een rationale functie en een bedrieglij

Inhoud leereenheid 5
Continue wiskunde
Grondbegrippen
Introductie
13
Leerkern 14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Voorbeelden van limieten: een rationale functie en een bedrieglijke
functie 14
Voorbereiden van de limietdefinitie 18
Het begrip ‘limiet’ 21
Linker- en rechterlimieten 25
Voorbereiden van continue en discontinue functies 28
De begrippen ‘continuïteit’, ‘links- en rechtscontinuïteit’ 29
Voorbeelden van discontinuïteiten 31
Limieten voor x gaat naar oneindig 34
Oneindige limieten en oneindige discontinuïteiten 36
Samenvatting 38
Zelftoets 39
12
Aanwijzingen
AANWIJZINGEN LEEREENHEID 5
5.3
Gebruik cosx = sin( 21 π – x) en de limiet uit voorbeeld 5.2.
5.6
Gebruik (zonder bewijs) dat limc→0,5 s(c) = 0,15.
5.8
a
Let op bij x = 0
AANWIJZINGEN LEEREENHEID 6
6.2
Gebruik cosx = sin(x + π/2).
6.9
b Gebruik
x–1
x–1
( x)
=
2
–1
x –1
=
(
)(
x –1
)=
x +1
x –1
x +1
6.10
Gebruik stelling 4.5.
6.10
Gebruik stelling 5.1.
6.25
c Bekijk eerst wat onder het wortelteken in de teller verwaarloosd zou
kunnen worden. Bepaal zo een dominante term en deel die uit.
d U kunt hier twee strategieën gebruiken. De eerste is het uitdelen van
gemeenschappelijke factoren x – 1 (paragraaf 5.2), de tweede is om x te
vervangen door y die naar 0 gaat, en dominante termen te herkennen. In
feite komen beide methoden op hetzelfde neer, alleen de manier van
opschrijven heeft een iets andere invalshoek.
6.31
Verwaarloos de niet-dominante termen in teller en noemer en probeer
standaardlimiet 6.5 te herkennen.
6.35
a
Gebruik de limiet uit voorbeeld 6.9.
b Gebruik de limiet uit voorbeeld 6.12.
AANWIJZINGEN LEEREENHEID 11
7.4
b Merk op dat –3 ≤ sinx + 2cosx ≤ 3.
7.5
De oplossingen van de vergelijking cosx = x zijn precies de nulpunten
van f(x) = cosx – x. Teken de grafiek van f en (in een ander plaatje) de
grafieken van cosx en x.
7.7
a Bedenk een functie g zodat de dekpunten van f precies de nulpunten
van g zijn. Zoek inspiratie in opgave 7.5.
c
Los f(x) = x op.
117
Leereenheid 5 Grondbegrippen
Leereenheid 5
Grondbegrippen
INTRODUCTIE
In deze leereenheid staan begrippen als limiet en continuïteit centraal, die
verderop in de cursus veel gebruikt worden. Het gaat er in deze leereenheid 5 vooral om deze begrippen wiskundig netjes in te voeren en te
doorzien. Er wordt in deze leereenheid nog niet veel mee gerekend, dat
stellen we uit tot leereenheid 6.
In blok 1, leereenheid 3, hebben we al limieten ontmoet. Maar dat waren
limieten van rijen, niet van functies. Aan de ene kant maakt dat niet zo
heel veel uit: het basisidee van ‘limiet’ is hetzelfde en in feite is een rij
niets anders dan een speciaal soort functie, namelijk met als domein de
natuurlijke getallen (zie definitie 3.1). Maar aan de andere kant is er toch
wel wat voor te zeggen limieten van functies apart te beschouwen: bij
rijen is het alleen zinvol limieten te nemen waarbij de index naar oneindig gaat, terwijl bij functies de rol van de index wordt overgenomen
door de variabele, die ook naar eindige waarden kan naderen.
We beginnen in paragraaf 1 met het bekijken van voorbeelden van deze
twee situaties die bij het begrip limiet van een functie kunnen optreden.
Ook laten we aan de hand van een voorbeeld zien dat een intuïtieve
benadering, gebaseerd op onnauwkeurige gegevens en begrippen, tot
misverstanden kan leiden. Nauwkeurige, wiskundig sluitende definities
zijn dus noodzakelijk. We werken in de paragrafen 2 en 3 voorzichtig
van het intuïtieve limietbegrip toe naar een correcte definitie. Vervolgens
bekijken we nuttige varianten van de definitie in paragraaf 4. De
begrippen continu en discontinu worden in de paragrafen 5 t/m 7
ingevoerd en toegelicht, en blijken direct gebaseerd te zijn op het
limietbegrip. In de paragrafen 8 en 9 bekijken we tenslotte de varianten
van het limietbegrip waarbij het begrip oneindig een rol speelt.
LEERDOELEN
Na het bestuderen van deze leereenheid wordt verwacht dat u
– de formele definitie van de limiet van een functie kunt reproduceren,
in allerlei varianten
– deze definitie en de varianten doorziet en in spreektaal kunt
weergeven
– de definitie van continuïteit en discontinuïteit kunt reproduceren
– voor eenvoudige functies de discontinuïteiten kunt bepalen.
13
Continue wiskunde
LEERKERN
1
Voorbeelden van limieten: een rationale functie en een
bedrieglijke functie
We bekijken de volgende rationale functie (dat is een quotiënt van twee
polynomen)
f (x) =
x2 – x – 2
x2 + 6x + 5
voor alle x ∈R waarvoor deze uitdrukking gedefinieerd is. Een grafiek
ziet u in figuur 5.1.
y
8
–8
8
x
–8
FIGUUR 5.1
Grafiek van de rationale functie f(x)
Voor x = –1 en x = –5 wordt de noemer x2 + 6x + 5 gelijk aan 0 en is f(x)
dus niet gedefinieerd. In het plaatje zien we verschillend gedrag van de
functie vlak in de buurt van x = –1 en x = –5. Laten we, om van dit
gedrag een eerste indruk te krijgen, eens een tabel maken met functiewaarden f(x) voor x vlak in de buurt van deze uitzonderlijke waarden.
Zie tabel 5.1.
14
TABEL 5.1
Enkele (afgeronde) functiewaarden van f(x)
x
f( x)
x
f( x)
–1,1
–1,01
–1,001
–1,0001
–1,00001
–1,0000000001
–0,794872
–0,754386
–0,750438
–0,750044
–0,750004
–0,75000000004
–5,1
–5,01
–5,001
–5,0001
–5,00001
–5,0000000001
71,0
701,0
7001,0
70001,0
700001,0
70000000001,0
–0,9
–0,99
–0,999
–0,9999
–0,99999
–0,9999999999
–0,707317
–0,745636
–0,749563
–0,749956
–0,749996
–0,74999999996
–4,9
–4,99
–4,999
–4,9999
–4,99999
–4,9999999999
–69,0
–699,0
–6999,0
–69999,0
–699999,0
–69999999999,0
Leereenheid 5 Grondbegrippen
Uit tabel 5.1 en/of uit figuur 5.1 halen we het volgende.
– Hoe dichter x bij –1 komt, van welke kant dan ook, des te dichter lijkt
de functiewaarde f(x) bij – 34 te komen.
– Hoe dichter x vanaf de onderkant (de linkerkant) bij –5 komt, des te
meer lijkt de functiewaarde f(x) te ‘ontploffen’: veel en veel groter te
worden. Het lijkt wel of f(x) naar ∞ gaat, dat wil zeggen: uitkomt boven
iedere grens, hoe hoog ook, mits x maar dicht genoeg van de onderkant
bij –5 komt.
– Hoe dichter x vanaf de bovenkant (de rechterkant) bij –5 komt, des te
meer lijkt de functiewaarde f(x) veel en veel groter negatief te worden,
naar –∞ te gaan, dat wil zeggen: uitkomt onder iedere grens, hoe groot
negatief ook.
We kijken ook eens wat er met f(x) gebeurt als x steeds groter wordt,
zowel positief als negatief. Zie tabel 5.2.
TABEL 5.2
Nog enkele (afgeronde) functiewaarden van f(x)
x
f( x)
x
f( x)
10,1
100,0
1000,0
10000,0
100000,0
1000000000,0
0,533333
0,933333
0,993035
0,999300
0,999930
0,99999999993
–10,0
–100,0
–1000,0
–10000,0
–100000,0
–1000000000,0
2,400000
1,073684
1,007035
1,000700
1,000070
1,0000000007
We merken op: hoe groter x wordt, of hoe groter negatief, dus naar ∞ of
–∞ gaat, dat wil zeggen: uitkomt boven respectievelijk onder iedere
grens, des te dichter lijkt de functiewaarde f(x) bij 1 te komen.
Wat garandeert ons nu dat wat hiervoor lijkt waar te zijn, ook echt zo is?
Waarom zou f(x) niet ineens bij – 34 weg kunnen lopen als we x nóg veel
dichter bij –1 kiezen dan we al gedaan hadden? Of waarom zou f(x) niet
kunnen ophouden met groeien, als we x nóg veel dichter bij –5 kiezen?
Of waarom zou f(x) niet weer van 1 weg kunnen lopen als we x nóg veel
groter kiezen dan 10 000 000000?
In deze en de volgende leereenheid zien we hoe we dit soort problemen
kunnen aanpakken voor veel functies. We zullen dan voor het voorgaande voorbeeld kunnen aantonen dat f(x) écht naar – 34 gaat als x naar –1
gaat, dat f(x) boven iedere grens uitkomt als x van onderen naar –5 gaat,
dat f(x) onder iedere grens uitkomt als x van boven naar –5 gaat en dat
f(x) naar 1 toegaat als x naar ∞ of naar –∞ gaat. Dan moeten we wel precies omschrijven wat we bedoelen met ‘gaat naar’, en daar gaat het in
deze leereenheid onder meer om. In leereenheid 6 komt dan aan de orde
hoe we deze waarden waar functies naar toe gaan, in veel gevallen
daadwerkelijk kunnen uitrekenen.
15
Continue wiskunde
Limiet
Het wiskundige begrip waarmee we dit soort verschijnselen aanduiden,
is het begrip limiet. Na blok 1 zal u dat overigens niet verbazen. We
zeggen:
– de limiet van f voor x gaat naar –1 is – 34 en we noteren dit als
x2 – x – 2
=–
x → –1 x 2 + 6 x + 5
lim f ( x ) = lim
x → –1
3
4
– de limiet van f voor x gaat van onderen (van links) naar –5 is ∞ en we
noteren dit als
x2 – x – 2
=∞
x ↑ –5 x 2 + 6 x + 5
lim f ( x ) = lim
x ↑ –5
– de limiet van f voor x gaat van boven (van rechts) naar –5 is –∞ en we
noteren dit als
x2 – x – 2
= –∞
x ↓ –5 x 2 + 6 x + 5
lim f ( x ) = lim
x ↓ –5
– de limiet van f voor x gaat naar ∞ of –∞ is 1 en we noteren dit als
lim f ( x ) = lim
x →∞
x →∞
x2 – x – 2
=1
x2 + 6x + 5
x2 – x – 2
=1
x→ – ∞ x2 + 6x + 5
lim f ( x ) = lim
x→ – ∞
We laten tenslotte in deze inleiding zien dat afgaan op tabellen en grafieken, en in het algemeen op de intuïtie (wat we hiervoor in feite gedaan
hebben) ook wel eens bedrieglijk kan zijn, en dat nauwkeuriger definities
dus ook echt nodig zijn. We bekijken nu een functie f(x) die we expres
nog even niet geven door middel van een functievoorschrift.
We laten x van de onderkant naar 1 gaan, en bestuderen het gedrag van
f(x) door een grafiek te geven en een aantal functiewaarden van f(x) met
x in de buurt van 1. We hopen dan, net zoals in het voorgaande voorbeeld van de gebroken functie, te zien of limx↑1 f(x) bestaat, en zo ja, wat
de waarde ervan is. Zie tabel 5.3 en figuur 5.2.
16
Leereenheid 5 Grondbegrippen
TABEL 5.3
Enkele (afgeronde) functiewaarden van f(x)
x
f( x)
0,9
0,92
0,94
0,96
0,98
0,99
0,992
0,994
0,996
0,998
0,999
0,9992
0,9994
0,9996
0,9998
0,9999
0,99992
0,99994
0,99996
0,99998
0,99999
0,999992
0,999994
0,999996
0,999998
1 – 10–6
1 – 10–7
1 – 10–8
1 – 10–9
1 – 10–10
1 – 10–20
1 – 10–40
1 – 10–60
1 – 10–80
1 – 10–100
1 – 10–200
1 – 10–400
1 – 10–600
1 – 10–800
1 – 10–1000
1 – 10–2000
1 – 10–4000
1 – 10–6000
1 – 10–8000
1 – 10–10000
0,808137
0,844265
0,881118
0,918638
0,956650
0,975597
0,973924
0,982994
0,986554
0,989833
0,991131
0,991306
0,991418
0,991413
0,991122
0,990634
0,990452
0,990207
0,989845
0,989199
0,988533
0,988317
0,988036
0,987640
0,986959
0,986278
0,984011
0,981748
0,979490
0,977237
0,954993
0,912011
0,870964
0,831764
0,794328
0,630957
0,398107
0,251189
0,158489
0,100000
0,010000
0,000100
0,000001
0,00000001
0,0000000001
commentaar
Lijkt zich te gedragen als x2 en dus naar 1
te gaan, alleen iets minder hard dan x2.
Nog ietsjes verder kijken, voor de zekerheid.
Hé, nu gaat ie dalen. Is dat een rekenfout, of
is het toevallig?
Nee, helaas. Het lijkt verkeerd te gaan als we
dichter bij 1 komen, Wat wordt het nu?
Maar eens nóg harder naar 1 lopen.
Nog steeds niet te zien wat het wordt. Nu dus
écht heel dicht bij 1 kijken.
Het zal wel 0 worden, denkt u ook niet?
Dat had u op grond van alleen de grafiek of
de voorgaande getallenreeks nooit geraden.
y
y
1
1
0,5
0,5
0,5
FIGUUR 5.2
1
x
0,8
0,9
1
1,1
x
Grafiek van f(x) voor x tussen 0,5 en 1,5, en uitvergroot
voor x vlakbij 1
17
Continue wiskunde
Aanvankelijk lijkt f(x) naar 1 te gaan als x naar 1 gaat. Maar we mogen
niet tevreden zijn met het bekijken van functiewaarden f(x) voor x-waarden die nog op een zekere afstand van 1 blijven, hoe klein die afstand
ook lijkt. Misschien vindt u 0,999 al wel heel dicht bij 1 liggen, maar in
tabel 5.3 en figuur 5.2 ziet u dat de functie f(x) zich onverwacht gaat
gedragen als x op een nog veel kleinere afstand van 1 komt te liggen. Bij
x = 1 – 10–10000 aangekomen, lijkt f(x) niet meer naar 1 te gaan, maar naar
0. Maar wie zegt dat het werkelijk zo is, en dat f(x) niet weer iets heel
anders gaat doen als we nóg dichter bij 1 gaan zitten met x?
We geven nu het functievoorschrift dat tot de functiewaarden in tabel 5.3
en de grafiek van figuur 5.2 heeft geleid. Het is een tamelijk eenvoudige
functie:
f ( x ) = x 2 ⋅ 1000 1 – x
U kunt zelf op een computer (bijvoorbeeld met computeralgebra) tabel
5.3 en figuur 5.2 controleren. Uit het functievoorschrift kunnen we nu
met ons gezonde verstand de limiet uitrekenen:
als x vlak bij 1 zit
dan zit 1 – x vlak bij 1 – 1 = 0
dan zit
1000
1 – x dus vlak bij
1000
0 =0
en omdat x2 vlak bij 12 = 1 zit
zit f(x) = x 2 ⋅ 1000 1 – x vlak bij 1 × 0 = 0.
We zien dus dat
lim f ( x ) = lim x 2 ⋅ 1000 1 – x = f (1) = 12 ⋅ 1000 1 – 1 = 0
x ↑1
x ↑1
De moraal van dit voorbeeld is dat we grafieken en tabellen met (noodzakelijkerwijs slechts een beperkt aantal) functiewaarden niet altijd
kunnen vertrouwen en dat we gezond verstand nodig hebben. Dat
gezonde verstand moeten we dan wel expliciet maken; dat is wat we
‘theorie’ noemen: op grond van exacte functievoorschriften en nauwkeurig omschreven en netjes bewezen regels voor het manipuleren van
limieten, kunnen we precies berekenen – dat wil zeggen: beredeneren –
wat er gebeurt.
2
VOORBEELD
18
Voorbereiden van de limietdefinitie
De voorbeelden uit paragraaf 1 zijn wel wat erg ingewikkeld om mee te
beginnen. Laten we eerst eens kijken naar de functie f(x) = 1/x, waarbij
we x naar ∞ laten gaan. Dat wil zeggen: we nemen x steeds groter, boven
iedere te verzinnen grens uitkomend. Dan wordt f(x) = 1/x steeds kleiner,
maar blijft wel positief. We kunnen echter zo dicht bij 0 komen als we
maar willen.
Leereenheid 5 Grondbegrippen
Wilt u met f(x) hooguit 1/100 van 0 af zitten? Dan willen we dus 1/x <
1/100, en we zien meteen dat dit waar is voor alle x > 100. Wilt u nog
veel dichter bij 0 komen, zeg 1/1000 000? Neem dan x > 1000000 en het is
gelukt.
Door x maar groot genoeg te nemen, kunnen we willekeurig dicht bij 0
komen met f(x), en is het zelfs zo voor alle x groter dan die gevonden
grens, dat f(x) dichter bij 0 dan de geëiste grens is.
Nog iets nauwkeuriger geformuleerd: voor ieder getal ε > 0, hoe klein
ook, geldt dat iedere x > 1/ε voldoet aan 0 < f(x) < ε (dus bijvoorbeeld
voor iedere x > 1000000 geldt 0 < f(x) < 1/1000 000). Omdat dit zo is,
spreken we over 0 als de limiet van f voor x gaat naar ∞.
«
Als we de grafiek van de functie f(x) = 1/x over een afstand 1 naar boven
opschuiven, krijgen we de grafiek van de functie g(x) = 1 + 1/x. Zie figuur 5.3. De limiet schuift natuurlijk ook met 1 op, dus we kunnen met
g(x) willekeurig dicht bij 1 komen, als we x maar groot genoeg kiezen.
Bijvoorbeeld, als we 1 < g(x) < 1,0001 willen, dan moeten we x > 10000
kiezen, opdat aan de eis voldaan is.
VOORBEELD 5.1
y
g
1
f
1
FIGUUR 5.3
x
Grafiek van f(x) = 1/x en van g(x) = 1 + 1/x
Als we nu de grafiek van de functie f(x) = 1/x over een afstand 1 naar
links opschuiven, krijgen we de grafiek van de functie h(x) = 1/(1 + x).
Zie figuur 5.4. Nu ligt de zaak iets anders: als x heel erg groot is, is 1 + x
ook heel erg groot, en is 1/(1 + x) heel erg dicht bij 0. Dus nu kunnen we
weer met h(x) willekeurig dicht bij 0 komen, als we x maar groot genoeg
kiezen. Immers, 1/(1 + x) verschilt minder dan ε van 0 als x > 1/ε – 1.
Bijvoorbeeld, voor ε = 0,001 vinden we als voorwaarde dat x > 999.
y
h
f
1
1
FIGUUR 5.4
VOORBEELD 5.2
x
Grafiek van f(x) = 1/x en van h(x) = 1/(1 + x)
«
We geven tenslotte een voorbeeld waarbij x naar een eindig getal (0 in dit
geval) gaat en waar het veel moeilijker is wat in het vorige voorbeeld
nog wel te doen was, namelijk om telkens expliciet aan te geven hoe
dicht we x bij 0 moeten kiezen om te garanderen dat f(x) binnen een
19
Continue wiskunde
bepaalde afstand van haar limiet!}ßmt. Het gaat hier om een belangrijke
standaardlimiet, die we later zullen afleiden (zie leereenheid 7 paragraaf
1.3). Nu poneren we dat geldt:
lim
x→0
sin x
=1
x
Zie ook de grafiek van de functie f(x) = sinx/x in figuur 5.5.
y
1
–π
FIGUUR 5.5
π
x
Grafiek van f(x) = sinx/x
We kunnen in deze functie f(x) = sinx/x niet simpelweg x = 0 invullen,
want dan zouden we door 0 gaan delen. Er blijkt te gelden (dat kunnen
we nu niet bewijzen, u moet het dus maar op gezag geloven op dit
moment) dat:
als 0 < x < 0,1, dan 0,998334 < sinx/x < 1, dus f(x) – 1 < 0,001666
als 0 < x < 0,01, dan 0,999983 < sinx/x < 1, dus f(x) – 1 < 0,000017
als 0 < x < 0,001, dan 0,999999 < sinx/x < 1, dus f(x) – 1 < 0,000001 «
Hier zien we geïllustreerd dat als x vlak bij 0 ligt en er steeds dichter bij
komt, dat dan f(x) vlak bij 1 ligt en er steeds dichter bij komt. Deze afstanden tussen enerzijds x en 0 en anderzijds f(x) en 1 spelen bij het
begrijpen van het limietbegrip een grote rol. Doorgaans wordt de letter δ
gebruikt als bovengrens voor de afstand tussen x en z’n grenswaarde a,
en de letter ε als bovengrens voor de afstand tussen f(x) en de limiet van
de functie. In het voorgaande voorbeeld zien we bijvoorbeeld dat als we
voor ε = 0,000001 willen dat f(x) binnen ε van 1 blijft, dat we x binnen δ =
0,001 van 0 moeten nemen. Het essentiële in het limietbegrip is nu dat
we ook voor een nog veel kleinere waarde van ε hetzelfde moeten kunnen doen.
Omdat in het vervolg regelmatig het begrip domein van een functie
gebruikt wordt, herhalen we hier de definitie van dit begrip en de
bijbehorende begrippen origineel, beeld en bereik.
Origineel
Functiewaarde of
beeld
Domein
Waardeverzameling
of bereik
Een invoerwaarde van een functie wordt meestal een origineel genoemd
en een uitvoerwaarde een functiewaarde of beeld. De verzameling van alle
originelen bij een bepaalde functie heet het domein van die functie. De
verzameling van alle functiewaarden of beelden heet de waardeverzameling of het bereik.
Als f een functie met domein D en bereik B is, heet f wel een functie van
D naar B. De notatie daarvoor is
20
Leereenheid 5 Grondbegrippen
f: D → B
Zowel bij het domein als bij het bereik, is men niet eenduidig in het
spraakgebruik. Men spreekt vaak van een functie van R naar R (f: R →
R), ook in het geval dat het domein en/of bereik echte deelverzamelingen van R zijn. Als voorbeeld kan de functie x → √x dienen, waarover
men spreekt als een functie van R naar R, terwijl het domein en het
bereik beide de niet-negatieve reële getallen zijn. De lezer of toehoorder
wordt geacht dit zelf correct in te vullen.
Belangrijke
afspraak
Afstand
We maken hier voor deze cursus de afspraak dat, als er niets over het
domein van een functie wordt gezegd, we de grootst mogelijke
deelverzameling van R nemen waarvoor het functievoorschrift zinvol is.
We maken nog een opmerking over het begrip afstand tussen twee getallen. De afstand tussen bijvoorbeeld f(x) en L wordt weergegeven met
de absolute waarde van het verschil: f(x) – L. Omdat het bij limieten
voortdurend gaat over de afstand tussen bijvoorbeeld x en a, of die
tussen f(x) en L, zult u in het vervolg vaak uitdrukkingen als x – a en
f(x) – L tegenkomen, die doorgaans klein zullen (moeten) zijn.
De verzameling getallen die een afstand minder dan δ tot een gegeven
getal a hebben, vormen een symmetrisch interval om a, namelijk ⟨a – δ,
a + δ⟩. Immers, x ∈⟨a – δ, a + δ⟩ is hetzelfde als a – δ < x < a + δ, en dus
–δ < x – a < δ, en er volgt dat zowel x – a < δ als –(x – a) < δ, dus dat
x – a < δ.
OPGAVE 5.1
a Laat zien: als 0,998334 < y < 1, dany – 1 < 0,001666.
b Laat zien: als y – 1 < 0,001666, dan 0,998334 < y < 1,001666, oftewel
y ∈⟨0,998334, 1,001666⟩.
OPGAVE 5.2
a In voorbeeld 5.1 was sprake van drie limieten: één voor elk van de
functies f, g en h. Bijvoorbeeld: lim x→∞ f(x) = limx→∞ 1/x = 0.
Schrijf de limieten voor g en h ook op deze wijze op.
b Wat is limx→∞(2 – 2/(1 + x))? Beredeneer uw antwoord.
3
Het begrip ‘limiet’
We omschrijven eerst op verschillende manieren in woorden wat we
bedoelen met de limiet van f voor x gaat naar a, oftewel limx→a f(x).
We geven om te beginnen een tweetal nogal informele omschrijvingen,
die we vaak in spreektaal bezigen.
Statisch
limx→a f(x) = L betekent: f(x) ligt vlak bij L als x vlak bij a ligt.
Dynamisch
limx→a f(x) = L betekent: f(x) gaat naar L als x naar a gaat.
Vervolgens geven we een andere informele omschrijving, die al iets
nauwkeuriger uitdrukt wat een limiet is en iets meer bij de dynamische
omschrijving van hiervoor aansluit.
limx→a f(x) = L betekent: f(x) komt willekeurig dicht bij L, mits x dicht genoeg
bij a komt.
21
Continue wiskunde
Dan een nog nauwkeuriger omschrijving, die al bijna een formele definitie genoemd kan worden. Die geeft een beschrijving van een limiet in
termen van open intervallen en heeft een weer wat statischer karakter. In
feite maken we nu het ‘willekeurig dicht bij’ en het ‘dicht genoeg bij’ uit
de voorgaande omschrijving precies.
limx→af(x) = L betekent: voor ieder open interval ⟨L – ε, L + ε⟩, hoe klein
ook, is er een open interval ⟨a – δ, a + δ⟩ te vinden waarvoor geldt: voor
alle x ∈⟨a – δ, a + δ⟩ met x ≠ a geldt f(x) ∈⟨L – ε, L + ε⟩.
In een dergelijke definitie veronderstellen we dat er op z’n minst een
interval om a heen bestaat dat helemaal (hooguit met uitzondering van a
zelf) binnen het domein van de functie f valt. Anders kunnen we
namelijk niet van f(x) spreken voor alle x ∈⟨a – δ, a + δ⟩ met x ≠ a. Om
hier wat makkelijker over te kunnen praten, voeren we eerst de
begrippen omgeving en gereduceerde omgeving van een getal in.
Omgeving
DEFINITIE 5.1
a Onder een omgeving van een getal a ∈R verstaan we een open interval
dat a bevat.
b Onder een gereduceerde omgeving van een getal a ∈R verstaan we een
omgeving van a waaruit het getal a zelf is weggelaten.
VOORBEELD
Enkele omgevingen van 2 zijn ⟨1,999, 2,001⟩, ⟨1,9, 2,3⟩, ⟨0, ∞⟩. Maar [2, 2,1⟩
is geen omgeving van 2.
Enkele gereduceerde omgevingen van 2 zijn ⟨1,999, 2⟩ ∪ ⟨2, 2,001⟩,
⟨1,9, 2⟩ ∪ ⟨2, 2,3⟩, ⟨0, 2⟩ ∪ ⟨2, ∞⟩. Maar ⟨2, 2,1⟩ is geen gereduceerde
omgeving van 2.
«
Gereduceerde
omgeving
Nu zijn we dan toe aan een precieze, formele definitie van de limiet van f
voor x gaat naar a, een zogenaamde ε-δ-definitie. Dat is een bijna letterlijke vertaling van de vorige omschrijving, waarbij we de intervallen
omschrijven met behulp van ongelijkheden in termen van ε (als bovengrens voor de afstand van f(x) tot L) en δ (als bovengrens voor de afstand
van x tot a).
Limiet
DEFINITIE 5.2
Notatie
Laat de functie f gedefinieerd zijn op een gereduceerde omgeving van a.
Zij L ∈R. We zeggen dat de limiet van f voor x gaat naar a bestaat en gelijk is aan L, en we noteren limx→a f(x) = L, als geldt: voor iedere ε > 0 is er
een δ > 0 te vinden waarvoor geldt: als 0 < x – a < δ, dan f(x) – L < ε.
Let wel: ondanks het feit dat we spreken over ‘x gaat naar a’, en dat noteren met een dynamisch pijltje, heeft deze definitie in feite niets dynamisch: er is geen sprake van x die naar a toe ‘beweegt’, noch van f(x) die
naar L toe gaat (hoe zou dat moeten, een bewegend getal?), maar slechts
van x en f(x) die in bepaalde intervallen liggen.
Merk op dat f(x) ∈⟨L – ε, L + ε ⟩ gelijkwaardig is met f(x) – L < ε.
Evenzo is x ∈⟨a – δ, a + δ⟩ en x ≠ a gelijkwaardig met 0 < x – a < δ.
22
Studeeraanwijzing
Bekijkt u nu nog eens voorbeeld 5.2 met in uw achterhoofd de voorgaande informele omschrijvingen en de nauwkeurige definitie 5.2.
VOORBEELD
Een reden dat in definitie 5.2 de dubbele ongelijkheid 0 < x – a < δ
staat, ziet u in het voorbeeld van de functie f(x) = (x2 – x – 2)/(x2 + 6x + 5)
van paragraaf 1. Deze functie is voor x = –1 niet gedefinieerd. In de
Leereenheid 5 Grondbegrippen
definitie van de limiet wordt gelukkig geen gebruikgemaakt van de
functiewaarde in x = –1, want de ongelijkheid 0 < x – a impliceert dat
x ≠ –1. We kunnen dus wel de limiet bepalen.
Ook in het volgende voorbeeld wordt het belang van de dubbele
ongelijkheid 0 < x – a < δ geïllustreerd.
Zie figuur 5.6. Neem de functie f gedefinieerd door
VOORBEELD
 5 als x ≠ 2
f (x) = 
8 als x = 2
y
8
6
4
2
–4
–2
FIGUUR 5.6
2
4
x
Grafiek van f(x) = 5 als x ≠ 2 en f(2) = 8
Als x heel dicht bij 2 zit, maar x ≠ 2, dan f(x) = 5. Dus limx→2f(x) = 5. Dit is
niet in tegenspraak met het feit dat f(2) = 8. Formeel: voor iedere ε > 0,
hoe klein ook, kunnen we nu bijvoorbeeld δ = 1 nemen (of iets anders),
en zien we: als 0 < x – 2 < 1, dan geldt x ≠ 2, dus f(x) = 5, en dus f(x) –
5 = 0 < ε. Ook hier zien we het belang van de ongelijkheid 0 < x – 2 in
de definitie van limiet. Namelijk, voor 0 = x – 2, dus x = 2 geldt f(x) –
5 = 3, wat niet kleiner dan een willekeurige ε te krijgen is.
Het belang van de voorwaarde in de eerste regel van definitie 5.2 ziet u
in voorbeeld 5.3.
Bij bijvoorbeeld f ( x ) = x 3 – x 2 is het domein de verzameling van x ∈R
waarvoor geldt dat x3 – x2 ≥ 0, en dat is {0} ∪ [1, ∞⟩. Zie figuur 5.7.
VOORBEELD 5.3
y
1
1
FIGUUR 5.7
x
Grafiek van f ( x ) = x 3 – x 2
23
Continue wiskunde
Nu is het zinloos om te spreken over limx→0 f(x), omdat het domein vlak
in de buurt van x = 0 geen andere punten dan x = 0 bevat. Als x naar 0
nadert, dan komt x vlak in de buurt van 0, maar is nog steeds x ≠ 0, en
dan heeft f(x) geen betekenis.
Net zo min kunnen we spreken over limx→1 f(x), want direct links van 1 is
f niet gedefinieerd. We kunnen wel spreken over bijvoorbeeld limx→2 f(x)
(en daar komt f ( 2 ) = 2 3 – 2 2 = 2 uit, zoals u in figuur 5.7 of met gezond
verstand ziet; in leereenheid 6 zien we waarom).
«
De limietdefinitie doet een uitspraak voor iedere ε > 0. Dus in principe
ook voor heel grote waarden van ε. Dat is echter niet wat we in ons
achterhoofd hebben als we deze definitie lezen: dan denken we altijd aan
heel erg kleine waarden voor ε. Immers, we drukken ermee uit dat f(x)
en L willekeurig dicht bij elkaar kunnen komen. Als u dus ergens leest:
‘voor iedere ε > 0 geldt dit-en-dat’, dan wordt doorgaans bedoeld, en
leest u in uw achterhoofd: ‘voor iedere ε > 0, hoe klein ook, geldt dit-endat’.
In de definitie verlangen we van de functie f dat ze op een gereduceerde
omgeving van a gedefinieerd is. Dus in a zelf hoeft de functie niet gedefinieerd te zijn (denk aan sinx/x die in 0 niet bestaat, maar de limiet voor
x → 0 bestaat wel), maar het mag wel. Ook mag een functie natuurlijk
(ver) buiten een omgeving van a wel of niet gedefinieerd zijn; voor het
bestaan van de limiet voor x → a maakt dat niet uit.
De definitie van limiet die we gegeven hebben, is ondubbelzinnig.
Hiermee kunnen we mogelijke problemen en verrassingen zoals we tegenkwamen in de voorbeelden van paragraaf 1, uitsluiten of verklaren
(gaat f(x) = (x2 – x – 2)/(x2 + 6x + 5) wel écht naar – 34 als x naar –1 gaat;
wat doet f(x) = sinx/x precies als x vlak bij 0 komt?).
De gegeven definitie 5.2 lijdt echter wel aan het euvel dat ze niet erg
praktisch is. Het is doorgaans in de praktijk niet aan te raden een
dergelijke definitie te gebruiken om na te gaan of voor een gegeven
functie f en gegeven getallen a en L, al of niet geldt dat limx→a f(x) = L. De
definitie eist alleen maar dat bij iedere ε > 0 een δ > 0 met die bepaalde
eigenschappen bestaat, en er wordt niet geëist dat we zo’n δ ook altijd
expliciet kunnen vinden. Wat we dan moeten doen, is bij iedere ε > 0 het
bestaan van een δ > 0 aantonen, zodat voor alle x met 0 < x – a < δ
geldt dat f(x) – L < ε.
Soms is het eenvoudig om zo’n δ expliciet op te schrijven, zoals in voorbeeld 5.4 hierna. Maar meestal is het nogal ingewikkeld. We verlangen
dan ook niet van u dat u dergelijke redeneringen kunt reproduceren, laat
staan zelf produceren. We zullen in het vervolg van dit blok dan ook niet
al te veel doen met dergelijke zogenaamde ε-δ-redeneringen. In plaats
daarvan gebruiken we stellingen en rekenregels die ons in staat stellen
limieten snel uit te rekenen, zonder de definitie telkens te hoeven
controleren. De afleidingen van die stellingen en rekenregels berusten
echter wel op ε-δ-redeneringen.
VOORBEELD 5.4
24
Bij f(x) = 2x – 3 en a = 4 ziet u direct in (gebruik uw gezonde verstand en
bekijk figuur 5.8) dat L = limx→4(2x – 3) = 5.
Leereenheid 5 Grondbegrippen
y
5
1
4
1
FIGUUR 5.8
x
Grafiek van f(x) = 2x – 3
Immers, als x vlak bij 4 ligt, dan zal 2x – 3 toch wel vlak bij 2 × 4 – 3
moeten liggen. Dit is nog makkelijk te controleren met behulp van
definitie 5.2. We willen namelijk voor een willekeurige (lees: willekeurig
kleine) ε > 0 weten wanneer aan de eis f(x) – L < ε is voldaan. Deze eis
is voor de gegeven f en L dus (2x – 3) – 5 < ε, oftewel 2x – 4 < ε. U
ziet hier vanzelf een term x – a opduiken, die van belang is omdat de
te zoeken δ daarmee in verband staat. Vaak is het al één van de moeilijkheden zo’n term x – a uit de eis f(x) – L < ε af te leiden. Een tweede
moeilijkheid is dan om daar een verband tussen δ en ε uit te halen. In ons
voorbeeld is het echter simpel: aan de eis is nu voldaan voor alle x die
voldoen aan 0 < x – 4 < 21 ε ; we kunnen dus δ = 21 ε nemen. Een
kleinere waarde voor δ had overigens ook gemogen.
«
OPGAVE 5.3 (Aanw)
Zij f(x) = (2x – π)/cosx. Bepaal f(x) voor enkele waarden van x in de buurt
van 21 π , bijvoorbeeld met een zakrekenmachine of met behulp van
computeralgebra. Bestaat f ( 21 π ) ? Wat is volgens u limx→π/2 f(x) (we
vragen geen bewijs)?
Kunt u dit antwoord aannemelijk maken, bijvoorbeeld op grond van
voorbeeld 5.2?
4
Linker- en rechterlimieten
In het voorgaande hebben we x naar a laten gaan, zonder ons er om te
bekommeren hoe dat precies gebeurde. Het betekende gewoon dat
x – a erg klein werd. Nu gaan we daar een paar speciale gevallen van
bekijken, waarbij we als extra eis opleggen dat x altijd aan dezelfde kant
van a blijft. Met behulp daarvan kunnen we het limietbegrip uitbreiden.
Dat dat nuttig is, lichten we toe aan de hand van een voorbeeld.
VOORBEELD 5.5
We bekijken de functie f(x) = x/x in de buurt van x = 0. Het domein is
R – 0}. We kunnen f(x) ook iets anders schrijven, namelijk
f (x) =
x
x
 1 als x > 0
=
 –1 als x < 0
25
Continue wiskunde
Een grafiek is getekend in figuur 5.9.
y
1
–2
–1
1
2
x
–1
FIGUUR 5.9
Grafiek van f(x) = x/x
We bewijzen eerst dat limx→0x/x niet bestaat, en dat doen we vanuit
het ongerijmde. Als die limiet namelijk wel zou bestaan, dan moet ze
tegelijkertijd gelijk aan 1 en gelijk aan –1 zijn. Immers, in iedere omgeving
van 0, hoe klein ook, liggen positieve x-waarden, dus met f(x) = 1, en ook
negatieve x-waarden, dus met f(x) = –1. De limiet moet binnen een
willekeurig kleine afstand van zowel 1 als –1 liggen, en het zal duidelijk
zijn dat dat niet mogelijk is. De conclusie moet wel zijn dat de limiet
«
limx→0x/x niet bestaat.
We zien dat er verschillende dingen gebeuren als we van de bovenkant
of van de onderkant naar 0 naderen. Dat verklaart dat de limiet van deze
functie voor x nadert tot 0 niet bestaat. Maar we kunnen hier de situatie
redden, door alleen toe te staan dat we van één kant naar 0 naderen, van
links of van rechts. Dan gedraagt de functie zich namelijk wél mooi.
Dit geeft dan aanleiding tot het invoeren van de begrippen linker- en
rechterlimiet.
Die begrippen sluiten uiteraard nauw aan bij definitie 5.2. Merk op dat
de open intervallen ⟨b, a⟩ en ⟨a, b⟩ uit definitie 5.3 overeenkomen met de
gereduceerde omgevingen uit definitie 5.2. De functie f moet minstens op
zo’n interval bestaan, maar mag ook op een grotere verzameling
gedefinieerd zijn. Een voorbeeld hiervan zag u in voorbeeld 5.5. Als
extra eis nemen we nu op dat de x-waarden waarvan sprake is in de
definitie, aan de goede kant van a liggen.
Linkerlimiet
DEFINITIE 5.3
Notatie
Rechterlimiet
Notatie
a Laat de functie f gedefinieerd zijn op interval ⟨b, a⟩. Zij L ∈R. We
zeggen dat de linkerlimiet van f voor x gaat naar a bestaat en gelijk is aan
L, en we noteren limx↑a f(x) = L, als geldt: voor iedere ε > 0 is er een δ > 0
te vinden waarvoor geldt: als a – δ < x < a, dan f(x) – L < ε.
b Laat de functie f gedefinieerd zijn op een interval ⟨a, b⟩. Zij L ∈R. We
zeggen dat de rechterlimiet van f voor x gaat naar a bestaat en gelijk is aan
L, en we noteren limx↓a f(x) = L, als geldt: voor iedere ε > 0 is er een δ > 0
te vinden waarvoor geldt: als a < x < a + δ, dan f(x) – L < ε.
We zeggen voor limx↑a f(x) ook wel: de limiet van f voor x gaat van links of
van onderen naar a. En voor limx↓a f(x) zeggen we ook wel: de limiet van f
voor x gaat van rechts of van boven naar a.
VOORBEELD
26
Voor f(x) = x/x geldt limx↓0 f(x) = 1 en lim x↑0 f(x) = –1. Want als x ↓ 0,
dan geldt x > 0 en dus f(x) = x/x = 1, en als x ↑ 0, dan geldt x < 0 en dus
f(x) = –x/x = –1.
«
Leereenheid 5 Grondbegrippen
Linker- en rechterlimiet van dezelfde functie bij hetzelfde punt kunnen
dus verschillend zijn. In zo’n geval bestaat de limiet limx→a f(x) natuurlijk
niet. Als linker- en rechterlimiet van f voor x → a beide bestaan, en wel
aan elkaar gelijk zijn, dan bestaat ook de limiet limx→a f(x), en deze heeft
dezelfde waarde als linker- en rechterlimiet. Omdat we deze eigenschap
in het vervolg nog een aantal keren gebruiken, formuleren we hem hier
als stelling.
STELLING 5.1
Als van de functie f linker- en rechterlimiet voor x → a beide bestaan en
aan elkaar gelijk zijn, dan bestaat ook de limiet limx→a f(x) en deze heeft
dezelfde waarde als de linker- en rechterlimiet.
Natuurlijk kan het ook gebeuren dat de ene limiet wel bestaat en de
andere niet.
VOORBEELD
We bekijken f ( x ) = x 3 – x 2 (met domein {0} ∪ [1, ∞⟩) in de buurt van
x = 1. De rechterlimiet limx↓1 f(x) bestaat en is gelijk aan f(1) = 0, maar de
linkerlimiet limx↑1 f(x) bestaat niet, omdat het domein van f direct links
van x = 1 geen punten bevat.
«
VOORBEELD 5.6
We bekijken de volgende functie in de buurt van x = 0 (zie figuur 5.10).
als x ≥ 0
0
f (x) = 
2 x als x ≤ 0
y
–2
FIGUUR 5.10
2
x
Grafiek van f(x) = 0 als x ≥ 0 en f(x) = 2x als x ≤ 0
Vanwege de verschillend uitziende functievoorschriften links en rechts
van x = 0, ligt het voor de hand om linker- en rechterlimiet apart te
bekijken.
De linkerlimiet limx↑0 f(x) bestaat en is gelijk aan limx↑02x = 0. Immers, als
x < 0 vlak bij 0 ligt, ligt f(x) = 2x dat ook.
De rechterlimiet limx↓0 f(x) bestaat ook, en is gelijk aan limx↓00 = 0.
Immers, als x > 0 vlak bij 0 ligt, ligt f(x) = 0 dat zeker.
Linker- en rechterlimiet bestaan en zijn gelijk, dus bestaat de limiet
limx→0 f(x) en is gelijk aan 0. We kunnen dat ook meteen inzien, zonder
linker- en rechterlimiet te gebruiken, als we opmerken dat we f(x) in één
formule kunnen weergeven voor alle x ∈R, namelijk: f(x) = x – x.
Hierin zien we direct dat als x vlak bij 0 ligt, dan f(x) ook vlak bij 0 moet
liggen.
«
OPGAVE 5.4
Bepaal, indien mogelijk, de linker-, rechter- en gewone limieten van
f ( x ) = x 2 – 1 voor x → 1 en x → –1. Let hierbij op het domein van de
functie.
Zelfde vraag voor f ( x ) = x 2 – 1 .
27
Continue wiskunde
Voorbereiden van continue en discontinue functies
5
Een functie f(x) kan bij geleidelijk veranderende (bijvoorbeeld stijgende)
x ook geleidelijk veranderen, of sprongsgewijs. Bij sprongsgewijs veranderen zal de functiewaarde f(x) plotseling verspringen als het argument
x een bepaalde grens overschrijdt. Bijvoorbeeld, het saldo fl(t) van uw
bankrekening, gezien als functie van de tijd t, zal op het moment dat er
geld wordt bijgeschreven, in één ‘punt des tijds’ stijgen, en dan weer een
tijdje constant blijven, tot het moment dat de volgende bij- of afboeking
plaatsvindt. We zeggen: fl is een discontinue functie.
Discontinue
functie
Bij geleidelijke verandering treden zulke sprongen niet op. Denk bijvoorbeeld aan een wiskundig model b(t) van het benzinepeil in de tank van
een auto als functie van de tijd t. Het kost om fysische redenen altijd tijd
om een hoeveelheid benzine, hoe klein ook, in een tank te gieten, en
evenzo gaat tijdens het draaien van de motor het uit de tank weglopen
van de benzine geleidelijk, en niet in één moment een bepaalde hoeveelheid tegelijkertijd. We zeggen: b is een continue functie. Zie figuur 5.11.
Continue functie
b(t)
stilstaan
rijden
tanken
t
FIGUUR 5.11
Grafiek van b(t), het benzinepeil als functie van de tijd
Functies kunnen overal continu, maar ook soms continu, soms discontinu zijn. De benzinepeilfunctie b is overal continu, omdat discontinuïteit
fysisch onmogelijk is. De banksaldofunctie fl is discontinu voor die tijdstippen t waarop een bij- of afboeking plaatsvindt, maar daar tussenin is
de functie constant, dus wel continu. Zo’n functie noemen we wel stuksgewijs continu.
Een ander voorbeeld van zo’n stuksgewijs continue functie is een wiskundig model van het benzinepeil β(x) in de tank van een auto, nu niet
gezien als functie van de tijd, maar als functie van de afgelegde afstand x
(waarvan een benadering is af te lezen op de kilometerteller). Zolang de
auto rijdt, zal x geleidelijk stijgen en het benzinepeil β(x) geleidelijk
dalen. De functie β is dan dus continu. Maar als de auto stilstaat met
draaiende motor, wordt bij gelijkblijvende afstand x nog steeds benzine
verbruikt. Voor die x is het benzinepeil β(x) dus niet eenduidig bepaald.
In wiskundige termen: voor die waarden van x bestaat de functie β niet.
We kunnen het wél zo zeggen: voor die bepaalde waarden van x zijn de
linker- en rechterlimiet van β verschillend; het verschil is precies de hoeveelheid verbruikte benzine tijdens de stilstand. Evenzo, als de auto bij
een tankstation volgegooid wordt, stijgt β(x) behoorlijk bij gelijkblijvende
x. Bij dit soort punten x is de functie β niet continu meer, maar verandert
sprongsgewijs. Zie figuur 5.12.
28
Leereenheid 5 Grondbegrippen
β (x)
rijden
stoplicht
tanken
x
FIGUUR 5.12
Grafiek van β(x), het benzinepeil als functie van de
afgelegde afstand
Merk op dat het feit dat een continue functie geleidelijk verandert, nog
niets zegt over hoe groot die verandering kan zijn. Als u 180 km/uur rijdt,
daalt b(t) sneller dan als u met stationair draaiende motor voor een stoplicht staat. Het punt is dat in beide gevallen het benzinepeil in een heel
korte tijdsspanne ook maar heel weinig kan veranderen. Terwijl bij de
discontinue functie β(x) bij een heel korte afstandsspanne (zelfs gelijk
aan 0) het benzinepeil wél flink kan veranderen.
In termen van grafieken betekent continuïteit doorgaans zoiets als: het is
mogelijk de grafiek te tekenen zonder het potlood van het papier te halen. Zie het kenmerkende verschil van de grafieken van b(t) en β(x) in de
figuren 5.11 en 5.12.
Er zijn zelfs functies te bedenken die overal discontinu zijn, dus nergens
continu. Een voorbeeld: f met als domein R, gedefinieerd door f(x) = 1 als
x een rationaal getal is en f(x) = 0 als x een irrationaal getal is. Dus bijvoorbeeld f(2,72) = 1, en f(19/7) = f(2,71428...) = 1, maar f(e) = f(2.71828...)
= 0. Probeert u maar eens een grafiek te tekenen: dat zal u niet makkelijk
vallen.
Dit soort functies zijn doorgaans speciaal bedacht om dergelijke merkwaardige eigenschappen mee te kunnen illustreren: buiten een wiskundeboek zult u ze vrijwel niet tegenkomen. Omdat dit soort voorbeelden
alleen aan een ziekelijk brein ontsproten lijken te zijn, worden ze wel
‘pathologische’ gevallen genoemd. In deze cursus zullen we er verder
weinig aandacht aan geven.
Het wiskundige begrip van continuïteit zal blijken direct samen te hangen
met limieten. Vandaar dat we nu, direct na het invoeren van limieten,
ook continuïteit kunnen behandelen.
6
De begrippen ‘continuïteit’, ‘links- en rechtscontinuïteit’
We beginnen met de definitie van continuïteit in een punt x = a. Dat zal
moeten betekenen dat als x heel dicht bij a komt, dat dan f(x) heel dicht
bij f(a) zal moeten zitten. Maar dat is precies een limietsituatie: de limiet
van f voor x gaat naar a zal moeten bestaan, en bovendien zal die limiet
gelijk moeten zijn aan de functiewaarde f(a).
Continu in a
DEFINITIE 5.4
Laat de functie f gedefinieerd zijn op een omgeving van a.
Dan noemen we f continu in a als limx→a f(x) bestaat en gelijk is aan f(a).
29
Continue wiskunde
VOORBEELDEN
In de voorbeelden 5.4 en 5.6 hebben we gezien dat de functie f(x) = 2x – 3
continu is in 4, en dat de functie f(x) = x – x continu is in 0.
De functie f, gedefinieerd door f(x) = (x2 – x – 2)/(x2 + 6x + 5) als x ∉
{–5, –1} en f(x) = –3/4 als x = –1, is continu in –1. Namelijk, limx→–1 f(x)
bestaat, zoals we gezien hebben in paragraaf 1, en is gelijk aan de
functiewaarde van f in –1, namelijk limx→–1 (x2 – x – 2)/(x2 + 6x + 5) = – 34
= f(–1). In feite hebben we de functie in –1 continu gemaakt door de
functiewaarde daar gelijk aan de limiet te kiezen.
«
Deze voorbeelden zijn natuurlijk nog niet echt spectaculair. Met veel
moeite kunnen we, via de definitie, voor eenvoudige functies, in één
punt tegelijk, controleren dat die functie daar continu is. Verderop in
deze en de volgende leereenheid zullen we zien hoe dat veel algemener
en veel makkelijker kan. Dan zullen we ook zien dat voor veel in de
wiskunde en in de praktijk voorkomende functies continuïteit de regel is
en discontinuïteiten uitzonderingen zijn, die vaak zonder veel moeite op
te sporen zijn. Voor veel functies en veel waarden op hun domein geldt
dus dat limx→a f(x) = f(a).
Meestal is het niet voldoende alleen te kijken naar continuïteit in één
punt, maar willen we het kunnen hebben over continuïteit van een
functie op een heel interval. Vandaar de volgende definitie. Vooralsnog
beperken we ons tot open intervallen.
DEFINITIE 5.5
Zij I ⊂ R een open interval (eventueel onbegrensd of zelfs gelijk aan heel
R) en f een functie die op heel I gedefinieerd is.
Dan noemen we f continu op I als ze continu is in ieder punt van I.
VOORBEELD 5.7
De functie f ( x ) = x 3 – x 2 uit voorbeeld 5.3 is in 1 niet continu, omdat er
geen enkele omgeving van 1 te vinden is waarop f overal bestaat.
Op het open interval ⟨1, ∞⟩ is deze functie continu (dit bewijzen we nu
nog niet netjes, maar het spreekt eigenlijk vanzelf).
«
Continu op I
We hadden al gezien dat we in situaties waarin de limiet niet bestaat,
soms nog wel linker- en/of rechterlimiet kunnen bestaan. Dan kunnen
we natuurlijk ook spreken over links- en rechtscontinuïteit.
DEFINITIE 5.6
Linkscontinu
Rechtscontinu
a Laat de functie f gedefinieerd zijn op een interval ⟨b, a]. Dan noemen
we f linkscontinu in a als limx↑a f(x) bestaat en gelijk is aan f(a).
b Laat de functie f gedefinieerd zijn op een interval [a, b⟩. Dan noemen
we f rechtscontinu in a als limx↓a f(x) bestaat en gelijk is aan f(a).
Deze begrippen stellen ons in staat om continuïteit te definiëren op nietopen intervallen. We geven de definitie hier voor gesloten intervallen [b,
c], en u kunt die zelf uitbreiden voor andere gevallen zoals [b, c⟩ of [b, ∞⟩.
Continu op [b, c]
30
DEFINITIE 5.7
Zij [b, c] een gesloten interval en f een functie die tenminste op heel [b, c]
gedefinieerd is. Dan noemen we f continu op [b, c] als ze continu is op ⟨b,
c⟩, linkscontinu in c en rechtscontinu in b.
VOORBEELDEN
De functie f ( x ) = x 3 – x 2 uit voorbeeld 5.7 is in 1 rechtscontinu. Op het
interval [1, ∞⟩ is deze functie dus continu.
De functie f(x) = x/x is in 0 niet rechts- of linkscontinu, omdat f(0) niet
bestaat.
Leereenheid 5 Grondbegrippen
De functie g gedefinieerd door g(x) = x/x als x ≠ 0 en g(x) = –1 als x
= 0, is linkscontinu in 0, maar niet rechtscontinu.
De functie h gedefinieerd door h(x) = x/x als x ≠ 0 en h(x) = 0 als x = 0,
is niet links- of rechtscontinu in 0.
«
OPGAVE 5.5
De functie f is gegeven door f(x) = 1/lnx als x > 0, x ≠ 1 en f(x) = 0 als
x = 0 of x = 1. Is f continu in 0? Rechtscontinu in 0? Is f continu in 1?
Links- of rechtscontinu in 1?
Voorbeelden van discontinuïteiten
7
In paragraaf 6 hebben we het begrip continuïteit ingevoerd. De tegenhanger daarvan is het begrip discontinuïteit. Ruwweg noemen we een
functie discontinu als ze niet continu is.
Discontinu in a
DEFINITIE 5.8
Een functie f heet discontinu in a als f in een gereduceerde omgeving van
a bestaat, maar niet continu is in a.
In sommige boeken wordt ook wel geëist dat f niet slechts in een gereduceerde omgeving van a bestaan moet, maar ook in a zelf, wil ze in a discontinu kunnen zijn. In de praktijk zal er weinig verwarring hoeven te
zijn.
We gaan in deze paragraaf aan de hand van voorbeelden na dat er verschillende soorten discontinuïteiten kunnen voorkomen.
Sprongdiscontinuiteit
VOORBEELDEN
Een voorbeeld van een zogenaamde sprongdiscontinuïteit zien we bij
x/x bij x = 0. De ‘sprong’ heeft hier grootte 2: dat is het verschil tussen
linker- en rechterlimiet.
De floor- en ceiling-functies x en x zijn typische voorbeelden van
functies met discontinuïteiten. Ze zijn gedefinieerd door:
Floor
Ceiling
x = n als n ≤ x < n + 1, n ∈Z
x = n als n – 1 < x ≤ n, n ∈Z
Deze functies hebben oneindig veel sprongdiscontinuïteiten, namelijk bij
ieder geheel getal, zoals u in figuur 5.13 kunt zien.
Tussen de gehele getallen in zijn deze functies wel continu. Hier hebben
we typische voorbeelden van stuksgewijs continue functies.
«
y
y
3
2
1
3
2
1
–2 –1
1 2 3 4
FIGUUR 5.13
x
–2 –1
1 2 3 4
x
Een sprongdiscontinuïteiten in de floor- en ceilingfunctie
31
Continue wiskunde
VOORBEELD 5.8
De functie f(x) = (x2 – x – 2)/(x2 + 6x + 5) (zie paragraaf 1) heeft discontinuïteiten bij –1 en –5. Dat is alleen al zo omdat f niet bestaat in deze
punten en wel bestaat op gereduceerde omgevingen. Deze twee discontinuïteiten zijn echter wel verschillend van aard. Dat kunnen we als volgt
inzien.
Hoewel f(x) niet bestaat in x = –1, bestaat limx→–1 f(x) wel, en is – 34 . Nu
kunnen we f ‘continu maken’ in x = –1 door het domein van f uit te
breiden met –1, namelijk door f (–1) = – 34 te bij-definiëren. Die definitie is
niet toevallig gekozen: – 34 is natuurlijk precies de limiet. We hebben de
functie f dus ietsje veranderd, precies zodanig dat f nu ook continu is in
x = –1.
U mag het ook zo zien: we herschrijven
f (x) =
x2 – x – 2
( x – 2 ) ( x + 1) x – 2
=
=
2
x + 6 x + 5 ( x + 5) ( x + 1) x + 5
en nemen als nieuwe definitie f(x) = (x – 2)/(x + 5), waarbij het domein
nu R – {–5} is geworden en f in –1 niets bijzonders meer heeft (inderdaad:
f(–1) = (–1 – 2)/(–1 + 5) = – 34 ).
Dit proces heet ook wel continue uitbreiding van f, en kan uitgevoerd
worden zodra de limiet bestaat. De discontinuïteit wordt in zo’n geval
ook wel een ophefbare discontinuïteit genoemd.
Bij x = –5 kunnen we zoiets niet doen. De limiet bestaat namelijk niet.
Welke waarde we ook aan f(–5) zouden geven, nooit zal de zo veranderde functie continu worden in –5.
«
Continue
uitbreiding
Ophefbare
discontinuïteit
VOORBEELDEN
De functie g gedefinieerd door g(x) = (x2 – x – 2)/(x2 + 6x + 5) als x ∉
{–5, –1}, en g(–5) = 0 en g(–1) = 2, heeft ook discontinuïteiten in –1 en –5.
Zie figuur 5.14.
y
4
2
FIGUUR 5.14
x
Grafiek van g(x)
Bij –5 is de reden dat limx→–5g(x) niet bestaat. Bij –1 geldt dat limx→–1g(x),
hoewel ze wel bestaat, niet gelijk is aan de functiewaarde g(–1).
Namelijk, limx→–1g(x) = – 34 ≠ 2 = g(–1).
In voorbeeld 5.2 zagen we dat limx→0sinx/x = 1. Deze functie is dus continu uit te breiden tot 0, door de definitie als volgt te nemen: f(x) = sinx/x
als x ≠ 0, en f(0) = 1. Het domein van f is nu heel R en f is op heel haar
domein continu.
«
In figuur 5.15 ziet u een grafiek van een typische functie met een ophefbare discontinuïteit.
32
Leereenheid 5 Grondbegrippen
y
x
Een ophefbare discontinuïteit
FIGUUR 5.15
Nog andere verschijnselen kunnen optreden bij discontinue functies. We
zijn niet uitputtend, maar geven nog een paar voorbeelden.
VOORBEELD 5.9
De functie f(x) = sin(1/x) is gedefinieerd op R – {0}. In de buurt van x = 0
vertoont de functie nogal wild gedrag. Zie figuur 5.16.
y
–1
1
x
Grafiek van f(x) = sin(1/x)
FIGUUR 5.16
Hoe dichter x bij 0 komt, bijvoorbeeld van de bovenkant, hoe groter 1/x
wordt. Voor x = 1/π, 1/2π, 1/3π, ... geldt telkens f(x) = 0, en f heeft dus
vlak in de buurt van 0 een opeenhoping van nulpunten. Maar tussen die
nulpunten in gaat de functie telkens weer naar 1 en –1. Namelijk, voor x
= 1/ 21 π, 1/ 25 π, 1/ 92 π, ... geldt telkens f(x) = 1, en voor x = 1/ 32 π, 1/ 72 π,
1/ 11
π, ... geldt telkens f(x) = –1. De conclusie is dat lim x→0sin(1/x) niet
2
bestaat. De discontinuïteit in 0 is niet ophefbaar en ook geen sprongdiscontinuïteit.
«
VOORBEELD 5.10
De functie g(x) = xsin(1/x) lijkt op het eerste gezicht sterk op de functie
f(x) = sin(1/x) uit het voorgaande voorbeeld. Ze is ook gedefinieerd op R
– {0}, en vertoont in de buurt van x = 0 merkwaardig gedrag. Zie figuur
5.17 (we noemen deze functie ook wel de laan-met-bomenfunctie).
y
0.1
0.2
x
–0.1
FIGUUR 5.17
Grafiek van de laan-met-bomenfunctie g(x) = x sin(1/x)
33
Continue wiskunde
Voor x = 1/π, 1/2π, 1/3π, ... geldt telkens weer g(x) = 0, en g heeft dus
vlak in de buurt van 0 weer een opeenhoping van nulpunten. Maar
tussen die nulpunten in gaat de functie nu telkens naar x en –x. In de
grafiek is dat goed te zien: als x (bijvoorbeeld van de bovenkant) naar 0
gaat, beweegt f(x) zich tussen de lijnen y = x en y = –x. Hoe dichter we bij
0 komen, des te dichter komen deze twee lijnen bij elkaar en des te
minder speelruimte heeft de functie g over. De conclusie zal nu al wel
duidelijk zijn: limx→0xsin(1/x) = 0. Dus hebben we hier te maken met een
ophefbare discontinuïteit in 0.
«
Zoals u in de voorbeelden hebt gezien, komt het zoeken naar discontinuïteiten over het algemeen neer op het zoeken naar losse punten
waar de functie niet gedefinieerd is, zoals nulpunten van noemers in
het functievoorschrift, of naar punten waar een functie afwijkend is
gedefinieerd. U moet natuurlijk nog wel controleren of in deze punten
inderdaad een discontinuïteit optreedt.
OPGAVE 5.6 (Aanw)
Bekijk nog eens de functie s(c) = (300c 2 – 200c3 – 50)/(1000c – 500) uit de
introductie op dit blok, die het stijgingspercentage van een helling
beschreef. Kunt u deze functie uitbreiden, zodat ze op het hele interval
[0, 1] continu wordt?
OPGAVE 5.7
Probeer (bijvoorbeeld met computeralgebra) een grafiekje te tekenen van
de golden-gate-bridgefunctie h(x) = x2sin(1/x) (hint: teken eerst de parabolen y = x2 en y = –x2). Wat denkt u over lim x→0x2sin(1/x)? (We raden u
af hier een ε-δ-bewijs te proberen.)
OPGAVE 5.8 (Aanw)
Bepaal voor de volgende functies alle punten in het domein waar de
functie discontinu is.
a f(x) = x2
b f(x) = x 2
c f(x) = 1/(x2 – 1)
d f(x) = 1/(x2 – 1) als x ∉{–1, 1}, en f(x) = 0 als x ∈{–1, 1}
8
Limieten voor x gaat naar oneindig
Tot nu toe hebben we x altijd naar een eindig getal a laten lopen. In leereenheid 3, toen we limieten van rijen bekeken, bestudeerden we het
gedrag van an als n ∈N naar ∞ gaat. We kunnen natuurlijk iets dergelijks
bij functies proberen: we kunnen x (nu niet meer in N, maar x ∈R) naar
∞ of –∞ laten gaan en dan het gedrag van f(x) bestuderen. Dit geeft
aanleiding tot de volgende definities van limx→∞ f(x) en limx→–∞ f(x), die u
na paragraaf 3 en definitie 3.2 niet vreemd meer zullen voorkomen. Eerst
informeel in woorden:
limx→∞ f(x) = L betekent: f(x) komt willekeurig dicht bij L, mits x groot
genoeg wordt
limx→–∞ f(x) = L betekent: f(x) komt willekeurig dicht bij L, mits x groot
genoeg negatief wordt
34
Leereenheid 5 Grondbegrippen
Dan geven we nu ook een formele ε-δ-definitie. Er zijn een paar kleine
verschillen met de situatie van een limiet voor x → a, die we toelichten
voor het geval dat x → ∞. We kunnen niet zonder meer definitie 5.2
overschrijven en overal a vervangen door ∞. We kunnen namelijk niet
spreken van een ‘omgeving van ∞’, en daar moet dus iets op verzonnen
worden: we eisen gewoon dat de functie f bestaat op een of ander interval van de vorm ⟨b, ∞⟩. Verder kunnen we natuurlijk in de voorwaarde
‘er is een δ zodat 0 < x – a < δ ’ niet zomaar a = ∞ invullen. Deze voorwaarde drukte uit: ‘mits x dicht genoeg bij a zit’. Nu moeten we een
wiskundige vertaling vinden van de voorwaarde ‘mits x groot genoeg
is’, dat wil zeggen: ‘mits er een grens is waar x boven uitstijgt’. Dat zal
dan moeten worden: ‘er is een getal N zodat x > N’. De ε-δ-definitie
wordt nu dus eigenlijk een ε-N-definitie.
DEFINITIE 5.9
Laat de functie f gedefinieerd zijn op een interval ⟨b, ∞⟩. Zij L ∈R.
We zeggen dat de limiet van f voor x gaat naar ∞ bestaat en gelijk is aan
L, en we noteren limx→∞ f(x) = L, als geldt: voor iedere ε > 0 is er een N ∈R
te vinden waarvoor geldt: als x > N, dan f(x) – L < ε.
Behalve dat we nu als voorwaarde stellen dat f gedefinieerd is op ⟨b, ∞⟩
en dat x ∈R, is deze definitie gelijk aan definitie 3.2.
En nu is het niet moeilijk meer om de definitie op te schrijven voor de
limiet voor x → –∞.
DEFINITIE 5.10
Laat de functie f gedefinieerd zijn op een interval ⟨–∞, b⟩. Zij L ∈R.
We zeggen dat de limiet van f voor x gaat naar –∞ bestaat en gelijk is
aan L, en we noteren limx→–∞ f(x) = L, als geldt: voor iedere ε > 0 is er een
N ∈R te vinden waarvoor geldt: als x < –N, dan f(x) – L < ε.
VOORBEELD
We bekijken f(x) = 1/x voor x → ∞ (respectievelijk x → –∞). Intuïtief
geredeneerd: als x steeds groter (respectievelijk groter negatief) wordt,
dat komt 1/x steeds dichter bij 0.
Precies gemaakt: als we 1/x < ε willen hebben (dit betekent: 1/x op
een afstand hoogstens ε van 0 af), dan moeten we x groter dan 1/ε (respectievelijk kleiner dan –1/ε) kiezen. Dus we kunnen N = 1/ε nemen,
dan geldt inderdaad voor iedere x > N (respectievelijk x < –N) dat
f(x) – 0 < ε. Let er nogmaals op dat het cruciaal is dat we dit voor een
willekeurige (lees: willekeurig kleine) ε > 0 kunnen doen.
«
Was het bij de ε-δ-definitie zo dat doorgaans δ erg klein is bij erg kleine ε,
bij voorgaande ε -N-definitie is het doorgaans zo dat N juist erg groot
wordt als ε erg klein wordt.
VOORBEELD
We laten x naar oneindig gaan bij de functie f(x) = sinx. De functiewaarde blijft dan heen en weer gaan tussen –1 en 1. De conclusie is dat
limx→∞sinx niet bestaat.
«
VOORBEELD 5.11
We laten x naar oneindig gaan bij de functie f(x) = sinx/x. De functiewaarde blijft dan heen en weer gaan tussen –1/x en 1/x, die beide naar 0
gaan. De conclusie is dat limx→∞sinx/x = 0. Zie de grafiek in figuur 5.18.
35
Continue wiskunde
y
1
100
FIGUUR 5.18
Grafiek van de functie f(x) =
NB: om het effect te tonen, zijn de schalen aangepast.
x
sinx/x
«
Als limx→∞ f(x) = a, dan betekent dat in de grafiek dat hoe verder we naar
rechts kijken, hoe dichter de grafiek tegen de horizontale lijn y = a aankruipt. Die lijn noemen we dan een horizontale asymptoot van de functie.
Zo hebben de functies 1/x en sinx/x beide de x-as (de lijn y = 0) als horizontale asymptoot. Op het begrip asymptoot komen we in de volgende
leereenheid terug.
Horizontale
asymptoot
OPGAVE 5.9
a Wat is limx→∞(1/lnx)?
x
x
b Wat is limx→∞(1/2)(1/2) ? Wat is limx→–∞(1/2)(1/2) ?
x
Wat zijn de horizontale asymptoten van de functie f(x) = (1/2)(1/2) ?
9
Oneindige limieten en oneindige discontinuïteiten
Tenslotte laten we in deze leereenheid zien wat ook bij limieten van rijen
(leereenheid 3) voorkwam, namelijk limieten die oneindig zijn. Met
andere woorden, we beschrijven wat we verstaan onder f(x) gaat naar
∞ (respectievelijk –∞) als x → a. Dat zal in formule moeten zijn:
limx→a f(x) = ∞ (respectievelijk limx→a f(x) = –∞), waarbij we voor a zowel
een eindig getal als ±∞ mogen lezen.
We geven alleen de definitie van limx→a f(x) = ∞ voor een eindig getal a,
en laten de precieze formuleringen van de andere gevallen (inclusief
linker- en rechterlimieten die oneindig zijn) aan u over.
In woorden wordt het:
limx→a f(x) = ∞ betekent: f(x) wordt willekeurig groot, mits x dicht genoeg
bij a gekozen wordt
Het kenmerkende verschil met de ε-δ-definitie 5.2 van limx→a f(x) = L zit
nu in de eis ‘voor alle ε > 0 moet f(x) – L < ε’, waar we natuurlijk niet
zomaar L = ∞ mogen invullen. Deze eis drukte uit: ‘f(x) komt willekeurig
dicht bij L’. Nu moeten we uitdrukken: ‘f(x) wordt willekeurig groot’,
36
Leereenheid 5 Grondbegrippen
oftewel ‘f(x) stijgt boven iedere grens uit’. Dat wordt dan in exacte termen: ‘voor iedere M ∈R moet f(x) > M’. De ε-δ-definitie wordt nu dus
een M-δ-definitie. Net zoals we bij het ‘voor iedere ε > 0’ in ons achterhoofd hadden: ‘hoe klein ook’, denken we nu bij het ‘voor iedere M ∈R’
er telkens bij: ‘hoe groot ook’.
Oneindige limiet
DEFINITIE 5.11
Notatie
Laat de functie f gedefinieerd zijn op tenminste een gereduceerde omgeving van a. We zeggen dat de limiet van f voor x gaat naar a oneindig is,
en we noteren limx→a f(x) = ∞ als geldt: voor iedere M ∈R is er een δ > 0
waarvoor geldt: als 0 < x – a < δ, dan f(x) > M.
OPGAVE 5.10
Geef een formele definitie van limx→∞ f(x) = –∞.
Een discontinuïteit van een functie waarbij de limiet (of alleen de linkerof rechterlimiet) ±∞ is, noemen we ook wel een oneindige discontinuïteit.
Oneindige
discontinuïteit
VOORBEELD
We nemen f(x) = 1/x2 en laten nu x → 0. We tonen, nu maar weer eens
met de definitie, aan dat limx→0(1/x2) = ∞.
Willen we voor zekere M > 0 hebben dat 1/x2 > M, dan moet x2 < 1/M,
en dus moeten we x ∈⟨–1/√M, 1/√M⟩ kiezen. Dus met δ = 1/√M is aan
de definitie voldaan.
«
VOORBEELD 5.12
Een veelvoorkomend misverstand is dat 1/x naar ∞ zou gaan als x → 0.
Het hangt er namelijk maar van af van welke kant x naar 0 nadert. Er
geldt wel: limx↓01/x = ∞ en limx↑01/x = –∞.
«
Let wel: als limx→a f(x) = ∞, dan zeggen we daarmee niet dat de limiet van
f voor x → a bestaat. Met het bestaan van een limiet bedoelen we altijd:
bestaan als eindig getal. Sommige boeken doen dit anders, en zeggen dat
zo’n oneindige limiet wel bestaat. Ook komt de term oneigenlijke limiet
wel voor in deze situatie.
Bestaan van een
limiet
Oneigenlijke limiet
Als een limiet limx→a f(x) niet bestaat, dan kunnen er twee dingen aan de
hand zijn: de limiet kan ±∞ zijn, of zelfs dat niet. Van dit laatste hebben
we in voorbeeld 5.9 een voorbeeld gezien (waar ook linker- en rechterlimiet niet bestaan, noch ±∞ zijn). Maar ook f(x) = x/x (zie voorbeeld
5.5) is hiervan een goed voorbeeld.
In het geval dat limx→a f(x) = ±∞ voor een eindig getal a (en ook als
limx↓a f(x) = ±∞ of limx↑a f(x) = ±∞), dan zien we in de grafiek dat als x
steeds dichter naar a nadert, dat de grafiek steeds dichter langs de
verticale lijn x = a gaat lopen, naar boven of naar beneden. Zo’n lijn
noemen we een verticale asymptoot van de functie. De functie 1/x heeft
dus de y-as (de lijn x = 0) als verticale asymptoot. We spreken niet van
horizontale of verticale asymptoten als bijvoorbeeld limx→∞ f(x) = ∞. Op
het begrip asymptoot komen we in de volgende leereenheid terug.
Verticale
asymptoot
VOORBEELD
Een bijzonder voorbeeld van een oneindige discontinuïteit is f(x) = e1/x in
x = 0. Zie figuur 5.19.
37
Continue wiskunde
y
1
–1
FIGUUR 5.19
1
x
Grafiek van f(x) = e1/x
Namelijk, limx↓0e1/x = ∞ en limx↑0e1/x = 0 (zonder formeel bewijs, merk
op dat ey → ∞ als y → ∞ en dat ey → 0 als y → –∞).
«
VOORBEELD
De functie f(x) = tan x heeft oneindig veel verticale asymptoten, namelijk
alle lijnen x = ( n + 21 )π voor gehele n. Zie figuur 5.20.
y
4
2
–4
–2
2
4
6
x
–2
FIGUUR 5.20
Verticale asymptoten in de grafiek van tan x
OPGAVE 5.11
Bepaal van de functie f(x) = (x2 – x – 2)/(x2 + 6x + 5) zowel de horizontale
als verticale asymptoten (zie paragraaf 1).
OPGAVE 5.12
Zij f een inverteerbare functie. Laat zien, bijvoorbeeld in een plaatje, dat f
een horizontale asymptoot y = a heeft als en alleen als de inverse functie
f –1 een verticale asymptoot x = a heeft. Licht dit toe aan de hand van de
functie f(x) = x2 + 1.
SAMENVATTING
Een functie f die gedefinieerd is op een gereduceerde omgeving van een
punt a, heeft in a al of niet een limiet. De limiet f voor x gaat naar a,
genoteerd als limx→a f(x), is gedefinieerd als dat getal L waarvoor geldt
dat f(x) zo dicht bij L kan komen te liggen als we maar willen, mits x
maar dicht genoeg bij a gekozen wordt. In preciezere bewoordingen:
limx→a f(x) = L betekent: voor iedere ε > 0 is er een δ > 0 met de eigenschap dat voor alle x met 0 < x – a < δ geldt dat f(x) – L < ε.
38
«
Leereenheid 5 Grondbegrippen
Varianten op de limietdefinitie zijn die waarbij we x altijd aan één kant
van a kiezen (de linker- en rechterlimieten), die waarbij we a = ∞ of –∞
kiezen en die waarbij de limiet L zelf de ‘waarde’ ∞ of –∞ heeft.
Als een functie f gedefinieerd is op een omgeving van a en er geldt
limx→a f(x) = f(a), dan noemen we de functie continu in a. Een functie die
continu is in ieder punt van een interval, noemen we continu op dat
interval. De grafiek van een continue functie is een ononderbroken lijn.
Een functie die in een punt niet continu is, maar op een gereduceerde
omgeving van dat punt wel bestaat, heet discontinu in dat punt. Als in
zo’n situatie linker- en rechterlimiet bestaan, maar verschillend zijn, dan
spreken we van een sprong. Als linker- en rechterlimiet bestaan en wel
hetzelfde zijn en f is in a niet gedefinieerd, dan noemen we de
discontinuïteit ophefbaar: de functie is continu uit te breiden tot a, dat
wil zeggen: f(a) is zo te definiëren dat de functie continu wordt in a. Als
linker- of rechterlimiet ∞ of –∞ is, dan spreken we van een oneindige
discontinuïteit en heeft de functie bij a een verticale asymptoot.
ZELFTOETS
1
Geef de formele definitie van limt↓3 f(t) = ∞.
Bedenk een functie waarbij dit optreedt, en schets daarvan een grafiek.
2
Wat bedoelen we met: de functie g is continu op het interval [0, ∞⟩?
Is de functie g(x) = √x continu op [0, ∞⟩?
En de functie g(x) = 1/√x? (We verlangen geen ε-δ-bewijzen van u.)
3
Beschouw de functie
f (x) =
1
x2 – x
Bepaal de punten waar f discontinu is.
Bepaal eventuele horizontale en verticale asymptoten van f.
4
De functie f wordt gegeven door
x2
als x < 1
f ( x ) = 
2
x
+
p
als x > 1

Er is precies één waarde van p waarvoor de discontinuïteit van f bij x = 1
ophefbaar is. Wat is die waarde van p, en hoe moet f(1) gedefinieerd
worden om f continu te maken in 1?
5
Teken een grafiek van de functie 1/x.
Bepaal de discontinuïteitspunten, en in ieder van de sprongdiscontinuïteiten de grootte van de sprong.
Is het waar dat limx↓0 1/x = ∞?
Is het waar dat limx→∞ 1/x = 0?
Wat is limx→–∞ 1/x?
39
Terugkoppelingen
TERUGKOPPELING LEEREENHEID 5
1
5.1
Uitwerking van de opgaven
We gebruiken de volgende regels: als a < b, dan a + c < b + c (aan beide
kanten c optellen mag bij een ongelijkheid), en als a < b, dan –a > –b (bij
tekenwisseling draait de ongelijkheid om).
a Stel 0,998334 < y < 1. We trekken overal 1 af, en krijgen dan –0,001666
< y – 1 < 0. Omdat y – 1 negatief is, geldt y – 1 = –(y – 1), en uit y – 1 >
–0,001666 volgt nu y – 1 = –(y – 1) < –(–0,001666) = 0,001666.
b Stel y – 1 < 0,001666. Als y ≥ 1, dan is y – 1 niet-negatief, dus 0 ≤
y – 1 = y – 1 < 0,001666, en als we overal 1 bij optellen, zien we 1 ≤ y <
1,001666. Als y < 1, dan is y – 1 negatief, en dus is 0 > y – 1 = –y – 1 >
–0,001666. Weer 1 optellen geeft nu 1 > y > 0,998334. De conclusie luidt:
of 1 ≤ y < 1,001666 of 0,998334 < y < 1. Tezamen is dat precies 0,998334 <
y < 1,001666 en dat is per definitie hetzelfde als y ∈ 0 ,998334 , 1 ,001666 .
5.2
a limx→∞g(x) = limx→∞(1 + 1/x) = 1
limx→∞h(x) = limx→∞1/(1 + x) = 0
b Als x steeds groter gekozen wordt, dan ook 1 + x. Dan komt 1/(1 + x)
steeds dichter bij 0, dus 2/(1 + x) steeds dichter bij 2 × 0 = 0. Als we iets
van 2 aftrekken dat dicht bij 0 ligt, dan blijven we heel dicht bij 2. Dus
vinden we limx→∞(2 – 2/(1 + x)) = 2.
5.3
Enkele waarden van f(x) = (2x – π)/cosx voor x in de buurt van
1
π = 1,57079... staan in tabel 5.4. Let er bij uw zakrekenmachine op dat
2
radialen gebruikt worden en geen graden.
TABEL 5.4
Enkele (afgeronde) functiewaarden van f(x) =
(2x – π)/cosx
x
f( x)
1
1,4
1,5
1,55
1,56
1,565
1,57
π/2 = 1,57079,,,
1,575
1,58
1,59
1,6
1,7
2
–2,11288
–2,00976
–2,00167
–2,00014
–2,00004
–2,00001
–2,00000
–
–2,00001
–2,00003
–2,00012
–2,00028
–2,00558
–2,06275
De functie f(x) bestaat niet in x = π/2 zelf, omdat zowel de teller 2x – π
als de noemer cosx gelijk aan 0 zijn voor x = π/2. De gegevens in tabel 5.4
suggereren sterk dat limx→π/2(2x – π)/cosx bestaat, en gelijk is aan –2.
Dat wordt zeer aannemelijk, als we bedenken dat cosx = sin(π/2 – x),
zodat we de functie (2x – π)/cosx ook kunnen schrijven als
–2
sin ( π/2 – x )
( π/ 2 – x )
119
Continue wiskunde
Daarin herkennen we de uitdrukking sin(‘iets’)/‘iets’, waarbij ‘iets’ vlak
bij 0 zit. Volgens de standaardlimiet limx→0sinx/x (zie voorbeeld 5.2) zit
deze uitdrukking dus vlak bij 1, en dus
2x – π
sin(‘ iets’)
= –2
cos x
‘ iets’
vlak bij –2/1 = –2.
5.4
f ( x ) = x 2 – 1 bestaat alleen als x2 – 1 ≥ 0, dus als x ≥ 1 of x ≤ –1. Het
domein is dus ⟨–∞, –1] ∪ [1, ∞⟩. Iedere gereduceerde omgeving van 1 en
–1 bevat punten die niet in het domein liggen, dus limx→1√(x2 – 1) en
limx→–1√(x2 – 1) bestaan niet. De functie f bestaat wel op een gereduceerde rechteromgeving en niet op een gereduceerde linkeromgeving van 1,
en f bestaat wel op een gereduceerde linkeromgeving en niet op een
gereduceerde rechteromgeving van –1. Dus bestaan limx↓–1√(x2 – 1) en
limx↑1√(x2 – 1) niet. Als x ≈ 1 of x ≈ –1, dan x2 ≈ 1, en dus vinden we dat
limx↑–1√(x2 – 1) = 0 en lim x↓1√(x2 – 1) = 0.
De functie f(x) = √x2 – 1 bestaat voor alle x. Als hiervoor zien we dat
limx→1√x2 – 1 = 0 en limx→–1√x2 – 1 = 0, en dan geldt hetzelfde uiteraard voor alle vier de linker- en rechterlimieten.
5.5
In 0 is f niet continu, want f is niet gedefinieerd voor x < 0. Maar f is wel
gedefinieerd op een rechteromgeving van 0. En limx↓0lnx = –∞, dus
limx↓0(1/lnx) = 0 (gezond verstand), en dit is gelijk aan f(0). Dus f is wel
rechtscontinu in 0.
In 1 is f niet continu en ook niet links- of rechtscontinu. Immers, ln1 = 0,
dus limx↑1(1/lnx) = –∞, limx↓1(1/lnx) = ∞. Zie ook figuur 5.21.
y
x
1
FIGUUR 5.21
5.6
De functie s(c) = (300c2 – 200c3 – 50)/(1000c – 500) is discontinu in c = 0,5,
omdat daar zowel de teller als de noemer 0 zijn. We gebruiken (zonder
dat we dat netjes bewijzen; dat leert u in leereenheid 6) dat
300 c 2 – 200 c 3 – 50
= 0,15
c → 0, 5
1000 c – 500
lim s( c ) = lim
c →0, 5
120
Grafiek van f(x)
Terugkoppelingen
We moeten nu bijdefiniëren s(0,5) = 0,15, en dan is de functie s(c) continu
op heel [0, 1].
5.7
De grafiek van x2sin(1/x) gaat, als x naar 0 toe gaat, steeds sneller heen
en weer slingeren tussen de parabolen y = x2 en y = –x2. Omdat deze
beide functies 0 worden als x → 0, zal x2sin(1/x), die ertussen ingeklemd
zit, ook wel naar 0 moeten gaan. Dus limx→0x2sin(1/x) = 0.
5.8
a x springt als x ∈Z. Dus x2 springt als x2 ∈Z – {0}, dus als x2 = ..., –3,
–2, –1, 1, 2, 3, ..., dus als x = 1, √2, √3, 2, √5, ... en ook bij x = –1, –√2, –√3,
–2, –√5, ... Bij x = 0 springt x2 niet, maar is continu. Immers, als –1 < x <
1, dan geldt 0 ≤ x2 < 1, dus x2 = 0. Zie figuur 5.22a.
a
b
y
y
4
2
1
–1
FIGUUR 5.22
1
√2 √3 2
x
–2 –1
1
2 3
x
Grafiek van f(x) = x2 (a) en f(x) = x 2 (b)
b Vergelijk met x. Het kwadraat verandert de grootte van de sprong,
maar niet de plaats. Dus x2 springt bij alle x ∈Z. Zie figuur 5.22b.
c Het enige probleem kan zijn dat de noemer 0 wordt. Dat gebeurt in
x = 1 en x = –1, waar de functie dus discontinu is, maar die twee getallen
horen niet tot het domein van de functie, omdat de noemer x2 – 1 dan 0
is. Op het domein is de functie overal continu.
d Nu behoren de getallen –1 en 1 wel tot het domein. Om na te gaan of
de functie daar continu is, moeten we nagaan of limx→1 f(x) = f(1) en
limx→–1 f(x) = f(–1). Dat is niet zo, want we zien snel in dat lim x↓1 f(x) = ∞,
limx↑1 f(x) = –∞, limx↓–1 f(x) = –∞ en limx↑–1 f(x) = ∞, dus linker- en rechterlimieten zijn al niet aan elkaar gelijk, laat staan dat ze gelijk zijn aan de
functiewaarden f (1) = 0 respectievelijk f (–1) = 0. De functie is dus discontinu in –1 en 1.
5.9
a
Als x → ∞, dan lnx → ∞, dus 1/lnx → 0, dus limx→∞(1/lnx) = 0.
x
b Als x → ∞, dan (1/2)x → 0, dus (1/2)(1/2) → 0, dus limx→∞(1/2)(1/2)
=1
x
x
x
Als x → –∞, dan (1/2)x → ∞, dus (1/2)(1/2) → 0, dus limx→∞(1/2)(1/2) = 0
Dus de horizontale asymptoten van deze functie zijn de lijnen y = 0 en
y = 1. We hebben in deze opgave niet bewezen dat de limieten inderdaad
deze waarden aannemen. Met de rekenregels uit leereenheid 6 kunt u dit
straks wel aantonen.
5.10
limx→∞ f(x) = –∞ betekent: voor iedere M ∈R, hoe groot negatief ook, is er
een N ∈R te vinden waarvoor geldt: als x > N, dan f (x) < M.
Voorbeeld: bij de functie f (x) = –x2 en M = –10000 kunnen we N = 100
nemen, want als x > 100, dan –x2 < –1002 = –10 000.
121
Continue wiskunde
5.11
We zagen in paragraaf 1 dat limx↑–5 f(x) = ∞ en limx↓–5 f(x) = –∞ (de noemer gaat naar 0, de teller naar 28). Dat betekent dat x = –5 een verticale
asymptoot is.
Verder zagen we (zonder bewijs) dat limx→∞ f(x) = 1 en limx→–∞ f(x) = 1. Er
is dus een horizontale asymptoot y = 1, voor zowel x → ∞ als x → –∞.
5.12
Zij y = f (x). Dan geldt x = f –1(y). Een horizontale asymptoot y = a betekent
dat f(x) → a als x → ∞ en/of als x → –∞. En omdat f inverteerbaar is,
geldt het ook andersom: als f(x) → a (of eventueel f(x) ↓ a of f(x) ↑ a), dan
moet wel x → ∞ en/of x → –∞. Dit laatste vertalen we naar y: als y → a,
dan f –1(y) → ±∞, en dat is precies de definitie van een verticale
asymptoot x = a voor de functie f –1.
In de grafieken kunt u het ook mooi zien: immers, de grafiek van f –1 is
precies de grafiek van f die gespiegeld is in de lijn y = x. Asymptoten
worden ook meegespiegeld en die spiegeling betekent dat de horizontale
lijn y = a overgaat in de verticale lijn x = a. In figuur 5.23 ziet u dit voor
de functie f(x) = 2x + 1 met horizontale asymptoot y = 1 en de inverse
f –1(x) = 2log(x – 1).
y
5
y = 2x + 1
4
3
2
1
–3
–2
0
–1
1
2
3
4
5
x
–1
–2
FIGUUR 5.23
2
122
y = 2log(x – 1)
De grafiek van f(x) = 2x + 1 en haar inverse met
asymptoten
Uitwerking van de zelftoets
1
limt↓3 f(t) = ∞ betekent: voor iedere N ∈R, hoe groot ook, is er een δ > 0
waarvoor geldt: als 0 < t – 3 < δ, dan is f(t) > N.
Teken (bijvoorbeeld met computeralgebra) de grafiek van f(t) = 1/(t – 3).
2
De functie g is continu op het interval [0, ∞⟩ betekent: g is continu in
ieder punt van het interval ⟨0, ∞⟩, en g is rechtscontinu in 0. Met andere
woorden: voor iedere a > 0 geldt limx→ag(x) = g(a), en er geldt bovendien
dat limx↓0g(x) = g(0).
De functie g(x) = √x is inderdaad continu op [0, ∞⟩, de functie g(x) = 1/√x
niet, want in het punt 0 is deze functie niet gedefinieerd: we kunnen niet
over g(0) spreken.
Terugkoppelingen
Van de functie f ( x ) = 1/ x 2 – x geven we de grafiek in figuur 5.24.
3
y
1
1
FIGUUR 5.24
2
3
x
Grafiek van de functie f(x)
De functie f kan problemen met continuïteit hebben als de noemer 0
wordt. Dat is zo als x2 = √x, en dat is alleen zo als x = 0 of x = 1. Nu ligt 0
op de rand van het domein (immers, vanwege de term √x moet x ≥ 0). Er
is dus geen gereduceerde omgeving van 0 waar f op bestaat, en dus tellen we 0 niet als discontinuïteit. Bij 1 ligt dat anders: er is wel een gereduceerde omgeving van 1 waar f gedefinieerd is (bijvoorbeeld ⟨ 21 , 1⟩ ∪
⟨1, 32 ⟩), en bij 1 is dus wel een discontinuïteit.
Omdat bij x → 1 de teller 1 blijft en de noemer naar nul gaat, maar wel
> 0 blijft, geldt limx→1 f(x) = ∞. We hebben dus een verticale asymptoot
x = 1. Omdat voor x ↓ 0 de noemer ook van boven naar 0 gaat, is ook de
y-as een verticale asymptoot.
Voor eventuele horizontale asymptoten moeten we kijken wat er gebeurt
als x → ∞ (–∞ hoeft niet, want als x < 0, dan is f (x) niet gedefinieerd). De
noemer groeit, want x2 – √x is bijna zo groot als x2, dus √x2 – √x is bijna
zo groot als x (om precies te zijn: √x2 – √x > 21 x als x > 2), en dat betekent dat de noemer naar ∞ gaat. Dan zal de functie f(x) naar 0 gaan, en
dat betekent dat de x-as een horizontale asymptoot is.
4
De functie gegeven door
als x < 1
x 2
f (x) = 
x
+
p
2
als x > 1

is niet gedefinieerd voor x = 1. Ze is daar continu uit te breiden als
limx→1 f(x) bestaat. Omdat de functie links en rechts van 1 met behulp
van verschillende formules gedefinieerd is, ligt het voor de hand om
apart naar linker- en rechterlimiet te gaan kijken.
De linkerlimiet is limx↑1 f(x) = limx↑1x2 = 1, en de rechterlimiet is limx↓1 f(x)
= limx↓1(2x + p) = 2 + p. De limiet moet bestaan, dus linker- en rechterlimiet moeten gelijk zijn. Dus moet gelden 1 = 2 + p, en dat leidt tot p = –1.
In dat geval is f continu uit te breiden tot 1 door te definiëren f(1) =
limx→1f(x) = 1.
123
Continue wiskunde
5
De grafiek van de functie 1/x staat in figuur 5.25.
y
3
2
1
–2
–1
– –12 – –13 – –14
–14 –13
–12
1
2
x
–1
–2
–3
FIGUUR 5.25
Grafiek van f(x) = 1/x
Deze functie is discontinu als wat binnen het symbool   staat, geheel is.
Dat is dus als x = 1, 21 , 31 , 41 , ... en als x = – 1, – 21 , – 31 , – 41 , ... De grootte
van de sprong (rechterlimiet min linkerlimiet) is telkens –1.
Het is waar dat limx↓0 1/x = ∞. Immers, hoe dichter x van boven af bij 0
komt, hoe dichter 1/x bij ∞ komt, en 1/x zit hooguit 1 van 1/x af.
Het is waar dat limx→∞ 1/x = 0. Immers, als x > 1, dan geldt 0 < 1/x < 1,
dus 1/x = 0 en dus geldt limx→∞ 1/x = limx→∞0 = 0.
En als x < –1, dan –1 < 1/x < 0, dus 1/x = –1 en dus geldt limx→–∞ 1/x
= limx→–∞–1 = –1.
124