3 ) Quotiënt bij deling door x

Gegeven :A ( x ) ∈ R[ x ]
D ( x ) = x – a ( a ∈ R)
Te bewijzen :
Bij deling van A ( x ) door x – a is R ( x ) = A( a )
Bewijs :
A(x ) = D(x ) ·Q(x ) + R(x )
met gr (R(x )) < gr (D(x )) of R(x ) = 0
A(x ) = (x − a ) ·Q(x ) + R(x )
met gr (R(x )) = 0 of R(x ) = 0 (dus: R(x) = r)
A(a ) = (a − a ) ·Q(a ) + r
A(a ) = r
Voorbeeld :
De rest bij deling van A ( x ) = 2x 3 + 9x 2 + 8x + 1 door x + 3 is
A ( –3) = 2 · ( –3)3 + 9 · ( –3)2 + 8 · ( –3) + 1 = 4
2
–3
2
9
8
1
–6
–9
3
3
–1
4
Opmerking :
–– Het getal waarvoor je de getalwaarde moet bepalen, is het getal dat, ingevuld bij de deler,
de deler de getalwaarde 0 geeft.
–– Voor de deler x – 1 is de getalwaarde 0 als x = 1.
–– Voor de deler x + 3 is de getalwaarde 0 als x = –3.
3 ) Quotiënt bij deling door x – a
We hernemen het vorige voorbeeld.
De reststelling geeft ons de rest van de deling van een veelterm A ( x ) door x – a .
Om het quotiënt te bepalen, gebruiken we het algoritme van de euclidische deling.
Als we het rekenschema van Horner ernaast plaatsen, dan kunnen we het volgende vaststellen.
2
2x 3 + 9x 2 – 8x + 1 x + 3
–
2x 3 + 6x 2
–3
2x 2 + 3x – 1
2
3x 2 + 8x + 1
–
3x 2 + 9x
9
8
1
–6
–9
3
3
–1
4
... + 8x + 1
–x +1
–x –3
–
4
Voor het quotiënt blijken de coëfficiënten van Q ( x ) de reële getallen te zijn die voorkomen op de laatste lijn
in het rekenschema van Horner.
We kunnen deze vaststelling gebruiken om het quotiënt bij een euclidische deling van veeltermen sneller
te bepalen.
Voorbeeld :
Bepaal Q ( x ) en R ( x ) als A ( x ) = x 3 – 2x 2 + 3x + 6 en D ( x ) = x + 2
1
–2
1
–2
3
6
–2
8
–22
–4
11
–16
Het deeltal is van de derde graad en de deler is van de eerste graad. Het quotiënt is bijgevolg van
de 2e graad en de graad van de rest is 0.
Q ( x ) = x 2 – 4x + 11 en R ( x ) = –16
18
HOOFDS TUK 2 • ALGEBRAÏS CHE FUN CTIES
d De hoogte op het tijdstip t = 0 wordt gegeven door h ( 0) = 24.
Op het ogenblik dat we boven de kerktoren vliegen, bevindt de luchtballon zich op een hoogte van
24 · 10 meter = 240 meter.
e Willen we weten hoelang we boven 180 meter vliegen, dan moeten we de oplossingen berekenen van
de ­ongelijkheid h ( t ) > 18 :
h(t ) > 18
24 − 2t +
1 4
1 3
t −
t > 18
18
216
<
t 4 − 12t 3 + 432t − 1296 > 0
–– Tekentabel van t 4 – 12t 3 + 432t – 1296
t
t 4 – 12t 3 + 432t – 1296
Dus : V = ] –6, 6[
–∞
– 6
+∞
6
–
0
+
0
–
+
0
-
0
+
Antwoord : de luchtballon vliegt gedurende [ 6 – ( –6)] uur = 12 uur hoger dan 180 meter.
Terminologie :
a Domein
Het domein van een functie is de verzameling van de x -waarden (hier t -waarden) waarvoor de functie
gedefinieerd is en waarvoor het beeld van de functie (wiskundig) bestaat. Grafisch vinden we dit
door de grafiek van de functie te projecteren op de x-as.
Het domein van de functie h is R. We noteren : dom h = R.
b Praktisch domein
Het praktisch of realistisch domein van een functie in een concreet gestelde opgave, is de verzameling
van de x -waarden waarvoor het beeld van de functie bestaat en in die opgave zinvol is.
Omdat we gerust mogen veronderstellen dat de luchtballon zich steeds boven de grond bevindt,
is h ( t ) steeds positief en dus is het praktisch domein van de functie h gelijk aan [–7,5595 ; 12].
c Nulwaarden
De nulwaarden van een functie zijn de x -waarden waarvoor de functiewaarde nul wordt,
m.a.w. de nulwaarden van h zijn de oplossingen van de vergelijking h ( t ) = 0.
Hier hebben we twee nulwaarden, nl. –7,5595 en 12.
d Beeld
Het beeld (of bereik) van een functie is de verzameling van y -waarden (hier h -waarden) waarvoor er
een x -waarde bestaat zodat y = f ( x ). Grafisch vinden we dit door de grafiek te projecteren op de y -as.
Het beeld van de functie h is ]–∞, α] met α de maximaal bereikte hoogte van de luchtballon.
We noteren : bld h = ]–∞, α]. Probeer met ICT de waarde van α te berekenen.
e Praktisch beeld
Het praktisch of realistisch beeld van een functie in een concreet gestelde opgave is de verzameling van
de y -waarden die de functie binnen de gestelde opgave effectief aanneemt.
Omdat h ( t ) steeds positief verondersteld is, is het praktisch beeld hier gelijk aan [0, a].
45