De derde wet van Newton

7
De derde wet
van Newton
Als er op een systeem een kracht wordt uitgeoefend, is er altijd een ander systeem dat die kracht levert.
Voorbeelden:
•
Lien werpt een bal weg: op de bal wordt een kracht
uitgeoefend, want de bal versnelt. Dat is systeem 1. Lien
oefent de kracht uit: zij is systeem 2.
•Ben krijgt een boksstoot: op hem wordt een kracht
uitgeoefend. Hij is systeem 1. De bokser die hem de slag
toedient, oefent de kracht uit: hij is systeem 2.
Bij het uitoefenen van een kracht is er dus een interactie
tussen twee systemen. Newton was de eerste die besefte
dat niet alleen het ene systeem een kracht uitoefent op
het andere, maar dat tegelijk ook dat systeem een kracht
uitoefent op het eerste.
→
Als een systeem 1 een kracht F12 uitoefent op een systeem 2, oefent systeem 2 een even grote tegenge→
stelde kracht F21 uit op systeem 1:
→ →
F12 = F21
+
Dat is de derde wet van Newton.
Q1
→
F21
+
Q1
→
F21
We bekijken enkele voorbeelden die deze wet illustreren.
Q2
+
→
F12

F12 is de kracht van 1 op 2.
Q2
–
–

F21
→
F12

F12
•Vorig jaar leerde je de coulombkracht kennen: een positieve lading Q1 (systeem 1) oefent een
afstotingskracht uit op een positieve lading Q2 (systeem 2). De lading Q2 (systeem 2) oefent een
even grote tegengestelde kracht uit op lading Q1 (systeem 1).
•Sla met een houten hamer een spijker in een eiken plank. Tijdens de fractie van een seconde waarin
de hamer contact maakt met de spijker, oefent de hamer (systeem 1) een kracht uit op de spijker
(systeem 2), want die komt in beweging en dringt in de plank. De spijker (systeem 2) oefent een
kracht uit op de hamer (systeem 1), want die vertraagt. Bovendien wordt de hamer lokaal vervormd:
er ontstaat een afdruk van de spijkerkop in de houten hamer.
•Om uit een roeibootje naar de kant te stappen, oefen jij (systeem 1) een kracht uit op het bootje
(systeem 2). Het bootje (systeem 2) oefent een kracht uit op jou (systeem 1), waardoor je naar de
kant kunt stappen. Maar … door de kracht die jij uitoefent op het bootje, komt dat ook in beweging
en kun je in het water terecht komen!
•Soms zie je het effect van de ene kracht wel, maar van de andere kracht niet: als Dany tegen een
→
muur leunt, oefent hij (systeem 1) een kracht F12 uit op de muur (systeem 2), maar van die kracht
merk je niets omdat de muur niet vervormt of in beweging komt! De muur (systeem 2) oefent een
→
kracht F21 uit op Dany (systeem 1) waardoor hij in evenwicht kan blijven.
70 ]
Kinematica en dynamica
→
→
Dat de kracht F12 van systeem 1 op systeem 2 even groot is als de kracht F21 van systeem 2 op systeem 1,
blijkt uit volgende experimenten:
•Oefen een kracht uit van bv. 2,0 N op een dynamometer (1): die wijst dan 2,0 N aan. Je kunt daarvoor
ook een dynamometer (2) gebruiken. Dynamometer 1 (systeem 1) ondervindt een kracht van dynamometer 2 (systeem 2) en wordt uitgerekt. Dynamometer 2 (systeem 2) ondervindt een kracht van dynamometer 1 (systeem 1) en wordt ook uitgerekt. Beide krachten zijn even groot!
systeem 1
F21
systeem 2
F12
•Plaats een magneet en een massief ijzeren blok elk op een lichtlopend wagentje.
De magneet (systeem 1) oefent een kracht uit op het ijzeren blok (systeem 2), want het wagentje met
het blok komt in beweging. Het blok (systeem 2) oefent een kracht uit op de magneet (systeem 1),
want dat wagentje komt ook in beweging. Als je de krachten meet, zie je dat ze even groot zijn, ook al
is de massa van het blok en de magneet verschillend!
systeem 1
F21
F12
systeem 2
Enkele opmerkingen:
• Volgens de derde wet van Newton treden krachten nooit alleen op, maar altijd per twee.
•Men noemt deze wet ook wel de wet van actie en reactie: de ene kracht (de ‘actie’) heeft als gevolg dat
er ook een andere kracht (‘de reactie’) optreedt. Maar het is niet zo dat de ene kracht eerst optreedt
en daarna (als reactie) de andere. Beide krachten treden gelijktijdig op: als de ene kracht er is, is de
andere er ook! Die wet zou dus beter ‘de wet van de gelijktijdige interactie’ genoemd worden.
•De twee krachten grijpen aan op twee verschillende systemen: de ene kracht op het ene systeem, de
andere op het andere systeem. Daarom kun je geen resultante bepalen van een koppel actie- en reactiekrachten!
•Alhoewel de twee krachten even groot zijn, kan de versnelling van de twee systemen toch verschillend
zijn: als je uit een boom springt, val je naar beneden omdat de aarde een kracht op je lichaam uitoefent. Jij oefent een even grote (tegengestelde) kracht uit op de aarde, maar omdat de massa van de
aarde zo veel groter is, valt de aarde niet merkbaar naar boven!
71
‘Middelpuntvliedende krachten’
F
Een systeem waarin de wetten van
Newton gelden noemt men een
inertiaal systeem.
Voor een waarnemer in een
systeem dat versnelt, gelden de
wetten van Newton niet. Zo’n
systeem noemen we een nietinertiaal systeem.
Nog een voorbeeld: een blokje zit aan een veer op een wrijvingsloze en horizontale
schijf die ronddraait. Het blokje voert een ECB uit.
De veer is uitgerekt.
Voor een buitenstaander (A) is dit begrijpelijk: het blokje oefent
op de veer een kracht uit die naar buiten gericht is (wet
van de traagheid!); de veer oefent op het blokje
een (reactie)kracht uit die naar binnen gericht
B
is. Daardoor voert het blokje de ECB uit.
Voor een waarnemer (B) op de schijf is het
blokje in rust. Toch is de veer uitgerekt! Voor
B kan dit maar als op het blokje een kracht
inwerkt die naar buiten gericht is. Die kracht is
echter fictief, want er is geen enkel systeem dat die
kracht uitoefent. Het is die fictieve ‘kracht’ die je zelf ook
ervaart als je op een paardenmolen zit en die de middelpuntvliedende
of centrifugale kracht genoemd wordt.
WAT JE NA DIT HOOFDSTUK MOET KENNEN EN KUNNEN:
�
de 3e wet van Newton formuleren, toelichten en illustreren met voorbeelden uit het dagelijkse leven
K INE M ATICA E N DY NAM ICA
Als je in een carrousel zit, heb je de indruk dat je naar buiten geduwd wordt. In het
dagelijkse leven noemt men dat wel eens ‘de middelpuntvliedende kracht’. Als je de
krachten op Stefanie in de draaiende ton (p. 58) bekijkt, zie je echter dat er geen naar
buiten gerichte kracht is, integendeel, de resulterende kracht is naar binnen gericht!
De ‘kracht’ die zij dus meent te ervaren is er in werkelijkheid niet!
Er zijn nog situaties waarin je zo’n schijnkracht ervaart: in een auto die een bocht neemt,
heb je het gevoel dat je naar buiten gedrukt wordt; in een vliegtuig dat vertrekt, word je
tegen de stoel gedrukt; bij een auto-ongeval word je tegen je gordel gedrukt.
Zo’n schijnkrachten treden op telkens je deel uitmaakt van een systeem dat
een versnelling heeft.
We bekijken wat er gebeurt aan de hand van een wagen die een bocht neemt.
Voor de bocht bewegen wagen en passagiers rechtlijnig met een constante snelheid.
Wanneer de wagen de bocht ingaat, zullen passagiers, door de wet van de traagheid,
rechtdoor bewegen. Wanneer de wrijvingskracht van de stoel op de passagier voldoende
groot is, zal die kracht ervoor zorgen dat de passagier ‘meegenomen’ wordt en de bocht
neemt. Indien die kracht te klein is, beweegt de passagier rechtdoor, terwijl de auto de
bocht neemt en dus onder de passagier ‘doorschuift’. Zo komt de passagier tot tegen de
deur; die zal op hem een kracht uitoefenen, waardoor hij de bocht kan nemen. Die kracht is
de reactiekracht van de kracht die hijzelf op de deur uitoefent. Als er geen deur aanwezig
is, vliegt hij rechtdoor uit de wagen!
Voor een buitenstaander is het ‘naar buiten gedrukt worden’ dus een gevolg van de wet van
de traagheid. Daarom noemt men die schijnkrachten ook wel traagheidskrachten.
A
8
Voorbeeldoefeningen
Bekijk eventueel eerst het stappenplan op p. 76.
- OEFENING
De normaalkracht
Sergeï (massa 58,9 kg) staat op een koord. Bepaal de krachten die op hem inwerken als hij op de koord
even in rust staat.
Om de reactiekracht te bepalen,
moet je de volgorde omdraaien:
… van Sergeï op de koord … wordt
… van de koord op Sergeï …
Oplossing
Het systeem dat we beschouwen is Sergeï.
→
Op zijn lichaam werkt de zwaartekracht Fz.
→
Door de zwaartekracht oefent Sergeï op de koord een kracht FSk uit:
→
FSk is de kracht van Sergeï op de koord.
Volgens de derde wet van Newton oefent de koord op Sergeï een even grote tegengestelde (reactie)kracht
uit:
→
FkS is de kracht van de koord op Sergeï.
→ →
Op Sergeï werken twee krachten: Fz en FkS.
y

FkS

FkS
x

Fz
Voor een kracht zoals
→
Fz waarvan je de richting
kent, kun je de componenten
onmiddellijk uitdrukken als
functie van de grootte
(hier: Fz,x = 0 en Fz,y = -Fz).

Voor een kracht zoals FkS , waarvan
we de richting niet kennen, moet
je werken met de componenten
(hier FkS,x en FkS,y).
Volgens de tweede wet van Newton geldt
→ →
a
Fz + FkS = m · →

FSk

Fz
We kiezen een assenstelsel zoals in de figuur en projecteren:
op de x-as: 0 + FkS,x = m · ax (1)
op de y-as:-Fz + FkS,y = m · ay
(2)
Voor de zwaartekracht geldt Fz = m · g = 58,9 kg · 9,81 N/kg = 578 N

De versnelling a is nul, omdat hij even in rust is (en blijft).
De vergelijkingen (1) en (2) worden dan
FkS,x = m · 0
-578 N + FkS,y = m · 0
y

FkS
x

Fz
Daaruit volgt
FkS,x = 0 N
FkS,y = 578 N (= Fz)
De kracht van de koord op Sergeï is verticaal en bedraagt 578 N.
+
Wat is het verschil tussen
→ →
FN en Fn?
Als een voorwerp ondersteund wordt, oefent het steunvlak op het voorwerp een kracht uit. Die kracht
→
staat loodrecht op het steunvlak en noemen we de normaalkracht FN.
FN
FN
73
Krachten bij het vertrek met een caravan
Brecht vertrekt met zijn auto (massa 1620 kg) en caravan (massa 659 kg) uit rust met versnelling 1,50 m/s2.
a) Bepaal de krachten op het geheel.
b) Bepaal de krachten op de caravan.
Oplossing
a) Het systeem dat we beschouwen is de auto met de caravan.
y
→
→
FN
→
FN

→
FaN
→
Fm
Fm
→
Fz
→
Fz
Op dat systeem werken drie krachten:
→
de zwaartekracht Fz
→
de normaalkracht FN
→
de kracht van de motor die voor de versnelling zorgt Fm
Let op de vectorpijltjes!
Volgens de tweede wet van Newton geldt
→ → →
a
Fz + FN + Fm = m · →
We kiezen het assenstelsel zoals in de figuur. Projecteren geeft
op de x-as: 0 + 0 + Fm = m · ax (1)
op de y-as:-Fz + FN + 0 = m · ay
(2)
Voor de zwaartekracht geldt
Fz = m · g = (1620 kg + 659 kg) · 9,81 N/kg = 224 · 102 N

De versnelling a is horizontaal en naar voor gericht:
De wagen kan slechts versnellen
door de wrijvingskracht met het
wegdek. Als er praktisch geen
wrijving is, zoals bv. op een verijsd wegdek, kan de wagen niet
versnellen!
De vergelijkingen (1) en (2) worden dan
Fm = (1620 kg + 659 kg) · 1,50 m/s2
-224 · 102 N + FN = 0
Daaruit volgt
Fm = 342 · 101 N
FN = 224 · 102 N
ax = +1,50 m/s2 en ay = 0.
x
K INE M ATICA E N DY NAM ICA
- OEFENING
74 ]
Kinematica en dynamica
y

FN,c
b) Het systeem dat we beschouwen is de caravan.
Op dat systeem werken drie krachten:
→
de zwaartekracht Fz,c
→
de normaalkracht FN,c

Fac
→
de kracht van de (trekhaak van de) auto op de caravan Fac
x

Fz,c
Volgens de tweede wet van Newton geldt
→
→
→
ac
Fz,c + FN,c + Fac = m · →
Voor de zwaartekracht geldt
Fz,c = mc · g = 659 kg · 9,81 N/kg = 646 · 101 N

De versnelling ac van de caravan is horizontaal, naar voor gericht en is eveneens 1,50 m/s2.
Projecteren geeft
op de x-as:
0 + 0 + Fac = 659 kg · 1,50 m/s2 (1)
op de y-as:
-Fz,c + FN,c + 0 = 0
(2)
Daaruit volgt
Fac = 989 N
FN,c = 646 · 101 N
Bindingskrachten
→
De (trekhaak van de) auto oefent op de caravan een kracht Fac uit. De caravan oefent op
→
de auto een even grote tegengestelde (reactie)kracht Fca uit.
Beschouw je de auto en de caravan als één systeem, dan zijn dat krachten tussen
onderdelen van het systeem (van de auto op de caravan en omgekeerd). We noemen
dat bindingskrachten. Die bindingskrachten zijn er bv. ook tussen alle atomen en
moleculen van de auto. Met de bindingskrachten van een systeem hoeven we geen
rekening te houden aangezien dat geen uitwendige krachten zijn!
→
Als je de caravan als systeem beschouwt, is de kracht Fca wel een uitwendige kracht.
→
→
Fac
+
Fac
→
Fca
Bindingskrachten zijn krachten tussen onderdelen van één systeem. Daarmee hoeven we geen rekening te houden.
75
- OEFENING
Zwiercarrousel
K INE M ATICA E N DY NAM ICA
Bobbejaan zit in een zwiercarrousel en beschrijft een ECB. De massa van het geheel (Bobbejaan + zitje) is
85,2 kg. De periode is 5,74 s. De straal van de beschreven cirkel is 9,60 m. Bepaal de krachten op Bobbejaan en zijn zitje.
y
→
Oplossing
Het systeem dat we beschouwen is Bobbejaan en zijn zitje.
Op dat systeem werken twee krachten:
→
de zwaartekracht Fz
→
de kracht van de kabel Fk
Fk
x
→ →
Volgens de tweede wet van Newton geldt Fz + Fk = m · →
a
We kiezen het assenstelsel zoals in de figuur. Projecteren geeft
op de x-as: 0 + Fk,x = m · ax (1)
op de y-as:-Fz + Fk,y = m · ay (2)
→
Fz
Voor de zwaartekracht geldt
Fz = m · g = 85,2 kg · 9,81 N/kg = 836 N
→
Fk

Vermits het systeem een ECB uitvoert, is a horizontaal en naar het middelpunt van de baan
gericht: ax = a
Voor de grootte van de versnelling geldt
2
2
⎛ 2 π⎞
⎛ 2π ⎞
2
⎟ · 9,60 m = 11, 5 m/s
a = ω2 · r = ⎜ ⎟ · r = ⎜
⎝T ⎠
⎝ 5, 74 s⎠
→
Fz
Dus
ax = a = 11,5 m/s2
ay = 0
De vergelijkingen (1) en (2) geven
Fk,x = 85,2 kg · 11,5 m/s2
-836 N + Fk,y = 0
Daaruit volgt
Fk,x = 980 N
Fk,y = 836 N

De grootte van de kracht Fk is
y
y
→
Fk
836 N
x
980 N
x
→
Fc
836 N
→
Fz
1
Fk = (Fk,x2 + Fk,y2 ) = (980 N)2 + (836 N)2 = 129 · 10 N
Opmerking:
→
→
De kracht Fz (836 N) is even groot als en tegengesteld aan de y-component van Fk (836 N). Die twee com→
→
penseren elkaar. De x-component van Fk geeft de resulterende kracht Fc.
Zoals verwacht bij een ECB wijst die resulterende kracht naar het middelpunt van de baan.
76 ]
Kinematica en dynamica
- OEFENING
Middelpuntzoekende kracht op de maan
De maan voert (bij benadering) een ECB uit rond de aarde.
Bereken de middelpuntzoekende kracht die op de maan werkt.
Oplossing
Het systeem dat we beschouwen is de maan.
→
Vermits het systeem een ECB uitvoert, is de kracht Fc naar het middelpunt (van de aarde) gericht.
→
Fc
Een staalkabel met breeksterkte
170 · 103 N/cm2 moet een diameter hebben van 386 km om deze
kracht te kunnen weerstaan!
Voor de grootte van de kracht geldt
2
⎛ 2π ⎞
2
⎜
⎟
=
m
·
·r
Fc = m · ω · r
⎝T ⎠
Invullen van de gegevens (zie gegevenskaart) geeft
2
⎞
2π
8
20
Fc = 7, 35 · 10 kg · ⎜
⎟ · 3, 84 · 10 m = 2, 00 · 10 N
6
⎝ 2,36 · 10 s⎠
22
⎛
Stappenplan voor het oplossen van oefeningen op de wetten van Newton
1. Kies het systeem.
2.Teken de uitwendige kracht(en) op het systeem: dat zijn de krachten die de
omgeving op het systeem uitoefent.
3.Pas de tweede wet van Newton toe op dat systeem.
/ F→ = m · →a
i
4.Kies een (zo efficiënt mogelijk) assenstelsel en projecteer de vectoren. Let op de
tekens!
5.Bepaal de onbekende grootheid(heden) met de vergelijkingen. Gebruik eventueel de
formules uit de kinematica.
WAT JE NA DIT HOOFDSTUK MOET KENNEN EN KUNNEN:
■
oefeningen en denkvragen m.b.t. de wetten van Newton oplossen
■
de begrippen normaalkracht en bindingskracht uitleggen aan de hand van voorbeelden
9
De gravitatiekracht
9.1
Van geocentrisch naar
heliocentrisch wereldbeeld
Tot in de 16e eeuw geloofde men dat de aarde het
centrum van het heelal was en dat planeten, sterren,
de zon … rond de aarde draaiden (geocentrisch
wereldbeeld). Het stuitte dan ook op heel wat
tegenstand, o.a. van de kerkelijke overheden, toen
o.a. Copernicus en Galilei het heliocentrische
wereldbeeld voorop stelden, waarbij de zon als
centrum wordt beschouwd. De beweging van de
planeten rond de zon kan dan beschreven worden
door de drie wetten van Kepler:
+
WETTEN
Galileo Galilei
Eerste wet: de planeten bewegen op ellipsvormige banen rond de zon, met de zon in een brandpunt.
Tweede wet: de voerstraal (de lijn tussen zon en planeet) beschrijft in gelijke tijden gelijke oppervlakken
(perkenwet).
∆t
∆t
Controleer de derde wet van
Kepler voor enkele planeten met
behulp van je gegevenskaart.
Derde wet: de verhouding van de derde macht van a (lengte van de halve lange as) tot het kwadraat van T
­(periode) is dezelfde voor alle planeten:
a3
= cte
T2
: Gravitatie
Trefwoorden: Aristoteles, Galilei, Copernicus, Tycho Brahe, Kepler, Newton, Cavendish, Einstein
Zoek een antwoord op volgende vragen:
•Welke bijdrage leverden de hierboven vermelde wetenschappers aan de gravitatietheorie?
•Hoe bepaalde Cavendish de gravitatieconstante?
•Maak een tijdsas met de belangrijkste bijdragen op dat vlak.
•Wat is het verschil tussen ‘trage massa’ en ‘zware massa’?
78 ]
Kinematica en dynamica
De ellips
Een ellips is een kromme waarvan de som van de afstanden tot twee gegeven punten
F1 en F2 constant is: voor elk punt van de ellips is de afstand d1 + d2 dezelfde.
De punten F1 en F2 zijn de brandpunten van de ellips.
Je kunt een ellips tekenen door
de eindpunten van een koordje in
twee punten (de brandpunten)
te fixeren en een lijn te tekenen
waarbij het touw gespannen blijft.
b
d1
a
F2
F1
d2
P
Uit de tabel blijkt dat b/a ≈ 1;
de banen zijn dus praktisch
cirkelvormig.
Een ellips heeft twee symmetrieassen: een lange en een korte as. De lengte van de
halve lange as is a, die van de halve korte as is b.
De verhouding b/a is een maat voor de afplatting van de ellips. Die waarde ligt tussen
0 (rechte) en 1 (cirkel).
hemellichaam
straal baan
(m)
periode T
(s)
b/a
Zon
1,99 · 1030
6,96 · 108
Mercurius
3,30 · 1023
2,43 · 106
5,79 · 1010
7,60 · 106
0,978
24
6
11
7
1,000
Venus
4,88 · 10
6,05 · 10
1,08 · 10
1,94 · 10
Aarde
5,976 · 1024
6,371 · 106
1,496 · 1011
3,15 · 107
Maan
Mars
Met volgende zin kun je de
volgorde van de planeten rond de
zon onthouden: MEt VEel AAndacht
MAakt JUlia ‘S Avonds URenlang
NEpalese PLooirokjes.
Sinds 2006 wordt Pluto niet meer
als een planeet beschouwd.
straal hemellichaam
(m)
massa m
(kg)
7,35 · 10
22
6
1,74 · 10
8
3,84 · 10
0,999
6
2,36 · 10
0,998
6,42 · 1023
3,38 · 106
2,28 · 1011
5,93 · 107
0,996
27
7
11
8
Jupiter
1,90 · 10
6,98 · 10
7,78 · 10
3,74 · 10
0,999
Saturnus
5,68 · 1026
5,82 · 107
1,43 · 1012
9,30 · 108
0,998
25
7
12
9
Uranus
8,68 · 10
2,35 · 10
2,87 · 10
2,65 · 10
0,999
Neptunus
1,03 · 1026
2,27 · 107
4,50 · 1012
5,20 · 109
1,000
22
6
12
9
(Pluto
1,26 · 10
2,39 · 10
5,90 · 10
7,83 · 10
0,969)
79
9.2
Het feit dat de planeten een kromlijnige baan beschrijven, betekent dat er op de planeten voortdurend
een kracht inwerkt. Dat leidt tot volgende onderzoeksvraag.
AG
SVRA
OEK
Z
R
DE
ON
+
Welke kenmerken (grootte, richting, zin) heeft de kracht die zorgt voor de kromlijnige baan van de planeten?
Isaac Newton beschreef die kracht voor het eerst in 1687.
WET
→
Twee massa’s m1 en m2 oefenen op elkaar door hun massa een aantrekkingskracht uit: de gravitatiekracht Fg.
Voor de grootte van deze kracht geldt
Gravitatie komt van het Latijnse
woordje ‘gravitas’, wat zwaar,
zwanger … betekent.
Fg =
G ⋅ m1 ⋅ m2
r2
r is de afstand tussen de twee massa’s.
G is de gravitatieconstante: G = 6,673 · 10-11 N · m2/kg2.
Dat is de algemene gravitatiewet.
m1
→
Fg
→
Fg
m2
r
Vermits de constante G erg klein is, is de gravitatiekracht tussen voorwerpen slechts merkbaar als één van
beide voorwerpen een grote massa heeft.
Welke afstand r moet je gebruiken in de gravitatiewet?
Voor puntmassa’s is de afstand r de afstand tussen die punten.
Bij reële voorwerpen is die afstand niet zomaar te bepalen: elk deeltje (proton, neutron,
elektron …) van het ene voorwerp oefent immers gravitatiekracht uit op elk deeltje van het
andere voorwerp. Al die krachten samen geven de resulterende gravitatiekracht op het
voorwerp.
m2
We doen nu volgende gedachteproef:
m1
je vervangt de twee voorwerpen
F21
F12
door puntmassa’s en zet die op
een zodanige afstand r dat de
gravitatiekracht dezelfde is als tussen
de voorwerpen. Dat is de afstand r
tussen de voorwerpen die we zoeken.
F12 m2
m1 F21
In oefeningen krijg je de afstand r
opgegeven. De zon en de planeten
beschouwen we als homogene en
r
regelmatige bollen. Dan mag je de
afstand tussen de middelpunten gebruiken.
K INE M ATICA E N DY NAM ICA
De gravitatiekracht
80 ]
Kinematica en dynamica
- OEFENING
Grootte van de gravitatiekracht
Hoe groot is de gravitatiekracht tussen Jan (massa 58,3 kg) en Tine (52,8 kg) als ze zich 1,50 m van elkaar
bevinden?
SYST 1
SYST 2
Oplossing
De grootte van de gravitatiekracht is
G ⋅ m1 ⋅ m2
Fg =
r2
6, 673 · 10−11 N · m2 /kg2 · 58,33 kg · 52,8 kg
= 9, 13 · 10−8 N
=
(1,50 m)2
FTJ
FJT
Die kracht is zo klein dat je daar in praktijk niets van merkt!
- OEFENING
Gravitatiekracht van de aarde op de maan
Hoe groot is de gravitatiekracht die de aarde op de maan uitoefent?
Oplossing
r
De grootte van de gravitatiekracht is
Fg =
G ⋅ m1 ⋅ m2
r2
=
6, 673 · 10−11 · N · m2 /kg2 · 5,9976 · 1024 kg · 7,35 · 1022 kg
(3,84 · 108 m)2
= 1, 99 · 1020 N
De middelpuntzoekende kracht die nodig is om de maan haar cirkelvormige baan te laten beschrijven, is
F = 2,00 · 1020 N (zie oef. p. 76)
Deze kracht is (op een afronding na) even groot als de gravitatiekracht.
Daaruit blijkt dat de beweging van de maan rond de aarde verklaard kan worden met de gravitatiekracht.
81
9.3
Gravitatie- en zwaartekracht
Met de gravitatiekracht kun je niet alleen de beweging van de planeten verklaren, maar ook de
zwaartekracht.
+
Ook op en rond andere planeten en
hemellichamen is er zwaartekracht
omwille van de gravitatiekracht
die die hemellichamen uitoefenen.
De zwaartekracht is de gravitatiekracht die de aarde op elk voorwerp uitoefent.
Dat blijkt uit de kenmerken van beide krachten op een voorwerp op aarde:
- zowel de zwaartekracht als de gravitatiekracht zijn verticaal en naar beneden gericht;
- beide krachten veranderen op eenzelfde manier met de hoogte;
- de zwaartekracht en de gravitatiekracht die de aarde op een voorwerp uitoefent zijn even groot.
We bekijken dat laatste puntje voor een auto met massa 1250 kg.
De grootte van de zwaartekracht is
Fz = m · g
= 1250 kg · 9,81 N/kg
= 123 · 102 N
De term zwaartekracht gebruiken
we meestal voor de gravitatiekracht op een voorwerp op aarde.
De term gravitatiekracht
gebruiken we in het algemeen, bv.
voor de kracht tussen de aarde en
de maan.
De grootte van de gravitatiekracht is
G ∙ m ∙ ma
Fg =
r2
6, 673 ∙ 10-11 N ∙ m2 /kg2 ∙ 1250 kg ∙ 5,976 ∙ 1024 kg
=
= 123 ∙ 102 N
6
2
(6,371 ∙ 10 m)
9.3.2 De valversnelling
→
Een voorwerp met massa m waarop een resulterende kracht F werkt, krijgt een versnelling →
a met als
grootte
a=
F
m
De versnelling van een voorwerp als gevolg van de zwaartekracht is de valversnelling g. Vermits Fz = Fg
geldt
F
F
g= z = g
m m
G · m · ma
= 2
r ·m
G · ma
= 2
r
Op het aardoppervlak is r gelijk aan de aardstaal ra.
K INE M ATICA E N DY NAM ICA
9.3.1 De zwaartekracht
82 ]
Kinematica en dynamica
Dan is
G ∙ ma
m
g = GG ∙∙ 2m
g = ra2 aa
g = ra2
11
6,r673
∙ 10 --11
N ∙ m2 /kg 2 ∙ 5, 976 ∙ 10 24 kg
a
∙ 10 -11 N ∙ m22 /kg 226∙ 5,2976 ∙ 10 24
kg
= 6, 673
m /kg 6∙m5h,2976 ∙ 10 24 kg
= 6, 673 ∙ 10 ^6N, ∙371
=
^ 6, 371 ∙∙ 10
h
10 6 mh2
^6, 371 ∙ 10
kg ∙ m
m
m = 9, 820 m/s 22
= 9, 820 N/kg = 9, 820 kg
2 ∙m
= 9, 820 N/kg = 9, 820 skg
= 9, 820 m/s 2
2 ∙ ∙ kg
m/s
= 9, 820 N/kg = 9, 820 s 2 ∙ kg = 9, 820 m
s ∙ kg
s2
+
De valversnelling g op een hemellichaam met massa m en straal r is g =
In onze streken is g gelijk aan
9,81 m/s2. De kleine afwijking die
we hier vinden, is een gevolg van
het feit dat de aarde geen perfecte
en homogene bol is en roteert.
G ∙m
.
r2
Dat is in overeenstemming met de wetten van de vrije val die je in 6.2.1 zag:
• de valversnelling is constant en onafhankelijk van de massa van het voorwerp;
• de valversnelling aan het aardoppervlak is 9,82 m/s2.
G ·m
Met de formule g = 2 kun je ook de valversnelling op bv. de maan berekenen:
r
voor m en r moet je dan respectievelijk de massa en de straal van de maan gebruiken.
m
9.3.3 De zwaarteveldsterkte
Fg
Een (bron)massa mb creëert in de ruimte een gravitatieveld of
zwaarteveld: een andere massa m die zich in de buurt bevindt,
→
ondervindt de gravitatiekracht Fg. Om de invloed van de
bronmassa mb te beschrijven, definiëren we de grootheid
‘gravitatie- of zwaarteveldsterkte’.
+
DEFINITIE
→
De gravitatie- of zwaarteveldsterkte Fg in een punt P in de buurt van een bronmassa is de verhouding van
de gravitatiekracht op een proefmassa m in dat punt tot die massa:
→
→
Eg =
Vergelijk deze definitie met die
van de ‘elektrische veldsterkte’,
die je vorig jaar leerde kennen.
+
Fg
m
Voor de grootte van de zwaarteveldsterkte op het aardoppervlak geldt
Eg =
Fg
=
G ∙ ma ∙ m
ra2
=
G ∙ ma
m
ra2
∙m
Je vindt dezelfde formule terug als voor de valversnelling g!
De zwaarteveldsterkte Eg op een hemellichaam met massa m en straal r is Eg = G ∙ m .
r2
De zwaarteveldsterkte en de valversnelling zijn één en dezelfde grootheid.
Daarom kunnen we voor beide grootheden hetzelfde symbool gebruiken, nl. g.
WAT JE NA DIT HOOFDSTUK MOET KENNEN EN KUNNEN:
■ de gravitatiewet formuleren
■ de zwaartekracht verklaren met de gravitatiekracht
■ aantonen dat de zwaarteveldsterkte en de valversnelling identieke grootheden zijn
■ oefeningen en denkvragen m.b.t. de gravitatiekracht oplossen