S T A R T - Onderwijs op maat

Karel de Grote-Hogeschool
Katholieke Hogeschool Antwerpen
Departement Lerarenopleiding
S T A R T
W
I
N
L
O
O
P
C
U
R
S
U
S
I
1
S
K
2
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
U
3
N
4
D
E
5
C
H
R
I
S
F
L
O
R
U
S
Chris Florus
Inhoudsopgave
INHOUDSOPGAVE ............................................................................................................................................. 1
1. GETALLEN ...................................................................................................................................................... 3
1.1. NATUURLIJKE GETALLEN OF POSITIEVE GEHELE GETALLEN ......................................................................... 3
1.1.1. Betekenis .............................................................................................................................................. 3
1.1.2. Positieschema ...................................................................................................................................... 3
1.1.3. Ordenen en voorstellen op getallenas ................................................................................................. 3
1.2. NEGATIEVE GEHELE GETALLEN EN GEHELE GETALLEN ................................................................................ 4
1.2.1. Betekenis .............................................................................................................................................. 4
1.2.2. Ordenen en voorstellen op getallenas van de gehele getallen ............................................................. 4
1.2.3. Gebruik van de negatieve gehele getallen ........................................................................................... 4
1.3. RATIONALE GETALLEN: BREUKEN – KOMMAGETALLEN – PERCENTEN ......................................................... 4
1.3.1. Betekenis .............................................................................................................................................. 4
1.3.2. Breukenterminologie ........................................................................................................................... 6
1.3.3. Rangschikken van breuken, kommagetallen, percenten....................................................................... 6
1.4. AFRONDEN VAN GETALLEN .......................................................................................................................... 8
1.4.1 Voorbeelden.......................................................................................................................................... 8
1.4.2. Werkwijze ............................................................................................................................................ 8
1.5. BEGRIPPEN IN DE VERZAMELING VAN DE NATUURLIJKE GETALLEN .............................................................. 8
1.5.1. Deelbaarheid ....................................................................................................................................... 8
1.5.2. Even en oneven getallen ...................................................................................................................... 8
1.5.3. Veelvoud .............................................................................................................................................. 9
1.5.4. Priemgetal ........................................................................................................................................... 9
1.5.5. Grootste gemeenschappelijke deler (GGD) ......................................................................................... 9
1.5.6. Kleinste gemeenschappelijk veelvoud (KGV) .................................................................................... 10
1.6. INOEFENING ............................................................................................................................................... 11
2. BEWERKINGEN............................................................................................................................................ 13
2.1. TERMINOLOGIE .......................................................................................................................................... 13
2.1.1. De optelling ....................................................................................................................................... 13
2.1.2. De aftrekking ..................................................................................................................................... 13
2.1.3. De vermenigvuldiging........................................................................................................................ 13
2.1.4. De deling ........................................................................................................................................... 13
2.2. SCHATTEND REKENEN ................................................................................................................................ 13
2.2.1. Betekenis en belang ........................................................................................................................... 13
2.2.2. Voorbeelden ....................................................................................................................................... 14
2.3. HOOFDREKENEN......................................................................................................................................... 15
2.3.1. Betekenis ............................................................................................................................................ 15
2.3.2. Breuk of percent van een getal nemen ............................................................................................... 15
2.3.3. De optelling ....................................................................................................................................... 16
2.3.4. De aftrekking ..................................................................................................................................... 17
2.3.5. De vermenigvuldiging........................................................................................................................ 18
2.3.6. De deling ........................................................................................................................................... 20
2.4. CIJFERREKENEN ......................................................................................................................................... 22
2.4.1. De optelling ....................................................................................................................................... 22
2.4.2. De aftrekking ..................................................................................................................................... 22
2.4.3. De vermenigvuldiging........................................................................................................................ 23
2.4.4. De deling ........................................................................................................................................... 24
2.5. INOEFENING ............................................................................................................................................... 26
3. MEETKUNDE ................................................................................................................................................ 29
3.1. MEETKUNDE IN HET VLAK .......................................................................................................................... 29
3.1.1. Basisbegrippen .................................................................................................................................. 29
3.1.2. Soorten driehoeken ............................................................................................................................ 31
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
Chris Florus
1
3.1.3. Soorten vierhoeken ............................................................................................................................ 32
3.2. MEETKUNDE IN DE RUIMTE ........................................................................................................................ 33
3.2.1. Basisbegrippen .................................................................................................................................. 33
3.2.2. Soorten veelvlakken ........................................................................................................................... 33
3.2.3. Omwentelingslichamen ...................................................................................................................... 34
3.3. INOEFENING ............................................................................................................................................... 35
4. METEN EN METEND REKENEN .............................................................................................................. 38
4.1. METEN ....................................................................................................................................................... 38
4.2. METEN MET STANDAARDMAATEENHEDEN ................................................................................................. 38
4.2.1. Terminologie...................................................................................................................................... 38
4.2. 2. Metriekstelsel .................................................................................................................................... 38
4.2.3. Andere meetsystemen ......................................................................................................................... 40
4.3. HERLEIDINGEN ........................................................................................................................................... 41
4.4. BEWERKINGEN ........................................................................................................................................... 41
4.5. OMTREKBEREKENING EN OPPERVLAKTEBEREKENING VAN VLAKKE FIGUREN: FORMULES ......................... 42
4.5.1. Driehoek ............................................................................................................................................ 42
4.5.2. Vierhoeken ......................................................................................................................................... 42
4.5.3. De cirkel ............................................................................................................................................ 43
4.6. VOLUMEBEREKENING VAN LICHAMEN: FORMULES .................................................................................... 43
4.6.1. Kubus ................................................................................................................................................. 43
4.6.2. Balk.................................................................................................................................................... 43
4.6.3. Cilinder .............................................................................................................................................. 43
4.7. INOEFENING ............................................................................................................................................... 44
5. TOEPASSINGEN ........................................................................................................................................... 46
5.1. VOORBEELDEN VRAAGSTUKKEN PERCENTREKENING ................................................................................. 46
Oplossing ..................................................................................................................................................... 46
5.2. OPGAVEN ................................................................................................................................................... 48
INDEX.................................................................................................................................................................. 49
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
Chris Florus
2
1. GETALLEN
1.1. Natuurlijke getallen of positieve gehele getallen
1.1.1. Betekenis
De natuurlijke getallen zijn de positieve gehele getallen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ….
opgebouwd uit één of meerdere cijfers.
Er zijn tien cijfers (0 t.e.m.9) en oneindig veel natuurlijke getallen.
1.1.2. Positieschema
De plaats of positie van een cijfer in een getal bepaalt de waarde van dat cijfer en dus de
grootte van het getal. Om de waarde van een cijfer te kennen, gebruiken we het positieschema
of positietabel van het tiendelig of decimaal stelsel. Hierin is elke rang tien keer groter dan de
vorige rang en tien keer kleiner dan de daarop volgende rang.
TM
3
M
8
HD TD
2
5
D
6
H
9
T
1
E
0
In het getal ‘38 miljoen 256 duizend 910’ staat het cijfer
3 op de plaats van de tienmiljoentallen en heeft de waarde van 30 miljoen;
8 op de plaats van de miljoentallen en heeft de waarde van 8 miljoen;
2 op de plaats van de honderdduizendtallen en heeft de waarde van 200 000;
5 op de plaats van de tienduizendtallen en heeft de waarde van 50 000
6 op de plaats van de duizendtallen en heeft de waarde van 6000;
9 op de plaats van de honderdtallen en heeft de waarde van 900;
1 op de plaats van de tientallen en heeft de waarde van 10;
0 op de plaats van de eenheden en heeft de waarde van 0
1 TM = 10 M = 100 HD = 1000 TD = 10 000 D = 100 000 H = 1 000 000 T = 10 000 000 E
1.1.3. Ordenen en voorstellen op getallenas
|
0
|
1
|
2
|
3
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
|
4
|
5
|
6
|
7
Chris Florus
|
8
3
Voorbeelden
5<7
5 7
(5 is kleiner dan 7)
(5 is kleiner of gelijk aan 7)
4>1
4 1
( 4 is groter dan 1)
( 4 is groter of gelijk aan 1)
1.2. Negatieve gehele getallen en gehele getallen
1.2.1. Betekenis
De negatieve gehele getallen zijn de natuurlijke getallen voorzien van een minteken
0, - 1, - 2, - 3, - 4, …..
De gehele getallen zijn de natuurlijke getallen voorzien van een plusteken of een minteken.
Het plusteken mag weggelaten worden: + 2 = 2
Het getal 0 is zowel een positief als een negatief geheel getal: + 0 = - 0 = 0
1.2.2. Ordenen en voorstellen op getallenas van de gehele getallen
|
-5
|
-4
|
-3
|
-2
|
-1
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
Voorbeeld
-5 < -3 < -1 < 0 < 2
1.2.3. Gebruik van de negatieve gehele getallen
De negatieve gehele getallen worden in het lager onderwijs gebruikt binnen concrete en
eenvoudige contextsituaties: de temperatuur; liften in gebouwen; schulden; hoogten.
1.3. Rationale getallen: breuken – kommagetallen – percenten
1.3.1. Betekenis
Een rationaal getal is het nauwkeurig quotiënt van de deling van twee gehele getallen,
waarbij de deler verschillend is van 0.
Een rationaal getal heeft een breukschrijfwijze en een kommaschrijfwijze.
In de lagere school wordt uitsluitend gewerkt met positieve rationale getallen, waarbij deeltal
en deler ( 0) een natuurlijk getal is, de naam ‘rationaal getal’ wordt niet gebruikt.
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
Chris Florus
4
De breukschrijfwijze bestaat uit een teller (het deeltal), een breukstreep (de deelbewerking) en
een noemer (de deler). In deze vorm spreken we van breuken.
Voorbeeld
3/5 (3 gedeeld door 5; drie vijfde; 3 van de 5 gelijke delen; 3 gehelen verdeeld in 5 gelijke
delen)
In de kommaschrijfwijze of decimale schrijfwijze, verkregen door de teller te delen door de
noemer, wordt het tiendelige positieschema verder uitgebreid met tienden, honderdsten,
duizendsten,...
In deze vorm spreken we van kommagetallen of decimale getallen.
M
HD
TD
D
H
T
E
,
t
h
d
Voorbeelden
3/5 = 0,6
29/25 = 1,16
43/8 = 5,375
De decimale vorm bestaat meestal uit twee delen: een deel voor de komma, de gehelen, en
een deel na de komma, het decimale gedeelte.
Alle gehele getallen zijn rationale getallen en dus als breuk en als kommagetal te
schrijven.
Voorbeelden
7 = 7/1 = 42/6 = … = 7, 00…
0 = 0/1 = 0/9 = … = 0, 00…
Bij het herleiden van een breuk of kommagetal tot een tiendelige breuk (zie 1.3.2.) met
noemer 100 ontstaat de percentschrijfwijze. Een percent of procent geeft dus het
verhoudingsgetal t.o.v. 100 aan.
Voorbeelden
3 = 6 = 0,6 = 60 %
5 10
1 = 25 = 0,25 = 25 %
4 100
5 = 625 = 0,625 = 62,5 %
8 1000
OPMERKING
In het vervolg wordt steeds een positieve waarde bedoeld bij het gebruik van ‘breuk’,
‘kommagetal’ en ‘percent’.
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
Chris Florus
5
1.3.2. Breukenterminologie
Een stambreuk is een breuk waarvan de teller 1 is: 1/5; 1/13; 1/100
Een echte breuk is een breuk waarvan de teller kleiner is dan de noemer: 5/7; 2/9; …
Een onechte breuk is een breuk waarvan de teller groter is dan de noemer: 7/3; 5/4; …
Een tiendelige of decimale breuk is een breuk met noemer 10; 100; 1000; …(macht van
10): 7/10; 42/100; 123/1000; …
Gelijkwaardige breuken zijn gelijke breuken: 3/8 = 6/16 = 9/24 = …;
2/3 = 4/6 = 18/27 = …
Gelijknamige breuken zijn breuken met dezelfde noemer: 1/8; 5/8; 7/8; …
Breuken gelijknamig maken betekent één of meerdere breuken vervangen door een
gelijkwaardige breuk, zodat ze een zelfde noemer hebben. Meestal gebruikt men als
gemeenschappelijke noemer het kleinste gemeenschappelijk veelvoud (zie 1.5.6) van de
gegeven noemers.
Een breuk vereenvoudigen betekent de breuk vervangen door een gelijkwaardige breuk
door teller en noemer te delen door een zelfde getal, verschillend van 0.
8=4=2 = 1
24 12 6
3
Een onvereenvoudigbare breuk is een breuk waarbij teller en noemer niet meer deelbaar
is een onvereenvoudigbare breuk.
zijn door een zelfde getal verschillend van 1.
Om de breuk 8/24 onmiddellijk te vereenvoudigen tot de onvereenvoudigbare breuk 1/3,
deelt men teller en noemer door de grootste gemeenschappelijke deler (zie 1.5.5) van
teller en noemer.
1.3.3. Rangschikken van breuken, kommagetallen, percenten
Om tegelijk breuken, kommagetallen en percenten te rangschikken herschrijft men ze in één
en dezelfde schrijfwijze.
Bij het rangschikken van uitsluitend kommagetallen of uitsluitend percenten wordt gesteund
op het positiestelsel om de grootte te bepalen.
Voorbeeld
M
HD TD
D
3
H
0
2
T
1
1
E
3
7
,
,
,
t
7
0
h
2
4
d
9
5
3 013,729 > 217,045 hier volstaat het vergelijken van het gehele gedeelte.
78,2 % < 89,1 % want 78,2 < 89,1
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
Chris Florus
6
Om breuken eenvoudig te rangschikken, maakt men ze eerst gelijknamig.
Van een aantal gelijknamige breuken is de breuk met de kleinste teller, de kleinste breuk.
1/7 < 3/7 < 5/7 < 12/7
Van een aantal breuken met dezelfde teller is de breuk met de grootste noemer, de kleinste
breuk
3/13 < 3/7 < 3/5
OPMERKING
Wanneer een breuk (of percent) als operator wordt gebruikt werkend op één of meerdere
gehelen of op een hoeveelheid, kunnen ze maar vergeleken en gerangschikt worden wanneer
de gehelen of hoeveelheden, waarop ze werken, even groot zijn.
Gelijke gehelen of hoeveelheden:
1/3 van 1 geheel is gearceerd
½ > 1/3 (beide gehelen zijn even groot)
½ van 1 geheel is gearceerd
½ van 18 = 9
1/3 van 18 = 6
½ > 1/3 (beide hoeveelheden zijn even groot)
Ongelijke gehelen of hoeveelheden:
1/3 van 1 geheel is gearceerd
½ van het kleine geheel < 1/3 van het grote geheel
½ van 1 geheel is gearceerd
½ van 16 = 8
1/3 van 42 = 14
½ van 16 < 1/3 van 42
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
Chris Florus
7
1.4. Afronden van getallen
1.4.1 Voorbeelden
Gegeven af te ronden getal Afronden tot op een Afgerond getal
937
tiental
940
147 362
duizendtal
147 000
389,173
honderdste
389,17
18,5
eenheid
19
1.4.2. Werkwijze
Als je een getal moet afronden tot op een cijfer in een bepaalde rang, kijk je naar het cijfer
rechts van die rang.
Is dat cijfer 0; 1; 2; 3; 4; dan rond je naar beneden af.
Is dat cijfer 5; 6; 7; 8; 9; dan rond je naar boven af.
1.5. Begrippen in de verzameling van de natuurlijke getallen
1.5.1. Deelbaarheid
Voorbeeld
8 is een deler van 48 of 48 is deelbaar door 8, want de deling van 48 door 8 levert als quotiënt
het natuurlijk getal 6 op en de rest is 0; 48 : 8 = 6 met rest 0 (opgaande deling)
48 heeft als delers 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48
Algemeen
Een getal is deelbaar door een 2de getal wanneer de deling van het 1ste getal door het 2de getal
een natuurlijk getal oplevert met rest 0. Het 2de getal is dan een deler van het 1ste getal.
1.5.2. Even en oneven getallen
Voorbeelden
16 is een even getal, want 16 is deelbaar door 2
15 is een oneven getal, want 15 is niet deelbaar door 2
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
Chris Florus
8
Algemeen
Een even getal is een getal dat deelbaar is door 2, een oneven getal is niet deelbaar door 2.
1.5.3. Veelvoud
Voorbeelden
56 is een veelvoud van 8, want 56 is het product van 8 met het natuurlijk getal 7;
56 = 7 x 8 en 7 is een natuurlijk getal
De veelvouden van 8 zijn 0; 8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; ……
(oneindig in aantal)
Algemeen
Een veelvoud van een getal is elk product van dat getal met een natuurlijk getal.
1.5.4. Priemgetal
Voorbeelden
2,3,5,7,... zijn priemgetallen
Algemeen
Een priemgetal is een getal dat precies twee delers heeft.
1.5.5. Grootste gemeenschappelijke deler (GGD)
Voorbeelden
4 is de grootste gemeenschappelijke deler van 12 en 8; genoteerd: GGD(12,8) = 4
1 is de grootste gemeenschappelijke deler van 15 en 1; genoteerd: GGD(15,14) = 1
Algemeen
De grootste gemeenschappelijke deler van twee of meer getallen is de grootste onder de
gemeenschappelijke delers van deze getallen.
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
Chris Florus
9
De grootste gemeenschappelijke deler van twee of meerdere getallen bestaat altijd; want 1 is
deler van elk getal. Indien de grootste gemeenschappelijke deler van twee of meerdere
getallen 1 is, noemt men die getallen ‘onderling ondeelbaar’.
Werkwijze en voorbeeld
- zoek alle delers van elk getal
- onderlijn of omring de gemeenschappelijke delers
- noteer het grootste getal onder deze gemeenschappelijke delers
GGD (8,28,36) = ?
delers van 8 || 1, 2, 4, 8, 28
delers van 28 || 1, 2, 4, 7, 14,
delers van 36 || 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
GGD(8,28,36) = 4
1.5.6. Kleinste gemeenschappelijk veelvoud (KGV)
Voorbeeld
24 is het kleinste gemeenschappelijk veelvoud van 12 en 8; genoteerd: KGV(12,8) = 24
Algemeen
Het kleinste gemeenschappelijk veelvoud van enkele getallen is het kleinste onder de gemeenschappelijke veelvouden van die getallen, groter dan nul.
Het kleinste gemeenschappelijk veelvoud van enkele getallen bestaat altijd; indien de getallen
onderling ondeelbaar zijn is het product van de getallen het kleinste gemeenschappelijk
veelvoud.
Werkwijze en voorbeeld
- bepaal de veelvouden van elk getal (opsomming zeker afbreken bij product van de getallen)
- onderstreep of omring de gemeenschappelijke veelvouden
- noteer het kleinste getal onder deze gemeenschappelijke veelvouden, verschillend van 0.
KGV(4,14) = ?
veelvouden van 4 || 0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,56,...
veelvouden van 14 || 0,14,28,42,56,...
KGV(4,14) = 28
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
Chris Florus
10
1.6. Inoefening
1. Omlijn het getal dat het dichtst bij 1,97 ligt.
2,01
1,9
1, 895
2,001
1,93
2. Rangschik de volgende getallen van klein naar groot
a) 3/2
¼
1/8
b) ¾
72%
¾
0,38
½
3/8
3/8
2/3
2,3
3. Onderlijn de priemgetallen in de volgende reeks getallen
0
1
7
15
19
21
4. Noteer het getal dat 2 duizendste kleiner is dan 4,51
5. Onderlijn de oneven getallen in de volgende reeks getallen
0
456
270
29
6. Onderlijn de getallen die als tiendelige breuk te schrijven zijn.
0
¾
33 %
2/3
3/7
64,5 %
7. Bepaal GGD(60,24)
8. Bepaal KGV(30,4)
9. Maak onderstaande breuken gelijknamig
1/3
3/8
7/12
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
Chris Florus
11
10. Vereenvoudig de breuken tot een onvereenvoudigbare breuk.
14
16
17
34
24
64
29
34
11. a) Noteer volgende breuken als kommagetal en als percent.
7/8
215/25
5/6
9/6
b) Noteer volgende percenten als kommagetal en als decimale breuk.
43,4 %
17 %
0,9 %
0,03 %
c) Noteer volgende kommagetallen als breuk en als percent.
3,4
12. Vul in: < of
a) 23 %
0,65
> of
0,02
7
=
23
b) 7,4
74 %
c)
¾
75%
13. Vul in ‘waar’ of ‘onwaar’
a) een priemgetal is altijd oneven
b) het KGV van 2 getallen is altijd een veelvoud van de GGD van die 2 getallen
c) een onechte breuk is altijd groter dan 1
14. Vul volgende tabel in:
Gegeven af te ronden getal Afronden tot op een Afgerond getal
41 876
honderdtal
76,03
tiende
796
tiental
76 852 432
honderdduizendtal
3,46
tiende
3,5
eenheid
3,46
eenheid
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
Chris Florus
12
2. BEWERKINGEN
2.1. Terminologie
2.1.1. De optelling
De optelling is de bewerking; de uitkomst van een optelling noemt men de som. Het eerste
getal is het opteltal; het tweede getal is de opteller. Wanneer meerdere getallen
achtereenvolgens worden opgeteld, worden deze getallen termen genoemd, wat ook bij
slechts twee termen kan.
2.1.2. De aftrekking
De aftrekking is de bewerking; de uitkomst van een aftrekking noemt men het verschil.
Het eerste (grootste) getal is het aftrektal; het tweede (kleinste) getal is de aftrekker. Wanneer
meerdere getallen achtereenvolgens worden afgetrokken, worden deze getallen termen
genoemd, wat ook bij slechts twee termen kan.
2.1.3. De vermenigvuldiging
De vermenigvuldiging is de bewerking; de uitkomst van een vermenigvuldiging noemt men
het product. Het eerste getal is de vermenigvuldiger; het tweede getal is het
vermenigvuldigtal. Wanneer meerdere getallen achtereenvolgens worden vermenigvuldigd,
worden deze getallen factoren genoemd, wat ook bij slechts twee factoren kan.
2.1.4. De deling
De deling is de bewerking; de uitkomst van een deling noemt men het quotiënt. Het eerste
getal is het deeltal; het tweede getal is de deler. Wanneer achtereenvolgens meerdere delingen
worden uitgevoerd, worden deze getallen factoren genoemd, wat ook bij slechts twee
factoren kan.
2.2. Schattend rekenen
2.2.1. Betekenis en belang
Bij het schattend rekenen hoeven de getallen niét absoluut afgerond te worden tot op een
eenheid, tiental, enz. zoals aangegeven in 1.4. Het is belangrijker de gegeven getallen in
functie van de bewerking te vervangen door zinvolle benaderingen, die toelaten de gevraagde
bewerking gemakkelijk uit te voeren. Hierdoor wordt de exacte uitkomst eveneens schattend
benaderd.
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
Chris Florus
13
Het schattend rekenen sluit volledig aan bij het werken vanuit de dagelijkse realiteit, waarbij er
dikwijls meer nood is aan het situeren van een uitkomst ‘in de buurt van’, dan aan een precieze
uitkomst.
Wanneer de exacte uitkomst wel gevraagd wordt en deze exacte uitkomst uit het hoofd, al
cijferend of met de zakrekenmachine (ZRM) berekend wordt, blijft het schattend rekenen hét
middel om een idee te krijgen van de orde van grootte van die uitkomst. De vergelijking van
de exacte uitkomst met de gemaakte schatting is bij elke berekening als controle aangewezen.
2.2.2. Voorbeelden
Optelling
Lore heeft in de winkel producten van respectievelijk 1,86 euro; 1,13 euro; 13,72 euro;
0,73 euro en 14, 80 euro. Om een idee te hebben hoeveel ze moet betalen, maakt ze een
schatting door de bedragen af te ronden tot op 1 eenheid.
Schatting: 2 + 1 + 14 + 1 + 15 = 33
Exacte uitkomst: 32,24 euro
Aftrekking
Lore betaalt met een briefje van 100 euro. Om vlug te kunnen controleren of ze ongeveer het
juiste bedrag terug betaald krijgt, maakt ze een schatting, door af te ronden tot op een tiental.
Schatting: 100 – 30 = 70
Exacte uitkomst: 67,76 euro
Vermenigvuldiging
De afmetingen van een lokaal zijn 7,78 m op 6,25 m. Matthijs wil de oppervlakte van het
lokaal ongeveer kennen. Daartoe rondt hij de afmetingen af tot op 1 m
Schatting: 8 x 6 = 48
Exacte uitkomst: 48,625 m2
Deling
De lievelingssnoep van Stijn wordt in de winkel enkel verkocht per 6 pakjes. Hij betaalt
5,58 euro. Stijn wil weten hoeveel 1 pakje ongeveer kost.
Schatting: 6 : 6 = 1
Exacte uitkomst: 0,93 euro
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
Chris Florus
14
2.3. Hoofdrekenen
2.3.1. Betekenis
Bij het hoofdrekenen gaat het om het bepalen van de exacte uitkomst van een optelling,
aftrekking, vermenigvuldiging, deling of een breukdeel of percent van een getal.
Elke gelijkheid die genoteerd wordt, moet correct zijn! Wat links en rechts van elk
gelijkheidsteken staat moet steeds dezelfde waarde hebben. Er mag tijdens het hoofdrekenen
dus wél geschreven worden: de opgave, meerdere tussenstappen en de uitkomst worden
genoteerd. Op deze manier wordt de denkweg duidelijk aangegeven.
Bij hoofdrekenen probeert men zo eenvoudig en voordelig mogelijk te rekenen. Het is de
bedoeling gebruik te maken van de structuur van de grotere of moeilijkere getallen (zoeken van
ronde getallen door aanvullen en splitsen), van relaties tussen de getallen en van eigenschappen
van de bewerkingen. De nadruk ligt dus op het voordeel- en eigenschapshoofdrekenen.
We bekijken hier niét de opbouw van het gestandaardiseerd hoofdrekenen, vertrekkend vanuit
het voorbereidend en aanvankelijk rekenen. Het is ook niét de bedoeling deze parate kennis te
oefenen.
Het onderscheid met het cijferrekenen is op zicht duidelijk, vermits bij hoofdrekenen een
bewerking horizontaal, als een aaneenschakeling van gelijkheden wordt uitgewerkt, terwijl dit
bij het cijferen verticaal onder elkaar gebeurt. Bij het hoofdrekenen blijft de positionele
waarde van de cijfers in de getallen van belang en begint men meestal van links naar rechts te
werken, bij het cijferen begint men achteraan (met uitzondering van de deling).
2.3.2. Breuk of percent van een getal nemen
Breuken en percenten zo mogelijk eerst vereenvoudigen.
= 50 % = de helft
= 20 %
= 25 %
= 10 %
= 12,5 %
=5%
Voorbeelden
2/8 van 38 = ¼ van 38 = 38 : 4 = (38 : 2) : 2 = 19 : 2 = 9,5
75 % van 64 = ¾ van 64 = 3 x ¼ van 64 = 3 x (64 : 4) = 3 x 16 = 48
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
Chris Florus
15
2.3.3. De optelling
van natuurlijke getallen en kommagetallen
Indien de structuur van de getallen er aanleiding toe geeft, kan met ‘ronde getallen’ gewerkt
worden door aanvullen of splitsen.
Bij het schattend rekenen worden de getallen niet altijd gewoon afgerond zoals aangegeven in
1.4. Er wordt o.a. rekening gehouden met het vereenvoudigen van de bewerking.
Voorbeelden (andere oplossingswijzen mogelijk)
756 + 398 = ?
Schatting: 760 + 400 = 1160
756 + 398 = 756 + 400 – 2 = 1156 – 2 = 1154
(vergelijking met schatting klopt)
16,86 + 23,67 = ?
Schatting: 17 + 23 = 40
16,86 + 23, 67 = 23,67 + 16,86 = 23,67 + 17 – 0, 14 = 40, 67 – 0,14 = 40,53
(vergelijking met schatting klopt)
OPMERKING
Indien het werken met ‘ronde getallen’ niet voor de hand ligt, worden bij de ongesplitste
eerste term respectievelijk de aanwezige D; H; T; E gevoegd.
Voorbeeld
363 + 572 = ?
Schatting: 350 + 600 = 950
363 + 572 = 363 + 500 + 70 + 2 = 863 + 70 + 2 = 863 + 40 + 30 + 2 = 903 +30 + 2 = 933 + 2
= 935 (meer of minder tussenstappen mogelijk - vergelijking met schatting klopt)
van breuken
Voorbeelden en regels
gelijknamige breuken
3+1=3+1=4=1
8 8
8
8 2
Om gelijknamige breuken (zelfde noemer) op te tellen, telt men de tellers op en
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
Chris Florus
16
behoudt men de noemers.
ongelijknamige breuken
3 + 2 = 9 + 10 = 9 + 10 = 19 (= 1 + 9 )
5 3 15 15
15
15
15
Om niet-gelijknamige breuken op te tellen, maakt men ze eerst gelijknamig en telt
dan de tellers op en behoudt de noemers.
2.3.4. De aftrekking
van natuurlijke getallen en kommagetallen
Werken met ronde getallen kan weer indien de structuur van de getallen er aanleiding toe
geeft. Bij het schattend rekenen worden de getallen opnieuw niet noodzakelijk gewoon
afgerond zoals aangegeven in 1.4. Er wordt o.a. rekening gehouden met het vereenvoudigen
van de bewerking.
Voorbeelden (andere oplossingswijzen mogelijk)
817 – 596 = ?
Schatting: 800 – 600 = 200
817 – 596 = 817 – 600 + 4 = 217 + 4 = 221
(vergelijking met schatting klopt)
38,17 – 13,93 = ?
Schatting: 38 – 14 = 24
38,17 – 13,93 = 38,17 – 14 + 0,07 = 24,17 + 0,07 = 24,24
OPMERKING
Indien het werken met ‘ronde getallen’ niet voor de hand ligt, worden van de ongesplitste
eerste term respectievelijk de aanwezige D; H; T; E afgetrokken.
Voorbeeld
342 – 265 = ?
Schatting: 340 – 240 = 100
342 – 265 = 342 – 200 – 60 – 5 = 142 – 60 – 5 = 142 – 40 – 20 – 5 = 102 – 20 – 5 = 82 – 5 =
77 (meer of minder tussenstappen mogelijk - vergelijking met schatting klopt)
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
Chris Florus
17
van breuken
Voorbeelden en regels
gelijknamige breuken
4–2=4–2 =2
9 9
9
9
Om gelijknamige breuken af te trekken, trekt men de tellers van elkaar af en
behoudt men de noemers.
ongelijknamige breuken
2–1= 8– 3=8–3 = 5
3 4 12 12 12
12
Om niet-gelijknamige breuken af te trekken, maakt men ze eerst gelijknamig en
trekt dan de tellers van elkaar af en behoudt de noemers.
2.3.5. De vermenigvuldiging
van natuurlijke getallen en kommagetallen met 10; 100; 100; …
Voorbeelden en verklaring
10 x 473 = 4730
Vermenigvuldigen met 10, betekent het getal 10 keer groter maken. De rangorde van elk
cijfer van het gegeven getal wordt 10 keer groter; elk cijfer schuift 1 plaats op naar links
in het positieschema (zie 1.1.2), daardoor komt er een 0 op de plaats van de eenheden.
Of:
10 x 473 = 473 x 10 = 473 x 1 T = 473 T = 4730
Door toepassen van de commutativiteit (product blijft ongewijzigd bij het van plaats
wisselen van de factoren) bekomen we een zuiver aantal tientallen en geen losse
eenheden. De tientallen staan op de eerste plaats links van de eenheden in het
positieschema, dus komt er een 0 op de plaats van de eenheden achter het gegeven getal.
100 x 2,4 = 240
Vermenigvuldigen met 100, betekent het getal 100 keer groter maken. De rangorde van
elk cijfer van het gegeven getal wordt 100 keer groter; elk cijfer schuift 2 plaatsen op
naar links in het positieschema (zie 1.3.1), daardoor komt er een 0 op de plaats van de
eenheden.
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
Chris Florus
18
1000 x 17,023 = 17 023
Vermenigvuldigen met 1000, betekent het getal 1000 keer groter maken. De rangorde
van elk cijfer van het gegeven getal wordt 1000 keer groter; elk cijfer schuift 3 plaatsen
op naar links in het positieschema (zie positieschema in 1.3.1).
van een breuk met een natuurlijk getal, van een natuurlijk getal met een breuk en
van een breuk met een breuk
Voorbeelden en regels
3x1=3x1=3=1
6
6
6 2
2x3=3x2=3x2=6
7
7
7
7
Om een breuk te vermenigvuldigen met een natuurlijk getal of een natuurlijk getal
te vermenigvuldigen met een breuk, vermenigvuldigt men de teller van de breuk
met het natuurlijk getal en behoudt de noemer of, indien mogelijk, behoudt men de
teller en deelt de noemer door het natuurlijk getal.
3 x 5 = 3 x 5 = 15
4 8 4 x 8 32
Om een breuk te vermenigvuldigen met een breuk, vermenigvuldigt men de tellers
met elkaar en de noemers met elkaar.
van een natuurlijk getal met een kommagetal, of omgekeerd, en van een
kommagetal met een kommagetal
Voorbeelden en verklaring (andere oplossingswijzen mogelijk)
3 x 0,2 = 3 x 2 t = 6 t = 0,6 (zie betekenis kommagetal en positieschema in 1.3.1)
0,6 x 7 = 7 x 0,6 = 7 x 6 t = 42 t = 4,2 (commutativiteit en betekenis kommagetal)
0,12 x 8 = 8 x 0,12 = 8 x 12 h = 96 h = 0,96(idem)
0,3 x 0,8 = 3 x 8 = 3 x 8 = 24 = 24 h = 0,24 (breukenregel en betekenis komma10 10 100
100
getal)
0,4 x 0,13 = 4 x 13 = 4 x 13 = 52 = 52 d = 0,052 (breukenregel en betekenis
10 100 1000 1000
kommagetal)
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
Chris Florus
19
2.3.6. De deling
van natuurlijke getallen en kommagetallen door 10; 100; 100; …
Voorbeelden en verklaring
340 : 10 = 34
Delen door 10, betekent het getal 10 keer kleiner maken. De rangorde van elk cijfer
van het gegeven getal wordt 10 keer kleiner; elk cijfer schuift 1 plaats op naar
rechts in het positieschema (zie 1.1.2), bij een zuiver aantal tientallen verdwijnt de
nul op de plaats van de eenheden.
759,2 : 100 = 7,592
Delen door 100, betekent het getal 100 keer kleiner maken. De rangorde van elk
cijfer van het gegeven getal wordt 100 keer kleiner; elk cijfer schuift 2 plaatsen op
naar rechts in het positieschema (zie 1.3.1)
372 : 1000 = 0,372
Delen door 1000, betekent het getal 1000 keer kleiner maken. De rangorde van elk
cijfer van het gegeven getal wordt 1000 keer kleiner; elk cijfer schuift 3 plaatsen op
naar rechts in het positieschema (zie 1.3.1)
van een breuk door een natuurlijk getal, van een natuurlijk getal door een breuk en
van een breuk door een breuk
Voorbeelden en regels
6 : 2=6: 2=3
7
7
7
5 : 3 = 15 : 3 = 5
9
27
27
Om een breuk te delen door een natuurlijk getal ( 0) deelt men, zo mogelijk, de
teller door het natuurlijk getal en behoudt de noemer of behoudt de teller en
vermenigvuldigt de noemer met het natuurlijk getal.
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
Chris Florus
20
1:1=3
3
(1/3 gaat 3 keer in 1 geheel)
7 : 1 = 7 x 3 = 21
3
(1/3 gaat 7 keer meer in 7 gehelen, dan in 1 geheel)
7 : 2 = 7 x 3 = 21
3
2
2
(2/3 gaat 2 keer minder in 7 gehelen, dan 1/3 in 7 gehelen)
Om een natuurlijk getal te delen door een breuk ( 0) vermenigvuldigt men het
natuurlijk getal met de omgekeerde breuk.
4 : 2 = 4 x 3 = 4 x 3 = 12
5 3 5 2 5 x 2 10
Om een breuk te delen door een breuk ( 0) vermenigvuldigt men de 1ste breuk met
de omgekeerde 2de breuk.
Van een kommagetal door een natuurlijk getal, of omgekeerd, en van een
kommagetal door een kommagetal
Voorbeelden en verklaring (andere oplossingswijzen mogelijk)
0,6 : 2 = 6 t : 2 = 3 t = 0,3 (zie betekenis kommagetal en positieschema in 1.3.1)
0,84 : 3 = 84 h : 3 = (60 h + 24 h) : 3 = 60 h : 3 + 24 h : 3 = 20 h + 8 h = 28 h = 0,28
(idem vorige, toepassing rechtse distributiviteit van deling t.o.v. optelling en volgorde
bewerkingen)
0,904 : 4 = 904 d : 4 = (880 d + 24 d) : 4 = 880 d : 4 + 24 d : 4 = 220 d + 6 d = 226 d =
0,226 (idem vorige)
1 : 0,1 = 1 : 1/10 = 10 (zie ‘natuurlijk getal gedeeld door een breuk’)
7 : 0,02 = 7 : 2/100 = 700/2 = 350 (idem)
0,9 : 0,3 = 9 : 3 = 3 (een quotiënt blijft onveranderd als men deeltal en deler
vermenigvuldigt met of deelt door eenzelfde getal, verschillend van nul)
0,904 : 0,4 = 9,04 : 4 = (8 + 1 + 0,04) : 4 = 8 : 4 + 1 : 4 + 0,04 : 4 = 2 + 0,25 + 0,01 =
2,26 (idem vorige, toepassing rechtse distributiviteit van deling t.o.v. optelling en
volgorde bewerkingen)
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
Chris Florus
21
2.4. Cijferrekenen
Bij het cijferen wordt een vaste bewerkingstechniek gevolgd (zie ook 2.3.1), deze
bewerkingstechniek wordt algoritme genoemd. Het schattend rekenen met eenvoudige
getallen, blijft meer dan ooit belangrijk als controlemiddel.
Als illustratie van de werkwijze wordt bij elke basisbewerkingen 1 voorbeeld uitgewerkt in
het positieschema en wordt de verwoording gegeven, om duidelijk te maken wat er gebeurt.
2.4.1. De optelling
Voorbeeld met kommagetallen en overschrijding (10 of meer) bij de honderdsten en tienden.
123,47 + 602,54 =
HD TD D H T E, t
1 1
1 2 3, 4
6 0 2, 5
7 2 6, 0
Schatting, bijv.: 120 + 600 = 720
h d
verwoording: 7 h plus 4 h is gelijk aan 11 h; 11 h wissel ik om
in 1 t ( noteren boven het opteltal bij de t of
7
onthouden) en 1 h (noteren in de uitkomst op de
4
plaats van de h). 1 t plus 4 t plus 5 t is gelijk aan
+
1
10 t; ik wissel 10 t om in 1 E (noteren boven het
opteltal bij de E of onthouden), er blijven 0 t
(noteren in de uitkomst op de plaats van de t).
Ik schrijf de komma, 1 E plus 3 E plus 2 E is gelijk aan 6 E (noteren in de uitkomst op de
plaats van de E). 2 T plus 0 T is gelijk aan 2 T (noteren in de uitkomst op de plaats van de T).
1 H plus 6 H is gelijk aan 7 H (noteren in de uitkomst op de plaats van de H).
De som van 123,47 en 602,54 is 726,01. Ik vergelijk met de geschatte uitkomst 720
2.4.2. De aftrekking
Voorbeeld met kommagetallen en met omwisselen van een tiende en een eenheid.
758,5 – 123,75 =
-
HD TD D H T E , t
14
7 4
7 5 8, 5
1 2 3, 7
6 3 4, 7
Schatting, bijv.:
h
760 - 120 = 640
d
10
0
5
5
Verwoording: 0 h min 5 h gaat niet; ik wissel 1 t om in 10 h (noteren boven het aftrektal, bij
de t of onthouden), er blijven 4 t over (doorstrepen van de 5 en noteren van 4 in de kolom van
de t of onthouden). 10 h min 5 h is 5 h (noteren in de uitkomst op de plaats van de h).
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
Chris Florus
22
4 t min 7 t gaat niet; ik wissel 1 E om in 10 t en bekom in het totaal 14 t (doorstrepen van de 4
en noteren van 14 in de kolom van de t of onthouden), er blijven 7 E over (doorstrepen van de 8
en noteren van 7 in de kolom van de E of onthouden). 14 t min 7 t is 7 t (noteren in de uitkomst
op de plaats van de t). Ik schrijf de komma! 7 E min 3 E is 4 E (noteren in de uitkomst op de
plaats van de E); 5 T min 2 T is 3 T (noteren in de uitkomst op de plaats van de T);
7 H min 1 H is 6 H (noteren in de uitkomst op de plaats van de H).
Het verschil van 758,5 en 123,75 is 634,75. Ik vergelijk met de geschatte uitkomst 640.
2.4.3. De vermenigvuldiging
Voorbeeld met natuurlijke getallen, waarbij vermenigvuldiger uit 2 cijfers bestaat..
54 x 87 =
Schatting, bijv:
x
+
D H T
8
5
3 4
4 3 5
4 6 9
50 x 90 = 4500
E
7
4
8
0
8
Verwoording:
1ste stap: vermenigvuldigen met het cijfer van de eenheden
4 maal 7 E is 28 E; 28 E wissel ik om in 2 T (onthouden of desgevallend nog naast het
schema noteren) en 8 E (noteren onder de bewerkingsstreep in de kolom van de E).
4 maal 8 T is 32 T; 32 T plus 2 T geeft 34 T. 34 T wissel ik om in 3 H en 4 T (noteren onder
de bewerkingsstreep, respectievelijk in de kolom van de H en van de T).
2de stap: vermenigvuldigen met het cijfer van de tientallen
5 T (of 50) maal 7 E is 35 T (50 x 7 = 350). Ik noteer een 0 op de plaats van de E (hoeft niet).
35 T wissel ik om in 3 H (onthouden of desgevallend naast het schema noteren) en 5 T
(noteren onder het eerste gedeeltelijk product in de kolom van de T). 5 T (of 50) maal 8 T is
40 H (50 x 80 = 4000); 40 H plus 3 H is 43 H. 43 H wissel ik om in 4 D en 3 H (noteren
onder het eerste gedeeltelijk product, respectievelijk in de kolom van de D en van de H).
3de stap: optellen van de gedeeltelijke producten
8 E plus 0 E is 8 E (noteren onder de bewerkingsstreep in de kolom van de E)
4 T plus 5 T is 9 T (noteren onder de bewerkingsstreep in de kolom van de T)
3 H plus 3 H is 6 H (noteren onder de bewerkingsstreep in de kolom van de H)
0 D plus 4 D is 4 D (noteren onder de bewerkingsstreep in de kolom van de D)
Het product van 54 en 87 is 4698. Ik vergelijk met de geschatte uitkomst 4800.
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
Chris Florus
23
OPMERKING
Indien de vermenigvuldiger uit 1 cijfer bestaat wordt de positionele waarde aanvankelijk
steeds benoemd. Wanneer de vermenigvuldiger uit 2 of meer cijfers bestaat, wordt de
positionele waarde meestal niet meer benoemd. De nadruk wordt gelegd op het feit dat bij het
vermenigvuldigen met het cijfer van de T, het gedeeltelijk product onder de T moet
geschreven worden (een 0 plaatsen bij E is mogelijk), enz.
Bij het vermenigvuldigen van een kommagetal met een natuurlijk getal van 2 of meer cijfers
of van een kommagetal met een kommagetal, wordt de komma in het vermenigvuldigtal en de
vermenigvuldiger weggedacht waardoor het product 10, 100 of 1000 keer groter wordt, naargelang het aantal decimalen. De vermenigvuldiging wordt gemaakt (GEEN positionele waarden
aangeven) en de komma wordt geplaatst, bij het opnieuw in orde maken van de uitkomst door te
delen door 10, 100 of 1000, naargelang het aantal decimalen.
2.4.4. De deling
Voorbeeld van een kommagetal gedeeld door een natuurlijk getal; quotiënt tot op 1 h
nauwkeurig
8,02 : 3 =
Schatting, bijv.: 9 : 3 = 3
H T E, t h d
8,02
3
6
HTE, t h d
2 0
2, 67
controle: quotiënt vergelijken met schatting en omgekeerde
1
8
bewerking maken
22
2,67
2
1
3
x
1
8,01
8,01
+ 0,01
8,02
rest: 0,01
Verwoording
8 E gedeeld door 3 levert 2 E, want 2 maal 3 E is 6 E (6 E noteren in juiste kolom onder het
deeltal en 2 E noteren in de juiste kolom onder het quotiënt); 8 E min 6 E is 2 E; 2 E (niet meer
te delen door 3) wissel ik om in 20 t; ik plaats de komma in het quotiënt; er zijn geen tienden
gegeven in het deeltal, dus blijven er 20 t te delen door 3.
20 t gedeeld door 3 levert 6 t, want 3 maal 6 t is 18 t (18 t noteren in juiste kolommen onder het
deeltal en 6 t noteren in de juiste kolom onder het quotiënt); 20 t min 18 t is 2 t; 2 t (niet meer te
delen door 3) wissel ik om in 20 h, samen met de gegeven 2 h in het deeltal bekom ik 22 h (op
juiste hoogte noteren) om te delen door 3.
22 h gedeeld door 3 levert 7 h, want 3 maal 7 h is 21 h (21 h noteren in juiste kolommen onder
het deeltal en 7 h noteren in de juiste kolom onder het quotiënt); 22 h min 21 h is 1 h (1 h is niet
meer te delen door 3); 1 h is de rest want het quotiënt 2,67 is bepaald tot op 1 h nauwkeurig.
Het quotiënt van de deling van 8,02 door 3 tot op 1 h nauwkeurig (en te klein) is 2,67; de rest
is 0,01.
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
Chris Florus
24
OPMERKING
Om een natuurlijk getal of een kommagetal te delen door een kommagetal is het nodig de
komma weg te werken uit de deler.
Dit gebeurt door deeltal en deler te vermenigvuldigen met 10, 100 of 1000 naargelang het aantal
decimalen in de deler.
Het quotiënt blijft bij deze werkwijze ongewijzigd. De eventuele rest van de gegeven deling is
echter wel 10, 100 of 1000 keer groter geworden en moet opnieuw in orde gemaakt worden door
de rest van de hulpdeling te delen door 10, 100 of 1000, naargelang het getal waarmee deeltal en
deler vermenigvuldigd zijn.
Voorbeeld van een kommagetal gedeeld door een kommagetal; quotiënt tot op 1 h
nauwkeurig
567,8 : 5,42 =
Schatting, bijv.: 570 : 5 = 114
Cijferalgoritme hulpdeling: 56780 : 542 =
TD D
5 6
5
4
2
2
-
H
7
2
5
1
4
3
-
T E, t h
8 0, 0 0
8
6
1
7
3
3
0
8
2
9
2
2
tot op 1 h nauwkeurig
542
TD D H T E , t h
10 4, 76
0
4
6 0
5 2
8
rest van hulpdeling: 0,08
Het quotiënt van de gevraagde deling van 567,8 door 5,42 is 104,76; de rest is 0,0008.
Controle van het quotiënt door vergelijking met schatting en van het quotiënt en de rest door het
maken van de omgekeerde bewerkingen: 5,42 x 104,76 + 0,0008 = 567,8 (cijferalgoritme
gebruiken)
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
Chris Florus
25
2.5. Inoefening
1. Welke uitdrukking past niet voor de bewerking 603 : 9?
A het quotiënt zoeken
B het negenvoud zoeken
D verdelen in negen gelijke delen
E delen door 9
C het negende nemen
2. Bereken zo eenvoudig mogelijk uit het hoofd; geef voldoende tussenstappen die je
werkwijze verduidelijken. Zoek de uitkomst eerst al schattend, noteer daarbij de
bewerking.
1256 + 798 =
357 – 3,89 =
3. Bereken uit het hoofd. Je mag tussenstappen noteren.
100 x 75,893 =
462,93 : 10 =
7 x 0,03 =
8 : 0,1 =
0,4 x 0,6 =
8,46 : 0,2 =
4. Bereken uit het hoofd. Je mag tussenstappen noteren.
4/5 van 65 =
25 % van 720 =
15 % van 240 =
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
Chris Florus
26
5. Werk uit en vereenvoudig de breukuitkomst indien mogelijk.
2 +1 =
3
2
7 -1 =
9 3
5 - 1 =
9
6
2 x 3 =
7
4 x 3 =
5
8
6 : 3 =
13
2 : 3 =
8
4 : 2 =
5 3
6. Bereken al cijferend, noteer het cijferalgoritme. Zoek de uitkomst eerst al schattend,
noteer daarbij de bewerking.
307,831 + 96,49 =
600,02 – 129,76 =
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
Chris Florus
27
4 x 376,45 =
14 x 2,7 =
3,2 x 314,27 =
124 : 7 =
3249 : 45 =
quotiënt tot op 1 h nauwkeurig
quotiënt tot op 1 E nauwkeurig
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
Chris Florus
28
3. Meetkunde
3.1. Meetkunde in het vlak
3.1.1. Basisbegrippen
Een rechte a of AB is een enkelvoudige, onbegrensde (geen grenspunten) rechte lijn, die
door 2 willekeurige punten A en B van het vlak volledig bepaald wordt. De rechte bevat
oneindig veel punten.
a
A
•
B
•
Een halve rechte [CD heeft als beginpunt C (1 grenspunt) en loopt onbegrensd verder
door een willekeurig ander punt D van het vlak. De halve rechte bevat oneindig veel
punten.
•C
•D
Een lijnstuk [MN] is een begrensd deel van een rechte (2 grenspunten). Een lijnstuk kan
je meten door de lengte te vergelijken met een lengte-eenheid. Het bevat oneindig veel
punten.
•N
M•
Een hoek PÔQ is een vlakke figuur gevormd door twee halve rechten met een
gemeenschappelijk beginpunt. De halve rechten [OP en [OQ noemt men de benen van de
hoek. Het punt O is het hoekpunt. Door een kenboogje geven we aan welke hoek bedoeld
wordt.
P
•
O•
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
•
Q
Chris Florus
29
Een hoek is recht wanneer bij het doortrekken van een been (halve rechte) voorbij het
hoekpunt, gelijke hoeken worden gevormd (op elkaar plooien).
•S
hoek SÔR is een rechte hoek
•
•
R
Ô
Een scherpe hoek is een hoek die kleiner is dan een rechte hoek.
P
hoek PÔQ is een scherpe hoek
•
O•
•
Q
Een gestrekte hoek is een hoek waarvan beide benen in het verlengde van elkaar liggen.
•
G
•
O
hoek GÔF is een gestrekte hoek
•
F
Een stompe hoek is een hoek die groter is dan een rechte hoek en kleiner dan een
gestrekte hoek.
T •
hoek TÔV is een stompe hoek
O•
•
V
Een veelhoek is een vlakke figuur volledig begrensd door lijnstukken (de rand is een
gesloten gebroken lijn).
F
A
E
B
J
C
D
de vlakke figuur ABCDE is een veelhoek
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
G
I
H
de vlakke figuur FGHIJ is geen veelhoek
Chris Florus
30
Een veelhoek is een driehoek, vierhoek, vijfhoek, enz. wanneer de veelhoek
respectievelijk drie, vier, vijf, enz. hoekpunten heeft.
driehoek
vierhoek
achthoek
Een regelmatige veelhoek is een veelhoek waarvan alle zijden en alle hoeken gelijk zijn.
regelmatige zeshoek
onregelmatige vijfhoek
Een diagonaal in een veelhoek is een lijnstuk dat 2 niet-opeenvolgende hoekpunten
verbindt.
B
A
E
C
D
[ BD ] is een diagonaal in vijfhoek ABCDE
Een zijde in een veelhoek is een lijnstuk dat 2 opeenvolgende hoekpunten verbindt.
[AB] ; [BC] ; [CD] ; [DE] ; [EA] zijn de zijden van bovenstaande veelhoek ABCDE
Een cirkel is een vlakke figuur begrensd door een gesloten gebogen lijn, waarvan alle
punten zich op gelijke afstand bevinden van 1 punt, het middelpunt.
A
O
B
M
Een middellijn is een lijnstuk dat twee punten van de rand (grenslijn)
met elkaar verbindt. [AB] is een middellijn.
Een straal is een lijnstuk dat het middelpunt, hier O, verbindt met
punt van de rand. [OM] is een straal (r genoteerd).
3.1.2. Soorten driehoeken
Een gelijkzijdige driehoek is een driehoek met drie gelijke zijden.
Een gelijkbenige driehoek is een driehoek met twee gelijke zijden.
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
Chris Florus
31
Een ongelijkbenige driehoek is een driehoek zonder gelijke zijden.
Een rechthoekige driehoek is een driehoek met één rechte hoek. De zijde tegenover de
rechte hoek wordt schuine zijde genoemd, de andere zijden noemt men rechthoekzijden.
Een stomphoekige driehoek is een driehoek met één stompe hoek.
Een scherphoekige driehoek is een driehoek met drie scherpe hoeken.
3.1.3. Soorten vierhoeken
Een trapezium is een vierhoek met 1 paar evenwijdige zijden.
Een parallellogram is een vierhoek met 2 paar evenwijdige zijden.
Een ruit is een parallellogram met vier gelijke zijden.
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
Chris Florus
32
Een rechthoek is een parallellogram met vier gelijke hoeken.
Een vierkant is een parallellogram met vier gelijke zijden en vier gelijke hoeken.
3.2. Meetkunde in de ruimte
3.2.1. Basisbegrippen
Een ruimtefiguur is een figuur die een deel van de ruimte in beslag neemt (drie
dimensionale figuur )
Een lichaam is een ruimtefiguur aan alle kanten begrensd door een gesloten oppervlak.
Een veelvlak is een lichaam aan alle kanten begrensd door veelhoeken, de zijvlakken of
grensvlakken genoemd.
Een ribbe is een zijde van een zijvlak.
Een viervlak, vijfvlak, zesvlak, enz. is een veelvlak met vier, vijf, zes, enz. zijvlakken.
3.2.2. Soorten veelvlakken
Een prisma is een veelvlak met minstens één paar evenwijdige zijvlakken, het grond- en
bovenvlak, waarvan alle ribben die niet tot dit paar evenwijdige zijvlakken behoren,
evenwijdig zijn.
ribbe, behorend tot bovenvlak
bovenvlak (zijvlak achteraan)
grondvlak
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
(grond- en bovenvlak zijn onderling verwisselbaar)
ribbe, niet behorend tot grond- noch bovenvlak
Chris Florus
33
Een kubus is een veelvlak waarvan alle zijvlakken vierkanten zijn.
(elk paar evenwijdige zijvlakken kan als grond- en
bovenvlak beschouwd worden)
Een balk is een veelvlak waarvan alle zijvlakken rechthoeken zijn.
Een piramide is een veelvlak waarvan alle ribben, behalve die van één zijvlak, het
grondvlak, samenkomen in één punt, de top.
3.2.3. Omwentelingslichamen
Een omwentelingslichaam is een lichaam dat ontstaat door wenteling van een begrensde
vlakke figuur om een rechte, de omwentelingsas.
Een cilinder is een omwentelingslichaam dat ontstaat door wenteling van een rechthoek om
een rechte waarop een zijde gelegen is.
De grijs gekleurde platte oppervlakken zijn het grondvlak en
bovenvlak van de cilinder. Het zijn evenwijdige cirkels, die
even groot zijn.
Het gebogen oppervlak wordt de mantel van de cilinder
genoemd.
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
Chris Florus
34
Een kegel is een omwentelingslichaam dat ontstaat door wenteling van een rechthoekige
driehoek om een rechte waarop een rechthoekzijde gelegen is.
De kegel heeft een cirkel als grondvlak
Het gebogen oppervlak wordt de mantel van de kegel
genoemd.
Een bol is een omwentelingslichaam dat ontstaat door wenteling van een cirkel om een
rechte waarop een middellijn gelegen is.
3.3. Inoefening
Noteer waar of niet waar naast volgende uitspraken.
Een driehoek heeft geen diagonalen.
Geen enkele stomphoekige driehoek is gelijkbenig.
Als een driehoek gelijkbenig is, dan is hij ook altijd gelijkzijdig.
Alle vierhoeken hebben precies vier hoekpunten.
Elk parallellogram is een trapezium.
Elke driehoek heeft twee scherpe hoeken.
Elke rechthoek is een regelmatige vierhoek.
Er bestaan geen regelmatige driehoeken.
De lengte van een diagonaal kan je niet meten.
Niet alle vierkanten zijn rechthoeken.
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
Chris Florus
35
Teken in elke vierhoek de diagonalen en ga na of de diagonalen even lang zijn (=), elkaar
loodrecht snijden (⊥ ) en/ of elkaar middendoor delen (X). Noteer bij elke vierhoek de
passende symbolen en de meest passende naam.
a ………………
d………………….
g………………
b ……………………
e……………………
h……………..
c …………………..
f…………………..
i………………..
j………………
Geef de meest passende naam van volgende ruimtefiguur. Teken in stippellijn de niet
zichtbare ribben. Het grijs gekleurde zijvlak is het grondvlak. Kleur het bovenvlak.
Bepaal tenslotte het aantal zijvlakken en het aantal ribben van deze ruimtefiguur.
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
Chris Florus
36
Bepaal het aantal zijvlakken en ribben van onderstaand prisma.
Noteer waar of niet waar naast volgende uitspraken.
Elke kubus is een balk
Alle zijvlakken van een prisma zijn rechthoeken
Alle ribben van een balk zijn even lang
Een cilinder is geen veelvlak.
Een veelhoek is een veelvlak.
Elk lichaam is een omwentelingslichaam.
6. Benoem zoveel mogelijk vlakke figuren in de tekening van deze sneeuwpop. Sommige
zitten gedeeltelijk verstopt, kan je de meest nauwkeurige naam dan met zekerheid
bepalen?
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
Chris Florus
37
4. Meten en metend rekenen
4.1. Meten
Van een object kunnen verschillende grootheden (lengte, oppervlakte, volume, gewicht, enz.)
(kwantitatief of numeriek) gemeten worden door te tellen hoeveel keer de maateenheid in de
te meten grootheid gaat.
4.2. Meten met standaardmaateenheden
4.2.1. Terminologie
De grootte van een lijnstuk of van een begrensd deel van een lijn, de lengte, wordt gemeten
met lengtematen; bijv. dm
De grootte van een begrensd deel van een oppervlak, de oppervlakte, wordt gemeten met
oppervlaktematen; bijv. dm2
De grootte van een begrensd deel van een ruimte, het volume of de inhoud, wordt gemeten
met ruimtematen of inhoudsmaten; bijv. dm3; l
De zwaarte van een object, het gewicht1, wordt gemeten met gewichtsmaten; bijv. kg
De duur van een gebeurtenis, de tijdsduur, en het moment waarop de gebeurtenis plaats
heeft, het tijdsstip, wordt gemeten in tijdsmaten; bijv. uur
De economische waarde van een object, de geldwaarde, wordt gemeten in munteenheden;
bijv. euro
De warmte van een object, de temperatuur, wordt gemeten in temperatuursmaten; bijv.
graden Celsius
De grootte van een hoek, hoekgrootte, wordt gemeten in hoekmaten; bijv. decimale graden
4.2. 2. Metriekstelsel
Het metriek stelsel is een meetsysteem waarbij de meter, de liter en het kilogram als meeteenheid
worden gekozen en de opeenvolgende uitbreidingen en verfijningen telkens 10 keer groter of
kleiner zijn (tiendelig of decimaal stelsel).
De meeteenheden voor oppervlaktemeting, afhankelijk van 2 dimensies (honderddelig) en
volumemeting, afhankelijk van 3 dimensies (duizenddelig) zijn hieruit afgeleid.
Lengtemeting: lengtematen
km
1
hm
dam
m
dm
cm
mm
kilo: 1000 x
hecto: 100 x
deca: 10 x
deci: 1/10 van
centi: 1/100 van
milli: 1/1000 van
In de lagere school wordt de term ‘gewicht’ gebruikt in de plaats van ‘massa’
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
Chris Florus
38
Inhoudsmeting: inhoudsmaten
kl
hl
dal
l
dl
cl
ml
cg
mg
Gewichtsmeting: gewichtsmaten
kg
hg
dag
g
dg
1 ton (t) = 1000 kg
Oppervlaktemeting
• oppervlaktematen
km2
hm2
dam2
m2
dm2
cm2
dm3
cm3 (of cc)
mm2
1 a = 100 m2
• landmaten
ha
a
ca
Volume: volumematen
km3
hm3
dam3
m3
mm3
OPMERKING
Inhoudsmaten worden gebruikt bij het meten van de inhoud van objecten. Volumematen
worden gebruikt bij het meten van de ruimte (het volume) die een object inneemt. Dikwijls
worden ze door elkaar gebruikt, de maatgetallen blijven onveranderd indien men een
inhoudsmaat omzet in de overeenkomstige volumemaat of omgekeerd. De inhoudsmaten zijn
echter tiendelig, de volumematen duizenddelig.
Verband tussen inhoudsmaten en volumematen.
Onafhankelijk van de aard van de stoffen geldt dat: 1 dm3 = 1 l
1 cm3 = 1 ml
1 m3 = 1000 l (1 kl)
Het gewicht per volume-eenheid (soortelijk gewicht) van een stof is het maatgetal (een
onbenoemd getal) dat het gewicht in kg (g) aangeeft van 1 dm3 (cm3) van die stof.
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
Chris Florus
39
4.2.3. Andere meetsystemen
De opeenvolgende uitbreidingen of verfijningen zijn niet tiendelig.
Tijdstipaanduiding en tijdsduurmeting
De standaardmaateenheid, een uur, is niet meer ingedeeld in 10 gelijke delen, maar in 60.
1 uur (wordt niet afgekort) = 60 minuten (min.)
1 minuut = 60 seconden (sec.)
1 dag = 24 uren
1 jaar = 365 of 366 dagen
De verdere verfijning van de seconde gebeurt opnieuw tiendelig.
Temperatuurmeting
De temperatuur kan uitgedrukt worden in graden Celsius (graden Fahrenheit en Kelvin).
0°C geeft het vriespunt aan van water; 100°C geeft het kookpunt aan van water;
temperaturen onder het vriespunt worden aangegeven met negatieve getallen.
Hoekmeting
De grootte van een hoek kan uitgedrukt worden in (hoek)graden, waarbij 1 graad (1°) een
negentigste deel is van een rechte hoek.
OPMERKING
de symbolen 1’ en 1’’ zijn respectievelijk de aanduidingen van 1 hoekminuut (één
zestigste van een hoekgraad) en 1 hoekseconde (één zestigste van een hoekminuut) en
horen niet thuis bij de tijdsmeting.
Er zijn biljetten van 5 euro, 10 euro; 20 euro; 50 euro; 100 euro; 200 euro; 500 euro en
munten van 50 eurocent; 20 eurocent; 10 eurocent; 5 eurocent; 2 eurocent; 1 eurocent
OPMERKING
De schrijfwijze van de euro is volgens de ISO-norm (Internnational Standard Organisation)
EUR of €. Het Belgisch Instituut voor Normalisatie stelt dat deze ISO-codes achter het
bedrag worden geplaatst.
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
Chris Florus
40
4.3. Herleidingen
Hoe groter de gebruikte maateenheid, hoe kleiner het maatgetal en omgekeerd.
Voorbeelden
Lengtematen
5,897 m = 589,7 cm
Inhoudsmaten
5,65 l = 56,5 dl
Gewichten
7314 g = 7,314 kg
Oppervlaktematen
68 413 mm2 = 6,8413 dm2 = 0, 068 413 m2
Volume
9 108 dm3 = 9,108 m3 = 0,009 108 dam3
4.4. Bewerkingen
Bewerkingen met lengtematen, inhoudsmaten, gewichten, oppervlaktematen en volume zijn
slechts mogelijk wanneer de meetresultaten in dezelfde maateenheid uitgedrukt zijn.
Voorbeelden
Lengtematen
6,78 m + 23 cm = 678 cm + 23 cm = 701 cm
Inhoudsmaten
8,45 l - 2 cl = 8,45 l – 0,02 l = 8,43 l
Gewichten
1523 g + 12 kg = 1,523 kg + 12 kg = 13,523 kg
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
Chris Florus
41
Oppervlaktematen
210354 mm2 + 45 dm2 = 21,0354 dm2 + 45 dm2 = 66,0354 dm2
Volume
6 211 dm3 + 0, 05 m3 = 6 211 dm3 + 50 m3 = 6 261 dm3
4.5. Omtrekberekening en oppervlakteberekening van vlakke figuren: formules
4.5.1. Driehoek
Omtrek = zijde1 + zijde2 + zijde3 = z1 + z2 + z3
hoogte (h)
Oppervlakte = basis x hoogte = b x h
2
2
basis (b)
Elke zijde van een driehoek kan als basis gebruikt worden; de hoogte is het lijnstuk vanuit
een hoekpunt loodrecht op de overeenkomstige basis of het verlengde ervan.
4.5.2. Vierhoeken
Vierkant
Omtrek = 4 x zijde = 4 x z
Oppervlakte = zijde x zijde = z x z
zijde (z)
Rechthoek
Omtrek = 2 x (lengte + breedte) = 2 x (l + br)
breedte (br)
Oppervlakte = lengte x breedte = l x br
lengte (l)
Parallellogram
Omtrek = 2 x (basis + schuine zijde) = 2 x (b + sz)
sc
Oppervlakte = basis x hoogte = b x h
basis (b)
h
Elke zijde van een parallellogram kan als basis gebruikt worden; de hoogte is het lijnstuk
vanuit een hoekpunt loodrecht op de overeenkomstige basis of het verlengde ervan.
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
Chris Florus
42
Ruit
Omtrek = 4 x zijde = 4 x z
D
d
Oppervlakte = grote diagonaal x kleine diagonaal = D x d
2
2
Trapezium
kleine basis (b)
Omtrek = zijde1 + zijde2 + zijde3 + zijde4 = z1 + z2 + z3 + z4
Oppervlakte = (grote basis + kleine basis) x hoogte = (B + b) x h
2
2
h
grote basis (B)
De kortste van de evenwijdige zijden is de kleine basis, de langste van de evenwijdige zijden
is de grote basis; de hoogte is het lijnstuk vanuit een hoekpunt loodrecht op de evenwijdige
basissen of het verlengde ervan.
4.5.3. De cirkel
Omtrek = 2 x straal x pi = 2 x r x π = 2 x π x r
Oppervlakte = π x r x r = π x r2
4.6. Volumeberekening van lichamen: formules
4.6.1. Kubus
Volume = oppervlakte grondvlak x hoogte = z x z x z = z3
zijde (z)
4.6.2. Balk
Volume = oppervlakte grondvlak x hoogte = l x br x h
hoogte (h)
breedte (br)
lengte (l)
4.6.3. Cilinder
2
Volume = oppervlakte grondvlak x hoogte = π x r x h
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
Chris Florus
hoogte (h)
43
4.7. Inoefening
1. Vul het juiste maatgetal in.
5 l + 16 cl = …………..dl
8 km + 245 m + 49 dm = ………….m
49 kg + 1268 g = …………….dg
124 dm2 + 12 cm2 = …………………m2
45, 16 cm2 + 2 mm2 = ……………mm2
18 230 dm3 – 18 m3 = …………….dm3
789 cm3 + 3193 mm3 = ……………..cm3
2. Vul aan tot …
375 mm + …………….= 1 m
0,45 cl + …………….. = 1 dl
89 mg + ……………. = 1 dg
643 m2 + ……………. = 1 hm2
454,5 dm3 + ………………. = 1 m3
3. Vul een juiste maateenheid in.
346,4 m = 34 640 ……
315,6 l = 3,156 …….
1823 kg = 1,823 …….
6,3 dm2 = 630 …….
75,02 cm3 = 75 020 …..
1,2 dm3 = 1,2 …..
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
Chris Florus
44
4. Bereken de omtrek en de oppervlakte van:
Een gelijkzijdige driehoek met een basis van 3 cm en een hoogte van 2,6 cm.
Een ruit met een zijde van 2,5 cm, een grote diagonaal van 4 cm en een kleine
diagonaal die ¾ is van de grote diagonaal.
5. Noteer waar of niet waar naast volgende uitspraken.
De oppervlakte van een vierkant waarvan men de zijde verdubbelt, wordt eveneens 2
keer groter.
Het gewicht van een object wordt enkel bepaald door het volume van het object.
Vlakke figuren met een verschillende vorm kunnen dezelfde oppervlakte hebben.
Vlakke figuren met dezelfde omtrek en dezelfde oppervlakte kunnen een verschillende
vorm hebben.
6. Bereken de oppervlakte van de gekleurde vlakke figuren in onderstaande tekening. Meet
zelf de afmetingen die daarvoor nodig zijn tot op 1 mm nauwkeurig.
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
Chris Florus
45
5. Toepassingen
5.1. Voorbeelden vraagstukken percentrekening
Een silo bevat 3200 l melk met een vetgehalte van 4 %. Hoeveel liter vet bevat die silo?
Oplossingswijze 1: via verband met breuken
4 % = 4/100, dus 4 % van 3200 l is 4/100 van 3200 l, of 4/100 x 3200 l = 4 x 32 l = 128 l
Oplossingswijze 2: via een verticaal samengesteld pijlenschema
Steunend op de betekenis van 4 % krijgen we:
‘voor elke 100 liter melk, is er 4 l vet’; de grootheden volume melk en vet zijn recht
evenredig
Volume melk
Volume vet
4l
100 l
32 ×
32 ×
3200 l
...
Let op de verklarende
‘koppen’ en maak er een
goede gewoonte van deze
telkens te gebruiken!
Het volume melk (het geheel) is hier geen 100 liter, maar wel 3200 liter en dus 32 keer
zo groot als 100 liter. Het volume vet (het deel) is dus ook 32 keer zo groot (recht
evenredige grootheden); of 32 × 4 l = 128 l .
Er is 128 liter vet in de silo.
Door het zoeken van twee oplossingswijzen controleren we het resultaat!
Hanne kocht tijdens de koopjesperiode een fotoapparaat voor 255 euro. Vóór de
koopjesperiode stond het 300 euro geprijsd. Hoeveel percent korting kreeg Hanne?
Oplossing
De korting bedraagt 300 euro – 255 euro = 45 euro.
Een percent geeft het verhoudingsgetal ten opzichte van honderd aan (zie 1.3.1)
Oplossingswijze 1: via breuken
:3
45 =
?
300
100
45 : 3 = 15; de kortingspercent is 15 %
:3
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
Chris Florus
46
Oplossingswijze 2: via een verticaal samengesteld pijlenschema
Prijs zonder korting
300 €
Korting
45 €
:3
:3
...
100 €
De korting per 100 euro (prijs zonder korting) bedraagt 45 € : 3 = 15 €
Voor elke 100 euro is er 15 euro korting, of 15 % korting.
Hanne kreeg 15 % korting bij de aankoop van het fotoapparaat.
Kim koopt een navigatiesysteem voor 549 euro, BTW van 21 % inbegrepen. Hoeveel kost dat
navigatiesysteem zonder BTW?
Oplossingswijze 1: via breuken
Er vond een toename van 21 % plaats tot 121 %.
121 % of 121 van de oorspronkelijke prijs is 549 €;
100
dus, (100 % of 100 van) de oorspronkelijke prijs is 100 x 549 € = 453, 719 € ~ 453,72 €
100
121
(om 1 % van de oorspronkelijke prijs te vinden, moet deze prijs gedeeld worden door 121; om
de 100% te vinden, opnieuw vermenigvuldigen met 100)
Oplossingswijze 2: via een verticaal pijlenschema
Voor elke 100 euro (prijs zonder BTW) komt er 21 euro BTW bij, zodat de prijs met BTW
dan 121 euro bedraagt.
Prijs zonder BTW
100 €
BTW
121 €
21 €
549/121 x
549/121 x
549/121 x
...
Prijs met BTW
...
549 €
De prijs met BTW is echter niet 121 €, maar 549 €, zodat de bewerkingsfactor voor de recht
evenredigheid wordt gevonden door te delen door 121 en te vermenigvuldigen met 549.
De prijs zonder BTW is dus 549 x 100 € ~ 453,72 €; de BTW is 549 x 21 € ~ 95,28 €; samen
121
121
549 €
Het navigatiesysteem kost ongeveer 453,72 € zonder BTW.
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
Chris Florus
47
5.2. Opgaven
Noteer telkens het gevraagde; de gegevens; een duidelijke weergave van je werkwijze/
uitleg en controleer voor je een volledige antwoordzin formuleert.
1. Een handelaar verkoopt een partij boeken voor 2210 € met 15 % verlies. Bereken de
inkoopprijs.
2. Lien heeft 3400 € op haar spaarrekening. De rentevoet bedraagt 2,5 %. Bereken de jaarlijkse
intrest.
3. Vorig jaar heeft het schoolfeest 625 € opgebracht. Dit jaar bedroeg de opbrengst 775 €. Met
hoeveel % is de opbrengst gestegen?
4. Tine maakt in haar vrije tijd parelsnoeren met zelfgemaakte parels. Per snoer vraagt ze
4,60 €. Dat levert haar 15 % winst op. Hoeveel kost het maken van één parelsnoer?
5. Op het prijsetiket van het artikel dat Jelle wil kopen, staan twee prijzen vermeld. De
kassaprijs (prijs inclusief BTW) bedraagt 24,95 € en de exclusieve prijs (zonder BTW)
bedraagt 20,62 €. Welke BTW-voet wordt hier aangerekend?
6. Een fruithandelaar koopt voor 450 € aardbeien. Daarvan verkoopt hij 3/5 met 30 % winst
en de rest met 10 % verlies. Hoeveel wint de handelaar door de verkoop van die
aardbeien?
7. De afbeelding van onderstaand woord wordt eerst 90 % vergroot. De vergrote afbeelding
wordt daarna opnieuw met 90 % verkleind. Is deze uiteindelijke afbeelding groter; gelijk
of kleiner dan de oorspronkelijke afbeelding?
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
Chris Florus
48
Index
A
afronden ................................................................. 8
aftrekker ............................................................... 13
aftrektal ................................................................ 13
B
balk ...................................................................... 34
basis ..................................................................... 42
bol ........................................................................ 35
breuken ................................................................. 5
Breuken gelijknamig maken .................................. 6
C
hoogte .................................................................. 42
I
inhoudsmaten ..................................................... 38
K
kegel ..................................................................... 35
kleine basis .......................................................... 43
kleinste gemeenschappelijk veelvoud .................. 10
kommagetal ............................................................ 5
kommagetallen ................................................. 5; 6
kommaschrijfwijze................................................. 5
kubus ................................................................... 34
L
cijferen ................................................................. 22
cijferrekenen ........................................................ 15
cilinder ................................................................. 34
cirkel .................................................................... 31
lengtematen......................................................... 38
lichaam .......................................................... 33; 34
lijnstuk ................................................................ 29
D
M
decimale breuk ....................................................... 6
decimale getallen .................................................. 5
deelbaar door...................................................... 8; 9
deeltal ................................................................... 13
deler ..................................................................... 13
deler van ................................................................. 8
deling .................................................................... 25
diagonaal ............................................................. 31
driehoek .............................................................. 31
maateenheid ......................................................... 38
meetsysteem ......................................................... 38
meten.................................................................... 38
metriek stelsel ....................................................... 38
middellijn ............................................................ 31
munteenheden .................................................... 38
E
echte breuk ............................................................. 6
Een breuk vereenvoudigen ..................................... 6
even getal............................................................ 8; 9
F
factoren ............................................................... 13
G
N
natuurlijke getallen .............................................. 3
negatieve gehele getallen...................................... 4
O
omwentelingsas ................................................... 34
omwentelingslichaam...................................... 34; 35
onechte breuk ......................................................... 6
oneven getal ....................................................... 8; 9
ongelijkbenige driehoek ....................................... 32
onvereenvoudigbare breuk ..................................... 6
oppervlaktematen .............................................. 38
opteller ................................................................. 13
opteltal ................................................................. 13
gehele getallen ................................................... 3; 4
gelijkbenige driehoek ........................................... 31
Gelijknamige breuken ............................................ 6
Gelijkwaardige breuken ......................................... 6
gelijkzijdige driehoek ........................................... 31
gestrekte hoek ..................................................... 30
gewicht per volume-eenheid .................................. 39
gewichtsmaten .................................................... 38
grond- en bovenvlak.............................................. 33
grootste gemeenschappelijke deler......................... 9
grote basis ........................................................... 43
parallellogram ..................................................... 32
percenten ................................................................ 6
piramide................................................................ 34
positieschema.......................................................... 5
priemgetal.............................................................. 9
prisma ................................................................... 33
product ................................................................. 13
H
Q
halve rechte ......................................................... 29
hoek ..................................................................... 29
hoekmaten........................................................... 38
hoofdrekenen ....................................................... 15
quotiënt ................................................................ 13
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
P
Chris Florus
49
R
rationaal getal ....................................................... 4
rechte ................................................................... 29
rechte hoek ........................................................... 30
rechthoek ............................................................. 33
rechthoekige driehoek .......................................... 32
regelmatige veelhoek .......................................... 31
ribbe...................................................................... 33
ronde getallen ....................................................... 16
ruimtefiguur ....................................................... 33
ruimtematen ....................................................... 38
ruit ....................................................................... 32
S
schattend rekenen ........................................... 13; 14
scherpe hoek ....................................................... 30
scherphoekige driehoek........................................ 32
schuine zijde ........................................................ 32
som ....................................................................... 13
soortelijk gewicht ................................................. 39
stambreuk ............................................................... 6
stompe hoek ........................................................ 30
stomphoekige driehoek ........................................ 32
straal .................................................................... 31
T
temperatuursmaten ............................................ 38
termen ................................................................. 13
tijdsmaten ........................................................... 38
trapezium ............................................................ 32
V
veelhoek............................................................... 30
veelvlak .......................................................... 33; 34
veelvoud ................................................................. 9
veelvoud van een getal........................................... 9
vermenigvuldiger ................................................. 13
vermenigvuldiging ................................................ 24
vermenigvuldigtal ................................................ 13
verschil ................................................................. 13
vierhoek............................................................... 31
vierkant................................................................ 33
viervlak ................................................................ 33
vijfhoek ............................................................... 31
vijfvlak ................................................................. 33
voordeel- en eigenschapshoofdrekenen .............. 15
Z
zesvlak ................................................................. 33
zijde ..................................................................... 31
zijvlakken ............................................................. 33
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
Chris Florus
50
Basisleerstof wiskunde lager onderwijs
Chris Florus
51