Lineaire Algebra - deeltentamen 1 (2008)

Lineaire Algebra - deeltentamen 1 (2008)
Uitwerkingen
1
Op de vlakte
1. Laat zien dat het vlak
vergelijking
  met
 
  x1 + x2 − 2x3 = 1 onder
1
0
1





andere de punten 0 , 1 en 2  bevat.
0
0
1
x1+ x2 − 2x3 → [1 1 − 2] = A
1

A 0 = 1 · 1 + 1 · 0 − 2 · 0 = 1
0
0

A 1 = 1 · 0 + 1 · 1 − 2 · 0 = 1
0
1
A2 = 1 · 1 + 1 · 2 − 2 · 1 = 1
1
De vectoren voldoen aan x1 + x2 − 2x3 = 1 en liggen dus in het vlak
2. Bereken een eenheidsnormaalvector ~n (unit normal vector)
voor dit vlak.


1
normaalvector ~n =  1 
−2
1

unit normal vector ~n = √
1
12 +12 +(−2)2

1
 1 =
−2


1
√1  1 
6
−2
3. Schrijf de vlakvergelijking in de vorm ~n · ~x = δ.
√   

1/√6
x1
 1/ 6  ·  x2  = √1
6
√
x3
−2/ 6
4. Wat is de afstand van het vlak tot de oorsprong?
De afstand van het vlak tot de oorsprong is δ dus δ =
√1
6
   
 
1
0
1





5. Omgekeerd: gegeven de punten 0 , 1 en 2 , geef dan
0
0
1
een berekening die leidt tot een vergelijking voor het vlak
door die punten. (Natuurlijk, je weet wat het antwoord moet
worden, maar hoe vind je het?)
Vergelijking is van de vorm ax1 + bx2 + cx3 = z vectors invullen geeft:
a · 1 + b · 0 + c · 0 = z → a = z met z 6= 0
a·0+b·1+c·0=z →b=z
a · 1 + b · 2 + c · 1 = z → c = z − a − 2b = z − z − 2z = −2z
→ zx1 + zx2 − 2zx3 = z met z 6= 0
neem z = 1 en je krijgt x1 + x2 − 2x3 = 1
6. Als de gegeven punten op één lijn hadden gelegen (bijvoor-
2


2
beeld als we het laatste punt veranderen in  −1 ), wat ge0
beurt er dan met je oplossingsmethode in de vorige vraag?
Hoe heet dat, in een vakterm?
Het stelsel van vergelijkingen wordt inconsistent met dit punt aangezien
het niet op de lijn1
7. Wanneer heeft een stelsel van n vergelijkingen met m onbekenden precies één oplossing?
Als n ≥ m en het stelsel niet inconsistent is, oftewel in de RREF staat
geen [0 0 0 0|1]
2
Draaı̈erig
1. Geef de rotatiematrix R voor de draaı̈ng om de z-as in R3 over
π/6 radialen (−30 graden).


cosφ −sinφ 0
R =  sinφ cosφ 0  met φ = π6
0
0
1
 1√

1
0
3
−
2
√2
1
→ R =  12
3 0
2
0
0
1
2. Geef de rotatiematrix P voor de draaı̈ng om de x-as in R3 over
−π radialen (−180 graden).(Ja er staat een min!)
1
de vraag was bedoeld geweest met een punt dat wel op de lijn had gelegen. In dit
geval zou de vergelijking wel consistent zijn, maar infinitly many solutions hebben.
3

1 √
0
0
P =  0 12 3 −√12  met φ = −π
1
0 12
3
2
1 0
0

→ P = 0 −1 0 
0 0 −1

3. Gebruik de eerder berekende matrices R en P om de matrix
te maken voor een draaı̈ng eerst om de z-as over π/6 radialen,
en daarna over de x-as van −π radialen. (De assen draaien
niet mee, maar staan ‘vast’ in de wereld.)
Matrix A doet eerst R en daarna
→ A = P R
  1√
3 −√12
1 0
0
2
1
A =  0 −1 0   21
3
2
0 0 −1
0
0
P
  1√

1
0
3 −√
0
2
2
0  =  − 12 − 12 3 0 
1
0
0
−1
4. Geef de rotatiematrix C voor de draaı̈ng om de y-as in R3 over
φ radialen.


cosφ 0 −sinφ
1
0 
C= 0
sinφ 0 cosφ
5. Wat is de deffinitie van een lineaire transformatie (linear transformation)?
Een operatie A is een lineare transformatie, als geldt:
1:A(x + y) = A(x) + A(y)
2:A(λx) = λA(x) met λ scalar.
4
6. Leg uit waarom een lineaire transformatie uitgevoerd op een
vector altijd als een product van een matrix en die vector
geschreven kan worden.
 
 


v1
v1
a11 · · · a1n
 
 

.. 
Stel vectoren ~v =  ...  en ~u =  ... , matrix A =  ...
. 
vn
vn
am1 · · · amn
en scalar λ, dan geldt:

 

a11 v1 + · · · + a1n vn
a11 u1 + · · · + a1n un

 

..
..
A~v + A~u = 
+

.
.
am1 v1 + · · · + amn vn
am1 u1 + · · · + amn un


a11 v1 + · · · + a1n vn + a11 u1 + · · · + a1n un


..
=

.
am1 v1 + · · · + amn vn + am1 u1 + · · · + amn un

a11 (v1 + u1 ) + · · · + a1n (vn + un )


..
=

.

am1 (v1 + u1 ) + · · · + amn (vn + un )


v1 + u1


..
A (~v + ~u) = A 

.
vn + un


a11 (v1 + u1 ) + · · · + a1n (vn + un )


..
=

.
am1 (v1 + u1 ) + · · · + amn (vn + un )
dus A~v + A~u = A (~v + ~u)
5


λv1


Aλ~v = A  ... 
λvn


a11 λv1 + · · · + a1n λvn


..
=

.
am1 λv1 + · · · + amn λvn


λ (a11 v1 + · · · + a1n vn )


..
=

.
λ (am1 v1 + · · · + amn vn )


a11 v1 + · · · + a1n vn


..
λA~v = λ 

.
am1 v1 + · · · + amn vn


λ (a11 v1 + · · · + a1n vn )


..
=

.
λ (am1 v1 + · · · + amn vn )
dus Aλ~v = λA~v
Dus een product van een matrix met een vector is een lineaire transformatie aangezien het zich houdt aan de definitie als in de vorige vraag
beantwoord.
7. Voor een rotatiematrix geldt dat z’n kolommen eenheidsvectoren moeten zijn. Waarom?
Als de vectoren gedraaid worden door de rotatimatrix mag hun lengte
niet veranderen, vandaar dat de rotatiematrix uit eenheidsvectoren bestaan.
6
3
De kern van de zaak
Gegeven de matrix:


1 0 1
A =  2 −1 0  .
1 3 7
1. Bepaal de RREF (reduced row echelon form) van A.






1 0 1
1 0
1
1 0 1
 2 −1 0  →  0 −1 −2  →  0 1 2  = rref (A)
1 3 7
0 3
6
0 0 0
2. Laat zien dat de rang (rank) van A gelijk is aan 2. Als dat
niet zo is, controleer dan je RREF , want de volgende vragen
hangen daar sterk vanaf !
Er zijn twee leading ones in rref (A), dus rank(A) = 2
3. Maak gebruik van de RREF om een basis voor de kern (kernel
of nullspace) van A te bepalen.
v~1 = −v~3
v~2 = −2v~3




−1
−1
neem v~3 = s, dan ~x = s  −2 . Een basis voor ker(A) is dus  −2 
1
1
4. Controleer dat de basis van de kern inderdaad goed berekend
is door op ieder van die basisvectoren de matrix A toe te passen.
7


 
  
1 0 1
−1
−1 + 0 + 1
0
 2 −1 0   −2  =  −2 + 2 + 0  =  0 
1 3 7
1
−1 − 6 + 7
0
5. Beschrijf deze ker(A) geometrisch (is het een punt, lijn, vlak,
ruimte, en welke precies?).


−1
ker(A) is een lijn met de richtingsvector  −2 
1
6. Maak gebruik van de RREF om een basis voor het beeld im(A)
(ook bekend als het image of de column space) van A te bepalen.
basis im(A) is de column
  vectors
 waar leading ones staan in rref (A)
1
0
→ basis im(A) =  2  ,  −1 .
1
3
7. Beschrijf deze im(A) geometrisch (is het een punt, lijn, vlak,
ruimte, en welke precies?).
 


1
0
im(A) is een vlak in de richtingen van  2  en  −1 
1
3
8. Wat is dim(im(A)) + dim(ker(A)) voor deze matrix A? (Hint:
dat kan je weten zonder im(A) en ker(A) te berekenen!)
Als A een n × m matrix, dan is dim(im(A)) + dim(ker(A)) = m, A is
3 × 3, dus m = 3.
8
9. Wat is deffinitie van een deelruimte (subspace)?
Een subet V van Rn is een subspace, als:
(a) V de nulvector uit Rn bevat.
(b) V ‘closed under addition’ is: v~1 , v~2 ∈ V dan v~1 + v~2 ∈ V .
(c) V ‘closed under scalar multiplication’ is: ~v ∈ V en k scalar, dan
k~v ∈ V
10. Is de kern van deze matrix A een deelruimte (subspace)?
Waarom wel/niet?
Ja, want:

  
−1
0



(a) ker(A) bevat de nulvector: 0 −2 = 0 
1
0
(b) v~1 , v~2 ∈ ker(A), dan
Av~1 = 0 en Av~2 = 0
A(v~1 ) + A(v~2 ) = 0 + 0 = 0
= A(v~1 + v~2 ) (lineariteit matrix)
→ A(v~1 + v~2 = 0, dus v~1 + v~2 ∈ ker(A) voor alle v~1 , v~2 ∈ ker(A).
(c) ~v ∈ ker(A), dus A~v = 0
A(k~v ) = Ak(~v )
= kA(~v )
=k·0=0
dus k~v ∈ ker(A) voor elke scalar k en ~v ∈ ker(A)
9
11. Is de kern van een willekeurige matrix een deelruimte? Waarom
wel/niet? (Hint: gebruik de lineariteitseigenschappen!)
Ja, de ket(A) bevat altijd de nulvector en punten (b) en (c) zijn in 3.10
bewezen voor elke ker(A)
12. Is A inverteerbaar? Zo nee, waarom niet; zo ja, bereken dan
de inverse.
A is niet inverteerbaar, want rref (A) 6= I3
10