kijklijnen

DE
STENCILS
Omdat in het examen nogal wat kennis en vaardigheden van jullie wordt gevraagd die niet in het boek
voorkomen, hebben wij, jullie lieve wiskundedocenten, dit pakketje blaadjes voor jullie samengesteld.
Deze stencils gaan allemaal over het onderdeel meetkunde en wat erin staat hebben jullie allemaal al eerder
gehad. In de eerste, tweede of derde klas. Het is dus een soort grote herhaling. Jullie krijgen over deze
stencils een toets. P4.
Succes met deze blaadjes,
Molleman, Knott, Benschop, Bazzah, Van Nuland en Siegman
Inhoud
kijklijnen
aanzichten
bouwplaten
hoeken meten en tekenen
symmetrie
oppervlakte
inhoud
omzetten van lengte, oppervlakte en inhoud
vergroten
3D-coördinaten
kijklijnen
tsja.... echt eersteklas werk, maar het zat in 2006 wel in het examen. zorg ervoor dat als je kijklijnen tekent
dat je met liniaal werkt en de lijnen precies langs de ondoorzichtige objecten tekent.
met behulp van een plattegrond en 2 kijklijnen kun je aan de hand van bijvoorbeeld een foto heel precies
bepalen waar je op de plattegrond staat
opdrachten
1
a
b
c
Op een verjaardagspartijtje spelen een aantal kinderen verstoppertje in een doolhof.
Hiernaastr zie je een deel van de plattegrond.
Maarten en Evelien hebben zich verstopt in een gang. Kleur het deel van het doolhof dat Maarten niet
kan zien.
Piet loopt in het midden van een andere gang in de richting van Maarten en Evelien.
Wie ziet Piet het eerst, Maarten of Evelien? Leg je antwoord uit.
Piet wil zo lang mogelijk niet gezien worden. Daarom gaat hij niet in het midden maar langs één van de
muren lopen.
Jij mag Piet een advies geven: moet Piet langs de linker of de rechter muur gaan lopen? Leg ook uit
waarom hij langs die kant moet lopen.
Maarten
Evelien
Piet
2
a
b
c
Bekijk de tekening hiernaast. Ad (A) en Ed (E) staan in de kamer.
In de tuin staan een perenboom (P) en een kersenboom (K). verder
zie je in de tuin een hond (H) en een vuilnisbak (V).
Wie kan de hond niet zien? Geef een uitleg
kleur het gedeelte van de tuin dat beide jongens kunnen zien
Ot staat ook in de kamer en ziet de vuilnisbak en de kersenboom
op dezelfde kijklijn. Teken 3 plaatsen waar Ot kan staan.
aanzichten
bij aanzichten gaat het om platte afbeeldingen van ruimtelijke figuren. je hebt dan het vooraanzicht, het
zijaanzicht (links of rechts) en het bovenaanzicht.
van een ruimtelijke figuur moet je de aanzichten kunnen bepalen, maar ook andersom moet je met behulp
van de 3 aanzichten van een figuur kunnen bepalen hoe die figuur er uit komt te zien.
Opdrachten
1 De 3 aanzichten hieronderhoren bij dezelfde figuur.
Neem het bovenaanzicht over en noteer in elk hokje de hoogte.
2 Op de tafel hieronder staan drie voorwerpen. Je ziet ook het vooraanzicht.
Teken het rechterzijaanzicht.
bouwplaten
een ruimtelijke figuur kun je zelf in elkaar vouwen door eerst de bouwplaat of uitslag te tekenen en uit te
knippen. van de meest voorkomende 3D-figuren moet je een bouwplaat kunnen maken.
kubus
balk
piramide
Opdrachten
1
Teken de bouwplaat van een balk van 5 cm breed, 7 cm lang en 6 cm hoog.
2
Schets de bouwplaat van een piramide waarvan de bodem een 5-hoek is.
3
Hoeveel hoekpunten, ribben en grensvlakken heeft je piramide?
4
Teken 3 verschillende bouwplaten van een kubus.
cilinder
hoeken meten en tekenen
meten en tekenen van hoeken doe je met de geodriehoek. je mag ook je
kompasroos gebruiken.
zorg er altijd voor dat het hoekpunt precies tegen de 0 aanligt en de rand
van je geo precies op 1 van de benen ligt. het andere been geeft dan het
aantal graden aan. bedenk van te voren of de hoek scherp (<90) of stomp
(>90) is zodat je het goede aantal graden kiest.
als je wordt gevraagd naar de koershoek is het altijd de hoek die de
richting maakt ten opzichten van het noorden. het tweede been van de
hoek is dus een lijn recht omhoog.
Opdrachten
1
a
b
Hieronder zijn een aantal hoeken getekend.
Meet elk van de hoeken.
Schrijf op: A = …, B = … enzovoorts.
B
A
D
C
2a Teken in een assenstelsel de punten A (1 , 8) , B (7 , 1) en C ( 8 , 8).
b Teken driehoek ABC.
c Schrijf de grootte van de hoeken A, B en C op.
3
a
b
c
d
e
Teken de volgende hoeken.
P = 15.
K = 95.
R = 165.
een rechte hoek.
een gestrekte hoek.
vuurtoren
radiomast
klip
noord
4
a
b
c
d
e
Hiernaast is een kaartje getekend.
Jij staat bij het kruisje op de steiger
In welke windrichting zie je het huisje?
En in welke windrichting zie je de brug?
Hoe groot is de koershoek van de steiger naar de
radiomast?
Hoeveel graden is de koers van de steiger naar de klip?
er ligt iemand in het water. Vanaf de grot kun je hem zien
met een koershoek van 50° en vanaf het huisje met een
koershoek van 300°. Waar ligt de zwemmer?
grot
steiger
huisje
brug
boom
pythagoras
met de stelling van pythagoras kun je in een rechthoekige driehoek de ontbrekende zijde berekenen.






zorg ervoor dat je een rechthoekige driehoek hebt
bepaal welke 2 zijden je hebt. 2 korte zijden of 1 korte en de lange
vul de zijden in het schema in
bepaal de kwadraten van de zijden en vul die rechts in
tel de kwadraten op (2 korte zijden) of haal ze van elkaar af (korte en lange zijde)
bereken de wortel van de uitkomst. dit is de lengte van de onbekende zijde
Opdrachten
1
bereken de lengtes van de onbekende zijden.
26
9
10
12
2
Driehoek ABC is rechthoekig. AB = 10 en BC = 8. Hoek C is een rechte hoek.
Bereken de lengte van AC.
3
Je zet een ladder van 5 meter lang met de bovenkant tegen de muur van de school op precies 4 meter
hoogte. Hoe ver staat de ladder op de grond bij de muur vandaan?
5
Een balk heeft ribben van 3, 4 en 5 cm. Bereken de lengte van de lichaamsdiagonaal. Dat is de lengte
van een hoek dwars door de balk heen naar de andere kant.
Om het antwoord te vinden heb je 2 maal pythagoras nodig en is het handig schetsjes te maken.
symmetrie
symmetrie betekent hetzelfde. Als een figuur symmetrisch is dan zijn er twee gelijke helften die je precies
op elkaar kunt vouwen. Die vouwlijn is de symmetrie-as.
Figuren waarbij dit kan zijn onder andere het vierkant (op 4 manieren) de rechthoek (op 2 manieren) en de
cirkel (op wel 10000000000 manieren).
Figuren die ook één of meer symmetrie-assen hebben zijn de vlieger, de ruit, de gelijkbenige driehoek en de
gelijkzijdige driehoek.
Vlieger
Ruit
Gelijkbenige driehoek
gelijkzijdige driehoek
Sommige figuren zijn niet spiegelsymmetrisch (vouwsymmetrisch)
maar wel draaisymmetrisch. Dit betekent dat je de figuur draait net
zolang totdat de figuur weer hetzelfde staat. Dit geldt bijvoorbeeld
voor een parallellogram.
Het parallellogram is draaisymmetrisch over 180°. Een gelijkzijdige driehoek over 120° en een vierkant
over 90°.
Opdrachten
1
1
a
b
c
d
e
2
a
b
2
3
4
Hierboven zie je een aantal figuren.
Welke figuren zijn spiegelsymmetrisch?
Schrijf van elk van de figuren het aantal symmetrieassen op.
welke figuren zijn draaisymmetrisch? En over hoeveel
graden?
Neem de figuur hiernaast over. De stippellijn is de
symmetrieas.
Maak de figuur spiegelsymmetrisch door een aantal
hokjes te kleuren.
Hieronder zie je een regelmatige zeshoek.
Deze figuur is zowel spiegelsymmetrisch als lijnsymmetrisch.
hoeveel symmetrie-assen heeft deze zeshoek?
over hoeveel graden is de figuur draaisymmetrisch?
E
D
F
C
A
B
3
Teken een vierkant van 4 bij 4 cm.
Kleur een aantal van de 16 hokjes zodat de figuur wel spiegelsymmetrisch, maar niet
draaisymmetrisch is.
4
Teken een rechthoek van 6 bij 4 cm.
Kleur een aantal van de 24 hokjes zodat de figuur wel draaisymmetrisch, maar niet
spiegelsymmetrisch is.
oppervlakte
als je het hebt over oppervlakte dan heb je het over een platte figuur. de oppervlakte van zo'n figuur is het
aantal vierkantjes van bv 1 cm bij 1 cm (1 cm²) dat in de figuur past.
oppervlakte wordt altijd gegeven in oppervlaktematen : mm², cm², dm², m², etc.. je spreekt deze maten uit
als vierkante millimeter, vierkante centimeter, etc
als je moet omrekenen van de ene naar de andere oppervlaktemaat is dat wat lastiger dan bij lengtes. bv van
dm² naar cm². omdat 1 dm gelijk is aan 10 cm is 1 dm² gelijk aan 100 cm², omdat in 1 dm² in de lengte 10
centimeters naast elkaar passen en in de breedte ook 10 centimeters naast elkaar passen, waardoor er in
totaal 100 cm² in de dm² passen. bij het omrekenen moet je dus per stapje keer 100 of gedeeld door 100
doen.
van sommige figuren zoals de rechthoek en het vierkant kun je makkelijk de oppervlakte berekenen.
oppervlakte rechthoek = lengte × breedte
veel andere oppervlakten hebben met deze formule te maken
bij figuren als de driehoek, parallellogram, ruit en vlieger maak je steeds gebruik van deze formule. het is
steeds heel belangrijk dat je voor de lengte en de breedte 2 lijnen neemt die loodrecht op elkaar staan. soms
moet je zo'n lijn, ook wel hoogtelijn genoemd zelf bijtekenen.
ook de cirkel is een figuur waarvan je de oppervlakte moet kunnen berekenen. daarbij is het belangrijk dat je
niet de straal en de diameter door elkaar haalt. de straal loopt van het middelpunt naar de rand van de cirkel
en de diameter gaat er dwars doorheen en is dus 2 keer zo lang als de straal.
in het schema hieronder zie je de genoemde figuren met hun oppervlakte-formules.
L = lengte, B = breedte en S = straal.
figuur rechthoek
driehoek
parallellogram
lengte ×
breedte : 2
lengte × breedte
ruit
vlieger
cirkel
plaatje
Opper
vlakte
lengte ×
breedte
lengte × breedte : 2 lengte × breedte : 2 straal × straal × π
Je kunt ook de oppervlakte berekenen van een ruimtelijke figuur. Als je dat moet doen is het handig eerst de
bouwplaat te schetsen en vervolgens van elk stukje de oppervlakte apart uit te rekenen. Zo kun je de
oppervlaktes van een kubus, een balk, een cilinder en een piramide berekenen.
Vooral de cilinder is lastig. Bedenk dat de breedte van de gebogen rechthoek gelijk is aan de omtrek van de
cirkels. En de omtrek van een cirkel bereken je met
omtrek cirkel = diameter × π
Opdrachten
1
Hieronder zie je vier driehoeken. Bereken van elke driehoek de
oppervlakte.
5c
m
4,3
cm
cm
5,5
cm
2, 5
m
2 cm
6 cm
m
3c
6 cm
a
b
a
8 cm
b
c
c
6 cm
9 cm
2
m
4c
5c
5 cm
6 cm
6 cm
12 cm
bereken ook de oppervlakte
van de 3 figuren hieronder
a
b
10
cm
c
20
m
8 cm
15
c
20
m
15
cm
4
6 cm
c
b
3
cm
12 cm
26 cm
De diameter van de grote cirkel van de figuur hiernaast is
10 dm.
De diameter van de kleine cirkel is 4 dm.
Bereken de oppervlakte van het grijze deel.
M
3 cm
Hiernaast zie je een gelijkzijdige driehoek.
Laat met een berekening zien dat de oppervlakte van deze
26 cm
driehoek 3,9 cm2 is.
K
3 cm
3 cm
L
5
Bereken de oppervlakte van een balk met ribben van 3, 4 en 7 cm.
6
Bereken de oppervlakte van een cilinder van 12 cm hoog. De straal van de cirkel is 3
cm.
inhoud
als je het hebt over inhoud dan heb je het over een ruimtelijke figuur. de inhoud van zo'n figuur is het aantal
kubusjes van bv 1 cm bij 1 cm bij 1 cm (1 cm³) dat in de figuur past.
inhoud wordt altijd gegeven in inhoudsmaten : mm³, cm³, dm³, m³, etc.. je spreekt deze maten uit als
kubieke millimeter, kubieke centimeter, etc
1 liter = 1 dm³
als je moet omrekenen van de ene naar de andere inhoudsmaat is dat wat lastiger dan bij lengtes. bv van dm³
naar cm³. omdat 1 dm gelijk is aan 10 cm is 1 dm³ gelijk aan 1000 cm³, omdat in 1 dm³ in de lengte 10
centimeters naast elkaar passen en ook in de breedte 10 centimeters naast elkaar passen en ook in de hoogte
10 centimeters op elkaar passen, waardoor er in totaal 1000 cm³ in de dm³ passen. bij het omrekenen moet je
dus per stapje keer 1000 of gedeeld door 1000 doen.
van sommige figuren zoals de balk en de kubus kun je makkelijk de inhoud berekenen.
inhoud balk = lengte × breedte × hoogte
een balk is een figuur die je in gelijke plakjes kan snijden. zo'n figuur noemen we ook wel een prisma. als je
de inhoud van een prisma wilt weten, bereken je eerst de oppervlakte van het plakje, het grondvlak, en
vermenigvuldig je dit vervolgens met het aantal plakjes, de hoogte.
inhoud prisma = oppervlakte grondvlak × hoogte
de bekendste figuren die geen prisma zijn, zijn de piramide en de kegel. zoals je voor het berekenen van de
oppervlakte van een driehoek eerst de rechthoek berekent en dan gedeeld door 2 doet, doe je voor de inhoud
van een piramide eerst de inhoud van de balk en dan gedeeld door 3. voor de kegel doe je hetzelfde met de
cilinder.
inhoud piramide/kegel = oppervlakte grondvlak × hoogte : 3
veel ruimtelijke figuren zijn een combinatie van verschillende figuren. een huis met een puntdak is bv een
balk met een piramide erop. als je hiervan de inhoud wil berekenen, snij je de figuur in delen die je wel kunt
berekenen en tel je ze op.
Opdrachten
1 Bij tuincentra zijn kegelvormige vazen te koop. Zie de afbeelding hiernaast.
Ze staan op een standaard van ijzerdraad.
Aan de bovenkant is de diameter van de vaas 24 cm. De hoogte van de vaas is 25 cm.
Bereken de inhoud van deze vaas in hele cm3.
2 Stolpwoningen zijn woningen waarvan de onderkant
een balk is en de bovenkant een piramide. Hiernaast
zie je een tekening van zo’n stolpwoning. De maten
zijn in meters.
Bereken de inhoud van deze stolpwoning in m3.
3 bereken de inhoud van het huis hiernaast.
omzetten van lengte, oppervlakte en inhoud
er zijn 2 dingen die je uit je hoofd moet kennen


mm
cm
dm
1 dm is gelijk aan 10 cm
vanaf nu kun je alles beredeneren
lengte
m
dam
hm
km
omdat 1 dm gelijk is aan 10 cm geldt voor lengtes het volgende schema
mm
cm
dm
m
←
dam
hm
km
→
keer 10
gedeeld door 10
per stapje
per stapje
2,5 hm is dus 2,5 ×10 × 10 × 10 = 2500 dm
7300 mm is 7300 : 10 : 10 : 10 : 10 = 0,73 dam
oppervlakte
een vierkant van 1dm lang en 1 dm breed heeft een oppervlakte van 1 × 1 = 1 dm²
omdat 1 dm gelijk is aan 10 cm is dit vierkant dus 10 cm lang en 10 cm breed en heeft het een oppervlakte
van 10 ×10 = 100 cm²
1 dm² is dus gelijk aan 100 cm² en daarom geldt voor oppervlaktes het volgende schema
mm²
cm²
dm²
m²
←
dam²
hm²
km²
→
keer 100
gedeeld door 100
per stapje
per stapje
3,25 hm² is dus 3,25 ×100 ×100 = 32500 m²
390000 mm² is dus 390000 : 100 : 100 : 100 = 0,39 m²
inhoud
een kubus van 1 dm lang, 1 dm breed en 1 dm hoog heeft een inhoud van 1 × 1 × 1 = 1 dm³
omdat 1 dm gelijk is aan 10 cm is deze kubus dus 10 cm lang, 10 cm breed en 10 cm hoog en heeft een
inhoud van 10 ×10 ×10 = 1000 cm³
1 dm³ is dus gelijk aan 1000 cm³ en daarom geldt voor inhouden het volgende schema
mm³
cm³
dm³
m³
←
keer 1000
per stapje
0,7 km³ is dus 0,7 ×1000 ×1000 ×1000 = 700000000 m³
85000 cm³ is dus 85000 : 1000 = 85 dm³ (liter)
Opdrachten
dam³
hm³
→
gedeeld door 1000
per stapje
km³
Vul in
250 m
= ……………………. hm
0,027 km
= ……………………. dm
3,5 m2
= ……………………. cm2
5600000 m2
= ……………………. km2
120000 cm3
= ……………………. Liter
0,03 km3
= ……………………. Liter
vergroten
vergroten betekent dat je iets groter maakt. vergroten bij wiskunde betekent dat je iets groter maakt én dat
de vorm gelijk blijft. dit betekent dat als je een figuur in de lengte bv 3 keer zo groot maakt dat dan de
breedte ook 3 keer zo groot wordt.
het getal waarmee je een figuur vergroot heet de vergrotingsfactor
om de (vergrotings)factor te vinden neem je een lengte van de nieuwe figuur en de lengte van de oude
figuur die daarbij hoort. Je deelt dan de nieuwe lengte door de oude lengte.
factor = nieuw : oud
oppervlakte
als je een platte figuur vergroot dan vermenigvuldig je de lengte én de breedte met de vergrotingsfactor. de
oppervlakte van de figuur wordt daardoor niet vergrotingsfactor keer zo groot, maar vergrotingsfactor keer
vergrotingsfactor keer zo groot.
een rechthoek van 3 cm bij 2 cm heeft een oppervlakte van 6 cm². als je de rechthoek vergroot met een
vergrotingsfactor van 4, dan wordt de lengte 12 cm en de breedte 8 cm. de nieuwe oppervlakte wordt dus 12
× 8 = 96 cm². oftewel 6 × 4 × 4. keer 4 voor de breedte en keer 4 voor de lengte.
inhoud
als je een ruimtelijk figuur vergroot dan vermenigvuldig je de lengte én de breedte én de hoogte met de
vergrotingsfactor. de oppervlakte van de figuur wordt daardoor niet vergrotingsfactor keer zo groot, maar
vergrotingsfactor keer vergrotingsfactor keer vergrotingsfactor keer zo groot.
een balk van 2 cm bij 3 cm bij 4 cm heeft een inhoud van 24 cm³. als je de balk vergroot met een
vergrotingsfactor van 3, dan wordt de lengte 6 cm, de breedte 9 cm en de hoogte 12 cm. de nieuwe inhoud
wordt dus 6 × 9 × 12 = 648 cm³. oftewel 24 × 3 × 3 × 3. keer 3 voor de lengte, keer 3 voor de breedte en
keer 3 voor de hoogte.
? cm
Foto B is een vergroting van foto A.
Bereken de factor van de vergroting van foto A naar B.
Bereken de hoogte van foto B met een rekenpijl.
C
Foto C is ook een vergroting van foto A uit opdracht 1.
Bereken de breedte van foto C.
? cm
9 cm
1
a
b
c
19,8 cm
Opdrachten
A
13 cm
B
62,4 cm
2
Een rechthoek met een oppervlakte van 20 cm2 wordt vergroot met factor 3.
Wat is de oppervlakte van de nieuwe rechthoek?
3
Een piramide heeft een inhoud van 35 m3 en wordt vergroot met factor 2.
Wat is de inhoud van de nieuwe piramide?
3D-coördinaten
in een assenstelsel zijn coördinaten niet moeilijk te bepalen. (3,8)
betekent 3 naar rechts en 8 omhoog. iets lastiger is het met 3Dcoördinaten. je begint altijd links-achter-onderaan, waar vaak de O van
oorsprong staat. dan ga je eerst naar voren, dan naar rechts en als laatste
omhoog. in de kubus hierboven met ribben van 5 cm zijn de
coördinaten van E dus (5,5,5) en zie je verder A(5,0,0), F(0,5,5),
C(0,5,0), etc...
afstanden in 3D-figuren kun je met een dubbele pythagoras berekenen.
makkelijker nog gebruik je een verlengde pythagoras. in plaats van 2
korte zijden gebruik je de 3 afstanden die via rechte wegen nodig zijn
om van het ene naar het andere punt te komen. de kwadraten van die
afstanden tel je op en je neemt de wortel.
hieronder zie je de berekeningen die horen bij de afstand van A naar F, 5 naar rechts, 5 naar achter, 5
omhoog en de berekening van D naar het midden van het rechter grensvlak. 5 naar rechts, 2,5 naar achter en
2,5 omlaag.
AF is dus √75 = 8,7 en de andere afstand is gelijk aan √37,5 = 6,1
Opdrachten
1
Wat zijn de coördinaten van het middelpunt van de kubus hierboven?
2
Bereken de lengte van de lichaamsdiagonaal van een kubus met een ribbe van 7 cm.
3
Een balk heeft ribben van 3, 4 en 7 cm. Bereken de lengte van de lichaamsdiagonaal.