Functies van een veranderlijke (191512600)

Functies van één veranderlijke 191512600
Docent :
Anton Stoorvogel
E-mail: [email protected]
1/43
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Maxima en minima
Gegeven een functie f met domein D.
De functie heeft een globaal minimum in c als f .c/ 6 f .x/
voor alle x 2 D.
De functie heeft een globaal maximum in c als f .c/ > f .x/
voor alle x 2 D.
2/43
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Zij f een functie gedefinieerd op Œ 1; 3:5 met de volgende grafiek:
5
4
3
2
1
0
-1
-1
3/43
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Maxima en minima
Gegeven een functie f met domein D.
De functie heeft een lokaal minimum in c als f .c/ 6 f .x/ voor
alle x in de buurt van c.
De functie heeft een lokaal maximum in c als f .c/ > f .x/ voor
alle x in de buurt van c.
4/43
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Maxima en minima
Gegeven een functie f met domein D.
De functie heeft een globaal minimum in c als f .c/ 6 f .x/
voor alle x in het domein D.
De functie heeft een globaal maximum in c als f .c/ > f .x/
voor alle x in het domein D.
5/43
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Het globale minimum is altijd ook een lokaal minimum
Het globale maximum is altijd ook een lokaal maximum.
6/43
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Kandidaat extrema zijn:
Randpunten
Punten waar de functie niet differentieerbaar is.
Punten waar de afgeleide gelijk is aan 0.
7/43
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Buigpunt
Een punt waar de tweede afgeleide van de functie van teken wisselt,
wordt een buigpunt genoemd.
Stel een functie is twee keer differentieerbaar. In een punt waar de
afgeleide gelijk is aan 0 geldt één van de volgende drie
eigenschappen:
We hebben een lokaal minimum,
We hebben een lokaal maximum,
We hebben een buigpunt.
8/43
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
De functie f .x/ D x 3 met x 2 Œ 1; 1 heeft een buigpunt:
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
9/43
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
De tweede afgeleide geeft extra informatie:
Als f 0 .c/ D 0 en f 00 .c/ > 0 dan heeft de functie een lokaal
minimum in c.
Als f 0 .c/ D 0 en f 00 .c/ < 0 dan heeft de functie een lokaal
maximum in c.
Als f 0 .c/ D 0 en f 00 .c/ D 0 kunnen we geen uitspraak doen.
10/43
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Taylor polynoom
0
f .a/ C f .a/Œx
11/43
f 00 .a/
Œx
a C
2Š
f 000 .a/
a C
Œx
2Š
2
a2 C Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
12/43
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Voor de randpunten kunnen we uit de eerste afgeleide extra
informatie halen.
Voor een linker randpunt:
Als f 0 .c/ > 0 dan heeft de functie een lokaal minimum in c.
Als f 0 .c/ < 0 dan heeft de functie een lokaal maximum in c.
Als f 0 .c/ D 0 kunnen we geen uitspraak doen.
Voor een rechter randpunt:
Als f 0 .c/ > 0 dan heeft de functie een lokaal maximum in c.
Als f 0 .c/ < 0 dan heeft de functie een lokaal minimum in c.
Als f 0 .c/ D 0 kunnen we geen uitspraak doen.
13/43
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Extreme waarde stelling
Een continue functie gedefinieerd op een gesloten interval heeft een
globaal maximum en een globaal minimum.
14/43
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
2
35
1.8
30
1.6
25
1.4
1.2
20
1
15
0.8
0.6
10
0.4
5
0.2
0
15/43
0
0.5
1
1.5
2
0
0
0.5
1
1.5
2
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
f .x/ D 3x 4
16x 3 C 18x 2 ;
16x64
40
30
20
10
0
-10
-20
-30
-1
16/43
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
f .x/ D 3x 4
16x 3 C 18x 2 ;
16x64
0 D f 0 .x/ D 12x 3 48x 2 C36x D 12x.x 2 4xC3/ D 12x.x 3/.x 1/
Kandidaat extremen:
xD
1;
x D 0;
f 00 .x/ D 36x 2
17/43
x D 1;
x D 3;
96x C 36 D 12.3x 2
xD4
8x C 3/
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Lokale maxima: -1, 1, 4
Lokale minima: 0, 3
Globale maximum: -1
Globale minimum: 3
18/43
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
f .x/ D 2x 3
9jxjx C 12x
1;
46x64
3
y=2x -9|x|x+12x-1
40
30
20
10
0
-10
-20
-30
-40
-4
19/43
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
f .x/ D 2x 3
9jxjx C 12x
1;
46x64
0 D f 0 .x/ D 6x 2 18xC12 D 6.x 2 3xC2/ D 6.x 2/.x 1/
x>0
0 D f 0 .x/ D 6x 2 C18xC12 D 6.x 2 C3xC2/ D 6.xC2/.xC1/
x<0
Kandidaat extremen:
xD
20/43
4;
xD
2;
xD
1;
f 00 .x/ D 6.2x
3/;
.x > 0/
x D 0;
x D 1;
x D 2;
f 00 .x/ D 6.2x C 3/;
xD4
.x < 0/
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Lokale maxima: -2, 1, 4
Lokale minima: -4, -1, 2
Globale maximum: 4
Globale minimum: -4
21/43
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Tussenwaardestelling
Gegeven is een functie f die continu is op het gesloten interval
Œa; b. Zij N een getal tussen f .a/ en f .b/.
Er bestaat een c 2 .a; b/ zodanig dat f .c/ D N .
Het geval N D 0 wordt de stelling van Weierstrass genoemd.
22/43
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Toon aan dat de vergelijking:
4x 3
6x 2 C 3x
2D0
een oplossing heeft tussen 1 en 2.
23/43
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
f .x/ D 4x 3
f .1/ D
24/43
1;
6x 2 C 3x
2
f .2/ D 12
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Middelwaardestelling
Zij f een functie die
continu is op het gesloten interval Œa; b,
differentieerbaar is op het open interval .a; b/.
Dan bestaat er een getal c 2 .a; b/ zodanig dat:
f .b/
f .c/ D
b
0
25/43
f .a/
a
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Bewijs : Kijk naar de functie:
h.x/ D f .x/
26/43
f .a/
f .b/
b
f .a/
.x
a
a/
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Stel dat f .0/ D 3 en f 0 .x/ 6 5 voor alle waarden van x. Hoe
groot kan f .2/ dan zijn?
27/43
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
We hebben:
f .2/ D f .0/ C f 0 .c/.2
Gelijkheid volgt voor f .x/ D
28/43
0/ 6
3C52D7
3 C 5x.
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Stelling Als f 0 .x/ D 0 voor alle x 2 .a; b/ dan is f constant op
.a; b/.
Voorbeeld
Toon aan:
1
arctan x D arccos p
1 C x2
29/43
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
1
1 C x2
.arctan x/0 D
arccos p
1
1C
x2
0
Dr
Dq
Dp
30/43
1
1
p 1
1Cx 2
1
1
1
1Cx 2
2
p
1
.1 C x 2 /
1
x
.1 C x 2 /3=2
1
1 C x2
x
1 C x2
x
1
D
2
1Cx
1 C x2
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Bovendien:
1
arctan.0/ D 0 D arccos p
1 C 02
31/43
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
32/43
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Limieten
We weten:
lim f .x/
f .x/
x!a
lim
D
x!a g.x/
lim g.x/
x!a
als lim g.x/ ¤ 0.
x!a
Wat doen we als dit laatste niet waar is?
33/43
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Als f en g gladde functies zijn kunnen we ze approximeren met een
Taylor reeks:
00
f
.a/
0
f .x/ f .a/ C f .a/Œx a C
Œx a2
2Š
g 00 .a/
0
Œx a2
g.x/ g.a/ C g .a/Œx a C
2Š
34/43
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Als we nu bekijken:
0 .a/Œx
f .a/ C f
f .x/
lim
D lim
x!a g.x/
x!a g.a/ C g 0 .a/Œx
a C
a C
f 00 .a/
2Š Œx
g 00 .a/
2Š Œx
a2
a2
Als f .a/ D 0 en g.a/ D 0 maar g 0 .a/ ¤ 0 vinden we:
f 0 .a/
f .x/
lim
D 0
x!a g.x/
g .a/
35/43
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Stelling van l’Hôpital
Als
lim f .x/ D 0;
x!a
lim g.x/ D 0
x!a
Dan geldt:
f 0 .x/
f .x/
lim
D lim 0
x!a g.x/
x!a g .x/
vooropgesteld dat de rechter limiet bestaat.
36/43
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Voorbeeld
sin.x/
,
lim
x!0
x
37/43
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
sin.x/
lim
x!0
x
lim sin.x/ D 0
x!0
lim x D 0
x!0
cos.x/
sin.x/
D lim
D1
lim
x!0
x!0
x
1
38/43
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Voorbeeld
lim
x!0
39/43
x
sin.x/
,
3
x
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
lim
x
x!0
lim x
x!0
lim
sin.x/ D 0
x!0
x!0
lim
x!0
40/43
lim x 3 D 0
x!0
1 cos.x/
sin.x/
D lim
3
x!0
x
3x 2
x
lim 1
sin.x/
x3
cos.x/ D 0
1
lim 3x 2 D 0
x!0
sin.x/
cos.x/
D lim
2
x!0 6x
3x
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
sin.x/
lim
x!0 6x
lim sin.x/ D 0
x!0
lim 6x D 0
x!0
cos.x/
sin.x/
1
D lim
D
lim
x!0
x!0 6x
6
6
41/43
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
Voorbeeld
ln.1 C x/
.
lim
x!0
x
42/43
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI
ln.1 C x/
lim
x!0
x
lim ln.1 C x/ D 0
x!0
lim x D 0
x!0
1
ln.1 C x/
D lim 1Cx D 1
lim
x!0 1
x!0
x
43/43
Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
EWI