Functies van een veranderlijke (191512600)

Functies van één veranderlijke 191512600
Docent :
Anton Stoorvogel
E-mail: [email protected]
1/40
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Functies van één veranderlijke
Als je alleen deelneemt aan dit vak en niet aan de andere onderdelen
van deze module, dan bij mij afmelden voor de andere vakken.
Onderwijs
Hoorcollege
Zelfstudie / Computer ondersteund onderwijs
Werkcollege
Practicum
2/40
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Functies van één veranderlijke
Tentamen
4 deeltoetsen
1 herkansing
geen formuleblad
geen rekenmachine
3/40
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Kwalitatieve modellen
4/40
”
Kwantitatieve modellen
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Heart simulations
5/40
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Human vertebrae, studying osteoporosis
6/40
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
ECG signal (100 Hz)
100
80
60
40
20
0
-20
-40
-60
-80
7/40
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
ECG signal (100 Hz)
50
40
30
20
10
0
-10
-20
-30
8/40
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Getallenverzamelingen
9/40
N D f1; 2; 3; : : :g
natuurlijke getallen
Z D f: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : :g
gehele getallen
Q D f nt j t 2 Z; n 2 N g
rationale getallen
R
reële getallen
C
complexe getallen
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Verzamelingen
f2; 4; 6; 8g D f2; 6; 4; 8g
maar
.2; 4; 6; 8/ ¤ .2; 6; 4; 8/
10/40
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Doorsnede en vereniging
f2; 4; 6; 8g \ f1; 3; 6; 9g D f6g
f2; 4; 6; 8g [ f1; 3; 6; 9g D f1; 2; 3; 4; 6; 8; 9g
11/40
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Deelverzameling en element
We hebben:
f2; 4; 6g f1; 2; 3; 4; 5; 6g
en
f1; 2; 3; 4; 5; 6g f2; 4; 6g
Let op:
f3g f3; 6; 9g en 3 2 f3; 6; 9g
12/40
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
13/40
x 2 Œ0; 4
,
x > 0 en x 6 4
x 2 .0; 4
,
x > 0 en x 6 4
x 2 .0; 4/
,
x > 0 en x < 4
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Ongelijkheden
a <b )aCc <bCc
a < b en c > 0 ) ac < bc
a<b)
a>
b
a < b en a > 0 ) a2 < b 2
14/40
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
xy < zy 6) x < z
x 2 < y 2 6) x < y
15/40
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Los op:
16/40
p
3x
8<x
2
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Los op:
p
3x
8<x
2
We krijgen als x > 38 :
2/2
3x
8 < .x
x2
7x C 12 > 0
en
.x
4/.x
3/ > 0
.x > 4 en x > 3/ of .x < 3 en x < 4/
x > 4 of x < 3
Dus:
8
x > 4 of x 2 3 ; 3
17/40
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Los op:
x.x C 3/ > x.2x
18/40
1/
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
x.x C 3/ > x.2x
1/
Als x > 0:
x C 3 > 2x
1
x<4
Als x < 0:
x C 3 < 2x
1
x>4
Dus:
x 2 .0; 4/
19/40
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Los op:
x
x
20/40
2
>3
1
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
x
x
2
>3
1
Als x > 1:
x
2 > 3x
3
2x < 1
Als x < 1:
x
2 < 3x
3
2x > 1
Conclusie:
x 2 . 21 ; 1/
21/40
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Los op:
j2x
22/40
1j > 3
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
j2x
1j > 3
2x
1>3
Als 2x > 1:
x>2
Als 2x < 1:
2x C 1 > 3
2x <
2
Conclusie:
x > 2 of x <
23/40
1
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
We analyseren in dit vak functies
f .x/ D y;
x2A
A wordt het domein van de functie genoemd.
Het bereik van de functie wordt gedefinieerd door:
B D fy 2 R j9x 2 A zodanig dat f .x/ D y g
24/40
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Voorbeelden
p
f .x/ D x 2 5x C 6
8
<1 x x 6 1
f .x/ D
:x 2
x>1
25/40
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Even functie:
f .x/ D f . x/
f .x/ D cos.x/
Oneven functie:
f .x/ D
f . x/
f .x/ D sin.x/
26/40
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Stijgende functie:
f .x1 / > f .x2 / als x1 > x2 .
f .x/ D 3x C 1
Dalende functie:
f .x1 / < f .x2 / als x1 > x2 .
1
f .x/ D ;
x
27/40
x>0
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Samengestelde functie
f; g functies, a een constante
.f Cg/.x/ D f .x/Cg.x/;
.af /.x/ D af .x/;
f
g
f .x/
.x/ D
g.x/
Voorbeeld
sin.x/
tan.x/ D
cos.x/
28/40
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Samengestelde functie
.f ı g/.x/ D f .g.x//
Voorbeeld
xC2
;
f .x/ D
2x C 1
29/40
g.x/ D 2x C 1
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
.f ı g/.x/‹
We hebben:
yC2
f .y/ D
2y C 1
met y D g.x/ D 2x C 1. Dus:
.2x C 1/ C 2
.f ı g/.x/ D
2.2x C 1/ C 1
2x C 3
.f ı g/.x/ D
4x C 3
30/40
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Exponentiële functie
f .x/ D ax
x > 0 geheeltallig: ax D a a a
p
x
p=q
x > 0 rationaal:
a Da
D q ap
x < 0 rationaal:
ax D
1
a
x
Hoe doen we dit voor x irrationaal ?
Speciaal geval: a D e.
31/40
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Machten
1
D2
3
2
25
5
D
2
23
3
3
D 22
p
3
5 D 51=3
32 33 D 32C3 D 35
32/40
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Logaritme
f .x/ D log x;
Voor x > 0 hebben we:
10log x D x
33/40
g.x/ D ln x
e ln x D x
log.10x / D x
ln.e x / D x
log.xy/ D log x C log y
ln.xy/ D ln x C ln y
log.x a / D a log x
ln.x a / D a ln x
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Rekenvaardigheden
Effecten van:
Grafische rekenmachine
Formuleblad
Weinig oefenen
34/40
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Functies van één veranderlijke (191512600)
Zelfstudie 3 september
35/40
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Bereken zonder gebruik te maken van een rekenmachine maar met
behulp van pen en papier:
1. 23 43
2. 48 73
3. 124 256
24
4.
6
182
5.
13
3192
6.
42
36/40
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Schrijf, zonder rekenmachine, als een enkele breuk en vereenvoudig
zoveel mogelijk:
7.
8.
9.
10.
11.
12.
37/40
1
2
1
3
3
6
3
6
4
7
3
6
C
C
C
C
C
C
1
3
1
4
2
5
2
5
1
3
1
3
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
38/40
1 1
C
2 3
3 1
7 6
2 2
4 5
1 1
6 8
1 2
4 5
2 3
7 5
1 3
7 5
3 2
4 6
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
2 11
21. 5
6
1=2
22.
1=4
1=3
23.
1=7
3=11
24.
3=7
2=5
25.
5=2
3
26.
1=4
5=2
27.
1=4
39/40
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
6=2
28.
3=4
40/40
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI