – Waarmee we uiteindelijk vinden ! •Een vergelijking voor op je t-­‐shirt! •Aanzet tot bestaan anti-­‐materie als negatieve energie oplossing ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 87 Energie van een deeltje • Totale energie E=γmc2 – Bestaat uit een ‘rust energie’ gelijk aan mc2 – En daarbij een kineJsche energie !Ekin = E mc2 = ( 1)mc2 E • KineJsche energie – Voor heel lage snelheden gelijk aan Newton: ½mv2. – Voor hoge snelheden geldt dit absoluut niet meer! Ekin mc2 β=v/c • Rust energie mc2 – De ‘massa’ van een object vertegenwoordigt een enorm grote energie! – Kun je deze energie om zexen in bewegingsenergie? • In sommige gevallen wel, zoals bijvoorbeeld in kernreacJes zoals plaatsvinden in de zon ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 88 Samenva‰ng kinemaJca • Deze vier-­‐impuls voldoet aan de Lorentz transformaJes – Voor een ‘boost’ langs de x-­‐as te schrijven als: E /c = ⇥(E/c px = ⇥(px py = py px ) E/c) ! pz = pz ! • En de lengte van de vier-­‐vector is invariant: ! Wellicht de meest beroemde 2 2 2 2 4 E c |p| = m c uitdrukking van de relativiteitstheorie! ! – Elk (bewegend) voorwerp voldoet aan deze vergelijking • De energie en impuls kunnen heel groot worden, maar de massa ‘m’ is een constante: een invariant. Dit wordt ook wel de ‘rustmassa’ genoemd. – Elk systeem van deeltjes voldoet ook aan deze vergelijking • Je kunt ook spreken over de ‘systeemmassa’ van een aantal deeltjes ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 89 Samenva‰ng van kinemaJca • De definiJe van de snelheid β: ⇥ v c⇥ p – Krijgt een nieuwe betekenis in termen ⇥= = van energie en impuls: c E – Merk op dat de impuls van een systeem alJjd kleiner is dan de energie • Anders zou het voorwerp sneller dan c voort bewegen! • Massaloze deeltjes hebben m=0 E 2 c2 |p|2 = m2 c4 ⇥ E 2 ! c2 |p|2 = 0 – Hieruit volgt dat voor massaloze deeltjes geldt: ! E = ±c|p| ! – En dat deze deeltjes zich per defini&e met de lichtsnelheid voortbewegen: |⇥v | ±c|⇥ p| ⇥ | |= = = ±1 c E • Licht deeltjes of fotonen gedragen zich zo. • Ook ‘gravitonen’ moeten zich zo gedragen, maar die zijn nog nooit waargenomen! ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 90 Toepassing: Kernfusie • Bij kernfusie komen proton (p) en neutron (n) bij elkaar om deuterium “zwaar waterstof” te vormen (d) ! mp = 938.27231 MeV/c2 ! mn = 939.56563 MeV/c2 ! md = 1875.61339 MeV/c2 – Merk op: we kunnen mbv E=mc2 massa uitdrukken als “Energie/c2” – In deeltjesfysica wordt andere eenheid gebruikt: de elektronvolt (eV) • Energie dat elektron oppikt na doorlopen van potenJaalverschil van 1 Volt • Lading elektron: 1.6 10-­‐19 Coulomb • 1 eV = 1.6 10-­‐19 Joule; 1 MeV = 106 eV ! • Verschil in massa tussen proton+neutron en deuterium 2 2 2 E = m c + m c m c = 2.22455 MeV ! p n d – massa’s tellen niet op! Dit levert extra energie ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 91 Kernfusie en het branden van de zon • Waar blij\ het massaverschil? – Extra energie wordt uitgezonden in de vorm van een foton met energie !E = 2.22455MeV – zodat de reacJe is: p + n ! d + • Strikt genomen komt niet alle energie toe aan een enkel foton. Er moet ook aan impuls behoud worden voldaan, en het deuterium zal een ‘terugslag’ krijgen van het foton. ! • Onder andere dit mechanisme verklaart het lange bestaan van het branden van de zon – Als de zon een ‘benzine bom’ zou zijn, zou het opgebrand zijn na ongeveer 150000 jaar. Dit komt niet overeen met bijvoorbeeld de vondst van fossielen op aarde. ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 92 Branden van de zon • Hoeveel energie zendt de zon uit? • Bepaal eerst de hoeveelheid energie die op aarde valt – Op aarde bereikt 1372 Wax/m2 energie loodrecht van de zon (zonnekonstante) • Radius aarde ~ 6.4 106 m – Hoeveelheid massa ongezet in energie op aarde: • 1 W = 1 J/s = 1 kg m2/s3 • 1372 J correspondeert met 1.524 10-­‐14 kg – Elke seconde valt er 1.5 10-­‐14 kg zonlicht op aarde per m2 – Totaal bereikt op aarde per seconde (A=πr2=1.3 1014 m) ongeveer 2 kg zonlicht. • Zonlicht wordt uniform verspreid door de zon • Afstand aarde-­‐zon ~150 106 km • oppervlakte 4πR2 = 2.8 1023 m2 – Totaal converteert de zon per seconde 4.2 109 kg/s (4.2 miljoen ton!) ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 93 Branden van de zon • De reacJe die op de zon plaatsvindt – kernfusie met waterstof tot helium: 4H ! ! He + energie – ongeveer 0.7% van rust energie wordt omgezet in straling – Om 4.2 109 kg c2 aan energie te produceren moet er ~6.3 1011 kg waterstof worden omgezet • De zon verbruikt 630 miljoen ton waterstof per seconde! – De totale massa van de zon is ~2 1030 kg • Met de huidige snelheid zou de zon het dus ~1018 s = 100 miljard jaar uithouden – Hierbij is geen rekening gehouden met de evoluJe van de zon zelf – Gee\ wel de “goede orde grooxe” aan – Einstein gaf met E=mc2 een verklaring voor het lange branden van de zon ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 94 Speciale relativiteitstheorie • Derde uur – relativistische impuls •invariante massa -­‐ deeltjesproductie – deeltjesversnellers & kosmische straling • principes -­‐ stand van zaken -­‐ de LHC ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 95 Natuurlijke eenheden • Twee fundamentele constanten: ! – De constante van Planck h – De lichtsnelheid c ! h = = 1.055 · 10 34 Js 2 c = 2.998 · 108 ms 1 • Natuurlijk eenheden: – Kies eenheden zodanig dat c = ~ = 1 te schrijven – Niet meer nodig om c en ~ en ~ weer terug te zetten in eind-­‐ – Dimensionale argumentatie om c antwoord Conversie 1 kg = 5.61 · 1026 GeV 1 m = 5.07 · 1015 GeV 1 1 sec = 1.52 · 1024 GeV 1 Eenheden (~ = c = 1) GeV GeV 1 GeV 1 Standaard Model an e2lementaire deeltjes ITS academy -­‐ 5 mvaart 014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie Werkelijke eenheid GeV c2 ~c GeV ~ GeV 96 Vier dimensionale vectoren • Gebeurtenis wordt beschreven door vier-­‐vector – Vergelijk drie-­‐ en vier vectoren • Klassieke drie-­‐vector: • Vier-­‐vector – Tijd coördinaat, uitgedrukt in [m]: ct – Lengte van de vectoren • Lengte van drie-­‐vector: – De lengte is invariant onder rotaties van het coördinatenstelsel • Lengte van vier vector: ! ! – Deze lengte is invariant onder 3d rotaties van het ‘ruimtelijk’ coördinatenstelsel – Maar bovendien is deze lengte invariant voor bewegende coördinatenstelsels Standaard Model an e2lementaire deeltjes ITS academy -­‐ 5 mvaart 014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 97 Vier-­‐vectoren • Contra-­‐variante viervector – indices • Co-­‐variante viervector – invariante interval: •Einstein sommatie conventie van contra-­‐ en covariante vector • Lorentz transformaties – Boost langs x-­‐as in matrix: – Compacte notatie met sommatie conventie – Tensor Λμν: 4x4 matrix Standaard Model an e2lementaire deeltjes ITS academy -­‐ 5 mvaart 014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie Transformatie van een contra-variante vector 98 Lorentz transformaties en metriek Transformatie van een co-variante vector • Lorentz transformatie – voor co-­‐variante vector is gelijk aan inverse Lorentztransformaties – Inverse matrix Λμν (eerste index beneden) • Relatie co-­‐ en contravariante vector – tensor notatie ! – met de metriek gμν: ! – eigenschappen g µ⇥ = gµ⇥ , xµ = gµ x , Standaard Model an e2lementaire deeltjes ITS academy -­‐ 5 mvaart 014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie gµ g ⇥ = ⇥ µ xµ = g µ x 99 Co-­‐variantie -­‐ energie impuls • 4 vectoren alleen voor grootheden die aan Lorentz transformatie voldoen – uitdrukking vanzelf Lorentz invariant ! • Energie en impuls – vier vector ! – lengte (Lorentz invariant!) Standaard Model an e2lementaire deeltjes ITS academy -­‐ 5 mvaart 014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 100 Veel deeltjes systemen • De ‘rustmassa’ van een veel-­‐deeltjes systeem kan eenvoudig geïntroduceerd worden... – Twee botsende deeltjes a en b – Impuls-­‐energie van deeltjes a en b: pa en pb – Rustmassa van deeltjes a en b: ma en mb ! ! ! ! ! ! ! • Invariante massa mab: ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 101 Behouden tijdens botsingen • Botsingen tussen (willekeurig aantal) deeltjes: ! ! ! Toestand ‘in’ ? Toestand ‘uit’ – Alle componenten van de vier-­‐impuls zijn behouden bij de botsing ! • Invariante massa van de botsing – ook behouden – en bovendien hetzelfde in elk coördinatenstelsel ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 102 Twee deeltjes botsing • Beschouw de reactie a+b→c+d ! ! ! ! ! – zwaartepuntsenergie ! ! • Mandelstam variabelen (Lorentzinvariant) – ga na dat geldt: ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 103 Zwaartepuntenergie in CM systeem • Energie en impulsbehoud in het CM systeem – Totale impuls nul voor botsing •en na de botsing ! ! ! ! – energie Ec na de botsing ! ! ! pf pi pi pf •bewijs? stug doorrekenen! ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 104 Kinematische voorwaarden • Om reactie a+b→c+d te laten plaatsvinden – zwaartepuntenergie √s moet groter zijn dan massa van deeltjes c en d: ! ! ! • De zwaartepunt energie is de cruciale parameter van een deeltjesversneller – het bepaalt de ‚maximale’ massa van nieuwe deeltjes die in reacties kunnen worden gecreëerd – het bepaalt hoe „diep” we in de materie kunnen doordringen ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 105 Geschiedenis: Large Electron Positron collider (LEP) r.i.p. (1989-2000) Standaard Model an e2lementaire deeltjes ITS academy -­‐ 5 mvaart 014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 106 De ‘oude dame’ LEP versn eller: – Elektro nen op anti-elekt ronen – 27 km omtrek – Werkz aam 1989 -2000 – E nergie (m ax): 207 GeV ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 107 Voorbeeld van deeltjesversneller • In LEP deeltjesversneller werden elektronen en anti-­‐elektronen op elkaar geschoten verwaarloos ! de rustmassa van elektronen ! en anti-elektronen ! – Elk met energie E=45.5 GeV • verwaarloos de massa van elektron, die is – De invariante massa M2 van dit systeem wordt dan: ! ! ! ! – Oftewel: precies genoeg voor de productie van het Z0 deeltje! ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie overal is lichtsnelheid c=1 genomen! Waarom ‘botsende bundels’? • Stel je wilt het Z deeltje maken met botsingen op een trefplaatje: ! ! • Welke energie moet bundel anti-­‐elektronen hebben om Z deeltje te creëren? – De massa van het systeem wordt nu: ! ! ! – Om Z deeltje te maken hebben we een bundelenergie nodig van ! ! • Dit is heel ver buiten technologische mogelijkheden! ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie CMS Atlas ATLAS ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie Haarlemse Chemische Kring LHC zwaartepunt energie: 7000+7000 GeV uden o h e t n a a lb e k nen in cir o t o r p m o n K e t 9 . 1 t o magne t d l e o k fge a , T 3 . 8 d l e v t e Magne ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie 111 Vergelijk LEP met LHC • Twee grote versnellers op Cern, bij Geneve: – LEP (1984-­‐2000) • Versnellen van elektronen op positronen, elk met een energie van maximaal 105000 MeV. Rustmassa van deze deeltjes is 0.511 MeV/c2 • Hiermee is de Lorentzfactor γ • Invariante massa • Limiet van de bundelenergie wordt gegeven door de synchrotron straling: – Hoeveel energie kun je per ‘rondje’ maximaal in de bundel inpompen – LHC (2009-­‐2020+) • Versnellen van protonen op protonen, elk met een energie van maximaal 7000000 MeV. Rustmassa van deze deeltjes is plm 938 MeV/c2 • Hiermee is de Lorentzfactor γ • Invariante massa • Limiet van de bundelenergie wordt gegeven door de sterkte van de afbuigingsmagneten – Bij hogere energie ‘schieten’ de protonen hun baan uit ITS academy -­‐ 5 maart 014 -­‐ Speciale srtraling elativiteitstheorie bij protonen verwaarloosbaar – 2Synchrotron Creatie van elementaire deeltjes e+e− → μ+μ− ITS academy -­‐ 5 maart 2014 -­‐ Speciale relativiteitstheorie e+e− → quarks 113
