Signalen en Transformaties (201100109)

Signalen en Transformaties 201100109
Docent :
Anton Stoorvogel
E-mail: [email protected]
1/15
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Begrensde lineaire afbeeldingen
X en Y zijn genormeerde vectorruimten. Een lineaire afbeelding
F W X ! Y heet begrensd als er een c > 0 bestaat zodanig dat:
kF .x/kY 6 ckxkX
2/15
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Continue lineaire afbeeldingen
X en Y zijn genormeerde vectorruimten. Een lineaire afbeelding
F W X ! Y heet continu in x als voor elke " > 0 er een ı > 0
bestaat zodanig dat:
kx
ykX 6 ı H) kF .x/
F .y/kY < ":
Een lineaire afbeelding heet continu als de afbeelding continu is voor
elke x in het domein.
3/15
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Stelling Voor een lineaire afbeelding A de volgende uitspraken zijn
equivalent:
A is continu,
A is continu in 0,
A is begrensd.
4/15
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
X en Y zijn genormeerde vectorruimten. Voor een begrensde lineaire
afbeelding F W X ! Y kunnen we een norm definiëren:
kF .x/kY
kF k D sup
x¤0 kxkX
5/15
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Een eindige basis van een vectorruimte X is een deelverzameling
fx1 ; x2 ; ; xn g
die
onafhankelijk zijn en
de ruimte opspannen
6/15
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Een oneindige (Hamel) basis van een vectorruimte X is een
deelverzameling
V D fx1 ; x2 ; g
die
eindige deelverzamelingen van V zijn onafhankelijk
elk element van X is te schrijven als een eindige combinatie van
elementen uit V .
7/15
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Voor oneindige combinaties:
1
X
˛k xk
kD1
hebben we een convergentiebegrip nodig.
xD
1
X
˛k xk
kD1
dan en slechts dan als
x
K
X
kD1
˛k xk ! 0
voor K ! 1.
8/15
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Reële inproductruimten
Gegeven is een reële vectorruimte V . Een functie h; i W V V ! R
is een reëel inproduct als voor elke x; y; z 2 V en elke ˛ 2 R de
volgende drie axioma gelden:
hx; yi D hy; xi.
h˛x C z; yi D ˛hx; yi C hz; yi.
hx; xi > 0 voor alle x ¤ 0.
9/15
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Complexe inproductruimten
Gegeven is een complexe vectorruimte V . Een functie
h; i W V V ! C is een reëel inproduct als voor elke x; y; z 2 V en
elke ˛ 2 C de volgende drie axioma gelden:
hx; yi D hy; xi.
h˛x C z; yi D ˛hx; yi C hz; yi.
hx; xi > 0 voor alle x ¤ 0.
10/15
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Norm
Een inproductruimte is altijd gekoppeld aan een norm:
p
kxk D hx; xi
Een norm is gekoppeld aan een inproduct als:
2kxk2 C 2kyk2 D kx
yk2 C kx C yk2
(de parallelogram wet).
11/15
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Orthonormale rij
Een rij fe1 ; e2 ; : : : ; en g is een orthonormale rij als:
kek k D 1voor alle k en ek ? ej voor alle k ¤ j:
12/15
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Als fe1 ; e2 ; : : : ; en g een orthonormale rij is dan wordt de beste
approximatie v in spanfe1 ; : : : ; en g van x gelijk aan:
v D hx; e1 ie1 C hx; e2 ie2 C C hx; en ien
Bovendien:
kx
v k2 D kxk2
n
X
jhx; ek ij2 :
kD1
Als x 2 spanfe1 ; : : : ; en g dan hebben we:
kxk2 D
n
X
jhx; ek ij2 :
kD1
(Parseval identiteit).
13/15
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Een Hilbert ruimte is een inproduct ruimte die volledig is.
14/15
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Compleet orthonormaal systeem
Laat X een Hibert ruimte en zij fe1 ; e2 ; : : :g een orthonormale rij
(mogelijk oneindig) in X. De volgende condities zijn equivalent:
x ? ek voor alle ek dan en slechts dan als x D 0.
X
xD
hx; ek iek voor alle x 2 X.
k
2
kxk D
X
jhx; ek ij2 voor alle x 2 X.
k
In dat geval wordt fe1 ; e2 ; : : :g een complete orthonormale basis van
X genoemd of een compleet orthonormaal systeem.
15/15
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI