uitwerkingen bij werkblad 3

Uitwerkingen
Opdracht 8:
Zijden van een driehoek hebben een lengte.
Een lengte geef je aan met een getal bij een bepaalde eenheid (bijvoorbeeld meter of cm of
mm of de lengte van een stokje).
Als getallen altijd gehele getallen of breuken zijn, dan zijn lengten (hoe je de eenheid ook
kiest) altijd gehele getallen of breuken. We kunnen dan altijd een eenheid zo klein kiezen dat
de lengten van de zijden van een driehoek weergegeven worden in gehele getallen.
In opdracht 3 hebben we de eenheid zo gekozen dat |BE| en |AB| gehele getallen zijn.
Vervolgens hebben we geprobeerd de ggd te vinden van |BE| en |AB|.
We kwamen tot de conclusie dat ze geen ggd hebben.
Maar twee gehele getallen hebben altijd een ggd! (de kleinste is 1)
We komen dus tot een tegenspraak.
Kennelijk hebben we ergens een verkeerde aanname gedaan.
We hebben aangenomen dat we een eenheid konden vinden zodanig dat |AB| en |BE|
gehele getallen zijn.
Dat moet dus fout zijn. Er is geen eenheid te vinden, hoe klein ook, waarmee je zowel |AB|
als |BE| kan ‘meten’.
Als |BE| en |AB| niet als gehele getallen geschreven kunnen worden, dan kan de verhouding
|𝐵𝐸|
ook niet als een breuk geschreven worden. Toch is het een getal. In opdracht 4 hebben
|𝐴𝐵|
|BE|
1
we gezien dat |AB| = 2 +
1
2
√5 . Dit is dus een getal dat niet als breuk te schrijven is.
In opdracht 7 hebben we gezien dat ook √2 niet als breuk te schrijven is.
Dus er zijn meer getallen dan alleen gehele getallen en breuken. We noemen deze getallen
irrationale getallen.
De Pythagoreeërs noemden deze getallen ‘onmeetbaar’. Je kan van de driehoeken uit
opdracht 3 en opdracht 7 wel de lengte van één zijde meten, maar dan niet ook de lengte
van de andere zijde. Die lengte is geen getal, zeiden de Pythagoreeërs. Dit was schokkend,
want de Pythagoreeërs waren ervan overtuigt dat: Alles is getal. God had de wereld volgens
getalsverhoudingen geschapen.
Het was (waarschijnlijk) de Pythagoreeër Hippasos die tot de schokkende ontdekking kwam
dat niet alle lengten in ‘getallen’ konden worden gemeten. Hippasos heeft het waarschijnlijk
ontdekt op de manier zoals wij het ook hebben ontdekt op de werkbladen. Hippasos is
omgekomen op zee. Er wordt gezegd dat de Pythagoreeërs zo boos waren op Hippasos dat
ze hem overboord hebben gegooid. De schokkende ontdekking heeft een grote invloed
gehad op de verdere ontwikkeling van de wiskunde. Getallen werden gemeden. In de
Elementen van Euclides komen geen getallen voor.
Opdracht 9:
a.
|AP| = |AB| - |BP| = b-a
|𝑃𝑄| = 𝑏 − 𝑎 (zie bewijs hieronder)
Gegeven: |AB| = b, |BC|= |AC| = a , |BP|= a ,|AP| = b-a < ACB = 90° , < ABC =< BAC =
45° < APQ =< BPQ = 90° < BCQ =< BCA = 90°
Te bewijzen: ∆𝐴𝑃𝑄~∆𝐴𝐶𝐵 en |𝑃𝑄| = 𝑏 − 𝑎
Bewijs:
{ < QAP < CAB = 45° (gegeven) } => ∆𝐴𝑃𝑄~∆𝐴𝐶𝐵 (hh)
< ACB < APQ = 90° (𝑔𝑒𝑔𝑒𝑣𝑒𝑛)
{
∆𝐴𝑃𝑄~∆𝐴𝐶𝐵 (1) } => |𝐴𝑃| = |𝑃𝑄|
|BC| = |AC| (𝑔𝑒𝑔𝑒𝑣𝑒𝑛)
{ |𝐴𝑃| = |𝑃𝑄| (2 } => |𝑃𝑄| = 𝑏 − 𝑎
|𝐴𝑃| = 𝑏 − 𝑎
(1)
(2)
(3)
b. Te bewijzen ∆ PQB ≅ ∆ CQB en |AQ| = 2a-b
Bewijs:
|𝐵𝑃| = |𝐵𝐶| = 𝑎 (𝑔𝑒𝑔𝑒𝑣𝑒𝑛)
< 𝐵𝑃𝑄 =< 𝐵𝐶𝑄 = 90°
{
|𝐵𝑄| = |𝐵𝑄|
=> ∆ PQB ≅ ∆ CQB (ZZR) (4)
}
|𝐶𝑄| = | 𝑃𝑄| = 𝑏 − 𝑎
((4)𝑒𝑛 (3))
|AQ| = |AC|– |CQ|
{
|𝐴𝐶| = 𝑎 (𝑔𝑒𝑔𝑒𝑣𝑒𝑛)
} => |AQ| = a-(b-a) =2a-b (5)
c. Je krijg één van deze twee figuren.
d. We nemen aan dat a en b gehele getallen zijn en volgen de procedure om de ggd te
vinden.
We beginnen met de twee getallen a en b.
Aftrekken en de twee kleinste overhouden geeft: b-a en a.
Weer aftrekken en de twee kleinste overhouden geeft: a-(b-a) en b-a of 2a-b en b-a
Na twee stappen in de procedure hebben we dus de getallen: 2a-b en b-a
Hierboven hebben we bewezen dat deze getallen gelijk zijn aan |AQ| en |AP| en dat
∆𝐴𝑃𝑄~∆𝐴𝐶𝐵.
|AQ| en |AP| zijn niet gelijk aan elkaar dus om de ggd te vinden moeten we de procedure
voortzetten.
Maar |AQ| en |PQ| zijn precies de lengten van de zijden van een driehoek die gelijkvormig is
met ∆𝐴𝐵𝐶. Als we de procedure voortzetten dan komen we steeds weer op getallen die
overeenkomen met de lengten van (nog kleinere) driehoeken die gelijkvormig zijn met
∆𝐴𝐵𝐶. Hoe lang we ook doorgaan. De getallen zullen (wel steeds kleiner, maar) nooit gelijk
aan elkaar worden. We zullen dus nooit een ggd vinden van a en b. a en b hebben dus geen
ggd.
Dus a en b zijn geen gehele getallen. Dus
𝑏
𝑎
is niet te schrijven als een breuk.
𝑏
We weten ook (met Pythagoras bijvoorbeeld) dat = √2 .
𝑎
Dus √2 is geen breuk.
Opdracht 10
a. Je vind het bijvoorbeeld op deze manier:
a’ = b-a
b’ = 2a-b
(1)
(2)
uit (1) volgt:
a = b – a’ substitueer dit in (2) => b’ = 2(b- a’)-b = b-2a’ => b=2a’ + b’Dit
substitueren in de uitdrukking voor a geeft: a = (2a’ + b’) – a’ = a’+ b’
b.
voor de driehoek die één stap groter is geldt:
Korte zijde = 1+1= 2
lange zijde = 2.1+1 = 3
b/a = 3/2= 1,5
voor de driehoek die nog een stap groter is geldt:
Korte zijde = 2+3= 5
lange zijde = 2.2+3 = 7
b/a = 7/5= 1,4
voor de driehoek die nog een stap groter is geldt:
korte zijde = 5+7 = 12
lange zijde = 10+7=17
korte zijde is 12+17= 29
lange zijde = 2.12+17 = 41
17/12 = 1,41666667
41/29= 1,4137931
Je ziet dat bij elke stap b/a dichter bij de benadering van √2 op je rekenmachine is.