Maaneclipsen

1
Wageningen, 23 september 2007
Maaneclipsen
Wat er zoal bij komt kijken
Door: R.C. Ott
Inleiding:
Met betrekking tot het berekenen van maansverduisteringen kwam naar voren dat de tijdstippen van de
in en uittrede van de kernschaduw, alsmede grootte van de totaliteit, in tijd niet altijd geheel overeen
kwamen met hetgeen wat in de literatuur en uit berekeningen wordt voorspeld. Nog altijd vormt het
waarnemen van de tijdstippen waarbij de Maankraters in de verduistering treden een interessant en
nuttige bezigheid, wat al met eenvoudige instrumenten en een beetje oefenen kan worden bedreven.
Probleemstelling:
Doorgaans zullen een aantal omvangrijke berekeningen moeten worden uitgevoerd, alvorens iets te
kunnen zeggen omtrent de optredende eclips.
Deze berekeningen dienen normaliter worden uitgevoerd op basis van:
•
•
•
Berekenen van de positie van de Maan (= Maan efemeride)
Positie Aardschaduw kegel op maanafstand.
Berekening van de eclipsgrootte aan de hand van overlappende cirkels.
Efemeriden:
De posities van de hemellichamen, welke natuurlijk tijdsafhankelijk zijn, worden efemeriden genoemd.
(Gr: εφέµερις = Dagboek, gegeven van het moment) Ook de Aardschaduw kegel, welke essentieel is
voor de optredende eclips, kan worden opgevat als een efemeride. De positie van de Aardschaduw op
Maanafstand wordt eenvoudig verkregen uit de volgende lineairiteit, waarbij de Maan fungeert als het
projectiescherm van de Aardschaduw:
r
r
S =-k. Z
[vlg. 1]
r
Z = Geocentrische positie vector (of matrix) van de Zon
r
r
k = scalaire factor : afstand Maan / Afstand Zon [ | M | / | Z | ]
r
S = Berekende geocentrische positie vector (of matrix) van de Aardschaduw
op Maanafstand.
In de wiskunde levert de vectorrekening en met name de matrixrekening een bijzonder geschikt stuk
gereedschap om conversies van en naar de verschillende basis stelsels1, die in de sterrenkunde
gebruikelijk zijn, uit te voeren. De bovenstaande vergelijking illustreert met dit gegeven dat de positie van
de Aardschaduw eenvoudig uit de verhouding der afstanden kan worden berekend.
Nadat de posities bekend zijn moet uit de geometrische afmetingen van zowel de betreffende
hemellichamen de vorm van de Aardschaduw kegel worden berekend. In beginsel wordt de diameter
(radius) van de Aardschaduwkegel berekend op Maanafstand waarbij het volgende principe wordt
gehanteerd:
1. Rechte stralengang van het Zonlicht
2. Gemiddelde Aardradius. (De Aardschaduw kegel heeft een zuiver rond basisvlak)
3. Lineaire diameter verhouding in relatie met afstand (gelijkvormigheid of congruentie principe)
1)
In dit verband is het gebruikelijk om de berekende posities weer te geven in astrometrische coördinaten. In dit bolcoördinaten
stelsel definieert men rechte klimming, declinatie en radius vector. Voor een uitleg van de specifieke eigenschappen van de
verschillende stelsels wordt verwezen naar de sterrengids 2003, of specifieke literatuur die daarop ingaat.
2
Positie wel maar de grootte niet:
De positie van de Aardschaduw kegel is goed te berekenen uit de baanberekeningen VSOP87 en
ELP2000-85 en laat zich doorgaans met hoge nauwkeurig benaderen met de werkelijkheid2. In de
praktijk blijkt dat er wel een verschil bestaat in de berekende grootte van de Aardschaduwkegel op
Maanafstand. Hierbij blijkt dus dat de werkelijkheid vaak anders is dan wordt opgegeven of berekend.
Hier zit nu een tastbaar probleem voor het nauwkeurig beschrijven van een Maaneclips. De schaduw,
door de Aarde geprojecteerd op de Maan, laat verschillen zien in de contact tijdstippen3 P1 t/m P4 van
de eclips. Dit geldt zowel voor de kernschaduw (umbra) als de bijschaduw (penumbra).
Door verschillende eclipsen te bestuderen (o.a. via de gegevens van de eclips expert Fred Espenak) lijkt
het er steeds op dat de Aardschaduw diameter (radius) steeds te klein wordt berekend dan zij in
werkelijk is. De posities lijken overigens wel goed in overeenstemming te zijn met de werkelijkheid.
De vraag is nu welke kenmerken en parameters ervoor verantwoordelijk zijn dat de Aardschaduw groter
moet zijn dan de uitkomsten van de huidige berekeningen. Het gaat hierbij om een afwijking in de orde
van 2 tot 4%. En dat is toch wel veel wanneer we beseffen dat de contacttijdstippen op de seconde
nauwkeurig gemeten kunnen worden.
(Literatuur) onderzoek:
In dit verband is het natuurlijk zinvol om vooraf enig speurwerk te doen om een verklaring te vinden voor
de grote verschillen die gevonden worden voor de contacttijdstippen en hiermee ook de grootte van de
eclips.
In het boek “Astronomical tables of the Sun, Moon and planets” geeft de schrijver J. Meeus een
vermelding dat de kernschaduw met een (constante) factor moet worden vermenigvuldigd om de
werkelijkheid te benaderen. Er wordt verder geen uitleg bij gegeven.
Een ander artikel (Byron Soulsby ; Calwell Lunar Observatory , Australia) sprak over “ effects of the
oblateness of the umbal cone”. Hiermee wordt verondersteld dat de ellipticiteit van de kernschaduw, nog
een belangrijke effect met zicht mee brengt.
2)
Met de werkelijkheid wordt bedoeld, datgene wat vermeld wordt (gecorreleerd aan waarnemingen en berekeningen) in
astronomische almanakken
3)
P1 = De eerste aanraking van de maanschijf met de kernschaduw.
P2 = Begin van de totaliteit
P3 = Einde van de totaliteit
P4 = De Maanschijf verlaat de Aardkernschaduw.
3
Beschouwing:
In deze en in volgende pagina’s wil ik illustreren wat er aan de hand zou kunnen zijn. Hoewel de
Aardschaduw altijd is vergezeld door haar bijschaduw, zal deze laatste in dit artikel buiten beschouwing
worden gelaten, daar zijn niet van invloed is op de beeldvorming op de Maan.
Normaliter wordt de grootte van de eclips, ook wel magnitude genoemd, berekend uit een eenvoudige
modelvorming. Het berekenen van de grootte ϑ van de eclips wordt meestal vastgelegd in een
verhoudingsgetal. Dit verhoudingsgetal geeft aan hoever de Maanschijf in de Aardschaduw gedompeld
wordt.
Aardschaduw
Q
Maan
S
β
d
M
α
rs
rm
P
Figuur 1: Maansverduistering
Bij dit model wordt in eerste instantie uitgegaan van de bedekkinggraad van 2 cirkels; waarbij geldt:
ϑ <1 : Voor de partiele fase
ϑ >1 : Mate voor de totaliteit.
ϑ =0 : Het contactmoment P1 of P4.
ϑ <0 : De Maanschijf raakt de Aardschaduw kern niet.
Via het cirkelmodel kan ϑ eenvoudig worden berekend volgens:
ϑ =
r m + r s −d
2rm
[vlg. 2]
Hierin is rm de schijnbare halve diameter van de Maanschijf, rs de halve diameter van de Aardschaduw
op Maanafstand en d de onderlinge boogafstand tussen de centra.
Het berekenen van het verduisterde oppervlak, eveneens uitgedrukt verhoudingsgetal Θ ( het
verduisterde oppervlak gedeeld door het totale oppervlak van de Maanschijf) is wat lastiger, maar kan
goed in deze eenvoudige modelvorming worden beschreven door:
α r m 2+ β r s 2− y d
Θ=
π rm 2
[vlg. 3]
Hierin kunnen de parameters met behulp van de volgende goniometrische formules worden berekend:
cos α =
r m 2− r s 2+d 2
2 r md
cos β =
r s 2− r m 2+d 2
2 r sd
y = 1 2 P Q = r m sin α
α en β moeten in radialen worden berekend.
Natuurlijk is Θ slechts geldig binnen het bereik van 0 en 1. Voor Θ>=1 is de Maaneclips totaal terwijl voor
waarden kleiner dan 0 in het geheel geen bedekking zal optreden.
4
In werkelijkheid zal blijken dat de beschreven modelvorming niet geheel overeen komt met de
werkelijkheid. Wat zou er allemaal aan de hand kunnen zijn? Filosoferend zouden de volgende
denkbare effecten een rol kunnen spelen?
1. Er treedt parallax verkorting op in de afstanden Aarde-Zon en Aarde-Maan. Hierdoor verkrijgt de
apex umbrae (= umbrale punt U) van de kernschaduw een andere waarde dan dat uit de lineaire
evenredigheid Diameter / afstand verhouding wordt berekend.
2. Projectievorming van de Aardschaduwkegel op het Maanoppervlak verloopt niet lineair; dit
doordat de Maan een bolvormig lichaam is dus geen platte schijf.
3. De projectie van de Aardschaduw op Maanafstand is een elliptische afbeelding, via congruentie
gevormd uit de Aardellipsoïde. Daar de Aarde geen zuivere bol is, zal de afbeelding niet zuiver
cirkelvormig zijn.
4. De stalengang welke scherend over de Aardebol gaat is niet lineair: Dit is weer uit te splitsen in
een tweetal effecten:
I: Relativistische effecten als aberratie doen het licht van richting veranderen.
II: Er treedt refractie op in de atmosfeer van de Aarde.
Analyse:
Hierin worden achtereenvolgens de effecten uit de voorgaande beschouwing beschreven, en de mate
waarin zij een rol kunnen spelen in de correctie naar de juiste timing van de contacttijdstippen P1 - P4.
1: Parallax verkorting.
De Maan wordt in de onderstaande figuur voorgesteld als het projectiescherm van de
Aardschaduwkegel. Beschouw hierin de driehoekcongruentie de radius van de Zon Rz , de Gemiddelde
radius van de Aarde Ra en de radius van de Aardschaduw op Maan afstand Rs . Tevens is de afstand
r
v
Zon – Aarde ( | Z | ) en de afstand Aarde – Maan ( | M | ) gegeven. (zie ook vergelijking 1)
θ
Figuur 2: Congruente stralengang.
Nu kan uit de lineaire en evenredigheid van de stralengang de kernschaduw Rs worden berekend:
r Rz − Ra
r
Rs = Ra − | M |
= Ra − k (Rz − Ra )
|Z|
[vlg. 4]
Doch in de werkelijkheid dient erop gelet te worden dat de bovenstaande vergelijking alleen geldig is
wanneer de Zon, Aarde en Maan als platte schijven worden beschouw. De convergentie van de
stralengang welke berekend is, wordt beschreven met:
tan θ =
Rz − Ra
r
|Z |
[vlg. 5]
5
In werkelijkheid zijn zowel Zon, Aarde en Maan bolvormig. Indien de zuivere bolvorm wordt gebruikt voor
het berekenen van de convergentie van de kernschaduwkegel dat geldt:
sin θ =
Rz − Ra
r
|Z|
[vlg. 6]
Het verschil dat de convergentie θ van de schaduwkegel met de sinus wordt berekend in plaats van de
tangens zal de ligging van punt U een andere locatie krijgen.
Daar de afstand van de Zon veel groter is dan de diameters van de hemellichamen, heeft θ doorgaans
een waarde in de orde van 16’. Dit betekent dat het meerekenen van de bolvorm een te verwaarlozen
correctie (sin θ ~ tan θ ) met de werkelijkheid geeft ( < 0.1” ! ) In procenten geeft dit slechts een variatie
van minder dan 0.01% ten opzichte van de nominale5 convergentie.
2: Parallax effecten door projectie op de Maanbol:
Omwille van de eenvoud is in eerste instantie gerekend dat de vorm van eclipsgebied op de Maan
congruent is aan het lichaam wat haar veroorzaakt (hier de Aarde dus). De Maan kan dus worden
opgevat als een projectiescherm. Echter in werkelijkheid is de Maan een bol, welke door een waarnemer
op Aarde wordt aanschouwd met een zekere parallax. Dit maakt een analyse naar de werkelijke vorm
van de eclips tot een interessant gegeven.
Daar de Maan nauwelijks is afgeplat, kan zij worden beschreven als een zuivere bol. Aangenomen wordt
tevens dat de schaduwkegel van de Aarde een zuiver cirkelvormige doorsnede heeft.
Hieruit volgt dat deze mathematiek kan worden beperkt door het beschrijven van een kegel-bol snede.
Bijlage I gaat uitvoerig op de beschrijving hiervan in.
Maar er blijft een probleem over. En dat is de parallax waaronder de aanraak momenten worden
waargenomen (zie figuur 4). Het zal duidelijk zijn dat dit voor iedere waarnemer op Aarde vanuit een
andere (kleine) hoek wordt waargenomen. Tevens zit er nog een probleem in de vorm van de
schaduwvlek. Iedere kegelsnede, waarbij de kegeltop van de kegelbasis wordt gescheiden, met een vlak
zal een ellips opleveren. Daar het projectieoppervlak echter gekromd is, de Maan is tenslotte een
bolvormig hemellichaam, zal de geprojecteerde schaduw afwijken van de ellipsvorm. In figuur 3 wordt dit
geïllustreerd doordat de “groene” kegel zich niet geheel laat bedekken door de het schaduwgebied op de
Maan.
Contour verschil
Maan
Aarde
Waarnemer
Figuur 3 : Afwijking van de elliptische projectie vanuit een waarnemer
5)
Onder de normale convergentie wordt verstaan: De hoek gevormd door diameter – afstandverhouding. Daar deze hoeken te
allen tijde minder zijn dan 30’mag de tangens van die hoek worden gelijkgesteld aan de hoek zelf (in radialen).
6
Wat natuurlijk moet worden afgevraagd is de invloed van dit effect op contactmomenten P1 t/m P4; deze
momenten worden tenslotte opgegeven als parameters voor de eclips.
Uit figuur 3 is op te maken dat een waarnemer de verduisterde Maan onder een zekere hoek zal
aanschouwen. Afhankelijk van de geografische positie en het moment van waarnemen zal dus met
parallax rekening gehouden moeten worden. Maar deze parallax ten opzichte van de geprojecteerde
Maanschaduw zal enigszins beperkt zijn, daar de waarnemer zich immers altijd binnen de kernschaduw
van de Maan bevindt. Daar komt nog bij dat de schaduwkegel van de aarde convergeert. In vergelijking
5 is die convergentie al besproken. Door deze beide effecten zal het raken van de kernschaduw aan de
Maan altijd kunnen worden waargenomen, wanneer de (verduisterde) volle Maan zich boven de horizon
verheft.
Figuur 4: Paralactische waarneming
Concluderend kan worden vastgesteld dat de bolvormigheid van de Maan geen invloed heeft op de
contactmomenten P1 t/m P4. Maar alleen tot uiting komt bij de berekening van de magnitude en het
percentage van het verduisterde oppervlak. Normaliter wordt de Aardschaduw berekend voor het
middelpunt van de Maanglobe, doch zij wordt onderschept op een kleinere afstand vanwege de
bolvormigheid. Voor het berekenen van het waar te nemen parallax effect is de diameter van de Aarde
alsmede de afstand tot de Maan een maatgevende factor. Deze maximale afwijking voor de parallax kan
eenvoudig worden berekend uit de volgende vergelijking

Ra
Ra 
sin ξˆ = ± r
− r 
 | M | − Rm | M | 
[vlg. 7]
Hierbij is er van uitgegaan dat de kernschaduw de Maan half heeft verduisterd. (De invloed van de
parallax op de magnitude van de verduistering zal door perspectief tenslotte bij een 50% bedekking het
grootst zijn )
De hoek ξˆ is slechts een indicatie voor de maximaal mogelijke parallax voor een Aardse waarnemer.
Ter illustratie is dit wanneer een Maansverduistering wordt waargenomen in het zenit tegenover dat de
verduistering zich afspeelt net boven de horizon (zie figuur 4). Het verschijnsel is te vergelijken met de
wijze waarop de optische maanlibratie6 wordt berekend. De invloed van ξˆ op magnitude van de
verduistering kan het beste worden gegeven als uitbreiding op vergelijking 2 en zal zich laten vertalen in
een maximale waarde als uitbreiding op de (hoek)afstand van het middelpunt van de Maanschijf en de
Aardschaduw. De parallactische shift, te noemen ∆d als uitbreiding op d:
ϑ =
r m + r s −d ± ∆ d
2rm
[vlg. 8]
7
Een redelijke schatting van de invloed voor de maximaal mogelijk optredende parallax wordt gegeven in
de onderstaande vergelijking: Hierin blijven de gezichtshoeken klein, zodat sin(a) = a mag worden
verondersteld.

1
1
∆ dˆ = Ra  r
− r
 | M | − Rm | M


| 
[vlg. 9]
Wanneer nu de numerieke waarden voor vergelijking 14 wordt gegeven, zal blijken dat de maximaal
mogelijke parallax minder dan 15 boogseconden bedraagt. Dit betekent, gerekend naar de schijnbare
diameter van de Maanschijf (2 rm ~ 32’ ) , een variatie van ongeveer 0.8%
3: Elliptische projectie.
In de eerste benadering is uitgegaan dat Zon, Maan en Aarde sferische objecten zijn. Om die reden zal
ook de gevormde schaduw kegel een ronde doorsnede hebben.
Echter de Aarde zou in werkelijkheid beter benaderd kunnen worden als omwentelingsellipsoïde. Het
gebruikelijke WGS84 model lijkt een goede benadering: Re is de equatoriale straal ( 6378,137 km ) en
Rp is de polaire (korte) voerstraal ( 6356,75231 km )vanuit het geocentrum.
Omwille van de eenvoud wordt het gemiddelde genomen als voerstraal van de Aarde om de
Aardschaduwkegel te berekenen. Via vergelijking 4 is ook de invloed van de ellipticiteit te berekenen,
wanneer Ra wordt vervangen door Re en respectievelijk Rp . Dit blijkt een maximaal7 verschil op te
leveren in de convergentiehoek van <11” . Dit betekent dat de invloed minder zal zijn dan 0.5 % op de
diameter van de Aardschaduwkegel.
6)
De libratie van de Maan, ook wel als Maanschommeling bestempeld. In het gravitatieveld met de Aarde keert de Maan altijd
dezelfde zijde naar de Aarde toe. Afwijkingen hierop wordt libratie genoemd en is in 3 effecten te ontrafelen. De eerste is de
werkelijke schommeling van de Maan (De physische libratie). De tweede is de schijnbare schommeling ten gevolge van de
e
ellipsbaan en de inclinatie van de Maanbaan (Optische libratie). De 3 is de parallactische libratie ten gevolge van waaruit op Aarde
de Maan wordt waargenomen. De waargenomen plaatsen van de Maankraters maken de berekeningen van de Libratie mogelijk.
7)
De grootste ellipticiteit van de geprojecteerde Aardschaduw vindt plaats wanneer de eclips rond het begin van de astronomische
lente of herfst plaats valt. In dat geval staat de Aardas loodrecht op de centrale as van de Aardschaduwkegel, zodat het contour
van de verduistering mede wordt gevormd wordt door de lichtstralen die pal over de polen (met de kleinste Aardradius) scheren.
8
4: Refractie van de stralengang:
De voorgaande beschouwingen gingen van het rechte stralengang principe uit. Echter er kunnen
effecten optreden die een gebogen stralengang aannemelijk maken. Twee van effecten worden
genoemd, die als belangrijkste kunnen worden beschouwd.
Zelfs aan de lichtsnelheid komt een eind:
Allereerst moeten wij ervan bewust zijn dat de hemellichamen Aarde en Maan geen stilstaande objecten
zijn. De Aarde beweegt zich met een snelheid van ongeveer 29,3 - 30,3 km/s in een baan om de Zon,
terwijl de Maan, eveneens in een slingerende baan om de Zon, er nog een variabel schepje van
maximaal 1km/s er bovenop doet. Bovendien beweegt het gehele zonnestelsel met een hoge snelheid
ten opzichte van het centrum van de melkweg. De snelheid van de Aarde is het meest verantwoordelijke
voor de aberratie van de Zon. Met andere woorden: De lichtstralen van de Zon worden een klein beetje
afgebogen ten gevolge van de snelheid van onze planeet en het feit dat de lichtsnelheid een eindige
waarde heeft.
De aberratie kan worden berekend uit de lichtsnelheidvector (299790 km/s !) van het Zonlicht en de
snelheidsvector van onze planeet in haar baan om de Zon. De aberratie, als ruimtehoek κ , kan dan (in
radialen) eenvoudig worden berekend uit het uitproduct van beide vectoren gedeeld door het kwadraat
van de lichtsnelheid :
κ Rad
r
r
|v × C |
≅ a 2 zon
c
[vlg. 10]
Een afleiding van deze vergelijking is te vinden in bijlage II.
De grootst mogelijke aberratie treedt op wanneer de beide snelheidsvectoren ⊥ op elkaar staan.
Hiermee wordt de aberratie hoek eenvoudig berekend uit:
tan κˆ ≅ κˆ Rad ≅
va
c zon
[vlg. 11]
Er is te berekenen dat de maximaal mogelijke lichtafdwaling (de Aarde bevindt zich in het perihelium8
van haar baan) tot gevolg heeft dat de positie van de Zon met ruim 20,8 boogseconden moet worden
gecorrigeerd. Aberratie is een relativistisch verschijnsel. Bovendien kent de schijnbare positie van de
Maan (Dit is de Maan zoals wij die aan de hemel mogen aanschouwen) ook haar eigen aberratie. Maar
die is in dit verband omwille haar relatief lage snelheidsbijdrage ondergeschikt aan de aberratie die de
Zon kent.
Alles in ogenschouw nemend kan worden verondersteld dat de 20,8 boogseconden die de aberratie kent
een variatie in de grootte van de eclips (Zie vergelijking 2) teweegbrengt van 20.8”/32’ ~ 1.1%
Deze waarde is niet onbelangrijk, maar doorgaans zal de aberratie bij de berekeningen van de
efemeriden al zijn meegerekend. Zeker zal dit het geval zijn wanneer er een hogere precisie van de
efemeriden moet worden verwacht.
8)
e
Volgens de 2 wet van Kepler (de perkenwet) zal een hemellichaam haar grootste baansnelheid hebben wanneer zij zich nabij de
kleinste afstand van het perifocus (=een der brandpunten van de ellips) in haar elliptische baan bevindt. In een heliocentrisch (Gr:
ηελιος = zon) stelsel wordt het perifocus gevormd door de Zon.
9
De lucht doet onze blik verruimen:
Een geheel ander punt is dat de Aarde een atmosfeer heeft, waardoor het licht enigszins wordt
afgebogen. Natuurlijk is bekend dat door het verschil in refractie het rode licht, wat het minst afbuigt,
minder moeite heeft om het Maanoppervlak te bereiken. Hierdoor krijgt de verduisterde Maan tijdens de
eclips een vaak diep rode kleur. Door de afbuiging van het licht zal de apex umbrae dichter bij de Aarde
komen te liggen, waardoor de Aardschaduwdiameter op Maanafstand een kleine diameter krijgt dan uit
een rechte stralengang berekend zou worden. Zie figuur 5.
Zon
Aarde
Maan
Figuur 5: Refractie door de atmosfeer van de Aarde
Als enige uitzondering van alle beschreven effecten zal nu in de meteologie gedoken moeten worden.
Nu is het probleem van de afgebogen stralengang geen onbekende. Voor topocentrische waarnemingen
zal de hoogte van een hemellichaam moeten worden gecorrigeerd met de atmosferische refractie. In de
literatuur wordt zelfs vermeld dat de zonsopkomst en ondergang moet worden gecorrigeerd met een
gemiddelde waarde 0.5 graden aan schijnbare opheffing. (zie bijlage III voor een berekeningswijze van
deze optredende refractie)
Jean Meeus vermeldt in zijn boek “Astronomical Algorithm’s” een tweetal min of meer empirische
wetmatigheden opgesteld door Saemundson en G.G. Bennett. De formules beschrijven de schijnbare
optilling van een hemellichaam als functie van de waarnemingshoogte boven de horizon.
Bij een Maansverduistering zal het contour van de Aardschaduw op de Maan worden gevormd door het
strijklicht van de Zon over onze planeet. In feite zal een waarnemer, die zich op het moment van de
verduistering op de Maan bevindt, alle Zonsopkomsten en zondergangen op Aarde gelijktijdig zien.
De weg die de lichtstralen door de Aardse atmosfeer afleggen is dan ook het langst.
Hieruit volgt direct dat de stalengang nabij de horizon de grootst mogelijke breking kent. Wanneer dit
wordt gekwantificeerd (zie de formules van Bennett of via de afleidingen als gegeven in bijlage III) zal
blijken dat de met een gemiddelde9 atmosferische breking van 35’ rekening gehouden moet worden.
Bovendien maakt de stralengang der Zon een dubbele passage door onze atmosfeer. Dit is zowel bij het
binnendringen als het verlaten van onze atmosfeer. Resumerend kan hieruit dus worden geconcludeerd
dat de deviatie op de stralengang, afhankelijk van allerlei meteologsiche effecten, gemakkelijk zo'n 1,17º
kan bedragen. Op de convergentie van de schaduwkegel betekent dit een catastrofale invloed.
Theoretisch zou het zelfs kunnen betekenen dat er van een totale eclips nimmer sprake kan zijn, daar de
apex umbrae zich dan tussen de Aarde en de Maan bevindt.
Gelukkig weten we dat de invloed ook van onze atmosfeer ook niet weer zo erg groot is op de eclips. Er
geldt namelijk ook een tweede bijkomend effect. Ofschoon de lichtstralen van de Zon, rakend in de
diepere lagen van onze atmosfeer, een grote breking vertonen, leggen zij ook de langste weg in
diezelfde atmosfeer af. Dit houdt in dat de intensiteit van de Zonnestralen die de Maan nog zouden
moeten verlichten bij een totale eclips, behoorlijk worden afgezwakt.
9)
Deze waarde hangt in grote mate af van de golflengte, voor deze modelvorming wordt alleen het licht (λ = 600nm) beschouwd
waarin het oog het meest gevoelig is.
10
Het is opmerkelijk dat het contour van de eclips, ondanks de beschreven effecten, toch vaak redelijk
scherp begrenst is. Kennelijk vindt er selectie der lichtstralen plaats, welke afhankelijk van de hoogte in
de atmosfeer een duidelijk invloed hebben tot het vormen van een grensgebied. De vraag is nu of er een
eenduidige “grensatmosfeer” te definiëren is met een daarbij behorende refractie. Deze zou de rol
kunnen vervullen als een gestandaardiseerde waarde waarmee de grootte van de eclips berekend kan
worden. Beneden die grensatmosfeer zullen de lichtstralen, door verzwakking en refractie de Maan niet
bereiken, terwijl zij boven die grenslijn een duidelijke rol vertonen in het verlichten van de volle
Maanschijf.
Als dit zo is, kunnen er twee zaken worden gedefinieerd:
•
•
De Aardradius moet met een factor worden vergroot om het eclipscontour en de
contactmomenten correct te kunnen berekenen.
Voor deze ‘vergrote’ Aardradius geldt een bijbehorende min of meer constante refractie.
Er ontstaat echter een probleem wanneer er wordt gerekend met een enkele golflengte van het licht.
Hierbij komen direct 2 belangrijke zaken aan de orde: hoewel het menselijk oog het meest gevoelig is
voor de kleur geel, is het maar de vraag of deze kleur beschouwd mag worden voor alle berekeningen.
Immers kleuren met een langere golflengte (rode kleuren) ondervinden de minste refractie in de
Aardatmosfeer, terwijl de blauwe componenten de grootste breking ondervinden.
Ook het doordringingsvermogen van het licht door onze atmosfeer is afhankelijk van de golflengte. Hier
zijn het juist de rode componenten van het licht die de grootste weerstand onder.
Een totaal andere invalshoek die de begrenzinglijn van de eclips zal beïnvloeden is de samenstelling van
de Aardse atmosfeer die verantwoordelijk is voor een zekere absorptie van de zonnestralen. Zo
onderscheidt men ‘donkere’ verduisteringen10 en verduisteringen waarbij de Maan zich baad in een
helderrode gloed.
Tijdens de waarneming van de donkere eclips van 16 mei 2003 viel mij nog een effect op. De
weerszijden van de Maanschijf bleven duidelijk helderder tijdens het voortschrijden van de eclips. Deze
verlichte ‘hoorns’ zijn vaak ook op foto’s beter te zien.
‘Hoorns’
10)
Met het blote oog kan de deze helderheid van een maansverduistering worden geschat. Dit gebeurt aan de hand van een
schaal, die werd ontworpen door de Franse astronoom Danjon. Hierin worden de kleur en helderheid van de totaal verduisterde
maan als volgt omschreven:
L=0. Zeer donkere verduistering. Vooral bij het centrale deel van de aardse slagschaduw is de maan nauwelijks zichtbaar.
L=1. Donkere verduistering. De maan is donkerbruin of grijsachtig getint en er zijn nauwelijks oppervlaktedetails te zien.
L=2. Donkere, dieprode maan. Het centrum van de slagschaduw is veel donkerder dan de oranje-achtige rand
L=3. Heldere verduistering met een steenrode kleur. De rand is nu geelachtig getint.
L=4. Zeer heldere verduistering. De maan is koper-rood of oranje-rood van kleur en heeft een heldere, blauwe rand.
11
Samenvattend:
Dit artikel beschrijft de analyse van een aantal (intuïtief) mogelijke effecten die van invloed kunnen zijn
op de grote variaties die in de praktijk kunnen optreden in de waar te nemen Maaneclipsen. Er wordt
gesteld dat de efemeriden van de betrokken hemellichamen correct zijn berekend voor de plaats van de
waarnemer. Doorgaans zijn hiervoor de theorieën openbaar gemaakt die het mogelijk maken de posities
met voldoende nauwkeurigheid te kunnen berekenen. Het berekenen van de efemeriden alsmede de
hierop van invloed zijnde effecten11 worden in dit verband buiten beschouwing gelaten.
De grootte van de eclips, vaak magnitude genoemd, blijkt een tamelijk onvoorspelbaar gedrag te
hebben. In de literatuur kan wordt vaak vermeld dat de berekende grootte met een factor moet worden
gecorrigeerd, teneinde een gemiddelde werkelijkheid te evenaren. Wetenschappelijk gedacht zal daar
natuurlijk een verklaring voor moeten zijn. Er kunnen 2 zaken aan de orde zijn: De afwijkingen blijven
onvoorspelbaar zodat er een empirisch gemiddelde moet worden aangenomen, of de beschrijvingen zijn
dermate complex dat er een concessie moet worden gedaan met betrekking tot de eenvoud van de
berekeningen.
Hieronder in tabelvorm zijn mijn bevindingen en de mate waarin zij mogelijk van invloed kunnen zijn
vermeld:
Nr:
1
2
3
4a
b
11)
Effect
Parallax verkorting
Parallaxeffecten op de Maanbol
Elliptische projectie van de schaduw
Aberratie als relativistisch verschijnsel
Atmosferische straalbreking
Absolute invloed
<0.1”
~15”
~11”
20.8”
Max 1,17º
Magitude var. %
0.01
0.8
0.5
1.1
Voor het correct bereken van de efemeriden, dient de stand van de Aardas (precessie, helling van de ecliptica, nutaties in
lengte en breedte), alsmede de correcties op het referentie frame te worden mee gerekend. Voor een uitleg van deze begrippen
wordt verwezen naar de SterrenGids 2003.
12
Conclusie
Met betrekking tot de waarnemingen van een Maaneclips blijken grote verschillen te kunnen optreden in
de grootte, ook wel magnitude genoemd, van de eclips. Deze afwijkingen kunnen wel tot 4% bedragen
met hetgeen dat vooraf wordt berekend. Dit is een radicale tegenstelling tot de nauwkeurigheid waarmee
de efemeriden zelf kunnen worden berekend.
In dit artikel zijn een aantal aannamen gedaan die mogelijk een antwoord kunnen geven voor deze grote
variaties. Uit de geven voorbeelden mag de conclusie worden getrokken dat het Aardse klimaat van
grote invloed is op de wijze waarop de eclips wordt waargenomen. (Altijd weer dat weer).
Het onvoorspelbaar zijn van de grootte van de eclips is eigenlijk een toevoeging op wat al bij velen
bekend is: We weten dat de kleurschakering van de verduisterde Maan een tamelijk onvoorspelbaar
gegeven blijft. Zo zijn er eclipsen bekend die “diep rood” zijn, maar er komen ook zeer donkere eclipsen
voor. Astronomen hebben hierin ooit een klassenverdeling aangelegd; o.a. de bekende schaal van de
Franse astronoom Danjon.
Literatuur:
1 Astronomical algorithms
J. Meeus
ISBN 0-943396-35-2
Willmann-Bell
Astronomical tables of the Sun, Moon and
planets
J. Meeus
ISBN 0-943396-45-X
Willmann-Bell
2
3
Lunar Tables and programs
Chapront
ISBN 0-943396-33-6
Willmann-Bell
4
Methods of Orbit determination
D. Boulet
ISBN 0-943396-34-4
Willmann-Bell
4
Encyclopaedie Winkler Prins (deel A)
5
De Maan
C. Koppeschaar
Sterrengids 2003
M. Drummen &
J. Meeus
ISBN 90-6638-043-8
Rajan Dogra
India
[email protected]
Australie
[email protected]
6
Internet:
1 http://www.rajandogra.freeservers.com/
2
3
4
5
6
Elsevier
http://www.netspeed.com.au/minnah/2000/ Bryon Soulsby
Appendix.html
http://www.mpe.mpg.de/www_ir/ir_instrum
ents/sharp2/+/adc/adc.html
http://scienceworld.wolfram.com/astronom
y/Airmass.html
http://www.xs4all.nl/~carlkop/maaneclips/m
eclips1.html
http://www.journals.uchicago.edu/PASP/jo
urnals/issues/v110n748/980027/980027.w
eb.pdf
Domicus
De Koepel
Frank
Eisenhauer
Eric Weisstein
C. Koppeschaar
Nederland
J. Gubler & D.
Tytler
USA
Differential Atmospheric Refraction
and Limitations on the Relative
Astrometric Accuracy of Large
Telescopes (Univ. San Diego)
13
BIJLAGE I BEREKENINGSWIJZE VAN DE SCHADUWPROJECTIE OP DE MAAN.
r
V1
r
V3
Zon
r
V2
e1
Aarde
e2
Maan
r
V4
U
Figuur I-1 : De mathematiek van de 3 hemellichamen
Figuur I-1 toont de projectie van de schaduwkegel. De maan is hierbij sterk vergroot afgebeeld en in
werkelijkheid kan de Maan in het geheel in de aardschaduw worden gedompeld.
Vanuit een Selenografish (= vanuit middelpunt van de Maan) stelsel kan de positie van de Aarde en de
Zon worden beschreven. In principe doet het er niet toe waar het referentie assenstelsel wordt gekozen
dit zou ook geocentrisch of topocentrisch (vanuit een waarnemer op het aardoppervlak) mogen zijn. De
letter e1 markeert het gebied op de Maan dat door de Aarde wordt verduisterd. En kan worden berekend
met een stukje lineaire meetkunde.
Als eerste dienen de snijpunten van de centrale met de Maan te worden bepaald.
De te beschrijven methode gaat ervan uit dat de centrale lijn (verbindingslijn tussen Zon en Aarde) ook
daadwerkelijk de Maanbol doorsnijdt of raakt.
Uit de selenocentrische coördinaten is eenvoudig te testen of dat ook daadwerkelijk gebeurt.
Als eerste dient de positie van Aarde en Zon als plaatsvectoren te worden berekend.
Hiervoor geldt uit figuur I-1:
r
r
r
V 3 =V 1 −V 2
[vlg. I-1]
Uitgaande dat de Maan een zuivere bol is met een radius Rm geldt voor de snijpunten e1 en e2:
r
r
r
V 2 +µ V 3 = R m
[vlg. I-2]
Uitwerking van deze vectorvergelijking geeft:
r
r r
r
µ 2 |V 3| 2 − 2 µ (V 2 ⋅V 3) +|V 2| = R m 2
r
r
r
[vlg. I-3]
r
(Let op: R m = |R | = R 2 + R 2 + R 2 )
m
x
y
z
Hieruit kan worden afgeleid dat voor µ geldt:
r r
r r
r
r
− (V 2 ⋅V 3 ) ± (V 2⋅ V 3) 2 − |V 3| 2 (|V 2| 2 − R m 2 )
r
µ 1, 2 =
|V 3| 2
[vlg. I-4]
14
Wanneer uit de evenredigheid volgens vergelijking 3 de positie van de apex umbrae (U) wordt gevonden
r
kan de Selenografische plaatsvector V
worden berekend via:
4
r
r
− Ra r
V 4 = V 2+
V3
Rz − Ra
r
P vlak = ⊥V 3
r
V3
r
Ra
[vlg. I-5]
Maan
r
Vi 5
Aarde
U
Figuur 2 : De kegelsnede
Tot nu toe is deze mathematiek besproken op de centrale lijn. Echter deze lijn is een zuiver wiskundig
gegeven. Ons vraagstuk gaat tenslotte om het gedrag van de schaduwkegel zelf en de invloed op de
maanschijf. Verdere uitwerking is relatief nu eenvoudig, het meeste wiskundige werk is al gedaan.
Wat ons verder nog rest is de beschrijving van een verzameling vectoren die de schaduwkegel
omvatten. De eigenschap is dat al deze vectoren vanuit punt U moeten vertrekken.
r
Laat een element van de kegelvector Vi
5
zijn. Deze richtingsvector behoort tot de verzameling van
vectoren rakend aan de Aardbol. Zij wordt bij benadering3 gevormd radius vector van de Aarde gelegen
r
in een geocentrisch vlak ⊥ V 3 , uitgedrukt in het Selenogrorafische stelsel.
r
Dezelfde mathematiek is dan van toepassing (zie vlg. I-3, I-4 en I-5) doch voor V
r
3
dient Vi
5
geschreven te worden.
Deze mathematiek is nu sluitend: De contactmomenten P1, P2, P3 en P4 van de kernschaduw met de
r
Maan worden vervolgens beschreven indien er voor slechts een vector Vi
r r
r
r
| (V 2 ⋅Vi 5 )| = |Vi 5 | |V 2| 2 − R m 2
5
geldt:
[vlg. I-6]
Wanneer echter de Maan in de kernschaduw van de Aarde gedompeld wordt mag het “=” teken in vlg. I6 worden vervangen door het “>” teken.
15
BIJLAGE II BEREKENING VAN DE ABERRATIE.
De aberratie of lichtafdwaling ontstaat ten gevolge dat een waarnemer een hemellichaam aanschouwt
terwijl hij/zij met een bepaalde snelheid ten opzichte van dat “vaste” hemellichaam beweegt. Het principe
berust zich erop dat de lichtsnelheid een eindige snelheid heeft. Kort gezegd komt het erop neer dat de
schijnbare positie wordt gevormd uit een vectoriele optelling van de werkelijke richting van waaruit het
hemellichaam wordt waargenomen en de snelheidsvector van de waarnemer zelf. (zie figuur II-1) De Zon
zendt licht uit wat ons met de lichtsnelheid c bereikt, de Aarde beweegt zich gelijktijding met een
snelheid v door deze ruimte.
Zon’
Zon
r
r
−C zon +v a
r
−C
zon
κ
r
va
Aarde
Figuur II-1
Uit figuur II-1is af te leiden dat de Zon eigenlijk uit de richting zon’ wordt gezien. Vanuit de Aarde bezien
laten we nu 2 vectoren ontspringen: De lichtsnelheidvector C (negatief) en de snelheidvector v van de
Aarde. Uit de normale vectormeetkunde is het volgende af te leiden:
r
r
r
p = −C zon+va
[vlg. II-1]
De aberratie als ruimtehoek volgt dan uit de ingesloten hoek van de beide vectoren:
r
r
(−C zon ⋅ p)
cos κ = r
r
| C zon |.| p |
[vlg. II-2]
Daar aberratie doorgaans een zeer kleine waarde heeft kan dit ook worden geschreven als:
sin κ ≅ κ Rad
r
r
 |−C zon p|
≅ r
r

 |C zon |⋅| p|




[vlg. II-3]
16
Met het gegeven van de distributieve wet op het uitproduct:
r
(−C
r
r
r
r
r
r
r
r r
×
p
=
−
C
×
−
C
+
v
=
0
+
−
C
×
v
=
v
zon
zon
zon
a
zon
a
a × C zon
)
(
)
(
) (
)
[vlg. II-4]
En vervolgens mag worden aangenomen dat de absolute snelheid van de Aarde slechts een fractie is
van de lichtsnelheid. Bedenk dat de lichtsnelheid ongeveer 300.000km/s door vacuüm gaat , terwijl de
Aarde ten opzichte van de Zon nimmer een veel grotere snelheid haalt dan 30 km/s .
Met dit gegeven mag het volgende worden verondersteld:
r
r
r
| v a + C zon + | ≅ | C zon | = c
[vlg. II-5]
Bovendien kan tevens de redenering worden opgehouden dat wanneer de beide snelheden positief
opgeteld worden, nimmer de lichtsnelheid kan worden overschreden.
Door de bovenstaande afleidingen te combineren ontstaat vergelijking 15
κ Rad
r
r
| va × C zon |
≅
c2
[vlg. 15]
17
BIJLAGE III ATMOSFERISCHE STRAALBREKING
Bijdrage voor berekeningen van de waarneem hoogte van een hemellichaam en de bepaling voor de
opkomst en ondergangstijden van Zon en Maan.
INLEIDING:
De berekende hoogte van een hemellichaam in het azimutale stelsel zal steeds een kleine afwijking
opleveren ten opzichte van de waargenomen hoogte. Hemellichamen worden iets hoger waargenomen
dan ze in werkelijkheid zijn. Nabij de gezichtseinder is dit verschil beduidend groter, vandaar deze z.g.
‘optilling’ en afplatting van de Zon of Maan nabij de horizon.
Deze afplatting is een gevolg van de differentiële refractie van de atmosfeer en is het grootst naarmate
de afgelegde weg der lichtstralen in de atmosfeer het langst is. Dit maakt dat de Zonne- of Maan schijf
nabij de gezichteinder elliptisch lijkt. (Het is echter geen ellips!) De mate van de atmosferische
straalbreking is in hoge mate afhankelijk van allerlei meteorologische invloeden en de toestand van
waaruit wordt waargenomen (Er kunnen beduidende verschillen optreden tussen waarnemingen op het
land of aan zee). Ook het Zonnespectrum zelf is van grote invloed, immers iedere golflengte van het
zichtbare licht zal zich anders in atmosfeer gedragen en daarmee zal ook de weg der lichtstralen door de
atmosfeer golflengte afhankelijk zijn.
Toch is het mogelijk om een theoretisch gemiddelde afwijking der stralengang, te noemen als
atmosferische deviatie (δ), te berekenen en zodoende ook iets te kunnen zeggen over de schijnbare
positie boven de horizon van een hemellichaam en de schijnbare afplatting van de Zon of de Maan zelf.
Deze theoretische waarden zijn doorgaans van belang voor het bepalen van de opkomst en
ondergangstijden. Omdat het menselijk oog het meest gevoelig is voor geel/oranje licht worden de
berekeningen beperkt tot het gebruik van die specifieke golflengte (λ = 600nm). Deze beperking betekent
dat de berekeningen alleen gebruikt mogen worden voor het bepalen van de genoemde horizonoptilling
en afplatting en dus niet voor allerlei andere brekingseffecten waarbij kleurdispersie een rol speelt.
Figuur III-1a Hoofdeffect van de atmosferische straalbreking (schijnbare optilling).
Figuur III-1b Neveneffect van de atmosferische straalbreking (afplatting van b.v. de Zon).
18
OPKOMST EN ONDERGANG:
De opkomst en respectievelijk ondergang van de Zon (of Maan) wordt gedefinieerd als de passage van
de bovenrand van de zichtbare Zonneschijf met de zichtbare horizon (zonder enig obstakel, b.v. aan
zee). Hiertoe dient de op dat moment geldende factor h1 (zie onderstaande figuur) als correctie op de
theoretisch werkelijk berekende hoogte van 0°. (de werkelijke hoogte is de hoogte zonder atmosferische
straalbreking)
δ
Figuur III-2 Opkomst en ondergang
Deze factor h1 geldend voor de getekende situatie wordt veelal gegeven op een min of meer vaste
waarde van 0.833°° ; dit is een gemiddelde waarde ongeacht meteorologische invloeden en is alleen te
gebruiken voor een waarnemer die zich op zeeniveau bevindt. Deze vereenvoudigde waarde is in de
literatuur te vinden als een soort constante, voornamelijk bedoeld om louter en alleen de momenten van
de opkomst en ondergang van de Zon te voorspellen.
Uit de situatie waarbij de Zon zich in het geheel net boven de horizon bevindt kan de visuele lineaire
zichtbaarheid worden berekend:
δ
Figuur III-3
Er geldt:
h1 = δ + RzSw (Zon 0% zichtbaar)
h2 = δ - RzSw (Zon 100 % zichtbaar)
RzSw is de schijnbare afgeplatte radius van de waargenomen Zonneschijf. (Let op; deze is verschillend
tussen de figuren III-2 en III-3).
19
EIGEN METHODIEK:
Interessant is nu om het verschil van de stralengangen te berekenen voor iedere hoogte dat een
hemellichaam aan de hemel staat. Deze eigen methodiek is hierbij vooral bedoeld om het proces zelf te
begrijpen en inzicht te krijgen op de van invloed zijnde parameters.
De deviatie (δ) is het verschil in stralengang tussen de werkelijke zenithoek (φw) en de schijnbare
zenithoek (φs) van het hemellichaam aan de hemel:
ϕw =ϕs + δ
[vlg. III-1]
Voor de berekeningen is het eenvoudiger om de zenithoek φ (= waarneemhoek tussen hemellichaam en
het zenit) te gebruiken dan de hoogtehoek Φ ( φ = 90˚- Φ) van het hemellichaam t.o.v. de horizon.
De deviatie (δ) kan worden berekend met de Wet van Snellius. Hiertoe is het noodzakelijk om een
opdeling in de atmosfeer te maken waarbinnen de brekingsindex van de luchtlaagje constant kan worden
beschouwd (Zie onderstaande figuur).
A
B
δ
O
Figuur III-4
De Aardatmosfeer wordt nu gedacht in een verzameling schillen die ieder een eigen constante
brekingsindex (= iso-refractie) hebben. Nabij het aardoppervlak zullen de iso-refractielijnen dichter op
elkaar liggen dan hoger in de atmosfeer.
Volgens Snellius geldt nu:
sin θi ⋅ ni = sin ϕi +1 ⋅ ni +1
[vlg. III-2]
Met het bovenstaande geldt nu dat de brekingsindex een functie is van de hoogte1) boven het
Aardoppervlak; n = f(h) en dus geldt ook : n = f(R) ( R = R0 + h ; R0 = Gemiddelde Aardradius van
6367,445 km)
1) De hoogte h is de daadwerkelijke hoogte gerekend vanaf het Aardoppervlak en is dus geen hoekmaat (zoals die normaliter
wordt weergegeven in het azimutale stelsel!)
20
Aangenomen wordt dat de brekingsindex evenredig is met de dichtheid van de lucht. Dit betekent dat er
een zelfde verband bestaat tussen de brekingsindex en de atmosferische druk P. (Temperatuur en
luchtvochtigheid variaties worden hierbij buiten beschouwing gelaten) Voor dit lineaire verband tussen n
en P geldt dan de volgende bewering:
n = k ⋅ (P + 1)
[vlg. III-3] De factor k [m2/N] is een evenredigheidsconstante
Om een uitdrukking te vinden voor een definitie van n(h) wordt de statische grondvergelijking gegeven,
deze luidt:
dP
dh
=−g⋅ρ = −
g⋅M ⋅P
Rg ⋅ T
[vlg. III-4]
Hierin is:
ρ
= Dichtheid van de lucht [kg/m3]
g
= Zwaartekrachtversnelling [ 9.81 m/s2]
M
= Molaire massa van de lucht [28.8 kg/kMol ]
Rg
= Gasconstante [8314.4 J/( kMol .K)]
T
= Absolute temperatuur [ 273.15 K]
Uit de statische grondvergelijking volgt na integratie:
−
P( h ) = P( h=0) ⋅ e
g .M .h
Rg ⋅T
[vlg. III-5]
En met het geven van de evenredigheid tussen n en P moet dus ook gelden:
n( h ) = 1 + (n0 − 1) ⋅ e
−
g . M .h
R g ⋅T
[vlg. III-6]
De brekingsindex aan het Aardoppervlak (h=0): n0 = 1.000292 (P0=1013 mBar, T=273,15 K, λ= 600nm)
Buiten de atmosfeer (h = ∞ ) geldt : nvacuum = 1.000000 (per definitie)
Met het voorgaande kan ook worden geschreven:
n( h ) = 1 + 0.000292 ⋅ e − c.h
(P0=1013 mBar, T=273,15 K, λ= 600nm)
[vlg. III-7]
Hierin is c een samengevoegde constante met een waarde van ≈ 0.0001244 [1/m]
Figuur III-5
Voor het verder berekenen van de stralengang door de atmosfeer dient n(h) te worden berekend
voor de opdeling van de totale atmosfeer. Via deze polygoonbenadering kan de totale deviatie worden
bepaald uit de volgende afleidingen (zie tevens figuur III-4) :
21
∆α i = ϕ i − θ i ( Dit is de opschuifhoek in de atmosfeer; zie figuur III-4 )
[vlg. III-8]
Bovendien gelden natuurlijk ook de volgende omrekeningen:
Ri +1 = Ri + ∆h ; Ri = R0 + hi ; hi +1 = hi + ∆h ( R0 = Gemiddelde Aardradius van 6367,445 km)
Via de sinusregel geldt voor ∆OAB uit figuur III-4 de volgende vergelijking:
sin θi =
Ri
⋅ sin ϕi
Ri + ∆h
[vlg. III-9]
En dus geldt volgens de wet van Snellius en de bovenstaande omrekeningen ook:
sin ϕi +1 =
n(hi )
n(hi + ∆h )
⋅


ϕi = f (hi )


R0 + hi
⋅ sin ϕi
R0 + hi + ∆h
[vlg. III-10]
Na sommatie over de totale atmosfeerhoogte is de totale aberratie δ te berekenen:
hatm
δ=
hatm
∆h
hatm
∆h
∑ (∆α i ) + ∑ (ϕi +1 − ϕi )
i =0
=
i =0
∆h
∑ (ϕ
i +1
− θi )
[vlg. III-11]
i =0
De volledig uitgeschreven vergelijking kan met het bovenstaande als volgt worden weergegeven:
hatm
δ=
∆h
∑
i = h0

 n(hi )

 R0 + hi

R0 + hi




−
⋅
arcsin
⋅
⋅
sin
ϕ
arcsin
sin
ϕ

i
i 
 R + h + ∆h


n
R
+
h
+
∆
h

 0 i

 (hi + ∆h ) 0 i

[vlg. III-12]
Een groot voordeel van deze iteratieve berekening via de statische grondvergelijking is dat er vanaf
iedere hoogte h0 gesimuleerd kan worden. In tegenstelling tot de vergelijking van Bennett (zie verg. III17) die alleen geldig is vanaf zeeniveau.
Echter wel een moeilijkheid is nu echter om een eenduidige continue vergelijking te vinden. De deviatie
hoek door onze atmosfeer moet dan worden berekend uit:
hatm
δ=
∫(f
( h , n ,ϕ ) −
g ( h ,ϕ ) ) dh
[vlg. III-13]
h0
Normaliter zal op een hoogte van meer dan 50km nauwelijks meer atmosferische refractie te verwachten
zijn en boven de 80km is refractie eigenlijk geheel verwaarloosbaar.
Het eenvoudigste is om hiermee om de atmosferische deviatie δ iteratief te benaderen.
22
ANDERE METHODIEKEN TER VERGELIJK:
Hieronder volgen een paar andere methoden om de refractie te berekenen. Met het doel om de
bruikbaarheid van de eigen methode te toetsen.
DE GREEN VERGELIJKING:
Een gelijksoortige benadering wordt gegeven in een artikel van de J.Gubler & D. Tytler (Differential
Atmospheric Refraction and Limitations on the Astrometric Accuracy of Large Telecsopes 1998) . Daarin
wordt de vergelijking van Green (1985) gegeven (zonder verdere afleidingen) .
n0
δ = p⋅ ∫
1
dn
n⋅
[vlg. III-14]
(R ⋅ n )2 − p 2
Hierin is p de refractie-invariante (een contante) :
brekingsindex en dus ook van de hoogte h :
p = R0 ⋅ n0 ⋅ sin ϕ0 en R is een functie van de
R = R0 + h( n )
Waarin de hoogte h hierbij als functie van n geschreven moet worden. Zij kan worden berekend uit
inverse functie van verg. III-7 :
h( n )
 n −1
ln 0 
n −1 
= 
c
[vlg. III-15]
Ook de vergelijking van Green leent zich slechts voor een numerieke benadering.
METHODE BENNETT:
Bennett beschrijft een empirische fit, waarbij de werkelijke hoogtehoek Φw (in graden) direct kan worden
berekend uit de schijnbare hoogte hoek Φ (eveneens in graden) volgens:
Φw = Φs − δ
(analoog aan verg. III-1)
[vlg. III-16]
De onderstaande berekening staat bekend als de formule van Bennett (Zie: Astronomical Algorithms van
Jean Meeus blz. 102):
δ bg min =
1

7.31 

Tan  Φ s +
Φ s + 4.4 

+
0.0013515 Φ s
90
[vlg. III-17]
De berekende atmosferische refractie δ wordt in boogminuten berekend (Φs in graden).
(Het 2e lid , na het ‘+’ teken is een correctie om te zorgen dat de refractie in het zenit precies 0 is)
Deze vergelijking staat te boek als behoorlijk nauwkeurig te zijn voor het hele interval Φs tussen 0˚ en
90˚. Vogels opgave zou de maximale fout 0,07’ bedragen (bij Φs =12˚)
VERGELIJK ONDERLING
De methode van Green en Bennett zijn vergeleken met de voorgaand beschreven methode (te noemen:
methode Ott) en in een grafiek uitgezet, waarbij over de gehele hemel hemisfeer de atmosferische
refractie tegen de hoogtehoek is uitgezet. (0° = schijnbare horizon ; 90° = het zenit)
Grafiek III-1 en III-2 tonen de verschillen (in een logaritmische schaal) waarbij de atmosfeer tot een
hoogte van 50km is doorgerekend (zowel methode Ott als methode Green zijn met 50000 iteraties
benaderd)
Het berekende verschil onderling is in absolute zin weergegeven (dit omdat een negatieve waarde niet
logaritmisch uitgezet kan worden).
23
Straalbreking: Delta = f(PHI)
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
1,000000
0,100000
Deviatie (delta) [°]
0,010000
0,001000
0,000100
0,000010
0,000001
Hoogtehoek boven horizon (PHI) [°]
Methode Ott
Vergelijking Bennett
Absoluut verschil
Grafiek III-1(vergelijk met Bennett)
Straalbreking: Delta = f(PHI)
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
1,000000
0,100000
Deviatie (delta) [°]
0,010000
0,001000
0,000100
0,000010
0,000001
0,000000
Hoogtehoek boven horizon (PHI) [°]
Methode Ott
Green integraal
Absoluut Verschil
Grafiek III-2 (vergelijk met Green)
Dit vergelijk is uitgevoerd voor een denkbeeldige waarnemer vanaf het Aardoppervlak (h0 = 0) en de
condities temperatuur , en luchtvochtigheid zijn als constante beschouwd en vergelijkbaar (T=0˚C ;
P=1013mBar) over het gehele traject der lichtstralen.
24
Uit de grafieken is te zien dat het grootste verschil optreedt nabij de horizon. De methode Green heeft
hierbij het nadeel dat de vergelijking ondefinieerbaar wordt, doordat in vergelijking III-14 de wortel uit nul
berekent moet worden. Anderzijds zal het iteratieproces ook problemen geven wanneer er op zeer grote
hoogte geen atmosfeer meer is (de noemer van vergelijking III-15 wordt dan nul) .
Die problemen kent de Ott methode niet. Wel is het zo dat de Ott methode het nadeel heeft dat de
numerieke benadering lastiger is te bepalen, doordat er geïntegreerd moet worden over de hoogte. En
juist in de onderste luchtlagen zal de brekingsindex snel veranderen in tegenstelling tot hoog in de
atmosfeer. Dat laatst probleem kent de Green vergelijking niet omdat er geïntegreerd wordt over de
brekingsindex zelf.
Overzicht verschillen δ=f(Φ) onder vergelijkende omstandigheden (zie ook grafieken III-1 en III-2):
Vergelijk
Maximale afwijking
Afwijk. <0°00’30”
Afwijk. <0°00’05”
Afwijk. <0°00’02”
methodi
Φ=20°28’
Φ=52°52’
Ott - Bennett 0°03’03” bij Φ=0°02’30” Φ=1°53’
Φ=0°
00’19”
Φ=0°
04’53”
Φ=0°
24’12”
Ott - Green
∞
bij Φ=0°00’00”
Voor dit vergelijk zijn per berekende waarde 50.000 iteraties uitgevoerd. De waarneemhoogte h is 0 meter
Tabel III-1 ; Verschillen in de methodieken
Zoals vermeld kan met de methode Ott en Green de refractie worden berekend uit de waarneemhoogte
h, immers: δ=f(Φ,h ).
Delta = f(PHI,h)
0,70
0,60
0,50
0,40
Deviatie (delta) [°]
0
0,30
10
20
0,20
30
0,10
40
50
Hoogtehoek (PHI) [°]
80
90
R51
R31
70
R41
Waarneemhoogte (h) [m]
R21
60
R11
R1
0,00
Grafiek III-3: Atmosferische straalbreking als functie van Φ en h2
Wanneer de invloed op de verschillen tussen de methodiek van Ott en Green op de hoogte h worden
nagegaan, dan blijken de afwijkingen snel kleiner te worden bij toenemende hoogte.
Uit onderzoek vanuit het model blijven, procentueel gezien, de verschillen tot een hoogte van 10km te
allen tijde kleiner dan 1% .
De methode van Bennett kan in dit onderzoek niet worden betrokken daar deze niet met de
waarneemhoogte kan rekenen.
2) MS EXCELL heeft problemen met de Y-as van een 3D grafiek. De aangegeven waarde R1 staat voor h=0meter , R51 staat
voor h=50km.
25
CONCLUSIE EN VERVOLG:
VERGELIJK
Uit het vergelijkende onderzoek zou de voorzichtige conclusie mogen worden getrokken dat de Ott
methode een goed bruikbaar is naast de methode van Green. Beiden methodi vertonen onderling weinig
verschillen.
Enige opmerking is op zijn plaats: Zowel voor de methode Green als Ott wordt verondersteld dat de
brekingsindex evenredig is met de luchtdruk (Zie verg. III-7)
Wat hierover is gepubliceerd als bevestiging is o.a. de formulering van Sinclair .
0.0136   273.15  
(n − 1)6 =  287.604 + 1.6288
+ 4
⋅
⋅
2

λ [ µm ]
λ [um]  
T
P 

  1013.25 
[vlg. III-18]
Hiermee zou, bij constante golflengte b.v. λ =600 nm (=0.600 µm) en constante temperatuur [K]
inderdaad n ≡ P verondersteld mogen worden.
De formule van Bennett heeft het grote voordeel dat deze niet numeriek benaderd hoeft te worden, maar
de afwijkingen zijn vele malen groter met de methode Ott en Green. Dat is overigens vreemd, omdat er
beweerd wordt dat de formule van Bennett als erg nauwkeurig wordt omschreven. Echter de formulering
van Bennett wordt omschreven als een empirische fit. Dat zou er natuurlijk op kunnen duiden dat er nog
meer aspecten zijn meegerekend.
Om een voorbeeld te noemen spelen: tot een hoogte van ongeveer 11 km zal de temperatuur met
ongeveer 0,65°C per 100 meter afnemen, boven die hoogte (tropopauze) is de temperatuur weer
constant om daarboven weer snel toe te nemen. Dit heeft natuurlijk (zie verg. III-18) direct invloed op de
brekingsindex en dus ook op de refractie.
OPKOMST EN ONDERGANG:
Opvallend is het verschil ik de straalbreking nabij de horizon Φs =0° . Deze waarde δ(0) wordt o.a.
doorgaans gebruikt om de opgang en ondergangstijden van de Zon te berekenen (op zee niveau).
Een (vaste) waarde hiervoor , uitgaande van de werkelijke hoogte (zonder atmosfeer) wordt regelmatig
aangetroffen in literatuur met δ(Φw= 0) = 0.57388° (34’26’’) als een standaard waarde voor
horizonoptelling.
NADEEL BENNETT:
Wanneer een waarneemhoogte h , anders dan op zeeniveau, een rol speelt zal de methode van Bennett
in ieder geval afvallen. De waarneemhoogteparameter h maakt geen deel uit van die formule. Echter er
zijn wel kleine correcties op de formule van Bennett mogelijk (o.a. variaties in Temperatuur en luchtdruk
zijn mogelijk, maar die beperken zich tot een relatief klein bereik (960 – 1050 mBar).
Om het probleem van numeriek benaderen bij de Ott en Green methodiek te omzeilen, kan worden
gezocht naar een polynoom curve fitting. Maar belangrijker is om eerst mee duidelijkheid te krijgen wat
nu echt als “standaard atmosfeer” wordt gedefinieerd.
TOEKOMST:
Er is dringend behoefte aan een eenduidig standaard atmosfeer model met een vast golflengte
(λ=600nm) en voor Φs => 0 – 90° en h = 0 – 50km dat kan worden gestaafd met tabelwaarden.
Belangrijk hierbij zijn dat alle randvoorwaarden goed omschreven zijn.
26
INVERSE FUNCTIES:
Een ander probleem vormen de inverse formuleringen . De modellen voor atmosferische straalbrekingen
volgen het principe van waarnemen aan de hemel en terug rekenen wat de werkelijk positie Φw is. Vanuit
de astronomische berekeningen is juist het omgekeerde van belang. De werkelijke azimutale hoogte Φw
is dan bekend. Zodat uit de atmosferische straalbreking de schijnbare hoogte berekend zal
moeten worden.
Analoog aan de formule van Bennett wordt door Seamundson een soortgelijke afleiding gegeven:
(Zie: Astronomical Algorithms van Jean Meeus blz. 102):
δ bg min =
1.02

10.3 

Tan  Φ w +
Φ w + 5.11 

+
0.0019279 Φ w
90
[vlg. III-19]
Aan de andere kant is het mogelijk om uit de voorgaande beschreven methodiek een getailleerde tabel
te berekenen over het gehele geldige interval. En vervolgens van de te berekenen een Φw polynoom fit
te construeren . De ervaring is nu dat er goede ervaringen zijn met een 19e graad polynoom, welke over
het interval minder dan 1% afwijkt van de oorspronkelijke waarden. Bovendien is dan ook het mogelijke
probleem van iteratief benaderen opgelost.
HORIZON DIP:
De horizon dip ontstaat wanneer men van (grote) hoogte een hemellichaam laag bij de horizon
waarneemt. Immers ook de horizon zelf verkrijgt bij die hoogte een negatieve waarde.
Wanneer de Aarde geen atmosfeer heeft is die dip van de horizon ξ gemakkelijk te berekenen uit de
bolvorm van de Aarde vlg.
cos ζ =
R0
R0 + h
[vlg. III-20]
(Hierin: R0 = gemiddelde Aardradius ; h = waarneemhoogte boven Aardoppervlak)
Maar deze zaak is veel complexer wanneer de atmosfeer WEL wordt meegerekend.
De nautische wereld hanteert hiervoor de volgende eenvoudige benadering:
[vlg. III-21]
ζ [' ] = 1.76 h[m]
Deze benadering ontstaat enerzijds door cosinusfunctie af te breken na het 2e lid van de reeksnotatie (ξ
is door gaans zeer klein, dan: cos ξ = 1 – ½ ξ²) en een gemiddelde benaderingsfactor die hiermee
tezamen 1.76 voor de bovenstaande formulering oplevert.
Een belangrijk gegeven is dat h niet te groot mag zijn. (doorgaans maar enkele meters)
Figuur III-6 Horizon dip
27
De complexiteit van deze horizon dip wordt nog eens vergroot doordat tevens de atmosferische
straalbreking over negatieve hoogtehoeken Φw of (Φs) moet worden berekend.
Gragiek III-4 Uitbreiding met horizon dip
Deze grafiek is eigenlijk een uitbreiding op de grafiek III-3 , waarin wordt getoond wat de effecten zijn
van atmosferische straalbreking op grotere waarnemingshoogte h. Deze, eigenlijk 3D grafiek, wordt van
‘bovenaf’ waargenomen, de lijnen erin stellen de iso-refractielijnen δ voor, die zich natuurlijk meer
concentreren nabij de horizon en bij geringe waarnemingshoogten.
De rechter (kromme) as van de grafiek stelt de zichtbare horizon voor. (De grafiek is niet op schaal en
intuïtief tot stand gekomen, er mogen dus geen waarden uit worden ontleend)
Het eigenlijke doel is om te zoeken naar een functie voor δ voor Φw en h
dus : δ= f(Φw,h) voor het gehele interval binnen grafiek III-4 in een
‘standaard‘ atmosfeer.
Vraagstukken, zoals b.v. de opkomst en ondergangstijden van de Zon, wanneer men zich in de bergen
bevindt kunnen dan hiermee worden opgelost.
Responsum adveniat…
===================================== 000 ======================================