Inleveropdrachten voor Populatiedynamica, Week 5 Uiterste

Inleveropdrachten voor Populatiedynamica, Week 5
Uiterste inleverdatum: 11 mei, 17:00 uur
Uitleg voor Opgave 1
We gaan in de volgende opgave de Holling type III functionele respons afleiden binnen
de context van chemische reacties. Ter illustratie doen we eerst Holling type II, die
overigens ook behandeld is tijdens Modelleren 2.
Laat S een substraat zijn, E een enzym, C een complex van enzym gebonden aan
substraat, en P het product van de enzymatische reactie. De concentraties van deze
vier stoffen worden aangegeven met kleine letters, s, e, c en p. Beschouw het volgende
reactieschema
k+
k
S + E C → P + E.
(1)
k−
Hierbij hoort het volgende stelsel differentiaalvergelijkingen,
ds
dt
de
dt
dc
dt
dp
dt
=−k+ se + k− c,
(2)
=−k+ se + k− c +kc,
(3)
= k+ se − k− c −kc,
(4)
=
(5)
+kc.
d
Merk op dat dt
(e+c) = 0. (Waarom?) Als we veronderstellen dat s constant is, volgen
de dynamica van e en c een lineair stelsel differentiaalvergelijkingen,
d
e
e
=M
.
(6)
c
c
dt
waarbij
M=
−k+ s k− + k
k+ s
−(k− + k)
(7)
M heeft een eigenwaarde 0. (Kon je dit op voorhand voorspellen?) De eigenvector bij
deze eigenwaarde is
e
k− + k
=
,
(8)
c
k+ s
De andere eigenwaarde is negatief, zodat (voor vaste s),
etot
e(t)
k− + k
t→∞
,
−→
k+ s
c(t)
k+ s + k− + k
(9)
waarbij etot = e(0) + c(0) de totale beginconcentratie enzym is. Merk op dat we de
eigenvector zo geschaald hebben dat de som van de elementen 1 is, zodat e en c naar
evenwichtsfracties van de totale conentratie etot convergeren.
1
Nu gaan we op de lange tijdschaal kijken (zonder daardwerkelijk een herschaling van
parameters te doen). Neem dus aan dat e en c op hun evenwichtsfracties zijn aangekomen (uitgedrukt in s en de andere constanten). Als we deze substitueren in de
vergelijking voor s vinden we dat
Deze is dus van de vorm
ds
k+ ketot
=−
s.
dt
k+ s + k− + k
(10)
ds
Vm s
=−
,
dt
Km + s
(11)
Dit is de bekende Michaelis-Menten vergelijking. Hij heeft dezelfde vorm als de Holling type II respons.
Opgave 1
Soms vinden we in experimentele data een Holling type III (of sigmoidale) respons.
Zie Figuur 2.8 in het boek voor een voorbeeldplaatje. We gaan deze respons weer
afleiden in de context van enzyme reacties.
Stel dat een enzym nu de volgende eigenschappen heeft:
• het kan zich in twee toestanden bevinden: een toestand T0 waarin het niet gebonden kan worden door een substraat, en een toestand R0 waarin dit wel kan.
• het enzym kan op twee plaatsen door een subtraat gebonden worden. Als het
gebonden wordt door een enzym kan dit enzym niet meer in toestand T0 terugspringen voordat het substraat heeft losgelaten.
Een voorbeeld van een dergelijk enzym is hemoglobine: dit heeft zelfs 4 binding sites.
Het reactieschema uit opgave wordt nu
2k+ s
f
k+ s
S
b
T0
k−+ k
S S
2(k−+k)
R0
R1
Het bijbehorende stelsel differentiaalvergelijkingen is
2
R2
dT0
dt
dR0
dt
dR1
dt
dR2
dt
ds
dt
dp
dt
= −f T0 +bR0 ,
(12)
= +f T0 −bR0 − 2k+ sR0 +(k− + k)R1 ,
(13)
=
+ 2k+ sR0 −(k− + k)R1 − k+ sR1 +2(k− + k)R2 ,
(14)
=
+ k+ sR1 −2(k− + k)R2 ,
(15)
=
− 2k+ sR0
+k− R1 − k+ sR1
=
+kR1
+2k− R2 ,
(16)
+2kR2 .
(17)
In het diagram zijn alle pijlen naar producten P weggelaten.
(a) We stellen weer dat de dynamica van substraat en product veel langzamer verloopt dan die van de verschillende enzymen en complexen. Geef voor vaste s de
matrix M die de lineaire dynamica van (T0 , R0 , R1 , R2 ) bepaalt.
(b) Deze M heeft weer een eigenwaarde 0. Bepaal de eigenvector, en normaliseer
deze zodat de som van de elementen 1 is, zodat we weer kunnen denken in termen van fracties van al het enzym dat zich in de verschillende toestand bevindt.
(c) Net als bij opgave 1 zijn alle andere eigenwaarden kleiner dan 0 (dit komt weer
door de Perron-Frobenius stelling). Dit mag je aannemen. De fractie van alle
bindingsplekken waar een substraat aan gebonden is 12 R1 + R2 . Bepaal deze
som in het langetermijn evenwicht, en noem hem even Y .
(d) Doe in Y de volgende substitutie
s̃ :=
k+
s.
k− + k
en schets hoe Y eruit ziet als functie van s̃.
(e) Ten slotte schakelen we weer over naar de lange tijdsschaal. Neem nu dus aan
dat de enzymkinetiek in evenwicht is geraakt. We beschouwen nu alleen de
dynamica van s. Deze wordt gegeven door
ds
= −2kY etot .
dt
waarbij etot weer de beginconcentratie enzym is. Het substraat volgt dus een
Holling type III respons. Kun je nu onder woorden brengen waarom de twee
aannamen op het enzym (de twee toestanden, en de twee binding sites) een dergelijke respons teweeg brengen?
3