Wiskunde II a Mxn matrix: m rijen, n kolommen paragrafen 1.1, 1.2

Wiskunde II a Mxn matrix: m rijen, n kolommen paragrafen 1.1, 1.2 1.1: 3, 11, 13, 21, 7, 15, 23 1.2: 1, 3, 7, 13, 19, 11, 23 Bekijk wanneer er ene oplossing is? Æ éérst naar (kanonieke) rijvorm Rij‐operaties: (alleen bij aangevulde matrix?) -
Rijen bij elkaar optellen/aftrekken Rijen verwisselen Waardes in rij vermenigvuldigen met een constante (niet nul) Is er een oplossing? Æ systeem is consistent één oplossing Æ unieke oplossing 2 rijen veelvoud van elkaar? Æ systeem is inconsistent ? Piramide (alleen getallen op diagonaal, alleen pivotkolommen) Æ consistent Pivotkolom: alleen nullen onder de pivot. Standaardrijvorm: begin links en maak pivotkolommen kanonieke rijvorm: begin rechts met pivot tot een maken en daarboven alleen nul. Definitie 1. Een matrix is in standaard rijvorm (echelon form) als (a) alle niet‐nul rijen boven alle rijen met alleen nullen zijn, (b) elk hoofdelement in een rij zit in een kolom rechts van het hoofdelement van de rij erboven, en (c) alle elementen in een kolom onder een hoofdelement zijn nullen. Definitie 2. Een matrix is in kanonieke rijvorm (reduced echelon form) als (d) de matrix in standaard rijvorm is, (e) het hoofdelement in elke niet‐nul rij gelijk is aan 1, en (f) elk hoofdelement het enige niet‐nul element in zijn kolom is. paragrafen 1.3‐1.5 1.6: zelfstudie 1.3: 9, 11, 13, 21, 17, 23 1.4: 1, 3, 17, 31, 11, 35 1.5: 3, 5, 15, 29, 21 Matrix * vector = vector Dit is alleen gedefinieerd als lengte vector = aantal kolommen matrix Lineaire combinatie = c1v1 + c2v2 + c3v3 + cnvn Systeem van lineaire vergelijkingen, vectorvergelijking x1v1 +x2v2=b en matrixvergelijking Ax=b hebben dezelfde oplossingsverzameling Stel je hebt v1 en v2, dan is y een lineaire combinatie (Ax) als de aangevulde matrix consistent is. De vergelijking Ax = b heeft een oplossing dan en slechts dan als b een lineaire combinatie is van de kolommen van A. Opspansel: verzameling van alle mogelijke lineaire combinaties van gegeven vectoren. (alle vectoren die een veelvoud zijn van de vector v1 Span{v1} zitten in dit opspansel) Opspansel is grafisch ene rechtelijn door [o,o]T en v = [x,y]T Span{v1,v2} is een vlak (parallellogram) Vector b zit in Span{v1, . . . , vp} dan en slechts dan als c1v1 + c2v2 + . . . + cpvp = b een oplossing heeft. Oftewel, het lineaire systeem met aangevulde matrix _ v1 v2 . . . vp b _ heeft een oplossing. Kolom vector = matrix met een kolom = vector Definitie. De kolommen van A = [a1 a2 . . . ap] spannen Rm op als elke vector b in Rm een lineaire combinatie is van a1, . . . , ap. Dus Span{a1, . . . , ap} = Rm. Stelling 4. Laat A een m × n‐matrix zijn. Dan zijn de volgende beweringen logisch equivalent: a. Voor elke b in Rm heeft de vergelijking Ax = b een oplossing. b. Elke b in Rm is een lineaire combinatie van de kolommen van A. c. De kolommen van A spannen Rm op. d. A heeft een pivot positie in elke rij. Stelling 5. Als A een m × n‐matrix is, u en v vectoren in Rn en c een scalair, dan a. A(u + v) = Au + Av, b. A(cu) = cAu. Stelling 6. Stel dat de vergelijking Ax = b consistent is voor een b, en laat p een oplossing zijn. Dan is de oplossingsverzameling van Ax = b de verzameling van alle vectoren van de vorm w = p + vh,waarin vh een willekeurige oplossing is van de homogene vergelijking Ax = 0. Homogeen: Ax =0 Oplossing vb) x = [x1,x2,x3] T = [axi,bxi,cxi] T = xiv v=[a,b,c]T Niet homogeen: Ax is niet 0 Oplossing vb) x = [x1,x2,x3] T = p+ xiv oplossing = oplossing homogeen + een vector p. Niethomogene oplossing is een verschuiving tov homogeen. Niethomogen is géén opspansel, want nulvector móet in opspansel. paragrafen 1.7‐1.9 1.7: 7, 9, 17, 19, 23, 27 1.8: 5, 9, 11, 17, 33, 31 1.9: 5, 7, 19, 21, 27, 11 Definitie. Een verzameling vectoren {v1, v2, . . . , vp} in Rn heet lineair onafhankelijk als de vectorvergelijking x1v1 + x2v2 + . . . + xpvp = 0 alleen de triviale oplossing (geen vrije variabele) heeft. Anders heet het lineair afhankelijk. 1. Verzameling van een vector {v1}. De enige oplossing van x1v1 = 0 is x1 = 0. Dus {v1} is lineair onafhankelijk als v1 6= 0. 2. Verzameling van twee vectoren: Lineair afhankelijk als minstens een vector een veelvoud van de ander is. Lineair onafhankelijk als geen van de vectoren een veelvoud van de ander is. 3. Verzameling met 0. Stel v1 = 0. Dan 1v1 + 0v2 + . . . + 0vp = 0 wat aantoont dat de verzameling lineair afhankelijk is. 4. Verzameling met teveel vectoren. Stelling 8. Als een verzameling meer vectoren heeft dan elementen in elke vector, dan is de verzameling lineair afhankelijk. Met andere woorden, een verzameling {v1, v2, . . . , vp} in Rn is lineair afhankelijk als p > n. Transformaties Definitie. Een transformatie T is lineair als: (i) T(u + v) = T(u) + T(v) voor alle u, v in het domein van T; (ii) T(cu) = cT(u) voor alle u en alle getallen c. Voorwaarden lineaire transformatie: T(0) = 0 T(x+y) = T(x)+T(y) T(cx) = cT(x) paragrafen, 1.10, 2.1, 2.2 1.10: 7, 1, 9 2.1: 1, 7, 9, 17, 23, 15 2.2: 1, 5, 13, 31, 19, 33 Stelling 1. Laat A, B en C matrices zijn van dezelfde afmetingen, en laat r en s getallen zijn. a. A + B = B + A d. r(A + B) = rA + rB b. (A + B) + C = A + (B + C) e. (r + s)A = rA = sA c. A + 0 = A f. r(sA) = (rs)A Elke kolom van AB is een lineaire combinatie van de kolommen van A met als gewichten de elementen van de corresponderende kolom van B. Stelling 3. Laat A m × n zijn en laat de afmetingen van B en C zo zijn dat de onderstaande sommen en producten gedefinieerd zijn. a. A(BC) = (AB)C (associatieve wet van vermenigvuldiging) b. A(B + C) = AB + AC (linker distributieve wet) c. (B + C)A = BA + CA (rechter distributieve wet) d. r(AB) = (rA)B = A(rB) voor elke scalair r e. ImA = A = AIn (eenheid voor matrix vermenigvuldiging) Let op! Bovenstaande eigenschappen zijn analoog aan die voor re¨ele getallen. Maar niet alle eigenschappen voor re¨ele getallen gelden voor matrices. 1. AB is niet altijd hetzelfde als BA. 2. Als AB = AC dan hoeft B niet gelijk te zijn aan C. 3. Als AB = 0 dan kun je niet concluderen dat A = 0 of B = 0. Niet inverteerbaar = singulier Inverteerbaar = niet‐singulier Stelling 5. Als A een inverteerbare n × n matrix is, dan heeft de vergelijking Ax = b voor elke b in Rn de unieke oplossing x = A−1b. Elementaire matrix: 1 rijoperatie uitgevoerd op een identiteitsmatrix paragrafen 2.3, 2.6, 2.8 2.3: 3, 11, 17, 37, 7, 21 2.6: 5, 7, 9 2.8: 3, 13, 7, 15, 17, 25, 21 Definitie. Een deelruimte van Rn is een verzameling H in Rn met drie eigenschappen: a. De nul vector zit in H. b. Voor elke u en v in H zit de som u + v in H. c. Voor elke u in H en elke scalair c zit de vector cu in H. Basis: Deelruimte: kolommen van inverteerbare matrix Kolomruimte: pivotkolommen. Ax=b Nulruimte: vectoren die horen bij de vrije variabelen. Ax=0 paragrafen 2.9, 3.1 2.9: 3, 7, 11, 13, 17, 19 3.1: 37, 38, 3, 9, 13, 35 Definitie. De dimensie van een niet‐nul deelruimte H, genoteerd met dimH is het aantal vectoren in elke basis van H. De dimensie van de nul deelruimte {0} is gedefinieerd als nul. In een eerder voorbeeld zagen we dat NulA een basis had bestaande uit 2 vectoren. Dus dimNulA = 2. Merk op dat elke basis vector correspondeert met een vrije variabele. Om de dimensie van de nulruimte te bepalen, hoef je alleen het aantal vrije variabelen te tellen. Definitie. De rang van een matrix A, genoteerd met rangA, is de dimensie van de kolomruimte van A. Stelling 14. [De rang stelling] Als een matrix A n kolommen heeft, dan rangA + dimNulA = n. Opmerking. De redenering voor Stelling 14: rangA = aantal pivot kolommen, dimNulA = aantal vrije variabelen. Stelling 8. [De inverteerbare matrix stelling (vervolg)] Laat A een n × n matrix zijn. Dan zijn de volgende beweringen equivalent aan de bewering dat A een inverteerbare matrix is. m. De kolommen van A vormen een basis van Rn. n. KolA = Rn o. dimKolA = n p. rangA = n q. NulA = {0} r. dimNulA = 0 Determinant = ad‐cb Let op bij cofactor: ‐1^(i+j) Stelling 2. Als A een driehoeksmatrix is dan is detA het product van de elementen op de hoofddiagonaal. paragrafen 3.2, 3.3 3.2: 9, 13, 19, 21, 29, 31, 43 3.3: 5, 9, 13, 21, 23, 25 Stelling 3. [Rij operaties] Laat A een vierkante matrix zijn. a. B door rijen/kolommen optellen: detB = detA b. B door rijen/kolommen verwisselen van A: det B = ‐det A c. B door rijen/kolommen te vermenigvuldigen: det B = k det A Als A twee gelijke rijen heeft: det A = 0 Als A een nulrij heeft: det A = 0 Stelling 5. Als A een n × n matrix is, dan detAT = detA. Stelling 9. Als A een 2 × 2 matrix is, dan is de oppervlakte (geldt ook voor volume van 3x3 matrix) van het parallellogram dat wordt bepaald door de kolommen van A gelijk aan | detA|. Parallellogram verplaatsen, zodat hoek in oorsprong ligt. (1 kolom = 0) Bekijk welke 2 vectoren de basis zijn. paragraaf 6.1 Stewart paragraaf 12.4 6.1: 1, 9, 13, 17, 19, 25, 27, 29 Stewart 12.4: 1, 13, 15, 19, 25, 29, 33, 35 Definitie. Twee vectoren u en v noemen we orthogonaal (staan loodrecht op elkaar) als u ・ v = 0. Stelling 2. [Pythagoras] Twee vectoren u en v zijn orthogonaal dan en slechts dan als Inproduct: Uitproduct: Stelling 5. De vector u × v is orthogonaal tot zowel u als v. De richting van het u × v is gegeven door de ‘right hand rule’. Als de vingers van de rechter hand zijn gebogen in de richting van de rotatie van u naar v dan verwijst je duim de richting vanu × v. Case: