Wiskunde waar Muziek in Zit

Profielwerkstukken Wiskunde
Universiteit Twente
Wiskunde waar Muziek in Zit
Onderwerp voor profielwerkstuk VWO
G. Meinsma,
M. Vellekoop
Waarom klinkt de piano zoals hij kinkt? Waarom heeft
een piano 12 toetsen per octaaf en niet 10 of 11 of wat voor
aantal dan ook? En waarom vind je in sommige volksmuziek
5 tonen in een octaaf? Deze opdracht helpt je op deze vragen
met behulp van wiskunde zelf een antwoord te vinden. En
daarbij zul je ook leren dat elke moderne piano pas goed
gestemd is als hij hardstikke vals is.
Bloed en valsheid
Dit alles heeft te maken met de enige wiskundige waar iedereen op de middelbare school
wel eens van gehoord heeft: Pythagoras. Je kent hem van de beroemde stelling maar wat je
wiskundeleraar je nog niet verteld heeft is dat in zijn opdracht een leerling (laten we zeggen,
een middelbare schoolleerling) nogal bloedig vermoord is toen deze durfde te beweren dat de
wortel uit 2 niet geschreven kan worden als een breuk van twee natuurlijke getallen.
Opdracht 1. Zoek een bewijs (zoek op internet, bel iemand op een universiteit, lees
oude afleveringen van ‘Pythagoras’ of ga lekker zelf knutselen) dat de wortel uit 2 niet
geschreven kan worden als een breuk van twee natuurlijke getallen. Laat het bewijs niet
aan je leraar zien, want dat is dus gevaarlijk!
Het was de filosoof en wiskundige Pythagoras van Samos
(569 voor Christus tot 475 voor Christus) die voor het
eerst een relatie wist te leggen tussen reine tweeklanken
en getalverhoudingen. Hij kwam erachter dat twee tonen
van frequenties f 1 en f 2 mooi samenklinken als f 1 zich verhoudt tot f 2 als twee kleine gehele getallen. Dit is makkelijk
experimenteel te verifiren. Neem twee snaren op een gitaar
en zorg ervoor dat ze dezelfde toon produceren, dat wil
zeggen dat ze een gelijke spanning hebben. Als je nu een
van de twee snaren precies in het midden afknijpt dan zal
blijken dat de klanken van de lange en de afgeknepen snaar
mooi samenklinken. Dit is een voorbeeld van een tweeklank
waar de frequenties zich verhouden als 1 staat tot 2.
Profielwerkstukken Wiskunde
Universiteit Twente
Opdracht 2. Een toon met frequentie f is te representeren met de grafiek van een sinusfunctie, en wel de functie sin(2π f t), met t de tijd. Om nu te laten zien dat sommige tonen
samen wel mooi harmoniren en andere niet ga je de grafieken van de volgende functies
tekenen en opnemen in je werkstuk:
sin(2πt) − 0.8 sin(2π2t)
voor, zeg, t = 0 tot en met t = 25, en
sin(2πt) − 0.8 sin(2π 100
51 t)
Wat valt je op? Bedenk nu zelf een samenstelling van twee sinussen met verschillende
frequenties die mooi harmonieert en laat zien dat dat niet meer zo is als je de verhouding
tussen de frequenties ook maar een beetje verandert.
Zoals je gezien
hebt zien sommige tweeklanken
er (op papier in ieder
geval) stukken harmonieuzer uit dan
andere. De niet zo
harmonieuze combinaties noemen we
‘vals’.
Denk bijvoorbeeld aan het
verschil tussen de
combinatie Marco
Borsato en Sita versus Frans Bauer en
Marianne Weber!
Met de monsterhit:
Ik ween
met jou
om de
Wiskunde
Toonladders
Een piano heeft
maar een eindig
aantal toetsen.
Opdracht 3. Ga dit na! ,
We kunnen dus niet iedere frequentie reproduceren op de piano want daar zijn er oneindig
veel van. Anders gezegd: een traploze toonladder kan gewoon niet op de piano. We moeten
dus bij het stemmen van de piano onze toevlucht nemen tot een eindige toonladder. Maar dat
is niet erg want volgens Pythagoras klinken verreweg de meeste frequenties niet mooi samen.
Profielwerkstukken Wiskunde
Universiteit Twente
Het ligt nu dus voor de hand om de piano zo te stemmen dat we de meest reine tweeklanken
wel kunnen vormen. De twee reinste tweeklanken zijn het octaaf, waar de frequenties zich
verhouden als 1-staat-tot-2,
octaaf:
f1 : f2 = 1 : 2
en de reine kwint waar de frequenties zich verhouden als 2-staat-tot-3,
kwint: f 1 : f 2 = 2 : 3.
De bekende toonladder van Pythagoras is nu een speciale toonladder die je verkrijgt door aan
de hand van een enkele frequentie steeds weer nieuwe kwinten en octaven aan de ladder toe
te voegen wat dus betekent dat je een zekere basisfrequentie herhaaldelijk met 2 of anderhalf
vermenigvuldigt. De constructie van deze toonladder van Pythagoras is simpel: in eerst
instantie vergeet je octaven en vorm je elf veelvouden van de kwintverhouding anderhalf. Dit
geeft het rijtje frequentieverhoudingen
(1,
3 32
311
, 2 , . . . 11 ).
2 2
2
Opdracht 4. Laat zien dat deze rij frequenties meer dan zes octaven bestrijken.
Nu reduceer je de twaalf frequenties uit bovenstaande formule met octaven (dat wil zeggen,
je deelt de frequenties een aantal keer door twee) en dat doe je net zolang tot ze in het interval
[3/4,3/2] komen te liggen. De keuze voor dit interval is tamelijk willekeurig, overigens.
Opdracht 5. Ga na welke 12 frequenties je dan krijgt en vul ze in op de 12 pianotoetsen
van onderstaand plaatje.
Dit is een ouderwetse manier om een piano te stemmen. De moderne piano is echter niet
zo gestemd. Er is namelijk nog zoiets als transponeren en dat brengt roet in het reine eten en
zorgt ervoor, zo zal blijken, dat je een moderne piano maar beter vals kan stemmen!
Profielwerkstukken Wiskunde
Universiteit Twente
Transponeren en Logaritmen
Wanneer ervaren mensen twee liedjes als gelijk?
Een liedje kun je opvatten als het achtereenvolgens
spelen of afspelen van een rijtje frequenties,
( f 1 , f 2 , f 3 , . . . , f n ).
(1)
We maken ons hier niet druk om ritmes en boventonen (dat doen Frans en Marianne tenslotte ook
niet!). Als je nu dit liedje op een cassette op zou
nemen en versneld af zou spelen dan worden alle
frequenties twee keer zo groot, en het versnelde
liedje wordt dus gekarakteriseerd door het rijtje
frequenties
( 2 f 1 , 2 f 2 , 2 f 3 , . . . , 2 f n ).
(2)
Echter het versneld afgespeeld liedje ‘Als zigeunerogen tranen’ (de binnenkort op single uit te
brengen kraker van Marianne en Frans) herken je dan helaas nog steeds als zodanig en we
noemen de liedjes (1) en (2) dan ook gelijk. In het algemeen is het zo dat we twee liedjes
( f 1 , f 2 , . . .) en (g1 , g2 , . . .) als gelijk ervaren indien er een λ > 0 bestaat waarvoor
( f 1 , f 2 , f 3 , . . .) = (λg1 , λg2 , λg3 , . . .).
Dit gelijk-zijn laat zich mooi illustreren op een logaritmische schaal. Zo zijn de liedjes
( f 1 , f 2 , f 3 ) en (g1 , g2 , g3 ) van onderstaande figuur gelijk omdat ze op de logaritmische schaal
een constante verschillen.
y = 2 log( f )
y
f1 f2 f3
g1 g2 g3
f
Profielwerkstukken Wiskunde
Universiteit Twente
kam
frets
Opdracht 6. Zoek een gitaar en meet de afstanden tussen de kam en alle verschillende
frets (zie plaatje). Zet vervolgens deze afstanden uit (op de x-as het nummer van de fret,
dus 1, 2, 3 etcetera en op de y-as de 2 log van de afstand tot de kam van die fret). Wat
valt je op, en bedenk een wiskundige formule a(k) voor de afstand van de kam tot fret
nummer k.
Een van de redenen dat de piano zo populair is is dat je er liedjes op elke gewenste toonhoogte kunt inzetten. Is het liedje te laag voor de zanger—geen nood—dan zet de pianist
gewoon wat hoger in. Dit hoger of lager spelen van de muziek waarbij ingezet kan worden op
elke pianotoets heet het vrijelijk kunnen transponeren van de muziek. Het wiskundige model
hiervoor is (met f k de frequentie behorende bij toets nummer k):
Stelling 1 (Transponeren). Op een piano kan elk liedje vrijelijk worden getransponeerd dan
en slechts dan als de verhouding van opeenvolgende frequenties constant is:
f k+1
=γ
fk
voor zekere γ > 1 onafhankelijk van k.
Opdracht 7. Bewijs dit!
Een stemming van muziekinstrumenten zodanig dat f k+1 / f k constant is, heet een evenredig
zwevende stemming. Sinds ongeveer 100 jaar worden piano’s altijd evenredig zwevend
gestemd. Blijkbaar is de behoefte om te kunnen transponeren groot.
In het geval dat je het octaaf in 12 tonen verdeelt—de ons bekende piano’s—krijg je de
volgende frequentieverdeling:
1
20
6
3
2 12
2
2 12
4
2 12
5
2 12
10
8
2 12
2 12
2 12
2 12
7
2 12
9
2 12
11
2 12
Profielwerkstukken Wiskunde
Universiteit Twente
Dat hier de verhouding van opeenvolgende frequenties 21/12 is volgt uit het feit dat we dan
na precies 12 tonen een octaaf verder zijn: (21/12 )12 = 2. Merk overigens
op dat dit betekent
√
dat de eerste en de zevende toets precies een verhouding 26/12 = 2 verschillen. Dus op de
piano kun je worteltrekken. Iets dat je natuurlijk altijd al hebt willen weten.
Blijft over de kwestie waarom we een octaaf zo graag in 12 tonen verdelen en niet in 11 of
13 of wat dan ook. Een aardige verklaring is als volgt:
Daarom bestaat een octaaf uit 12 tonen!
De keuze van 12 komt voort uit de behoefte om reine octaven en kwinten te kunnen spelen
op een evenredig zwevend gestemde piano. Helaas gaat dat niet zomaar. Als we bijvoorbeeld
octaven willen kunnen spelen op een zo’n piano, dan moet noodzakelijkerwijs gelden dat
f k+1
= 21/n
fk
met n het aantal tonen per octaaf. Het gevolg hiervan is dat elk tweetal tonen f m en f m+k op
de piano een frequentieverhouding moet hebben van
f m+k
= 2k/n .
fm
Stelling 1 (valse kwinten). Op geen enkele evenredig zwevend gestemde piano met octaven
zijn reine kwinten te vormen.
Opdracht 8. Bewijs dit!
Dit is slecht nieuws. Het zegt dat moderne piano’s
inherent vals zijn! We kunnen reine kwinten op z’n
best benaderen op moderne piano’s. Voor zo’n benadering zoeken we k en n zodanig dat 2k/n ≈ 3/2.
Anders gezegd we zoeken k, n ∈ N waarvoor
k
≈
n
2
log 3/2 = 0, 584962500721156...
Profielwerkstukken Wiskunde
Universiteit Twente
Opdracht 9. Bereken met behulp van je casio de breuken k/n voor alle k en n tussen
1 en 100. Vergelijk deze (automatisch: je kunt toch programmeren op die casio?) met
2
log(3/2) en schrijf de beste 10 benaderingen op. Hoeveel toetsen moet je per octaaf
hebben voor de beste benadering? En voor de tweede, derde? Tiende?
Hardstikke leuk dat je nu wat goede breuken gevonden hebt maar wiskundigen houden niet
zo van ‘zomaar proberen’. Daarom gaan we nu over naar het stuk dat Marianne en Frank altijd
zo moeilijk vonden maar wat jij met de wiskundekennis die je al hebt goed kunt begrijpen.
Om geschikte k en n te vinden is het slim om 2 log(3/2) te ontwikkelen in een zogenaamde
kettingbreuk. Een kettingbreuk van een getal x ≥ 0 is een representatie van dat getal als een
repeterende breuk van de vorm
x = n0 +
1
n1 +
1
n2 +
,
1
n3 + · · ·
met n0 een geheel getal, en alle andere n1 , n2 , . . . strict positieve gehele getallen. Een kettingbreuk kan eindig zijn (in welk geval x een rationaal getal is) maar kan ook oneindig zijn
(als x niet rationaal is). Nu is het zo dat de getallen n j makkelijk te vinden zijn, wat x ook is.
Ga maar na: omdat het rechter lid van
x − n0 =
1
n1 +
1
n2 +
(3)
1
n3 + · · ·
hoogstens 1 is (want n1 ≥ 1) kiezen we voor n0 de afronding van x naar het beneden (notatie:
n0 = bxc). Nu n0 bekend is, kennen we dus het linker lid van (3) maar daarmee ook zijn
inverse x1 ,
1
1
= n1 +
x − n0
1
| {z }
n2 +
n3 + · · ·
x1
Net zo volgt nu dat n1 = bx1 c. Zo doorgaand krijgen we
n0 = bxc,
n1 = bx1 c,
n2 = bx2 c,
1
,
x − n0
1
x2 =
,
x1 − n 1
1
x3 =
etcetera.
x2 − n 2
x1 =
Profielwerkstukken Wiskunde
Universiteit Twente
Opdracht 10. Bepaal de eerste 5 termen n j van de kettingbreuken van
1. x = 2/7
2. x = π
3. x =
1
2
+
1
2
√
5
4. x = 2 log(3/2)
Het derde getal in dit rijtje heet de gulden snede (Engels: golden section) een getal
beroemd om zijn esthetische geometrische interpretatie. De Grieken waren er gek op.
Kun je aangeven waarom de kettingbreuk van de gulden snede repeteert?
Kettingbreuken gaan in de regel oneindig lang door.
Door nu simpelweg kettingbreuken af te breken na een
aantal termen, krijg je rationale benaderingen van x. Bijvoorbeeld na drie termen,
x ≈ n0 +
|
1
n1 +
{z
1
n2 +
1
n3
}
rationale benadering
Nu kan men aantonen dat dergelijke benaderingen heel
goed zijn. Zo geldt er:
Stelling 2. |x − k/n| ≤ 1/n2 voor elke afgebroken kettingbreuk k/n van x.
Opdracht 11. Laat zien dat dat inderdaad klopt voor je benaderingen van π en de gulden
snede.
Opdracht 12. Bereken de eerste 6 afgebroken kettingbreuken van 2 log(3/2) en schrijf
ze als rationale getallen. Komen deze rationale getallen in je lijst van opdracht 9 voor?
Opdracht 13. Beschrijf in eigen bewoordingen waarom de keuze voor 12 toetsen per
octaaf een geschikte keuze is (en dus dat 11 of 13 of wat dan ook minder geschikt is).
Ten slotte merken we nog op dat de keuze voor 12 echt een keuze is en dat in sommige
volksmuziek (met name Aziatische) men soms met 5 tonen per octaaf werkt. Het is ook
denkbaar om het octaaf in veel meer stukken te verdelen dan 12, maar dan moet het toetsenbord wel heel breed worden, of de toetsen moeten heel smal worden of worden gecombineerd (met een soort ’shift’-toets). Nu denk je natuurlijk dat niemand zoiets ooit geprobeerd
Profielwerkstukken Wiskunde
Universiteit Twente
heeft. Nou, dat heb je dan mooi mis. Zo vervaardigde de fransman Bosanquet in 1876 een
harmonium met 53 toetsen per octaaf! Ga er maar aanstaan:
Bosanquet’s harmonium (1876)
met zijn 53 toetsen per octaaf