Complexe getallen

Zomercursus Wiskunde
Katholieke Universiteit Leuven
Groep Wetenschap & Technologie
September 2011
Module 8
Complexe getallen
(versie 22 augustus 2011)
Module 8: Complexe getallen
Inhoudsopgave
1 De getallenverzameling C
1
2 Het complex vlak of het vlak van Gauss
7
3 Vierkantsvergelijkingen
4
10
3.1
Vierkantswortel uit een reëel getal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3.2
Vierkantsvergelijking in R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
De goniometrische of polaire vorm van complexe getallen
14
4.1
Overgang van goniometrische vorm naar cartesische vorm . . . . . . . .
16
4.2
Overgang van cartesische vorm naar goniometrische vorm . . . . . . . .
16
4.3
Voordelen van de goniometrische vorm . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
5 De exponentiële vorm
20
6 Oplossingen
22
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
8-1
Module 8: Complexe getallen
Inleiding
Een beetje geschiedenis: Al lang worstelde men in de wiskunde met het feit dat er
bij de tot dan gekende getallen geen oplossing was voor de vergelijking x2 = −1. In
1560 rekende√een Italiaans wiskundige Bombelli1 met een nieuw soort √
getallen van de
vorm “a + b −1”, maar de wiskundige fundering ontbrak en ook de “ −1”was enkel
een “mysterieus of imaginair iets”waarvan het kwadraat −1 was, maar waarvan men
niet goed wist of het nu bestond of niet. Deze getallen bleven in een schemerzone van
de wiskunde, er werd wel mee gerekend maar ze werden niet echt aanvaard als getallen, vandaar dat men ze de misleidende naam “imaginaire (denkbeeldige) getallen”gaf,
in tegenstelling tot de echte getallen of “reële getallen”.
Pas in 1831 werden de complexe getallen door Gauss2 exact gedefinieerd en werden ze
algemeen aanvaard. Hij noemde ze liever complexe (= samengestelde) getallen, er was
immers niets imaginairs aan. Hij voerde ze in als een wiskundig gefundeerde uitbreiding van de getallenverzameling R waarin de vergelijking x2 + 1 = 0 een oplossing
heeft, m.a.w. een getallenverzameling, met een optelling en een vermenigvuldiging en al de bijhorende eigenschappen. Waarin R op een natuurlijke manier omvat is
en waar de vierkantswortel uit −1 zinvol is.
Wij geven hier niet de wiskundig gefundeerde definitie, maar voeren de complexe getallen zo in dat we er onmiddellijk mee aan de slag kunnen.
Hoofdstuk 5 over de exponentiële vorm wordt niet behandeld in Zomercursus A.
1
De getallenverzameling C
De complexe getallen kunnen gezien worden als volgende verzameling:
Met
C = a + bi | a, b ∈ R en i2 = −1
a + bi = c + di
als en alleen als
a = c en b = d
We voorzien deze verzameling op een natuurlijke manier van een optelling
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,
1
2
Rafael Bombelli (1526-1573): Italiaans wiskundige
Duitse wis- en sterrenkundige Carl Friedrich Gauss(1777-1855).
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
8-2
Module 8: Complexe getallen
en een vermenigvuldiging
−1
z}|{
(a + bi) · (c + di) = ac + adi + bci + bd i2 = (ac − bd) + (ad + bc)i.
Als z = a + bi noemt men
• a
het reëel deel van z, notatie: a = Re(z),
• b
het imaginair deel van z, notatie: b = Im(z),
• a + 0i |{z}
= a een zuiver reëel getal, R is dus een deelverzameling van C,
kortweg
• 0 + bi |{z}
= bi een zuiver imaginair getal.
kortweg
Er geldt
C, +, · is een getallenverzameling.
d.w.z. dat C aan volgende eigenschappen voldoet:
1. Eigenschappen van de optelling
Als z, z1 , z2 , z3 ∈ C dan is
• z1 + (z2 + z3 ) = (z1 + z2 ) + z3
• z1 + z2 = z2 + z1
• z+0=z
(associativiteit).
(commutativiteit).
0 is het neutraal element voor de som.
• Elk element z = a + bi heeft een tegengesteld element nl. −z = −(a + bi) =
−a − bi waarvoor z + (−z) = 0.
We spreken af z1 + (−z2 ) af te korten tot z1 − z2 .
2. Eigenschappen van het product
Als z, z1 , z2 , z3 ∈ C dan is
• z1 · (z2 · z3 ) = (z1 · z2 ) · z3
• z1 · z2 = z2 · z1
• z·1=z
(associativiteit).
(commutativiteit).
1 is het neutraal element voor het product.
• Elk element a+bi 6= 0 heeft een invers element voor het product. We noteren
1
dit (a + bi)−1 =
.
a + bi
Zoek het invers element x + yi van a + bi. Dus zorg dat (x + yi)(a + bi) = 1.
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
8-3
Module 8: Complexe getallen
Besluit: (a + bi)−1 =
1
a
−b
a − bi
= 2
+ 2
i= 2
.
2
2
a + bi
a +b
a +b
a + b2
3. Eigenschap die · verbindt met +
• Als z1 , z2 , z3 ∈ C dan is
z1 · (z2 + z3 ) = z1 · z2 + z1 · z3
Ga dit na.
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
· is distributief t.o.v. +.
8-4
Module 8: Complexe getallen
Opmerkingen:
Men kan aantonen dat men de verzameling C NIET totaal kan ordenen zoals Q
of R (zie Oefeningen 1.1 oef 3.), d.w.z. dat we in het algemeen geen enkel beslissingscriterium kunnen vinden om te zeggen dat a + bi < c + di en dat zou voldoen aan
dezelfde eigenschappen als de ongelijkheid < in R of Q.
Bijgevolg kunnen we dus bijvoorbeeld niet beweren dat het complex getal 2+3i positief
of negatief is. Zo mag je niet zeggen dat i positief is en −i negatief, wel dat ze tegengesteld zijn. Dit is de prijs die we moeten betalen om een vierkantswortel te vinden uit −1.
We zoeken nu een middel om de vrij moeilijke formule voor de inverse gemakkelijker terug te vinden en voeren hiertoe enkele definities in.
Als z = a+bi een complex getal is definieert men zijn toegevoegd complex getal
als volgt
z = a + bi = a − bi
Men zegt z en z zijn complex toegevoegd.
Merk op :
z · z = (a + bi)(a + bi) = (a + bi)(a − bi) = a2 + b2
positief.
De formule voor de inverse
dit is zuiver reëel en
1
is het snelst te vinden door
a + bi
teller en noemer te vermenigvuldigen met het toegevoegd complex getal a − bi.
Immers
1
a − bi
a − bi
=
= 2
.
a + bi
(a + bi)(a − bi)
a + b2
a + bi
het snelst vinden
c + di
door teller en noemer te vermenigvuldigen met het toegevoegd complex getal van de
noemer.
Als gevolg kan men het quotiënt van twee complexe getallen
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
8-5
Module 8: Complexe getallen
Een ander belangrijk begrip is de modulus van een complex getal. Het is een uitbreiding van het begrip absolute waarde bij reële getallen, we gebruiken er dan ook dezelfde
notatie voor:
|a + bi| =
√
a2 + b2 noemt men de modulus van het complex getal a + bi
Merk op :
√
∀z = a + 0i ∈ R : |z|(modulus) = a2 = |a| = |z|(absolute waarde)
p
of
|a + bi|2 = (a + bi)(a − bi)
|a + bi| = (a + bi)(a − bi)
Het is eenvoudig volgende eigenschappen aan te tonen.
Eigenschappen 1.1 (Toegevoegd complex getal)
Stel z = a + bi, z1 , z2 ∈ C, dan geldt
1. z = z
en
als z = z dan is z een reëel getal.
2. de som van twee toegevoegden is zuiver reëel, het verschil is zuiver imaginair.
en
z − z = 2bi
z + z = 2a
3. het product van twee complex toegevoegden is zuiver reëel en positief.
z · z = a2 + b2
4. z1 + z2 = z1 + z2
5. z1 · z2 = z1 · z2
6. ∀n ∈ N : z n = z n
1
1
7.
= samen met (6) leidt dit tot ∀n ∈ Z : z n = z n
z
z
z1
z1
dit is een onmiddellijk gevolg van (5.) en (7.)
=
8.
z2
z2
9. als z1 en z2 complex toegevoegd zijn dan is
|z1 |2 = |z2 |2 = z1 · z2
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
8-6
Module 8: Complexe getallen
Oefeningen 1.1
1. Bereken
(a) (4 + 8i) + (15 − 12i)
(b) (2 + 4i) − (6 − 7i)
(c) (2 + 3i)(−5 + i)
(d) (2 + i)2
(e) (2 + i) + (3 + 2i)
(f) (5 − 6i)(5 + 6i)
1
(g)
5 + 2i
1+i
(h)
2 + 3i
1 + 2i 2 − i
+
(i)
3 − 4i
5i
(j) |3 − 2i|
2. Bewijs eigenschap 9. uit de reeks eigenschappen van het toegevoegd complex
getal.
3. Bewijs uit het ongerijmde dat je de complexe getallen niet kunt ordenen tot een
totaal geordende verzameling waarbij de orde aan volgende eigenschappen zou
voldoen.
(1) Voor elk tweetal getallen x en y geldt precies één van de volgende mogelijkheden
x < y,
x = y,
x>y
men noemt de orde totaal.
(2) Voor getallen x, y en z geldt
x < y ⇒ (x + z < y + z)
(3) Voor getallen x, y en z geldt
(x < y ∧ z > 0) ⇒ xz < yz
(x < y ∧ z < 0) ⇒ xz > yz
(4) Voor getallen x, y en z geldt
(x < y ∧ y < z) ⇒ x < z
de orde is transitief.
Hint: Je stelt uit het ongerijmde dat C wel kan geordend worden. Vermits i 6= 0
zal omwille van de totale orde (1) moet gelden dat ofwel i < 0, ofwel i > 0. Maak
nu gebruik van de andere eigenschappen van de orde, om aan te tonen dat beide
onderstellingen leiden tot een contradictie.
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
8-7
Module 8: Complexe getallen
2
Het complex vlak of het vlak van Gauss
Voor de reële getallen hebben we een handige voorstelling nl. de getallenas. We
zouden ook graag een voorstelling vinden voor de complexe getallen en daarin de reële
getallenas terugvinden.
We kunnen elk complex getal a+bi ∈ C zien als een koppel (a, b) van reële getallen. Dit
kan voorgesteld worden door het punt in het vlak met cartesische coördinaten (a,b) (na
keuze van een rechthoekig coördinatenstelsel). We spreken af dit punt als voorstelling
te nemen voor het complex getal a + bi.
R
6
• z = a + bi
b
|z| =
√
a2 + b 2
-
a
R
De vorm a + bi van de complexe getallen noemt men dan ook de cartesiaanse vorm.
Het vlak wordt nu het complexe vlak of het vlak van Gauss genoemd.
Zuiver reële getallen vinden hun voorstelling op de x-as, deze wordt dan ook de reële
as genoemd.
Zuiver imaginaire getallen vinden hun voorstelling op de y-as, deze wordt dan ook de
imaginaire as genoemd.
In het complexe vlak vinden we ook een mooie interpretatie voor de modulus van een
complex getal:
√
|a + bi| = a2 + b2 en geeft dus de afstand van het corresponderende punt (a, b) tot de
oorsprong.
Ga m.b.v. de stelling van Pythagoras na dat als z1 = a + bi en z2 = c + di
|z1 − z2 | de afstand weergeeft tussen de voorstellingen van de twee complexe getallen.
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
8-8
Module 8: Complexe getallen
R
|b − d|
6
z = a + bi
•1
•b
• z2 = c + di
•d
a
•
|a − c|
-
c
•
R
• |z1 − z2 | =
• De afstand tussen a + bi en c + di =
De cartesiaanse voorstelling van een complex getal is ook bijzonder handig om een
meetkundig beeld te krijgen van de optelling. In dit vlak komt de optelling van a + bi
en c + di overeen met de optelling van de overeenkomstige vectoren volgens de regel
van het parallellogram.
R
b+d
b
6
• z1 + z2
z1
•
• z2
d
a
c
-
a+c
R
Zoek ook de voorstelling van de complex toegevoegde en tegengestelde van a+bi.
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
8-9
Module 8: Complexe getallen
R
6
b
• a + bi
-
a
R
Tot slot een overzicht van de eigenschappen van de modulus, we raden je aan eigenschappen 4. tot 6. zelf aan te tonen.
Eigenschappen 2.1 (Modulus)
Stel z, z1 , z2 ∈ C dan geldt
1. |z| is de afstand van z tot de oorsprong
2. |z1 − z2 | is de afstand tussen z1 en z2
3. |z| = |z| en |z| = | − z|
4. |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |
1
1
5. =
z
|z|
z1 |z1 |
6. =
z2
|z2 |
7. MAAR meestal is |z1 + z2 | =
6 |z1 | + |z2 |
Er geldt wel |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | de driehoeksongelijkheid.
Oefeningen 2.1
1. Bereken
(3 + 4i)(−1 + 2i) (−1 − i)(3 − i) Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
8 - 10
Module 8: Complexe getallen
2. Zoek in het complexe vlak de voorstelling van volgende verzamelingen:
(a) {z ∈ C| |z| < 1}
(b) {z ∈ C| |z − i| < 1}
(c) {z ∈ C| |z − i| ≥ 1}
(d) {z ∈ C| 1 ≤ |z + 2i − 1| < 2}
(e) {z ∈ C| |Im(z)| ≤ 0}
√ (f) z ∈ C| |Im(z) − i| < 2
√ (g) z ∈ C| |Re(z) − i| < 2
(h) {z ∈ C| Re(z) > Im(z) > 0}
(i) {x + iy ∈ C| y > 2x + 1}
3
Vierkantsvergelijkingen
3.1
Vierkantswortel uit een reëel getal
We noemen vierkantswortel van een getal r elk getal waarvan het kwadraat gelijk
is aan r. Dus x is een vierkantswortel uit r indien x2 = r.
1. r ∈ R+
Uit de grafiek van de functie met voorschrift f (x) = x2
r
√
− r
√
+ r
kunnen we afleiden dat enkel positieve reële getallen een reële vierkantswortel
hebben. Als r 6= 0 vinden we zelfs juist twee,
√ tegengestelde vierkantswortels.
√ We
+
noteren de positieve wortel uit r ∈ R als r, de negatieve wortel is dan− r.
Voorbeelden:
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
8 - 11
Module 8: Complexe getallen
√
• ± 25 = ±5 zijn vierkantswortels van 25, want (±5)2 = 25.
√
√
• ± 2 zijn vierkantswortels van 2, want (± 2)2 = 2.
2. r ∈ R−
0
Door de invoering van complexe getallen kunnen we het zoeken naar vierkantswortels uit strikt negatieve rëele getallen toch oplossen:
Daar i2 = −1, kan je snel berekenen dat (±5i)2 = −25, zodat je in C wel
twee tegengestelde vierkantswortels vindt van het negatief reëel getal:−25.
√
Algemeen geldt dat als r ∈ R+ , −r dus een negatief reëel getal is, ±i r twee
complexe vierkantswortels zijn van −r.
Opmerking 3.1
√
Het wortelteken
wordt uitsluitend gebruikt voor de positieve vierkantswortel
van een positief reëel getal, er bestaat geen teken voor een wortel uit een negatief
reëel getal.
√
−1 wordt niet toegelaten als notatie.
√
De notatie −1 zou immers bij onoplettend rekenwerk kunnen aanleiding geven tot
foutieve √
resultaten.
Immers 1 = 1.
√
√ √
Wanneer men echter de (in C niet-toegelaten) rekenregel “ ab = a b ”uit R+ toepast, bekomt men anderzijds
√
1=
p
√
√
√
(−1) · (−1) = −1 · −1 = ( −1)2 = −1.
De laatste gelijkheid volgt uit de definitie van een vierkantswortel.
Men zou dus kunnen besluiten dat 1 = −1, wat uiteraard niet waar is!
Om deze misverstanden te vermijden heeft men gekozen voor de notatie van Euler i
Oefeningen 3.1
Bereken de complexe vierkantswortels uit −36 en −5.
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
8 - 12
Module 8: Complexe getallen
3.2
Vierkantsvergelijking in R
De vierkantsvergelijking ax2 + bx + c = 0 (a ∈ R0 , b, c ∈ R) heeft altijd oplossingen3 in
C:
b
c
2
2
ax + bx + c = a x + x +
a
a
b
b2
b2
c
2
= a x +2· x+ 2 − 2 +
2a
4a
4a
a
"
#
2
b
b2 − 4ac
= a x+
−
2a
4a2
"
2 2 #
b
d
= a x+
−
met d een vierkantswortel uit b2 − 4ac = ∆
2a
2a
d
d
b
b
+
−
x+
= a x+
2a 2a
2a 2a
−b − d
−b + d
= a x−
x−
2a
2a
Besluit:
De vierkantsvergelijking ax2 + bx + c = 0 met a, b, c ∈ R met a 6= 0 heeft als wortels
x1 =
−b + d
−b − d
en x2 =
2a
2a
(∗)
waarbij d een vierkantswortel is uit de discriminant ∆ = b2 − 4ac.
• Als ∆ > 0 dan is d =
√
∆ en dan zijn de twee wortels reëel en verschillend.
• Als ∆ = 0 dan is d = 0 en dan zijn er twee gelijke reële wortels.
√
• Als ∆ < 0 dan is d = i −∆ en dan zijn de twee wortels complex toegevoegd.
Formule (∗) wordt de wortelformule genoemd. Er geldt ook
ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ) = ax2 − ax(x1 + x2 ) + ax1 x2 .
Zodat door gelijkstelling van de gelijknamige coëfficiënten van x
3
De oplossingen van veeltermvergelijkingen worden ook wortels genoemd
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
8 - 13
Module 8: Complexe getallen
• de som van de wortels: x1 + x2 = −
b
a
• het product van de wortels: x1 · x2 =
(1)
c
(2)
a
Oefeningen 3.2
1. Gebruik eigenschappen (1) en (2) om, zonder de wortelformule, de oplossingen
te vinden van
x2 + 5x + 6 = 0
2. Los op in C en geef de ontbinding in factoren, controleer ook (1) en (2).
(a) −x2 + x − 2 = 0
(b) 2x2 − 10x + 13 = 0
(c) 3x2 − 5x + 7 = 0
3. Zoek een vierkantsvergelijking met reële coëfficiënten waarvan 3 + 2i een wortel
is.
Vorig besluit is een illustratie van een algemeen geldende stelling die stelt dat elke
veelterm van de n-de graad met complexe coëfficiënten te ontbinden is als een product
van n veeltermen van de eerste graad en dus precies n complexe wortels (nulpunten)
heeft.
Stelling 3.2 (Hoofdstelling van de algebra: Stelling van Gauss)
Zij an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 + a0 een veelterm met coëfficiënten ai ∈ C.
Dan bestaan er z1 , z2 , . . . , zn ∈ C, zo dat
an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 + a0 = an (x − z1 )(x − z2 ) · · · (x − zn )
Bijgevolg zijn z1 , z2 , . . . , zn oplossingen (of wortels) van de vergelijking
an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 + a0 = 0
Zonder bewijs
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
8 - 14
Module 8: Complexe getallen
Dit is eigenlijk een spectaculair resultaat. Bij elk van de verschillende getallenverzamelingen N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, . . . vind je telkens een veelterm met coëfficiënten in
die getallenverzameling, maar zonder wortel in de verzameling zelf. Zo is x + 1 een
veelterm met coëffciënten in N maar zonder wortels in N, wel in Z. Maar ook daar vind
je bijvoorbeeld de veelterm 5x − 2 met coëfficiënten in Z maar zonder wortels in Z, wel
in Q. x2 − 2 is een veelterm met coëfficiënten in Q maar zonder wortels in Q, wel in
R . . . Men stelde zich dus uiteraard de vraag of er ook een veelterm te vinden was met
coëfficiënten in C maar zonder wortels in C. Gauss heeft dus het antwoord gegeven op
die vraag. In C is alles opgelost, elke veeltermvergelijking heeft er een oplossing! Men
is dus aan het einde van de zoektocht, men zegt dat C algebraı̈sch gesloten is. Men
hoeft geen grotere getallenverzameling meer te zoeken om veeltermvergelijkingen op te
lossen.
Let wel, de stelling verzekert ons enkel het bestaan van oplossingen, vele generaties
wiskundigen hebben zich het hoofd gebroken om expliciete formules te vinden voor de
wortels van veeltermvergelijkingen van hogere graad. Het is hun gelukt voor vergelijkingen tot en met de 4-de graad en uiteindelijk bewees Galois4 dat er geen algemene
formules kunnen bestaan voor 5-de en hogere graadsvergelijkingen!
4
De goniometrische of polaire vorm van complexe
getallen
We kennen de complexe getallen in hun cartesiaanse vorm a+bi. Dankzij de voorstelling
van a + bi in het complexe vlak, hebben we een visueel beeld gekregen van bepaalde
begrippen zoals zuiver reële en zuiver imaginaire getallen, van de modulus, van de som
van twee complexe getallen, van het tegengestelde en het toegevoegde complex getal.
Maar hoe zit het met het product van twee getallen, de n-de macht (n ∈ N) of de
inverse van een complex getal? Kunnen we die ook meetkundig terugvinden in het
complex vlak? Om dit probleem op te lossen voeren we voor een complex getal een
andere vorm in dan de cartesiaanse vorm.
Naast cartesiaanse coördinaten kunnen we ook poolcoördinaten5 gebruiken om een
punt in het vlak vast te leggen.
Een punt in het vlak is nu volledig bepaald door zijn modulus r = de afstand tot de
oorsprong van het vlak en zijn argument, d.i. de hoek θ (in radialen en slechts bepaald
op een geheel veelvoud van 2π na) die de overeenkomstige vector met de positieve reële
as maakt en die gemeten wordt in tegenwijzerzin (zie volgende figuur).
Stel z = a + bi, uit de goniometrie kennen we het verband tussen de cartesische
4
5
Evariste Galois (1811-1832): Frans wiskundige
Zie Module Poolcoördinaten
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
8 - 15
Module 8: Complexe getallen
coördinaten a en b en de poolcoördinaten r en θ, nl.
cos θ =
aanliggende zijde
schuine zijde
en
sin θ =
overstaande zijde
schuine zijde
a
r
en
sin θ =
b
r
cos θ =
R
6
• z = a + bi = r(cos θ + i sin θ)
b = r sin θ
r = |z|
θ
-
a = r cos θ
R
Opmerking:
Indien z = 0, stellen we per conventie θ = 0 + 2kπ, met k ∈ Z. Er geldt
z = a + bi = r(cos θ + i sin θ)
Deze laatste voorstelling van z noemt men de polaire of goniometrische voorstelling. Let op: omdat θ niet uniek bepaald is, heeft elk complex getal dus
oneindig veel polaire voorstellingen!
In polaire vorm wordt de gelijkheid van complexe getallen:
r1 (cos θ1 +i sin θ1 ) = r2 (cos θ2 +i sin θ2 )
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
⇔
r1 = r2 en θ1 = θ2 +2kπ, met k ∈ Z
8 - 16
Module 8: Complexe getallen
4.1
Overgang van goniometrische vorm naar cartesische vorm
r, θ gekend
4.2
a = r cos θ
b = r sin θ
⇒
Overgang van cartesische vorm naar goniometrische vorm
De afleiding van volgende formules vind je in de module uit Zomercursus A: Poolcoördinaten.
r =
√
a2 + b 2
θ = arctan
a, b gekend
⇒
b
a
als a > 0
b
=
arctan
+π
a
als a < 0
= π/2
als a = 0 en b > 0
= −π/2
als a = 0 en b < 0
Oefeningen 4.1
Zoek de goniometrische schrijfwijze van volgende complexe getallen
1,
−1,
cos
i,
π
3π
+ i sin ,
4
4
4.3
−i,
cos
−1 − i,
√
3 + i,
√
− 3 + i,
π
π
− i sin
3
3
Voordelen van de goniometrische vorm
1. Het product van complexe getallen
De goniometrische vorm leent zich goed om het product van complexe getallen
uit te rekenen en meetkundig te interpreteren:
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
8 - 17
Module 8: Complexe getallen
Stel z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1 ) en z2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2 ), dan is
z1 z2 = r1 r2 (cos θ1 + i sin θ1 )(cos θ2 + i sin θ2 )
= r1 r2 [(cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2 ) + i(sin θ1 cos θ2 + cos θ1 sin θ2 )]
= r1 r2 [cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 )]
Besluit:
Eigenschap 4.1
Het product van twee complexe getallen heeft
• als argument: de som van de argumenten van de factoren
• als modulus: het product van de moduli van de factoren.
Kies twee getallen z1 , z2 in het complex vlak en zoek dan de voorstelling van hun
product z1 · z2 :
2. De inverse van een complex getal
Toepassing van de formule voor de inverse van een complex getal (p.2) op de
goniometrische schrijwijze levert volgende formule. (Ga dit na!)
[r(cos θ + i sin θ)]−1 =
1
[cos(−θ) + i sin(−θ)]
r
Eigenschap 4.2
De inverse van een complex getal heeft
• als argument: het tegengestelde argument
• als modulus: het omgekeerde van de modulus.
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
8 - 18
Module 8: Complexe getallen
Kies een z in het complex vlak en zoek dan de voorstelling van z −1 = z1 .
3. De macht van een complex getal
Vorige twee resultaten leiden tot volgende formule gekend als:
Eigenschap 4.3 (De formule van De Moivre )
Voor alle n ∈ Z geldt
[r(cos θ + i sin θ)]n = rn [cos(nθ) + i sin(nθ)]
Deze formule stelt ons in staat op een eenvoudige manier machten van complexe
getallen te berekenen door over te gaan naar hun goniometrische vorm.
Voorbeeld 4.4
√
√
3
3
( 3+i)3 = 2( 3/2+i 1/2) = 2(cos π/6+i sin π/6)
DeM oivre
=
23 (cos π/2+sin π/2) = 8
Dit zou je ook kunnen bekomen door gebruik te maken van het Binomium van
Newton. Maar als de macht veel groter is, wordt dit moeilijker.
Ook binomiaalvergelijkingen zijn met De Moivre op te lossen. Dit zijn vergelijkingen van de vorm: z n = a + bi met n ∈ Z.
Oplossingsmethode
• zet z en a + bi om in polaire vorm,
• pas de Moivre toe op het linkerlid en
• de gelijkheid van complexe getallen in polaire vorm.
Voorbeeld 4.5
Zoek alle vierdemachtswortels uit 1.
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
8 - 19
Module 8: Complexe getallen
We zoeken dus alle oplossingen van de binomiaalvergelijking z 4 = 1.
Stellen we z = r(cos θ + i sin θ). Verder weten we dat 1 = 1(cos 0 + i sin 0).
Door toepassing van De Moivre wordt de vergelijking nu:
r4 (cos 4θ + i sin 4θ) = 1(cos 0 + i sin 0)
Gelijkheid van complexe getallen in polaire vorm leert ons dat
r4 = 1 met r ∈ R+ en 4θ = 0 + 2kπ met k ∈ Z.
Zodat r = 1 en θ = kπ/2 met k ∈ Z.
Dit levert slechts vier verschillende wortels.
z1 = 1(cos 0 + i sin 0) = 1,
z2 = 1(cos π/2 + i sin π/2) = i,
z3 = 1(cos π + i sin π) = −1,
z4 = 1(cos 3π/2 + i sin 3π/2) = −i.
In het complex vlak liggen al deze wortels op de eenheidscirkel rond de oorsprong,
ze vormen de hoekpunten van een vierkant met één hoekpunt in het punt z = 1.
R
i
−1
1
R
−i
Merk op: dit voorbeeld kan je veel sneller oplossen door z 4 − 1 te ontbinden in
factoren. Immers
z 4 − 1 = (z 2 − 1)(z 2 + 1),
De nulpunten hiervan zijn inderdaad ±1, ±i.
Maar bij andere binomiaalvergelijkingen zoals bijvoorbeeld z 5 = 1 werkt de eerste
methode volledig analoog, terwijl het ontbinden in factoren minder eenvoudig is.
Oefeningen 4.2
1. Bereken (−1 − i)20 .
2. Bereken (1 + i)21 .
√
3. Bereken (− 3 + i)5 .
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
8 - 20
Module 8: Complexe getallen
4. Neem een willekeurig getal z in het complex vlak. Teken nu z 2 , z 3 , z 4 , . . .
Hoe liggen alle punten als |z| < 1, |z| = 1 en |z| > 1? Voor welke z krijg je slechts
een eindige verzameling punten?
5. Zoek alle vijfdemachtswortels uit 1, vind hun voorstelling in het complexe vlak.
Kan je dit veralgemenen voor een willekeurige n-de machtswortel uit 1, met
n ∈ N?
6. Los de binomiaalvergelijking z 3 = 1 + i op. Stel de oplossingen voor in het
complex vlak.
7. Beschouw een z ∈ C met |z| = 1.
2
1+z
(a) Toon aan dat
= z.
|1 + z|
(b) Kan je dat resultaat ook meetkundig verklaren? Teken daartoe z (ergens
1+z
...?
op de eenheidscirkel), waar ligt dan 1 + z en
|1 + z|
8. Zoek alle complexe wortels van volgende vergelijking (x2 + 5)(x3 + x − 2) = 0.
9. Gebruik de formule van de Moivre en het Binomium van Newton6 om de goniometrische formules voor cos 3θ en sin 3θ te vinden in functie van cos θ en sin θ.
10. Beschouw een veelterm P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 + a0 met reële
coëfficiënten a0 , a1 , · · · , an .
Toon aan: als c ∈ C een wortel is van P (dus als P (c)) = 0), dan is ook de
complex toegevoegde c een wortel van P .
Hint: vul c in in P en gebruik de eigenschappen over complexe toevoeging om
aan te tonen dat P (c) = P (c) = 0 = 0.
Machten, producten van complexe getallen en binomiaalvergelijkingen kunnen we ook
berekenen met een derde vorm voor complexe getallen, die ook gebruik maakt van
poolcoördinaten.
5
De exponentiële vorm
Dit onderdeel wordt niet behandeld in Zomercursus A
Om twee complexe getallen in goniometrische vorm met modulus één te vermenigvuldigen moeten we hun argumenten optellen zoals blijkt uit de formule
(cos θ1 + i sin θ1 ) · (cos θ2 + i sin θ2 ) = cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 )
6
Zie module: Het sommatieteken en de faculteit.
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
8 - 21
Module 8: Complexe getallen
Dus als je de functie f : θ 7→ f (θ) definieert met f (θ) = cos θ + i sin θ, dan geldt
f (θ1 ) · f (θ2 ) = f (θ1 + θ2 ).
Deze eigenschap geldt ook typisch bij de exponentiële functie x 7→ ex .
Ook hier geldt voor x1 , x2 ∈ R
ex1 ex2 = ex1 +x2 .
De analogie is niet zo verwonderlijk, men kan een complexe exponentiële functie7
x 7→ ex definiëren en er zal blijken dat
eiθ = cos θ + i sin θ
met θ ∈ R.
De formule van Euler.
(1)
Zo komen we via de goniometrische vorm en de formule van Euler tot
a + bi = reiθ
de exponentiële vorm van het complex getal,
waarbij r de modulus is en θ een argument van het complex getal . Er geldt ook
r1 eiθ1 = r2 eiθ2
⇔
r1 = r2 en θ1 = θ2 + 2kπ met k ∈ Z.
Merk op dat alle complexe getallen van de vorm eiθ met θ ∈ R, in het complex vlak
liggen op de eenheidscirkel rond de oorsprong.
In exponentiële vorm leiden de formules voor product, inverse en een macht (De Moivre)
van een complex getal die we in vorig hoofdstuk vonden tot veel evidentere formules.
(a + bi)(c + di) = r1 eiθ1 r2 eiθ2 = r1 r2 ei(θ1 +θ2 )
(a + bi)−1 = (reiθ )−1 = r−1 ei(−θ)
(a + bi)n = (reiθ )n = rn ei(nθ)
met n ∈ Z
(2)
(3)
(4)
De exponentiële vorm stelt ons in staat op een eenvoudige manier binomiaalvergelijkingen op te lossen. Dit zijn vergelijkingen van de vorm: z n = a + bi.
Oplossingsmethode
• zet z en a + bi om in exponentiële vorm,
• pas formule (4) toe op het linkerlid en
• de gelijkheid van complexe getallen in exponentiële vorm.
7
Hiervoor verwijzen we naar cursussen Analyse.
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
8 - 22
Module 8: Complexe getallen
Oefeningen 5.1
Je kan Oefeningen 4.2 van 1. tot 6. opnieuw maken door de exponentiële vorm te
gebruiken.
Referenties
[1] P. Gevers, J. Anseeuw, J. De Langhe, G. Roels, H. Vercauter, Nieuwe Delta, 5/6
Complexe Getallen(6 - 8 uur), Leuven, Wolters Plantyn, 1994.
[2] E. Jennekens, G. Deen, Wiskunde ’68, Wiskunde 5, Deel A, Matrices en complexe
getallen, Antwerpen, De Sikkel, 1972.
[3] J. Quaegebeur, Basisbegrippen en basistechnieken uit de wiskunde, Leuven, Acco,
2004.
6
Oplossingen
1.1
1. (a) 19 − 4i
(b) −4 + 11i
(c) −13 − 13i
(d) 3 + 4i
(e) 5 − i
(f) 61
5 − 2i
(g)
29
5−i
(h)
13
2
(i) −
5
√
(j) 13
2.
3.
2.1
1.
5
2
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
8 - 23
Module 8: Complexe getallen
2.
√
3.1 ±6i en ± 5i
3.2
1. x1 = −2 en x2 = −3
2. (a) x1,2 =
(b) x1,2 =
(c) x1,2 =
√
√
√
1±i 7
1+i 7
1−i 7
2
,
de
ontbinding
is
−x
+
x
−
2
=
−1(x
−
)(x
−
)
2
2
2
5±i
, de ontbinding is 2x2 − 10x + 13 = 2(x − 5+i
)(x − 5−i
)
2
2
2
√
√
√
5±i 59
, de ontbinding is 3x2 − 5x + 7 = 3(x − 5+i6 59 )(x − 5−i6 59 )
6
3. x2 − 6x + 13 = 0
4.1
1 = cos 0 + i sin 0
−1 = cos π + i sin π
i = cos(π/2) + i sin(π/2)
−i = cos(−π/2) + i sin(−π/2)
√
3 + i = 2(cos(π/6) + i sin(π/6))
√
− 3 + i = 2(cos(5π/6) + i sin(5π/6))
cos(π/4) + i sin(3π/4) = cos(π/4) + i sin(π/4)
cos(π/3) − i sin(π/3) = cos(−π/3) + i sin(−π/3).
9 cos 3θ + i sin 3θ = (cos θ + i sin θ)3 = cos3 θ + 3(cos2 θ sin θ)i − 3 cos θ sin2 θ − (sin3 θ) i
Besluit: cos 3θ = cos3 θ − 3 cos θ sin2 θ en sin 3θ = 3 cos2 θ sin θ − sin3 θ
4.2
1. −1024
2. −1024 − 1024i
√
3. 16 3 + 16i
4.
5. De vijdemachtswortels zijn de hoekpunten van een regelmatige vijfhoek ingeschreven in de eenheidscirkel rond de oorsprong en met één hoekpunt in het punt
z = 1 van het complexe vlak. Voor een n-de machtswortel uit 1, wordt dit een
regelmatige n-hoek.
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
8 - 24
Module 8: Complexe getallen
6.
7.
√
√
−1 ± 7 i
8. ± 5 i, 1,
2
9.
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie