Verrijkingsopdracht wiskunde over Syracuse

Inhoud
Een bestaande wiskundeopdracht verrijken
2
Inleiding
2
Stap 1: De opdracht screenen met de screeningslijst
2
Stap 2: Opdracht verrijken
4
Stap 3: Verrijkte opdracht screenen
5
Stap 4: Verrijkte opdracht uittesten
7
Een bestaande wiskundeopdracht verrijken
Inleiding
In dit document wordt voorbeeldmatig uitgewerkt hoe de screeningslijst gebruikt kan worden. Hiervoor
is een opdracht uit de methode Moderne wiskunde gebruikt. De eerste stap is het screenen van de
opdracht met behulp van de screeningslijst. Bij de onvoldoende gemarkeerde criteria worden
toelichtingen gegeven.
In stap 2 is de opdracht meer verrijkend gemaakt, in stap 3 wordt de verrijkte opdracht gescreend
om na te gaan of de opdracht inderdaad verrijkt is.
We geven geen oordeel over de kwaliteit van de opdracht. Wel geven we aan op welke aspecten de
opdracht verrijkender gemaakt kan worden. Stap 4, ten slotte, is het in de praktijk uittesten van de
verrijkte opdracht en deze zo nodig aanpassen.
Stap 1: De opdracht screenen met de screeningslijst
Opdracht
Deze opdracht is afkomstig uit Moderne Wiskunde, 2A havo/vwo, 9e editie en is geschikt voor
leerlingen in de tweede klas van havo of vwo.
Syracuse-rijen
Het schema hiernaast is een voorbeeld van een
stroomdiagram. Je kiest een startgetal en als je de
opdrachten in het diagram volgt, kun je een rij
getallen opschrijven. Zo’n rij getallen heet een
Syracuse-rij, De Syracuse-rij van 5 is 5, 16, 8, 4, 2,
en 1.
a) Zoek uit hoe het stroomdiagram werkt en
controleer de Syracuse-rij die bij het getal 5
hoort.
b) Schrijf de Syracuse-rij op die bij het getal 3
hoort. Wat valt je op?
c) Ga na of de Syracuse-rij die bij het getal 7
hoort ook eindigt met 4, 2, en 1.
Uitwerkingen voor de docent
a) Het klopt.
b) 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
c) Ja, want de rij is: 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.
Screeningslijst Wiskunde ingevuld voor ‘Syracuse-rijen’.
Op de onvoldoende gemarkeerde criteria is er een toelichting gegeven.
1. Het materiaal heeft een hoge moeilijkheidsgraad
-

Het materiaal bevat een moeilijk abstract onderwerp waar leerlingen nog
weinig voorkennis over hebben.

Het materiaal doet een beroep op hogere denkvaardigheden.
X

Het materiaal gaat over een praktijkprobleem dat met wiskunde opgelost
kan worden.
X

Het materiaal maakt gebruik van verschillende bronnen; de leerling moet
daar zelf de benodigde informatie uit halen.
X

De leerling moet de vraagstelling zelf nog vertalen naar wiskundetaal.
X

Het materiaal maakt gebruik van abstracte begrippen, notaties en
generalisaties.
±
+
nvt
X
X
Toelichting op de onvoldoende gemarkeerde criteria (- of +/-) met betrekking tot hoge
moeilijkheidsgraad.


Een stroomdiagram is een abstracte manier van weergeven van een proces, maar niet heel
moeilijk.
De leerlingen hoeven alleen maar het stroomdiagram te volgen, niet echt zelf na te denken.
2. Het materiaal bevat open opdrachten
-

Het materiaal bevat opdrachten die open zijn en niet volgens een vast format
zijn geformuleerd. De uitkomst van de open opdracht staat van tevoren niet
vast.
X

Het materiaal nodigt leerlingen uit om zelf onderzoek te doen en de uitkomsten
te presenteren.
X

Het materiaal ondersteunt leerlingen om zelf gevarieerde keuzes te maken in
bronnenmateriaal.
X

Het materiaal bevat opdrachten met maar één correct antwoord, dat op
verschillende manieren gevonden kan worden.
X

Het materiaal nodigt uit tot originaliteit en durf.
X
±
+
nvt
Toelichting op de onvoldoende gemarkeerde criteria (- of +/-) met betrekking tot open opdrachten.


De opdracht is niet open. In ieder onderdeel ligt vast wat er moet gebeuren.
De opdracht wordt volledig gestuurd door het maken van de opgaven in een aangewezen volgorde,
waardoor zij zelf geen vorm en richting kunnen geven aan het vinden van antwoorden
3. Het materiaal stimuleert een onderzoekende houding bij leerlingen
-

Materiaal dat vraagt om een aantal verschillende oplosmethoden voor een
bepaald probleem.
X

Het materiaal stimuleert leerlingen zelf tot theorievorming te komen.
X
±
+
nvt

Materiaal bevat een eindopdracht om zelf onderzoek te gaan doen.
X

Materiaal dat de leerling onderzoek laat doen naar de geschiedenis van een
bepaald onderwerp.
X
Toelichting op de onvoldoende gemarkeerde criteria (- of +/-) met betrekking tot onderzoekende houding.

4.
De leerling hoeft alleen maar het stroomdiagram te gebruiken om de antwoorden te vinden.
Het materiaal vraagt om een reflectieve houding
-
±
+
nvt

Het materiaal stimuleert de leerling uit te leggen hoe de oplossing gevonden
is.

Het materiaal stimuleert de leerling te omschrijven wat er goed ging tijdens de
opdracht en wat mogelijke verbeterpunten zijn.
X

Het materiaal stimuleert leerlingen om te reflecteren op tussen- en
eindproducten van andere leerlingen.
X

Het materiaal bevat rubrics, commentaarformulieren of
beoordelingsformulieren zodat leerlingen in staat worden gesteld op eigen en
andermans werk te reflecteren.
X
X
Toelichting op de onvoldoende gemarkeerde criteria (- of +/-) met betrekking tot reflectieve houding.
 De opdracht laat leerlingen niet reflecteren op het product of op het (leer)proces
 Het materiaal laat leerlingen niet reflecteren op het werk van andere leerlingen
5.
Het materiaal geeft ruimte aan talentontwikkeling
-

Het materiaal daagt de leerling uit analytisch te denken
X

Het materiaal doet een beroep op de creatieve denkvaardigheden van
leerlingen.
X

Het materiaal doet een beroep op praktische vaardigheden.
X
±
+
nvt
Toelichting op de onvoldoende gemarkeerde criteria (- of +/-) met betrekking tot talentontwikkeling.

Het materiaal doet nauwelijks een beroep op creativiteit, zoals het zoeken van nieuwe oplossingen.
Stap 2: Opdracht verrijken
Hieronder staat de aangepaste opdracht. De criteria die bij de screening aanleiding gaven tot het
verrijkender maken van de opdracht hebben tot deze aanpassingen geleid.
Syracuse-rijen
Tijdens een wiskundeles vertelt een docent over een recept om een rij getallen te maken. Hij is zo
enthousiast omdat die rij een bijzondere eigenschap heeft. Wat die eigenschap is, ga je zelf
uitzoeken. De docent legt uit dat je een willekeurig getal kiest en daar het volgende mee doet: als het
getal even is, deel je het door 2, maar als het getal oneven is, vermenigvuldig je het met 3 en tel je er
1 bij op. Je stopt als je getal 1 geworden is.
a) Vind je de stopconditie echt nodig? Leg uit waarom?
b) Maak een stroomdiagram bij dit “recept”.
c) Gebruik je stroomdiagram voor een paar begingetallen om te zien wat er gebeurt. Welke
bijzondere eigenschap hebben de getallenrijen die je krijgt?
d) Wat gebeurt er als je begint met een negatief getal?
Uitwerkingen voor de docent (aangepaste opdracht)
a) Als je begingetal 1 is wordt de rij: 1, 4, 2, 1. Er treedt dus herhaling op. Het is aan de leerling
om uit te leggen of dit wel of niet wenselijk is (met goede argumentatie is iedere antwoord
goed!)
b)
c) Uitproberen. Alle rijen eindigen met 4, 2 en 1.
d) Met negatieve getallen kunnen ook bepaalde patronen ontstaan, maar de rij stopt niet,
omdat je nooit bij 1 komt. Waarom niet?
Stap 3: Verrijkte opdracht screenen
Door middel van rode kruisjes wordt het verschil aangegeven ten opzichte van de eerste screening.
De zwarte kruisjes zijn overgenomen van de eerste screening. In de toelichtingen worden de
aanpassingen toegelicht.
Afhankelijk van het doel van de opdracht is het niet noodzakelijk om alle – of +/- uit de eerste
screening aan te passen. Om praktische redenen zal het ook niet in alle gevallen mogelijk zijn.
Score met rood X aangegeven
Screeningslijst wiskunde ingevuld voor aangepaste opdracht ‘Syracuse-rijen’.
Bij de criteria waarvoor de opdracht is verrijkt is een toelichting gegeven.
1.
Het materiaal heeft een hoge moeilijkheidsgraad
±
-

Het materiaal bevat een moeilijk abstract onderwerp waar leerlingen nog
weinig voorkennis over hebben.

Het materiaal doet een beroep op hogere denkvaardigheden.
X

Het materiaal gaat over een praktijkprobleem dat met wiskunde opgelost
kan worden.
X

Het materiaal maakt gebruik van verschillende bronnen; de leerling moet
daar zelf de benodigde informatie uit halen.
X

De leerling moet de vraagstelling zelf nog vertalen naar wiskundetaal.
X

Het materiaal maakt gebruik van abstracte begrippen, notaties en
generalisaties.
+
nvt
X
X
X
X
Toelichting op de onvoldoende gemarkeerde criteria (- of +/-) met betrekking tot hoge
moeilijkheidsgraad.


Het vormen van een mening over de stopconditie doet een beroep op hogere
denkvaardigheden.
Het maken van het stroomdiagram en het analyseren van het gedrag van de rijen voor
verschillende startwaarden vragen daar ook om.
2. Het materiaal bevat open opdrachten
-
±
+

Het materiaal bevat opdrachten die open zijn en niet volgens een vast format
zijn geformuleerd. De uitkomst van de open opdracht staat van tevoren niet
vast.
X
X

Het materiaal nodigt leerlingen uit om zelf onderzoek te doen en de uitkomsten
te presenteren.
X
X

Het materiaal ondersteunt leerlingen om zelf gevarieerde keuzes te maken in
bronnenmateriaal.
X

Het materiaal bevat opdrachten met maar één correct antwoord, dat op
verschillende manieren gevonden kan worden.
X

Het materiaal nodigt uit tot originaliteit en durf.
X
nvt
X
Toelichting op de onvoldoende gemarkeerde criteria (- of +/-) met betrekking tot open opdrachten.

De vraag over negatieve getallen vraagt om het zelf bedenken van een strategie en het is niet
duidelijk wat het antwoord zal zijn.
3. Het materiaal stimuleert een onderzoekende houding bij leerlingen
± +

Materiaal dat vraagt om een aantal verschillende oplosmethoden voor een
bepaald probleem.
X
nvt

Het materiaal stimuleert leerlingen zelf tot theorievorming te komen.

Materiaal bevat een eindopdracht om zelf onderzoek te gaan doen.
X

Materiaal dat de leerling onderzoek laat doen naar de geschiedenis van een
bepaald onderwerp.
X
X
X
Toelichting op de onvoldoende gemarkeerde criteria (- of +/-) met betrekking tot onderzoekende houding.


4.
De vraag over de stopconditie zet aan tot reflecteren.
De vraag over de negatieve getallen laat de leerlingen nadenken over een theorie over het
gedrag van de rij.
Het materiaal vraagt om een reflectieve houding
-
±
+
nvt

Het materiaal stimuleert de leerling uit te leggen hoe de oplossing gevonden
is.

Het materiaal stimuleert de leerling te omschrijven wat er goed ging tijdens de
opdracht en wat mogelijke verbeterpunten zijn.
X

Het materiaal stimuleert leerlingen om te reflecteren op tussen- en
eindproducten van andere leerlingen.
X

Het materiaal bevat rubrics, commentaarformulieren of
beoordelingsformulieren zodat leerlingen in staat worden gesteld op eigen en
andermans werk te reflecteren.
X
X
X
Toelichting op de onvoldoende gemarkeerde criteria (- of +/-) met betrekking tot reflectieve houding.

Bij opdrachten 1 en 4 moet het antwoord toegelicht worden.
5.
Het materiaal geeft ruimte aan talentontwikkeling
-
±
+

Het materiaal daagt de leerling uit analytisch te denken
X
X

Het materiaal doet een beroep op de creatieve denkvaardigheden van
leerlingen.
X
X

Het materiaal doet een beroep op praktische vaardigheden.
X
Toelichting op de onvoldoende gemarkeerde criteria (- of +/-) met betrekking tot talentontwikkeling.

Het maken van een stroomdiagram doet een beroep op analytisch denken en creativiteit..
Stap 4: Verrijkte opdracht uittesten
Het is belangrijk om de verrijkte opdracht in de praktijk uit te testen. Werken de leerlingen aan de
opdracht zoals deze bedoeld is? Is de opdracht haalbaar en goed uitvoerbaar in de praktijk? Worden
de gewenste doelen behaald met het maken van de opdracht? Zijn de instructies voldoende helder
voor de leerlingen, zodat zij er zelfstandig mee aan de slag kunnen? Is de tijdsinvestering goed
ingeschat? Kost de beoordeling niet onevenredig veel tijd?
Pas indien nodig de opdracht aan, zodat een volgende groep leerlingen er gemakkelijk mee kan
werken.
nvt