Formule van Cardano

Formule van Cardano
Bij de vorige vergelijkingen wisten we steeds al een oplossing maar hoe kom je nu
eigenlijk aan een van de oplossingen. Daarvoor is er de formule van Cardano. Voor een
derdegraads vergelijking is er een formule die een van de antwoorden geeft. Daarna kun
je met de factorstelling de andere oplossingen berekenen. De formule van Cardano luid
1
q2 p3 3 1
q2 p3
x
q


q

2
4 27
2
4 27
Eerst behandelen we de vergelijkingen met de vorm x 3  px  q . Van deze
vergelijkingen weet je namelijk meteen de in te vullen getallen.
Voor de vergelijking x 3  6 x  20 komt uit de formule van Cardano het antwoord x  2 .
Nu kun je heel makkelijk controleren of dit antwoord wel klopt door hem in te vullen.
x 3  6 x  20
3
2 3  6  2  8  12  20
Dus x  2 is inderdaad een oplossing van de vergelijking. Nu gaan we door middel van
de factorstelling kijken of er nog meer oplossingen zijn.
x 3  6 x  20
x 3  6 x  20  0
x 3  6 x  20   x  2 x 2  ax  b 
x  2x 2  ax  b  x 3  ax 2  bx  2 x 2  2ax  2b  x 3  a  2x 2  b  2a x  2b
Dit moet gelijk zijn aan x 3  6 x  20  0 oftewel
a  2  0 , b  2a  6 en  2b  20
a  2 en b  10
Conclusie: x 3  6 x  20  0 geeft:
x  2 x 2  2 x  10  0
a  1 , b  2 en c  10
D  2 2  4  1  10
D  4  40
D  36
De discriminant is kleiner dan 0 dus is er alleen de oplossing x  2 .
x20


x2
Er zijn dus geen andere oplossingen op x  2 na. Die was al berekent met de formule van
Cardano.
Nu hebben we nog een derdegraads vergelijking van dezelfde soort als de vorige. Hier
kunnen we dus met de formule van Cardano het eerste antwoord berekenen.
x 3  0,75x  0,25
p  0,75 en q  0,25
x3
 0,252   0,753
1
 0,25 
2
4
27
3
1
 0,25 
2
 0,252   0,753
4
27
x  3  0,125  0  3  0,125  0
x  1
Nu kunnen we doormiddel van de factorstelling kijken of er bij deze vergelijking wel
meerdere oplossingen zijn.
x 3  0,75 x  0,25
x 3  0,75 x  0,25  0

x 3  0,75 x  0,25   x  1 x 2  ax  b
x  1x


 ax  b  x  ax  bx  x 2  ax  b  x 3  a  1x 2  b  a x  b
Dit moet gelijk zijn aan x 3  0,75 x  0,25  0 oftewel
a  1  0 , b  a  0,75 en b  0,25
a  1 en b  0,25
2
3
2
Conclusie: x 3  0,75x  0,25  0 geeft:
x  1 x 2  x  0,25  0
a  1 , b  1 en c  0,25


D   1  4  1  0,25
2
D  11
D0
x  1  0  x2   b
2a
1
2 1
1
x1  1  x 2 
2
Er zijn bij deze vergelijking dus twee antwoorden.
x1  1  x 2 
Nu hebben we een ander probleem. We hebben nu derdegraads vergelijkingen in de vorm
van x 3  ax 2  bx  c  0 .Hierbij is het dus niet duidelijk aan te geven welke getallen de
p en de q zijn. Je kunt ze wel berekenen met de formules
1
2
1
p  b  a 2  q   a 3  ab  c
3
27
3
3
2
Bij de vergelijking x  3x  5 x  6  0 moet je du eerst de p en de q bereken voordat je
door middel van de formule van Cardano de eerste oplossing kunt berekenen.
x 3  3x 2  5 x  6  0
1
2
1
2
3
p  5    3  q     3   3  5  6
3
27
3
1
2
p  5   9  q    27  5  6
3
27
p  53 q  256
p  2q 3
1
1
x    3 
3
3
2
3
32
4

23
27

3
1
2
3
32
4

23
27
1
9 8 3 1
9 8
x  1 3 1 

 1 

2
4 27
2
4 27
x  1  1,46  0,46
x2
Nu kun je met deze oplossing de andere oplossingen ook berekenen met de factorstelling.
x 3  3x 2  5x  6  x  2 x 2  ax  b


x  2x 2  ax  b  x 3  ax 2  bx  2 x 2  2ax  2b  x 3  a  2x 2  b  2a x  2b
Dit moet gelijk zijn aan x 3  3x 2  5 x  6  0 oftewel
a  2  3 , b  2a  5 en  2b  6
a  1 en b  3
Conclusie: x 3  3x 2  5 x  6  0 geeft:
 x  2 x 2  x  3  0
a  1 , b  1 en c  3
D  b 2  4ac
2
D   1  4  1  3
D  1  12


D  11
D < 0 dus er zijn geen andere oplossingen dan:
x20
x2
Met de volgende vergelijking zijn er wat vreemde dingen aan de hand. Als je de p en de
q hebt berekend dan komen daar negatieve getallen uit. Een wortel van een negatief
getal kan in de normale getallen reeks genaamd de reële getallen niet berekend worden.
Daarvoor zijn er de imaginaire getallen. Deze komen later nog aan bod. Door deze
getallen kunnen we nu wel de eerste oplossing van de vergelijking berekenen.
x3  x 2  9x  9  0
1
2
1
2
3
p  9    1  q    1   1  9  9
3
27
3
1
2
p  9   1  q    1  3  9
3
27
1
2
p  9   q 
39
3
27
1
25
p  9  q  5
3
27
2
3
2
25 
1
25 
1




 5 
 9 
 5 
 9 
3
3
1
1
25
1
25
27 
3
27 
3
x    1 
 5  


 5  

3
2
27
4
27
2
27
4
27
x3
Met de factorstelling berekenen we nu de andere oplossingen
x 3  x 2  9 x  9  x  3 x 2  ax  b


x  3x 2  ax  b  x 3  ax 2  bx  3x 2  3ax  3b  x 3  a  3x 2  b  3a x  3b
Dit moet gelijk zijn aan x 3  x 2  9 x  9  0 oftewel
a  3  1 , b  3a  9 en  3b  9
a  2 en b  3
conclusie: x 3  x 2  9 x  9  0 geeft:
x  3x 2  2 x  3  0
x  3  0  x  1x  3  0
x  3  x  1  x  3
3
De formule van Cardano is een oude formule. Hij werd het eerst openbaar toen Girolamo
Cardan, ook wel Cardano genoemd, hem in een artikel beschreef. Cardano was in die tijd
een van de beste algebraisten. Hij bestudeerde vooral de wiskunde maar ook het
dobbelen. Toch was de formule van Cardano niet door
Cardano ontdekt. De formule werd ontdekt door Niccolò
Fontana. De meeste noemde hem Tartaglia. Dat kwam omdat
hij een baard liet groeien. Dit deed hij omdat hij een paar
littekens op zijn gezicht had. Door de baard ging hij stotteren
en werd hij stotteraar genoemd wat in het Italiaans tartaglia
betekent. Hij was arm geboren en leefde van het bedelen. Hij
had wel een boek over wiskunde dat hij vaak doorkeek. Toen
hij zoveel wiskundige informatie kende werd hij leraar
wiskunde aan een school.
In 1535 had Tartaglia enkele derdegraads vergelijkingen
opgelost en werd uitgedaagd voor een wedstrijd. Tartaglia
ontwikkelde in deze wedstrijd de formule van Cardano.
Cardano hoorde van deze formule en vroeg aan Tartaglia of hij
hem mocht weten. In 1539 kreeg Cardano eindelijk de formule nadat Tartaglia al
meerdere malen had geweigerd. Cardano zou de formule voor zichzelf houden maar
bracht deze in 1545 toch uit in het artikel. Tartaglia beschuldigde Cardano daarna van
eedbreuk. De twee mannen gingen in 1548 een wedstrijd met het berekenen van
derdegraads vergelijkingen aan. Helaas voor Tartaglia werd het gelijk. Omdat de formule
toen al bekend was kwamen er veel mensen op de wedstrijd af. Tartaglia had door het
gelijke spel niets overgehouden aan zijn formule en stief alsnog arm in 1557.
Veel wiskundigen gingen na het uitbrengen van het artikel van Cardano de formule
gebruiken. Hierbij ging het lange tijd goed totdat er veel wiskundigen met een pr obleem
zaten. Er kwam soms een negatieve wortel uit de formule van Cardano. Men wist niet
wat ze hiermee moesten doen en bedachten toen maar de imaginaire getallen. Hiermee
was het wel mogelijk een negatieve wortel uit te rekenen. Tegenwoordig wordt de
formule van Cardano nog veel gebruikt.