De eerste wet van Newton

3
De eerste wet
van Newton
el aan de nek en/
Een whiplash is een typisch lets
auto die langs
een
van
den
tten
of rug voor inzi
fd krijgt daarachter wordt aangereden. Het hoo
kan daarbij een
bij een slag naar achteren. Er
s en structuren
beschadiging aan zachte weefsel
tot klachten
ing
leid
in de nek optreden, die aan
n op korte
telle
hers
fers
geeft. De meeste slachtof
blijvende
ook
kan
h
plas
termijn, maar een whi
pijnlijke
een
is
h
plas
whi
Een
last veroorzaken.
.
ton
New
van
wet
te
eers
de
illustratie van
3.1
De eerste wet van Newton
Ook zonder whiplash krijg je in het dagelijkse leven voortdurend te maken met de eerste wet van Newton.
• Als je rechtstaat in een bus die bruusk vertrekt, vlieg je naar achteren.
•Misschien zag je ooit de demonstratie waarbij een tafelkleed snel onder een servies wordt weggetrokken.
• Je kunt met één hand een blaadje van de wc-rol trekken, als je dat doet met een snelle beweging.
In elk van die voorbeelden is het systeem (jij, servies, wc-rol) in rust en tracht het in rust te blijven.
© Scania
• Als je in een bus zit die plots remt, vlieg je naar voren.
• Bij een crashtest houdt de gordel de dummy op de zetel, maar armen, benen en hoofd bewegen naar
voren.
• Een hamerkop kun je vastzetten door de steel op de grond te kloppen.
• Een vrachtwagen die een bocht neemt, kan in die bocht zijn lading verliezen.
In elk van die voorbeelden heeft het systeem (jij, de dummy, de hamerkop, de lading) een bepaalde snelheid (grootte en richting) en tracht het die te behouden.
+
WET
Die wet noemt men ook de wet
van de traagheid, omdat een
voorwerp zich lijkt te verzetten
tegen een verandering van
bewegingstoestand.
Een voorwerp komt niet vanzelf in beweging of tot rust, of buigt niet uit zichzelf af. Daarvoor is er een ‘uitwendige invloed’ nodig. In het 3e jaar leerde je reeds dat we zo’n uitwendige invloed kracht noemen. De
eerste wet van Newton zegt hoe een systeem beweegt als de resulterende kracht erop nul is.
Als er op een voorwerp geen (resulterende) kracht wordt uitgeoefend, behoudt het zijn bewegingstoestand:
•is het voorwerp in rust, dan blijft het in rust;
•beweegt het voorwerp, dan blijft het bewegen met constante snelheid en in dezelfde richting en zin.
Dat is de eerste wet van Newton.
Een systeem waarop geen resulterende kracht werkt, voert dus een eenparige rechtlijnige beweging (ERB)
uit. Die beweging, die je reeds leerde kennen in het derde jaar, bekijken we in de volgende paragraaf.
Omdat op een voorwerp op aarde altijd de zwaartekracht werkt (en meestal ook wrijving), kun je die wet
op aarde niet aantonen. In de ruimte lukt dat wel: als er geen zwaartekracht is, kan een ruimtetuig blijven
voortbewegen zonder dat de motoren werken.
In de beschreven experimenten, bv. het blad onder het glas wegtrekken, werkt de kracht gedurende zo een
korte tijd dat ze nauwelijks effect heeft.
29
Om de bestuurder en passagier te beschermen, zijn hedendaagse wagens uitgerust met
airbags. Zo’n airbag vervangt de gordel niet, maar vangt de ‘knik’ van het hoofd op bij
een frontaal ongeval, zodat bv. letsels aan de nekwervels voorkomen kunnen worden.
De airbag is een dunne opgeplooide zak
die in het stuurwiel of dashbord
opgeborgen zit. De ‘crash’-sensor
registreert wanneer de bag moet
opgeblazen worden. Er bestaan
verschillende types van deze sensoren,
maar allemaal steunen ze op de wet van
de traagheid.
Een veel gebruikt type werkt als volgt:
in een buisje zit een stalen bol die
door een magneet wordt vastgehouden.
Bij een frontale botsing komt de
knikker los van de magneet (wet van de
traagheid) en vliegt tegen een schakelaar.
Daardoor wordt een elektrisch
circuit gesloten en de ontsteking
geactiveerd. Door de ontsteking
gebeurt er een chemische
reactie tussen NaN3 en KNO3
en ontstaat N2-gas waardoor de
airbag in ongeveer 0,03 s wordt
opgeblazen. Het omhulsel van de
airbag haalt hierbij een snelheid
tot 300 km/h!
 bewegingsrichting
Onmiddellijk daarna ontsnapt het gas uit de kleine poriën in de bag, zodat de
bestuurder terug vrij kan bewegen. Het poeder dat ontsnapt, is meestal talk en gebruikt
men om de airbag in samengevouwen vorm soepel te houden.
K INE M ATICA E N DY NAM ICA
Praktische toepassing: de airbag
30 ]
Kinematica en dynamica
3.2
De eenparige rechtlijnige beweging (ERB) t.o.v. de x-as
vx
3.2.1 Definitie
Bij grote verkeersdrukte op de autosnelweg geeft de
wegenpolitie opdracht tot blokrijden. Hierbij rijden alle
wagens met een constante snelheid.
t
t1
+
DEFINITIE
Een systeem voert in het tijdsinterval [t1; t2] een eenparige beweging (EB) uit t.o.v. de x-as als de
snelheid vx constant is. De vx(t)-grafiek is in dat interval een horizontale rechte.
3.2.2 Eigenschappen
We bewijzen volgende eigenschappen voor een voorwerp dat een EB uitvoert t.o.v. de x-as.
De versnelling ax is nul
7
Dat volgt onmiddellijk uit de definitie:
vx(t) = cte
De versnelling is ax(t) =
dvx
=0
dt
Je kunt een EB dus beschouwen als een bijzonder geval van een EVB met ax = 0.
Voor de positie x op het ogenblik t geldt x = xo + vx · (t – to)
7
We vertrekken van de formule voor x(t) van een EVB
Dikwijls kiezen we het begintijdstip to gelijk aan 0 s.
Dan geldt x = xo + vx · t
x = xo + vxo · (t – to) +
ax
· (t – to)2
2
Vermits ax = 0 en vx = cte = vxo is
x = xo + vx · (t – to) x
(1)
Dat is een eerstegraadsfunctie. De x(t)-grafiek is een schuine rechte:
y=m·x+q
x0
t0
t2
t
31
7
De gemiddelde snelheid vx,g is dezelfde voor elk tijdsinterval Δt en is gelijk aan vx
De gemiddelde snelheid in een tijdsinterval Δt is
Δx
Δt
x2 – x1
=
t2 – t1
vx,g =
K INE M ATICA E N DY NAM ICA
Dit kun je ook vaststellen met een
fietscomputer: als je gedurende een
bepaalde tijd met een constante
snelheid van 20 km/h fietst, is
je gemiddelde snelheid in dat
tijdsinterval ook 20 km/h.
Invullen van (1) geeft
vx,g =
xo + vx · (t2 – to) – [xo + vx · (t1 – to)]
t2 – t1
Dat uitwerken geeft
vx,g = vx
(2)
7
Voor de verplaatsing Δx in een tijdsinterval Δt geldt Δx = vx · Δt
Uit vx,g =
Δx
(definitie) volgt
Δt
Δx = vx,g · Δt
Dan geldt volgens (2)
Δx = vx · Δt
Maak ook dit jaar een formularium
met alle geziene definities en
eigenschappen.
50 km/h
50 km/h
De verplaatsing Δx in een interval Δt is dus recht evenredig met Δt.
In gelijke tijdsintervallen verandert de positie met dezelfde waarde.
50 km/h
50 km/h
50 km/h
50 km/h
x
OEFENING
Tijdens de Ronde van Frankrijk heeft een kopgroep op een bepaald ogenblik een voorsprong van
2,00 km op een groepje achtervolgers met daarin gele trui Chris Froome. De kopgroep rijdt aan
48,0 km/h, de achtervolgers aan 54,0 km/h. Het parcours is een lange rechte weg.
a) Na hoeveel tijd halen de achtervolgers de kopgroep in?
b) De kopgroep bevindt zich op dat ogenblik op 12,0 km van de aankomst. Halen de achtervolgers de
kopgroep in voor de streep? Zo nee, hoeveel m komen ze te kort?
32 ]
Kinematica en dynamica
Oplossing:
a) We kiezen de x-as zoals in de figuur en leggen de oorsprong waar de groep achtervolgers zich bevindt bij
aanvang van de achtervolging.
achtervolgers
kopgroep
12,00 km
0
2,00 km
x
Beide groepen voeren een ERB uit. De bewegingsvergelijking van de kopgroep is
xk(t) = xo + vx ∙ (t - to)
= 2,00 km + 48,0 km/h ∙ (t - 0 s) = 2,00 ∙ 103 m + 13,3 m/s ∙ t
De bewegingsvergelijking van de groep achtervolgers is
xa(t) = xo + vx ∙ (t - to)
= 0 km + 54,0 km/h ∙ (t - 0 s) = 15,0 m/s ∙ t
Het tijdstip waarop de achtervolgers de kopgroep inhalen, noemen we ti.
Op dat ogenblik is de positie x dezelfde voor beide groepen:
xk(t i) = xa(t i)
2,00 ∙ 103 m + 13,3 m/s ∙ t i = 15,0 m/s ∙ t i
Daaruit ti berekenen geeft t i = 118 ∙ 101 s = 19,7 min
Het is niet nodig de eenheden
om te zetten: de eenheid km valt
weg en je verkrijgt de tijdsduur
onmiddellijk in uur.
b) We berekenen de tijdsduur die de kopgroep nodig heeft om de finish te bereiken. Uit
vx =
Δx
Δx
12,0 km
volgt ∆t =
= 0,250 h = 0,25 ∙ 60 min = 15,0 min
=
Δt
v x 48,0 km/h
De kopgroep bereikt de streep na 15,0 min. De achtervolgers hebben 19,7 min nodig om de groep in te
halen. Ze komen dus bijna 5 min te kort.
De achtervolgers bevonden zich op 14,0 km van de meet bij aanvang van de achtervolging. Als de kopgroep
de meet bereikt, hebben ze 15,0 min achtervolgd aan 54,0 km/h. In die tijdsduur is:
∆x = vx ∙ ∆t
= 15,0 m/s ∙ 15,0 min = 15,0 m/s ∙ 900 s = 135 ∙ 102 m = 13,5 km
Ze komen 14,0 km - 13,5 km = 0,5 km te kort.
WAT JE NA DIT HOOFDSTUK MOET KENNEN EN KUNNEN:
■ de 1e wet van Newton formuleren, toelichten en illustreren met voorbeelden uit het dagelijkse leven
❏ ■ de definitie geven van een ERB t.o.v. de x-as en de geziene eigenschappen bewijzen
❏ ■ oefeningen op de EB t.o.v. de x-as oplossen
4
De kromlijnige
beweging
In het dagelijkse leven voeren de meeste systemen, zoals bv. een skischansspringer, geen rechtlijnige
maar een kromlijnige beweging uit, waarbij het systeem versnelt, vertraagt, afbuigt. In dat geval werkt
op het systeem een kracht, zoniet zou het een eenparige rechtlijnige beweging uitvoeren. In dit hoofdstuk
beschrijven we de kromlijnige beweging. Voor de eenvoud beperken we ons tot tweedimensionale
kromlijnige bewegingen, d.w.z. bewegingen in een vlak. Het (x, y)-assenstelsel kiezen we in dat vlak.
4.1
Positie- en verplaatsingsvector
+
DEFINITIE
De positie van het systeem op een tijdstip t geven we weer met de positievector (of plaatsvector) →
r.
y
y
P
→
ex en →
ey zijn respectievelijk de
eenheidsvectoren volgens de x- en
de y-as
ry ey
P
r
4 ey
x
rx e x
fig. a
In drie dimensies wordt de positie
van het voorwerp op het ogenblik
t bepaald door drie coördinaten:
x, y en z.
r
x
3 ex
fig. b
r heeft componenten rx en ry (fig. a).
De vector →
De componenten rx en ry op een ogenblik t zijn gelijk aan de coördinaten x en y van het punt P waar het
systeem zich op dat tijdstip bevindt.
34 ]
Kinematica en dynamica
Voorbeeld:
De plaatsvector →
r heeft als componenten
rx = +3
ry = +4
In fig. b heeft P als coördinaten
x=3
y=4
Als het systeem een baan beschrijft in het (x, y)-vlak, verandert de richting en/of de grootte van de
r . We bekijken de beweging van het systeem van het tijdstip t1 tot t2.
vector →
Op het tijdstip t1 is de positievector →
r1, op tijdstip t2 is die vector →
r2.
y
1
1
2
∆
r1
∆ = r2 + (–r1)
2
– r1
r2
r2
x
+
DEFINITIE
De afgelegde weg Δs is de afstand die het systeem in die tijd langs de baan aflegt. Δs is een getal en
is altijd positief.
De verplaatsing Δ→
r =→
r2 - →
r1 = →
r2 + (–→
r1). Dat is een vector die wijst van punt 1 naar punt 2.
Als het tijdsinterval Δt klein is, is de grootte van Δ→
r ongeveer gelijk aan de afgelegde weg Δs.
De vector Δ→
r geeft dan bij benadering de richting, zin en afgelegde weg weer als het systeem van 1
naar 2 beweegt.
Voor de componenten van de vector Δ→
r geldt
Δ→
r = →
r2 – →
r1 = (x2 – x1; y2 – y1) = (Δx; Δy) (zie appendix)
De componenten van Δ→
r komen dus
overeen met de verplaatsing Δx en
Δy t.o.v. respectievelijk de x- en de
y-as, zoals vroeger gedefinieerd.
In nevenstaande figuur is Δx positief
en Δy negatief.
y
∆
∆
∆
x
35
4.2
De snelheidsvector
+
DEFINITIE
Gemiddelde snelheid
K INE M ATICA E N DY NAM ICA
7
De gemiddelde snelheid →
vg in een tijdsinterval Δt definiëren we als

 ∆r
vg =
∆t
Dat is een vector met de richting en de zin van Δ→
r , vermits Δt positief is.
Is de vector →
vg = Δ→
r /Δt groter of
kleiner dan de vector Δ→
r ? Je kunt
die twee verschillende grootheden
niet vergelijken, zoals je ook niet
kunt zeggen wat het grootst is:
15 s of 20 kg. De lengte van de
vector →
vg hangt af van de schaal
y
1
∆
2
∆
die je gebruikt voor de snelheid!
(bv. 1 cm = 2 m/s).
1
vg =
∆
∆
2
x
Als Δt klein is, is de grootte van de verplaatsingsvector ongeveer gelijk aan de afgelegde weg:
vg ≈
Δs
Δt
Dat is de gemiddelde snelheid van het systeem (in tijdsinterval Δt) zoals die gebruikt wordt in het
dagelijkse leven.
Voor de componenten van de vector →
vg geldt
∆r→ ⎛ ∆ x ∆ y ⎞
=⎜ ; ⎟
→
vg =
∆t ⎝ ∆t ∆t ⎠
(zie appendix)
= (vx,g; vy,g)
De componenten van →
vg komen dus overeen met de gemiddelde snelheid vx,g en vy,g t.o.v. respectievelijk de
x- en de y-as, zoals vroeger gedefinieerd. In onderstaande figuur is vx,g positief en vy,g negatief.
y
1
vy,g
vg
2
vx,g
x
36 ]
Kinematica en dynamica
7
+
DEFINITIE
Ogenblikkelijke snelheid
De ogenblikkelijke snelheid →
v is gedefinieerd als
→
v = lim
∆→
r
∆t →0 ∆t
=
dr→
dt
y
y
1
P
vg
vy
v
2
x
Dat de snelheidsvector raakt aan
de baan leerde je al in het 3e jaar.
v
vx
Om de snelheid →
v in punt 1 te bepalen, laten we punt 2 (tijdstip t2) naderen tot punt 1 (tijdstip t1).
De snelheid →
v is de limietvector. De vector →
v raakt aan de baan en wijst in de zin van de beweging.
Dat geldt algemeen.
Δt (s)
grootte van ∆→
r (m)
vg (m/s)
0,40
3,305
8,756
0,20
1,758
8,790
0,10
0,880
8,799
0,02
0,176
8,802
0s
0m
v(t)
Voor de componenten van de vector →
v geldt
→
⎛∆ x ∆ y⎞
∆→
r
= lim ⎜ ;
⎟
∆t →0 ∆t
∆t →0 ⎝∆t
∆t ⎠
v = lim
⎛
∆y ⎞
∆x
; lim
= ⎜lim
⎟
⎝∆t→0 ∆t ∆t→0 ∆t ⎠
⎛dx dy ⎞
= ⎜ ; ⎟ = (vx ; v y )
⎝ dt dt ⎠
Let op het correct gebruik van de
vectorpijltjes! →
v is de snelheids­
vector, v is de grootte van de vector.
De groottte van de snelheid →
v
De componenten van →
v komen dus overeen met de ogenblikkelijke snelheid vx en vy t.o.v.
respectievelijk de x- en de y-as, zoals vroeger gedefinieerd.
Voor de grootte van →
v geldt
noemt men ook de baansnelheid.
v = vx2 + v y2
x
37
4.3
De versnellingsvector
+
DEFINITIE
Gemiddelde versnelling
De gemiddelde versnelling →
ag in een tijdsinterval Δt definiëren we als
a→g =
Waarom heeft →
ag dezelfde richting
en zin als ∆→
v?
K INE M ATICA E N DY NAM ICA
7
∆→
v
∆t
→
=
v2 - →
v1
∆t
→
=
v2 + (-→
v1 )
∆t
Dat is een vector met de richting en zin van Δ→
v.
y
∆
1
v1
vg
v1
2
v2
v2
= v2 – v1
– v1
v2
x
In de figuur zie je dat de vector →
ag naar de binnenkant van de baan wijst. Dat geldt algemeen.
y
ag =
∆
∆
1
ay,g
2
ax,g
x
Voor de componenten van →
ag geldt
→
→
v (v2 − v1 )
∆→
=
∆t
∆t
⎛ vx2 − vx1 v y2 − v y1 ⎞
;
=⎜
⎟
∆t ⎠
⎝ ∆t
a→g =
⎛ ∆vx ∆v y ⎞
;
=⎜
⎟
⎝ ∆t ∆t ⎠
= (ax,g ; ay,g )
De componenten van →
ag komen dus overeen met de gemiddelde versnelling ax,g en ay,g t.o.v.
respectievelijk de x- en de y-as, zoals vroeger gedefinieerd.
38 ]
Kinematica en dynamica
7
+
Ogenblikkelijke versnelling
De ogenblikkelijke versnelling →
a definiëren we als
∆→
v d→
v
=
∆t →0 ∆t
dt
a→ = lim
y
a
1
ay
P
2
ax
x
Om de versnelling in punt P te verkrijgen, bepalen we de gemiddelde versnelling →
ag in het interval
[t1; t2] rond P en laten we ∆t naar nul gaan. De versnelling →
a is de limietvector.
De vector →
a wijst naar de binnenkant van de baan. Dat geldt algemeen.
Voor de componenten van de vector →
a geldt
→
⎛ ∆vx ∆v y ⎞ ⎛
∆vx
∆v y ⎞ ⎛ dvx dv y ⎞
∆→
v
; lim
= lim ⎜
;
⎟ =⎜ ;
⎟ = ⎜ lim
⎟ = (ax ; ay )
∆
∆
t
→
0
t
→
0
∆t → 0 ∆t
∆t → 0 ⎝ ∆t
∆t
∆t ⎠ ⎝ dt dt ⎠
∆t ⎠ ⎝
a = lim
De componenten van →
a komen dus overeen met de ogenblikkelijke versnelling ax en ay t.o.v.
respectievelijk de x- en de y-as, zoals vroeger gedefinieerd. In bovenstaande figuur zijn ax en ay
positief.
De grootte van een vector
is altijd positief!
Voor de grootte van →
a geldt
+
a = ax2 + ay2
De positievector →
r heeft als componenten (x, y).
De snelheidsvector →
v raakt aan de baan, wijst in de zin van beweging en heeft als componenten
vx =
dy
dx
en v y = .
dt
dt
Voor de grootte van de snelheid geldt: v = v x2 + v y2
De versnellingsvector →
a wijst naar de binnenkant van de baan en heeft als componenten
dvx
dv y
ax = dt en ay = dt .
Voor de grootte van de versnelling geldt: a = a x2 + a y2
39
4.4
Het frenetstelsel
K INE M ATICA E N DY NAM ICA
Het frenetstelsel is een assenstelsel dat hoort bij het punt waar het voorwerp zich op dat ogenblik
bevindt. Het bestaat uit een t-as (tangentiële as) en een n-as (normaalas).
De t-as raakt aan de baan in dat punt en wijst in de zin van de beweging. De t-as valt samen met de
snelheidsvector →
v in dat punt.
De n-as staat loodrecht op de t-as en wijst naar de binnenkant van de baan.
y
y
n
n
an
→
a
P
→
a
P at
→
v
t
t
x
x
In het frenetstelsel heeft de vector →
a de componenten at en an.
De component at is de tangentiële versnelling en geeft aan hoe de grootte van de snelheid →
v van het
systeem rond punt P verandert:
als at > 0 neemt de snelheid rond P toe
als at = 0 blijft de grootte van de snelheid rond P constant
als at < 0 neemt de snelheid rond P af
De component an is de normaalversnelling en geeft aan hoe de richting van de snelheid →
v van het
systeem rond punt P verandert:
als an > 0 verandert de bewegingsrichting van het systeem rond P: het systeem buigt af
als an = 0 verandert de bewegingsrichting van het systeem rond P niet: het systeem beweegt daar
rechtlijnig
Waarom kan de component an niet
negatief zijn?
+
Voor de grootte van de versnelling geldt
a = at2 + an2
De tangentiële versnelling at in een punt geeft informatie over de verandering van de grootte van de
snelheid rond dat punt.
De normaalversnelling an in een punt geeft informatie over de verandering van de richting van de snelheid
rond dat punt.
40 ]
Kinematica en dynamica
- OEFENING
Een auto rijdt in het ravijn en maakt een kromlijnige beweging in het (x, y)-vlak. Om de 0,10 s werd de
x- en de y-positie bepaald (zie tabel).
t(s)
y (m)
40
30
20
10
0
Je kunt die functies opstellen door
met bv. je grafisch rekentoestel
een functiefit te doen voor de
(x, t)- en de (y, t)-waarden.
Verder zul je zien dat deze
beweging een horizontale worp is.
0
5
10
15
20
25
30
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
1,30
1,40
1,50
1,60
1,70
x (m) 1,80
1,90
35
2,00
2,10
2,20
2,30
2,40
2,50
2,60
x(m)
0,00
1,20
2,40
3,60
4,80
6,00
7,20
8,40
9,60
10,80
12,00
13,20
14,40
15,60
16,80
18,00
19,20
20,40
21,60
22,80
24,00
25,20
26,40
27,60
28,80
30,00
31,20
Na analyse blijkt dat beweging t.o.v. de x-as gegeven wordt door
x = 12,00 (m/s) · t
De beweging t.o.v. de y-as wordt gegeven door
y = -4,90 (m/s2) · t2 + 35,00 (m)
Bepaal de positie, de snelheid →
v, de versnelling →
a , de componenten at en an op t = 1,00 s.
Bepaal eveneens het soort beweging t.o.v. de x- en de y-as.
y(m)
35,00
34,95
34,80
34,56
34,22
33,78
33,24
32,60
31,86
31,03
30,10
29,07
27,94
26,72
25,40
23,98
22,46
20,84
19,12
17,31
15,40
13,39
11,28
9,08
6,78
4,38
1,88
41
De x-coördinaat op t = 1,00 s is
x = 12,00 m/s · 1,00 s = 12,0 m
40
y (m)
P
30,1
K INE M ATICA E N DY NAM ICA
Oplossing
a) De beweging t.o.v. de x-as wordt gegeven door
x = 12,00 m/s · t
De beweging t.o.v. de y-as wordt gegeven door
y = -4,90 m/s2 · t2 + 35,00 m
De y-coördinaat op t = 1,00 s is
y = -4,90 m/s2 · (1,00 s)2 + 35,00 m = 30,1 m
Op het ogenblik t = 1,00 s is het voorwerp
in punt P (12,0 m; 30,1 m).
b)De snelheid →
v heeft componenten vx en vy.
Voor vx geldt
dx d
vx =
= (12,00 m/s · t) = 12,00 m/s
dt dt
De snelheid t.o.v. de x-as is constant.
De snelheid vx op t = 1,00 s is vx = 12,00 m/s
Je kunt vx en vy ook benaderen
met de tabel door ∆x/∆t en ∆y/∆t
te bepalen voor een klein interval
rond 1,00 s.
Bv.
∆y
(29,07 m – 31,08 m)
=
∆t
(1,10 s – 0,90 s)
= -9,8 m/s
20
→
r
10
0
0
10 12,0
20
Voor de y-component geldt
vy =
dy d
= (-4,90 m/s2 · t2 + 35,00 m) = -9,80 m/s2 · t
dt dt
De snelheid vy op t = 1,00 s is
vy = -9,80 m/s2 · 1,00 s = -9,80 m/s
De snelheidsvector →
v in het punt P heeft als componenten (+ 12,00 m/s; -9,80 m/s).
De grootte van de vector →
v is
v = v x2 + v y2 = 15, 5 m/s
Als je die vector tekent, zie je dat hij aan de baan raakt.
30
x (m)
35
42 ]
Kinematica en dynamica
40
y (m)
35
Denk eraan dat je een eenvoudige
schaal kiest om vx en vy
te kunnen tekenen.
2 cm ↔ 10 m/s
vx = 12,00 m/s
P
30
→
v
m
–9,80 –
s = vy
25
2 cm ↔ 10 m/s
20
15
10
5
0
0
5
10
15
20
25
30
x (m)
35
c) De versnelling →
a heeft componenten ax en ay.
Voor ax geldt
x (m)
35
dvx d
ax = dt = dt (12,00 m/s) = 0 m/s2
Voor ay geldt
dvy d
ay = dt = dt (-9,80 m/s2 · t) = -9,80 m/s2
De versnellingsvector →
a in het punt P heeft als componenten (0 m/s2; -9,80 m/s2).
De grootte van de vector is
a = ax2 + ay2 = 9,80 m/s2
Als je →
a tekent, zie je dat die vector naar de binnenkant van de baan en verticaal naar beneden wijst.
y (m)
40
35
P
30
Denk eraan dat je een bruikbare
schaal kiest om ax en ay
te kunnen tekenen.
3 cm ↔ 10 m/s2
25
20
→
a
15
3 cm ↔ 10 m/s2
10
5
0
0
5
10
15
20
25
30
35
x (m)
43
d)We bepalen de componenten at en an grafisch door de vector →
a te projecteren in het frenetstelsel van
dat punt.
Voor de component at vind je
at = + 6,20 m/s2
De tangentiële component at is positief. Dat betekent dat de snelheid van de auto rond het tijdstip
1,00 s toeneemt.
y (m)
40
K INE M ATICA E N DY NAM ICA
Je moet dan wel werken in een
orthonormaal assenstelsel!
35
P
30
3 cm ↔ 10 m/s2
at
an
25
t
20
n
15
→
a
10
5
0
0
5
10
15
e)Uita = at2 + an2 volgt
an = a2 − at2
2
2
= (9,80 m/s2 ) − (6,20 m/s2 ) = 7,59 m/ s2
20
25
30
x (m)
35
44 ]
Kinematica en dynamica
f) De snelheid t.o.v. de x-as wordt gegeven door
vx = 12,00 m/s
Vermits de snelheid constant is, voert het systeem een EB uit t.o.v. de x-as.
De snelheid t.o.v. de y-as wordt gegeven door
y (m)
vy = -9,80 m/s2 · t
40
Dat is een eerstegraadsfunctie; de snelheid verandert lineair met de tijd.
Het systeem voert dus een EVB uit t.o.v. de y-as.
35
30
25
20
15
10
5
0
0
5
10
15
20
25
30
x (m)
35
WAT JE NA DIT HOOFDSTUK MOET KENNEN EN KUNNEN:
■
de definitie en kenmerken geven van de vectoren positie, verplaatsing, gemiddelde en
ogenblikkelijke snelheid, gemiddelde en ogenblikkelijke versnelling en die zowel wiskundig als
grafisch bepalen
■
de definitie geven van het frenetstelsel
■
de componenten van de geziene vectoren bepalen (op x-as, y-as, t-as, n-as) en de betekenis ervan
geven
■
oefeningen op vectoren en de kromlijnige beweging oplossen