Wetenschappelijk werk GRAFIEKEN Grafieken Heilig Hartinstituut Hamme pagina 1 Wetenschappelijk werk GRAFIEKEN Grafieken ..............................................................................................................................1 1. Doel ...........................................................................................................................3 2. Grootheid en eenheid ..............................................................................................4 2.1 Wat is een grootheid? ...........................................................................................4 2.2 Wat is een eenheid? ..............................................................................................5 2.3 Belang van eenheden. ..........................................................................................6 3. Grafieken tekenen ....................................................................................................7 4. Rechtevenredigheid .................................................................................................8 5. Omgekeerd evenredigheid .................................................................................... 14 6. Grafieken op de computer ..................................................................................... 15 7. Oefeningen ............................................................................................................. 19 Heilig Hartinstituut Hamme pagina 2 Wetenschappelijk werk GRAFIEKEN 1. Doel Grafieken worden in de wetenschappen gebruikt om verbanden tussen veranderlijke grootheden weer te geven. Dit kan ons in veel gevallen helpen om een wiskundig verband tussen deze grootheden te vinden. Voorbeelden: de lichtsterkte van een lamp neemt toe als de spanning stijgt; de snelheid van een vertrekkende trein neemt toe in de loop van de tijd; de prijs van een stuk bouwgrond hangt af van zijn oppervlakte. Opdracht: Zoek zelf nog twee voorbeelden. Geef telkens de naam van de twee veranderlijken. ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ Doel van een grafiek: - aantonen van verbanden tussen 2 grootheden - weergeven van verband tussen 2 grootheden Heilig Hartinstituut Hamme pagina 3 Wetenschappelijk werk GRAFIEKEN 2. Grootheid en eenheid a) De begrippen uit kolom 1 noemen we grootheden. b) In kolom 2 geven we deze grootheden een symbool. Grootheden worden handig voorgesteld door hun symbool. c) Bij het meten van grootheden heb je eenheden nodig. Die vind je in kolom 3. d) Ook eenheden hebben een symbool. Je vindt ze in kolom 4. 1 2 3 van lengte tijd volume massa stroomsterkte l t V m i of I 4 van de meter de seconde de kubieke meter het kilogram de ampère 1m 1s 1 m³ 1 kg 1A e) Vul het bovenste deel van de tabel in met de passende begrippen uit 1,2,3 en 4. Gebruik een groene pen. f) Vul de nieuwe begrippen in op het blad grootheden. g) Symbolen van grootheden worden cursief (schuin) gedrukt. h) Symbolen van eenheden worden romein (recht) gedrukt. 2.1 Wat is een grootheid? Spanning en stroomsterkte zijn twee voorbeelden van wat men in de natuurkunde “grootheden” noemt. In het deel elektriciteit heb je vaak hun grootte bepaald of je hebt ze gemeten. Een grootheid meten is nagaan hoe dikwijls een overeengekomen eenheid in de te meten grootheid bevat is. Het resultaat wordt het maatgetal van deze grootheid genoemd. Heilig Hartinstituut Hamme pagina 4 Wetenschappelijk werk GRAFIEKEN Voorbeeld 1: Je meet de spanning over een batterij met een multimeter en je leest af: U = 6,0 V. Volt (V) is de eenheid, die als vergelijkingsgrootheid dient, en 6,0 V is het maatgetal van de spanning. Je kent ook reeds andere grootheden van vroeger. Voorbeeld 2: Je meet de lengte van het klaslokaal met een plooimeter. Je leest af: 8,75 m. Meter (m) is de eenheid, en 8,75 het maatgetal van de lengte. Voorbeeld 3: Je plaatst een zakje aardappelen op een balans en je vindt 12,50 kg. Eenheid: ____________________________________________ Maatgetal: ___________________________________________ Voorbeeld 4: Een sprinter legt de 100 m af in een gechronometreerde tijd van 12,1 s. Eenheid: ____________________________________________ Maatgetal: ________________________________________ Een grootheid is een eigenschap van een voorwerp waarvan we de grootte in getallen kunnen uitdrukken. 2.2 Wat is een eenheid? Een grootheid is volledig gekend als de eenheid is vastgelegd en haar maatgetal bekend is. Het maatgetal is het getal dat de verhouding uitdrukt tussen de gemeten grootheid en de gekozen eenheid. Heilig Hartinstituut Hamme pagina 5 Wetenschappelijk werk GRAFIEKEN In de loop der eeuwen is een grote verwarring ontstaan in de eenheden voor de verschillende grootheden. In het SI-stelsel (Système International) gaat men uit van een minimaal aantal grondgrootheden, waarvoor de grondeenheden wettelijk vastgelegd werden. Voor wetenschappelijk werk zijn belangrijk: tijd, lengte, massa en stroomsterkte. Hun eenheden zijn respectievelijk de seconde, de meter, het kilogram en de ampère. Vaak worden bij eenheden voorvoegsels gebruikt. Vul deze tabel aan. VOORVOEGSEL SYMBOOL FACTOR 1 000 000 000 1.109 1 000 000 1.106 1 000 1.10³ 100 1.10² 10 1.10 0,1 1.10-1 0,01 1.10-2 0,001 1.10-3 0,000 001 1.10-6 0,000 000 001 1.10-9 2.3 Belang van eenheden. grootheid = maatgetal X eenheid Iets wat je kunt meten is een grootheid. Het meetresultaat benoemen we met een eenheid. Heilig Hartinstituut Hamme pagina 6 Wetenschappelijk werk GRAFIEKEN 3. Grafieken tekenen Meetresultaten voorstellen in een tabel, met een roostervoorstelling. Op de horizontale as noteer je de gegeven waarde. Op de verticale as noteer je de gemeten waarde. a) je noteert de resultaten in tabelvorm; b) op de horizontale as noteer je de gegeven waarde (de onafhankelijke veranderlijke), op de verticale as de gemeten waarde ( de afhankelijke veranderlijke); c) op beide assen worden de juiste grootheden en eenheden aangeduid. Je gebruikt dus de maximale ruimte van het millimeterpapier: een oordeelkundige keuze van de schaal en de ijk op beide assen is dus aangeraden! d) je verbindt de roosterpunten door een vloeiende lijn. Deze lijn heet een grafiek; verticale as: gemeten waarde e) uit de vorm van de grafiek kunnen wiskundige verbanden tussen de grootheden afgeleid worden. grootheid (eenheid) grafiek van de gemeten waarde als functie van de gegeven waarde grootheid (eenheid) 0 horizontale as: gegeven waarde Heilig Hartinstituut Hamme pagina 7 Wetenschappelijk werk GRAFIEKEN 4. Rechtevenredigheid Men onderzoekt het verbruik van een auto tijdens een test waarbij de auto een afstand van 990 km aflegt. 100 Afstand 0 km 90 km 180 km 270 km 360 km 450 km 540 km 630 km 720 km 810 km 900 km 990 km Aantal verbruikte liters 0l 7l 14 l 21 l 28 l 35 l 42 l 49 l 56 l 63 l 70 l 77 l 90 80 70 60 50 40 30 20 10 Zet de gegevens uit in een grafiek en verbind de koppels. 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Niet rijden kost geen geld! Is deze stelling op het rooster zichtbaar? _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ Een rechte door de oorsprong geeft steeds aan dat de uitgezette waarden recht evenredig met elkaar zijn. Symbolisch: a ~ b (a is recht evenredig met b) Heilig Hartinstituut Hamme pagina 8 100 Wetenschappelijk werk GRAFIEKEN Als je de afstand (a) deelt door het aantal liter benzine (b): Afstand 0 km Aantal verbruikte liters 0l 90 km 7l 180 km 14 l 270 km 21 l 360 km 28 l 450 km 35 l 540 km 42 l 630 km 49 l 720 km 56 l 810 km 63 l 900 km 70 l 990 km 77 l a/b b/a Wat stel je dan vast? ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ Indien een deling van 2 factoren steeds een constante als uitkomst geeft, zijn deze factoren recht evenredig met elkaar. Symbolisch: a/b = Cte ↔ a ~ b (a is recht evenredig met b) Heilig Hartinstituut Hamme pagina 9 Wetenschappelijk werk GRAFIEKEN Een automonteur, die aan de lopende band werkt, moet per uur zes voorruiten plaatsen. Na hoeveel werkuren zijn er 52 voorruiten gemonteerd? We zoeken de oplossing via een grafiek. Eerst stellen we de tabel op. tijd (uur) aantal voorruiten tijd aantal voorruiten Vervolgens stellen we de grafiek op van het aantal voorruiten in functie van de tijd (uitgedrukt in uur). 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0 Heilig Hartinstituut Hamme 10 20 30 40 50 60 70 80 90 pagina 10 100 Wetenschappelijk werk GRAFIEKEN De grafiek is een __________________________________________________ Bereken het quotiënt van de tijd en het aantal voorruiten. Noteer dit getal in de derde kolom van de tabel. Wat stel je vast? _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ We bekijken de maatgetallen in de tabel. Wat gebeurt er met het aantal voorruiten als het aantal werkuren verdubbelt? _________________________________________________________________ Wat gebeurt er met het aantal voorruiten als het aantal werkuren gedeeld wordt door drie? _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ We stellen vast dat de maatgetallen van beide grootheden _________________________________________________________________ Twee grootheden zijn recht evenredig als: het maatgetal van de eerste grootheid 2, 3, 4, ... maal vergroot, het maatgetal van de tweede grootheid dan ook 2, 3, 4, ... maal vergroot; het quotiënt van de maatgetallen van die twee grootheden constant is; de grafiek een rechte door de oorsprong is. Heilig Hartinstituut Hamme pagina 11 Wetenschappelijk werk GRAFIEKEN Op het volgende rooster is het verbruik van vier wagens voorgesteld. Heilig Hartinstituut Hamme pagina 12 Wetenschappelijk werk GRAFIEKEN Maak op het rooster met rode pijlen het benzineverbruik per 100 km zichtbaar voor de verschillende wagens. Lees af en vul in. 1 _____________ l 2 _____________ l 3 _____________ l 4 _____________ l Duid met groene pijlen aan hoeveel kilometer elke wagen kan rijden met 20 l benzine. Lees af en vul in. 1 ___________ km 2 ___________ km 3 ___________ km 4 ___________ km Bereken Cte = verbruik voor de vier wagens. afstand Doe dit uit de aflezingen uit de eerste vraag. Noteer de eenheden! 1 ______________ 2 ______________ 3 ______________ 4 ______________ Rangschik de wagens volgens stijgend verbuik. wagen nr. < wagen nr. < wagen nr. < wagen nr. In deze oefening hebben we te maken met vier rechten door de oorsprong. Het spreekt vanzelf dat je hier vier keer twee constanten kan berekenen. Je berekende slechts één reeks. De waarden van deze constanten laat toe het verbruik van deze wagens met elkaar te vergelijken. Heilig Hartinstituut Hamme pagina 13 Wetenschappelijk werk GRAFIEKEN 5. Omgekeerd evenredigheid Een waterkraan levert 300 liter water per minuut. Op die manier kan ze een vat van 900 liter vullen in 3 minuten. Een andere kraan levert 240 liter water per minuut. Hoe lang duurt het om datzelfde vat te vullen? We stellen de tabel op. hoeveelheid water (l) tijd (min) hoeveelheid water X tijd minuut minuut 300 3 240 3,75 180 5 120 7,5 60 15 We stellen de grafiek op van de hoeveelheid water in functie van de tijd (uitgedrukt in minuten) minuut 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0 10 20 Heilig Hartinstituut Hamme 30 40 50 60 70 80 90 100 pagina 14 Wetenschappelijk werk GRAFIEKEN We berekenen het product van de hoeveelheid water met de tijd. minuut Noteer dit getal in de derde kolom van de tabel. Wat stel je vast? _________________________________________________________________ We bekijken de maatgetallen in de tabel. Wat gebeurt er met de tijd als de hoeveelheid water halveert? minuut _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ We delen de tijd door drie. Wat gebeurt er met de hoeveelheid water ? minuut _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ We stellen vast dat als de ene grootheid groter wordt, de andere _____________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ Twee grootheden zijn omgekeerd evenredig als: het maatgetal van de ene grootheid 2, 3, 4, ... maal vergroot, het maatgetal van de tweede grootheid dan 2, 3, 4, ... maal verkleint; het product van de twee grootheden constant is; de grafiek een hyperbool is. 6. Grafieken op de computer Je kan grafieken ook laten tekenen door de computer in het programma MS Excel. We gaan dit uitproberen voor twee grafieken. 1. Bij een experiment in het zwembad moet een zwemmer 8 baantjes van 25 m afleggen. Telkens wanneer de zwemmer de kant raakt wordt de tijd gemeten. Volgende resultaten worden geregistreerd. Afstand 25m 50m 75m 100m 125m 150m tijd 20s 41s 59s 80s 99s 120s Wat is de gegeven waarde? …………………………….. Wat is de gemeten waarde? ………………………………. Heilig Hartinstituut Hamme 175m 141s 200m 162s pagina 15 Wetenschappelijk werk GRAFIEKEN Open het programma Excel. A. waarden in een tabel zetten. Breng de gegeven waarde(afstand (m)) in in cel A1 (dit wordt de horizontale as). Breng de gemeten waarde(tijd(s)) in in cel B1 ( dit wordt de verticale as). Welke afstand leg je af op 0 minuten? …….. Vul dit koppel aan in de lijst. B. Een grafiek maken met deze waarden Selecteer de 2 kolommen vanaf A1 tot en met B10. (linkermuisknop ingedrukt houden) Kies invoegen grafieken spreiding. Om de grafiek lijn te tekenen, klik je rechts op een punt en kies je voor trendlijn toevoegen, lineair. Heilig Hartinstituut Hamme pagina 16 Wetenschappelijk werk GRAFIEKEN Je verticale as begint nu bij -20; dit kan je aanpassen door rechts te klikken op de as en te kiezen voor opties voor as. Je stelt daar het minimum vast in op 0,0. Om een duidelijke grafiek te krijgen, zet je bij de assen de grootheid en de eenheid die je er kan aflezen. Je doet dit door op de grafiek te gaan staan. Er verschijnt bovenaan in je werkbalk een extraatje nl. hulpmiddelen voor grafieken. Hier kies je bij ontwerpen snelle indeling indeling 1. Je kan nu op de astitel klikken en deze aanpassen. Je grafiek is klaar. 180 160 140 tijd(s) 120 100 80 60 40 20 0 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 afstand(m) Heilig Hartinstituut Hamme pagina 17 Wetenschappelijk werk GRAFIEKEN 2. Een bakker wil 320g suiker gebruiken in taartjes. Maak een grafiek waarin je kan aflezen hoeveel taartjes hij kan bakken als hij meer of minder suiker in 1 taartje steekt. Vul de tabel verder aan. Massa(g) 160 80 40 32 20 16 10 8 4 Aantal 2 4 8 10 16 20 32 40 80 taarten Zet bovenstaande tabel in twee kolommen in een excel-werkblad. Selecteer de kolommen en maak er een grafiek van. Kies voor spreiding, klikrechts in de grafiek op een punt en kies voor ‘trendlijn opmaken’. Hier kies je voor macht en dan krijg je als alles goed gegaan is volgende grafiek. Heilig Hartinstituut Hamme pagina 18 Wetenschappelijk werk GRAFIEKEN 7. Oefeningen 1. Een auto rijdt met een snelheid van tachtig kilometer per uur. Vul de tabel in. a) Wanneer je de eerste kolom van boven naar onder bekijkt, zie je dat de tijd t(h) x (km) 1 80 x (km) t h toeneemt. Wat gebeurt er met de afstand? _________________________ 2 ________________________________ 3 ________________________________ 4 b) Bestaat er een verband tussen deze twee grootheden? Welk? ________________________________ 5 6 c) Wat kan je zeggen over het quotiënt van de afstand en de tijd? __________________________________________________ d) Maak de grafiek van de afstand x als functie van de tijd t. 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0 Heilig Hartinstituut Hamme 10 20 30 40 50 60 70 80 90 pagina 19 100 Wetenschappelijk werk GRAFIEKEN e) Wat stel je vast over de punten van de grafiek? _________________________________________________________ _________________________________________________________ 2. Een meter stof kost € 14. Vul de volgende tabel in en maak een grafiek van de prijs als functie van de lengte in een excel werkblad. Lengte (m) Prijs (€) 1 14 Product van prijs en lengte (€.m) Quotiënt van prijs en lengte (€) m 2 3 4 5 Over welke evenredigheid gaat het hier? Verklaar! ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 3. Een erfenis van € 350 000 wordt verdeeld onder verschillende erfgenamen. Vul de tabel in en maak een grafiek van het bedrag als functie van het aantal erfgenamen in een excel-werkblad. Aantal erfgenamen Bedrag per erfgenamen (€) 1 350 000 Product van het bedrag en het aantal erfgenamen (€) Quotiënt van het bedrag en het aantal erfgenamen (€) 2 3 4 5 Heilig Hartinstituut Hamme pagina 20 Wetenschappelijk werk GRAFIEKEN Over welke evenredigheid gaat het hier? Verklaar! ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 4. Gegeven de volgende tabel: Grootheid x 1 2 3 4 5 6 8 10 12 15 20 30 40 60 90 Grootheid y Vul de tabel in zodat x en y omgekeerd evenredig zijn. Maak de grafiek van y als functie van x in een excel werkblad. Heilig Hartinstituut Hamme pagina 21
