1 Getallen en meetwaarden

Getalbegrip
Getalbegrip
1
september 2009
Getalbegrip
2
september 2009
1.
Tellen en verdelen
Getallen worden op veel verschillende manieren gebruikt, onder andere om te tellen of een afstand
weer te geven. Er volgen nu eerst drie instapproblemen waarbij verschillende eigenschappen van
getallen aan bod komen. Bedenk zelf een handige manier om de vragen te beantwoorden.
Probleem 1 huizen langs de Lindelaan
Langs de Lindelaan staan aan de ene kant huizen met even nummers
(2, 4, 6, ...) en aan de andere kant huizen met oneven nummers (1, 3,
5, ...). De Lindelaan heeft geen bochten en de afstand tussen twee
huizen, van deur tot deur gemeten, is steeds twintig meter. Je hebt
een folderbaantje en in de Lindelaan bezorg je alleen bij de oneven
huisnummers 15 tot en met 51.
>
Hoeveel folders bezorg je in de Lindelaan?
Probleem 2 juwelier Toermalijn
Juwelier Toermalijn heeft een partij edelstenen opgekocht die bestaat uit 45
agaten en 135 barnstenen. Toermalijn wil deze steentjes verkopen in doosjes.
In ieder doosje moet dezelfde hoeveelheid van elk soort steentjes (bijv. in
ieder doosje zitten 2 agaten en 3 barnstenen).
>
Hoeveel doosjes kan Toermalijn met deze steentjes vullen zó dat hij geen
enkel steentje overhoudt? (onderzoek welke mogelijkheden er zijn)
Probleem 3 het snoeptrommeltje van Tanja
Tanja heeft drie vriendinnen uitgenodigd voor een spelletjesavond. Aan
het begin van de avond krijgt ieder (ook Tanja) evenveel snoepjes uit een
trommeltje, er mogen geen snoepjes over blijven. Tanja weet nog niet of
iedereen komt. Toch wil ze vooraf zoveel snoepjes in het trommeltje
doen, dat ze er zeker van is dat de snoepjes eerlijk verdeeld kunnen
worden.
>
Hoeveel snoepjes moet Tanja ten minste in het trommeltje doen?
Getalbegrip
3
september 2009
1.1 Tellen: plus of min één?
De afstand tussen twee stippen is steeds 1 cm.
De afstand tussen A en B is 6 cm.
Er liggen 5 stippen tussen A en B.
Het totaal aantal stippen, met A en B meegerekend,
is 7 (de afstand + 1).
Oplossing van huizen langs de Lindelaan
51 – 15 = 36; omdat je alleen folders bij oneven nummers bezorgt, bezorg je die bij 18 + 1 = 19
huizen.
1.2 Delers, priemgetallen en de grootste gemene deler
Je hebt een zakje met 24 steentjes. Met hoeveel personen kun je de steentjes
delen zodat iedereen evenveel steentjes krijgt?
Het getal 3 is een deler van 24, want met 3 personen kun je 24 steentjes eerlijk
delen in even grote, gehele aantallen.
Het getal 24 is een veelvoud van 3 en dus is 24 gedeeld door 3 een geheel getal
(8).
Delers van 24 zijn: 1, 2, 3, 4, 6, 12, 24.
Van het getal 30 zijn de delers: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
De gemeenschappelijke (gemene) delers van 24 en 30 zijn 1, 2, 3 en 6.
De grootste gemene deler, afgekort ggd van 24 en 30 is 6. Notatie: ggd( 24, 30) = 6.
Priemgetallen zijn getallen die maar twee delers hebben: zichzelf en 1.
Bijvoorbeeld 5 en 13 zijn priemgetallen. Het getal 24 is duidelijk geen priemgetal, het heeft naast 24
en 1 nog andere delers. Het kleinste priemgetal is 2.
Oplossing van juwelier Toermalijn
In elk doosje moeten steentjes komen in de verhouding 45 :135 (‘:’ betekent hier ‘staat tot’). De
getallen zijn deelbaar door 5, dus het is dezelfde verhouding als 9 : 27 . Deze getallen zijn weer
deelbaar door 3. Dus de verhouding is dezelfde als 3 : 9 . En dat is weer dezelfde verhouding als
1: 3 . Verder gaat het niet.
We hebben de oorspronkelijke getallen gedeeld door 5 × 3 × 3 = 45 en dat veranderende niets aan de
verhouding van de aantallen steentjes. Zo bleek 45 de grootste gemene deler van de twee getallen.
De juwelier kan 45 doosjes vullen in de verhouding 1: 3 , dus 1 agaat en 3 barnstenen. Maar er zijn
dus ook andere mogelijkheden: 15 doosjes met 3 agaten en 9 barnstenen, of 5 doosjes met 9 agaten
en 27 barnstenen.
Opgaven
1. Aantallen
Bereken het aantal gehele getallen
a. tussen 8 en 15 (dus 8 en 15 niet meegerekend!).
b. groter dan 13 maar niet groter dan 21.
c. in de reeks 15, 16, 17 tot en met 25.
d. groter dan 32 maar kleiner dan of gelijk aan 100.
Getalbegrip
4
september 2009
2. Op vakantie
Je gaat op vakantie van 11 t/m 26 juli.
Hoeveel dagen en hoeveel nachten is dat?
3. Artikelen
a. In een schoenenwinkel zijn kinderschoenen te koop van maat 29 tot en met 38. Hoeveel
verschillende hele maten kinderschoenen zijn er in deze winkel?
b. Dezelfde schoenenwinkel verkoopt damesschoenen van maat 36 tot en met 44. Bij de
damesschoenen zijn ook de tussenliggende halve maten, bijvoorbeeld maat 39 12 , aanwezig.
Hoeveel verschillende maten damesschoenen kun je in deze winkel kopen?
c. “Voor elke prijs tussen€€ 5 en€€ 10 hebben wij een artikel” adverteert de winkelketen
Diverta. Prijzen in deze winkels zijn afgerond op 5 eurocent. Voor een moederdagcadeau
heeft Lieselot € 10 te besteden. Uit hoeveel artikelen kan zij zeker kiezen in een winkel van
Diverta?
4. Bereken
Bereken het aantal delers van 20, 45, 13, 31, 1 en 0.
5. Bereken
a.
b.
c.
d.
e.
ggd (28, 105)
ggd (20, 45)
ggd (54, 18)
ggd (35, 81, 270)
ggd (336, 133, 791)
Getalbegrip
5
september 2009
1.3 Het kleinste gemene veelvoud
Veelvouden van 8 zijn 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, 108, 116, ...
Veelvouden van 14 zijn 14, 28, 42, 56, 70, 84, 108, 122, ...
Je ziet dat 56 en 108 gemeenschappelijke (gemene) veelvouden van 8 en 14 zijn (er zijn er natuurlijk
veel meer). 56 is het kleinste gemene veelvoud, afgekort kgv. Notatie kgv( 8 , 14 ) = 108.
Oplossing van het snoeptrommeltje van Tanja
Er moet eerlijk verdeeld worden onder 1 (niemand komt), 2, 3 of 4 personen, dus het aantal snoepjes
moet een veelvoud zijn van 2, 3 en 4.
We zoeken nu het kgv van 2, 3 en 4.
Veelvouden van 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, ...
Veelvouden van 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, ...
Veelvouden van 4: 4, 8, 12, 16, ...
Het kgv van 2, 3 en 4 is dus 12. Tanja moet minimaal 12 snoepjes in het trommeltje doen. Hoeveel
vriendinnen er ook komen. Twaalf snoepjes zijn goed te verdelen:
12 = 2 × 6 = 3 × 4 = 4 × 3.
1.4 Deelbaarheidtests
deelbaarheid door 3 en 9
Er zijn tests om te zien of een getal deelbaar is door 3. Dit gaat zo: tel alle cijfers van het getal bij
elkaar op. Als de som van de cijfers deelbaar is door 3, dan is het getal zelf ook deelbaar door 3 (en
andersom: is de som niet deelbaar door 3 dan het getal ook niet). Bijvoorbeeld: 2757 is deelbaar
door 3, want 2 + 7 + 5 + 7 = 24 is deelbaar door 3.
Op dezelfde manier kun je zien of een getal deelbaar is door 9. Het getal 2757 is wel deelbaar door 3
maar niet door 9 want de som van cijfers (24) is niet deelbaar door 9.
deelbaarheid door 11
Voor 3 ken je nu een deelbaarheidstest. Voor 2 en 5 kun je die test zelf wel bedenken.
Er is helaas geen test voor deelbaarheid door het volgende priemgetal: 7. Er is er wel een voor 11: tel
de cijfers ‘om en om’ bij elkaar op, en neem het verschil van deze twee getallen. Het oorspronkelijke
getal is alleen deelbaar door 11 als dit verschil deelbaar is door 11. Bijvoorbeeld: 1749 is deelbaar
door 11 want 1 + 4 = 5 en 7 + 9 = 16 en het verschil 16 – 5 = 11 is deelbaar door 11.
Wonderbaarlijk!?!
Getalbegrip
6
september 2009
Opgaven
6. Bereken ggd en kgv van de volgende getallen
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
6 en 9
20 en 45
36 en 120
84 en 35
12 en 35
10, 11 en 12
Bereken het product van ggd en kgv van bovenstaande getallen en vergelijk dat met het
product van de getallen zelf. Wat valt je op?
7. het snoeptrommeltje van Tanja: het vervolg
Twee zussen van Tanja willen ook meedoen met de spelletjesavond. Ze zijn dus met 3, 4, 5 of 6
meisjes. In het trommeltje gaan niet meer dan 50 snoepjes.
Kan Tanja nu zoveel snoepjes in het trommeltje doen dat ze met zekerheid de snoepjes eerlijk
kan verdelen?
8. juwelier Toermalijn: het vervolg
Stel de juwelier heeft 57 agaten en 76 barnsteentje in voorraad. Bereken, met behulp van het
kgv, hoeveel doosjes hij nu met gelijke aantallen steentjes van iedere soort zal kunnen vullen,
zodat hij alle steentjes gebruikt.
9. deelbaarheid
a. Hoe zie je aan een getal of het deelbaar is door 25? En door 50? En door twee miljoen?
b. Honderd is deelbaar door 4, want 4 × 25 = 100. Om na te gaan of een getal deelbaar is door 4
is het daarom voldoende om naar de laatste twee cijfers te kijken. Welke getallen zijn
deelbaar door vier: 28, 34, 82, 143, 576, 2898?
c. Ga voor elk getal na of het deelbaar is door 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11:
294, 2375, 45986, 12765490, 238964.
Getalbegrip
7
september 2009
1.5 Keuzestof
De negenproef
Voordat rekenmachines en computers hun intrede deden, moest men administratieve berekeningen
met potlood en papier maken en natuurlijk werden er wel eens foutjes gemaakt. Het was belangrijk
dat berekeningen werden gecontroleerd en een veel gebruikte controle was de negenproef.
De negenproef is gebaseerd op ‘rekenen modulo 9’. Bij de negenproef nemen we van elk getal de
som van de cijfers en bepalen dan de rest bij deling door 9. Bijvoorbeeld, van 14837 is de som van de
cijfers 1+4+8+3+7=23 en 23 modulo 9 = 5 (want 23=2×9+5). Dan is ook 14837 modulo 9 = 5.
Stel, je vermenigvuldigt de getallen 14837 en 67238. Hiernaast zie je
de uitwerking zoals die vroeger gedaan werd, met daarnaast de
14837
→ 5
67238 × → 8 ×
negenproef.
118696
40 → 4
Wanneer je bij deze vermenigvuldiging 997510206 had gevonden dan
44511.
gaf de negenproef 3 en je zag dat je een rekenfout had gemaakt.
29674..
Maar was je antwoord 997601206 dan was er geen fout ontdekt.
103859...
Welke soort fouten kan de negenproef niet ontdekken?
89022.... +
997610206
→ 4
De negenproef is in onbruik geraakt maar sommige computers
werken nog steeds met een soortgelijke foutdetectie die de parity check heet (letterlijk: ‘evenproef’
of ‘tweeproef’).
10. controleer met de negenproef
Bob Cratchit was boekhouder op het kantoor van Ebenezer Scrooge. Cratchit berekende de winst
op het boek ‘a Chrismas Carol’ van C. Dickens met de volgende vermenigvuldiging: 6000 × 1,37 =
8320.
Cratchit controleerde de berekening met de negenproef. Zag hij dat de berekening fout was?
Maak de berekening zelf en controleer deze met de negenproef.
Priemgetallen en de Zeef van Eratosthenes
Hiernaast zie je een rooster waarmee je alle
priemgetallen tussen 0 en 100 kunt bepalen.
Dit doe je zo: begin bij het eerste priemgetal (2),
omcirkel dat en streep alle veelvouden van 2 door (dus
4, 6, 8, 10, 12, enz.).
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
Neem nu het kleinste niet-omcirkelde nietdoorgestreepte getal. Omcirkel dit getal want het is priem, en streep vervolgens alle veelvouden
door. Ga zo door tot je alle getallen gehad hebt. Hoeveel priemgetallen heb je gevonden?
De methode die hier is gebruikt heet de Zeef van Eratosthenes, een Griekse wiskundige uit de 3e
eeuw v. Chr.
11. Zeven
Is 87 een priemgetal?
Getalbegrip
8
september 2009
Het algoritme van Euclides
Euclides, een Grieks wiskundige en tijdgenoot van Eratosthenes, heeft een methode bedacht om de
ggd van twee getallen te bepalen. Hij baseerde zijn algoritme (een recept) op het feit dat als een
getal d deler is van twee getallen a en b, het ook deler is van het verschil a – b en de som a + b. Neem
bijvoorbeeld 6, dat is een deler van 234 (= 6×39) en 36 (= 6×6), dus ook deler van het verschil 234 –
36 = 198 en van de som 234 + 36 = 270. Ga maar na, 198 en 270 zijn allebei deelbaar door 6.
Hiermee kon hij aantonen dat je voor het bepalen van de ggd van twee getallen, van het grootste
getal een aantal keren het kleinste mag aftrekken. Dat verandert de ggd niet. Je kunt zelfs het
grootste getal delen door het kleinste, en dan in plaats van het grootste getal, de rest van de deling
nemen.
In het voorbeeld: we zoeken de ggd van 234 en 36.
234 : 36 = 6 rest 18 (dat betekent: 234 – 36×6 = 18), dus ggd (234, 36) = ggd (18, 36).
Nu is 36 : 18 = 2. De deling heeft geen rest, dan is het kleinste getal (18) een deler van het grootste
en van zichzelf, het is de ggd van die twee getallen en dus ook van de twee begingetallen. Kortom,
volgens het algoritme van Euclides geldt: ggd (234, 36) = 18.
12. het algoritme van Euclides
a. ggd (72, 54)
b. ggd (187, 255)
Het grootste priemgetal?
Het is een hele klus om te ontdekken of een groot getal priem is. Op universiteiten maken ze er een
hele sport van om steeds grotere priemgetallen te vinden – en om computerprogramma’s hiervoor
te maken. Op 23 augustus 2008 werd door een Amerikaanse universiteit een priemgetal gevonden
dat bestaat uit 12 978 189 cijfers! Als je ervan uit gaat dat een schrift 50 bladzijden heeft, met op
elke bladzijde 30 lijntjes met daarop 90 cijfers, dan kun je 135 000 cijfers in een schrift kwijt. Om het
grootste tot nu toe (in 2009) bekende priemgetal op te schrijven heb je ongeveer 100 schriften nodig.
Zal ooit het grootste priemgetal gevonden worden? Nee. Er is geen grootste priemgetal en dat is al
duizenden jaren bekend. Euclides heeft aangetoond dat er oneindig veel priemgetallen zijn en dat er
dus geen grootste priemgetal kan zijn. Dat deed hij als volgt.
Als er een eindig aantal priemgetallen zou zijn, vermenigvuldig ze dan allemaal met elkaar. Dit getal,
dat we N noemen, is dan een veelvoud van elk priemgetal. Tel nu 1 op bij N. Als je nu N+1 deelt door
een willekeurig priemgetal, dan zul je als rest 1 overhouden. Dus is N+1 door geen enkel priemgetal
deelbaar. Maar dat betekent dat N+1 alleen deelbaar is door 1 en zichzelf, en dus een nieuw
priemgetal moet zijn, groter dan `alle priemgetallen`, en dat kan niet. De aanname dat het aantal
priemgetallen eindig zou zijn klopt niet. Dan moeten er wel oneindig veel priemgetallen zijn.
We noemen dit bewijs van Euclides een bewijs uit het ongerijmde, het is een bewijsmethode die in
de wiskunde veel wordt toegepast.
13. Pincodes
Een bankfiliaal in een woonwijk heeft 23000 klanten. Iedere klant heeft een pincode van 4 cijfers.
Bewijs dat ten minste twee klanten dezelfde pincode hebben.
Getalbegrip
9
september 2009
2.
Notatie en nauwkeurigheid
Probleem 1 tellen
Sjeng en Steve doen een praktische opdracht en ze moeten tellen
hoeveel auto’s in een uur passeren.
>
Hoe doen ze dit met pen en papier?
Probleem 2 pizza
Carel zit in een groep van 13 personen, ze hebben 10 pizza’s besteld. De
groep van Corné is met 17 personen. Corné bestelt voor zijn groep
zoveel pizza’s dat in zijn groep per persoon ongeveer evenveel te eten
is als in de groep van Carel.
>
Hoeveel pizza’s bestelt Corné?
Probleem 3 rapportcijfer
Joice heeft voor haar proefwerken Duits de volgende cijfers behaald: 4,1 –
6,4 – 5,1 – 6,3. Alle proefwerken wegen even zwaar. Op het rapport staan
de cijfers afgerond op één decimaal. Tijdens de rapportvergadering wordt
gekeken naar het aantal onvoldoendes en daarvoor wordt per vak het
gemiddelde afgerond op een geheel getal.
>
Welk cijfer krijgt Joice op haar rapport voor Duits?
Heeft Joice een onvoldoende voor Duits?
Keuzeprobleem 4 grote getallen
Het zonlicht heeft ongeveer 8 minuten en 19 seconden
nodig om de aarde te bereiken.
De lichtsnelheid is 299 792 458 meter per seconde.
>
Bereken met je rekenmachine de afstand
van de Aarde tot de zon in kilometers
nauwkeurig.
Getalbegrip
10
september 2009
2.1 Van turven en tellen naar cijfers en getallen
Om aantallen bij te houden kun je turven: tellen door streepjes te zetten. Hiernaast
zie je het getal 23 geturfd. Het is een oude en eenvoudige manier om een getal te
noteren. We gebruiken in ons moderne talstelsel (onze manier van getallen
noteren) niet alleen het streepje, de 1, maar nog negen andere cijfers. Een cijfer is
een teken of symbool voor een getal – maar niet voor elk getal is er een cijfer ...
In een talstelsel worden cijfers gebruikt om getallen te noteren. Onze huidige
manier van noteren is afkomstig uit India en via de Arabieren in Europa ingevoerd.
Er zijn in de loop van de geschiedenis ook andere talstelsels ontstaan en sommige
worden nog steeds gebruikt.
Romeinse cijfers
Op oude gebouwen in Europa worden jaartallen soms
geschreven met Romeinse cijfers.
Je ziet ze ook op wijzerplaten van klokken en horloges.
Romeinse cijfers moeten bij elkaar opgeteld worden om
het getal te bepalen, behalve als een cijfer wordt gevolgd
door één met een hogere waarde. Want dan moet het
cijfer er juist van worden afgetrokken. Zie hiernaast,
bijvoorbeeld IX, XIV, XC.
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
XI
XII
XIII
XIV
XV
XVI
XVII
XVIII
XIX
XX
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
XXX
XL
L
LX
LXX
LXXX
XC
C
CXI
CC
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
30
40
50
60
70
80
90
100
111
200
CCXXIV
CCC
CD
D
DC
DCC
DCCC
CM
M
MM
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Een belangrijke ontdekking in de geschiedenis van de
talstelsels is het getal nul, dat in het Romeinse talstelsel nog niet voorkomt. De tekens voor de cijfers
1 t/m 9 waren in India meer dan tweeduizend jaar geleden uitgevonden. Ze komen voor vanaf de 3e
eeuw voor Chr. De nul komt pas voor vanaf de 5e eeuw na Chr. Het is een bijzonder getal, het wordt
niet gebruikt om te tellen maar wel om een aantal aan te geven. Bijvoorbeeld, het aantal bomen
langs een weg kan nul zijn, maar het is onzin om te spreken van de nulde boom.
Ons positiestelsel heeft het grondtal tien omdat er slechts tien cijfers gebruikt worden. ‘Positie’ wil
zeggen dat de plaats van een cijfer in het getal een bepaalde waarde vertegenwoordigt, namelijk, van
rechts naar links gelezen: 1, 10, 100, 1000, ... Het getal 349 (3×100+4×10+9×1) is daardoor een heel
ander getal dan 493 (4×100+9×10+3×1).
Met de tien cijfers 0 tot en met 9 is elk willekeurig natuurlijk getal te schrijven. Bij grote getallen van
meer dan vier cijfers kunnen groepjes van drie cijfers worden gescheiden door een spatie of een
punt. De groepering is steeds van rechts naar links, bijvoorbeeld 2 360 000. In sommige landen
gebruikt men een komma als scheidingsteken, bijvoorbeeld 2,360,000. Dit kun je ook op
rekenmachines aantreffen.
Getalbegrip
11
september 2009
224
300
400
500
600
700
800
900
1000
2000
Opgaven
14.
Turven
Schrijf in de turfnotatie de getallen 17 en 11. Hoe kun je deze twee getallen handig optellen met
de turfnotatie?
15.
Romeinse cijfers
Op de gevel van een huis staat een jaartal, zie de foto. Let op de
bijzondere schrijfwijze van een M: CIƆ en een D: IƆ.
In welk jaar is dit huis gebouwd?
Op een ander huis staat het jaartal CIƆ IƆ C C X C I V.
Hoe oud is dit huis?
16. Posities
a. In het Romeinse talstelsel is XC een ander getal dan CX, dus de plaats van de cijfers ten
opzichte van elkaar is van belang. Toch is dit geen positiestelsel. Waarom niet?
b. Waarom is het cijfer 0 voor de positionele notatie noodzakelijk?
17. Twaalftalligheid
a. Wat is de betekenis van de woorden dozijn en gros?
b. In welke situaties is het rekenen in het twaalftallig stelsel gebruikelijk?
c. Hoe zou dit twaalftallig rekenen ontstaan zijn?
18. Taligheid
a. Schrijf in woorden de volgende getallen in het Nederlands, Duits, Engels en Frans:
12, 13, 14, 15, 25, 52, 73, 86, 97.
Schrijf achter ieder woord de cijfers in de volgorde waarin ze in dat woord voorkomen.
(schrijf voor bijvoorbeeld twintig/zwanzig/twenty/vingt een 2). Welke getallen in welke taal
geven problemen? Wat merk je op ten aanzien van de volgorde van de cijfers en het gebruik
van het grondtal?
b. Schrijf in woorden de volgende getallen (alleen in het Nederlands):
9765
643 981
1 023 230
37 211 435 078
c. Wat wordt in Amerika bedoeld met: This car costs $ 24,500?
Wat voor soort auto koop je in Nederland voor€€ 24,50?
Getalbegrip
12
september 2009
2.2 Breuken en kommagetallen
Als je twaalf muntjes verdeelt onder vier personen krijgt ieder drie muntjes. Het quotiënt (de
uitkomst van de deling, 3) is een geheel getal, de deling gaat ‘mooi’ op. Als je twee pizza’s eerlijk
deelt met zes personen gaat dat niet zo mooi. Ieder krijgt 62  13 pizza. De uitkomst is niet een geheel
maar een gebroken getal dat wordt geschreven als een breuk. Breuken worden rationale getallen
genoemd omdat ze een verhouding (ratio) aangeven tussen twee getallen (de teller en de noemer).
Elk rationaal getal is als een breuk te schrijven, ook een geheel getal, bijvoorbeeld 3  13 .
Je kunt teller en noemer door hetzelfde getal delen om een breuk te vereenvoudigen, bijvoorbeeld
18
 249  83 . Je kunt ook eerst teller en noemer schrijven als producten van priemfactoren en dan
48
delen door de gemeenschappelijke factoren (de ggd).
Om breuken te vergelijken of bij elkaar op te tellen, is het nodig om ze gelijknamig (de noemers
gelijk) te maken. Daarvoor heb je een gemeenschappelijk veelvoud van de noemers nodig.
Bijvoorbeeld 56  34  10
 129  19
 1 127 . Hier is als nieuwe noemer 12 gekozen omdat dit het kgv van
12
12
6 en 4 is. Het is natuurlijk ook mogelijk om het product van de twee noemers te nemen (6 × 4 = 24 en
24 is dus zeker een veelvoud van 4 en van 6).
Kommagetallen zijn een uitbreiding op het positiestelsel doordat posities voor
1
10
1
, 100
,
1
1000
, enz. zijn
toegevoegd. Bijvoorbeeld: 71,36  70  1    71 .
Percentages zijn een bijzonder soort kommagetallen. Het procentteken % is waarschijnlijk ontstaan
als een slordige schrijfwijze van No/c. No is een afkorting van numero (getal) en c staat voor cent
5
(honderd). Dus 5% is eigenlijk de breuk 5/100 of 100
en dat is weer, als kommagetal geschreven:
0,05. Naast percentage er is ook het promillage ‰: per mille.
3
10
6
100
36
100
Oplossing van het pizza-probleem

In de groep van Carel krijgt men gemiddeld 10
pizza. Corné heeft dus 17  10
13
13
pizza’s nodig. Hij zal er waarschijnlijk dus 13 bestellen.
Getalbegrip
13
170
13
 169
 131  13 131
13
september 2009
Opgaven
19. Helen eruit halen
Als de teller van een breuk groter is dan de noemer, dan noemt men dit een onechte breuk
omdat het mogelijk is om helen er uit te halen. Bijvoorbeeld 114  84  34  2 34 . Als de helen er uit
gehaald zijn spreekt men van een echte breuk en heb je beter een idee waar het getal zich op de
getallenlijn bevindt.
Schrijf de volgende getallen als echte breuken: 73 , 47
, 54
, 57
.
6
9
24
20. Vereenvoudigen
Vereenvoudig de breuk
a. 54
36
b.
24
36
c.
12
20
21. Van breuken naar kommagetallen
3
a. Schrijf als kommagetal: 14 , 52 , 100
, 23 , 12
20 ,
b. Is iedere breuk als kommagetal te schrijven?
11
20
.
22. Van kommagetallen naar breuken
a. Schrijf als breuk: 0,75 ; 0,125 ; 0,6 ; 0,07.
b. Is ieder kommagetal als breuk te schrijven?
23. De getallenlijn
Teken een getallenlijn va 0 tot 5 en laat zien waar de volgende getallen liggen:
0,9 ;
3
100
0
Getalbegrip
;
20
5
; 3 13 ; 2,25 ; 3,09 ; 3,1 ; 4,75 ; anderhalf .
1
2
3
14
4
5
september 2009
Afronden
Afronden is een manier om een getal met veel cijfers kleiner te schrijven zonder dat belangrijke
informatie verloren gaat. Bijvoorbeeld, op 1 januari 2009 telde Nederland, volgens het Centraal
Bureau voor de Statistiek (CBS), 16 486 587 inwoners. Zo’n getal wordt meestal afgerond:
Nederland telde 16 miljoen inwoners, of 16,5 miljoen inwoners. Let op dat je afgeronde getallen niet
nog eens mag afronden: 16,5 miljoen nog eens afgerond op een heel aantal miljoenen wordt 17
miljoen, en dat is niet juist.
De meest gebruikelijke manier van afronden is als volgt. Zet een streepje achter het laatste cijfer dat
je wilt behouden. Staat daar een 5 of hoger achter, dan rond je af naar boven door 1 op te tellen bij
dat laatste cijfer. Vervolgens mag je de cijfers die achter de stippellijn of het streepje staan door
nullen vervangen (of je laat ze weg als ze achter de komma staan). Bijvoorbeeld: 14 587, 86 531 op
2 decimalen afgerond is 14 587, 87 en afgerond op een honderdtal 14 600 .
Oplossing van de rapportcijfers
Het gemiddelde cijfer is (4,1 + 6,4 + 5,1 + 6,3) : 4 = 5,475. Afgerond op één decimaal is dit een 5,5 en
dat krijgt Joice op haar rapport te zien. Tijdens de rapportvergadering wordt haar cijfer voor Duits
wel als een tekortpunt geteld, want afgerond op een geheel getal is haar cijfer een 5. Echter, op
sommige scholen wordt de 5,5 afgerond naar een 6 en dan niet als een onvoldoende geteld. Dit is
rekenkundig onjuist omdat het oorspronkelijke getal (5,475) dichter bij 5 is dan bij 6.
Let op: men spreekt hier van ‘cijfers’ omdat het vroeger gebruikelijk was met gehele getallen van 1
tot en met 10 te beoordelen (een ‘tien’ was een hoge uitzondering). De beoordeling werd dus
meestal in een enkel cijfer uitgedrukt. In bijvoorbeeld het Engels heeft men een ander woord voor
deze afwijkende betekenis van het woord ‘cijfer’ (figure in plaats van digit).
Getalbegrip
15
september 2009
Opgaven
24. Afronden
Rond de volgende getallen af op 3 decimalen.
a. 0,43726
b. 43,72694
c. 0,00084
d. 23,8995
25. Afronden
a. Rond de volgende getallen af op een duizendtal: 43726, 4372694, 379925.
b. Rond de volgende bedragen af op 5 cent: 0,43 ; 12,36 ; 24,68 ; 8,256 ; 9,376.
26. Altijd netjes afronden?
Een goederenlift heeft een draagvermogen van 370 kg. Een metselaar wil zoveel mogelijk zakken
cement van 25 kg met de lift naar boven brengen. Hoeveel zakken cement kunnen er in de lift?
Getalbegrip
16
september 2009
2.4 Keuzestof
Voor heel erg grote (of kleine) getallen is er de scientific of wetenschappelijke notatie. Daarvoor
worden machten van 10 gebruikt.
In de wetenschappelijke notatie wordt een getal geschreven als een kommagetal met maar één cijfer
(geen nul, dus het meest significante cijfer) voor de komma. Zo nodig wordt dit kommagetal
vermenigvuldigd met een macht van tien.
Bijvoorbeeld, in de wetenschappelijke notatie wordt 2345 geschreven als 2,345 × 103.
Op een rekenmachine kan dit er zo uitzien:
Praktisch gezien betekent ‘E3’ dat de komma 3 plaatsen naar rechts moet schuiven. Het kan ook
voorkomen dat de komma naar links moet:
Hier zie je dat 0,00068 gelijk is aan 6,8 ×10-4 (de ‘E-4’ betekent dat de komma 4 plaatsen naar links
moet).
Een groot aantal cijfers kan een verkeerde indruk geven van de nauwkeurigheid. Bijvoorbeeld, op
een verkeersbord staat dat de afstand Apeldoorn – Vaassen 6 km is, de snelheidsmeter op je fiets
laat zien dat je vrijwel constant 24 km/uur fietst. Dan kun je berekenen dat je 15 minuten over de
fietstocht zult doen. Maar de afstand van 6 km had ook 6,4 km kunnen zijn (verkeersborden geven
geen cijfers na de komma) en dan komt je berekening uit op 6,4
24  60  16 minuten. Dit verschijnsel
heeft te maken met significantie. Het gaat daarbij om het aantal significante (betekenisvolle) cijfers
in getallen. “Nederland heeft 16,5 miljoen inwoners” betekent niet dat er precies 16 500 000 mensen
in Nederland wonen. Het aantal is afgerond op 0,1 miljoen en daardoor zijn er drie significante cijfers
(1, 6 en 5).
Oplossing van het Aarde-zon probleem
Aan het begin van dit hoofdstuk stond het probleem grote getallen. Voor de oplossing moet je de 8
minuten en 19 seconden omrekenen naar seconden: dat is 8 × 60 + 19 = 499 seconden.
De berekening van de afstand Aarde-Zon met een rekenmachine zie je hieronder.
De onderste regel is ‘rekenmachinetaal’ voor 1,495964365×1011, wat gelijk is aan 1,495964365 keer
een 1 met 11 nullen, dus de gevraagde afstand is 1,1495964365  100 000 000 000 
149 596 436 500 meter, dat is ongeveer 150 000 000 km. Afronden is hier nodig omdat de tijd 8
minuten en 19 seconden ook “ongeveer” was.
Getalbegrip
17
september 2009
Opgaven
27. Hoe precies?
a. Een auto heeft een gewicht van 967 kg. De vier banden wegen elk 6,2 kg. Bereken het
gewicht van de auto zonder de banden.
b. Het aantal inwoners in Apeldoorn op 1 januari 2008 is 155 108. Hiervan is 43,7 % ongehuwd.
Bereken het aantal ongehuwde Apeldoorners op 1 januari 2008.
28. Herschrijven
a. Schrijf de volgende getallen, die hier in wetenschappelijke notatie staan, als een
kommagetal: 5,8977×103 ; 2,9×10-2 ; -1,23×10-4 ; 7,458×105 .
b. Schrijf de volgende getallen in wetenschappelijke notatie: 987654321 ; 0,0098 ; 7985,5431
.
29. Engineering
Veel rekenmachines kennen naast de normale en scientific notatie ook de engineering
(ingenieurs)notatie, die iets afwijkt van de wetenschappelijke notatie. Zoek uit waar dit verschil
in zit.
Andere talstelsels
De Maya’s vormden vóór Columbus een van de grootste culturen in Centraal
Amerika. Tegenwoordig leven ongeveer 8 à 9 miljoen Maya’s in Mexico en
Midden Amerika, de meesten in Guatemala. De Maya cultuur kent een
positioneel talstelsel met grondtal 20.
Zij hadden dus 20 cijfers die op zich weer opgebouwd waren twee soorten
symbolen: liggende streepjes en punten.
Een speciaal symbool was er voor de nul: een lege schelp.
De Maya’s noteerden getallen in een positioneel stelsel, zoals wij dat ook
doen. De cijfers schrijven ze niet achter elkaar, maar boven elkaar: het cijfer
met de hoogste waarde staat boven. Zie de figuur hiernaast.
fig. Maya cijfers
Van enkele andere oude culturen is eveneens bekend hoe men getallen noteerde en
hoe er gerekend werd. Er is hierover veel te lezen in bibliotheken en op internet, zie
bijvoorbeeld www.math4all.nl/Wiskundegeschiedenis.
In de informatica wordt veel gerekend in andere positionele talstelsels dan ons decimaal
stelsel. Sommige rekenmachines, bijvoorbeeld, de
rekenmachine die met het softwarepakket MS Office geleverd
wordt (zie hiernaast), kennen een instelling voor deze
talstelsels. Het meest elementaire talstelsel is het tweetallig
of binaire stelsel, dat maar twee cijfers kent: 0 en 1.
Het cijfer 1 in het binaire getal 100, betekent dan dus niet 1 ×
102, maar 1 × 22 (en het binaire 100 is dus vier).
Voor het getal tien zijn in het tweetallig stelsel vier cijfers
nodig: tien = acht+twee = 1×23+0×22+1×21+0×20 = 1010.
Getalbegrip
18
september 2009
“Er zijn 10 soorten mensen, mensen die wel en mensen die niet binair kunnen tellen.”
Opgaven
30. Mayarekenen
Schrijf in de Maya notatie de getallen 37 en 29. Tel deze getallen bij elkaar op en schrijf de som in
de Maya notatie.
Hoe zou een Maya de som hebben uitgerekend?
31. Cijfers en letters
In het zestientallig stelsel is er een tekort aan symbolen voor de cijfers. Hoe heeft men dit
opgelost? (zie de afbeelding van de rekenmachine)
32. Andere talstelsels
Het rekenen met hoeken werd vroeger gedaan in een zestigtallig stelsel, waarbij een graad was
verdeeld in 60 minuten en een minuut in 60 seconden. Noem een andere toepassing van dit
talstelsel. Ken je meer situaties waarin een afwijkend grondtal wordt gebruikt?
Getalbegrip
19
september 2009