Hoe kun je met je vingers rekenen

Spelen met getallen
Het getal 1
De herkomst van de symbolen voor onze cijfers is het meest duidelijk voor het cijfer 1: de
vinger.
Omdat je maar tien vingers hebt, heb je voor opgaven met getallen boven de tien trucjes nodig
om ze toch met behulp van je vingers uit te kunnen rekenen. Eén van deze trucjes, het
vingervermenigvuldigen, is al vrij oud. Men was zo in staat om getallen tot vijftien eenvoudig
met elkaar te vermenigvuldigen.
Bij vingervermenigvuldigen is het voldoende de tafels tot 5 * 5 te kennen. Wil je het product
weten van twee getallen a en b, beide tussen de vijf en tien, dan steek je de ene hand op met a5 vingers en je andere hand met b-5 vingers. Het resultaat van de vermenigvuldiging is de
som van het aantal opgestoken vingers *10 en het product van de beide aantallen niet
opgestoken vingers.
1. Laat met behulp van vingervermenigvuldiging zien wat het produkt van 6 en 9 is.
2. Laat met behulp van vingervermenigvuldiging zien hoeveel 7*8 is.
3. Vorm het getal 1 gebruik makend van alle cijfers 0 tot en met 9 en de bewerkingen +, -, *
en /.
4. Welke getallen bestaande uit alleen maar enen zijn deelbaar door 3?
5. Welke getallen bestaande uit alleen maar enen zijn deelbaar door 11?
6. Door welk getal is 11111 deelbaar?
7. Bewijs dat de methode van vingervermenigvuldiging juist is.
Getal splitsen
We gaan een getal splitsen en wel zo dat het produkt van de termen zo groot mogelijk is.
Neem bijvoorbeeld 20. Je kunt dit getal splitsen in 10+10; het produkt van de termen is dan
100. Maar 20 is ook 5+5+10, en nu is het produkt gelijk aan 250. Dus de tweede splitsing is
alvast beter. Zou het nog beter kunnen?
Dat gaan we stapsgewijs onderzoeken. We doen het eerst voor 20, maar de bedoeling is het
voor ieder (natuurlijk) getal te kunnen.
a. Kan het getal 1 voorkomen in een beste splitsing?
b. Kan het getal 5 of een getal groter dan 5 voorkomen in een beste splitsing?
c. Als iemand een splitsing heeft waarin 4 voorkomt, kun je dan een splitsing verzinnen met
een even groot produkt waarin geen 4 voorkomt?
d. Is 2+2+2+2+3+3+3+3 de beste splitsing van 20?
e. Bepaal de beste splitsing van 20
f. Bepaal de beste splitsing van 21 en 22
g Geef een recept om voor een willekeurig getal de beste splitsing te bepalen.
Deelbaarheid
Als een getal deelbaar is door drie, is de som van de cijfers dat ook, en omgekeerd..
Bijvoorbeeld 3969 is deelbaar door 3 en 3+9+6+9=27 is ook deelbaar door 3.
Voor het getal negen geldt iets dergelijks: een getal is deelbaar door negen als de som van de
cijfers deelbaar is door 9, en omgekeerd.
De zogenaamde negenproef heeft ook hiermee te maken.
Een voorbeeld:
28*96+35-116=2605
Klopt dat?
Dit kunnen we uitzoeken m.b.v. de zogenaamde negenproef.
We vervangen alle getallen door hun cijfersom:
28 geeft 2+8=10 en 10 geeft 1+0=1
96 geeft 9+6=15 en 1+5=6
35 geeft 8
116 geeft ook 8
Dus links van het gelijkteken krijgen we
1*6+8-8=6
Maar rechts van het gelijkteken
2+6+0+5=13, 1+3=4
Conclusie: het klopt niet.
Deelbaarheid door elf is ook vrij eenvoudig na te gaan. Je moet de wisselsom van de cijfers
van het getal uitrekenen. Bijvoorbeeld, als het getal 432582 is, neem je 4-3+2-5+8-2=4, en dat
is niet deelbaar door elf, dus 432582 ook niet.
a. Is 2005 deelbaar door 2, door 3, door 5, door 11?
b. Wat is de rest bij deling van 5217*1643 door negen?
c. Is 1135 deelbaar door 45?
d. Is 12573 deelbaar door 99?
e. Bedenk zelf hoe je snel kunt zien of een getal deelbaar is door vier.
f. Hoe kun je zien of een tweetallig geschreven getal deelbaar is door drie?
g. Hoe kun je zien of een drietallig geschreven getal deelbaar is door twee?