Nina – Wisselwerking en beweging

Nieuwe Natuurkunde
Wisselwerking & Beweging
5 VWO – hoofdstuk 6
Energie, kromlijnige bewegingen, impuls
Lesplanning
In de lesplanning is een verdeling gemaakt in klassikale activiteiten, groepswerk en
individuele opdrachten (of huiswerk).
kern/keus Onderwerp
klassikaal/
groepswerk
opdrachten
huiswerk
1
kern
1.1 Energiesoorten en omzettingen
1, 2, 3
4, 5
2
keuze
1.2 Zwaarte- en bewegingsenergie
6
7 t/m 11
3
kern
2.1 Mythbusters katapult
12 t/m 15
16, 17
4
keuze
2.2 Border slingshot
18 t/m 21
22, 23, 24
5
keuze
Afronding
6
kern
3.1 Op reis in de ruimte
25 t/m 31
32, 33
7
kern
3.2 Satellietbanen
34, 35, 36
37 t/m 41
8
kern
4.1 De voortstuwing van raketten
42 t/m 45
46, 47
9
kern
4.2 Energie en impuls toepassen
48, 49, 50
51, 52, 53
10
keuze
Afronding
les
datum
2
Inhoud
1 Inleiding
1.1 Energiesoorten en energie-omzettingen
1.2 Toepassing: zwaarte- en bewegingsenergie
5
5
9
2 De lucht in!
2.1 Mythbusters katapult
2.2 Border slingshot
12
12
16
3 De ruimte in!
3.1 Op reis in de ruimte
3.2 Satellietbanen
21
21
26
4 Explosies en botsingen
4.1 De voortstuwing van raketten
4.2 Impulsbehoud
30
30
35
Bijlage 1 – Begrippen en formules
38
Bijlage 2 – Overzicht formules Wisselwerking & Beweging 40
NiNa – Nieuwe Natuurkunde
Wisselwerking & Beweging
VWO
6 Energie gebruiken
© 2008 Projectgroep NiNa: Peter Dekkers, Marjolein Vollebregt, Kees
Hooyman en Koos Kortland
Dit materiaal is bedoeld voor evaluatief gebruik binnen het project Nieuwe
Natuurkunde (NiNa).
3
4
1 Inleiding
1.1 Energiesoorten en energie-omzettingen
Wat gaan we doen?
In het voorgaande hoofdstuk heb je kennis gemaakt met drie soorten
energie: zwaarte-energie, bewegingsenergie en verbrandingswarmte
(chemische energie). In dit hoofdstuk komen we nog enkele andere
energiesoorten tegen. We bekijken daarbij situaties waarbij sprake is van
energie-omzettingen.
In deze inleiding is de centrale vraag:
 Welke andere soorten energie ken je?
 Welke aanpak is handig bij energie-omzettingen?
Nieuwe begrippen in
deze paragraaf
Energiesoorten
Energie-omzettingen
Energieschema
Energievergelijking
1
Oriëntatie
Op de foto’s in figuur 1 zie je verschillende situaties waarbij sprake is van
energiesoorten en energie-omzettingen.
Figuur 1 – Verschillende situaties waarbij energie een rol speelt.
a. Noteer zoveel mogelijk verschillende energiesoorten die in deze situaties van
toepassing zijn.
b. Welke andere energiesoorten ken je nog?
c. Kies één situatie en probeer de energie-omzettingen in beeld te brengen.
d. Hoe zou je dit schema kunnen gebruiken om te rekenen aan energieomzettingen?
In situaties waarbij sprake is van energie-omzettingen is het handig om eerst de
verschillende soorten energie en de omzettingen in beeld te brengen. Het
onderstaande voorbeeld is van een fietser.
spierenergie
bewegingsenergie
warmte
door wrijving
5
Plan van aanpak
In situaties waarbij sprake is van energie-omzettingen is de aanpak:
 Breng alle energiesoorten in beeld.
 Geef aan welke energieomzettingen er plaatsvinden.
 Vergelijk de energie aan het begin met de energie aan het einde.
Uitvoering
Voor de uitvoering van het plan gebruiken we een windmolen. De taak van een
windmolen is om windenergie om te zetten in elektrische energie, maar daar
komt nog iets meer bij kijken.
2
Figuur 2 – Een windmolen zet
bewegingsenergie om in
elektrische energie.
Windturbine
Iets ten noorden van Medemblik staat sinds kort een nieuwe windturbine met
een elektrisch vermogen van 1,0 megawatt (MW). De bewegingsenergie van de
lucht wordt door de turbine gedeeltelijk omgezet in elektrische energie. Niet alle
bewegingsenergie wordt aan de wieken afgegeven, aan de achterkant van de
wieken heeft de lucht een lagere snelheid gekregen. Daarnaast gaat in de molen
10% van de energie verloren aan wrijving en warmte-ontwikkeling in de
dynamo.
a. Breng alle energiesoorten overzichtelijk in beeld en geef aan welke
energieomzettingen er plaatsvinden.
b. Leg uit waarom je in deze situatie geen rekening hoeft te houden met de
bewegingsenergie van de wieken.
Bij de windmolen bestaat de energie aan het begin alleen uit de
bewegingsenergie van de lucht. Berekeningen aan dit type windturbine hebben
uitgewezen dat bij een windsnelheid van 16 m/s (harde wind) er per seconde
37·103 m3 lucht het gebied passeert dat de wieken bestrijken. De kinetische
energie van deze lucht wordt door de turbine (gedeeltelijk) omgezet in
elektrische energie. De dichtheid van de lucht is 1,22 kg/m3. Dit betekent dus dat
de massa van 1,0 m3 lucht gelijk is aan 1,22 kg.
c. Bereken de bewegingsenergie van de lucht die in één seconde het gebied van
de wieken passeert.
Bij de windmolen bestaat de energie aan het einde uit elektrische energie,
warmte en de bewegingsenergie van de lucht na de wieken. Bij een
windsnelheid van 16 m/s levert deze windturbine een elektrisch vermogen van
1,0 megawatt (MW).
d. Bereken de elektrische energie die de windmolen in één seconde levert.
e. Bereken hoeveel warmte er binnen de windmolen in één seconde ‘verloren’
gaat.
Alle gegevens zijn nu netjes op een rijtje gezet. Door de energie in de
beginsituatie te vergelijken met de eindsituatie zijn de volgend vragen te
beantwoorden:
f. Bereken het rendement van de windmolen. Hoeveel procent van de
kinetische energie van de lucht wordt omgezet in elektrische energie?
g. Bereken de snelheid van de lucht achter de wieken.
Conclusie
Conclusie
In situaties waarbij sprake is van energie-omzettingen geldt ook de wet van
behoud van energie. De totale energie vóór de omzetting moet gelijk zijn aan de
totale energie ná de omzetting.
 Voor de windmolen geldt:
Energie in het begin
Ebeweging
Energie aan het einde Ebeweging + Eelektrisch + warmte
6
Energievergelijking
In dit soort situaties wordt gekeken naar de energie-omzetting van het ene
moment naar het andere moment. Omdat de totale energie aan het begin gelijk
moet zijn aan de totale energie aan het einde kan een energievergelijking
opgesteld worden.
Ebegin  Eeinde
Invullen van formules geeft in het voorbeeld van de windmolen de volgende
energievergelijking:
1
2
 m  vb  12  m  ve  Pelektrisch  t  warmte
2
2
Een energievergelijking kan een handig hulpmiddel zijn om de energie in de
beginsituatie te vergelijken met de energie in de eindsituatie.
3
Kracht en energie bij verticaal versnellen
Bij de lancering bereikte het ruimteveer Discovery na 60 seconde de snelheid
van 1450 km/h, een gemiddelde versnelling van 6,7 m/s². Tijdens deze start had
het ruimteveer een massa van 2.041.166 kilogram.
Bij de lancering spelen drie soorten energie een rol: zwaarte-energie,
bewegingsenergie en de arbeid die de motor levert. De luchtwrijving is te
verwaarlozen.
a. Breng alle energiesoorten overzichtelijk in beeld en geef aan welke
energieomzettingen er plaatsvinden.
b. Vergelijk de situatie vóór de start met de situatie na 60 seconde. Leg uit dat
daarbij de volgende vergelijking geldt:
Figuur 3 – Lancering van het
ruimteveer Discovery
P  t  12  m  v 2  m  g  h
Deze energievergelijking kan gebruikt worden om het vermogen van de motor te
berekenen. Daarvoor ontbreekt nog één gegeven: de hoogte van het ruimteveer
na 60 seconde.
c. Bereken uit de bovenstaande gegevens de hoogte van het ruimteveer na 60
seconde. Neem daarbij aan dat de versnelling constant is.
d. Gebruik de energievergelijking om het vermogen van de motor te berekenen.
Opgaven
4
Uit de bocht
Een auto rijdt met een snelheid van 24 m/s op een nat wegdek. De bestuurder
ziet de bocht te laat en remt voluit. De remkracht is 6,3 kN en de massa van de
auto is 1400 kg. Na 50 m botst de auto tegen een boom.
Vergelijk het moment waarop de auto begint met remmen met het moment vlak
voordat de auto tegen de boom botst.
a. Geef aan welke energie-omzetting er plaats vindt en stel een
energievergelijking op.
b. Bereken de snelheid waarmee de auto tegen de boom rijdt.
Bij de botsing met de boom wordt alle resterende bewegingsenergie omgezet in
warmte en vervorming. De kreukelzone van de auto is 40 cm.
c. Bereken de gemiddelde kracht op de auto tijdens de botsing met de boom.
Figuur 4 – Bij remmen en botsen
speelt energie een belangrijke rol.
7
5
Figuur 5 – De waterkrachtcentrale van Itaipu.
Itaipu waterkrachtcentrale
Op de grens van Brazilië en Paraguay ligt de waterkrachtcentrale van Itaipu. De
stuwdam is een van de grootste ter wereld. De stuwdam bevat 18 buizen
waardoor water naar beneden stroomt. Onderaan elke buis bevindt zich een
generator die elektrische energie levert.
Het water stroomt aan de bovenkant de pijp in met een snelheid van 8,0 m/s en
doorloopt een hoogteverschil van 120 m. De snelheid van het water achter het
schoepenrad is 1,2 m/s. Zie figuur.
a. Welke energieomzettingen vinden hier plaats? Breng de verschillende
omzettingen van energie overzichtelijk in beeld.
Per seconde stroomt er 690 m3 water de pijp in. Het schoepenrad drijft de
generator aan. Elke generator levert een elektrisch vermogen van 7,0∙105 kW.
b. Bereken de zwaarte-energie en de bewegingsenergie van 1 m³ water bij de
bovenste opening van de pijp.
Niet alle beschikbare energie wordt afgegeven aan het schoepenrad, het water
heeft na het schoepenrad een snelheid van 1,2 m/s.
c. Hoeveel energie wordt per seconde afgegeven aan het schoepenrad?
d. Bereken het rendement waarmee een generator de kinetische energie en
zwaarte-energie van het water omzet in elektrische energie.
Figuur 6 – Schematisch overzicht
van een waterkrachtcentrale
8
1 Inleiding
1.2 Toepassing: zwaarte- en bewegingsenergie
6
Hoogspringen en verspringen
Een hoogspringer neemt altijd een aanloop voor zijn sprong. Kennelijk kom je
hoger als je al een horizontale snelheid hebt, ondanks het feit dat de afzet bij
een aanloop lastiger is dan uit stilstand.
Figuur 7 – Met een aanloop spring je hoger
Figuur 8 – Met een sprong
uit stand kom je niet erg
hoog.
Figuur 9 - Carl Lewis won
vele medailles, zowel bij het
verspringen als op de
sprint.
a. Waardoor spring je hoger met een aanloop? Gebruik in je uitleg de energieomzettingen.
Neem aan dat de hoogspringer aan komt lopen met een snelheid van 5 m/s (dat
is 18 km/h) en dat 70% van de bewegingsenergie wordt omgezet in extra hoogte.
De massa van de hoogspringer is 84 kg.
b. Bereken dan de extra hoogte die de springer krijgt door de aanloopsnelheid.
Deze extra hoogte geldt voor het zwaartepunt van het lichaam. Door de
sprongtechniek gaat het zwaartepunt niet over, maar vlak onder de lat door.
c. Ga aan de hand van de foto na of het antwoord op de vorige vraag ongeveer
klopt.
d. Bereken met welke snelheid de hoogspringer over de lat gaat.
Het nemen van een aanloop is dus belangrijk, maar bij hoogspringer is de
aanloopsnelheid niet maximaal zoals bij verspringen.
e. Welk nadeel kleeft er bij hoogspringen aan een maximale snelheid?
In de atletiek zijn verspringers vaak ook goede sprinters. Een goed voorbeeld
daarvan is Carl Lewis. Eén voordeel van een hoge snelheid is dat de springer in
de tijd dat hij door de lucht zweeft een grotere afstand aflegt.
f. Welk ander voordeel kan een verspringer halen uit een grote
aanloopsnelheid?
Van bewegingsenergie naar zwaarte-energie (en
omgekeerd)
In de meest eenvoudige situatie wordt alle bewegingsenergie omgezet in
zwaarte-energie (of omgekeerd) en werken er geen andere krachten op het
voorwerp. De energievergelijking is dan erg eenvoudig:
Ebeweging,begin  E z ,einde
Invullen van de energievergelijking levert:
1
2
 m  v2  m  g  h
Daaruit blijkt dat de massa van het voorwerp geen rol speelt als er geen
andere krachten werken.
9
7
Vallen en botsen
In figuur 28 is weergegeven dat een botsing met een snelheid van 40 km/h
overeen komt met een val van een hoogte van 6 m. Neem aan dat de persoon een
massa van 70 kg heeft.
a. Bereken de bewegingsenergie bij een snelheid van 40 km/h.
b. Ga na dat de zwaarte-energie bij een hoogte van 6 m ongeveer even groot is.
c. Laat zien of leg uit dat de massa geen invloed heeft op de eindsnelheid.
d. Controleer of de informatie in de tekening bij de andere snelheden juist is.
8
Op de foto springt een lid van het duikteam ‘The American Eagles’ van dertig
meter hoog in een zwembadje met een diepte van drie meter. Tijdens hun val
bereiken de acrobaten een snelheid van 96 km/h. Kan dit? Het lijkt ongelooflijk.
Neem aan dat de acrobaten een massa van 70 kg hebben.
a. Bereken de bewegingsenergie van de acrobaat op het moment dat deze het
wateroppervlak raakt.
b. Vanaf welke hoogte moet tenminste gesprongen worden om deze snelheid te
behalen?
c. Het zwembadje is maar 3 m diep. Hoe groot moet de gemiddelde remkracht
onder water dan minstens zijn?
Figuur 10 – Het effect van een
botsing zonder gordel is de
vergelijken met een val vanaf de
aangegeven hoogte.
9
Figuur 11 – Stuntduiken in ondiep
water.
Figuur 12 - Laagste en hoogste punt
tijdens het trampolinespringen. In
beide situaties is de snelheid nul.
Duiken in ondiep water
Inveren bij trampolinespringen
Bij het trampolinespringen is het inveren van de benen voorafgaand aan de afzet
belangrijk. Het zwaartepunt begint dan lager en de afzet duurt langer. In de
onderstaande figuur is de beweging van het zwaartepunt van de springer
weergegeven.
In figuur 40 is links het (v,t)-diagram getekend van de beweging van het zwaartepunt van een trampolinespringer met een massa van 60 kg die het lichaam en
benen stijf houdt. Rechts hetzelfde gedaan als de springer een stuk door de
knieën veert.
Beide diagrammen beginnen als het zwaartepunt op het laagste punt is en
eindigen op het hoogste punt van de sprong.
a. Leg uit dat bij het einde van het diagram (als de snelheid nul is geworden) de
trampolinespringer op het hoogste punt is.
De trampolinespringer komt los op het moment dat de kromme lijn overgaat in
een rechte lijn. De snelheid bij springen met inveren is op dat moment hoger
door de energie van de beenspieren.
b. Bepaal met behulp van de twee grafieken de arbeid die de beenspieren
geleverd hebben.
c. Hoeveel hoger komt (het zwaartepunt van) de trampolinespringer als hij of
zij een stuk door de knieën veert?
10
10 Stuiterende golfballetje
Een golfballetje heeft twee bijzondere eigenschappen: er zitten veel kleine putjes
op het balletje die zorgen voor een lage luchtweerstand en het balletje is hard én
elastisch waardoor het erg goed stuitert. In deze opgave wordt onderzocht
hoeveel energie er verloren gaat bij een stuit.
Een golfballetje wordt van een bepaalde hoogte losgelaten en valt recht omlaag.
Met behulp van videometen is de hoogte van het golfballetje tijdens het stuiteren
vastgelegd. In de onderstaande grafiek is de hoogte van het balletje
weergegeven. Op tijdstip t1 en t2 stuit het balletje op de grond (let op: de ‘grond’
ligt op een hoogte van 0,08 m).
Figuur 13 – De putjes in de golfbal
zorgen voor een lage
luchtweerstand.
t1
t2
Figuur 14 – Grafiek van een stuiterend golfballetje. De ‘grond’ ligt bij h = 0,08 m.
De luchtweerstand is te verwaarlozen. Door energieverlies tijdens de stuit komt
het balletje na elke stuit steeds iets minder hoog.
a. Bepaal aan de hand van de grafiek hoeveel procent het energieverlies is bij
de eerste stuit.
b. Bepaal aan de hand van de grafiek hoeveel procent het energieverlies is bij
de tweede stuit.
c. Beschrijf hoe je het energieverlies zou kunnen bepalen met behulp van de
bewegingsenergie.
11 Kogelstoten
Een kogelstoter stoot een kogel in een rechte lijn onder een hoek van 45° met
het horizontale vlak weg. Doordat de kogelstoter een draaibeweging maakt heeft
de kogel al een snelheid voordat de kogel ‘gestoten’ wordt. Tijdens het
wegstoten neemt de snelheid van de kogel in een tijdsduur van 0,21 s toe van 2,0
tot 6,0 m/s. De luchtwrijving op de kogel is verwaarloosbaar klein. De massa
van de kogel is 5,0 kg.
Figuur 15 – Een kogelstoter
a. Bereken hoe groot de arbeid en het vermogen is dat de kogelstoter levert
tijdens de stoot. Ga daarvoor eerst na welke afstand de kogel tijdens de
stootbeweging aflegde.
11
2 De lucht in!
2.1 Mythbusters katapult
Wat gaan we doen?
Nieuwe begrippen in
deze paragraaf
Veerenergie
Figuur 16 – De Human Catapult
is een systeem om een levende
persoon zo hard omhoog te
schieten dat deze een hoogte
bereikt van meer dan 150 meter.
Hoog genoeg om veilig een
parachute te openen
Het is altijd spectaculair geweest om iets de lucht in te schieten, zeker als
het om levende mensen gaat. In TV-programma’s zoals Mythbusters worden
de grenzen van de mogelijkheden verkend.
In deze situatie spelen naast zwaarte-energie en bewegingsenergie ook de
veerenergie en energieverlies door wrijving een belangrijke rol.
In deze paragraaf zijn de centrale vragen:
 Hoe bepaal je de energie die in een veer of elastiek is opgeslagen?
 Hoe hoog kun je iemand met een katapult de lucht in schieten?
Lancering met een katapult
In het programma Mythbusters is onderzocht of het mogelijk is om iemand met
een grote katapult-installatie de lucht in te schieten om daarna aan een parachute
te landen. Zo’n lancering is spectaculair maar niet zonder gevaar. Als de
testpersoon niet hoog genoeg komt dan kan de parachute niet gebruikt worden.
De Mythbusters gebruikten een testpop en kozen voor een constructie waarbij de
pop in een soort hangmat aan bungeekoorden omhoog geschoten werd. De pop
lag los in de hangmat en kwam op een bepaalde hoogte los van de hangmat
De randvoorwaarden bij de lancering waren:
 De installatie is 30 m hoog. De massa van de testpop is 75 kg
 De bungeekoorden zijn 10 m lang en kunnen uitgerekt worden tot maximaal
driemaal de eigen lengte.
 De versnelling tijdens de lancering mag niet groter zijn dan 60 m/s²
(ongeveer 6g).
Figuur 17 – Verschillende momenten van de lancering van de testpop
Plan van aanpak
Het plan van aanpak bestaat uit:
 De geschikte bungeekoorden uitzoeken.
 Bepalen hoeveel energie er in de koorden opgeslagen kan worden.
 Een schatting maken van de luchtwrijving.
 De maximale hoogte bepalen met een energievergelijking.
12
Uitwerking
12
Het juiste bungeekoord kiezen.
Voor een goede lancering moet eerst de waarde van de veerconstante C van de
twee bungeekoorden bepaald worden. In de onderste stand is de uitrekking en de
kracht op de testpop maximaal. De versnelling moet dan 60 m/s² zijn. De massa
van de testpop is 81 kg
a. Bereken de nettokracht op de testpop bij het begin van de lancering en
bereken daarmee welke kracht de twee bungeekoorden samen moeten
opleveren.
De kracht die de bungeekoorden uitoefenen op de hangmat is niet recht omhoog
gericht, maar maakt een kleine hoek (zie figuur).
b. Bepaal aan de hand van de afmetingen in de figuur de hoek tussen de
spankracht en de verticaal.
c. Laat met een berekening zien dat bungeekoorden met een veerconstante van
150 N/m in deze situatie voor de juiste kracht zorgen.
10 m
30 m
Figuur 18 – De elastieken zijn niet
recht omhoog gericht.
13
De veerenergie bepalen
De bungeekoorden worden op spanning gebracht door de uiteinden van de
katapult omhoog te schuiven. Tijdens het uitrekken van de koorden wordt arbeid
verricht, de energie wordt in het koord opgeslagen. De grootte van de
veerenergie is daarbij gelijk aan de arbeid van de kracht die het koord uitrekt.
a. Leg uit waarom je de arbeid hier niet eenvoudig kunt berekenen door de
formule W  Fveer  s in te vullen.
Het bungeekoord heeft een veerconstante van 150 N/m. Het koord wordt
maximaal 20 m uitgerekt.
b. Teken de grafiek van de veerkracht als functie van de uitrekking.
veerkracht
(N)
5
10
15
20
uitrekking u
(m)
De veerenergie is gelijk aan de arbeid tijdens
het uitrekken. Omdat de kracht
Veerenergie
De energie die opgeslagen
is in een uitgerekte veer
hangt af van de
veerconstante C (in N/m)
en de uitrekking u (in m).
Eveer  12  C  u 2
tijdens het uitrekken niet constant is wordt de arbeid berekend met de
oppervlakte onder de grafiek.
c. Bepaal de oppervlakte onder de grafiek van u = 0 tot u = 20 m. Geef ook de
eenheid van het antwoord.
Het is niet echt handig om steeds de arbeid uit te rekenen met de oppervlakte
onder de grafiek. Een formule is veel handiger: Eveer = ½·C·u².
d. Ga na dat deze formule hetzelfde antwoord oplevert als de oppervlakte onder
de grafiek.
e. Leid de formule voor de veerenergie af uit de grafiek en Fveer = C·u.
13
14
Luchtwrijving
De snelheid is tijdens de lancering natuurlijk niet constant. Om een idee te
krijgen van de snelheid die gehaald kan worden kijken we naar de snelheid die
gehaald wordt op een hoogte van 30 m zonder luchtwrijving.
a. Geef aan welke energie-omzettingen er plaatsvinden tussen de start en op een
hoogte van 30 m en stel een energievergelijking op (zonder wrijving).
b. Bereken daarmee de snelheid op een hoogte van 30 m.
Voor de luchtwrijving geldt de formule: Fw,l  12  cw  A    v 2 .
De luchtdichtheid ρ is 1,2 kg/m³, de cw-waarde van de pop is ongeveer 0,8 en het
frontaal oppervlak is 0,9 m².
Ter vereenvoudiging nemen we aan dat de luchtwrijving tijdens de beweging
constant is. Een goede schatting voor de gemiddelde luchtwrijving is de helft
van de luchtwrijving bij deze snelheid.
c. Laat zien dat een goede schatting voor de gemiddelde luchtwrijving 195 N is.
d. Met welke formule kun je berekenen hoeveel energie er verloren gaat door
de luchtwrijving?
15
De maximale hoogte.
Bij de lancering spelen vier energiesoorten een rol: veerenergie,
bewegingsenergie, zwaarte-energie en warmte (door luchtwrijving). De massa
van de hangmat is te verwaarlozen.
a. Leg uit dat voor het bepalen van de maximale hoogte de bewegingsenergie
niet van belang is.
b. Geef aan welke energie-omzettingen er plaatsvinden tussen de start en het
hoogste punt en stel een energievergelijking op.
c. Bereken daarmee de maximale hoogte.
d. Denk je dat een dergelijke hoogte genoeg is voor het gebruiken van een
parachute om te landen?
Conclusie
Conclusie
Bij deze lancering van het programma Mythbusters spelen veerenergie en
energieverlies door luchtwrijving een belangrijke rol.

Voor de energie die opgeslagen is in een veer geldt: Eveer  12  C  u

Voor het energieverlies door luchtwrijving geldt: W  Fw,l  s

In een situatie waarbij meerdere energiesoorten afhangen van de positie is
het gebruik van een energievergelijking een handig hulpmiddel.
2
Parijs... een basejump vanaf de Eiffel Toren
Basejumpen is een (meestal illegale) stunt waarbij vanaf een hoog gebouw of
andere constructie gesprongen wordt met een parachute. De minimale
spronghoogte is een meter of 60, maar dan moet de parachute wel automatisch
openen.
14
Opgaven
16
Figuur 20 - Een lancering met
katrollen en contragewichten.
Lancering met katrollen
De mythbusters zijn niet tevreden met het resultaat. De maximale hoogte in deze
situatie is onvoldoende. Een nadeel van elastische koorden is dat de kracht
tijdens de lancering snel afneemt. In een nieuw ontwerp maken ze gebruik van
katrollen en een groot contragewicht (in de figuur vereenvoudigd weergegeven).
Met deze constructie lukt het om tijdens de hele lancering, over een afstand van
30 m, een gemiddelde versnelling van 58 m/s² te realiseren (inclusief
luchtwrijving).
a. Bereken met welke snelheid de pop op 30 m hoogte loskomt van de
hangmat.
De pop haalt nu een hogere snelheid. Bij het berekenen van de maximale hoogte
moet daarom rekening gehouden worden met een grotere gemiddelde snelheid.
b. Maak op dezelfde manier als hiervoor een schatting van de gemiddelde
luchtwrijving.
c. Stel een energievergelijking op en bereken hoe hoog de pop maximaal komt
met deze installatie.
d. EXTRA: maak een dynamisch model van deze situatie en onderzoek of de
resultaten die je met de berekeningen gevonden hebt realistisch zijn.
17 Boogschieten
Bij het boogschieten is de boog op te vatten als een veer. Bij een kracht van 170
N is de uitrekking van deze veer 0,40 m. De pijl die met deze gespannen boog in
(vrijwel) horizontale richting wordt weggeschoten, heeft een massa van 21 g.
a. Bereken de veerconstante van de boog.
b. Geef de energievergelijking.
c. Bereken de snelheid van de pijl direct na het wegschieten.
Figuur 21 – Boogschutters.
15
2 De lucht in!
2.2 Border slingshot
Wat gaan we doen?
Nieuwe begrippen in
deze paragraaf
Kromlijnige beweging
Bewegingsvergelijkingen
Parametervoorstelling
Snelheid ontbinden
In het TV-programma’s Mythbusters is onderzocht of het mogelijk is om
mensen met een katapult over de grens van de Verenigde Staten te schieten.
Een dergelijke baan is een kromlijnige beweging, een beweging in twee
richtingen. In de voorgaande situaties ging het steeds om bewegingen in één
richting.
De centrale vragen zijn:
 Hoe kun je een beweging in twee richtingen beschrijven?
 Over welke afstand kun je iemand met een katapult door de lucht
schieten?
Met een katapult de grens over
Een claim die de Mythbusters onderzocht hebben is het verhaal dat illegale
immigranten met een katapult over de grenszone van de VS geschoten worden
en daarbij veilig landen op een stapel zorgvuldig geplaatste matrassen. De
zuidelijke grens van de VS is afgeschermd met hekken en wordt streng bewaakt.
De grenszone is 200 yard (180 m) breed.
De Mythbusters bouwden een reuzenkatapult met twee kranen en een groot
aantal rubber elastieken. De testpop werd onder een hoek van 45º (de ideale
hoek voor lanceringen) weggeschoten.
Figuur 22 - De avonturen van de
Mythbusters zijn te vinden op:
dsc.discovery.com/fansites/mythb
usters/mythbusters.html
Figuur 23 - Twee beeldjes uit aflevering 35, Border slingshot. Te vinden op het internet
Op het rechterbeeldje is te zien dat de rubber elastieken niet meer gespannen
zijn. Er wordt daardoor slechts over een beperkte afstand arbeid verricht.
Tijdens dit experiment lukte het bij lange na niet om een afstand van 200 yard te
halen, laat staan om zo nauwkeurig te mikken dat de pop op de matrassen
terecht kwam.
Plan van aanpak
De baan van de testpop is een beweging in twee richtingen, horizontaal en
verticaal. Het plan van aanpak bestaat uit:
 Hoe wordt een beweging in twee richtingen beschreven?
 Welke krachten werken er? Wat is het effect van die krachten?
 Wat is een realistische afschietsnelheid?
 Welke afstand wordt gehaald bij deze snelheid? Bij welke hoek is de afstand
dan maximaal?
 Hoe groot moet de afschietsnelheid zijn om een afstand van 180 m te halen?
 Is het mogelijk om op die manier mensen over de grens de schieten?
16
Bewegingsvergelijkingen
De bewegingsvergelijkingen beschrijven de positie en de snelheid op elk tijdstip
van de beweging. Voor bewegingen in één richting geldt:
 Bij constante snelheid:
s(t) = v∙t
en
v(t) = constant
 Constante versnelling uit rust:
s(t) = ½∙a∙t²
en
v(t) = a∙t
 Versnelling met beginsnelheid: s(t) = v0∙t + ½∙a∙t² en
v(t) = v0 + a∙t
De vergelijkingen bij een versnelde beweging met beginsnelheid zijn een
combinatie van de beweging met constante snelheid en de versnelde beweging
vanuit rust.
Een kromlijnige beweging is een beweging in (tenminste) twee richtingen. Als
de krachten in beide richtingen constant zijn dan kunnen voor beide richtingen
bewegingsvergelijkingen opgesteld worden.
18
De baan van een projectiel
Voor de berekeningen verwaarlozen we de luchtweerstand, de enige kracht is
dan de zwaartekracht. De baan van een projectiel is te splitsen in een horizontale
beweging en een verticale beweging. Voor elk van de twee richtingen kunnen
bewegingsvergelijkingen opgesteld worden.
a. Welke bewegingsvergelijkingen gelden in de horizontale richting? Leg uit
waarom.
b. Welke gegevens heb je nodig voor deze bewegingsvergelijkingen?
In de verticale richting werkt de zwaartekracht.
c. Welke bewegingsvergelijkingen gelden in de verticale richting? Leg uit
waarom.
d. Welke gegevens heb je nodig voor deze bewegingsvergelijkingen?
De beweging in de verticale richting is te splitsen in een deel dat veroorzaakt
wordt door de beginsnelheid en een deel dat veroorzaakt wordt door de
zwaartekracht.
e. Welke waarde moet ingevuld worden voor de versnelling a? Leg ook uit
waarom dat getal negatief moet zijn in deze situatie.
19 De afschietsnelheid
Beginsnelheid
Bij een projectiel dat
schuin afgeschoten wordt
kan de beginsnelheid vb
gesplitst worden in een
horizontale beginsnelheid
vb,x en een verticale
beginsnelheid vb,y.
vb,y
vb
α
Bij het afschieten wordt over een korte afstand een hoge snelheid bereikt. Ter
vereenvoudiging nemen we aan dat het projectiel al vanaf de grond die snelheid
heeft, dat betekent dat alle veerenergie direct wordt omgezet in
bewegingsenergie.
De installatie heeft een veerconstante C = 360 N/m en de uitrekking u = 10 m.
De persoon die weggeschoten wordt heeft een massa van 80 kg.
a. Bereken de snelheid die met een dergelijke installatie bereikt kan worden.
De lancering van de Mythbusters vond plaats onder een hoek van 45º. De
beginsnelheid vb kan gesplitst worden in een horizontale snelheid vb,x en een
verticale beginsnelheid vb,y.
b. Bereken uit deze gegevens vb,x en vb,y.
c. Leg uit dat de bewegingsvergelijkingen geschreven kunnen worden als:
sx(t) = 15∙t en vx(t) = 15
sy(t) = 15∙t - 4,9∙t² en vy(t) = 15 – 9,8∙t
Bij een andere afschiethoek zullen vb,x en vb,y een andere waarde hebben.
d. Noteer de formules waarmee vb,x en vb,y berekend kunnen worden uit de
afschietsnelheid vb en de afschiethoek α.
vb,x
17
20
Rekenen aan de baan
De bewegingsvergelijkingen bij de lancering van de Mythbusters kunnen
geschreven worden als:
sx(t) = 15∙t en vx(t) = 15
sy(t) = 15∙t - 4,9∙t² en vy(t) = 15 – 9,8∙t
Met deze vergelijkingen moet het mogelijk zijn om bijvoorbeeld het hoogste
punt of de landingspositie te berekenen.
a. Leg uit dat in het hoogste punt geldt: vy(t) = 0
b. Bereken hiermee de positie (x en y) van het hoogste punt.
De belangrijkste vraag is natuurlijk hoe ver het projectiel komt.
c. Leg uit dat in de landingspositie geldt: 15∙t - 4,9∙t² = 0
d. Los de vergelijking op en bereken de afstand die bij deze lancering gehaald
wordt.
e. Wat is nu je conclusie? Haalt deze lancering de overkant van de grens?
21 De afschietsnelheid en de richting
Figuur 24 – Parametervoorstelling
en windowinstellingen.
De lancering van de Mythbusters haalt bij lange na niet de overkant van de
grenszone. Zou dat wel mogelijk zijn met een andere afschietsnelheid en/of een
andere afschiethoek? Om dat te onderzoeken is het handig om de beweging met
de grafische rekenmachine te tekenen. Dat kan door de bewegingsvergelijkingen
als een parametervoorstelling in te voeren.
x(t) = 15∙t
y(t) = 15∙t - 4,9∙t²
a. Stel de GR in op een parametervoorstelling en noteer de
bewegingsvergelijkingen als x(t) en y(t). Kies het juiste window.
b. Teken de baan. Welke afstand haalde het projectiel van de Mythbusters?
Volgens de Mythbusters is de ideale afschiethoek 45º. Dat kan eenvoudig
onderzocht worden.
c. Kies een andere afschiethoek, bijvoorbeeld 30º of 60º. Bereken de
horizontale snelheid vb,x en de verticale beginsnelheid vb,y.
d. Onderzoek welke afstand daarmee gehaald wordt. Kies eventueel ook nog
andere richtingen.
Tot slot is het de vraag met welke snelheid de overkant van de grenszonde wèl
gehaald zou kunnen worden.
e. Verander de waarde van vb,x en vb,y totdat het projectiel een afstand van
ongeveer 180 m haalt. Gebruik alleen hele getallen en zorg dat vb,x en vb,y
even groot zijn.
f. Bij welke waarde voor vb,x en vb,y is de horizontale afstand minstens 180 m?
Als het projectiel voldoende snelheid heeft om een afstand van 180 m te
overbruggen dat ploft het uiteindelijk met een flinke snelheid op de grond. De
totale eindsnelheid is te berekenen uit vb,x en vb,y (met de stelling van
Pythagoras)
g. Bereken de eindsnelheid van het projectiel in km/h.
h. Wat is nu je conclusie? Is een dergelijke lancering realistisch?
Conclusie
Conclusie
Een kromlijnige beweging is te beschrijven door in twee richtingen
bewegingsvergelijkingen op te stellen. De aanpak daarbij is:
 Bepaal in elke richting de nettokracht en bereken daarmee de versnelling.
 Bepaal in elke richting de beginsnelheid.
 Stel de bewegingsvergelijkingen op en gebruik een parametervoorstelling
voor de positie.
18
Opgaven
22 Kogelstoten
Een kogelstoter stoot een kogel in een rechte lijn onder een hoek van 45° met
het horizontale vlak weg. De kogel verlaat de hand van de kogelstoter op een
hoogte van 2,1 m met een snelheid van 6,0 m/s.
a. Bereken aan de hand van deze gegevens de horizontale en de verticale
component van de beginsnelheid, vb,x en vb,y.
b. Bepaal de afstand die deze kogel haalt met behulp van de grafische
rekenmachine in twee significante cijfers.
Voor de hoogte geldt hier: h(t )  2,1  vb, y  t  12  g  t
2
c. Bereken hiermee hoe lang de kogel in de lucht is. Bereken daarmee ook de
afstand die de kogel aflegt.
23 Sprinkhaan
Op de foto is een speelgoedsprinkhaan zichtbaar. Onder het lijf van de
sprinkhaan zit een zuignap, die zich op de ondergrond vastzuigt als je de
sprinkhaan stevig naar beneden drukt. Als de zuignap loslaat springt de
sprinkhaan omhoog doordat zijn poten als veren werken.
Tessa en Suzanne doen onderzoek aan de sprinkhaan. Daarbij is hun
onderzoeksvraag: “Met welke snelheid komt de sprinkhaan los van de grond?
Om een idee te krijgen van de grootte van deze snelheid, laten zij de sprinkhaan
vanaf de grond omhoogspringen. Zij schatten de hoogte die de sprinkhaan
bereikt op 1,0 m. De massa van de sprinkhaan is 6,2 g.
a. Bepaal aan de hand van deze schatting de snelheid waarmee de sprinkhaan
van de grond loskomt.
Tessa en Susanne onderzoeken vervolgens hoeveel arbeid er verricht moet
worden om de veer in te duwen. Tessa duwt de sprinkhaan met behulp van een
krachtmeter omlaag. Bij verschillende waarden van de kracht F meet zij de
indrukking u van de sprinkhaan. Als de zuignap zich vastzuigt, is de sprinkhaan
4,0 cm omlaag geduwd.
Figuur 25 - De grafiek geeft het verband
tussen de veerkracht en de indrukking weer.
Tijdens het indrukken wordt de sprinkhaan 4,0
cm omlaag geduwd.
19
Om de arbeid te berekenen gebruiken Tessa en Susanne ter vereenvoudiging de
stippellijn als ‘meetresultaat’.
b. Hoeveel arbeid is er nodig om deze veer 4,0 cm in te drukken?
c. Bereken met behulp van de veerenergie de snelheid van de sprinkhaan bij het
loskomen van de grond.
24 Jumpen (bron: Examen Natuurkunde Vwo 1994)
Figuur 26 - Voor het bungeekoord
gelden de formules:
Eveer  12  C  u 2
Fveer  C  u
Adriaan wil een bungeejump uitvoeren van een brug die zich 90 m boven de
bodem van een ravijn bevindt. Maar eerst wil hij berekenen of hij niet teveel
gevaar loopt. Hij vraagt zich twee dingen af:
 Hoe diep ligt het laagste punt van de val?
 Wat is de maximale snelheid tijdens de val?
Hij gaat daarbij uit van de volgende gegevens:
De luchtweerstand is verwaarloosbaar; de brug heeft een hoogte van 90 m;
het elastische koord heeft een lengte van 32 m; de veerconstante van het koord is
56 N∙m-1; Adriaan heeft een massa van 75 kg;
a. Welke energie-omzettingen treden er op tijdens de val?
Om de maximale snelheid is berekenen kijkt Adriaan naar het punt dat het koord
voor het eerst gespannen is: na 32 m vallen op een hoogte van 58 m.
b. Bereken de snelheid na 32 m vallen met behulp van energie.
Dan realiseert Adriaan zich dat de bungeejumper blijft versnellen tot de
veerkracht even groot is als de zwaartekracht.
c. Ga na dat de maximale snelheid bereikt wordt op een hoogte van 45 m, als
het koord 13 m uitgerekt is.
d. Bereken de maximale snelheid die Adriaan tijdens de val bereikt.
In het laagste punt is alle energie die is omgezet opgeslagen in de veer. Voor de
2
veerenergie geldt Eveer  12  C  u . Adriaan heeft dan een totale afstand
afgelegd van 32 m plus de uitrekking u van de bungeekoorden.
e. Hoeveel zwaarte-energie is er omgezet? Stel een formule op.
f. Bereken met deze formule op welke hoogte het laagste punt van de val van
Adriaan ligt.
20
3 De ruimte in!
3.1 Op reis in de ruimte
Wat gaan we doen?
Nieuwe begrippen in
deze paragraaf
Gravitatie-energie
Ontsnappingsarbeid
Oppervlaktemethode
Primitiveren
Voor een reis in de ruimte is veel energie nodig, kijk maar naar de enorme
brandstoftanks van raketten. Voor een bemande reis naar Mars (en terug) is
dus nog veel meer energie nodig.
Een deel van de energie wordt gebruikt om te ontsnappen aan de
aantrekkingskracht van de aarde. Deze soort energie wordt de gravitatieenergie genoemd (het begrip zwaarte-energie geldt alleen aan het oppervlak
van de aarde, waar de zwaartekracht constant is).
De centrale vragen zijn:
 Hoe bepaal je de gravitatie-energie?
 Hoeveel energie is er nodig voor een reis naar Mars?
Oriëntatie: raketten en brandstof
In de Verenigde Staten wordt gewerkt aan een plan voor een bemande reis naar
Mars. Alleen de heenreis al duurt een half jaar. Eén van de problemen bij die
missie is de energie die nodig is voor een retourtje Mars.
Om een idee te krijgen van de hoeveelheid brandstof: Het ruimteveer Discovery
heeft voor een reisje naar het ruimtestation ISS (op een hoogte van ‘slechts’ 342
km) al een enorme hoeveelheid brandstof nodig. Het ruimteveer heeft een massa
van 127 ton, de gevulde brandstoftanks zijn 1900 ton. De tanks zijn daarmee
vijftien keer zo zwaar zijn als het ruimteveer zelf.
Figuur 27 - In november 2007
bevond het ruimtestation zich op
een hoogte van ongeveer 342 km.
De massa van alle reeds geplaatste
modules samen bedraagt 208 ton
en het heeft een inhoud van 499
m³. Elke dag daalt het vaartuig
ongeveer 100 meter, waardoor
continu moet worden gecorrigeerd.
De gemiddelde snelheid bedraagt
27.744 km/h. In ongeveer 91,2
minuten draait het ISS om de
Aarde..
Figuur 28 - Het ruimteveer Discovery heeft drie motoren die gevoed worden door de grote
brandstoftank met vloeibaar waterstof en zuurstof. Aan de zijkant zitten twee vaste
brandstoftanks. Voor de reizen naar de maan (op de foto staat de Apollo 11) was nog meer
brandstof nodig.
Gravitatie-energie en ontsnappingsarbeid
Als het ruimteveer omhoog gaat dan beweegt het tegen de gravitatiekracht in.
De gravitatie-energie neemt dan toe. Uit het bovenstaande blijkt dat er 15 kg
brandstof nodig is om een voorwerp 1 kg naar de hoogte van het ISS te brengen.
Een groot deel van de verbrandingsenergie gaat daarbij verloren, slechts een
klein deel wordt omgezet in gravitatie-energie.
Als er voldoende arbeid op het voorwerp wordt verricht dan kan het zelfs
‘ontsnappen’ aan de aantrekking van de aarde. Daarmee wordt bedoeld dat het
voorwerp voldoende energie heeft om nooit meer terug te keren.
Daarnaast zal het ruimtevaartuig ook een grote hoeveelheid bewegingsenergie
moeten hebben.
21
25 Plan van aanpak
De hoeveelheid brandstof hangt natuurlijk ook af van de massa van het
ruimtevaartuig zelf. Het plan van aanpak bestaat uit:
 Bepaal hoeveel gravitatie-energie er nodig is om een voorwerp met een
massa van 1 kg vanaf de aarde de ruimte in te brengen.
 Bepaal de snelheid die nodig is voor een reis naar Mars in een half jaar en
bereken daarmee de bewegingsenergie voor een voorwerp van 1 kg.
 Vergelijk de totale energie met de energie die nodig is om zo’n voorwerp in
de baan van het ruimteveer ISS te brengen.
 Gebruik een schatting van de massa van het ruimtevaartuig dat naar Mars
vertrekt en vergelijk dat met het ruimteveer om een schatting te maken van
het aantal kg brandstof dat nodig is om een reis naar Mars te maken
Figuur 29 - De Amerikaanse
vlag op de maan. De
astronauten moeten ook nog
veilig naar huis terug.
Naar een formule voor de gravitatie-energie
De gravitatiekracht is niet constant maar neemt snel af naarmate je verder van de
aarde komt. Het ruimtevaartuig moet tegen die kracht in bewegen en de arbeid
daarbij is gelijk aan de toename van de gravitatie-energie. In de onderstaande
grafiek is te zien hoe de gravitatiekracht op een voorwerp van 1 kg afneemt
naarmate het verder van de aarde komt.
aardoppervlak: 9,8 N/kg
baan ISS: 8,8 N/kg
Gravitatiekracht
Voor de aantrekkingskracht van de aarde geldt:
FG  G 
geostationair: 0,22 N/kg
M aarde  m
r2
G = 6,673·10-11 N·m²/kg²
M aarde = 5,976·1024 kg
r = afstand tot het midden
van de aarde (m)
Raarde = 6,378.106 m
Figuur 30 – Het verband tussen de gravitatiekracht en de afstand tot het middelpunt van de
aarde.
Op de hoogte van het ISS (342 km) is de gravitatiekracht afgenomen tot 8,8
N/kg. Bij communicatiesatellieten (een geostationaire baan) bedraagt de
aantrekking van de aarde nog maar 0,22 N/kg.
De toename aan gravitatie-energie is gelijk aan de oppervlakte onder de grafiek
(arbeid = kracht×verplaatsing). Duidelijk is dat om te ontsnappen veel meer
energie nodig is dan om bij het ISS te komen.
26
Arbeid om weg te komen
Volgens het plan moet de arbeid om te ontsnappen vergeleken worden met de
arbeid om bij het ISS te komen.
a. Bepaal de oppervlakte onder de grafiek tussen het aardoppervlak en de baan
van het ISS. Noteer het antwoord in MJ (de schaal langs de horizontale as is
in 106 m, het ISS zit op een hoogte van 0,342·106 m).
De grafiek loopt niet verder dan 50·106 m, maar daar houdt de gravitatiekracht
nog niet op. Om de ontsnappingsarbeid te bepalen moet de grafiek oneindig ver
doorlopen.
b. Maak eerst een ruwe schatting van het oppervlak onder de totale grafiek.
Geef het antwoord in MJ.
De wiskunde biedt voor het bepalen van de oppervlakte twee oplossingen.
Benaderen met behulp van een grafische rekenmachine of integreren (door de
primitieve te bepalen). Kies één van de twee oplossingen of bekijk ze beide.
22
27 Oppervlaktemethode met de GR
Met de grafische rekenmachine is de oppervlakte te berekenen door de formule
voor de gravitatiekracht te integreren. Invullen van de gegevens van de aarde in
de formule voor de gravitatiekracht geeft:
FG  G 
M aarde  1
1
 3,99  1014  2
2
r
r
Hierbij is r de afstand in m.
a. Noteer deze formule als Y1=3,99E14*1/x².
b. Stel het juiste WINDOW in (x van 0 tot 50E6 en y van 0 tot 10) en teken de
grafiek van FG.
c. Gebruik het CALC-menu om de oppervlakte onder de grafiek te berekenen
van r = 6,38·106 tot r = 50·106.
d. Vergroot het eindpunt van de integraal met een factor 10 (kies ook een ander
window) en bepaal opnieuw de integraal. Herhaal dit tot de waarde
nauwelijks meer toeneemt. Noteer het resultaat in MJ.
28 Oppervlaktemethode door primitiveren
Voor het integreren is het nodig om eerst de primitieve van de formule voor de
kracht te bepalen.
a. Wat is de primitieve van f ( x) 
1
?
x2

b. Bepaal de integraal
G  M
r
aarde
m
1
dx
x2
De integraal levert rechtstreeks een formule voor de arbeid die nodig is om te
ontsnappen vanuit een willekeurig punt op afstand r van het midden van de
aarde.
c. Gebruik deze formule voor de arbeid om voor een voorwerp met m = 1 kg
de ontsnappingsenergie te berekenen vanaf de aarde. Noteer het antwoord in
MJ.
d. Vergelijk het antwoord met het resultaat van de GR.
Figuur 31 – Oppervlaktemethode
met de grafische rekenmachine
29
Bewegingsenergie
De geplande ruimtereis naar Mars duurt een half jaar. Om voldoende snelheid te
ontwikkelen is ook energie nodig. De kortste afstand van de aarde naar Mars is
7,8·1010 m.
a. Bereken de snelheid die het ruimtevaartuig moet hebben.
b. Bereken hoeveel bewegingsenergie een voorwerp van 1 kg bij die snelheid
heeft.
c. Het ISS heeft een snelheid van 27.744 km/u. Bereken hoeveel
bewegingsenergie een voorwerp van 1 kg bij die snelheid heeft (de
bewegingsenergie op het aardoppervlak is te verwaarlozen).
d. Noteer alle resultaten van de berekeningen overzichtelijk in een tabel.
Voor een voorwerp met
een massa van 1 kg
Gravitatie-energie
(MJ)
Bewegingsenergie
(MJ)
Reis naar het ISS
Reis naar Mars
e. Vergelijk de totale energie voor een reis naar het ISS met de energie voor een
reis naar Mars. Hoeveel keer zoveel energie is er nodig voor de Mars-reis?
23
30 Brandstof voor de Mars-reis
Een belangrijk probleem voor de Mars-reis is dat er ook een lancering vanaf
Mars plaats moet vinden. De brandstoftanks en de lanceerinstallatie die daarvoor
nodig zijn zullen vanaf de aarde meegenomen moeten worden. De massa van het
vaartuig dat na de lancering vanaf de aarde op reis gaat naar Mars zal naar
verwachting zo’n 2.000 ton zijn. Voor het ruimteveer, met een massa van 127
ton, zijn brandstoftanks nodig van 1900 ton voor een reis naar het ISS.
a. Maak met deze gegevens een schatting van de massa van de brandstoftanks
die nodig zijn om 2.000 ton naar het ISS te brengen.
b. Hoe groot zijn nu de brandstoftanks voor de reis naar Mars? Bereken de
massa van de gevulde tanks met behulp van de gevonden verhoudingen.
31 Ontsnappingsarbeid en gravitatie-energie
Figuur 32 - Restanten van het
hitteschild van de Marslander
Rover
Met de oppervlaktemethode is de arbeid bepaald die nodig is om te ontsnappen.
Die arbeid is gelijk aan de toename van de gravitatie-energie. Wat wordt nu de
formule voor de gravitatie-energie?
Bij zwaarte-energie wordt het nulpunt meestal gekozen op de grond, bij
gravitatie-energie ligt het nulpunt juist oneindig ver weg. Als het ruimtevaartuig
heel ver van de aarde dan is de gravitatie-energie nul.
a. Leg uit dat door deze keuze de gravitatie-energie altijd negatief is.
b. De gravitatie-energie wordt ook wel gezien als een energieschuld. Kun je
uitleggen waarom?
De formule voor de ontsnappingsarbeid geeft aan hoeveel energie er moet
worden toegevoerd om oneindig ver van de aarde te komen.
c. Leg uit dat daaruit volgt dat Egrav  G 
M aarde  m
r
Conclusie
Conclusie
We hebben nu gezien dat:
 Bij een reis in de ruimte spelen gravitatie-energie en bewegingsenergie een
belangrijke rol.
M aarde  m
.
r

Voor de arbeid die nodig is om te ontsnappen geldt: W  G 

De gravitatie-energie neemt toe naarmate het voorwerp verder van de aarde
komt. De formule geeft altijd een negatieve waarde, de grootte van de
gravitatie-energie geeft aan hoe groot de ontsnappingsenergie is.

Voor de gravitatie-energie geldt: Egrav  G 
M aarde  m
.
r
Een formule voor gravitatie-energie
Er is energie nodig om weg te komen van de aarde. Naarmate een voorwerp
verder van de aarde komt neemt de gravitatie-energie toe. Het nulpunt voor de
gravitatie-energie is niet op het aardoppervlak gekozen maar juist oneindig
ver weg. Dichter bij de aarde is de gravitatie-energie altijd negatief.
De gravitatie-energie wordt ook wel de bindingsenergie (of energieschuld)
genoemd. Hoe dichter het voorwerp bij de aarde is, des te sterker is het
gebonden en des te groter (en negatief) is de gravitatie-energie.
De formule voor gravitatie-energie is: Egrav  G 
M aarde  m
r
De arbeid die nodig is om een voorwerp naar een positie verder van de aarde
te brengen is gelijk aan het verschil in gravitatie-energie tussen de twee
posities.
24
Opgaven
32 Ontsnappingssnelheid
Als een voorwerp vanaf het aardoppervlak recht omhoog wordt gegooid dan valt
het meestal weer terug naar aarde. Als het voorwerp echter voldoende snelheid
heeft dan kan het ontsnappen aan de aarde.
Bereken de snelheid die een voorwerp tenminste moet hebben om te kunnen
ontsnappen aan de aarde. Verwaarloos de luchtwrijving.
33 Geostationaire baan
Communicatiesatellieten draaien meestal in een geostationaire baan (zie kader).
De zwaarste satelliet is de Anik-F2, met een massa van 5950 kg, die gebruikt
wordt voor breedband internetverbindingen.
a. Bereken de gravitatie-energie van de Anik-F2 aan het aardoppervlak.
b. Bereken de arbeid die nodig is om de Anik-F2 te verplaatsen van het
aardoppervlak naar de geostationaire baan. Gebruik daarbij de formule voor
de gravitatie-energie.
c. Bereken de bewegingsenergie van de Anik-F2 in de geostationaire baan.
Voor de lancering, aan het aardoppervlak, heeft de satelliet een snelheid die
gelijk is aan de draaisnelheid van de aarde. Een punt op de evenaar legt daardoor
in 24 uur een afstand van 40.000 km af.
d. Bereken de bewegingsenergie van de Anik-F2 aan het aardoppervlak.
e. Bereken hoeveel energie er in totaal nodig is om deze satelliet vanaf de aarde
in een geostationaire baan te brengen.
Figuur 33 – De satelliet Anik-F2.
Geostationaire baan
In 1945 werd ontdekt dat als een satelliet in een baan om de aarde draait met
een straal van 42.242 kilometer, de omlooptijd gelijk is aan die van de aarde
(23,93 uur). Een satelliet die in zo’n baan boven de evenaar draait heeft vanaf
de aarde gezien steeds dezelfde positie (geostationair). Deze satellieten zijn
zeer geschikt voor communicatie. De satellieten vliegen met een snelheid van
ongeveer 11.700 km/u, maar lijken vanaf de aarde heel stil te hangen. De
satelliet is altijd beschikbaar en schotelantennes kunnen er blijvend op gericht
worden.
25
3 De ruimte in!
3.2 Satellietbanen
Wat gaan we doen?
Nieuwe begrippen in
deze paragraaf
Satellietbaan
Cirkelbaan
Middelpuntzoekende kracht
Omlooptijd
De baan van een satelliet is een voorbeeld van een kromlijnige beweging.
Satellieten hebben wel een motor, maar die wordt alleen gebruikt om bij te
sturen als de satelliet een beetje uit de baan is geraakt.
Satellieten draaien in banen op verschillende hoogte rond de aarde.
Sommige satellieten staan ver weg, andere vrij dichtbij. De snelheid
waarmee de satellieten ronddraaien verschilt ook. Sommige satellieten lijken
stil te hangen, andere draaien in twee uur rond de aarde.
De centrale vragen zijn:
 Hoe kan een satelliet rondjes draaien zonder motor?
 Welke snelheid moet een satelliet hebben?
De baan van een satelliet
Een satelliet kan zonder motor rondjes draaien rond de aarde, maar alleen als de
satelliet daarvoor precies de juiste snelheid heeft. De verklaring daarvoor is te
zien in de figuren hiernaast.
Vanaf het topje van een berg wordt een voorwerp horizontaal weggeschoten en
komt wat verder op de aarde terecht (baan 1). Wordt het met een grotere
snelheid weggeschoten dan komt het nog verder (baan 2).
In baan 3 is de snelheid zo groot, dat de kromming van zijn baan even groot is
als die van de aarde. Dat wil dus zeggen dat het voorwerp om de aarde draait:
het is dan een satelliet geworden. Voor een cirkelbaan is het noodzakelijk dat de
snelheid past bij de gravitatiekracht op die hoogte.
Figuur 34 – Als de snelheid precies
groot genoeg is wordt de baan een
cirkel.
Figuur 35 - Als de snelheid te groot
is dan wordt de baan een ellips of het
voorwerp ‘ontsnapt’ van de Aarde
34 De ‘motor’ van een satelliet
Een satelliet kan zonder motor rondjes draaien rond de aarde, maar dat wil niet
zeggen dat er geen kracht is die op de satelliet werkt.
a. Hoe zou de satelliet bewegen als er opeens geen enkele kracht zou werken?
b. Welke kracht zorgt voor de beweging van satelliet?
Volgens Newton zorgt een kracht voor een snelheidsverandering. Als de kracht
naar voren gericht is dan is dat een versnelling, als de kracht naar achteren werkt
een vertraging.
c. Bij een satelliet verandert alleen de richting van de snelheid. Waardoor komt
dat?
Voor een cirkelbaan is dus een kracht nodig. Die kracht moet loodrecht op de
snelheid werken, in de richting van het middelpunt van de cirkel. Deze kracht
wordt de middelpuntzoekende kracht Fmpz genoemd. Daarvoor geldt:
Middelpuntzoekende kracht:
Fmpz 
m  v2
r
Voor de duidelijkheid: de formule geeft aan hoeveel kracht er nodig is. Deze
kracht moet geleverd worden door andere voorwerpen.
d. Hoe groot is de kracht om een voorwerp met een massa m = 1,0 kg en een
snelheid v = 1,0 m/s in een cirkelbaan met straal r = 1,0 m te houden?
26
35 De snelheid van satellieten rond de aarde
Het spacestation ISS bevindt zich op 342 km boven het aardoppervlak. De
afstand tot het midden van de aarde is dan 6,72·106 m. In 2008 bedroeg de totale
massa van het ISS 2,8·105 kg.
In deze situatie zorgt alleen de zwaartekracht voor de beweging, de
zwaartekracht ‘levert’ de middelpuntzoekende kracht.
a. Bereken de gravitatiekracht op het ISS (gebruik dat hier geldt g = 8,8 N/kg).
b. Hoe groot is de middelpuntzoekende kracht op het ISS?
c. Bereken welke snelheid het ISS moet hebben om in deze baan te blijven.
De snelheid van het ISS neemt heel langzaam af omdat er op die hoogte toch
nog een klein beetje wrijving is.
d. Wat gebeurt er met de baan van het ISS als de snelheid afneemt?
e. Op welke manier wordt dat verholpen?
36 De invloed van de massa
De snelheid waarmee een satelliet rond de aarde moet draaien hangt alleen af
van de hoogte van de baan. De massa van de satelliet is niet belangrijk.
a. Leg in je eigen woorden uit waarom de massa van de satelliet niet belangrijk
is.
Dit effect wordt duidelijker door een formule voor de snelheid af te leiden.
b. Leg in je eigen woorden uit dat voor een cirkelbaan geldt: Fmpz = FG.
c. Vul in deze vergelijking de formules voor Fmpz en FG in en laat zien dat je
2
deze vergelijking kunt schrijven als: v  r  G  M aarde
In deze formule is ook te zien dat de snelheid van de satelliet wèl afhangt van de
massa van de aarde. Omdat deze formule ook geldt voor bijvoorbeeld de maan
kan de formule ook gebruikt worden om de massa van de aarde te ‘meten’.
De maan draait in 27,32 dagen rond de aarde op een afstand van 384,4·106 m
d. Bereken de snelheid waarmee de maan om de aarde draait.
e. Bereken uit deze gegevens de massa van de aarde. Klopt het antwoord met
BINAS?
Cirkelbaan rond de aarde
Het ISS draait met een hoge snelheid om de aarde. Het ruimtestation moet
zo’n grote snelheid hebben omdat het anders naar beneden zou vallen. Bij die
snelheid is de zwaartekracht precies groot genoeg om het ruimtestation ‘de
bocht om te trekken’ (zonder zwaartekracht zou het in een rechte lijn
wegvliegen).
Voor de gravitatiekracht en de baansnelheid gelden bekende formules:
Gravitatiekracht van de aarde:
Omloopsnelheid en omlooptijd:
M aarde  m
r2
2  r
v
T
FG  G 
Voor een cirkelbaan is een kracht nodig. Deze kracht wordt de
middelpuntzoekende kracht Fmpz genoemd.
Middelpuntzoekende kracht:
Fmpz 
m  v2
r
De gravitatiekracht is de enige kracht die op het ruimtestation werkt, er geldt
dus Fmpz = FG. Dat betekent niet dat twee krachten elkaar opheffen, de
gravitatiekracht levert de kracht die nodig is voor een cirkelbeweging.
27
Conclusie
Conclusie
We hebben nu gezien dat:
 Voor een cirkelbeweging met constante snelheid is een kracht nodig die
gericht is naar het midden van de cirkel, de middelpuntzoekende kracht.
m  v2
.
r

Voor de middelpuntzoekende kracht geldt Fmpz 

Bij satellieten en alle andere hemellichamen die rond een (veel zwaarder)
hemellichaam draaien geldt dat de gravitatiekracht zorgt voor de
middelpuntzoekende kracht.
Satellieten moeten een vaste snelheid hebben die alleen afhangt van de
hoogte van de baan rond de aarde.


Daarbij geldt v  r  G  M . In deze formule is M de massa van het
hemellichaam waar het andere voorwerp omheen draait. Deze formule wordt
in de astronomie gebruikt om de massa van planeten of sterren te bepalen.
2
Satellietbanen rond de aarde
Elke satelliet moet een snelheid hebben die precies past bij de baan van de
satelliet. Bij elke hoogte hoort een bepaalde snelheid en omloopstijd. Het
verband tussen omlooptijd en de afstand tot de aarde is af te leiden:
M
m
m  v2
Uit Fmpz  FG volgt
 G  aarde
2
r
r
2
Vereenvoudigen geeft: v  r  G  M aarde
De omlooptijd van de satelliet volgt uit: v 
2  r
T
Opgaven
37 Cirkelbanen van hemellichamen
De aarde beschrijft in 365,26 dagen een vrijwel cirkelvormige baan rond de zon
op een afstand van 1,496·1011 m.
a. Bereken uit deze gegevens de massa van de Zon.
De planeet Mars draait met een snelheid van 24,1 km/s in een vrijwel
cirkelvormige baan rond de zon.
b. Bereken de straal van de baan van Mars rond de Zon en de omlooptijd.
Een satelliet met een massa van 2,1·10³ kg draait op een hoogte van 10,4·10³ km
boven het aardoppervlak in 6,0 uur rond de aarde.
c. Bereken de grootte van de middelpuntzoekende kracht die nodig is om de
satelliet in zijn baan om de aarde te houden.
38 Omlooptijd en afstand
Van een bepaalde satelliet is bekend dat omlooptijd 14,4 uur bedraagt. Op welke
hoogte bevindt deze satelliet zich? Hoe groot is de snelheid? Dat moet te
bepalen zijn uit de formules v  r  G  M aarde en v 
2
2  r
T
a. Leg uit waarom deze vragen niet te beantwoorden zijn door de omlooptijd in
te vullen in een van deze twee formules.
b. Substitueer de formule voor de snelheid en leid daarmee een nieuwe relatie
af tussen T en r.
c. Bereken daarmee de hoogte van de satelliet en de snelheid.
28
39 GPS-satellieten
Satellieten van het Galileo GPS-netwerk hebben een massa van 525 kg en
worden in een baan op een hoogte van 23.222 km boven het aardoppervlak
gebracht.
a. Bereken de snelheid die de satellieten in deze baan hebben.
b. Bereken de bewegingsenergie en de gravitatie-energie van een satelliet.
Bij de lancering wordt gebruik gemaakt van de draaiing van de aarde. Voor de
lancering is de snelheid van de satelliet daardoor 370 m/s
c. Bereken hoeveel energie er aan de satelliet moet worden toegevoegd om
deze vanaf de aarde in de GPS-baan te brengen.
Figuur 36 – Het GPS-netwerk van
Galileo.
Figuur 37 - In juli 2001 werd de
communicatiesatelliet Artemis
door de ESA met een Ariane 5
raket.
40 Gravitatie-energie
De satelliet Artemis werd in juli 2001 gelanceerd door de ESA en in een
geostationaire baan rond de aarde gebracht. De massa van Artemis bedraagt
3100 kg.
a. Bereken hoeveel arbeid er tegen de zwaartekracht in verricht moet worden
om deze satelliet in een geostationaire baan te brengen.
Het ruimtestation ISS bevindt zich op een hoogte van ongeveer 342 km. De
massa van alle reeds geplaatste modules samen bedraagt 208 ton en het heeft
een inhoud van 499 m³. Elke dag daalt het vaartuig ongeveer 100 meter,
waardoor continu moet worden gecorrigeerd. De gemiddelde snelheid bedraagt
27.744 km/u.
b. Bereken hoeveel energie er elke dag nodig is om de daling te corrigeren.
41 Dubbelster
Twee sterren S1 en S2 vormen een dubbelster: ze bewegen in cirkelvormige
banen rond een gemeenschappelijk middelpunt M. De omlooptijd T is voor
beide sterren gelijk. De onderlinge gravitatiekracht houdt elk van de sterren in
hun cirkelbaan en levert dus de benodigde middelpuntzoekende kracht.
a. Leg uit dat de middelpuntzoekende kracht op beide sterren even groot is.
b. Stel dat r1 twee keer zo groot is als r2. Leg uit dat de baansnelheid van S1 dan
ook twee keer zo groot moet zijn als de baansnelheid van S2.
Bij een dubbelster geldt het volgende verband tussen de massa en de baanstraal
van de twee sterren: m1·r1 = m2·r2.
c. Toon dit aan. Beredeneer dat de ster met de grootste massa de baan met de
kleinste straal doorloopt.
Uit metingen aan de beide sterren volgt een omlooptijd T van 2,5·109 s, een
baansnelheid v1 van 4,8 km/s en een baansnelheid v2 van 2,4 km/s.
d. Bereken bij elk van de sterren de afstand r tot het zwaartepunt.
De onderlinge gravitatiekracht moet elk van de sterren in een cirkelbaan laten
bewegen.
2
Figuur 38 – Bij een dubbelster
draaien beide sterren om het
gezamenlijk zwaartepunt M.
v2
m1
G
r
( r1  r2 ) 2
Leg uit dat voor S2 geldt: 2
e. Bereken de massa van elk van de sterren.
29
4 Explosies en botsingen
4.1 De voortstuwing van raketten
Wat gaan we doen?
Nieuwe begrippen in
deze paragraaf
Voortstuwing, stuwkracht
Explosie
Hoeveelheid beweging
Impuls(verandering)
In het voorgaande hebben we gezien dat raketten erg veel energie gebruiken.
Slechts een klein deel van die energie is nodig om de ruimte in te komen.
Hoe zit dat eigenlijk? Om die vraag te kunnen beantwoorden moeten we wel
eerst weten hoe de voortstuwing van een raket werkt en op welke manier de
stuwkracht van de raket bepaald kan worden.
De centrale vragen zijn:
 Hoe werkt de voorstuwing van een raket in de ruimte?
 Hoe is de stuwkracht van de motor te bepalen?
 Waarom is het rendement van de voortstuwing zo laag?
Oriëntatie: Energie bij de lancering
Bij de lancering van een raket is het vrij normaal dat de massa van de brandstof
15 tot 30 keer zo groot is als de massa van het voorwerp dat in de ruimte
gebracht wordt. De verbrandingswarmte is daarbij zelfs 50 tot 100 keer zo groot
als het totaal aan gravitatie- en bewegingsenergie die aan het ruimtevoorwerp
wordt toegevoegd.
Eén van de oorzaken van de energieverspilling is het feit dat de brandstof zelf
ook de lucht in gaat. Er moet dus veel meer massa de lucht in dan alleen het
ruimtevoorwerp.
42 Het principe van voortstuwing
Figuur 39 – Een waterraket wordt
voortgedreven door luchtdruk.
Een andere oorzaak ligt in het principe van de werking van een raketmotor. Een
raketmotor werkt net zoals een vuurpijl of een waterraket. Op de afbeelding in
de kantlijn zie je het principe weergegeven.
a. Kun je aan de hand van deze foto uitleggen waar naartoe de energie
‘verdwijnt’?
Om in beweging te komen is een kracht nodig. Als je loopt dan zet je jezelf af
tegen de grond, een vis zet zich af tegen het water en een vogel zet zich af tegen
de lucht. Hoe doet een raket dat? In de ruimte is toch niets om tegen af te zetten?
b. Waartegen zet een waterraket zich af?
c. Leg in je eigen woorden uit hoe het principe van een raketmotor werkt. Kijk
daarbij naar het voorbeeld van de waterraket die werkt op samengeperste
lucht in de fles.
Plan van aanpak
Het plan van aanpak bestaat uit:
 Welke factoren bepalen de stuwkracht van de motoren?
 Hoe kun je met deze factoren de grootte van de stuwkracht bepalen?
 Wat gebeurt er met de energie? Hoeveel energie gaat er in de uitgestoten
brandstof zitten?
30
43 Het principe van een raketmotor
Bij een raket komt er geen water maar verbrandingsgas uit de uitlaat. De uitstoot
van deze gassen zorgt voor de voorstuwende kracht van de motor. Eén van de
factoren die de stuwkracht bepalen is de snelheid waarmee het gas uitgestoten
wordt. Hoe hoger de snelheid des te groter de stuwkracht.
a. Welke andere factor heeft, naast de snelheid waarmee het gas uitgestoten
wordt, invloed op de voortstuwende kracht van de motor?
De werking van een raketmotor lijkt op het afschieten van een kogel met een
geweer. Door de explosie ontstaat in de ruimte binnen het geweer een grote
druk. Deze druk zorgt voor een kracht op de kogel. Door de explosie ontstaat
ook een kracht die het geweer naar achteren duwt (de terugslag).
Figuur 40 – Door de explosie in een geweer wordt de kogel afgeschoten
b. Leg uit dat de kracht op de kogel even groot is als de kracht van de explosie
naar achteren op het geweer (de terugslag).
Dezelfde explosie zorgt voor de terugslag van het geweer, maar het geweer
krijgt een veel kleinere snelheid dan de kogel.
c. Waardoor is de snelheid van het geweer veel lager?
Lees het onderstaande theorieblok over explosie en snelheidsverandering.
Daarin staat dat een kracht zorgt voor een verandering van de hoeveelheid
beweging m·Δv
d. Leg in je eigen woorden uit dat bij een explosie tussen twee voorwerpen de
waarde van m·Δv voor beide voorwerpen even groot moet zijn.
e. Leg uit dat voor de snelheden van de kogel en van het geweer geldt dat de
snelheid omgekeerd evenredig is met de massa.
Bij botsingen en explosies geldt het principe van impulsbehoud of
impulsoverdracht. In de figuur in de kantlijn is dat principe weergegeven met
een formule
f. Leg uit wat met de formule in deze figuur bedoeld wordt.
m×
ΔV=M×Δv
Explosie en snelheidsverandering
Bij een explosie tussen twee voorwerpen (bijvoorbeeld de raket en de
brandstof) is de kracht op beide onderdelen even groot. Bovendien werkt de
kracht gedurende dezelfde tijd op beide voorwerpen.
Als een kracht F gedurende een tijdje Δt op een voorwerp werkt dan neemt de
snelheid van het voorwerp toe met Δv. De snelheidstoename hangt ook af van
de massa.
v
t
Dit kan ook geschreven worden als: F  t  m  v
Voor de snelheidstoename geldt: F  m  a  m 
Hier staat dus: Als een kracht F gedurende een tijdje Δt op een voorwerp
werkt dan zorgt dat voor een verandering van de hoeveelheid beweging,
uitgedrukt als m·Δv.
Bij een explosie is m·Δv voor beide voorwerpen gelijk. Bij het voorwerp met
de grootste massa m zal de snelheidsverandering Δv het kleinst zijn.
31
Energie of impuls?
Bij een explosie (of botsing) verandert de hoeveelheid beweging van beide
voorwerpen. De hoeveelheid beweging wordt ook wel de impuls van een
voorwerp genoemd.
Bij botsingen en explosies is impuls een veel belangrijker begrip dan energie.
Het principe van behoud van impuls of impulsoverdracht geldt in elke situatie.
Het principe van behoud van energie is natuurlijk ook altijd geldig, maar vaak
gaat een deel van de energie ‘verloren’ aan wrijving of warmte.
Impuls en impulsbehoud
Bij een explosie of botsing blijft niet altijd de energie constant maar wel de
hoeveelheid beweging. Voor de hoeveelheid beweging wordt het woord
impuls gebruikt.
impuls p  m  v
Een kracht zorgt voor een verandering van de impuls van een voorwerp.
F∙Δt = impulsverandering = m∙Δv
Bij een explosie of botsing is voor beide voorwerpen de verandering in de
impuls mΔv even groot. Omdat de richting van de snelheidsveranderingen
tegengesteld zijn (positief en negatief) is de totale impuls constant.
44
Terugslag en stuwkracht
Een wapen dat berucht is om de zware terugslag is de AK-47, die ook wel naar
de ontwerper Kalashnikov genoemd wordt .
Gegevens AK-47
Gewicht: 5,13 kg
Lengte geweer: 87 cm
Vuursnelheid: 10 sch/sec
Snelheid kogel: 710 m/s
Energie kogel: 1990 joule
Figuur 41 - Er zijn 30 tot 50 miljoen AK-47’s geproduceerd. Tenminste 82 landen hebben
AK-47-geweren in hun staatsarsenaal.
In de kantlijn vind je gegevens over de snelheid en de energie van de kogels uit
de Kalashnikov.
a. Bereken uit de gegevens de massa van een kogel.
Bij dit geweer geldt ook impulsbehoud:
Figuur 42 - Bij een geweer geldt
ook het principe
M×Δv = m×ΔV
M×Δv = m×ΔV
b. Bereken de snelheid waarmee het geweer naar achteren gaat na het afvuren
van één kogel.
Voor de kracht tijdens het afvuren geldt: F  t  m  v . Het afvuren van één
kogel duurt 1,8 ms.
c. Bereken de kracht op de kogel (en op het geweer) tijdens het afvuren van een
kogel.
Als het wapen als mitrailleur gebruikt wordt dan vuurt het 10 schoten per
seconde af. Daarbij ervaart de schutter de terugslag als een soort gemiddelde
kracht naar achteren.
d. Neem Δt = 1,0 s. Hoe groot is de massa die in die tijd afgevuurd is?
e. Bereken daarmee de gemiddelde kracht op het geweer.
f. Een raketmotor schiet continu brandstof weg. Leg uit hoe je met de formule
F  t  m  v en de gegevens over de uitgestoten brandstof de stuwkracht
van de raket kunt berekenen.
32
45 De energie van de explosie
De kogel uit de AK-47 krijgt een snelheid van 710 m/s en daarmee 1990 J
bewegingsenergie. Het geweer krijgt door het afvuren van één kogel een
snelheid van 1,09 m/s.
a. Bereken de bewegingsenergie van het geweer.
De kogel en het geweer kregen beide evenveel impuls, maar de energie blijkt
helemaal niet eerlijk verdeeld.
b. laat zien dat de energie van de kogel en het geweer omgekeerd evenredig is
met de massa.
c. Wat betekent dat voor raketmotoren? Waar gaat de meest energie naartoe?
Conclusie
Conclusie
We hebben nu gezien dat:
 De werking van een raketmotor werkt als een explosie. De stuwkracht op de
raket is even groot als de kracht waarmee de brandstof weg wordt gestoten.
 Bij een explosie is de impulsverandering van beide voorwerpen gelijk:
M×Δv = m×ΔV

De stuwkracht van een raketmotor is te berekenen met de formule
F  t  m  v . Daarin is m de massa die in een tijd Δt uitgestoten wordt
en Δv is de snelheidstoename van de brandstof bij de explosie.
OPGAVEN
46 Raketvoortstuwing
Een raket brengt een satelliet omhoog. De raket bestaat uit twee trappen. Op het
moment dat de laatste trap in werking treedt heeft het geheel (raket plus satelliet
plus brandstof) al een bepaalde snelheid.
De gegevens over de voortstuwing door de laatste trap van de raket:
Figuur 43 – Een raket met vaste
brandstof.
De laatste trap van de raket treedt in werking op het tijdstip dat we t = 0 noemen.
Volgens de gegevens in de tabel heeft de raket op dat moment een beginsnelheid
vb van 600 m/s. Vanaf t = 0 stoot de raket elke seconde 80 kg brandstof uit. De
brandstof wordt vanuit de raket met een snelheid van 2,4 km/s uitgestoten.
a. Bereken de impulsverandering van de brandstof die in één seconde
uitgestoten wordt.
b. Gebruik de formule F  t  m  v om de stuwkracht van de raket te
berekenen.
De totale massa bestaat uit de brandstof, de raket en de satelliet.
c. Bereken de gemiddelde massa in de eerste seconde.
d. Bereken de snelheidstoename van de raket gedurende de eerste seconde.
e. Hoe groot is dan de snelheid van de raket op het tijdstip t = 1,00 s?
Tijdens de tweede seconde neemt de snelheid van de raket verder toe. Maar de
massa van de raket is door het uitstoten van verbrandingsgassen inmiddels iets
kleiner geworden.
f. Leg uit of de snelheid van de raket gedurende de tweede seconde meer of
minder zal toenemen dan gedurende de eerste seconde. Bereken de snelheid
van de raket op het tijdstip t = 2,00 s.
33
De snelheid van de raket zal toenemen tot alle brandstof is verbruikt. De totale
snelheidstoename v is te berekenen met de volgende formule:
m 
v  v gas  ln  b 
 me 
Hierin is vgas de uitstootsnelheid van de verbrandingsgassen, mb de beginmassa
en me de eindmassa van de raket.
g. Bereken de snelheid die de raket met satelliet zal kunnen bereiken.
47 Ionenmotor
Figuur 44 – Een ionenmotor.
De Amerikaanse ruimtesonde Deep Space is de eerste van een serie
ruimtesondes met een ionenmotor die werkt op het edelgas xenon. De
xenon-atomen worden eerst geïoniseerd en daarna versneld met een elektrische
kracht.
De ionenmotor werkt op zonnepanelen en verbruikt 2400 watt aan elektrisch
vermogen. De motor levert dan een stuwkracht van 90 millinewton (het gewicht
van twee A4-tjes). Deep Space heeft 80 kg xenongas aan boord, waarop zijn
ionenmotor 430 dagen lang zou kunnen werken. De massa van Deep Space
neemt door het uitstoten van Xenon gelijkmatig af, de gemiddelde massa tijdens
de reis bedraagt 460 kg.
a. Bereken hoeveel gram xenon per seconde wordt uitgestoten.
De uitstoot van xenon levert een stuwkracht van 90 mN op.
b. Bereken de snelheid waarmee de xenon-ionen uitgestoten worden.
c. Bereken hoe groot de totale snelheidstoename van Deep Space is op basis
van de genoemde stuwkracht.
De ionenmotor werkt op zonnepanelen en verbruikt 2400 watt aan elektrisch
vermogen.
d. Bereken hoeveel energie er per seconde wordt toegevoegd aan de xenonionen die door de motor versneld worden.
Bij een ionenmotor gaat dus een nog groter deel van de energie ‘verloren’ aan de
uitgestoten ionen.
e. Waarom is dit bij de ionenmotor niet zo’n groot probleem?
f. Wat is het grote voordeel van een ionenmotor boven een conventionele
raket?
Achtergrondinformatie: Ionenmotor
Figuur 45 - Deep Space 1
Conventionele raketmotoren kunnen in een korte tijd een enorme versnelling
geven, maar verbruiken daarbij ook grote hoeveelheden brandstof. De
brandstofvoorraad zelf moet evenals het ruimtevaartuig en de zware
raketmotoren ook voortgestuwd worden.
Ionenmotoren daarentegen produceren een lage voortstuwingskracht, maar zijn
bijzonder zuinig. Ze produceren per kilogram brandstof meer
voortstuwingskracht dan conventionele raketmotoren. Ze kunnen op de lange
duur dus dezelfde snelheid bereiken, maar met een veel lager brandstofverbruik.
Het ruimtevaartuig hoeft dan minder brandstof mee te nemen. Ionenmotoren zijn
ook veel lichter van constructie, leggen daarom minder gewicht in de schaal, wat
dus weer brandstofbesparing oplevert.
Ionenmotoren zijn door hun lage voortstuwingskracht niet geschikt om
ruimtevaartuigen te lanceren, daar zijn nog conventionele raketmotoren voor
nodig. Maar zodra het ruimtevaartuig de ruimte heeft bereikt, kan de ionenmotor
de voortstuwing in principe overnemen. De ionenmotor kan zeer lang
ononderbroken functioneren, desnoods jarenlang. Extreem verre bestemmingen,
bijvoorbeeld Jupiter en verder, kunnen met behulp van ionenmotoren aanzienlijk
sneller worden bereikt.
34
4 Explosies en botsingen
4.2 Impulsbehoud
Wat gaan we doen?
Nieuwe begrippen in
deze paragraaf
Botsing
Impulsbehoud
Inelastische botsing
In het voorgaande hebben we kennis gemaakt met het begrip impuls. Dit
begrip is vooral handig in situaties waarbij twee voorwerpen een kracht op
elkaar uitoefenen waardoor hun beweging verandert. Voorbeelden daarvan
zijn explosies en botsingen.
 Hoe kun je het begrip impuls gebruiken bij botsingen?
 Wat heeft impuls te maken met de kracht tussen de voorwerpen?
Impuls bij een kop-staart-botsing
Bij een kop-staart-botsing rijdt een auto van achteren tegen een stilstaande auto.
Een dergelijke botsing kan, ook bij lage snelheden, ernstig letsel toebrengen aan
de inzittenden van de voorste auto (bijvoorbeeld een whiplash).
Met de komst van steeds grotere en zwaardere personenauto’s neemt de kans op
ernstig letstel toe. In de onderstaande figuur zie je een tekening van zo’n situatie
waarbij de achterste auto groter en zwaarder is dan de voorste auto.
Figuur 46 – Kop-staart-botsing waarbij de achterste auto veel zwaarder is.
Neem aan dat de massa van de achterste auto bijvoorbeeld tweemaal zo groot is
als de massa van de voorste auto. Het lijkt logisch om te veronderstellen dat de
‘klap’ voor de voorste auto dan ook veel groter is dan voor de achterste auto,
maar is dat wel zo?
Plan van aanpak
In deze situatie gaat het om krachten op de auto’s en krachten op de inzittenden.
Het plan van aanpak bestaat uit:
 Hoe kun je de krachten op de auto’s bepalen?
 Hoe kun je met behulp van impuls nagaan wat er tijdens de botsing gebeurt?
 Hoe bepaal je de ‘klap’ voor de inzittenden?
48 Krachten tijdens de botsing
Tijdens de botsing oefenen de twee auto’s een kracht uit op elkaar. Voor beide
auto’s geldt F  t  m  v . De tijdsduur van de botsing Δt is nog niet bekend.
a. Kun je nu al iets zeggen over de kracht op elk van de auto’s?
Onder de ‘klap’ verstaan we de (gemiddelde) versnelling of vertraging tijdens de
botsing. Omdat de tijdsduur van de botsing niet bekend is valt de versnelling
niet te berekenen.
b. Kun je nu toch iets zeggen over de ‘klap’ die de inzittenden van beide auto’s
krijgen? Bij welke auto is de ‘klap’ het grootst?
35
49 Impulsbehoud
Inelastische botsing
Een botsing waarbij een
deel van de energie verloren
gaat heet een inelastische
botsing. Als de voorwerpen
na de botsing aan elkaar
vast zitten dan is het
energieverlies maximaal.
Dat is een volkomen
inelastische botsing.
Door de botsing is de impuls van de achterste auto afgenomen, de impuls van de
voorste auto is toegenomen.
a. Leg uit dat de totale impuls tijdens de botsing gelijk moet zijn gebleven.
Neem aan dat vlak voor de botsing de voorste auto stil staat. De achterste auto
heeft een snelheid van 12 m/s. De voorste auto heeft een massa van 1100 kg, de
achterste auto is 2200 kg.
b. Hoe groot is de totale impuls vóór de botsing?
Na de botsing glijden de twee auto’s samen over het asfalt verder. Zo’n soort
botsing wordt een volkomen inelastische botsing genoemd. De snelheid van
beide auto’s is dan gelijk, het is als het ware één voorwerp geworden.
c. Welke snelheid hebben de twee auto’s dan na de botsing?
d. Geldt hier nu ook
M×Δv = m×ΔV? Ga na of leg uit.
Om de kracht en de versnelling tijdens de botsing te berekenen is de tijdsduur
van de botsing nodig. Die tijdsduur hangt af van de kreukelzone van de auto’s.
Een redelijke schatting voor de tijdsduur van de botsing is 0,10 s.
e. Bereken voor beide auto’s de (gemiddelde) versnelling. Welke auto krijgt de
grootste ‘klap’?
50 Inelastische botsing
Figuur 47 - Geldt de wet van
behoud van impuls ook bij deze
botsing?
Bij een botsing gaat meestal een deel van de energie ‘verloren’. Bij de volkomen
inelastische botsing uit de vorige opgave is het energieverlies maximaal.
a. Bereken de bewegingsenergie voor en na de botsing en ga na hoeveel
procent van de energie ‘verdwenen’ is.
Als de auto’s niet aan elkaar vast blijven zitten is het energieverlies minder.
Neem bijvoorbeeld aan dat de achterste zwaardere auto na de botsing een
snelheid van 6,0 m/s heeft.
b. Bereken met impulsbehoud de snelheid van de voorste auto na de botsing.
c. Ga op hoeveel procent van de energie bij deze botsing ‘verdwenen’ is.
Conclusie
Conclusie
We hebben nu gezien dat:
 Bij een botsing zijn de impulsveranderingen van beide voorwerpen gelijk.
 De totale impuls voor de botsing is gelijk aan de totale impuls na de botsing,
er is dus sprake van impulsbehoud. Bij een botsing tussen twee voorwerpen
geldt: (m1  v1  m2  v2 ) voor  (m1  v1  m2  v2 ) na

Bij een volkomen inelastische botsing blijven de voorwerpen na de botsing
aan elkaar vast zitten.
Impulsverandering en impulsoverdracht
Bij een botsing is de toename van de ene impuls gelijk aan de afname van de
andere impuls. De ene impulsverandering is positief en de andere negatief.
Het is dus beter om te schrijven:
M×Δv = - m×ΔV
Impulsbehoud
Bij botsingen kun je ook zeggen dat er sprake is van impulsoverdracht of dat
de totale impuls gelijk blijft. Dat wordt ook wel impulsbehoud genoemd. Als
er geen invloeden van buiten zijn geldt de wet van impulsbehoud.
impuls voor  impuls na
(m1  v1  m2  v2 ) voor  (m1  v1  m2  v2 ) na
36
OPGAVEN
51 Steppen
Arie en Bianca doen een onderzoek aan steppen. Met een snelheidssensor meten
zij de snelheid van de step. Arie stept over een horizontale weg. De massa van
Arie met step is 67 kg.
In de linkergrafiek staat het (v,t)-diagram van de step. In deze grafiek is te zien
dat wrijvingskrachten een rol spelen: na een afzet met de voet neemt de snelheid
bij het uitrijden weer af.
Figuur 48 – Een step.
Figuur 49 – Grafieken van de snelheid en de kracht tijdens het steppen.
De resulterende kracht op Arie met step als functie van de tijd is weergegeven in
de rechtergrafiek. In deze grafiek zijn twee gebieden gearceerd die een even
grote oppervlakte hebben. De verticale schaal van de grafiek is echter niet
gegeven.
a. Leg uit dat de oppervlakte tussen t=3,0 s en t=3,5 s even groot is als de
impulsverandering tijdens de afzet.
b. Leg uit waarom de oppervlakte tussen t=3,5 s en t=5,5 s even groot moet zijn
als de oppervlakte tussen t=3,0 s en t=3,5 s.
c. Bepaal met behulp van de linkergrafiek de grootte van één van de twee
gearceerde oppervlakken.
52 Honkbalwedstrijd
Bij een honkbalwedstrijd gooit de werper de bal met een snelheid van 90 km/h
over de thuisplaat. De slagman raakt de bal vol: gedurende 12,5 ms oefent de
knuppel een kracht van 750 N uit op de bal. De bal heeft een massa van 145 g.
a. Bereken de snelheid waarmee de bal wordt weggeslagen.
De massa van de houten knuppel is 700 gram.
b. Bereken de snelheidsverandering van de knuppel tijdens de slag door gebruik
te maken van impulsbehoud.
53 Uit de startblokken
Bij de start van een hardloopwedstrijd wordt de horizontale kracht van een atleet
op het startblok gemeten. De atleet heeft een massa van 74 kg. In de grafiek is
de gemeten kracht F weergegeven als functie van de tijd t.
a. Bepaal de oppervlakte onder de grafiek.
b. Bereken daarmee de horizontale snelheid van de atleet onmiddellijk na het
verlaten van het startblok.
Figuur 50 – Kracht op het
startblok..
37
Bijlage 1 – Begrippen en formules
In het onderstaande schema’s zijn per paragraaf de belangrijkste begrippen en
formules opgenomen. Gebruik de schema’s om te controleren of je de theorie
goed begrepen hebt en als samenvatting ter voorbereiding van de toets.
Ga bij elk begrip na of je goed begrijpt wat het betekent en geef een korte
omschrijving van het begrip in je eigen woorden. Noteer zo mogelijk ook
eenheden en symbolen.
Noteer bij elke formule de betekenis van symbolen, de eenheden en de situatie
waarin de formule van toepassing is.
Korte omschrijving, symbool, eenheid, formule…
Begrippen § 1
Energiesoorten
Energie-omzettingen
Energieschema
Energievergelijking
Korte omschrijving, symbool, eenheid, formule…
Begrippen § 2
Veerenergie
Kromlijnige beweging
Bewegingsvergelijkingen
Parametervoorstelling
Snelheid ontbinden
Formules § 2
Betekenis symbolen, eenheden, situatie van toepassing
Eveer  12  C  u 2
s(t) = v0∙t + ½∙a∙t²
v(t) = v0 + a∙t
38
Begrippen § 3
Korte omschrijving, symbool, eenheid, formule…
Gravitatie-energie
Ontsnappingsarbeid
Primitiveren
Oppervlaktemethode
Satellietbaan, cirkelbaan
Middelpuntzoekende kracht
Omlooptijd
Formules § 3
Fmpz
v
Betekenis symbolen, eenheden, situatie van toepassing
m  v2

r
2  r
T
v 2  r  G  M aarde
Begrippen § 4
Korte omschrijving, symbool, eenheid, formule…
Voortstuwing, stuwkracht
Explosie, botsing
Hoeveelheid beweging
Impuls(verandering)
Impulsbehoud
Inelastische botsing
Formules § 3
Betekenis symbolen, eenheden, situatie van toepassing
F  t  m  v
p  mv
M×Δv = m×ΔV
(m1  v1  m2  v2 )voor 
(m1  v1  m2  v2 )na
39
Bijlage 2 – Overzicht formules Wisselwerking & Beweging
Bewegingen
Hefbomen
s
t
v gem 
Trillingen
F  rlinksom  F  rrechtsom
u (t )  r  sin(
M  F r
v
a
t
Arbeid en vermogen
Fres  m  a
W  F s
v(t )  a  t
Pm  F  v
s(t )  12  a  t 2
W
Pm 
t
T  2 
v(t )  g  t
v max 
vb  a  trem
m
C
2  r
T
Etrilling  2 2 r 2 mf 2
Win  Wuit
s(t )  12  g  t 2
2  t
)
T
Kromlijnige bewegingen
W  F  s  cos( )
s(t) = v0∙t + ½∙a∙t²
v(t) = v0 + a∙t
Krachten
Ez  m  g  h
m  v2
Fmpz 
r
2  r
v
T
Fz  m  g
Fw,l  12  cw  A    v 2
Ebeweging  12  m  v 2
v 2  r  G  M aarde
Eveer  12  C  u 2
Impuls
srem   a  t rem
1
2
2
Energie en rendement
Fw,r  cr  FN
F  t  m  v
p  mv
Ech  rv V
Fw. max  f  FN
Ebegin  Eeinde
Fveer  C  u
Pmech 
M
m
FG  G  aarde
2
r
m1  v1  m2  v2
(m1  v1  m2  v2 )voor 
(m1  v1  m2  v2 )na
W
t
Pmech  Ftegen  v
Fovst  F  sin( )

Faanl  F  cos( )
40
W
Ein

Pm
Pin
Wisselwerking & Beweging
5 VWO – hoofdstuk 6 - Uitwerkingen
Oriëntatie
a. Bewegingsenergie, samengeperste lucht,
elektrische energie, zwaarte-energie, licht
(stralingsenergie), gravitatie-energie, veerenergie,
spierenergie.
b. Kernenergie, warmte, chemische energie.
c. Katapult: spierenergie  veerenergie 
bewegingsenergie  warmte.
d. Leg zelf uit.
1
2
3
Windturbine
a. Bewegingsenergie  elektrische energie +
warmte + bewegingsenergie.
b. De snelheid van de wieken is vrijwel constant.
c. m = 37.000×1,22 = 4,5·104 kg. Ek =
0,5×4,5·104×16² = 5,8·106 J
d. 1,0 MJ = 1,0·106 joule
e. Enuttig = 1,0·106 = 90%. Ein = 100% = 1,11·106 J,
warmte = 10% = 0,11·106 J.
f. η = Eelektr/Ewind = 1,0 MJ / 5,8 MJ = 0,17. Dat
is 17 %
g. Ebeweging = 5,8 MJ – 1,11 MJ = 4,7 MJ.
E=
½·m·v² geeft v = 14,5 m/s.
Kracht en energie bij verticaal
versnellen
a. brandstof  stuwkracht motor  zwaarte-energie
+ bewegingsenergie.
b. P·t is de energie die de motor geleverd heeft. De
energie is omgezet in beweging + hoogte.
c. v = 403 m/s; hoogte = vgemt = 201×60 = 12,1 km
(of via s = ½at²)
d. Ez = m·g·h = 2,421011 J; Ek = ½·m·v² =
1,661011 J; dus P = W/t = 4,081011 / 60 = 6,8
GW
4
Uit de bocht
a. Ek  Ewrijving + Ek dus Ek,eind = Ek,begin - Wwrijving
b. Ek,eind = Ek,begin - Wwrijving = ½·m·v² - F·s =
½140024² - 630050 = 88,2 kJ  v = 11 m/s
c. W = Fs geeft s = 88 kJ / 0,4 m = 220 kN
5
Itaipu waterkrachtcentrale
a. Ez + Ek  Ek + Egenerator
b. M = 6901000 = 6,9·105 kg. Ez +Ek = 8,34·108 J
c. Ek = 0,56,9·1051,2² = 5,0·105 J. Dat is te
verwaarlozen, dus 8,34·108 J/s
d. Pnuttig = 700 MW, dus η = 700·106/8,34·108 =
0,84
6
Hoogspringen en verspringen
a. Met een aanloop het je al (horizontale)
bewegingsenergie die met de juiste afzet wordt
omgezet in een verticale beweging.
b. E = 0,5·m·v² = 0,5845² = 1050 J.
m·g·h = 70% = 735 J  h = 0,89 m.
c. Teken het zwaartepunt bij de aanloop en schat het
hoogteverschil met de lat.
d. er blijft 30% energie over  ½·m·v² = 315  v =
2,7 m/s.
e. Dan wordt de timing van de sprong lastiger.
f. Hij komt hoger en blijft dus langer in de lucht
7
Vallen en botsen
a. Ek = ½·m·v² = 0,570(40/3,6)² = 4,3 kJ
b. Ez = m·g·h = 709,816,0 = 4,1 kJ
c. 14 m hoogte: Ez = 709,814 = 9,6 kJ 
½·m·v² = 9600 geeft v = 16,6 m/s = 40 km/h.
Omgekeerd: 80 km/h = 22,2 m/s, Ek = 17 kJ =
Ez geeft h = 25,2 m/s
d. ½·m·v² = m·g·h geeft h = 0,5×v²/g, b.v
0,5×(80/3,6)²/9,81 = 25 m
8
Duiken in ondiep water
a. Ek = ½·m·v² = 0,570(96/3,6)² = 24,9 kJ.
b. h = E/m·g = 36 m
c. W = Fres·s geeft Fres = Ek/s = 24.888/3 = 8,3 kN.
Omdat ook nog de zwaartekracht werkt geldt
Fwater = 9,0 kN.
9
Inveren bij trampolinespringen
a. De snelheid is steeds positief, de springster gaat
dan omhoog Als de snelheid nul is geworden is
het hoogste punt bereikt.
b. De arbeid is omgezet in een hogere snelheid:
6,2 m/s ipv 5,0 m/s. De extra arbeid is W =
0,5606,2² - 0,5605,0² = 403 J.
c. h = E/m·g = 403/589 = 0,68 m (of: bepaal de
extra hoogte uit de oppervlakte vanaf het
punt waar de rechte lijn begint: 0,50,55 =
1,25 m en 0,50,626,2 = 1,92 m. Verschil 67
cm).
10 Stuiterende golfballetje
a. Bij een parabool hoort een contante versnelling,
dus de luchtweerstand is te verwaarlozen.
b. Uit de hoogte (Ez = m·g·h): van 2,26-0,08 naar
1,73-0,08 m geeft 24% verlies.
c. Van 1,73-0,08 naar 1,35-0,08 m geeft 23%
verlies.
d. Bepaal de snelheid vlak voor en na de stuit door
c. Vanaf 30 m hoogte: Ek  Ez + warmte geeft
0,58159² = 819,81×h + 750×h = 1545×h.  h
= 91 m (boven de 30 m), hoogte wordt 121 m.
het tekenen van raaklijnen in dit punt. De helling
van de raaklijn is de snelheid.
11 Kogelstoten
a. De arbeid wordt omgezet in bewegingsenergie en
hoogte-energie. Afstand s = vgem·t = 4,00,21 =
0,84 m. Extra hoogte is 0,84sin(45°) = 0,59 m.
W = toename ½·m·v² + m·g·h = 0,55,06,0² 0,55,02,0² + 5,09,810,59 = 109 J. P = W/t =
109/0,21 = 519 W.
12 Het juiste bungeekoord kiezen.
a. Fres = m·a = 8160 = 4,86 kN. Er is ook nog
zwaartekracht, dus Fbungee = 4860 + 819,81 =
5,65 kN.
b. sin(α) = 10/30, dus α = 19,5°.
c. Elk koord: F = C·u = 150×20 = 3000 N.
Ontbinden  Fv,aanl = 3000×cos(19,5) = 2828 N.
Totale kracht 5,66 kN.
17 Boogschieten
a. C = F/u = 170/0,40 = 425 N/m
b. Eveer  Ek dus ½·C·u² = ½·m·v²
c. v² = 0,54250,40² / 0,50,021  v = 57 m/s.
18 De baan van een projectiel
a. Vergelijkingen bij een de constante snelheid.
b. Alleen de beginsnelheid.
c. Versnelling met beginsnelheid. De versnelling is
de valversnelling.
d. De beginsnelheid en de versnelling.
e. g = -9,81 m/s². De zwaartekracht werkt naar
beneden.
19 De afschietsnelheid
a. Eveer  Ebeweing. Dus ½·C·u² = ½·m·v² geeft v =
13 De veerenergie bepalen
a. De veerkracht is niet constant.
b. Een rechte lijn van de oorsprong tot u = 20 m en
Fveer = 3000 N.
c. Opp = ½ × 3000 20 = 30 kJ.
d. E = ½×150×20² = 30 kJ.
e. Uitschrijven geeft E = ½·C·u·u en C·u = F, dus
er staat E = ½·F·u. Dat is de oppervlakte.
21,2 m/s.
b. vb,x = vb×cos(45°) = 15 m/s. vb,y = 15 m/s.
c. vb = 15 m/s en a = -9,8 m/s².
d. vb,x = vb×cos(45°) en vb,y = vb×sin(45°)
20 Rekenen aan de baan
a. Dan is de verticale snelheid nul.
b. 15 – 9,8·t = 0 geeft t = 1,53 s  sx = 23 m en sy =
11,5 m.
14 Luchtwrijving
a. Eveer  Ezwaarte + Ebeweging dat geeft als
vergelijking: ½·C·u² = m·g·h + ½·m·v².
b. 60 kJ = 81×9,81×30 + ½·81·v²  v = 30 m/s.
c. F = 0,5×0,8×0,9×1,2×30² = 390 N. De helft
daarvan is 195 N.
d. W = F·s = 195×h
15 De maximale hoogte.
a. Aan het begin en aan het eind is de
bewegingsenergie nul.
b. Eveer  Ezwaarte + warmte
c. Eveer = ½·C·u² × 2 = 60 kJ. warmte = 195×h.
60.000 = 81×9,81×h + 195×h = 990×h 
h = 61 m.
d. De hoogte is erg krap voor een parachute.
16 Lancering met katrollen
a. Met s = ½·a·t² wordt t² = 30/(0,558)  t = 1,02
 v = 59 m/s.
b. Fw,l = 1,5 kN  schatting: 750 N
42
c. Dan is de hoogte nul.
d. oplossen geeft (15 – 4,9·t)·t = 0 en t = 3,1 s.
Afstand: sx = 3,115 = 46 m.
e. Lang niet ver genoeg.
21 De afschietsnelheid en de richting
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
–
46 m
–
45° is optimaal
vx = vy = 30 m/s
vx = vy = 30 m/s. v = 42 m/s = 153 km/h
Hoge snelheid, moeilijk op te vangen dus erg
onrealistisch.
22 Kogelstoten
a. vb,x = vb,y = 6,0cos(45°) = 4,24 m/s.
b. x = 4,24t en y = 2,1 + 4,24t – 4,9t². Stel het
window goed in en lees af s = 5,2 m.
c. Invullen h = 0 en oplossen (met de abc-formule of
de GR) geeft t = 1.22 s. De afstand is dus
4,241,22 = 5,2 m.
23 Sprinkhaan
e. ISS: 32,9 MJ en Mars 75,1. Naar Mars kost 2,3
a. Ek  Ez geeft v² = 2·g·h  v = 4,4 m/s.
b. C = 8,0/0,04 = 200 N/m. Eveer =
0,52000,04² = 0,16 J.
maal zoveel energie.
29
Brandstof voor de Mars-reis
a. 2.000 ton is 15,7 maal zoveel, dus ca 30.000 ton.
b. Naar Mars 2,3 maal zoveel, dus 69.000 ton.
30
Ontsnappingsarbeid en gravitatieenergie
a. De gravitatie-energie neemt toe naarmate het
ruimteschip verder van de aarde komt. De hoogste
waarde is nul, als het oneindig ver weg is.
Dichterbij moet het dus negatief zijn.
b. Het is de energie die je erin moet stoppen om het
‘vrij’ te maken van de aarde.
c. De gravitatie-energie is nul als r = ∞ en negatief
dichter bij aarde. Hoe kleiner r des te groter
(negatief) is de energie.
c. Eveer  Ek ½·m·v² = 0,16 geeft v = 7,2 m/s
24 Jumpen (bron: Examen Natuurkunde
Vwo 1994)
a. Ez  Ek  Eveer
b. m·g·h = ½·m·v² geeft v² = 2·g·h = 623, dus v =
25 m/s.
c. Fveer = Fz geeft 56u = 759,8 en u = 13 m
d. Omgezet = m·g·h = 759,845 = 33,1 kJ.
Veerenergie = 0,55613² = 4,7 KJ. Ek = 28,4 kJ
en v = 27,5 m/s
e. Ez = m·g·h = m·g·(32 + u)
f. m·g·(32 + u) = ½·C.u² geeft 735·(32 + u) =
½·56·u². Oplossen met GR en intersect geeft u =
44,9 m. Dat is op een hoogte van 90 – 32 – 45 =
13 m.
25 Arbeid om weg te komen
a. De afstand is 342 km, de gemiddelde kracht is 9,3
N (de lijn is op dit stukje vrijwel recht). De
oppervlakte is: W = F·s = 9,3×342.000 = 3,2 MJ.
b. eigen schatting
26 Oppervlaktemethode met de GR
c. 54,6 MJ.
d. oppervl. tot 500·106 m geeft W = 61,6 MJ, tot
500·106 geeft 62,5 MJ. Daarna verandert het niet
meer.
27
Oppervlakte door primitiveren
a. -1/x

1
1
b.  G  M  m   = G  M  m 


xr
r
c. 6,673·10-11×5,976·1024×1 / 6,378·106 = 62,5 MJ.
d. Antwoorden zijn gelijk.
28
Bewegingsenergie
a. v = s/t = 7,8·1010 / (180×24×3600) = 5,0·10³ m/s.
b. E = 0,5×1×(5,0·10³)² = 12,6 MJ.
c. E = 0,5×1×(27.744/3,6)² = 29,7 MJ
d. tabel.
EGravitatie
(MJ)
EBeweging
(MJ)
ISS
3,2
29,7
Mars
62,5
12,6
31 Ontsnappingssnelheid
Voor een voorwerp van 1 kg op aarde geldt E grav = 62,5 MJ. Als Ebeweging = 62,5 MJ dan kan het
voorwerp ontsnappen.
0,5·m·v² = 62,5·106 geeft v = 1,1·104 m/s (ca 40.000
km/h).
32 Geostationaire baan
a. 5950×-62,5 MJ = -3,72·1011 J
b. r = 4,22·107 m, Egrav = -6,673·10-11 ×
5,976·1024×5950 / 4,22·107 = -5,6·1010 J. De
arbeid is het verschil: 3,16·1011 J.
c. E = 0,5×5950×(11.700/3,6)² = 3,1·10 10 J.
d. v = 1667 km/u = 463 m/s. E = 6,4·108 J
e. Totaal 3,16·1011 + 3,1·1010 - 6,4·108 = 3,5·1011 J.
33 De ‘motor’ van een satelliet
a. In een rechte lijn.
b. De gravitatiekracht zorgt voor de cirkelbeweging.
c. De kracht staat loodrecht op de snelheid. Er is dus
geen versnelling of vertraging, alleen een
verandering van richting.
d. 1,0 N
34 De snelheid van satellieten rond de
aarde
a. Fgrav = m·g = 2,8·105 ×8,8 = 2,46·106 N.
b. Ook 2,46·106 N.
c. F = m·v²/r geeft 2,46·106 = 2,8·105×v²/ 6,72·106
 v = 7,7·10³ m/s.
d. De straal wordt kleiner, de baan ligt dichter bij de
aarde.
e. De hulpmotor levert energie.
43
35 De invloed van de massa
40 Dubbelster
a. Dat volgt uit de gravitatiewet (en de 3e wet van
a. Bij een grotere massa wordt de gravitatiekracht
b.
c.
d.
e.
groter, maar er is ook meer kracht nodig voor de
cirkelbeweging.
De gravitatiekracht levert hier de
middelpuntzoekende kracht die voor deze baan
nodig is.
m·v²/r = G·m·M/r². Je kunt m wegstrepen en r²
naar de andere kant brengen.
v = omtrek/tijd = 2πr/T = 2,415·109 /
(27,32×24×3600) = 1023 m/s
v²·r = G·Maarde geeft Maarde =
1023²×384,4·106/6,673·10-11 = 6,03·1024 kg.
Klopt niet helemaal met BINAS omdat de baan
een ellips is.
Newton).
b. De omlooptijd is gelijk, als de omtrek twee keer
zo groot is dan moet de snelheid ook twee keer zo
groot zijn. Dus v ~ r.
c. Fgrav = Fmpz = mv²/r dus m1v1²/r1 = m2v2²/r2 en
v = cr invullen geeft m1(cr1)²/r1 = m2(cr2)²/r2.
Vereenvoudigen geeft m1·r1 = m2·r2. Hieruit
volgt ook dat een grote m bij een kleine r hoort.
d. v = 2πr/T geeft r1 = 1,91012 m en r2 = 9,51011
m.
Voor Fgrav geldt de totale afstand r1+r2, voor Fmpz
geldt de afstand tot het draaipunt.
2
v
m1
e. 2  G 
invullen geeft m1 =
r2
( r1  r2 ) 2
36 Cirkelbanen van hemellichamen
7,41029 kg en m2 is twee keer zo zwaar, dus
1,481030 kg.
a. v²·r = G·Mzon en v = 2πr/T = 2,98·104 m/s M =
(2,98·104)²×1,496·1011/6,67310-11 = 1,99·1030 kg.
b. v²·r = G·Mzon geeft (24,1·10³)²·r = 6,673·1011
×1,99·1030  r = 2,28·1011 m. Omlooptijd
v = 2πr/T  T= 2πr/v = 5,94·107 s = 687 dagen
c. r = 6,378·106 + 10,4·106 = 16,8·106 m. v = 2πr/T
= 4,89·10³ m/s. Fmpz = m·v²/r =
2,1·10³×(4,89·10³)²/16,8·106 = 2,99·10³ N
41 Het principe van voortstuwing
a. Er zit veel bewegingsenergie in het wegspuitende
water.
b. Tegen het wegspuitende water.
c. De raket duwt zichzelf weg door de kracht op de
brandstof die naar buiten spuit.
37 Omlooptijd en afstand
a. v en r zijn beide onbekend.
b. v = 2r/T invullen: 4²r²/T²×r = G·M.
42 Het principe van een raketmotor
a. De massa die per seconde uitgestoten wordt.
b. De explosie oefent een kracht naar twee kanten
Vereenvoudigen: 4²r³ = G·M·T²
c. T = 5,18·3,65·10³ m/s
uit. Die krachten zijn even groot.
c. Het geweer heeft een grotere massa, de kracht op
het geweer is even groot als op de kogel.
d. De kracht en de tijd dat de kracht werkt zijn
gelijk. Voor beide voorwerpen is FΔt gelijk, dus
moet ook m·Δv gelijk zijn.
e. Als mΔv even groot is dan betekent een grote m
dus een kleine Δv.
f. Bij een grote m wordt Δv dus kleiner en
omgekeerd.
38 GPS-satellieten
a. v²r = GMaarde geeft v = 3,67 km/s.
b. Ek= 0,5×525×3670² = 3,5109 J.
Egrav = -GMm/r = -7,1109 J.
(Totale energie is -3,5109 J)
c. Op aarde Ek= 0,5×525×370² = 35,9 MJ en Egrav =
-GMm/r = -3,281010 J. Totale energie is 3,281010.
Toename energie = 2,91010 J.
39 Gravitatie-energie
a. Oppervlaktemethode van r = 6,378·106 tot r =
4,22·107 m geeft de arbeid per kg 53 MJ.
3100×53·106 = 1,641011 J = 164 GJ.
b. Over die afstand is Fgrav constant: GMm/r² =
GM×208.000/(6,72106)² = 1,84 MN. W = Fs =
184 MJ.
44
43
Terugslag en stuwkracht
a. Ek = 0,5×m×710² = 1990 J  m = 7,9 g.
b. m·Δv = m·Δv  5,13×Δv = 0,0079×710  Δv
= 1,09 m/s.
c. F·Δt = m·Δv geeft F = 0,0079×710/0,0018 = 3,1
kN.
d. 10 kogels = 79 g.
e. F·Δt = m·Δv geeft F = 0,079×710/1,0 = 56 N.
f. Neem Δt = 1, dan is m de massa die per seconde
uitgestoten wordt en Δv de snelheid die de
brandstof krijgt.
44 De energie van de explosie
a. E = 0,5×5,13×1,09² = 3,0 J.
b. De energie van het geweer is 663 maal zo klein,
de massa is 849 maal zo groot.
c. De meeste energie gaat naar de uitgestoten
brandstof.
45 Raketvoortstuwing
a. m = 80 kg en Δv = 2,4 km/s. De
b.
c.
d.
e.
f.
g.
impulsverandering = 1,92105 kgm/s.
Δt = 1 dus F = 1,92105 kgm/s² = 1,92105 N.
m = 960 + 400 + 5320= 6680 kg.
FΔt = mΔv geeft Δv = 1,92105 / 6680 = 28,7
m/s.
629 m/s
De massa is kleiner, de kracht even groot, dus de
snelheidstoename zal groter zijn. m = 6600 kg,
dus Δv = 29,1 m/s en v = 658 m/s.
Δv = 2400×ln(5360/1360) = 3,310³ m/s,
eindsnelheid = 3,910³ m/s.
46 Ionenmotor
a. 80 kg in 430 dagen geeft 2,1510-6 kg = 2,1510-³
b.
c.
d.
e.
f.
gram xenon per seconde.
FΔt = mΔv geeft 0,090×1 = 2,1510-6×Δv 
Δv = 4,2104 m/s
FΔt = mΔv geeft 0,090×430×24×3600 =
460×Δv  Δv = 7,310³ m/s.
E = 0,5×2,1510-6×(4,2104)² = 1,88 kJ.
De energie wordt door de zon geleverd.
De massa van de brandstof is laag, dat scheelt
enorm bij de lancering.
b.
c.
d.
e.
moet de impulsverandering even groot zijn. De
impulstoename van de voorste auto is even groot
als de impulsafname van de achterste auto. De
impuls wordt ‘overgedragen’.
p = m·v = 2200·12 = 2,64·104 kg·m/s.
m = 3300 kg en p is gelijk  v = 8,0 m/s.
Voorste: m·Δv = 1100×8 = 8800 kg·m/s.
Achterste: m·Δv = 2200×-4 = -8800 kg·m/s.
Voorste: a = Δv/Δt = 8,0/0,1 = 80 m/s², achterste:
a = -4,0/0,1 = -40 m/s².
49 Inelastische botsing
a. Voor botsing: E = 0,5×2200×12² = 158 kJ. Na
botsing: E = 0,5×3300×8² = 106 kJ. Er is 33%
verdwenen.
b. Totale impuls is 2,64·104. Voor de achterste auto
geldt p = 2200×6,0 = 1,32·104. De voorste auto
heeft (toevallig) dezelfde impuls, dan wordt v =
12 m/s.
c. Energie na botsing: 0,5×2200×6,0² +
0,5×110×12² = 119 kJ. Nu is 25% van de energie
verdwenen (omgezet in vervorming + geluid +
warmte).
50 Steppen
a. De oppervlakte is FΔt, dat is gelijk aan de
impulsverandering.
b. Tijdens het uitrollen is Δv even groot als tijdens
de afzet. De impulsverandering is dus ook even
groot.
c. FΔt = mΔv = 67×0,6 = 40 Ns
51 Honkbalwedstrijd
a. FΔt = mΔv  750×0,0125 = 0,145×Δv  Δv
47 Krachten tijdens de botsing
a. De krachten moeten even groot zijn omdat ze een
kracht op elkaar uitoefenen. Ze zijn even groot
volgens de 3e wet van Newton.
b. De krachten zijn even groot, de auto met de
kleinste massa krijgt de grootste Δv en dus de
grootste versnelling.
48 Impulsbehoud
= 65 m/s. Voor de klap is v = 25 m/s. Na de klap
25 – 65 = -40 m/s (de andere kant op).
b. FΔt = mΔv  750×0,0125 = 0,70×Δv  Δv
= 13,4 m/s.
52 Uit de startblokken
a. Schets een driehoek: opp = ½×0,27×2000 = 270
Ns.
b. FΔt = mΔv  270 = 74×Δv  Δv = 3,6 m/s.
a. Voor elke auto geldt dat FΔt gelijk is aan de
impulsverandering. De krachten zijn even groot
(maar tegengesteld) en werken even lang, dus
45