Transformaties

WISKUNDE B TWEEDE FASE VWO  FUNCTIES EN GRAFIEKEN
5 – Transformaties
Verkennen
www.math4all.nl  MAThADORE-basic HAVO/VWO  4/5/6 VWO wi-b  Functies en grafieken
 Transformaties  Inleiding  Verkennen
Werk met de applet. Bedenk steeds welke parameter a, b, c en/of d je moet
aanpassen. Experimenteer tot je de regelmaat kunt formuleren!
Theorie en voorbeelden
www.math4all.nl  MAThADORE-basic HAVO/VWO  4/5/6 VWO wi-b  Functies en grafieken
 Transformaties  Theorie
In de Theorie, pagina 1 en in Voorbeeld 1 kun je zien hoe de grafieken van
g1(x) = f(x + c1) en g2(x) = f(x) + c2 kunnen ontstaan door die van y = f(x) te
verschuiven.
Opgave 1
Werk in Voorbeeld 1 met de applet.
Gegeven is de grafiek van functie f met een onbekend voorschrift f(x).
a) Maak de grafiek van g1(x) = f(x + 2). Hoe ontstaat de grafiek van g1 uit die
van f?
b) Maak de grafiek van g2(x) = f(x) + 2. Hoe ontstaat de grafiek van g2 uit die
van f?
Neem nu aan dat f(x) = x3 − 4x.
c) Schrijf het voorschrift van g1 op.
d) Schrijf het voorschrift van g2 op.
e) Oefen dit met andere functies g1 en g2.
In de Theorie, pagina 2 en in Voorbeeld 2 kun je zien hoe de grafieken van
g1(x) = f(c1 ⋅ x) en g2(x) = c2 ⋅ f(x)kunnen ontstaan door die van y = f(x) te
vermenigvuldigen in horizontale of verticale richting.
Opgave 2
Werk in Voorbeeld 2 met de applet.
Gegeven is de grafiek van functie f met een onbekend voorschrift f(x).
a) Maak de grafiek van g1(x) = f(2 ⋅ x). Hoe ontstaat de grafiek van g1 uit die
van f?
b) Maak de grafiek van g2(x) = 2 ⋅ f(x). Hoe ontstaat de grafiek van g2 uit die
van f?
Neem nu aan dat f(x) = x3 − 4x.
c) Schrijf het voorschrift van g1 op.
d) Schrijf het voorschrift van g2 op.
e) Oefen dit met andere functies g1 en g2.
STICHTING MATH4ALL 01 NOV 2008
1
WISKUNDE B TWEEDE FASE VWO  FUNCTIES EN GRAFIEKEN
Opgave 3
In de applet van Voorbeeld 3 kun je alle vier de transformaties toepassen op
functie f. Geef bij elk van de volgende functies aan welke transformaties je moet
toepassen om de grafiek uit die van f te laten ontstaan. (Let op de volgorde!)
a) g(x) = 2 ⋅ f(x) + 3
b) h(x) = f(x − 4) + 2
c) k(x) = 2 − f(x)
d) l(x) = f(3x) + 2
e) m(x) = 2 ⋅ f(3(x − 1)) + 4
Opgave 4
Schrijf het functievoorschrift op van g als de grafiek uit die van f ontstaat door
a) in de y-richting met −2 te vermenigvuldigen en dan 1 omhoog te schuiven;
b) in de x-richting met 2 te vermenigvuldigen en dan −3 in de y-richting te
verschuiven;
c) in de x-richting 4 te verschuiven en dan in de y-richting −2 te verschuiven;
d) in de x-richting met 0,5 te vermenigvuldigen en dan in de x-richting 4 te
verschuiven;
e) In de x-richting 4 te verschuiven en dan in de x-richting met 0,5 te
vermenigvuldigen en tenslotte in de y-richting −2 te verschuiven.
Opgave 5
Werk nu met je grafische rekenmachine. Ga uit van de basisfunctie y1 = x2.
a) Breng de grafiek van y1 in beeld met de standaardinstellingen van het
venster.
b) Breng nu de volgende vier variaties op de grafiek van y1 in beeld:
- y2 = x2 + 2
- y3 = (x + 2)2
- y4 = 2 · x2
- y5 = (2 · x)2
Onderzoek bij elk van die grafieken welke transformatie er moet worden
toegepast op de grafiek van y1 om die grafiek te krijgen.
c) De grafiek van y6 = 12 (x − 3)2 + 4 ontstaat ook door transformaties uit die
van y1. Welke transformaties moeten er achtereenvolgens worden
toegepast?
d) Door welke transformaties ontstaat de grafiek van y7 = −x2 uit die van y1?
e) Welke algemene vorm heeft het voorschrift van een functie die door
transformaties ontstaat uit die van y1 = x2?
f)
Hoe kun je door gebruik te maken van transformaties de top van de
parabool y = −2(x − 12)2 + 315 bepalen?
Opgave 6
Gegeven is de functie f(x) = 0,25(x − 5)4 − 10.
De grafiek van deze functie kan door transformaties ontstaan uit die van de
bijbehorende basisfunctie.
a) Welke basisfunctie is dat?
b) Welke transformaties moeten er dan achtereenvolgens worden toegepast?
c) Bepaal nu het minimum van de grafiek van deze functie. Voor welke waarde
van x treedt dit minimum op?
STICHTING MATH4ALL 01 NOV 2008
2
WISKUNDE B TWEEDE FASE VWO  FUNCTIES EN GRAFIEKEN
Opgave 7
Je ziet hier de grafiek van y1 = x2 in de standaardinstellingen
van het venster van je rekenmachine.
Bekijk de zes grafieken in de standaardinstellingen van het
venster van de grafische rekenmachine. Ze zijn allemaal
ontstaan uit transformatie van de grafiek van y1. Geef bij elke grafiek aan welke
transformatie er is toegepast. Schrijf ook het juiste functievoorschrift op.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Opgave 8
In de vorige opgave heb je gewerkt met transformaties van de functie y1 = x2.
Je kunt zo ook werken met andere basisfuncties zoals y = x3, y = x en y = 1x :

Vanuit een gegeven formule de bijbehorende basisfunctie herkennen en
voorspellen (door transformaties op te schrijven) waar de grafiek ligt.

Vanuit een gegeven grafiek bedenken welke transformaties er op de
bijbehorende basisfunctie zijn toegepast en dan het functievoorschrift
opschrijven.
Oefen dit met één van je medeleerlingen.
Opgave 9
Bekijk de Toepassing van het werken met transformaties.
De grafiek van de functie f met f(x) = (x − 20)2 + 200 komt met de
standaardinstellingen van het venster op je grafische rekenmachine niet in beeld.
Leg uit, hoe je door het toepassen van transformaties de vensterinstellingen in
één klap zo kunt maken, dat die grafiek wel goed in beeld komt.
Verwerken
Opgave 10
Ga uit van de basisfunctie f(x) = x . De grafieken van de onderstaande functies
kun je door transformatie van deze basisfunctie krijgen. Geef bij elk van die
functies aan welke transformaties dat zijn.
a) y2 = 12 ⋅ f(x)
b) y3 = f(x − 4) + 2
c) y4 = 2 − f(x)
d) y5 = f(3x) + 2
STICHTING MATH4ALL 01 NOV 2008
3
WISKUNDE B TWEEDE FASE VWO  FUNCTIES EN GRAFIEKEN
Opgave 11
Hier zie je vijf keer het venster van je grafische rekenmachine
in de basisinstellingen. De grafiek is die van y1 = x3.
De overige grafieken zijn door transformatie uit die
basisfunctie ontstaan. Geef bij elke functie het juiste
voorschrift.
a)
b)
c)
d)
Opgave 12
Hier zie je de grafiek van een functie
y1 = f(x). Neem de grafiek over op een
roosterblad.
Teken de grafieken van de volgende
functies. Schrijf erbij welke transformaties
je toepast.
a) y2 = f(x − 2)
b) y3 = −2 ⋅ f(x)
c) y4 = f(x) − 2
d) y5 = f(2x) − 1
Opgave 13
Een weggeslingerde kogel beschrijft de volgende baan: h = −0,02 (x − 10)2 + 4
Het moment van loslaten ligt op h = 2 m. Dit is bij x = 0.
h en x zijn beide in meter uitgedrukt.
a) Leg uit met behulp van transformaties hoe je de volledige baan van de
kogel op de grafische rekenmachine in beeld kunt krijgen.
b) Bereken hoe ver deze kogelstoter met zijn kogel komt.
c) Na hoeveel meter is de kogel weer even hoog als op het moment van
loslaten?
Testen
Opgave 14
Hier zie je de grafiek van een functie
y1 = f(x).
Welke transformaties moet je toepassen
om de grafiek te krijgen van de
volgende functies?
a) y2 = f(x − 3)
b) y3 = 0,5 ⋅ f(x) + 1
c) y4 = f(3x)
STICHTING MATH4ALL 01 NOV 2008
4
WISKUNDE B TWEEDE FASE VWO  FUNCTIES EN GRAFIEKEN
Opgave 15
Om de grafiek van f(x) = 10 x + 50 goed in beeld te krijgen op je grafische
rekenmachine, moet je weten hoe deze ontstaat door transformatie van de
bijbehorende basisfunctie.
a) Welke basisfunctie is dat?
b) Welke transformaties moet je op de grafiek van de basisfunctie toepassen?
c) Schrijf op bij welke vensterinstellingen de grafiek van f goed in beeld komt.
Opgave 16
Je ziet hier de grafiek van een functie g
die door transformatie is ontstaan uit de
grafiek van f(x) = x3.
De grafiek van g gaat door (7,6). Schrijf
het bijpassende functievoorschrift op.
STICHTING MATH4ALL 01 NOV 2008
5
WISKUNDE B TWEEDE FASE VWO  FUNCTIES EN GRAFIEKEN
Antwoorden
1a)
b)
c)
d)
e)
2a)
b)
c)
d)
e)
3a)
b)
c)
d)
e)
4a)
b)
c)
d)
e)
5a)
b)
c)
d)
e)
6a)
b)
c)
−2 in de x-richting verschuiven
2 in de y–richting verschuiven
g1(x) = (x + 2)3 − 4(x + 2)
g2(x) = x3 − 4x + 2
met 0,5 in de x-richting verm.
met 2 in de y–richting verm.
g1(x) = (2x)3 − 4(2x) = 8x3 − 8x
g2(x) = 2(x3 − 4x) = 2x3 − 8x
verm. in y-richting met 2 en
dan 3 verschuiven in y-richting
4 verschuiven in x-richting en
dan 2 verschuiven in y-richting
verm. in y-richting met −1 en
dan 2 verschuiven in y-richting
verm. met 1/3 in x-richting en
dan 2 verschuiven in y-richting
eerst 1 verschuiven in x-richting,
dan met 1/3 verm. in x-richting,
dan met 2 verm. in y-richting en
dan 4 in y-richting verschuiven
g(x) = −2 ⋅ f(x) + 1
g(x) = f(0,5x) − 3
g(x) = f(x − 4) − 2
g(x) = f(2x − 4) − 3
g(x) = f(2(x − 4)) − 2
y2: grafiek y1 verschuiven in
y-richting met 2
y3: grafiek y1 verschuiven in
x-richting met −2
y4: grafiek y1 verm. in y-richting
met 2
y5: grafiek y1 verm. in x-richting
met 1/2
eerst 3 verschuiven in x-richting,
dan met ½ verm. in y-richting en
dan 4 verschuiven in y-richting
verm. met −1 in y-richting of
spiegelen t.o.v. x-as
eerst 12 in x-richting verschuiven,
dan met −2 verm. in y-richting en
dan −10 verschuiven in y-richting
y = x4
eerst 5 in x-richting verschuiven,
dan met 0,25 verm. in y-richting,
dan −10 verschuiven in y-richting
de top van y = x4 is (0,0) en
de top van f is (na de
transformaties) dus (5,−10):
STICHTING MATH4ALL 01 NOV 2008
7a)
b)
c)
d)
e)
f)
8.
9.
10a)
b)
c)
d)
11a)
b)
c)
d)
12.
13a)
b)
c)
14a)
b)
c)
15a)
b)
c)
16.
min.f(5) = −10
y = x2 − 3
y = (x − 3)2
y = 0,5x2
y = −x2
y = (x − 2)2 − 4
y = −0,5(x + 3)2 + 5
[−10,10]x[−10,10] is standaard
20 in x-richting verschuiven en
200 in y-richting verschuiven
in y-richting met ½ verm.
4 naar rechts en 2 naar boven
schuiven.
in x-richting met −1 verm en
2 in y-richting verschuiven.
in x-richting met 1/3 verm. en
2 in y-richting verschuiven.
y = x3 + 4
y = (x − 4)3
y = −0,25x3
y = (x − 2)3 − 4
eigen docent laten controleren
y = −x2 10 in x-richting schuiven
en 4 in y-richting schuiven.
Neem 0 ≤ x ≤ 25 nemen. Er
wordt ook met 0,02 verm, dus
0 ≤ y ≤ 5 is voldoende.
24,14 m
Na 20 m.
3 in de y-richting verschuiven
met ½ in de y-richting verm. en
dan 1 in de y-richting verschuiven
met 1/3 in de x-richting verm.
y= x
met 10 in de y-richting verm. en
dan 50 in de y-richting schuiven
b.v. [0,10]x[50,100]
g(x) = −0,5(x − 5)3 + 10
6