Nina – Wisselwerking en beweging

Wisselwerking & beweging
5 Arbeid en energie
6 Vermogen en snelheid
KLAS 5HAVO
WISSELWERKING & BEWEGING
Over deze lessenserie
De lessenserie Wisselwerking & beweging voor klas 5 VWO gaat over de
bewegingen van voorwerpen – van hemellichamen als planeten en kometen
tot alledaagse voorwerpen als auto’s, fietsen en rolstoelen – en over de
oorzaken van die bewegingen.
In dit vierde hoofdstuk van de lessenserie – Arbeid en energie – gaat het
over het beschrijven, verklaren en voorspellen van bewegingen met
begrippen als arbeid en energie.
Colofon
Auteur:
Bijdragen:
Vormgeving:
Redactie:
Versie
Kees Hooyman
Peter Dekkers, Marjolein Vollebregt, Koos Kortland
Koos Kortland
Ed van den Berg, Harrie Eijkelhof, Maarten Pieters, Chris
van Weert, Fleur Zeldenrust
27-1-2011
Copyright
© Stichting natuurkunde.nl, Enschede 2009
Alle rechten voorbehouden. Geen enkele openbaarmaking of
verveelvoudiging is toegestaan, zoals verspreiden, verzenden, opnemen in
een ander werk, netwerk of website, tijdelijke of permanente reproductie,
vertalen of bewerken of anderszins al of niet commercieel hergebruik. Als
uitzondering hierop is beperkte openbaarmaking of verveelvoudiging
toegestaan mits uitsluitend bedoeld voor eigen gebruik of voor gebruik in het
eigen onderwijs aan leerlingen onder vermelding van de bron.
Voor zover wij gebruikmaken van extern materiaal proberen wij
toestemming te verkrijgen van eventuele rechthebbenden. Mocht u
desondanks van mening zijn dat u rechten kunt laten gelden op materiaal dat
in deze reeks is gebruikt, dan verzoeken wij u contact met ons op te nemen:
[email protected]
2
Lesplanning
In de lesplanning is een verdeling gemaakt in klassikale activiteiten
(ontdekken), toepassingsopgaven en keuzeopdrachten (verdieping).
les
dag
Onderwerp
ontdekken
toepassen
verdieping
1
1 Energiesoorten en arbeid
1 t/m 4
5 t/m 8
2
2 Bewegingsenergie
9 en 10
11, 12, 13
14 of 15
3
3 Energievergelijking
16
17, 18, 19
20, 21 of 22
4
4 Brandstofverbruik
23, 24, 25
26, 27, 28
5
5 Afronden energiesoorten
29 en 30
31, 32, 33
6
6 Vermogen en snelheid
34 t/m 37
38, 39, 40
7
7 Sporten en topsnelheid
41 en 42
43 en 44
8
8 Top snelheid berekenen
45, 46, 47
48, 49
50, 51 of 52
9
9 Toepassingen en opgaven
53 t/m 56
57, 58, 59
60 of 61
10
3
Inhoud
1
Arbeid en energiesoorten
Energieomzettingen en zwaarte-energie
2
Bewegingsenergie
Zo hard mogelijk
10
10
3
Energievergelijking
Zwaarte-energie en bewegingsenergie
14
14
4
Brandstof besparen in het verkeer
Zo zuinig mogelijk
18
18
5
Afronden energiesoorten
Energiesoorten en energievergelijking
23
23
6
Sporten op topsnelheid
Sportprestaties en vermogen
26
26
7
Sporten op topsnelheid
Keuzeles - Verschillen in topsnelheid
32
32
8
Sporten op topsnelheid
Topsnelheid berekenen
36
36
9
Sporten op topsnelheid
Toepassingen en opgaven
41
41
Bijlage 1 – Formules Wisselwerking & Beweging
4
5
5
51
1 Arbeid en energiesoorten
Energieomzettingen en zwaarte-energie
Wat gaan we doen?
Bewegingen worden veroorzaakt door krachten. Bij bewegingen, en vooral in
situaties waar topprestaties geleverd worden, spelen ook arbeid en energie
een rol. In dergelijke situaties is het vaak de vraag hoeveel energie er
geleverd kan worden, opgeslagen is of hoeveel er omgezet wordt.
In deze paragraaf zijn de kernvragen:
 Welke energiesoorten ken je?
 Welke factoren hebben invloed op hoeveel energie er omgezet wordt?
Oriëntatie
1
Energiesoorten
Op de foto’s in figuur 34 zie je verschillende situaties waarbij sprake is van
energiesoorten en energieomzettingen.
Figuur 34 – Verschillende situaties waarbij energie een rol speelt.
Energie gaat nooit ‘verloren’. In de bovenstaande situaties is dan ook steeds
sprake van het omzetten van de ene energiesoort in de andere.
a Noteer zoveel mogelijk verschillende energiesoorten die in deze situaties
van toepassing zijn.
b Welke andere energiesoorten ken je nog?
c Wat weet je al van die energiesoorten? Vul in de onderstaande tabel zo
goed mogelijk in.
Energiesoort
Berekenen
Hangt af van
Elektrische energie
E  Pt
Het vermogen van het apparaat en de tijd.
Kernenergie
E
De massa die omgezet wordt.
Chemische energie
De hoeveelheid brandstof en de verbrandingswarmte
(in MJ/m³ of MJ/kg).
Bewegingsenergie
Zwaarte-energie (op aarde)
5
2
Energieomzetting en kracht
In situaties waarbij sprake is van energie-omzettingen is het handig om eerst
de verschillende soorten energie en de omzettingen in beeld te brengen.
Het onderstaande voorbeeld is van een fietser die met een constante snelheid
op een vlakke weg rijdt.
bewegingsenergie
chemische energie
(in de spieren)
warmte in het lichaam
(dan ga je zweten)
Figuur 35 – Energieschema van een fietser op een vlakke weg.
a Welke energiesoort hoort in het lege vakje?
Bij elke omzetting van energie is er sprake van een kracht die de oorzaak is
van de energie-omzetting.
b Welke kracht zorgt voor het omzetten van de bewegingsenergie in een
andere energiesoort?
c Geef een ander voorbeeld van een kracht die energie omzet.
d Met welke energiesoorten kun je hier het rendement berekenen?
3
Arbeid bij sport
Op de foto’s zie je drie sporters die proberen een maximale prestatie te
leveren. De hockeyer bukt zich diep om een goede sleeppush uit te voeren.
De speerwerpster houdt, vlak voordat zij de worp inzet, de speer zo ver
mogelijk achter zich. De hardloper neemt een flinke aanloop.
Bij alle sporters speelt niet alleen de kracht maar ook de verplaatsing een
belangrijke rol om een maximale prestatie te leveren.
a Geef bij elke sporter aan om welke verplaatsing(en) het gaat.
b Leg uit welk voordeel een grote verplaatsing oplevert.
De drie sporters proberen allemaal zoveel mogelijk energie in beweging om
te zetten. De energie die omgezet wordt noemen we arbeid.
c Van welke twee grootheden hangt de arbeid die de sporters leveren dus
af?
Figuur 36 – Maximale prestaties
bij hockey, speerwerpen en
verspringen.
6
4
Een helling om iets op te tillen
Soms wordt een helling gebruikt om iets zwaars op te tillen, zoals een gevuld
winkelwagentje dat langs een helling omhoog wordt geduwd. Bij deze helling
wordt een hoogteverschil van 50 cm overbrugd in een afstand van 5,0 m (een
helling van 10%). De wrijvingskracht is te verwaarlozen.
De arbeid die geleverd moet worden hangt af van de kracht en de afstand:
W  F s
De zwaartekracht op het karretje is 180 N.
a Bereken hoeveel arbeid er verricht moet worden om het winkelwagentje
50 cm omhoog te tillen.
5,0 m
50 cm
α
Fz = 180 N
Figuur 37 – Een winkelwagentje
langs een helling omhoog duwen. De
zwaartekracht is op schaal
getekend.
Om het wagentje met constante snelheid langs de helling omhoog te duwen
is een kleinere kracht nodig. De afstand is 10 zo groot geworden, is de
kracht dan 10 zo klein geworden?
b Ga na dat de hellingshoek α hier 5,7° is, en bereken daarmee de
component van de zwaartekracht langs de helling
c Is de benodigde kracht inderdaad 10 zo klein geworden?
d Bij het omhoog duwen is 90 J arbeid verricht. Waar is die energie
gebleven?
Begrippen
Energieomzettingen
Verplaatsing
Arbeid
Samenvatting
Arbeid en energie, kracht en verplaatsing
Als er energie wordt omgezet door een kracht dan noemen we dat arbeid.
Omdat de arbeid die de kracht levert gelijk is aan de hoeveelheid energie die
wordt omgezet, is de eenheid van arbeid ook joule.
Er kan alleen sprake zijn van arbeid als er sprake is van de verplaatsing van
een voorwerp door een kracht. Als iets stil staat dan wordt er ook geen arbeid
verricht. Een kracht zorgt voor het omzetten van energie. De arbeid hangt af
van de grootte van de kracht en de verplaatsing:
W  F s
In deze formule is W de arbeid in joule, F de kracht in newton en s de
verplaatsing in meter.
Zwaarte-energie
Als een zwaar voorwerp opgetild wordt dan moet er arbeid verricht worden.
De energie wordt ‘opgeslagen’ in het opgetilde voorwerp en komt weer vrij
zodra het voorwerp naar beneden beweegt. Een toepassing daarvan is een
waterkrachtcentrale.
De zwaarte-energie is gelijk aan de arbeid die wordt verricht op het voorwerp
op te tillen, de arbeid is het product van de zwaartekracht en de verplaatsing:
Ez  m  g  h
7
5
6
Figuur 38 – Het optrekken van
het Millenniumrad.
Begripstest
Geef bij de onderstaande beweringen aan of de uitspraak klopt.
a Elke kracht zorgt voor het omzetten van energie.
ja / nee
b De arbeid van een constante kracht is evenredig met de
verplaatsing.
ja / nee
c De zwaarte-energie is evenredig met de massa en omgekeerd
evenredig met de hoogte.
ja / nee
d Als een voorwerp naar beneden valt wordt er zwaarte-energie
omgezet in bewegingsenergie.
ja / nee
e De arbeid van de wrijvingskracht is altijd negatief.
ja / nee
Millenniumrad
Aan de oever van de Theems in Londen werd voor de start van het jaar 2000
een enorm reuzenrad gebouwd: het Millenniumrad.
Figuur 39
Op de foto kun je zien dat het rad met één kabel omhoog werd getrokken. De
kabel was in het zwaartepunt Z van het rad vastgemaakt en liep via een
katrol op een mast naar een motor op de grond. Tijdens het omhoogtrekken
werd het rad aan één kant op de grond vastgehouden, zodat het om dit punt
kon kantelen. De tekening geeft de situatie schematisch weer.
a Leg uit dat de spankracht in de kabel tijdens het optillen niet constant
was.
b Leg uit dat de arbeid nu niet berekend kan worden met W = Fs
Het rad heeft een massa van 1,5·10 6 kg. De zwaartekracht op het rad is met
een pijl in de figuur aangegeven. Als het rad rechtop staat heeft het een
hoogte van 154 m, het zwaartepunt zit in het midden.
c Bereken de hoogte van het zwaartepunt als het rad rechtop staat.
d Bereken hoeveel arbeid de motor heeft moeten verrichten om het rad op
te hijsen.
8
7
Kurkentrekker
Bij een hefboom zoals een kurkentrekker wordt ook arbeid verricht. In figuur
12 is te zien dat de verplaatsing van de twee armen veel groter is dan de
afstand waarover de kurk omhoog wordt getrokken.
a Leg met behulp van arbeid uit dat de krachten van de handen veel kleiner
zijn dan de kracht die nodig is om de kurk uit de fles te trekken.
Elke hand oefent een kracht van 76 N uit in de bewegingsrichting van het
handvat. Bij het ontkurken legt elke hand een afstand van 7,0 cm af.
b Bereken de arbeid die beide krachten samen leveren.
Figuur 40 – Bij een
kurkentrekker gaat de kurk
maar een klein stukje omhoog.
De uiteinden van de armen
leggen een veel grotere afstand
af.
De kurk wordt tijdens het ontkurken 2,4 cm omhoog getrokken.
c Bereken met behulp van arbeid hoe groot de kracht was waarmee de kurk
uit de fles getrokken werd.
d Leg in je eigen woorden uit waarom je hier de kracht op de kurk kunt
berekenen met de verhouding van de verplaatsingen.
8
Inzamelingsactie
Alpe d'HuZes is het wielerevenement waarbij deelnemers individueel of in
teamverband minimaal zes maal op één dag de Alpe d'Huez beklimmen. Niet
zomaar, maar om geld op te halen voor het Alpe d'HuZes onderzoeksfond bij
KWF Kankerbestrijding. In 2009 werd een bedrag van 5 miljoen euro
opgehaald.
Bij een van de deelnemers bedraagt de totale massa 93 kg (renner+fiets). De
beklimming heeft een hoogteverschil van 1061 m.
a Bereken hoeveel de zwaarte-energie toeneemt bij één beklimming van de
berg.
De totale lucht- en rolwrijving tijdens de klim is 5,6 N.
b Bereken hoeveel energie er verloren gaat aan rol- en luchtwrijving tijdens
één beklimming.
c Bereken hoeveel arbeid de spieren in totaal moeten leveren om zes keer
de berg te beklimmen
verhoudingstabel rendement
Ein = . . . .
Enuttig = . . . .
100%
Van de energie die de spieren verbruiken gaat 75% verloren aan warmte,
slechts 25% wordt gebruikt om arbeid te verrichten. De energie die spieren
verbruiken wordt voor uitgedrukt in kcal. Daarbij geldt: 1000 kcal = 4,2 MJ.
d Bereken hoeveel kcal verbruikt wordt voor de zes beklimmingen.
9
2 Bewegingsenergie
Zo hard mogelijk
Wat gaan we doen?
In veel situaties is een zo hoog mogelijke snelheid belangrijk om grenzen te
verleggen. De energie van een bewegend voorwerp noemen we
bewegingsenergie. Hoeveel energie is er nodig voor een bepaalde snelheid?
 Hoe bereken je de bewegingsenergie?
Oriëntatie
9
De energie van een hockeybal
Bij een sleeppush verricht de kracht van de stick op de bal arbeid. De energie
wordt omgezet in bewegingsenergie. De bewegingsenergie zit opgeslagen in
de bewegende bal. Elk bewegend voorwerp bezit bewegingsenergie.
Uiteraard is de hoeveelheid bewegingsenergie afhankelijk van de snelheid.
a Welke andere eigenschap van het voorwerp bepaalt hoeveel
bewegingsenergie in het voorwerp is opgeslagen?
Bij de versnelde beweging van de hockeybal vergelijken we de arbeid van de
kracht met de eindsnelheid van de bal. We bekijken twee situaties, met een
kracht van 10 N en een kracht van 20 N. De massa van de bal is 200 gram.
b Ga na dat de versnelling dan 50 m/s² en 100 m/s² is.
Om de eindsnelheid van de bal te bepalen gebruiken we niet de formules
maar de grafieken van afstand en snelheid. In de grafieken zijn de
bewegingen bij beide krachten getekend.
Figuur 43 – Grafieken van afstand en snelheid bij een constante versnelling
c Welke lijnen horen bij een kracht van 10 N? Noteer in de grafieken.
Bij de eerste push is de kracht 10 N, de afstand 1,0 m. De arbeid is dus 10 J.
d Lees in de eerste grafiek de tijd af en bepaal met de andere grafiek de
snelheid van de bal direct na de push.
10
Bij de tweede push is de kracht 10 N en de afstand 2,0 m.
e Bepaal uit de twee grafieken de eindsnelheid van de bal.
push
eerste
arbeid W snelheid v
(joule)
(in m/s)
10
tweede
Bij de derde push is de kracht 20 N en de afstand 2,0 m.
f Bepaal de eindsnelheid van de bal. Noteer alle resultaten in de tabel.
g Ga na of de energie van de bal evenredig is met de snelheid. Zo nee, welk
soort verband is er dan wel?
derde
10 Een formule voor de bewegingsenergie
De bewegingsenergie is evenredig met het kwadraat van de snelheid. Dat
blijkt ook uit de formule voor de bewegingsenergie. Omdat de
bewegingenergie ook wel de kinetische energie genoemd wordt gebruikt men
voor bewegingsenergie het symbool Ek.
E k  12  m  v 2
a Bereken de bewegingsenergie van een voorwerp van 200 gram met een
snelheid van 20 m/s.
b Ga na dat ook bij de eerste en tweede push de arbeid gelijk is aan de
bewegingsenergie van de bal direct na de push.
De formule voor de bewegingsenergie is natuurlijk af te leiden uit de
formules voor arbeid en de versnelde beweging. Zo’n afleiding hoef je zelf
niet na te kunnen doen, het is wel leuk om zo’n afleiding eens te zien.
Voor de arbeid die geleverd is tijdens de push geldt: W = F∙s = m∙a∙s.
c Vul de formule voor s in en laat zien dat geldt: W = ½∙m∙a∙a∙t².
Figuur 44 - Op een
glijbaan wordt zwaarteenergie omgezet in
bewegingsenergie
d Gebruik v = a∙t en laat zien dat de formule W = ½∙m∙a∙a∙t² hetzelfde is
als de formule voor de bewegingsenergie Ek.
Begrippen
Bewegingsenergie
Kinetische energie
Samenvatting
Bewegingsenergie
In een bewegend voorwerp zit energie ‘opgeslagen’. Voor bewegingsenergie
wordt ook wel de term kinetische energie Ek gebruikt. Deze twee
begrippen betekenen hetzelfde. De bewegingsenergie hangt alleen af van de
massa en de snelheid:
E k  12  m  v 2
Hierin is Ek de bewegingsenergie in joule, m de massa van het voorwerp in
kg en v de snelheid in m/s.
11
Opgaven
11
12
Begripstest
Geef bij de onderstaande beweringen aan of de uitspraak klopt.
a De bewegingsenergie van een voorwerp is even groot als de
arbeid die verricht is om het voorwerp een snelheid te geven.
ja / nee
b Voor een twee keer zo grote snelheid is twee keer zoveel
energie nodig.
ja / nee
c De eenheid van bewegingsenergie is joule.
ja / nee
d Bewegingsenergie is hetzelfde als kinetische energie.
ja / nee
e De formule voor bewegingsenergie geldt alleen bij bewegingen
met een constante versnelling.
ja / nee
Bewegingsenergie bij vertragen
Tijdens een training pusht een speler een hockeybal met een massa van 200
gram met een snelheid van 16,0 m/s. De bal rolt net zolang door totdat deze
stil ligt.
a Welke kracht zorgt ervoor dat de snelheid afneemt?
Stel dat de tegenwerkende kracht 0,25 N is. Om de afstand die de bal tijdens
het uitrollen aflegt te berekenen kun je gebruik maken van arbeid en energie.
b Bereken eerst de bewegingsenergie van de bal direct na de push.
c Gebruik daarna de formule W  F  s om de afstand die de bal aflegt te
berekenen.
d Stel dat de bal 65 m uitrolt. Hoe zou je dan de (gemiddelde)
tegenwerkende kracht kunnen uitrekenen met behulp van arbeid en
energie?
13
Glijbaan
Een glijbaan heeft een hoogteverschil van 12 m.
a Hoe groot is de zwaarte-energie als je bovenaan staat? Gebruik je eigen
massa.
b Bereken de maximale snelheid die je kunt halen.
c Waardoor zul je die snelheid in de praktijk nooit halen op deze glijbaan?
12
14 Energie voor optrekken
Een auto met een massa m = 1200 kg trekt op. Op de auto werken de
voorwaartse kracht van de motor en de wrijvingskrachten. Neem aan dat
tijdens het optrekken de motorkracht constant is, Fmotor = 3,0 kN.
a Bereken hoeveel energie geleverd moet worden om een snelheid van 50
km/h (13,9 m/s) te halen.
b Welke afstand heeft deze auto nodig om een snelheid van 50 km/h te
halen als er geen wrijving is?
Tot nu toe zijn de wrijvingskrachten steeds verwaarloosd. Stel dat tijdens het
optrekken de wrijvingskrachten in totaal gemiddeld 600 N zijn.
c Welke afstand heeft deze auto nu nodig om een snelheid van 50 km/h te
halen?
15
Figuur 46 – In een zware truck
met hoge snelheid is veel
bewegingsenergie opgeslagen.
Arbeid en energie bij afremmen
Bij het afremmen wordt alle bewegingsenergie omgezet in warmte door de
arbeid van de afremmende kracht. De afstand die de auto dan aflegt is de
remweg.
Een vrachtwagen met een massa van 15 ton rijdt met een snelheid van 90
km/h. Bij krachtig remmen bedraagt de remweg 50 m.
a Bereken de bewegingsenergie van de vrachtwagen.
b Bereken de gemiddelde afremmende kracht.
c Leg uit dat hier geldt: F  s rem  12  m  v
2
d Stel dat één van de vier remmen van de auto kapot is, waardoor de
remkracht afneemt tot 75% van de oorspronkelijke waarde. Welke invloed
heeft dat op de remweg van de auto? Geef een berekening.
13
3 Energievergelijking
Zwaarte-energie en bewegingsenergie
Wat gaan we doen?
In veel praktijksituaties worden zwaarte-energie en bewegingsenergie
gebruikt. In deze paragraaf worden verschillende situaties onderzocht.
 Hoe kun je in situaties waarbij meerdere energiesoorten een rol spelen
gebruik maken van een energievergelijking?
16 Speerwerpen
Een herenspeer is 2,6 tot 2,7 meter lang en weegt 800 gram. De atleet komt
met een flinke snelheid aanlopen, zodat de snelheid van de speer ongeveer 5
m/s is. Vervolgens werpt de atleet de speer met veel kracht weg. De snelheid
van de speer zit bij het loslaten rond de 30 m/s.
a Bereken de bewegingsenergie van de speer direct na de worp.
b Leg uit dat de energievergelijking voor de worp is:
E k ,na  F  s  E k ,voor
c Maak aan de hand van de foto’s een schatting van de afstand die de speer
aflegt tijdens het wegwerpen.
d Bereken daarmee de (gemiddelde) kracht van de atleet op de speer tijdens
de worp.
Figuur 47 – Videobeelden
van speerwerpen.
Tijdens de vlucht gaat de speer eerst omhoog en daarna omlaag. Neem aan
dat de wrijving van de lucht te verwaarlozen is.
e Tijdens het ‘klimmen’ in de lucht neemt de snelheid van de speer af. Leg
uit waardoor dat veroorzaakt wordt.
f
Stel zelf een energievergelijking op vanaf het loslaten van de speer tot het
hoogste punt.
g Op het hoogste punt heeft de speer een hoogte van 18 m bereikt. Bereken
de snelheid van de speer op het hoogste punt. Maak gebruik van
bewegings- en zwaarte-energie.
14
Samenvatting
Begrippen
Een energievergelijking opstellen
Energievergelijking
De bovenstaande situatie zijn voorbeelden van energieomzettingen waarbij
alle energie van de ene soort wordt omgezet in energie van een andere soort.
Bij zo’n situatie hoort een eenvoudige energievergelijking:
E begin  E einde
Bij een vallend voorwerp wordt de energievergelijking:
m  g  h  12  m  v 2
In dit voorbeeld kan de massa links en rechts weggestreept worden. Daaruit
blijkt dat de massa van het voorwerp geen rol speelt bij het vallen van
voorwerpen (als er geen andere krachten werken).
LET OP: deze energievergelijking is geen wet of formule. De vergelijking
geldt alleen in situaties waar alle energie omgezet wordt.
17
Begripstest
Geef bij de onderstaande beweringen aan of de uitspraak klopt.
a Als je een voorwerp recht omhoog gooit dan is in het hoogste
punt alle bewegingsenergie omgezet in zwaarte-energie.
b Bij verticale bewegingen geldt altijd:
1
2
 m  v2  m  g  h
ja / nee
ja / nee
c De energievergelijking geldt alleen als er geen andere
krachten werken en als alle energie omgezet wordt.
ja / nee
d Uit de energievergelijking volgt dat alle voorwerpen vanaf
gelijke hoogte met dezelfde snelheid op de grond vallen,
maar alleen als er geen andere krachten werken.
ja / nee
e De energievergelijking maakt gebruik van de wet van behoud
van energie.
ja / nee
18 Hoogspringen en verspringen
Een hoogspringer neemt altijd een aanloop voor zijn sprong. Kennelijk kom
je hoger als je al een horizontale snelheid hebt, ondanks het feit dat de afzet
bij een aanloop lastiger is dan uit stilstand.
a Waardoor spring je hoger met een aanloop? Leg kort uit.
Figuur 48 – Met een aanloop spring je hoger
Neem aan dat de hoogspringer aan komt lopen met een snelheid van 5 m/s
(dat is 18 km/h) en dat 70% van de bewegingsenergie wordt omgezet in extra
hoogte. De massa van de hoogspringer is 84 kg.
b Bereken dan de extra hoogte die de springer krijgt door de
aanloopsnelheid.
Figuur 49 – Met een
sprong uit stand kom je
niet erg hoog.
15
Deze extra hoogte geldt voor het zwaartepunt van het lichaam. Door de
sprongtechniek gaat het zwaartepunt niet over, maar vlak onder de lat door.
c Bereken met welke snelheid de hoogspringer over de lat gaat.
Het nemen van een aanloop is dus belangrijk, maar bij hoogspringer is de
aanloopsnelheid niet maximaal zoals bij verspringen.
d Welk nadeel kleeft er bij hoogspringen aan een maximale snelheid?
19 Vallen en botsen
In figuur 50 is weergegeven dat een botsing met een snelheid van 40 km/h
overeen komt met een val van een hoogte van 6 m. Neem aan dat de persoon
een massa van 70 kg heeft.
a Bereken de bewegingsenergie bij een snelheid van 40 km/h.
b Ga na dat de zwaarte-energie bij een hoogte van 6 m ongeveer even groot
is.
Figuur 50 – Botssnelheid
vergeleken met valhoogte.
c Laat zien of leg uit dat de massa geen invloed heeft op de eindsnelheid.
d Controleer of de informatie in de tekening bij de andere snelheden juist
is.
20 Duiken in ondiep water
Op de foto in figuur 51 springt een lid van het duikteam ‘The American
Eagles’ van dertig meter hoog in een zwembadje met een diepte van drie
meter. Tijdens hun val bereiken de acrobaten een snelheid van 96 km/h. Kan
dit? Het lijkt ongelooflijk. Neem aan dat de acrobaten een massa van 70 kg
hebben.
a Bereken de bewegingsenergie van de acrobaat op het moment dat deze
het wateroppervlak raakt.
b Vanaf welke hoogte moet tenminste gesprongen worden om deze snelheid
te behalen?
Figuur 51 – Stuntduiken in
ondiep water.
c Het zwembadje is maar 3 m diep. Hoe groot moet de gemiddelde
remkracht onder water dan minstens zijn?
16
21
Inveren bij trampolinespringen
Bij het trampolinespringen is het inveren van de benen voorafgaand aan de
afzet belangrijk. Het zwaartepunt begint dan lager en de afzet duurt langer.
In figuur 52 is de snelheid van het zwaartepunt weergegeven.
Figuur 52 – Snelheid-tijd-diagram bij trampolinespringen
In bovenstaande figuur is links het (v,t)-diagram getekend van de beweging
van het zwaartepunt van een trampolinespringer met een massa van 60 kg
die het lichaam en benen stijf houdt. Rechts hetzelfde gedaan als de springer
een stuk door de knieën veert.
Beide diagrammen beginnen als het zwaartepunt op het laagste punt is en
eindigen op het hoogste punt van de sprong. De trampolinespringer komt los
op het moment dat de kromme lijn overgaat in een rechte lijn. De snelheid
bij springen met inveren is op dat moment hoger.
a Lees in beide diagrammen de maximale snelheid af.
Figuur 53 - Laagste en hoogste
punt tijdens het
trampolinespringen. In beide
situaties is de snelheid nul.
b Hoeveel hoger komt de trampolinespringer als hij of zij een stuk door de
knieën veert? Bereken eerst voor beide situaties de hoogte.
22 Kogelstoten
Een kogelstoter stoot een kogel in een rechte lijn onder een hoek van 45° met
het horizontale vlak weg. Doordat de kogelstoter een draaibeweging maakt
heeft de kogel al een snelheid voordat de kogel ‘gestoten’ wordt. Tijdens het
wegstoten neemt de snelheid van de kogel in een tijdsduur van 0,21 s toe van
2,0 tot 6,0 m/s. Daarbij legt de kogel een afstand af van 84 cm. De
luchtwrijving op de kogel is verwaarloosbaar klein. De massa van de kogel is
5,0 kg.
a Bereken hoeveel de bewegingsenergie is toegenomen
Figuur 54 – Een kogelstoter
b Bereken hoeveel de zwaarte-energie is toegenomen
c Hoe groot is de kracht die de kogelstoter levert tijdens de stoot?
17
4 Brandstof besparen in het verkeer
Zo zuinig mogelijk
Wat gaan we doen?
Besparen op het brandstofverbruik scheelt geld en vermindert de uitstoot
van CO2 en andere milieuvervuilende stoffen. Met de campagne ‘Het nieuwe
rijden’ probeert de overheid het gedrag van weggebruikers te beïnvloeden.
Een auto is een voorbeeld van een energieomzetter. De energie wordt
geleverd door de brandstof en door de motor omgezet in beweging. Wat
gebeurt er nu eigenlijk met die energie?
 Welke factoren hebben invloed op het brandstofverbruik?
 Hoe bereken je de energiebesparing bij maatregelen om minder
brandstof te gebruiken?
Figuur 55 – De hoofdrolspelers
in de promotiefilmpjes
Oriëntatie
23 Het Nieuwe Rijden
De campagne ‘HET NIEUWE RIJDEN’ bestaat uit tips waarmee weggebruikers
hun brandstofverbruik kunnen beperken. In de TV-spotjes gaat het vooral
om het rijgedrag van de bestuurder. Op de website www.hetnieuwerijden.nl
worden meer tips gegeven (zie figuur 56).
a Welk tips gaan over het rijgedrag van de bestuurder? Leg bij elke tip kort
uit hoe je daarmee brandstof kunt besparen.
b Ken je zelf nog andere tips die te maken hebben met het rijgedrag?
Een andere deel van die tips heeft vooral te maken met eigenschappen van
de auto, zoals de stroomlijn.
c Noteer zoveel mogelijk eigenschappen van de auto die invloed hebben op
het brandstofverbruik.
Figuur 56 – Tips uit de
campagne Het Nieuwe
Rijden.
d Welke accessoire(s) van een auto zou een positieve invloed kunnen
hebben op het brandstofverbruik? Noem er minstens één.
e Wat zou er onder het kopje ‘Energievreters’ staan?
In de volgende opgaven bekijken we één maatregel die bedoeld is om
brandstof te besparen (en de uitstoot van fijnstof en CO2 te beperken): het
verlagen van de snelheid van 100 km/h naar 80 km/h op snelwegen rond de
grote steden. De aanpak daarbij is:
 Bepaal de arbeid die de motor bij beide snelheden moet verrichten.
 Bereken voor beide snelheden het brandstofverbruik.
18
24 Arbeid bij 100 en 80 km/h
Een van de maatregelen om de uitstoot van uitlaatgassen te beperken is het
reduceren van de snelheid rond de grote steden van 100 km/h naar 80 km/h.
Bij een auto wordt het verschil in brandstofverbruik vooral bepaald door het
verschil in luchtwrijving. In figuur 58 is de totale wrijvingskracht van een
normale auto getekend bij snelheden tot 150 km/h.
Figuur 57 – Rond veel grote
steden geldt een maximale
snelheid van 80 km/h.
Figuur 58 – Tegenwerkende krachten op een auto bij constante snelheid.
a Lees in de grafiek de totale wrijvingskracht af bij 80 en bij 100 km/h.
b Leg uit dat de voorwaartse kracht even groot is als de totale
wrijvingskracht bij deze snelheid.
c Welk gegeven heb je nog nodig om de arbeid te berekenen?
Het brandstofverbruik van een auto wordt gegeven in liter per 100 km. Een
normale auto heeft een brandstofverbruik van 6 tot 8 L/100 km.
d Bereken over een afstand van 100 km voor beide auto’s de arbeid die de
motor moet leveren bij een constante snelheid.
25 Brandstofverbruik berekenen
verhoudingstabel brandstof
brandstof
1 m³
warmte
33∙109 J
1L
verhoudingstabel rendement
Ein = warmte
100%
Enut = arbeid
24%
In BINAS staat de verbrandingswarmte van benzine gegeven: 33∙109 J/m³.
a Bereken hoeveel energie vrijkomt bij de verbranding van 1,0 L benzine.
Gebruik een verhoudingstabel.
Een deel van de warmte wordt door de motor omgezet in mechanische
arbeid, dat is de energie de gebruikt kan worden voor de voortbeweging. Het
rendement van een automotor is niet heel hoog, op z’n best 24%.
b Bereken hoeveel mechanische arbeid een automotor uit 1,0 L benzine kan
halen. Gebruik een verhoudingstabel.
Figuur 59 - Berekeningen met
een verhoudingstabel.
19
Met deze gegevens kan de besparing op het brandstofverbruik bepaald
worden als de snelheid daalt van 100 naar 80 km/h.
c Bereken voor beide snelheden het brandstofverbruik (in L/100 km).
Gebruik de gegevens uit de vorige opgave.
d Bereken de besparing op brandstofverbruik in procenten.
e Wat is nu je conclusie? Is het verlagen van de snelheid een zinvolle
maatregel om het brandstofverbruik te verminderen?
Begrippen
Brandstofverbruik
Verbrandingswarmte
Samenvatting
Energie uit brandstof
In de motor van een auto wordt brandstof zoals benzine of gas verbrandt. De
energie die daarbij vrijkomt wordt gebruikt om de motor te laten draaien.
Slechts een klein deel van die energie (meestal 20-25%) is beschikbaar voor
het voortbewegen. Via de wielen en het wegdek wordt door de voorwaartse
kracht arbeid verricht. Het brandstofverbruik hangt af van het type
brandstof, het rendement van de motor en de tegenwerkende krachten.
Energieomzettingen in een auto
In een auto vinden verschillende energieomzettingen plaats:
chemische energie  warmte  draaien motor  bewegen auto.
Deze energieomzettingen en de bijbehorende formules kunnen overzichtelijk
in een schema worden weergegeven:
Brandstof
Motor
Arbeid
Ech  rv V
W

Ein
W  Fvw  s
Hierin is rv de verbrandingswarmte in J/L (of in J/m³), V het volume in L (of
in m³),  het rendement. Bij de berekeningen met Ech en η zijn
verhoudingstabellen handig.
Brandstofverbruik
Het brandstofverbruik van een auto wordt gegeven in L/100 km. Daarmee
wordt bedoeld het aantal liter brandstof dat nodig is voor een verplaatsing s
= 100 km. Het verbruik wordt gemeten bij constante snelheid onder ideale
omstandigheden. Bij een doorsnee auto ligt het gemiddelde gebruik meestal
tussen 6 en 8 L/100km. In de stad en op de snelweg is het verbruik hoger.
20
Opgaven
26 Begripstest
Geef bij de onderstaande beweringen aan of de uitspraak klopt.
a Het brandstofverbruik geeft aan hoeveel warmte er bij de
verbranding van één liter brandstof vrijkomt.
ja / nee
b De eenheid van verbrandingswarmte is joule.
ja / nee
c De eenheid van brandstofverbruik is L/100km.
ja / nee
d Als het rendement van de motor groter wordt dan daalt het
brandstofverbruik.
ja / nee
e Het brandstofverbruik is, bij constante snelheid en gelijk
rendement, evenredig met de tegenwerkende krachten.
ja / nee
27 Rendement auto
Een wielrenner haalt een rendement van ongeveer 20%, hoe zit dat bij een
auto? Een kleine auto (type Peugeot 206, fig. 61) heeft een massa van 1200
kg. Bij de topsnelheid 180 km/h (50 m/s) is de tegenwerkende kracht 1,1 kN.
a Bereken de arbeid die de motor levert bij een snelheid van 180 km/h over
een afstand van 100 km.
Figuur 61 - Deze auto heeft
een massa van 1200 kg. Met
een vermogen van 55 kW is
de topsnelheid 180 km/h.
Bij deze snelheid is het brandstofverbruik 14,0 L/100 km (benzine).
b Bereken hoeveel warmte er vrijkomt bij de verbranding van 14 liter
benzine.
c Hoe groot is het rendement van de motor bij een snelheid van 180 km/h?
Figuur 62 – De Toyota Prius
was de eerste hybride auto.
28 Voordelen van een hybride auto
Een hybride auto heeft naast een zuinige benzinemotor ook een sterke
elektromotor, deze combinatie zorgt voor een lager brandstofverbruik. Als de
auto stil staat voor een verkeerslicht is de benzinemotor uitgeschakeld, bij
het optrekken wordt alleen de elektromotor gebruikt. In deze opgave
onderzoeken we hoeveel brandstof dat bespaart.
De Toyota Prius was de eerste hybride auto met een lege massa van 905 kg
en een gemiddeld brandstofverbruik van 4,8 L/100km.
a Hoeveel benzine verbruikt deze auto bij een stadsrit van 5,0 km? Ga uit
van het gemiddelde verbruik.
Bij afremmen werkt de elektromotor als een dynamo. De bewegings-energie
wordt omgezet in elektrische energie en opgeslagen in de accu.
Tijdens de rit moet de auto regelmatig afremmen voor een kruispunt of een
verkeerslicht. De snelheid daalt dan van 50 km/h tot nul.
b Bereken de bewegingsenergie van deze auto met een lading van 150 kg en
bij een snelheid van 50 km/h.
21
Neem aan dat er bij een stadsrit van 5,0 km twintig keer geremd wordt en
dat alle energie wordt opgeslagen in de accu’s.
c Bereken hoeveel energie er in de accu’s wordt opgeslagen.
De energie in de accu’s wordt gebruikt bij het optrekken van de auto. Het
rendement van een benzinemotor is daar laag, ongeveer 20%.
d Bereken hoeveel brandstof er bespaard wordt door het gebruik van de
energie uit de accu’s.
Als de auto stil staat dan draait de motor niet. Bij een normale auto is het
brandstofverbruik bij stilstand ongeveer 0,5 L/uur.
e Neem aan dat bij elke stop de auto 20 s stil staat. Bereken hoeveel
brandstof de Toyota Prius bespaart vergeleken met een normale auto.
f
22
Vergelijk de totale besparing met het gemiddeld brandstofverbruik van
een auto (ongeveer 6 tot 8 L per 100 km). Wat is nu je conclusie? Is dit
een zinvolle manier om brandstof te besparen?
5 Afronden energiesoorten
Energiesoorten en energievergelijking
Wat gaan we doen?
In de voorgaande paragrafen zijn verschillende energiesoorten en
energieomzettingen aan bod gekomen. In deze paragraaf kijken we terug op
de verschillende energiesoorten en op de manier waarop je bij opgaven
gebruik kunt maken van energie en arbeid.
 Hoe gebruik je energie en arbeid bij opgaven?
29 Energiesoorten
De onderstaande tabel is in de eerste paragraaf al voor een deel ingevuld. Vul
de tabel zoveel mogelijk verder in.
Energiesoort
Berekenen
Hangt af van
Elektrische energie
E  Pt
Het vermogen van het apparaat en de tijd
Kernenergie
E
Een deel van de massa wordt omgezet.
Hoeveelheid brandstof en verbrandingswarmte (in
MJ/m³ of MJ/kg)
Chemische energie
Bewegingsenergie
Zwaarte-energie
30 Energieschema
Bij het maken van opgaven over energie en arbeid is het handig om gebruik
te maken van een energieschema.
warmte
door wrijving
mechanische
energie
chemische energie
(brandstof)
a Van de verbrandingswarmte wordt slechts een deel gebruikt voor de
voortbeweging. Wat gebeurt er met de rest van de energie?
Dit schema kun je gebruiken voor het berekenen van het brandstofverbruik
van een auto. Daarbij horen de volgende formules:
W  F s
Ech  rV  V
en

W
Ein
.
b Geef bij elke formule aan bij welk deel van het schema de formule hoort.
c Beschrijf in je eigen woorden hoe je het brandstofverbruik (in L/100km)
kunt bepalen aan de hand van de tegenwerkende kracht en het
rendement van de motor.
23
Opgaven
31
Zonne-energie voor de Nuna 4
De Nuna4 was in 2007 winnaar van de World Solar Challenge. In deze race
mag alleen gebruik gemaakt worden van zonne-energie als ‘brandstof’. In
deze opgave gaan we na of zonne-energie voor normale auto’s een zinvolle
manier van brandstofbesparing zou kunnen zijn.
Volgens de gegevens van de website zijn de rol- en luchtwrijving van de
Nuna4 veel kleiner dan bij een normale auto. Bij 90 km/h is de totale
tegenwerkende kracht slechts 61 N, bij een normale auto is dat 450 N .
a Bereken hoeveel arbeid de motor bij deze snelheid moet leveren voor een
verplaatsing van 3000 km.
b Hoeveel elektrische energie moet daarvoor in de accu’s opgeslagen zijn?
Neem aan dat het rendement van de elektromotor 98% is.
Figuur 64 - De NuNa4 is voor
een groot deel bedekt met
zonnecellen
Bij de Nuna4 werd de energie in de accu’s in zeven dagen tijd geleverd door
zonnecellen.
c Bereken hoeveel energie de zonnecellen in een jaar tijd zouden kunnen
leveren.
Een normale auto verbruikt per jaar ongeveer 1500 L benzine. Met een
zonnepaneel op het dak zou een besparing op brandstof gerealiseerd kunnen
worden. Een gangbaar zonnepaneel heeft een oppervlakte van 1,3 m² en
levert circa 148 kWh per jaar (1 kWh = 3,6 MJ).
d Bereken hoeveel liter brandstof jaarlijks bespaard zou kunnen worden
met een zonnepaneel.
e Wat is nu je conclusie? Is het zinvol om zonnecellen te gebruiken om
brandstof te besparen.
Rijden op zonne-energie
Op 25 oktober 2007 won het Nuna Solar Team voor de vierde keer op rij
de World Solar Challenge, een race door de Australische woestijn. De
Nuna4 had 33 uur en 17 minuten nodig voor de totale afstand van 3000
km, een gemiddelde snelheid van 90 km/h. Daarmee laat het team ook
zien dat het heel goed mogelijk is om op zonne-energie een behoorlijke
snelheid te halen.
Afmetingen
Lengte: 4.72 m Breedte: 1.68 m Hoogte: 1.10 m
Gewicht (excl. coureur) 187 kg
Aantal zonnecellen
2318 cellen (Gallium-Arsenide Triple Junction)
oppervlakte zonnecellen 6 m²
Efficiëntie zonnecellen
26 %
Motor
Elektromotor (Efficiëntie: 98 %)
Rolweerstand
10 keer kleiner dan een normale auto
Luchtweerstand
6 keer kleiner dan een normale auto
24
32 Luchtwrijving en rolwrijving
De luchtwrijving hangt ook af van de cw-waarde van de auto. Uit een test van
een bepaalde auto blijkt dat de cw-waarde 0,32 is, het frontaal oppervlak is
1,97 m². Bij 15 °C is de luchtdichtheid 1,22 km/m³.
a Bereken de luchtwrijving bij een snelheid van 180 km/h.
Figuur 66 – De wrijvingskracht
van de lucht Fw,l hangt ook af
van het frontaal oppervlak en
de stroomlijn.
De rolwrijvingskracht op deze auto is 180 N bij een massa van 1250 kg (auto
+ bestuurder). Het rendement van de motor is 24%.
b Bereken het brandstofverbruik bij 120 km/h.
Een gezin gaat met deze auto op vakantie. De extra massa van passagiers
plus bagage is 450 kg. Een deel van de bagage gaat op het dak waardoor het
frontaal oppervlak toeneemt met 0,30 m². De cw-waarde neemt met 10% toe.
Tijdens de vakantiereis is de snelheid vrijwel constant 120 km/h.
c Bereken onder deze omstandigheden het brandstofverbruik.
d De totale reis is 3000 km. Bereken de extra brandstof die nodig is door de
grotere lucht- en rolwrijving.
33 Zuinigheidswereldrecord
In het onderstaande artikel beschrijft een nieuw zuinigheidswereldrecord.
1 op 3.789 kilometer
UN, 22 augustus 2003
Het zuinigheidswereldrecord is
gebroken. Op de Shell Ecomarathon
in
het
Britse
Rockingham slaagden studenten
erin om met één liter benzine
Figuur 67 – Het winnende team
van de Shell Eco-marathon en
de winnende auto.
3.789 kilometer en 520 meter af
te leggen. Met een extreem gestroomlijnd voertuig en op
speciale Michelin banden met
een ultralage rolweerstand werd
het record gevestigd. Het oude
record stond op 1 op 3.625.
Het klinkt nogal ongeloofwaardig, op één liter brandstof een afstand van
bijna vierduizend kilometer afleggen. Het voertuig op de foto heeft een
verbluffende lage luchtwrijving en rolwrijving:
Fw,l = 0,038×v² en Fw,r = 2,0 N
De motor werkt op normale benzine, en de verbrandingswarmte van 1 liter
benzine bedraagt 33 MJ. Kan de motor dan voldoende arbeid leveren om een
afstand van 3.789 km af te leggen? Het rendement van de motor is niet
gegeven.
a Bereken de totale wrijvingskracht bij een snelheid van 6,7 m/s.
b Bepaal met behulp van de gegevens het rendement van deze auto.
25
6 Sporten op topsnelheid
Sportprestaties en vermogen
Wat gaan we doen?
Bij snelheidssporten zoals schaatsen en wielrennen wordt de topprestatie
vooral bepaald door de energie die een sporter kan leveren. Topsporters
trainen veel op het vergroten van het (duur)vermogen , daarnaast worden de
tegenwerkende krachten zo klein mogelijk gemaakt.
 Hoe bepaal je het vermogen dat een sporter levert?
 Hoe groot is je eigen vermogen?
Oriëntatie
34 Sporten op topsnelheid
Op de onderstaande foto’s zie je verschillende sporters in beweging. In al
deze gevallen gaat het om een duurinspanning van enkele minuten en niet
om een sprint. De snelheid is bij deze inspanning ongeveer constant.
Wereldrecords
sport
afstand
snelheid
(km/h)
Wielrennen
4 km
57,3
Steppen
2,3 km
31,7
Skeeleren
5 km
39,6
Schaatsen
5 km
48,8
Hardlopen
3 km
24,5
Figuur 68 – Vijf verschillende snelheidssporten. De verschillen in snelheid zijn groot.
Extra
Verschillen in snelheid
De verschillen in snelheid
tussen de vijf sporters zijn
groot. In een volgende les
wordt uitgezocht waar de
oorzaken van die verschillen
liggen.
De sporters doen allemaal een maximale inspanning, ze verbruiken dan
ongeveer evenveel energie per seconde. In eerste instantie willen we weten
hoeveel arbeid de sporters per seconde leveren.
a Wat gebeurt er met de energie die de spieren leveren? Maak een schema.
b Welke krachten spelen in deze situaties een rol?
c Welke gegevens heb je nodig om te kunnen berekenen hoeveel arbeid de
sporters per seconde verrichten?
26
Uitwerking
35 Vermogen meten bij een roeitrainer
Fitnessapparaten zoals een roeitrainer of een fietstrainer meten vaak ook het
vermogen dat de sporter levert. Om dat vermogen te kunnen berekenen moet
het apparaat de kracht, de verplaatsing en de tijd meten.
a Om welke kracht en verplaatsing gaat het bij de roeitrainer?
Figuur 69 – Training met roeiergometers.
b Leg in je eigen woorden uit hoe je uit de kracht, de verplaatsing en de tijd
het geleverde vermogen bij een roeitrainer kunt berekenen.
Bij een roeitrainer wordt de wrijvingskracht nagebootst met een
ronddraaiend vliegwiel met schoepen. De tegenwerkende kracht van het
vliegwiel wordt groter naarmate de snelheid toeneemt.
c Noem nog een reden waardoor het vermogen groter wordt bij een hogere
snelheid.
36 Vermogen meten bij een fietstrainer
Bij een fietsergometer draait de band tegen een rol die elektromagnetisch
gedempt wordt. De tegenwerkende kracht wordt groter naarmate het wiel
sneller draait.
a Om welke kracht en verplaatsing gaat het bij een fietstrainer?
Bij een fietstrainer is de verplaatsing die de band tegen de rol aflegt gelijk
aan de verplaatsing die de fiets over de weg zou afleggen.
b Leg uit dat je dan het vermogen kunt berekenen met: P  Ftegen  v fiets .
Figuur 70 – Bij een ergometer
wordt de tegenwerkende kracht
en de fietssnelheid gemeten.
De wielrenner op de ergometer levert een vermogen van 375 W. De
tegenwerkende kracht van de rol is 41 N.
c Hoe groot is nu de ‘snelheid’ van de fiets?
De fietsergometer meet niet echt de arbeid die de fietser levert, maar de
energie die verdwijnt door de wrijving van de rol.
d Is de arbeid die de fietser levert precies gelijk aan de energie die verdwijnt
door de wrijving van de rol? Bekijk de situatie waarbij de snelheid
constant is.
27
Energie, kracht of vermogen?
Snelheidssporters moeten zowel energie als kracht leveren voor hun
prestatie. Bij explosieve sporten zoals kogelstoten en sprinten is kracht
erg belangrijk, dat zie je aan de bouw van de atleten.
Bij de meeste duursporten is niet de kracht maar het vermogen dat de
sporter kan leveren de belangrijkste factor. Het vermogen is de arbeid die
een sporter per seconde kan leveren.
Mechanisch vermogen: Pmech = verrichte arbeid per seconde
Figuur 71 – Bij explosieve
sporten zoals kogelstoten is
kracht erg belangrijk.
De eenheid van vermogen is watt (joule per seconde). Bij sporters wordt
meestal een onderscheid gemaakt tussen het piekvermogen tijdens een
sprint van enkele seconden en het duurvermogen dat langere tijd
volgehouden kan worden.
Extra
Eigen vermogen meten
Je kunt op een eenvoudige
manier meten hoe groot het
vermogen is dat je zelf kunt
leveren. Het experiment wordt
beschreven in een keuzeles.
37 Arbeid en vermogen bij schaatsen
Bij schaatsen werken twee tegenwerkende krachten op de schaatser: de
glijwrijving en de luchtwrijving. In de onderstaande grafiek is het verband
tussen de totale wrijvingskracht en de snelheid van een schaatser
weergegeven.
Figuur 72 – Wrijvingskrachten en snelheid
Topschaatsers halen op een afstand van 10 km een gemiddelde snelheid van
ongeveer 12,5 m/s (dat is 45 km/h). Daarmee rijden ze de 10 km in een tijd
van 13 minuten en 20 seconde.
a Lees in de grafiek de totale wrijvingskracht af bij die snelheid.
b Bereken daarmee de arbeid die de schaatser moet leveren tijdens de race.
c Hoe groot is de arbeid die de schaatser per seconde moet leveren?
d Laat met een berekening zien dat het vermogen ook berekend kan worden
met de formule P = Ftegenv.
28
In de onderstaande grafiek is voor Eric Heiden weergegeven hoe groot het
vermogen is dat bij leverde bij een bepaalde rondetijd. Heiden won vijf
gouden medailles won tijdens de Olympische Winterspelen in Lake Placid
Figuur 73 - Vermogen en snelheid bij Eric Heiden. © de Volkskrant - Erik d'Ailly. Bron:
Handboek Wedstrijdschaatsen 1998
In figuur 73 zijn de rondetijden omgerekend naar gemiddelde snelheden. In
de grafiek wordt met ‘benodigd vermogen’ bedoeld: het vermogen dat hij
moet leveren om de wrijvingskracht te overwinnen.
e Het vermogen neemt sterk toe met de snelheid. Noem daarvoor twee
oorzaken.
Samenvatting
Begrippen
Topsnelheid
Mechanisch vermogen
Het mechanisch vermogen geeft aan hoeveel arbeid de spieren per seconde
leveren. Daarvoor geldt:
Pmech 
W
t
Het energieschema in deze situatie is:
bewegingsenergie
chemische energie
(spieren)
warmte door
wrijving
Bij constante snelheid is de arbeid die de sporter levert gelijk aan het
energieverlies door de tegenwerkende krachten. Dan geldt dus:
Win  Wuit en Fvoorwaarts  Ftegen en Pin  Puit
Pmech  Ftegen  v
Deze vergelijking laat zien dat topsnelheid van een wielrenner alleen afhangt
van het mechanisch vermogen en de tegenwerkende krachten.
Zelfs bij een zeer efficiënte sporter gaat het grootste deel van de energie die
de spieren gebruiken verloren aan warmte, daardoor ga je bijvoorbeeld
zweten. Bij wielrenners ligt het rendement ongeveer bij 20%. Het rendement
η kan ook uitgedrukt worden in het vermogen:
Figuur 74 - Krachten op een
wielrenner. Als de wielrenner
met constante snelheid rijdt, is
de resulterende kracht in elke
richting nul.

Pmech
100%
Pspier
Bij het rekenen met procenten is het gebruik van een verhoudingstabel
handig.
29
Opgaven
38 Begripstest
Geef bij de onderstaande beweringen aan of de uitspraak klopt.
a Een wielrenner en een skeeleraar leveren bij gelijke snelheid
een even groot mechanisch vermogen.
ja / nee
b De eenheid van vermogen is watt.
ja / nee
c 1 watt is gelijk aan 1 joule per seconde.
ja / nee
d Bij constante snelheid is het mechanisch vermogen
evenredig met de tegenwerkende krachten en met de
voorwaartse snelheid.
ja / nee
e Een sporter met een hoger rendement verbruikt, bij gelijk
mechanisch vermogen, meer energie.
ja / nee
39 Vermogen en kracht bij een roeitrainer
Om het vermogen te kunnen berekenen moet een roeitrainer de kracht, de
verplaatsing en de tijd meten.
Een sporter bekijkt na afloop van zijn training de resultaten op de
roeitrainer: verplaatsing = 500 m; gemiddeld vermogen = 320 W; tempo =
33 slagen/minuut, tijd = 2 min 35; gemiddelde snelheid = 11,6 km/h
a Bereken de totale arbeid die de sporter tijdens de training geleverd heeft.
Figuur 75 – Training met
roeiergometers.
b Maak een schatting van de verplaatsing waarover het handvat bij één
slagbeweging getrokken wordt.
c Bereken daarmee de gemiddelde kracht waarmee de sporter aan het
handvat trekt.
De verplaatsing en snelheid zijn fictief, de computer berekent deze waarden
op basis van de glijwrijving van een virtuele roeiboot.
d Hoe groot was tijdens deze race de gemiddelde fictieve wrijvingskracht op
de virtuele roeiboot?
30
Figuur 76 – Het SRM-systeem
zit verborgen in de trapas. Twee
sensoren meten de trapkracht
en de trapfrequentie.
40 Het vermogen meten tijdens de race
Het nadeel van een fiets- of roeiergometer is dat de omstandigheden niet
gelijk zijn aan de wedstrijdomstandigheden. Dat nadeel heeft een SRMsysteem niet. Bij het SRM-systeem zit in de trapas een sensor die de kracht
op het pedaal meet. Een andere sensor meet de trapfrequentie
(omwentelingen per minuut). Daarmee kan het geleverde vermogen gemeten
worden. Bovendien meet het systeem zeer rechtstreeks wat de fietser levert.
Tijdens een tijdrit is de gemiddelde kracht op de trappers is 267 N. De
trapfrequentie is 92 omwentelingen per minuut en de verplaatsing die de
trappers bij één omwenteling afleggen is 1,10 m.
a Bereken de afstand die de trappers in één minuut afleggen.
b Bereken de arbeid die de wielrenner in één minuut levert.
c Hoe groot is het mechanisch vermogen dat de wielrenner nu levert?
d Leg in je eigen woorden uit dat het mechanisch vermogen gelijk is aan de
trapkracht maal de snelheid waarmee de trappers ronddraaien.
Pmechanisch  F pedaal  v pedaal
Hoeveel energie kan een sporter leveren?
Bij sporten zoals wielrennen en roeien is de energie die een sporter kan
leveren zó belangrijk dat bij elke sporter regelmatig een inspanningstest
gedaan wordt op een ergometer.
lichaam sgew icht en m axim aal verm ogen
Figuur 77 – Een fietsergometer
maximaal vermogen (watt)
450
400
350
300
250
200
50,0
60,0
70,0
80,0
90,0
lichaam sgew icht (kg)
Figuur 78 – Training met
roeiergometers.
In de grafiek zie je het resultaat van zo’n test van de jeugdopleiding van
de Rabo wielerploeg. Deze wielrenners leveren allemaal een
duurvermogen tussen 350 en 450 watt.
31
7 Sporten op topsnelheid
Keuzeles - Verschillen in topsnelheid
Wat gaan we doen?
Bij snelheidssporten zoals schaatsen en wielrennen wordt de topprestatie
vooral bepaald door de tegenwerkende krachten en het vermogen dat een
sporter kan leveren. Toch is de topsnelheid bij fietsen veel hoger dan bij
skeeleren of schaatsen.
 Waardoor zijn de verschillen in snelheid zo groot?
Oriëntatie: Verschillen in topsnelheid
De belangrijkste factoren die de snelheid bepalen zijn dus het mechanisch
vermogen en de tegenwerkende krachten. Voor de onderlinge verschillen zijn
drie mogelijke oorzaken.
 De tegenwerkende krachten zijn groter.
 De sporter kan minder vermogen leveren.
 Er verdwijnt op een andere manier energie.
Uitwerking
41 Skeeleren en wielrennen
Het verschil in topsnelheid tussen wielrennen en skeeleren is erg groot.
Wielrenners komen in de buurt van 60 km/h, skeeleraars blijven steken bij
40 km/h.
Figuur 79 – Een eindsprint bij skeeleren en Marianne Vos op de Olympische Spelen.
a Vergelijk de tegenwerkende krachten bij een wielrenner en een
skeeleraar. Kun je daarmee het verschil in topsnelheid verklaren?
b Vergelijk de manier waarop de sporters arbeid leveren bij het strekken
van hun benen. Kan de ene sporter makkelijker een hoog vermogen
leveren dan de andere? Leg in je eigen woorden uit hoe dat werkt.
c Vergelijk de manier waarop de sporters hun lichaam bewegen. Verdwijnt
er energie bij die bewegingen?
Een schaatser haalt bijna 50 km/h en gaat dus vrijwel 10 km/h harder dan
een skeeleraar. Toch lijkt de beweging van een schaatser sterk op de
beweging van een skeeleraar.
32
d Is er een verschil in de tegenwerkende krachten bij een schaatser en een
skeeleraar? Kun je daarmee het verschil in topsnelheid verklaren?
e De skeelers die gebruikt worden zijn door de wielen veel zwaarder dan
schaatsen. De massa van de skeelers zorgen voor een behoorlijk
energieverlies. Leg uit hoe dat kan.
42 Waardoor gaat een hardloper zo langzaam?
Een hardloper heeft een lagere snelheid en daardoor ook een veel lagere
luchtweerstand dan een wielrenner. Bij het wereldrecord van Daniel Komen
over 3 km liep hij met een gemiddelde snelheid van 24,5 km/h (6,8 m/s). Bij
deze snelheid is zijn luchtweerstand 9,0 N.
a Bereken het mechanisch vermogen dat Daniel Komen bij deze race
leverde.
Figuur 80 – Daniel Komen
tijdens de recordrace. De
onderbenen van hardlopers
maken een grotere beweging dan
de bovenbenen.
Voor hardlopen is dus kennelijk slechts een erg kleine kracht nodig en de
atleet levert een laag vermogen. Toch gebruiken zijn spieren ongeveer
evenveel energie, want beide atleten zijn na afloop van hun race uitgeput.
Waar gaat die energie heen?
Een hardloper tilt zijn onderbeen een flink eind omhoog, dat blijkt in de
praktijk de minste energie te kosten.
b Wat gebeurt er met de zwaarte-energie van het onderbeen op het moment
dat hij zijn voet op de grond zet?
c Een hardloper zwaait zijn been met flinke snelheid naar voren. Wat
gebeurt er met de bewegingsenergie van het been op het moment dat hij
zijn voet op de grond zet?
Wielrenners en schaatsers leveren arbeid tijdens het strekken van hun
benen. Een wielrenner trapt daarbij vrijwel in de ideale richting.
d Leg uit waarom een hardloper weinig energie kan halen uit het strekken
van zijn benen.
e Verklaar de bewering: “Wielrenners trainen om een groot vermogen te
leveren, hardlopers trainen om zo weinig mogelijk energie te verspillen.”
Figuur 81 – Hardlopers bewegen
hun bovenlichaam en armen zo
min mogelijk om energieverlies
te voorkomen.
Hardlopers trainen veel meer op looptechniek dan op het leveren van een
groot vermogen. Je zult een hardloper dan ook niet snel een test zien doen op
een fietsergometer.
f Leg uit dat het trainen op looptechniek veel meer winst kan opleveren
dan het trainen op vermogen.
33
Samenvatting
Begrippen
Energieverlies
Rendement
Een hoge topsnelheid wordt gerealiseerd bij een kleine tegenwerkende
kracht, een groot mechanisch vermogen en weinig verlies aan energie.
Het mechanisch vermogen is groot als de spieren in de optimale richting
gestrekt kunnen worden, als de spieren voortdurend kracht kunnen leveren
en als het tempo waarmee de benen bewegen hoog is.
Energieverlies treedt bijvoorbeeld op bij het bewegen van armen en benen.
Bij hardlopen is dit verlies erg groot, bij wielrennen is door de cyclische
beweging het energieverlies erg klein.
Opgaven
43 Begripstest
Geef bij de onderstaande beweringen aan of de uitspraak klopt.
a De topsnelheid van sporters is, bij gegeven mechanisch
vermogen, omgekeerd evenredig met de tegenwerkende
krachten.
ja / nee
b Een hardloper gebruikt meer energie om zijn benen te
bewegen dan om de tegenwerkende krachten te ‘overwinnen’.
ja / nee
c Bij een wielrenner op topsnelheid is de tegenwerkende kracht
groter dan bij een skeeleraar op topsnelheid.
ja / nee
d Het rendement van de inspanning is bij een wielrenner groter
dan bij een skeeleraar.
ja / nee
e Een wielrenner levert bij een hoog beentempo altijd een groter
vermogen dan bij een laag beentempo.
ja / nee
Theorie: Vermogen en rendement van een sporter
Het vermogen dat een sporter kan leveren hangt sterk af van de situatie
waarin hij dat vermogen moet leveren en de manier waarop hij zijn
spieren gebruikt. Al deze factoren leveren een bijdrage aan het rendement
van de sporter. Zelfs bij een zeer efficiënte sporter gaat het grootste deel
van de energie die de spieren gebruiken verloren. Een groot deel gaat
verloren aan warmte, daardoor ga je bijvoorbeeld zweten. Bij wielrenners
ligt het rendement ongeveer bij 20%.
Het rendement η kan ook uitgedrukt worden in het vermogen:

Pmech
100%
Pspier
Bij het rekenen met procenten is het gebruik van een verhoudingstabel
handig.
De natuurkunde van wielrennen, hardlopen, schaatsen enz.
Auteur: Bart Lindner, bron: natuurkunde.nl
Wielrennen, hardlopen, schaatsen, motorracen hebben, natuurkundig
gezien, veel zaken gemeen. Het gaat om het produceren van kracht, het zo
klein mogelijk maken van wrijving en daardoor het bereiken van hoge
snelheid. Welke snelheid kan je halen als je rent, op de fiets, op de
schaats, in de raceauto? Bekijk dit artikel op internet
http://www.natuurkunde.nl/artikelen/view.do?supportId=836547
34
44 Energie bij hardlopen
Een hardloper gebruikt een groot deel van zijn energie voor het heen- en
weer bewegen van zijn benen. Uit onderzoek is nu gebleken dat er een
optimale rensnelheid is voor mensen.
Mens heeft optimale rensnelheid
NRC, april 2009
De meest efficiënte hardloopsnelheid
voor vrouwen is gemiddeld 10,4 km/h.
En voor mannen is dat gemiddeld 13,3
km/h. Ren je sneller of langzamer, dan
verbruik je per km meer calorieën dan
bij deze optimale snelheid. Dit blijkt uit
onderzoek aan negen proefpersonen
die op een loopband renden.
Voor mensen werd tot nu gedacht dat een
hogere snelheid altijd meer energie kostte.
Dat is ook zo als het per minuut wordt
bekeken: wie sneller loopt, gaat meer zweten
– dat merkt iedere hardloper. Maar gemeten
per afgelegde meter is er wel degelijk een
optimale snelheid.
Die optimale snelheid is voor een goed
getrainde loper snel, maar te doen. Vrouwen
lopen dan de halve marathon in 2.02 uur;
mannen doen er dan 1.35 uur over. Een man
loopt de hele marathon dan in 3.10. Het
verschil tussen mannen en vrouwen wordt
waarschijnlijk veroorzaakt door het grotere
gewicht en de langere benen van de mannen
uit het onderzoek. Ieder individu had een
eigen optimale snelheid.
Algemeen wordt aangenomen dat pas Homo
erectus (vanaf 1,8 miljoen jaar geleden) goed
kon rennen en dat hij dat vermogen gebruikte
om achter beesten aan te rennen om ze zo uit
te putten en ze na een aantal uur vrij
gemakkelijk
te
doden
waren.
a Leg in je eigen woorden uit hoe het kan dat een hardloper bij de optimale
rensnelheid meer zweet dan bij een lagere snelheid, maar toch minder
energie verbruikt.
Dit verschijnsel moet verklaard kunnen worden uit het optillen en
meebewegen van het onderbeen. Bekend is dat hardlopers hun onderbenen
verder optillen naarmate de snelheid groter wordt, net zoals de struisvogel.
Het naar voren zwaaien van de benen kost dan minder energie
b Leg in je eigen woorden uit dat het naar voren bewegen van de
onderbenen bij een lage snelheid meer energie kost dan bij de optimale
rensnelheid.
Vermogen en trapfrequentie
Een wielrenner kan op twee manieren meer vermogen leveren: door meer
kracht te zetten of door de pedalen sneller rond te draaien. Hetzelfde
geldt voor een roeier die de kracht of de slagfrequentie kan aanpassen.
Aan beide factoren zit een grens, bij een grote kracht zullen de spieren
sneller verzuren, bij een te hoge trapfrequentie kunnen de benen het niet
meer ‘bijhouden’. Bij een lichter verzet en een hoge frequentie wordt het
rendement kleiner.
Door een andere verzet te kiezen kan de wielrenner de trapfrequentie en
kracht veranderen. Bij een optimale combinatie van versnelling en
trapfrequentie haalt hij het maximale uit zijn lijf.
35
8 Sporten op topsnelheid
Topsnelheid berekenen
Wat gaan we doen?
Het vermogen dat een sporter moet leveren hangt af van de snelheid en de
tegenwerkende krachten. Omgekeerd wil een sporter graag weten hoeveel
sneller hij gaat door training, of welke snelheid hij zou kunnen halen.
 Hoeveel sneller ga je als je door training 10% meer vermogen levert?
 Hoe kun je je eigen topsnelheid berekenen?
Oriëntatie
45 Topsnelheid bij schaatsen en fietsen
Bij sporten zoals schaatsen en wielrennen is de rol- of glijwrijving vaak
verwaarloosbaar kleine. De luchtwrijving is verreweg de belangrijkste factor.
De snelheid die een sporter kan halen hangt dan alleen af van het geleverde
vermogen en de tegenwerkende krachten.
In de onderstaande grafiek is voor een schaatser het verband weergegeven
tussen de snelheid en de totale tegenwerkende kracht.
Figuur 85 – Wrijvingskrachten bij schaatsen
Bij een hogere snelheid neemt de wrijvingskracht snel toe. Een sporter moet
dan meer energie leveren binnen een kortere tijd. Een toename van het
vermogen door training betekent nog niet dat de snelheid evenredig
toegenomen is.
a Hoe kun je aan de grafiek zien dat de glijwrijving verwaarloosd is?
b Wat betekent dit nu voor het vermogen dat een sporter moet leveren om
een twee keer zo hoge snelheid te halen? Beredeneer of schat hoeveel keer
zo groot het vermogen moet worden.
c Hoe zou jij het aanpakken om, als je het vermogen en de tegenwerkende
krachten kent, te berekenen hoe hoog de snelheid wordt?
36
Uitwerking
46 Snelheid en vermogen bij schaatsen
Bij het voorbeeld van de schaatser past bij de grafiek van de wrijvingskracht
een formule:
Fwrijving  0,185  v 2
Bij een snelheid van 12 m/s is de wrijvingskracht 26,6 N. Het vermogen dat
de schaatser levert is dan: P = Fv = 320 W.
a Bereken met hoeveel procent het vermogen moet toenemen om een
snelheid te halen die 10% hoger is.
Als de schaatser door training het vermogen heeft doen toenemen van 320 W
tot 352 W (dat is 10% meer), met hoeveel procent zou dan de snelheid zijn
toegenomen?
b Leg uit dat nu geldt: Pmech  0,185  v
3
c Bereken met hoeveel procent de snelheid toeneemt als het vermogen 10%
groter wordt. Gebruik zonodig de grafische rekenmachine (intersect).
47 Hoe hard kun je zelf fietsen?
Fietsen kost energie. Bewegingswetenschappers hebben het verband tussen
kracht, snelheid en energieverbruik onderzocht. De grafiek in figuur 81 geeft
het verband tussen snelheid, kracht en vermogen voor een stadsfiets.
In de grafiek is te zien dat bij windstil weer en een snelheid van 5 m/s (dat is
18 km/u) op een gewone fiets de totale wrijvingskracht 15 N is.
a Ga met een berekening na dat het vermogen dan 75 watt is.
Neem aan dat de wrijvingskracht alleen wordt veroorzaakt door
luchtwrijving, zodat geldt:
Ftegen  k  v 2
b Bereken de waarde van k uit bovenstaande gegevens.
Figuur 87 - Uit: Natuur &
Techniek, auteur: Prof dr ir
Henk Tennekes
Waarschijnlijk kun je gedurende korte tijd een veel hoger vermogen leveren
dan 300 watt. Een redelijke aanname is 600 watt. De grafiek is niet geschikt
om je snelheid af te lezen bij 600 watt.
c Stel een vergelijking voor het vermogen op en bereken je snelheid bij 600
watt.
Door over je stuur te buigen kun je de luchtweerstand 25% kleiner maken.
d Bereken je topsnelheid als je op deze manier je luchtweerstand kleiner
maakt. Bereken daarvoor eerst de nieuwe waarde voor k.
37
Begrippen
Duurvermogen
Topsnelheid
Samenvatting
Topsnelheid berekenen
Om de snelheid te berekenen moeten het mechanisch vermogen en de
tegenwerkende krachten bekend zijn. In situaties waar de tegenwerkende
krachten alleen rolwrijving en luchtwrijving zijn geldt:
Pmech  k  v 3
48 Begripstest
Geef bij de onderstaande beweringen aan of de uitspraak klopt.
De luchtwrijving is kwadratisch evenredig met de snelheid.
ja / nee
a Het vermogen is kwadratisch evenredig met de snelheid.
ja / nee
b Op een vlakke weg is voor een snelheidstoename van 1% een
vermogenstoename van ongeveer 3% nodig.
ja / nee
c Door over je stuur te buigen kun je de luchtweerstand 25%
kleiner maken. Bij gelijke snelheid hoef je dan ook 25%
minder vermogen te leveren.
ja / nee
d Door over je stuur te buigen kun je de luchtweerstand 25%
kleiner maken. Bij gelijk vermogen wordt de snelheid dan
ongeveer 8% groter.
ja / nee
49 Snelheid en vermogen
De tegenwerkende krachten bij wielrennen zijn de luchtwrijving en de
rolwrijving. Voor een gemiddelde wielrenner geldt bij benadering:
Fw = 0,17∙v²
De wielrenner fietst met een snelheid van 45 km/h.
a Bereken de totale tegenwerkende kracht bij deze snelheid.
b Bereken het vermogen dat de wielrenner moet leveren.
Bij een lagere snelheid zijn ook de tegenwerkende krachten kleiner.
c Bereken het vermogen dat deze wielrenner moet leveren bij een snelheid
van 36 km/h.
De wielrenners van de Rabo jeugdopleiding leveren allemaal een
duurvermogen tussen 350 en 450 watt.
d Leg uit dat zij heel ontspannen kunnen fietsen met een snelheid van 36
km/h maar dat voor een snelheid van 45 km/h een flinke inspanning
nodig is.
e Welke snelheid kan een renner halen bij een vermogen van 450 watt?
38
50 Hoe hard kun je zelf op een ligfiets?
Op de foto zie je de snelste fiets ter wereld en Sam Whittingham de wereldrecordhouder uit 2007. Het record staat op 130,1 km/h, het uurrecord op
86,5 km/h. De snelheden die ligfietsen halen zijn vooral het resultaat van het
verlagen van de luchtweerstand. Voor de totale wrijving geldt bij benadering
de formule:
F w 0,027  v 2 .
a Bereken de topsnelheid die jij zou kunnen halen in de Varna. Maak een
schatting van het maximale vermogen dat je kunt leveren gedurende
enkele minuten.
Voor het wereldrecord is niet alleen een snelle fiets maar ook een goede
coureur nodig. Sam Wittingham leverde bij beide prestaties een behoorlijk
groot vermogen.
b Bereken welk vermogen Sam moest leveren bij het snelheidsrecord en bij
het werelduurrecord.
Figuur 90 – Wereldrecordhouder in 2007 Sam
Wittingham.
51
Figuur 91 – Bij een eindsprint is
de snelheid erg hoog. De renners
leveren gedurende enkele
seconden hun piekvermogen.
De topsnelheid berekenen
De topsnelheid hangt dus alleen af van het vermogen en de tegenwerkende
kracht. Een wielrenner levert tijdens een eindsprint een vermogen van 1500
watt. Voor de tegenwerkende kracht geldt bij benadering: Ftegen = 0,25∙v².
a Gebruik Pmech = Ftegen∙v om de topsnelheid te berekenen. Geef het
antwoord in km/h.
Deze sprinter fietst met een hoge trapfrequentie (110 omw/min). Bij één
omwenteling van het pedaal legt de voet een verplaatsing van 110 cm af.
b Bereken de afstand die de trappers per seconde afleggen.
c Bereken de gemiddelde kracht die de wielrenner tijdens de sprint op het
pedaal uitoefent.
39
Figuur 92 – De Flycycle. De
bestuurder zit binnen de vleugel.
Flift
Fvleugel
52 Vliegen op menskracht
Is het ook mogelijk om op menskracht te vliegen? Sinds 1976 zijn allerlei
soorten vliegtuigjes gebouwd, maar het blijkt erg lastig te zijn. De meeste van
deze vliegtuigen hebben een spanbreedte van 30 m, daarmee is het opstijgen
en landen erg lastig. Bovendien vliegen ze meestal niet erg snel, ongeveer 25
km/h.
Het modernste ontwerp is de Flycycle, een Human Powered Flying-wing.
Het vliegtuig is niet meer dan een grote vleugel waar de piloot in opgesloten
zit. De Flycycle heeft een spanbreedte van 13 m en een kruissnelheid van 35
km/h. De totale massa van vliegtuig plus piloot is 115 kg.
Bij een snelheid van 35 km/h moet de piloot een mechanisch vermogen
leveren van 184 W.
a Bereken hoe groot de luchtweerstand van de Flycycle bij deze snelheid is.
Bij een vliegtuig staan de vleugels altijd schuin op de beweging. De
luchtstroom langs de vleugel zorgt voor een kracht schuin omhoog. De
horizontale component van deze kracht is de luchtweerstand Fw,l, de verticale
component is de liftkracht Flift die het vliegtuig ‘draagt’.
b Leg uit dat het voor de Flycycle heel belangrijk is dat de luchtweerstand
veel kleiner is dan de liftkracht.
Fw,l
c Leg uit dat het een groot voordeel is dat de piloot in de vleugel zit.
Figuur 93 – Het glijgetal is de
verhouding tussne de liftkracht
Flift en de luchtwrijving Fw,l.
Vliegtuig
glijgetal
Flift/Fw,l
modern zweefvliegtuig
60
standaard zweefvliegtuig
35
Boeing 747
17
Concorde
7.14
Cessna 150
De lage snelheid van de Flycycle en soortgelijke vliegtuigjes heeft een groot
nadeel: als het harder waait dan de vliegtuigen kunnen vliegen dan waait het
vliegtuig weg. Voor een hogere snelheid is ook een hoger vermogen nodig.
Voor geoefende sporters is het duurvermogen ongeveer 300 watt.
d Bereken welke snelheid je met de Flycycle kunt halen bij een geleverd
vermogen van 300 watt. Stel eerst een vergelijking voor Fw,l op.
Vliegtuigbouwers noemen het quotiënt van de liftkracht Flift en de
luchtweerstand Fw,l het glijgetal, omdat er direct uit volgt hoever een
vliegtuig zonder stuwkracht kan zweven per meter hoogteverlies. Beide
krachten zijn afhankelijk van de hoek  die de vleugel met de luchtstroom
maakt.
e Bereken de verhouding tussen de liftkracht en de luchtweerstand met
Flift/Fw,l .
f
7
40
Vergelijk het glijgetal van de Flycycle met de waarden van andere
vliegtuigen in de tabel. Wat is je conclusie?
9 Sporten op topsnelheid
Toepassingen en opgaven
Wat gaan we doen?
In het wielrennen speelt het fietsen in de bergen een belangrijke rol. De
ronde van Frankrijk wordt vaak beslist in de beklimmingen. Topwielrenners
rijden de Alpe d’Huez binnen drie kwartier op, welke tijd zou jij halen?
 Hoe groot is het vermogen dat wielrenners bij een beklimming leveren?
 Hoe hard kun je zelf l'Alpe d’Huez op fietsen?
Uitwerking
53 Klimrecord op l’Alpe d’Huez
Als voorbeeld kijken we naar het recordklim op l’Alpe d’Huez, dat op naam
staat van Marco Pantani. Bij een beklimming spelen andere tegenwerkende
krachten een rol dan op het vlakke.
a Leg uit waardoor bergop de invloed van de luchtwrijving veel kleiner is.
Figuur 94 – Pantani en
Armstrong tijdens een
beklimming.
Bij het bergop fietsen is sprake van een extra tegenwerkende kracht die
wordt veroorzaakt door de helling. Die extra tegenwerkende kracht is de
component van de zwaartekracht evenwijdig aan de helling.
De massa van de fiets van Pantani is 8,5 kg, hij weegt zelf 54 kg. Het
gemiddelde stijgingspercentage is 7,7%, dat betekent dat de component van
de zwaartekracht ook 7,7% van de zwaartekracht is.
b Bereken eerst de zwaartekracht op Pantani (plus fiets) en bereken
daarmee de extra tegenwerkende kracht.
De rolweerstand is 3,0 N, voor de luchtwrijving geldt: Flucht = 0,21∙v². Dat
betekent dat voor de totale tegenwerkende kracht geldt:
Ftegen  50,2  0,21  v 2
Fz,ovst
13,8 km
In 1997 vestigde Pantani een klimrecord op l’Alpe d’Huez: 37 min en 15 sec
c Bereken de gemiddelde snelheid tijdens de klim.
1061 m
α
Fz,aanl
Figuur 95 – Krachten ontbinden op
l’Alpe d’Huez. Stijgingspercentage:
1061 m
 100%  7,7%
13.800 m
d Bereken de gemiddelde tegenwerkende kracht tijdens de klim.
e Bereken het gemiddelde vermogen dat Pantani tijdens deze klim leverde.
41
54 Jouw record op l’Alpe d’Huez
Om jouw recordtijd op l’Alpe d’Huez te berekenen moet je eerst enkele
gegevens verzamelen.
a Maak een schatting van je eigen duurvermogen, dat is het vermogen dat
je minstens een uur kunt volhouden. Als je geen idee hebt neem dan als je
een meisje bent 150 W en als jongen 200 W.
b Maak een schatting van de totale massa van jezelf + fiets + kleding.
Bereken daarmee de extra tegenwerkende kracht tijdens de klim.
Omdat de snelheid zo laag is mag je in dit geval aannemen dat de lucht- en
rolwrijving tijdens de klim constant zijn: Fw = 12 N.
c Bereken de totale tegenwerkende kracht tijdens de klim.
d Bereken jouw snelheid bergop en ga na hoe lang je over de klim doet.
55 Hardlopen op een berg
Vreemd genoeg zie je soms tijdens bergbeklimmingen dat de toeschouwers
een flink eind meerennen met de wielrenners. Kan dat alleen mt een kort
sprintje of kunnen hardlopers bergop bijna net zo snel als wielrenners?
Elk jaar wordt er op l’Alpe d’Huez een hardloopwedstrijd georganiseerd.
Hardlopers blijken daarbij wel langzamer te zijn dan wielrenners, maar het
verschil is niet echt groot. De snelste hardloper haalde de finish in 55
minuten.
a Bereken de gemiddelde snelheid van deze hardloper in m/s.
Figuur 96 – Tijdens een etappe
in de bergen rent een
toeschouwer mee met de
wielrenners
Een hardloper hoeft geen fiets mee te nemen. De totale wrijvingskracht is
slechts 5,5 N. De hardloper, met een massa van 72 kg, hoeft dus minder
arbeid te verrichten dan de wielrenner.
b Bereken met deze gegevens de totale tegenwerkende kracht.
c Hoe groot is het vermogen dat deze hardloper bergop levert?
Figuur 97 – Hardloopwedstrijd
op l’Alpe d’Huez.
Het vermogen dat deze hardloper bergop levert is veel groter dan het
vermogen dat hij op het vlakke levert bij een gelijke ‘inspanning’. Dat moet
dan ook betekenen dat de beenspieren op een andere manier arbeid leveren
dan bij hardlopen op een vlakke weg.
d Vergelijk de beweging van de benen bij hardlopen op een berg en
hardlopen op het vlakke. Kun je daarmee verklaren waardoor een
hardloper bergop een groter vermogen levert?
42
Opgaven
56 Begripstest
Geef bij de onderstaande beweringen aan of de uitspraak klopt.
a Bij een steile berghelling wordt de tegenwerkende kracht
grotendeels bepaald door de component van de zwaartekracht.
ja / nee
b Bij een helling van 10% is de component van de zwaartekracht
evenwijdig aan de helling ook 10%.
ja / nee
c Op een steile helling is voor een snelheidstoename van 1% een
vermogenstoename van ongeveer 1% nodig.
ja / nee
d Bij een beklimming is de tijdsduur omgekeerd evenredig met
het vermogen.
ja / nee
57 Waar komt de energie vandaan?
Een onderschat onderdeel bij sporten is het aanvullen van de energie die bij
een duurinspanning gebruikt is.
Tijdens een lange etappe die 6 uur duurt levert een wielrenner een
gemiddeld vermogen van 260 watt. Neem aan dat het rendement van de
spieren 23% is. Tijdens of na de tocht moet de energie aangevuld worden met
voedsel. Koolhydraten leveren per gram 18,6 kJ.
a Bereken hoeveel gram koolhydraten de wielrenner moet eten om het
energieverlies van de etappe van 6 uur aan te vullen.
Figuur 89 - Krachten op een
wielrenner. Als de wielrenner
met constante snelheid rijdt, is
de resulterende kracht in
horizontale richting gelijk aan
nul.
Men neemt aan dat een marathonloper tijdens een vlakke marathon van 2
uur en 10 minuten een gemiddeld energieverbruik heeft van 4,6 MJ/uur. De
marathonloper levert daarbij een mechanisch vermogen van slechts 35 watt.
b Bereken hoeveel arbeid de marathonloper geleverd heeft.
c Hoeveel energie moet de hardloper na afloop aanvullen?
d Hoe groot is het rendement van deze marathonloper?
Tijdens de Tour de France leggen de wielrenners in 3 weken tijd zo’n 4000
km af. Per dag zitten ze ongeveer 5,5 uur op de fiets en verbruiken per dag
gemiddeld 6500 kcal (tegen 2500 kcal voor normale mensen, 1 kcal = 4,2
kJ). Dat kan door voeding niet helemaal aangevuld worden zodat een renner
behoorlijk afvalt.
Neem aan dat de Tour 20 dagen duurt, en dat een renner elke dag 1000 kcal
inteert op de lichaamsvetreserve. Verbranding van vet levert 38 kJ/gram.
e Bereken hoeveel een renner na de Tour aan gewicht in de vorm van
lichaamsvet verloren heeft.
43
58 Springen vanuit stand
Bij basketbaltraining wordt geoefend om vanuit stand zo hoog mogelijk te
springen. Met videometen is de beweging van het zwaartepunt vastgelegd.
Op t = 0,60 s bevindt het zwaartepunt bevindt zich in het laagste punt.
Tijdens het afzetten voor de sprong verricht de springer arbeid. De springer
heeft een massa van 76 kg. Neem aan dat de afzet duurt van het tijdstip
t = 0,60 s tot het tijdstip t = 0,90 s. Wrijvingskrachten worden verwaarloosd.
a Bepaal met behulp van de grafiek de toename van de zwaarte-energie
tijdens de afzet.
Tijdens de afzet neemt de snelheid toe.
b Bepaal met behulp van de grafiek zo nauwkeurig mogelijk de snelheid op
dat tijdstip. Teken eerst een raaklijn.
c Bereken hiermee de toename van de bewegingsenergie tijdens de afzet.
d Bepaal het gemiddelde vermogen van de springer tijdens de afzet. Geef de
uitkomst in twee significante cijfers.
59 De Holland Acht
Tijdens de Olympische Spelen in 1996 te Atlanta behaalde de Nederlandse
mannenroeiploeg de "Holland Acht" een gouden medaille met een race over
2000 m in 5 min 42,74 s. Neem aan dat hun snelheid constant was.
Bij deze snelheid is de wrijvingskracht op de boot 6,810² N.
a Bereken het gemiddelde vermogen dat elk van de acht roeiers tijdens de
finale heeft geleverd.
44
60 Fietskar
Op de foto zie je een fiets met een kar die de fiets duwt. In de kar zit een accu
met twee elektromotoren en bagageruimte.
Zonder dat de berijdster hoeft te trappen versnelt zij van 0 tot 20 km/h.
Daarbij legt zij een afstand van 35 m af. De massa van de fiets plus berijdster
is 72 kg. De massa van de lege fietskar is 9,5 kg.
a Bereken de toename van de bewegingsenergie tijdens het optrekken.
Tijdens het optrekken werken er wrijvingskrachten. De totale gemiddelde
wrijvingskracht is tijdens het optrekken 13 N.
b Bereken hoeveel energie er tijdens het optrekken verloren gaat aan
wrijving.
Het optrekken duurde 12,6 s.
c Bereken het gemiddelde vermogen dat de motor tijdens het optrekken
leverde.
In de bovenstaande grafiek is de luchtwrijving Flucht en de rolwrijving Frol op
de fiets met fietskar getekend als functie van de snelheid.
Als de fietser niet trapt is de actieradius 50 km bij een constante snelheid van
20 km/h. De actieradius is de maximale afstand die door het voertuig met
een volle accu afgelegd kan worden als er niet wordt getrapt.
d Bepaal met behulp van de grafiek de arbeid die de motor levert als de
fietser (zonder bij te trappen) 50 km rijdt met een constante snelheid van
20 km/h.
Aangenomen mag worden dat de totale hoeveelheid energie die een volle
accu kan leveren bij elke snelheid hetzelfde is.
e Bepaal met behulp van de grafiek de actieradius bij een constante
snelheid van 40 km/h.
45
61 Fietsen
Fietsen kost energie. Als je met een hoge snelheid fietst, kost dat meer
energie dan wanneer je met een lage snelheid fietst. Lijn F in figuur 2 geeft
weer hoe het vermogen dat een fietser op een gewone fiets moet leveren,
afhangt van de snelheid waarmee hij fietst. Lijn L hoort bij een ligfiets.
a Lees in de grafiek het vermogen af dat nodig is om met een constante
snelheid van 18 km/h (dat is 5,0 m/s) te fietsen op een normale fiets.
Je fietst een afstand van 7,5 km met een constante snelheid van 18 km/h.
b Bereken hoe lang je daarover doet.
c Bepaal hoeveel energie er nodig is om met een gewone fiets een afstand af
te leggen van 7,5 km met een constante snelheid van 18 km/h.
Met een ligfiets kun je met hetzelfde vermogen in dezelfde tijd een grotere
afstand afleggen dan de 7,5 km.
d Bepaal het verschil in afstand.
46
Wisselwerking & Beweging
5 HAVO – hoofdstuk 4
Uitwerkingen
1
2
3
4
Energiesoorten
a Veerenergie, spierenergie, bewegingsenergie,
energieverlies door wrijving (warmte),
chemische energie (brandstof), zwaarteenergie, elektrische energie.
b Kernenergie, energie van straling (licht).
c E = m∙c² en Ech = rv∙V. De andere
energiesoorten komen later aan bod.
Energieomzetting en kracht
a Warmte.
b Wrijvingskracht.
c Zwaartekracht (bij vallen).
d Bewegingsenergie en chemische energie.
Arbeid bij sport
a Hockey: afstand sleeppush. Speer: aanloop en
worp. Verspringen: aanloop en afzet.
b Dan kan er meer energie omgezet worden, dus
een hogere snelheid.
c Kracht en afstand.
Een helling om iets op te tillen
a W = F∙s = 1800,50 = 90 J.
b sinα = 0,10 geeft α = 5,7°. F = Fzsinα= 18 N
c Ja, dus W is gelijk gebleven.
d In het karretje, dat noemen we zwaarteenergie.
5
Begripstest
a nee b. ja c. nee d. ja e. ja
6
Millenniumrad
a De arm van de zwaartekracht wordt tijdens het
optakelen kleiner, de arm van de kabel groter.
b De kracht is niet constant.
c 77 m
d Ez = mgh = 1,5·106  9,81  77 = 1,1 GJ.
7
Kurkentrekker
a Win = Wuit. Hoe groter de afstand, des te
kleiner de kracht die nodig is.
b 2  76  0,070 = 106 J.
c W = Fs geeft F = 106/0,024 = 4,4 kN.
d eigen uitleg. Arbeid in = arbeid uit geeft:
(F·s)in = (F·s)uit
8
Inzamelingsactie
a E = mgh = 939,811061 = 968 kJ.
b W = Fs = 5,613.800 = 77 kJ.
c 6(77+968) = 6,3 MJ.
d Espier = 6,3/0,25 = 25,2 MJ. ca 6000 kcal.
9
De energie van een hockeybal
a De massa.
b a = F/m = 10/0,2 = 50 of
20/0,2 = 100.
c De onderste lijnen.
d t = 0,2 s, dus v = 10 m/s.
e 14 m/s
f
20 m/s
push
arbeid W snelheid v
(joule)
(in m/s)
eerste
10
10
tweede
20
14
derde
40
20
g De energie is evenredig met het kwadraat van
de snelheid.
10 Een formule voor de bewegingsenergie
a E = 1/20,220² = 40 J (klopt).
b zelf nagaan.
c Vul in s = ½∙a∙t².
d a∙a∙t∙t = v∙v = v², dus W = Ek = ½∙m∙v².
11
Begripstest
e ja b. nee c. ja d. ja e. nee
12
De energie van een hockeybal
a De wrijvingskrachten.
b Ebew = ½0,2016² = 25,6 J.
c Wwr =F∙s geeft 25,6 = 0,25s en s = 102 m.
d W = F∙s invullen, 25,6 = F65.
13
Glijbaan
a Gebruik Ez = mgh
b mgh = 1/2mv² geeft v² = 2gh = 29,8112
en dus v = 15 m/s.
c Door de wrijving.
14 Energie voor optrekken
a Ek = ½∙m∙v² = 116 kJ.
b W = F∙s geeft s = 116.000/3000 = 39 m.
c F = 2,4 kN, W = F∙s geeft s = 48 m.
15
Arbeid en energie bij afremmen
a Ek = ½∙m∙v² = 4,7 MJ.
b F = W/s = 94 kN.
c F∙srem is de arbeid die de remmen verrichten
om de snelheid af te laten nemen.
d F∙s = constant, dus deel s door 0,75  srem = 67
m.
16 Speerwerpen
a 360 J.
b eigen uitleg.
c Ongeveer 2 m.
d W = F∙s geeft 350 = F2,0 dus F = 175 N.
e Een deel van de energie wordt omgezet in
zwaarte-energie.
f g De hoogte neemt 16 m toe, de zwaarte-energie
neemt dus 0,809,8116 = 126 J toe. Blijft over
Ek = 234 J = ½∙m∙v² geeft v = 24 m/s.
17
Begripstest
a ja b. nee c. ja d. ja e. ja
18 Hoogspringen en verspringen
a Met een aanloop heb je al (horizontale)
bewegingsenergie die met de juiste afzet wordt
omgezet in een verticale beweging.
b E = 0,5·m·v² = 0,5845² = 1050 J.
m·g·h = 70% = 735 J  h = 0,89 m.
c Er blijft 30% energie over  ½·m·v² = 315  v
= 2,7 m/s.
d Dan wordt de timing van de sprong lastiger.
19 Vallen en botsen
a Ek = ½·m·v² = 0,570(40/3,6)² = 4,3 kJ
b Ez = m·g·h = 709,816,0= 4,1 kJ
c m∙g∙h = ½∙m∙v², je kunt m wegstrepen
d 14 m hoogte: Ez = 709,814 = 9,6 kJ 
½·m·v² = 9600 geeft v = 16,6 m/s = 40 km/h.
Omgekeerd: 80 km/h = 22,2 m/s, Ek = 17 kJ
= Ez geeft h = 25,2 m
20 Duiken in ondiep water
a Ek = ½·m·v² = 0,570(96/3,6)² = 24,9 kJ.
b h = E/m·g = 36 m
c W = Fres·s geeft Fres = Ek/s = 24.888/3 = 8,3
kN. Omdat ook nog de zwaartekracht werkt
geldt Fwater = 9,0 kN.
21
Inveren bij trampolinespringen
a 6,2 m/s en 5,0 m/s.
b Bereken Ek: 0,5606,2²= 1153 J en
0,5605,0² = 750 J.
c h = E/m·g geeft 1,96 m en 1,27 m. Het verschil
is 69 cm)
22 Kogelstoten
a Toename Ek = 0,55,06,0² - 0,55,02,0² =
80 J.
b Extra hoogte is 0,84sin(45°) = 0,59 m.
Toename Ez = m·g·h = 29 J.
c W = 80 + 29 = 109 J. W = F∙s geeft F =
109/0,84 = 130 N.
23 Het nieuwe rijden
a Schakelen, uitrollen, 80 in z’n 5 en
vooruitkijken. Bij een gelijkmatige snelheid
gaat zo min mogelijk energie verloren. De
motor is het zuinigst bij lage toerentallen, dus
op tijd schakelen naar een hogere versnelling.
b Een lage rijsnelheid, niet snel optrekken.
c Stroomlijn, afmetingen, bandenspanning, type
brandstof, rendement motor.
d Toerenteller en cuisecontrol.
e Hoge snelheid, airco, dakkoffer, ramen open.
24 Arbeid bij 100 en 80 km/h
a 390 N en 490 N.
b De snelheid is constant, dus Fres = 0.
c De afstand.
d 39 MJ en 49 MJ.
25 Brandstofverbruik berekenen
a 33∙106 J = 33 MJ.
b 0,2433 = 7,92 MJ.
c 4,9 L/100km en 6,2 L/100km.
d Besparing 21%.
e Dat is een aanzienlijke besparing, dus een
zinvolle maatregel.
26 Begripstest
a nee b. nee c. ja d. ja e. ja
48
27 Rendement auto
a W = F∙s = 1100100.000 = 110 MJ.
b 1433 MJ = 462 MJ.
c 110/462 = 0,24, dus 24%.
28 Voordelen hybride auto
a 5/1004,8 = 0,24 L.
b Ek = ½∙m∙v² = ½1055(50/3,6)² = 102 kJ.
c 20102 = 2,04 MJ.
d 2,04 MJ = 20%, bespaard wordt 100% = 10,2
MJ. Dat scheelt 0,31 L brandstof.
e 20 keer 20 seconde = 400 s. Dat scheelt
400/36000,5 = 0,056 L.
f In de stad is het verbruik van een normale auto
al snel 8 L/100km. Bij de Toyota Prius is dat
aanzienlijk minder.
29 Energiesoorten
a Ech = rv∙V; Ekin = ½∙m∙v² ; Ez = m∙g∙h;
30 Luchtwrijving en rolwrijving
a Warmte.
b –
c 31
Zonne-energie voor de Nuna 4
a W = F∙s = 613.000.000 = 183 MJ.
b 187 MJ.
c 187/7*365 = 9,7 GJ.
d 148 kWh = 533 MJ. Een liter brandstof levert
ca. 8 MJ. Dat bespaart 67 liter per jaar.
e De besparing weegt niet op tegen de kosten.
32 Luchtwrijving en rolwrijving
a Fw,l = 0,5×0,32×1,97×1,22×50² = 961 N.
b Fw,l = 427, Ftegen = 607 N, W = 607×100.000 =
6,07∙107 J. Ech = 2,53∙108 J = 7,7 L per 100 km.
c Fw,r = 180×(1700/1250) = 245 N, Fw,l = 542 N
Ftegen = 786 N, verbruik is 9,9 L/100 km.
d 2,2 L extra per 100 km. Bij 3000 km: 66 L.
33 Zuinigheidswereldrecord
a Fw,l = 1,7 N, dus Fw = 3,7 N.
b W = F·s = 3,73.789.000 = 14 MJ. Het
rendement moet dan 42% zijn geweest. Dat is
erg hoog voor een automotor.
34 Sporten op topsnelheid
a Bij constante snelheid wordt alle energie van
de spieren omgezet in warmte door wrijving.
b Spierkracht en wrijvingskrachten.
c Wrijvingskracht en afstand.
35 Vermogen meten bij een roeitrainer
a De kracht op het handvat en de afstand die het
handvat aflegt.
b Door de luchtwrijving op het vliegwiel.
c De tijd wordt korter.
36 Vermogen meten met een ergometer
a De tegenwerkende kracht van de fietstrainer,
de verplaatsing van de rol door de band.
b De snelheid van de rol is gelijk aan de snelheid
waarmee de fiets over de ‘weg’ rijdt.
krachtafstand/tijd is dan gelijk aan kracht 
snelheid.
c P = F∙v geeft 375 = 41∙v dus v = 9,1 m/s.
d Nee, er ‘verdwijnt’ ook nog energie door
wrijving bij bewegende delen in de fiets
(trappers en ketting).
37 Arbeid en vermogen bij schaatsen.
a Circa 30 N.
b 3010.000 = 300 kJ.
c P = W/t = 300.000/800 = 375 W.
d Vermogen = kracht verplaatsing / tijd = Fv =
3012,5 = 375 W.
e De tegenwerkende kracht neemt kwadratisch
toe en de tijd wordt ook nog korter.
38 Begripstest
a nee b. ja c. ja d. ja e. nee
39 Vermogen en kracht bij een roeitrainer
a E = P∙t = 320155 = 49,6 kJ.
b 1,5 m.
c Aantal slagen = 33(155/60) = 85. Per slag
levert hij 583 J arbeid. W = F∙s geeft F = 389
N.
d P = Fw×v geeft 320 = Fw(11,6/3,6) dus Fw =
99 N.
40 Het vermogen meten tijdens de race
a 921,10 = 101 m.
b W = F∙s = 267101 = 27 kJ.
c P = W/t = 27 kJ/60 s = 450 W.
d De pedaalsnelheid is de afstand die het pedaal
per seconde aflegt. P = Fs/t.
41 Skeeleren en wielrennen
a Nee, de skeeleraar heeft een ongeveer even
groot frontaal oppervlak, een slechtere
stroomlijn maar geen fiets. Het verschil in
luchtwrijving is te klein.
b Een wielrenner trapte in de goede richting en
kan voortdurend druk op het pedaal houden.
c Er verdwijnt bij de skeeleraar veel energie bij
de bewegingen van zijn benen.
d De rolwrijving is iets groter, maar kan het
verschil niet verklaren.
e Er gaat veel bewegingsenergie verloren.
42 Waardoor gaat de hardloper zo langzaam?
a P = F∙v = 9,06,8 = 61,2 W
b Dat verdwijnt grotendeels.
c Dat verdwijnt grotendeels.
d Het strekken is niet in de bewegingsrichting.
e Bij hardlopers gaat vooral veel energie verloren
aan de bewegingen van de benen. Een groter
vermogen betekent meestal ook zwaardere
benen, dat levert niet veel op.
f Zie e.
45 Topsnelheid bij schaatsen en wielrennen
a De grafiek gaat door de oorsprong.
b Eigen schatting.
c Eigen aanpak.
46 Snelheid en vermogen bij schaatsen
a Dan wordt v = 1,112 = 13,2 m/s. De totale
wrijving is dan 32,2 N. Het vermogen wordt
dan P = F∙v = 32,213,2 = 425 W. Een toename
van 33 %.
b Pm = Ftegen∙v en Ftegen = 0,185∙v².
c P 10% hoger is 352 W. 0,185∙v³ = 352 geeft v
= 12,4 m/s. De snelheid neemt met 3,3% toe
als het vermogen met 10% groeit. De
procentuele toename is dus drie keer zo klein.
47 Hoe hard kun je zelf fietsen?
a P = Fv = 15×5 = 75 W.
b 15 = k5² geeft k = 0,60.
c P = kv³ geeft 600 = 0,6v³ en v = 10 m/s =
36 km/h.
d De formule wordt dan: P = 0,45v³. Met P =
600 W wordt v = 11 m/s = 40 km/h
48 Begripstest
a nee b. ja c. ja d. ja
49 Snelheid en vermogen
a 0,17(45/3,6)² = 26,6 N.
b P = F∙v = 26,645/3,6 = 332 W.
c P = 170 W.
d Het vermogen is slechts de helft van hun
duurvermogen.
e 13,8 m/s = 50 km/h.
50 Hoe hard kun je zelf op een ligfiets?
a P = 0,027v³ met bijvoorbeeld P = 550 W
wordt dat v = 27 m/s = 98 km/h.
b Bij v = 130,1 kmh = 36,1 m/s wordt P =
0,027v³ = 1,27 kW. Bij v = 24,0 m/s wordt het
P = 374 W.
51
De topsnelheid berekenen
a P = 0,25v³ = 1500 geeft v = 18,2 m/s = 65
km/h.
b 1101,10/60 = 2,0 m.
c P = F∙v geeft F = 1500/2,0 = 750 N.
43 Begripstest
a ja b. ja c. ja d. ja e. nee
52 Vliegen op menskracht
a v = 9,7 m/s en P = Fv geeft F = 184/9,7 =
18,9 N.
b De luchtweerstand moet zo klein mogelijk zijn,
en 18,9 N is veel kleiner dan de zwaartekracht.
c Daardoor is de luchtweerstand klein.
d Fw,l = cv² met v = 9,7 en F = 18,9 wordt dan:
c = 0,20. Dat geeft P = 0,20v³. Bij 300 W is
dan v = 11,4 m/s = 41,2 km/h
e Totale massa is 113,5 kg, liftkracht is 1,11 kN.
Fw,l / Flift = 1113/18,9 = 59.
f De Flycycle heeft een extreem hoog glijgetal.
44 Energie bij hardlopen
a eigen uitleg
b eigen uitleg.
53 Klimrecord op l’Alpe d’Huez
a De snelheid is veel lager.
b 62,59,810,077 = 47,2 N.
49
c 13.800 m in 2235 s is 6,2 m/s.
d 50,2 + 0,216,2² = 58,2 N.
e P = Fv = 58,26,2 = 361 W.
54 Jouw record op l’Alpe d’Huez
a b.v. 180 W
b b.v. 80 kg. Fhelling = 809,810,077 = 60 N.
c 72 N
d P = Ftegen∙v = 72∙v. geeft 2,5 m/s.. Tijd:
13.800/2,5 = 5520 s = 1,5 uur.
55 Hardlopen op een berg
a 13.800 m in 3300 s geeft v = 4,2 m/s.
b Fz,ovst = 0,077×72×9,81 = 54,4 N. W = Fs =
(54,4+5,5)×13.800 = 827 kJ.
c 827 kJ in 3300 s geeft P = 250 W.
d Bij het strekken van de benen tilt de hardloper
zichzelf op. Hij moet per stap een veel grotere
kracht leveren en dus meer arbeid. er gaat
relatief minder energie verloren aan het
bewegen van de benen.
56 Begripstest
a ja b. ja c. ja d. nee e. ja
57 Waar komt de energie vandaan?
a W = P∙t geeft W = 2606,03600 = 5,6 MJ.
Ech = 5,6/0,23 = 24,4 MJ. 24,4 MJ / 18,6 kJ =
1,3 kg bananen.
b W = 35×780 = 273 kJ.
c E = 4,62,17 = 10 MJ.
d Rendement 2,7%.
50
e 1000 kcal = 4200 kJ = 110 gram
ververbranding. In 20 dagen is dat 2,2 kg.
58 Springen vanuit stand
a hoogte 30 cm, mgh = 769,81´0,30 = 224 J
b Raaklijn loopt van (0.7, 0.7) tot (1.1, 1.8). v =
1,1/0,4 = 2,75 m/s.
c ½∙m∙v² = ½762,75² = 287 J.
d P = W/t = (224+287) / 0,30 = 1,7 kW
59 De Holland Acht
a P = F∙v= 680(2000/342,74) = 4,0 kW. Per
roeier is dat 500 W.
60 Fietskar
a E = ½mv² = ½81,5(20/3,6)² = 1,26 kJ.
b W = F∙s = 1335 = 455 J
c P = E/t = (1258+455)/12,6 = 136 W.
d Frol + Flucht = 18 N. W = Fs = 1850.000 =900
kJ.
e F = 47 N. W = Fs geeft s = 900.000/47 = 19
km.
61 Fietsen
a Het vermogen is dan 45 W.
b De tijd is: s = v∙t geeft t = 7500/5 = 1500 s.
c E = P∙t = 451500 = 67,5 kJ
d Aflezen: v = 6,5 m/s, dus s = 9,75 km. Dat is
2,25 km extra.
Bijlage 1 – Formules Wisselwerking & Beweging
Bewegingen
Pm 
s  v t
Pm  F  v
s
v gem 
t
v
a
t
Energie en rendement
Ez  m  g  h
Fres  F  m  a
F  0
W
t
 evenwicht
v(t )  a  t
Ek  12  m  v 2
Pmech 

W
Ein

Pm
Pin
s (t )  12  a  t 2
v(t )  g  t
W
t
s (t )  12  g  t 2
vb  a  trem
srem  12  a  t rem
2
Krachten
Fz  m  g
Fveer  C  u
Fr  F1  F2
2
tan(  ) 
2
Fovst
Faanl
Fovst  F  sin(  )
Faanl  F  cos( )
Hefbomen
F  rlinksom  F  rrechtsom
M  F r
M  0  evenwicht
Arbeid en vermogen
W  Fs
Win  Wuit
51